PLAN DE TRABAJO PARA SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS …º BACH MATEMÁTI… · EJERCICIO 14 : Dos socios...

MATEMATICAS FINANCIERAS

AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES. INTERESES BANCARIOS. TAE

EJERCICIO 1 : El precio de un litro de gasóleo era de 0,51 euros y, al cabo de un año, se transformó en 0,65 euros. ¿Cuál ha sido el porcentaje de subida?

EJERCICIO 2 : Un hotel cobra 80 euros por día. ¿A cuánto asciende la factura de siete días, si nos descuentan un 20 % por un bono y aplican el 16 % de IVA? Halla, también, el porcentaje de subida o de bajada respecto del precio inicial.

EJERCICIO 3 : En una papelería realizan un descuento del 15 % y cargan un 4 % de IVA, con lo que el total de la factura asciende a 145,86 euros. ¿Cuál es el precio inicial de la compra? EJERCICIO 4 : Una población que tenía inicialmente 300 individuos va creciendo a un ritmo del 12% cada año. ¿Cuántos individuos habrá dentro de un año? ¿Y dentro de 3 años?

EJERCICIO 5 : Calcula en cuánto se transforman 1000 euros en un año al 7% anual si los periodos de capitalización son semestrales. Halla la T.A.E.

EJERCICIO 6 : Emprendedores Unidos, S. A. compró una máquina por 20 000 euros. Al cabo de 5 años deciden venderla para adquirir otra más moderna. Si la máquina se deprecia un 10% anualmente, ¿cuánto dinero obtendrán por su venta?

EJERCICIO 7 : Pedro gana 24 000 euros al año y su empresa le sube el sueldo un 2% cada año. ¿Cuánto ganará dentro de 10 años?

EJERCICIO 8 : Se invierten 5 000 € a un interés compuesto anual, y obtenemos 8 857,80 € al cabo de un determinado número de años. Halla el tipo de interés y el número de años, si sabemos que manteniendo dos años más esa cantidad al mismo interés, habríamos recibido 10 717,94 €.

EJERCICIO 9 : En la República de Malhestán la inflación crece anualmente un 20% desde 1995. Si en dicho año una barra de pan costaba 10 thalegos: a) ¿cuánto costará en el año 2009? b) ¿Qué años sobrepasará la barrera de los 100 thalegos?

EJERCICIO 10 : ¿A Cuánto ascenderá una cantidad inicial de 20 000 € colocada al interés compuesto anual del 8% durante 5 años si: a) los períodos de capitalización son anuales;b) los períodos de capitalización son trimestrales;c) los períodos de capitalización son semestrales.

EJERCICIO 11 : ¿Al cabo de cuántos años nuestro capital inicial de 10 000 €, colocado al 7,5% de interés compuesto anual, superará los 30.000 €?

EJERCICIO 12 : Si queremos que nuestro capital inicial se duplique en 8 años, ¿cuánto ha de valer el interés compuesto anual?

EJERCICIO 13 :¿Cuánto dinero hemos de depositar al 5% anual compuesto para que al cabo de 10 años tengamos 10 000 €?

EJERCICIO 14 : Dos socios se reparten 50 000 € de beneficios. Uno coloca su parte a un interés compuesto del 4 % anual y el otro al 9%. Si al cabo de 5 años ambos tienen la misma cantidad, ¿cuánto recibió cada uno inicialmente?

EJERCICIO 15 : A Isabel le ha tocado un premio de la lotería de 60.000 euros. Averigua cuál de las siguientes ofertas bancarias le resultará más beneficiosa: a) Una imposición a plazo fijo de 2 años y con un interés del 6,5 % anual.b) Abrir una cuenta de ahorros a la vista con un tipo de interés del 5,5 % anual y con periodo de liquidación mensual.

