PLAN DE RECUPERACIÓN Y REFUERZO

1.º BACHILLERATO. MATEMÁTICAS I.

NÚMEROS Y ÁLGEBRA.

Contenidos:

Significado y utilización de los números reales, su valor absoluto, el uso de desigualdades para definir y representar en la recta real intervalos de distinto tipo.Aproximaciones de números reales y cálculo de errores, así como el uso de la notación científica.Definición y uso de logaritmos y sus propiedades.

Resolución de ecuaciones: irracionales, logarítmicas y exponenciales.Planteamiento y resolución de problemas de la vida cotidiana mediante ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones mediante diferentes métodos.

TRIGONOMETRÍA Y NÚMEROS COMPLEJOS.

Contenidos:

Uso de las distintas unidades de medida de un ángulo. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Utilización de las fórmulas para las razones de los ángulos suma, diferencia de otros dos, así como del doble y mitad de un ángulo. Resolución de triángulos y de ecuaciones trigonométricas sencillas mediante la aplicación de teoremas y el uso de las fórmulas de transformaciones trigonométricas.Resolución de problemas geométricos diversos y contextualizados.

Significado de los números complejos como ampliación de los reales y representación en forma binómica, polar y gráfica. Operaciones elementales entre números complejos.

GEOMETRÍA.

Contenidos:

Operaciones geométricas con vectores libres en el plano.Cálculo del módulo de un vector, del producto escalar y del ángulo entre dos vectores.Utilización de bases ortogonales y ortonormales.Resolución de problemas de geometría métrica plana mediante el cálculo de las ecuaciones de la recta., el estudio de las posiciones relativas de rectas y la medida de distancias y ángulos.

Estudio de lugares geométricos del plano, incluidas las cónicas (circunferencia, elipse, hipérbola y parábola). Cálculo de sus ecuaciones.

ANÁLISIS.

Contenidos:

Identificación y análisis de las funciones reales de variable real básicas: polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, raíz, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y funciones definidas a trozos.Estudio del dominio, la composición de funciones y cálculo de la función inversa. Representación gráfica de funciones

Aplicación del concepto de límite de una función en un punto y en el infinito para el cálculo de límites, límites laterales y la resolución de indeterminaciones.

Estudio de la continuidad y discontinuidades de una función

Cálculo e interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. Cálculo de la recta tangente.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Utilizar procesos de razonamiento, de matematización y estrategias de resolución de problemas en contextos reales (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos), realizando los cálculos necesarios, comprobando las soluciones obtenidas y expresando verbalmente el procedimiento seguido. […]

2. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, realizando cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sentido crítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas […]

3. Identificar y utilizar los números reales sus operaciones y propiedades, así como representarlos en la recta para recoger, interpretar, transformar e intercambiar información cuantitativa y resolver problemas de la vida cotidiana, eligiendo la forma de cálculo más apropiada en cada caso. asimismo valorar críticamente las soluciones obtenidas, analizar su adecuación al contexto y expresarlas según la precisión exigida (aproximación, redondeo, notación científica...) determinando el error cometido cuando sea necesario; además, conocer y utilizar el valor absoluto para calcular distancias y el número e y los logaritmos decimales y neperianos para resolver problemas extraídos de contextos reales.Conocer y utilizar los números complejos y sus operaciones para resolver ecuaciones de segundo grado.

4. Analizar, simbolizar y resolver problemas contextualizados mediante el planteamiento y resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones; utilizando para ello el lenguaje algebraico, aplicando distintos métodos y analizando los resultados obtenidos.

5. Identificar y analizar las funciones elementales, dadas a través de enunciados, tablas, gráficas o expresiones algebraicas, que describan una situación real, a partir de sus propiedades locales y globales, y después de un estudio completo de sus características para representarlas gráficamente y extraer información práctica que ayude a interpretar el fenómeno del que se derivan.

6. Utilizar los conceptos de límite y continuidad de una función aplicándolos en el cálculo de límites y el estudio de la continuidad de una función en un punto o un intervalo, para extraer conclusiones en situaciones reales.

7. Utilizar las técnicas de la derivación para calcular la derivada de funciones y resolver problemas reales mediante la interpretación del significado geométrico y fisico de la derivada.