PLAN DE TRABAJO PARA SEPTIEMBRE

MATEMÁTICAS APLICADAS CIENCIAS SOCIALES I 1º BHCS

AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS. TABLA EJERCICIO 16 : Hemos de amortizar un préstamo de 60.000 euros en cuatro años. Sabiendo que cada año pagamos un cuarto del capital prestado más los intereses del capital pendiente (al 5% anual). ¿Cuánto debemos pagar cada año? EJERCICIO 17 : Un banco nos concede un préstamo de 9.000 euros, al 6% anual, que hemos de pagar en 3 meses. Cada mes pagamos un tercio del capital prestado más los intereses del capital pendiente. ¿Cuánto debemos pagar cada mes? AHORRO. SUMA EJERCICIO 18 : Una persona deposita anualmente 720 euros durante 30 años y se le garantiza un 7 % de interés. ¿Qué cantidad tendrá al cabo de ese periodo? EJERCICIO 19 : Una persona ingresa 60 euros mensualmente en un fondo de pensiones al 7 %. ¿Qué capital tendrá acumulado al cabo de 30 años? AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS. ANUALIDADES EJERCICIO 20 : Pablo solicita un préstamo de 15 000 euros al 6%, que amortizará en plazos semestrales de 1 194,16 euros. ¿Cuántos años tardará Pablo en amortizar la deuda? EJERCICIO 21 : Para poder acumular un capital de 500 000 euros en 20 años, ¿qué anualidad debemos ingresar si el interés es del 7% anual? EJERCICIO 22 : ¿Qué capital se forma al pagar una anualidad de 6 000 euros durante 10 años al 11%? EJERCICIO 23 : ¿Qué mensualidad hay que pagar para amortizar 30 000 euros al 8% en 5 años? RECOPILACIÓN EJERCICIO 24 : José Luis gana un premio en la Lotería y decide cancelar su hipoteca. Si en dicha hipoteca le concedieron 108000 euros a pagar en 15 años a un interés del 3,5% anual, y la cancela después de pagar la quinta anualidad, ¿cuánto ha de pagar para amortizar lo que le resta de deuda? EJERCICIO 25 : Colocamos en una cuenta 2 000 euros al 3% anual. ¿Cuánto dinero tendremos en la cuenta al cabo de un año? ¿Y dentro de 4 años? EJERCICIO 26 :¿Cuánto pagaré mensualmente si pido prestado 50 000 euros a pagar en tres años a un interés del 9% anual? EJERCICIO 27 : Calcular el rédito anual al que se debe colocar 6000 euros, a interés compuesto, con periodos de capitalización mensuales, para que al cabo de 10 años se conviertan en 15.000 euros. EJERCICIO 28 : Una hipoteca de 60 000 euros al 5% se devuelve en 12 años. ¿Qué anualidad hay que pagar? ¿Qué cantidad total se devuelve? EJERCICIO 29 : Hallar el capital final que se obtiene al invertir 3.000 euros durante 15 años al 11% anual, con periodos de capitalización trimestrales. EJERCICIO 30 : Calcula el número de meses que tardaremos en amortizar un préstamo de 100 000 euros al 4,5%, si pagamos 2 500 euros mensualmente. EJERCICIO 31 : Colocamos un capital a un interés compuesto del 4,5%. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que el capital se duplique? EJERCICIO 32 : Hallar el capital inicial, suponiendo la liquidación mensual, que colocado al 9,25 % durante 3 años se ha convertido en 13.843,44 euros EJERCICIO 33 : En una factura aplican un 10 % de descuento y un 16 % de IVA. Si el precio de la compra era de 320 euros, ¿cuánto hay que pagar?

EJERCICIO 34 : Compramos un coche a plazos con las siguientes condiciones: entrada de 2 500 euros y 36 letras (mensualidades) de 410 euros. Si el interés aplicado es el 8,5%, ¿cuánto costaba el vehículo al contado? EJERCICIO 35 : ¿Qué te parece más rentable: gastarte anualmente en juegos de azar 60 euros y obtener un premio de 1250 euros al cabo de 15 años o depositar anualmente los 60 euros en un fondo que te ofrece un interés compuesto anual del 8%? EJERCICIO 36 : En un producto que ha subido por costes de fabricación un 12 % aplican un 20 % de rebaja. Si dicho producto tiene un precio de 250 euros. ¿Cuál será su precio final? ¿Ha subido o bajado (calcula que porcentaje)? EJERCICIO 37 : Un joven decide hacer un plan de ahorro para comprarse una moto al cabo de 5 años. Así, ingresa al inicio de cada año 1000 euros en una entidad financiera que le ofrece un interés del 8% anual. ¿Qué cantidad recibirá al finalizar el plan?. EJERCICIO 38 : Se invierten 15 000 € al 6% anual, con períodos de capitalización trimestrales. ¿A cuánto ascenderá el capital tras 8 años? EJERCICIO 39 : Una persona decide abrir un plan de jubilación para dentro de 10 años. Un banco le ofrece el 6 % anual mediante abonos de 1440 euros al principio de cada año. ¿Qué capital se habrá obtenido al final de los 10 años? EJERCICIO 40 : Lidia duda entre pedir un préstamo al Banco Bank, a un interés del 5% y amortizable en 12 años, o a la Caja Cash, a un interés del 6,5% y amortizable en 10 años. ¿Dónde pagará menor anualidad? ¿Dónde tendrá que devolver menos dinero? Usa para las comparaciones la cantidad de 10 000 euros. EJERCICIO 41 : El presupuesto de un viaje es de 600 euros Si durante un año y medio se ha ahorrado 36 euros cada mes al 6% anual. ¿Se podrá hacer el viaje? EJERCICIO 42 : Para amortizar una deuda en 5 años al 4% hay que pagar anualmente 1055,80 euros. ¿A cuánto asciende la deuda? EJERCICIO 43 : Recibimos un préstamo de 60.000 euros, al 12 % anual, que debemos amortizar en un año, pagando cada trimestre la cuarta parte del capital prestado más los intereses de la cantidad adeudada. ¿A cuánto asciende cada pago? EJERCICIO 44 : Un frigorífico que costaba el año pasado 1200 euros ha aumentado su precio un 10 %. Al comprarlo este año, nos rebajan un 10 %. ¿Qué precio pagamos por el frigorífico? Halla el porcentaje de subida o de bajada. EJERCICIO 45 : Calcula las anualidades necesarias para acumular un capital de 20 000 euros en 20 años con un interés del 9%. EJERCICIO 46 : Queremos solicitar un préstamo hipotecario por un capital de 80.000 euros y tenemos las ofertas de dos bancos. El primero nos ofrece para devolverlo un periodo de 12 años al 9,75% anual, mientras que el segundo nos ofrece devolverlo a lo largo de 18 años al 7%. ¿ Con cuál de las dos ofertas devolveremos menos dinero al banco si lo abonamos en sucesivas mensualidades? EJERCICIO 47 : ¿Qué anualidad debe pagar Alicia para formarse un capital de 100 000 euros en 15 años, si el interés es el 3,5%? EJERCICIO 48 : Si acumulamos semestralmente los intereses al capital,¿cuánto dinero tendremos al cabo de 5 años si depositamos 3 000 € al 4% anual? EJERCICIO 49 : ¿Qué cantidad tendrá que pagar anualmente una empresa para amortizar en 8 años un préstamo de 20.000 euros a un rédito fijo del 6 % anual? EJERCICIO 50 : En un banco se oferta un plan de jubilación con un rédito del 5 % fijo durante todo el periodo de la vida del plan. Una persona está interesada en obtener un capital final de 150.000 euros dentro de 30 años que es el tiempo que le falta para jubilarse. ¿Qué anualidad de capitalización debe aportar al principio de cada año?

1.- Efectúe

+−+

−+ 15

3:435

4

1

2

1

2

1

3

1. Sol.: -49/24

2.- Efectúe

12

29:

12

7

8

1

3

5

3

2

6

5

4

3

3

22

−+

×

++. Sol.: 2

3.- Efectúe

+−

−+ 15

3:82

4

1

2

12

3

1.

4.- Efectúe 232

3

73

5

2

5

21

5

31

−−

−⋅⋅

−⋅

− . Sol: 3

2

5.- Efectúe 2

2

2

3

5

3

−−

6.- Efectúe

−

−−

−

17

2

15

4

5

21

.

7.- Efectúe y simplifique b

ba

ab

ba 43

2

32

:−

−

−−

. Sol.: 6

4

a

b

8.- Efectúe y simplifique 2

3

24

3

2:2

−

−

a

bab Sol.:

59

8

a


2

8

926

3

1

2

13 +−− Sol.: 0

10.- Efectúe y simplifique 27923 ⋅ Sol.: 6 318

11.- Efectúe y simplifique 45 : aaaa Sol.: 401

a

12.- Efectúe y simplifique 2222 801802045 −+− .

13.- Efectúe y simplifique 23 125:25 . 14.- Efectúe y simplifique ( ) ( )323232 −−− . Sol.: 1

15.- Efectúe y simplifique 3a

b

b

a. Sol.: 6

b

a


12416832385 8106 +−− . Sol.: 0

17.- Efectúe y simplifique ( )225262 −⋅ . 18.- Efectúe y simplifique ( ) ( )1221 −⋅+ . 19.- Efectúe y simplifique 653 999 ⋅⋅ .

20.- Efectúe y simplifique 3282 +− .

21.- Efectúe y simplifique ( )3 3

2725083 ⋅+−.


34

b

a

a

b

b

a⋅

.

23.- Racionalice 35

22

+. Sol.: 35 −

24.- Racionalice 3 4

2. Sol.: 3 2

25.- Racionalice 15

15

+

−. Sol.:

2

53−

26.- Racionalice 532

2

−.

27.- Racionalice 3 2

23

yx

xy. Sol.: 3 23 xyy

28.- Resuelva 2)5()2(7 xxxx =−−+ .

29.- Resuelva 6

52

2

25

3

xx

xx −−<

−− .

30.- Resuelva 4

73

2

13

+−

=−−

x

x

x

x.

31.- Resuelva la ecuación 1

6

−=x

x y escriba otra que tenga por soluciones

los cuadrados de las soluciones de la ecuación dada.

Sol.: x= 3 y 2; 036132 =+− xx

32.- En la ecuación 0122 =+− cxx , determine el valor de c para que las dos

soluciones sean iguales. Sol.: 36

33.- Un grupo de chicos y chicas aporta dinero a partes iguales para ir de viaje. Si hubiera 23 personas más, les correspondería poner 3,63 euros a

cada uno, y si hubiera 12 menos, pondrían 7,26 euros. ¿ Cuántas

personas hay y cuánto cuesta el viaje? Sol: 47 y 254,10.

34.- ¿ Cuáles son los números para los que su triple supera a su doble en más de ocho unidades? Sol.: x>8.

35.- Divida 553 en dos partes, de modo que al dividir la mayor entre la menor se obtenga 3 de cociente y 65 de resto. Sol.: 431 y 122.

36.- La suma de las áreas de dos cuadrados es 544 cm2 y su diferencia 256

cm2. Calcule el perímetro de los cuadrados. Sol.: 80 y 48 cm.

37.- Las superficies de dos cuadrados suman 74 cm2 y el producto de sus

diagonales es 70. ¿Cuál es la longitud de sus lados? Sol.: 5 y 7 cm.

38.- La suma de las tres cifras de un número es seis; si se intercambian la cifra de las centenas y la de las decenas, el número aumenta en noventa

unidades, pero si se intercambian la de las decenas y la de las unidades,

el número aumenta en nueve unidades. Calcule dicho número. Sol.: 123.

39.- Un país compra 540000 barriles de petróleo a tres suministradores distintos que lo venden a 28, 27 y 31 dólares el barril, respectivamente.

La factura total asciende a 16 millones de dólares. Si del primer

suministrador recibe el 30 % del total del petróleo comprado, ¿qué

cantidad ha comprado a cada suministrador?