8. Utilizar las razones trigonométricas de un ángulo, de su doble, mitad, y las transformaciones, los teoremas del seno y coseno, y las fórmulas trigonométricas para aplicarlas en la resolución de ecuaciones, de triángulos o de problemas geométricos del mundo natural, artístico, o tecnológico.

9. Utilizar los vectores en el plano, sus operaciones y propiedades, para resolver problemas geométricos contextualizados, interpretando los resultados; además, identificar y construir las distintas ecuaciones de la recta y los lugares geométricos, reconociendo sus características y elementos.

No se trató el criterio:

10. Describir y comparar conjuntos de datos de distribuciones bidimensionales, con variables discretas o continuas, procedentes de contextos relacionados con el mundo científico y obtener los parámetros estadísticos más usuales […]

ACTIVIDADES TIPO DE LAS TRABAJADAS A LO LARGO DEL CURSO:

NÚMEROS Y ÁLGEBRA.

1. Realiza los siguientes cálculos simplificando y racionalizando los resultados al máximo:

a) b) c) d)

e) f ) g ) h)

i) j) k) l)

2. Escribe en forma de intervalo y representa:

a) b) c) d)

3. Halla y escribe en forma de intervalo, en caso de que se pueda, los siguientes conjuntos:

a ) ; b) ; c) ; d)

4. Aplica la definición de logaritmo y halla el valor de x en las siguientes expresiones:a) b) c) d)

5. Resuelve las ecuaciones: a) ; b)

c) ; d) ; e)

f) ; d)

6. Opera y simplifica todo lo que sea posible: a)

b) c)

7. Resuelve los sistemas siguientes, empleando el método de Gauss en el apartado a:

a ) b) c)

d) e) f)

8. Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2500 € y los vende, después de algún tiempo, por 2157,5 €. Con el equipo de música perdió el 10% de su valor y con el ordenador perdió el 15%. ¿Cuánto le costó cada artículo?

5 27+3 12−4 752· 223

23

2+ 22− 2

+22

1+ 5( )2· 1− 5( )

2

log x+1( )− log y=1x−2y= 3

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

x74

x225 ·2−2

1635 163 + 2 543 − 3 2503

27345

2 · 43

841053

63

5 − 35 + 3

x ∈R / x < 6{ } x ∈R / − 2 ≤ x < 5{ } x ∈R / x ≤ −3{ } x ∈R / − 2 < x < 0{ }

2x − 3 x − 3 = x + 3x5 + 2x3 −15x = 09x + 5 ·3x − 24 = 0

2x − y + z = 4x + y − 2z = −3

−x + 2y + 3z = 5

⎫

⎬⎪

⎭⎪

log2(x − y ) = 2log2 x − log2 y = 1

⎫⎬⎪

⎭⎪

log12

128= x log x3−25( )= 2logx+125= 2 log2 32x = 0,1

−3, 5⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ ∩ 8, 8⎤⎦⎥ ⎡

⎣⎢ −4, 3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ ∩ −3,1⎤⎦⎥

⎡⎣⎢−2, 6⎡

⎣⎢⎤⎦⎥ ∪ 0, 7⎤⎦⎥ ⎡

⎣⎢ −1,1⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ ∪ 1, 5⎤⎦⎥ ⎡

⎣⎢

x2 − 3xx2 − 9

− 2xx − 3

− 3x +1x + 3

=

x + x3+ 2x − 5

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟· xx +1

=

1x + 3

− 2x= 2−5xx2 + 3x

x2 +1( )2 + 6 = 5 x2 +1( )1− 2x3

= x + 13

x4 + x3 − 3x2 − 4x − 4 = 0

x + 3( )· x +1x − 3

− x2 −1x2 − 9

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 2 x +1( ) : 2− 8

x +1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

3x + 2y = 64logx − logy = 1

⎫⎬⎭

2x−24 = 4y

logx − logy = 1⎫⎬⎭

y2 = x2 −53y − x = 3

⎫⎬⎪

⎭⎪

9. Se compraron unas figuras de porcelana por 629 €. Se rompieron 3 y las que quedaron se han vendido 4 € más caras de lo que costaron. Si se ha obtenido un beneficio de 85 €, ¿cuántas piezas se compraron?