Sol.: 162000, 63500 y 314500.

40.- Halle un número de dos cifras sabiendo que su valor es igual al cuádruplo de la suma de sus cifras, y que si se invierte el orden de las

cifras aumenta en 36 unidades. Sol.: 48.

41.- En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto

destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es

de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata.

Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que entre helados de

chocolate y de nata se han de comprar el 20 % más que de vainilla.

Calcule el número de helados de cada sabor que se compran a la

semana. Sol.: 50,20,40.

42.- En una clase de 35 personas han aprobado las Matemáticas el 80 % de las chicas y el 60 % de los chicos. Calcule el número de alumnas y

alumnos que tiene la clase si el número de chicas que han aprobado es el

mismo que el de chicos. Sol.: 15 y 20.

43.- Un rectángulo tiene 34 cm. de perímetro y sus diagonales miden 13 cm. Calcule su superficie. Sol.: 60 cm

2.

44.- Calcule el área de un rectángulo de perímetro 26 cm. y diagonal 10 cm.

45.- Un país importa 21000 vehículos mensuales de las marcas X, Y y Z al precio de 7000, 9000 y 12000 euros respectivamente. Si el total de la

importación asciende a 192 millones de euros, y de la marca X se

importa el 40 % de la suma de las otras dos marcas, se pide:

A) Plantee el problema con un sistema de ecuaciones. B) Resuélvalo utilizando el método de Gauss.

Sol.: 6000, 10000 y 5000.

46.- Calcule el sueldo bruto mensual de una persona que ha percibido 1322,1 euros después de haberle descontado un 22 % en concepto de

impuesto. Sol.: 1695.

47.- Un comerciante compra por 95000 ptas dos objetos y los vende por 98200 ptas. Si en la venta de uno de ellos ganó el 10 % y en la del otro

perdió el 8 %, ¿qué cantidad pagó por cada objeto? Sol.: 60000 y 35000. 48.- Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de las mujeres exceden en 20 al doble de

niños. También se sabe que entre los hombres y las mujeres duplican al

número de niños. Halle el número de hombres, mujeres y niños que se

reunieron. Sol.: 10, 10 y 10.

49.- Encuentre tres números de suma 106 y tales que el segundo es cuatro veces el primero, y el tercero es 6 unidades mayor que la tercera parte

de la suma de los dos primeros. Sol.: 15, 60 y 31.

50.- Halle la diagonal de una pista de tenis de 312 metros cuadrados de área y 76 metros de perímetro.

51.- En el mercado, Pedro se ha gastado 11,6 € por la compra de patatas, manzanas y naranjas que estaban, respectivamente, a 1 €/Kg, 1,2 €/Kg y

1,5 €/Kg. ¿Cuántos kilos ha comprado de cada alimento si entre todos

han pesado 9 Kg y, además, se ha llevado 1 Kg más de naranjas que de

manzanas?

52.- ¿Qué número hay que añadir a los denominadores de 3/5 y 2/3 para que la suma de las fracciones obtenidas sea igual a 9 veces su producto?

Sol.: 7

53.- Halle el número cuya mitad más su raíz cuadrada sea 24. Sol.:36

54.- Tres amigos invierten 10000 €, 40000 € y 50000 € para abrir un negocio. Tras finalizar el primer ejercicio económico y al repartir los

beneficios, el segundo obtiene 2400 € más que el primero. Calcule los

beneficios del negocio. 55.- Una familia tiene unos ingresos mensuales de 3250 € por los sueldos de la madre, el padre y el hijo. Si la madre gana el doble que el hijo, y el

padre 3

2 de lo que recibe la madre; ¿cuánto gana cada uno de los

miembros de la familia? 56.- Un grupo de jóvenes organiza una excursión cuyo coste es de 330 euros. Aparecen 3 jóvenes más y entonces paga 1 euro menos cada uno.

¿Cuántos jóvenes fueron de excursión y cuánto pagó cada uno?

57.- Halle dos números pares consecutivos cuyos cuadrados sumen 452.

58.- Para cubrir el suelo de una habitación se dispone de dos tipos de baldosas: A (3 x 4 dm.) y B (2 x 5 dm.). Eligiendo el tipo A se

necesitarían 40 baldosas menos que si se eligiera el tipo B. Calcule la

superficie de la habitación. 59.- Un individuo invirtió 36060,73 € repartidos en tres empresas y obtuvo 2704,55 € de beneficios. Calcular la inversión realizada en cada

empresa, sabiendo que en la empresa A hizo el doble de inversión que

en la B y C juntas y que los beneficios de las empresas fueron del 5 %

en la empresa A, 10 % en la B y 20 % en la C.

60.- Sabiendo que 301,02log = calcule, utilizando las propiedades de los

logaritmos, el valor de la expresión 5 02,0log .

61.- Sabiendo que 301,02log = calcule 3 02,0log .

62.- Sabiendo que 301,02log = calcule 25,0log .

63.- Aplicando la definición de logaritmo halle x en x=

2

1log16 .

64.- Aplicando la definición de logaritmo halle x en x=7log343 .

65.- Halle el valor de a si se cumple que 23log12log =+ aa .

66.- ¿Qué relación existe entre a y b si se cumple que 1loglog =− ba ?

67.- Resuelva la ecuación 117333 11 =++ −+ xxx .

68.- Resuelva la ecuación 3log1log =−+ xx .


910loglog 2 =

−−

xx .


1

5

325

−− +=

x

x .

71.- Resuelva el sistema

=+−+

=++

1)2log()7log(

6log)3log(log

yx

yx

72.- El 25% de los coches de una empresa son de color azul, el 30% rojos y el resto, que son 144, son verdes. ¿Cuántos vehículos tiene la

empresa?

73.- María ha ido a unos almacenes de jardinería y ha comprado una maceta, una mesa de terraza y un juego de herramientas. El tiesto ha

supuesto el 20% de la cuenta mientras que la mesa de terraza ha

supuesto el 45%. Si el juego de herramientas costaba 238€, ¿A cuánto

ascendía la cuenta total?

74.- ¿Cuánto dinero producen 15000€ al 6% de interés en un año? ¿ Y si tenemos que retirar el dinero tres meses ante del plazo que nos entregan

la parte proporcional?

75.- ¿A qué rédito anual se invirtieron 1250€ si al cabo del año se han producido 30€ de interés?

76.- ¿A qué rédito anual estaba sometida una operación bancaria por la que 120€ se convirtieron al cabo de 5 años en 146€?

77.- Ingreso en un banco 20000€ y se comprometen a pagarme un 3% anual abonando los intereses semestralmente.¿ Cuánto dinero tengo al

cabo de cinco años?

78.- Calcula a cuanto ascenderá la anualidad que hay que pagar para amortizar un crédito de 120000 € en 10 años al 6% anual.

79.- Elabora la tabla de amortización anual de un crédito bancario de 183000 € al 5,25% durante 20 años.

80.- Compruebe el teorema del resto en )2(:)2452( 23 ++−+ xxxx .

Sol.: R=14.

81.- Factorice 652)( 23 +−−= xxxxP . Sol.: )3)(2)(1()( −+−= xxxxP

82.- Factorice 43)( 23 +−= xxxQ . Sol.: )1()2()( 2 +−= xxxQ

83.- Factorice 352)( 2 +−= xxxR . Sol.: )3

2)(1(2)( −−= xxxR

84.- Factorice 5204)( 23 +−−= xxxxS . 85.- Factorice 35)( xxxT −= .

86.- Factorice 2222)( 34 −−+= xxxxU .

87.- Simplifique la fracción 44

129223

23

−−+

−++

xxx

xxx. Sol.:

1

32

++

x

x

88.- ¿Son equivalentes las fracciones x

x 1+ y

xx

xx

+

++2

2 12 ? Sol.: Sí.

89.- Factorice el polinomio xxxxxP 18156)( 234 +++= . A continuación,

halle a y b para que ( ) ( ) bxxaxxxP ++++= 33)( 222 .

Sol.: ( )( )633)( 2 +++= xxxxxP . 6=a , 0=b

90.- Dado el polinomio 2523)( 345 +−+−= xxxxxP , halle )0(P , )1(−P , )2(P

y )2(−P . Sol.: 2, 1, -8 y –84.

91.- Determine el valor de m para que 13)( 23 −+−= mxxxxP sea divisible

por 3−x . Sol.: 3

1=m .

92.- Determine m y n para que el polinomio nxmxxxP ++−= 7)( 23 sea

divisible por )5( −x y sea 9 el resto de dividirlo por ( )2−x .

93.- Determine m y n para que el polinomio nmxxxxP −−+= 23 2)( sea

divisible por )3( +x y por )3( −x .

94.- Halle m.c.d. y m.c.m. de los polinomios 12)( 2 −−= xxxA y

168)( 2 +−= xxxB . Sol.: ( )4−x y ( ) ( )342 +− xx .

95.- Calcule 22 10

52

5

6

2

3

x

x

xx

−+− . Sol.:

2

1

x

x−

96.- Calcule 442

3

2

22 −

−−

++ x

x

xx

x. Sol.:

82

6742

2

−

+−

x

xx.

97.- Calcule x

xx

x

x 6

2

12 2 −+⋅

−+

. Sol.: x

xx 372 2 ++.


562

+−+

xx

x. Sol.:

2

2

3

1823

x

xx +−


12:

1

9352

2

2

23

−+

++

−

++−

xx

xx

x

xxx. Sol.:

( ) ( )( )2

2

1

33

+

+⋅−

x

xx

100.- Efectúe y simplifique

−

−

−1

21:2

2xxxx .


−

−

−+

−

−5

1

45:

22

2

23

2

x

xx

xx

xx


−

−

−+

−

−3

1

23:

22

2

2 x

xx

xx

x.

103.- Efectúe y simplifique ( )1

:12

:12

−−

−−−

x

xx

x

xxx .


−−

−+ 1

22:2

1

12

2

x

x

x.

105.- Dadas las funciones xxxf 32)( 2 += y 2

1)(

−=x

xg , se pide ))(( xgf o y

))(( xfg o .

106.- Calcule los siguientes límites:

a) )11(lim −−++∞→

xxx

b) 13

132lim

24

24

1 −+−

+−−→ xxx

xx

x

107.- Calcule los siguientes límites: a) 1

25

2 +

−+∞→ x

xlimx

b) xx

xxlimx 3

962

2

3 −

+−→

.