10. El área de un triángulo rectángulo es 60 m2 y la suma de los catetos 23 m. Halla la hipotenusa.

TRIGONOMETRÍA Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS.

11. Desde un punto A se divisan otros dos puntos B y C y las dos líneas visuales forman un ángulo de 52º 29’ . Se sabe que B y C distan entre sí 450 m y que A y B están separados 500 m. Averigua la distancia que hay entre A y C.

12. Resuelve el triángulo cuyos lados b y c miden 10 cm y 7 cm, respectivamente, y cuyo ángulo A mide 60º.

13. Un edificio tiene una altura de 18 m. Desde una ventana que hay en una de sus fachadas, cuelga una cuerda que una persona tensa y la ancla al piso de la calle. Si desde el punto de anclaje el ángulo de elevación hasta la parte más alta del edificio es de 60º y la cuerda mide 14 m, ¿a qué altura está la ventana?

14. Sea el triángulo del que se conocen los lados a = 10 cm y b = 20 cm, y también el ángulo A = 30º. Calcula el resto de datos de dicho triángulo y su área.

15. Resuelve los triángulos siguientes: a) b)

16. Resuelve las ecuaciones trigonométricas: a) ; b)

c ) d) e)

NÚMEROS COMPLEJOS.

17. Calcula:

a) b) c) ; d) e)

18. Halla los números complejos z que cumplen: a) b) 19. a) Determina el valor de a para que el número complejo sea imaginario puro.

b) Halla los valores de a y b para se se cumpla:

cos x= sen 2x cos 2x+3sen x= 2

2+ i( )· 1−2i( )2

2− i2+2i( )· 2( )π

31+ i( )5230º+560º

a−5i( )2

sen2x − cos2x − cos2x = 1sen2xtag x

+ cos2x = 1senx + cos x = 2

4− 2i( )i51+ i

z = 1− i1+ i

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

z4 +16 = 0

5 a + 2i( ) = 3+ i( ) b− i( )

20. a) Calcula el módulo y el argumento del número

b) Expresa en forma binómica el número

21. Realiza las siguientes operaciones con números complejos y expresa los resultados en forma binómica: a ) ; b) ; c)

GEOMETRÍA ANALÍTICA. CÓNICAS.

22. Halla el módulo y el ángulo que forman el par de vectores u = (2, 1) y v = (- 1, 3).

23. Dados los vectores y , calcula: a) ; b) ; c)

24. Determina el valor de k para que Los vectores y sean ortogonales. 25. Dados los vectores y , se pide:

a)Expresa el vector como combinación lineal de y

b) Calcula

c) Calcula el ángulo que forman y

26. Las rectas forman un triángulo ABC. Calcula las coordenadas de los tres vértices y el perímetro del triángulo.

27. a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, 1) y que es paralela a b) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(0, - 2) y es perpendicular a

la recta cuya ecuación es 28. En el triángulo cuyos vértices son los puntos A(- 3, 1), B(1, 5) y C(4, 0), halla:

a) La ecuación de la recta h que contiene a la altura trazada desde el vértice B.b) La ecuación de la mediatriz m del lado AB.

29. Comprueba que el triángulo de vértices A(2, 3), B(3, 1) y C(—1, —1) es rectángulo hallando

las rectas que contienen a sus lados y viendo que son perpendiculares. Halla el perímetro de dicho triángulo.

30. Escribe la definición del lugar geométrico que es la parábola cuya directriz es la recta x = - 5 y cuyo foco es el punto F(5, 0). Halla su ecuación a partir de esta definición.

31. Escribe la definición del lugar geométrico que es la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos A(1, 2) y B(4, 5). Halla su ecuación a partir de esta definición.

32. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son A(1, 2), B(4, 5) y C(0, 3).

33. Calcula el punto simétrico de P(3, 5) con respecto a la recta r: x - 4y = 0.

−2−2 i

1π6

1+ i2− i

+ −3− 2i1+ 3i

−2+ 2i( )5 2+ 12 i

y= 12x+3

2x+ y=−3

r : 3x− y−4= 0 , s : 3x−4y+11= 0 y t : 3x+2y−1= 0

u 12, −1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ v

0, − 2( ) u

−2u+ 3v

2u· (−2v)

a(1, 3) b

(6, k)

u(−1, 0) v

(1, 2)

w(4, 6) u

v

proyu v

u

v

34. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(- 1, 3) y tiene dirección v = (2, 1) en todas las formas que conozcas, indicando el nombre que recibe cada una de ellas.

FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD.

35. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) ; b) ; c) ; d)

36. Halla las inversas de las siguientes funciones y los dominios de las cuatro:

a) ; b)

37. Dadas las funciones y

a) Halla g (f (0)), g (f (8)), g (f (- 1)), f (g (- 1))

b) Halla las ecuaciones de las funciones y

38. a) Representa la función después de estudiar y detallar sus principales características.

b) Representa las funciones y

39. Halla el dominio de las funciones:

40. Estudia si la función siguiente es continua en x = - 1 y en x = 1 e indica el tipo de discontinuidad que presenta si es el caso:

41. Representa la función siguiente y estudia su continuidad, clasifica sus discontinuidades y halla sus asíntotas.

42. Halla y para las funciones y

43. Dada la siguiente función, estudia su continuidad, clasifica sus discontinuidades y halla sus asíntotas.

a) b) c)

44. Calcula los siguientes límites: a) b)

c) d) e) f)

g(x)=x2−1, si x<03x−5

, si x>0

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

f (x)= x

x2− x

g(x)=x2−1, si x<03x−5

, si x>0

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

(g ! f )(x) ( f ! g)(x) f (x)= x2−1 g(x)= 2x−1

f (x)=

2x+1x+1

, si x<0

x2−2x+3x−3

, si x≥0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

limx→∞

x2−5x+6x2−4

limx→2

x2−5x+6x2−4

limx→ 0

x2 − 7x4x

limx→−3

x + 3x2 + 4x + 3

f (x) = x3

x2 − 4

limx→ ∞

1− x(2x +1)2 lim

x→ −∞

1−12x2

3x2

f (x) =− x −1, si x < −11− x2, si −1< x <1x −1, si x ≥1

⎧

⎨⎪

⎩⎪

j(x) = 16 − 3x

g(x) = 1− x2

(x − 2)2 h(x) = x − x2f (x) = xx

f (x) = 2x − 4

g(x) = 4 − 1x

f (x) = xx − 4

g(x) = x2

g f f g

f (x) = 2x2 − 4x − 6

g(x) = 2x2 − 4x − 6 h(x) =2x2 − 4x − 6, si x ≤ 3−x + 6, si x > 3

⎧⎨⎩

45. Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en x = - 2.

46. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) ; b) ; c) ; d)

47. Halla las inversas de las siguientes funciones y los dominios de las cuatro:

a) ; b)

48. Dadas las funciones y

a) Halla g (f (0)), g (f (8)), g (f (- 1)), f (g (- 1))

b) Halla las ecuaciones de las funciones y

49. a) Representa la función después de estudiar y detallar sus principales características.

b) Representa las funciones y

50. a) Indica las principales características de la función f(x) = 2x . Represéntala.b) A partir de la gráfica de la función anterior, representa la función g(x) = 2x - 3.c) Halla la función inversa g - 1(x) y represéntala a partir de la gráfica de g(x).

DEFINICIÓN DE DERIVADA. CÁLCULO Y APLICACIONES.

51. Aplica la definición de derivada para hallar la derivada de la función en x = 2, en x = — 1, y su forma genérica en x = a

52. Halla las derivadas de las funciones siguientes, usa la regla de la cadena en caso necesario:

a) e) i)

b) f) j)

c) g) k)

d) h) i)

53. Halla los puntos de tangente horizontal a la gráfica de la función

54. Halla los puntos singulares de y = 2x 3 – 3x 2 – 12x + 3 y determina los intervalos donde crece o decrece.

f (x) =3x3 + 6xx + 2

, si x ≠ −2

k , si x = −2

⎧⎨⎪

⎩⎪

g(x) = 1− x2

(x − 2)2f (x) = x

x h(x) = x − x2 j(x) = 16 − 3x

f (x) = 2x − 4

g(x) = 4 − 1x

f (x) = xx − 4

g(x) = x2

g f f gf (x) = 2x2 − 4x − 6

g(x) = 2x2 − 4x − 6 h(x) =2x2 − 4x − 6, si x ≤ 3−x + 6, si x > 3

⎧⎨⎩