108.- Determina a y b para que el polinomio sea divisible

por x-2 y por x+3.

109.- Calcula y simplifica: a) b)

110.- Dadas las funciones

a) Determina su dominio.

b) (f+g)(x) y su dominio

c)

111.- Calcula la función inversa de cada función y comprueba que son inversas:

112.- Representar gráficamente las siguientes funciones:

113.- a)

b) Desarrolla y expresa en función de los logaritmos de p,q y r

c) Opera y simplifica

114.- Determina a y b para que el polinomio sea divisible

por x-2 y la división de este polinomio por x+1 tenga como resto -3.





c)



119.- a)

b) Desarrolla y expresa en función de los logaritmos de p,q y r

c) Resuelve

120.- Halla los siguientes límites:

121.- Halla el m.c.m. y el m.c.d. de los polinomios y





c)



126.- a)Resuelve

b) Halla el valor de a si se cumple

127.- a) Determina m y n para que la división del polinomio entre x -2 sea exacta, y la división de este

polinomio por x + 1 tenga como resto -3.

b) Calcula y simplifica:




c)



131.- Determine el valor de p para que sea continua la función

≥+

<−−=

0

0)(

2 xsipx

xsipxxf . Represente gráficamente la función.

132.- Utilizando la definición de derivada y dada x

xf1

)(−

= , calcule )(xf ′ .

133.- Derive y simplifique las siguientes funciones:

a) x

xxf

ln)( = b)

3

2 3)(

x

xxg

−= c) xxxh −⋅+= 11)( d) xsenexm

2

)( =

134.- Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada por

2

3)(

−+

=x

xxf en el punto de abcisa 3=x .

135.- Estudie la monotonía y determine los extremos de la función

xxx

xf 62

5

3)(

23

+−= .

136.- Determine el valor de p para que sea continua la función

≥+

<+=

23

23)(

2 xsix

xsipxxf . Represente gráficamente la función.

137.- Halle las tangentes a la curva dada por xxy 23 −= paralelas a la recta

xy = .

138.- Dada la función mx

mxxf

++

=2

1)(

2

halle el valor de m para que

12

1=

′f .

139.- Halle la tangente a la curva dada por 2

1)(

xxf

−= en los puntos de

ordenada –1.


a)

+−

=1

1ln)(x

xxf b)

2

2

5

352)(

x

xxxg

−+= c) ( )221)( xxxh −−= d) xexm 35)( =


a) ( )( )11)( 33 +−= xxxf b)37

2)(

2 −=x

xxf c) xxxxf −= ln)( d) 3)( xsenxxf +=

142.- Determine los extremos relativos de la función 45 673)( xxxf −+= .


1.- 45 673)( xxxf −+= 2.- 3)( xxf = 3.- 2

2

1

)(x

xxf =

4.- 22

1

)( xxxf ⋅= 5.- xsenxxf =)( 6.- ecxxtgxxf cossec)( +−=

7.- senxxxxf ++= 32)( 8.- xsenxxf cos)( += 9.- senxtgxxf ⋅=)(

10.- 2

cos)(

x

xxf = 11.-

x

xxf

ln)( = 12.-

3

2 3)(

x

xxf

−=

13.- x

xxf

ln)( = 14.-

2

5)(

x

xxf = 15.-

x

xxf =)(

16.- ecxsenxxf cos)( ⋅= 17.- 5ln2)( =xf 18.- ( )( )11)( −+= xxxf

19.- ( )( )( )111)( 2 +−+= xxxxf 20.- ( )( )11)( 33 +−= xxxf 21.- 2

3)(

x

xxf

+=

22.- 37

2)(

2 −=x

xxf 23.- 235 2)( −−− −+= xxxxf 24.- xxxxf −= ln)(

25.- 3)( senxxf = 26.- 3)( xsenxxf += 27.- xsenxxf 253)( ⋅=

28.- 3 2)( senxxf = 29.- ( )xsenxf ln)( = 30.- xtgxf 3)( =

31.- ( )

x

xxf

2

3)(

32 −= 32.- ( )34cos)( 23 −= xxf 33.- ( )612)( += xxf

34.- 2

2

)2(

)2()(

+

−=x

xxf 35.- 3

1

2 )1()( −= xxf 36.- x

xxf

−+

=1

1)(

37.- xxxf −⋅+= 11)( 38.- ( )212

)(+

=x

xf 39.- ( ) 41)(

−+= xxf

40.- 1

1ln)(

2

2

−

+=

x

xxf 41.-

x

xxf

+−

=1

1ln)( 42.-

2)(

xx eexf

−+=

43.- xxf 25)( = 44.- xx

xx

ee

eexf

−

−

+

−=)( 45.- ( )221)( xxxf −−=

46.- 2

1

1

1)(

+−

=x

xxf 47.- xxxf 2cos)( = 48.- 2sec)( xxf =

49.- senxxf ln)( = 50.- xxf 2cosln)( =

144.- Tras un estudio demográfico se ha determinado que el número de habitantes de una población, en los próximos años, vendrá dado por la

función 12

720014500)(

++

=x

xxf , donde x es el número de años

transcurridos de ahora en adelante. Calcule la variación media de la

población entre x = 2 y x = 4, así como la variación instantánea

transcurridos cinco años.

145.- Una bacteria ha infectado a un número de personas dado por la función xxxf −−= 22210)( , siendo x el número de días transcurridos

desde que se detecta la enfermedad. Calcule la variación media del

número de personas infectadas entre el tercer y el quinto día.

146.- Compruebe que no existe ningún valor de x que anule a la primera

derivada de la función x

x

e

exf

+=1

)( , y que para x = 0 se anula la

derivada segunda.

147.- Determine el valor, que para x = 1, toma la derivada de la función xexxxxf x ln4ln)1(32)( 5 +−−= .

148.- Se considera la función ( )32 87)( −+= xxxf . Halle su derivada

desarrollando primeramente la potencia y luego aplicando la regla de la

cadena. ¿Se obtiene el mismo resultado?

149.- ¿ En qué punto de la curva de la función xxxxf −= ln)( la pendiente

de la tangente vale 1?

150.- Halle la ecuación de la recta tangente a la curva xxf ln)( = paralela a

la recta 23 =− yx .

151.- Utilizando la definición de derivada y dada 1)( += xxf , calcule

)(xf ′ .


a) senxtgxxf ⋅=)( b) x

xxf

ln)( = c) 3)( senxxf = d)

1

3)(

2

2

+

−=x

xxg

153.- Halle las dimensiones que hacen máximo el volumen de una piscina de base cuadrada si la superficie total a recubrir es de 192 metros

cuadrados.

Jun 08

Sept 08

Jun 09

Jun 09

Sept 09

Jun 10 Fase

general

Jun 10 Fase

específica

OPTIMIZACION

Jun 12 Fase

general

Jun 12 Fase

específica

Julio 12 Fase

general

Julio 12 Fase

específica

Jun 13 Fase

general

Jun 13 Fase

específica

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Sucesos

EJERCICIO 1 : Extraemos dos cartas de una baraja española y vemos de qué palo son. a) ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuántos elementos tiene? b) Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos.: A = "Las cartas son de distinto palo"

B = "Al menos una carta es de oros" C = "Ninguna de las cartas es de espadas" c) Halla los sucesos B ∪ C y B' ∩ C.

EJERCICIO 2 : De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos. A = "Mayor que 6" B = "No obtener 6" C = "Menor que 6" c) Halla los sucesos A ∪ B , A ∩ B y B' ∩ A'.

EJERCICIO 3 : Lanzamos dos dados sobre la mesa y anotamos los dos números obtenidos. a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? b) Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos: A = "Obtener al menos un cinco" B = "La suma de los resultados es menor que 4" C = "La suma de los resultados es igual a 7" c) Halla los sucesos A ∩ B y B ∩ C'.

Probabilidad

EJERCICIO 4 : De dos sucesos, A y B, sabemos que: P[A' ∩ B'] = 0 P[A' ∪ B´] = 0,5 P[A'] = 0,4 Calcula P[B] y P[A ∩ B].

EJERCICIO 5 : Teniendo en cuenta que: P[A ∪ B] = 0,9 P[B'] = 0,4 P[A ∩ B] = 0,3 Halla P[A] y P[A' ∩ B].

EJERCICIO 6 : A partir de esta probabilidades: P[A ∪ B´] = 0,8 P[A'] = 0,5 P[A ∩ B] = 0,2 Calcula P[B] y P[A ∪ B].

EJERCICIO 7 : Sabiendo que: P[A] = 0,5 P[B'] = 0,6 P[A' ∩B´'] = 0,25 a) ¿Son A y B sucesos independientes? b) Calcula P[A ∪ B] y P[A / B].

EJERCICIO 8 : Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que: P[A'] = 0,6 P[B] = 0,3 P[A' ∪ B´] = 0,9 a) ¿Son independientes A y B? b) Calcula P[A' / B].

EJERCICIO 9 : Teniendo en cuenta que A y B son dos sucesos tales que: P[A'] = 0,5 P[A ∩ B] = 0,12 P[A ∪ B] = 0,82 a) ¿Son independientes A y B? b) Calcula P[B´/ A].

EJERCICIO 10 : De dos sucesos, A y B, de un espacio probabilístico, sabemos que: P[B´] = 0,5 P[A' ∩ B] = 0,3 P[B´∩ A] = 0,4 Calcula P[A] y P[A ∪ B].

EJERCICIO 11 : De dos suceso, A y B, sabemos que P(A) = 1/2; P(B´ )= 2/3 y P(A´∪ B´) = ¾ Calcula: P(A ∩ B), P(A/B) y P(B/A´)

EJERCICIO 12 : Sean A y B dos sucesos tales que: P[A' ∪ B´] = 0,7 P[A'] = 0,2 P[B] = 0,4. Halla P[A ∪ B] y P[A' ∩ B].

EJERCICIO 13 : Sean A y B dos sucesos tales que: P(A´ )= 0,6; P(B) = 0,3; P(A ∩ Β) = 0,1 Calcula P(A ∪ Β), P(A´ ∪ B´); P(B/A)

EJERCICIO 14 : Sabiendo que: P(A∩́ B´) = 0,2; P(A) = 0,3; P(A ∩ B) = 0,1. Calcula P(B), P(A/B) y P(A ∪ B)

EJERCICIO 15 : En un espacio probabilístico consideramos dos sucesos, A y B, que cumplen lo siguiente: P[A' ∪ B] = 0,4 P[B] = 0,7 P[A ∩ B] = 0,1 Calcula P[A] y P[A ∪ B].

EJERCICIO 16 : Sabiendo que: P[A ∪ B] = 0,6 P[A'] = 0,6 P[A ∩ B'] = 0,2 Calcula P[A ∩ B] y P[B].

EJERCICIO 17 : Teniendo en cuenta que A y B son dos sucesos tales que: P[A ∩ B] = 0,2 P[A' ∩ B´] = 0,3 P[A] = 0,5 Halla P[B] y P[B' ∩ A].

EJERCICIO 18 : A partir de las siguientes probabilidades: P(A) = 0,75; P(B´) = 0,50; P(A´∩ B´) = 0,05 Calcula: P(A ∪ B), P(A ∩ B) y P(A/B)

Problemas

EJERCICIO 19 : Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

EJERCICIO 20 : Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros.c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.

EJERCICIO 21 : En un pueblo hay 100 jóvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de chicas en el pueblo es de 45. Si elegimos un joven de esa localidad al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico? b) Si sabemos que juega al tenis, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis?

EJERCICIO 22 : Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son: - A 32 personas les gusta leer y ver la tele. - A 92 personas les gusta leer. - A 47 personas les gusta ver la tele. Si elegimos al azar una de esas personas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele? b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele? c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

EJERCICIO 23 : En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2 500 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2 100 vieron la película, 1 500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados: a) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate? b) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate? c) Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?

EJERCICIO 24 : Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? b) Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la primera urna?

EJERCICIO 25 : Una bola bolsa, A, contiene 3 bolas rojas y 5 verdes. Otra bolsa, B, contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. Lanzamos un dado: si sale un uno, extraemos una bola de la bolsa A; y si no sale un uno, la extraemos de B. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja? b) Sabiendo que salió roja, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de A?

EJERCICIO 26 : Una urna, A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola

de la urna A y, si sale cruz, la extraemos de B. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? b) Sabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?

EJERCICIO 27 : De los 30 asistentes a una fiesta se sabe que 10 son rubios, 5 castaños y 15 morenos. El 90% de los rubios tienen los ojos azules, el 20% de los castaños también, y lo mismo ocurre con el 40% de los morenos. Si elegimos una persona de la fiesta al azar, calcula la probabilidad de que: a) Tenga los ojos azules. b) Sea morena, si tiene los ojos azules.

EJERCICIO 28 : Una urna, I, contiene 3 bolas blancas, 2 rojas y una negra. Otra urna, II, contiene 2 bolas blancas, 3 rojas y 3 negras. Lanzamos una moneda al aire; si sale cara, extraemos una bola de la urna I, y si sale cruz, sacamos una bola de la urna II. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja? b) Si sabemos que la bola extraída ha sido roja, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la urna I?

EJERCICIO 29 : Tenemos dos urnas con las siguientes composiciones:

4 5

URNA I

6

1 2 3 7 8

URNA II

9

Lanzamos un dado. Si el resultado es par, sacamos una bola de la urna I y si es impar, sacamos una bola de la urna II. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la urna lleve un número par? b) Si sabemos que la bola extraída tenía un número par, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la urna I ?

EJERCICIO 30 : En una urna, I, hay 5 bolas rojas y 7 bolas negras. En otra urna, II, hay 6 bolas rojas y 8 negras. Con probabilidad 1/3 elegimos la urna I; y, con probabilidad 2/3, elegimos la urna II. Extremos una bola de la urna elegida. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja? b) Sabiendo que ha salido roja, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna II?

EJERCICIO 31 : Tenemos tres urnas con las siguientes composiciones: Urna I: Cinco bolas numeradas del 1 al 5. Urna II: 5 bolas blancas y 10 negras. Urna III: 6 bolas blancas y 8 negras. Extraemos una bola de la urna I. Si el número obtenido es par, sacamos otra bola de la urna II y si es impar, la sacamos de la urna III. a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca? b) Sabiendo que ha salido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna II?

EJERCICIO 32 : Una urna, I, contiene 5 bolas rojas y 3 blancas. Otra urna, II, tiene 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extrae una bola de la urna I y se introduce en la urna II. Finalmente, se extrae una bola de la urna II. Calcula la probabilidad de que: a) La segunda bola sea roja. b) La primera sea roja si la segunda lo es.

EJERCICIO 33 : En una empresa, el 40% de los trabajadores son mujeres. El 5% de los hombres ocupa un puesto directivo y el 10% de la mujeres también. Si elegimos una persona de la empresa al azar, calcula la probabilidad de que: a) Ocupe un puesto directivo. b) Sea una mujer, sabiendo que ocupa un puesto directivo.

EJERCICIO 34 : En una academia hay 60 alumnos matriculados. La tercera parte de ellos van a clase de inglés y las otras dos terceras partes van a clase de informática. De los que van a inglés, un 40% también va a francés. De lo que van a informática, un 25% también va a francés. Si elegimos un alumno al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que vaya a francés? b) Sabiendo que va a francés, ¿cuál es la probabilidad de que vaya también a informática?

MODELOS RESUELTOS

PLAN DE TRABAJO PARA SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS …º BACH MATEMÁTI… · EJERCICIO 14 : Dos socios...

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