Pl Problemas Tecnicas

Coleccion de problemas de formulacion de modelos de

Programacion Lineal

Alvaro Garcıa Sanchez, Miguel Ortega Mier

3 de marzo de 2013

5

Indice

1. 71.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7




5. 245.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24









1


15.Ejercicio 5415.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5415.2. Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54






21.Ejercicio MME-1213-ENE-2 6121.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6121.2. Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61




25.Ejercicio 6825.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68



2


29.Ejercicio MME-1213-ENE-3 7429.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7429.2. Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74









38.Ejercicio 8838.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8838.2. Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8838.3. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9038.4. Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9038.5. Enunciado MME-1213-ENE-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9138.6. Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


3


4

INDICE 6Indice

1 71.

1.1. Enunciado

Un fabricante de refrescos FR produce tres modalidades (A, B y C), cada una en su propio formato:de 3 litros, 2 litros y 1 litro, respectivamente. Este fabricante esta comprometido a entregar a un grandistribuidor GD (su unico cliente) exactamente 20000 litros diarios de refrescos. Dispone de 25000 gramosdiarios de un saborizante del que cada modalidad consume por botella: la botella de 3 litros, 2 gramos; lade 2 litros, 3 g; y la de un litro, 4 g. Conocidos los datos economicos de A, B y C, y siendo xj los miles debotellas de la modalidad j a envasar diariamente, FR ha planteado el siguiente modelo de programacionlineal (c y b estan expresados en miles):

max z = 5x1 + 6x2 + 8x3

s.a.

2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 25

3x1 + 2x2 + 1x3 = 20

x1, x2, x3 ≥ 0

(1)

1. Obtener el plan optimo de envasado de FR.

2. Determinar el significado de los multiplicadores del simplex de las dos restricciones.

3. A FR le preocupa la posibilidad de que su proveedor de tapones (iguales para las tres modalidades)restrinja su suministro a un maximo de 6000 tapones diarios. Como ejercicio de postoptimizacion,introducir esta nueva restriccion y determinar su repercusion.

4. Mediante el correspondiente analisis de sensibilidad, determinar la repercusion en elmix de envasadode posibles cambios en los precios de venta de las dos modalidades de menor capacidad, B y C (x2

y x3).

5. Determinar la validez del mix de produccion ante posibles variaciones en la demanda total derefrescos, que se traducirıan en un mayor o menor volumen a entregar diariamente a GD, utilizandoel analisis de sensibilidad.

6. El formato de 3 litros (modalidad A, x1) puede estar especialmente afectado por los cambios enlos mercados de refrescos y materias primas. Mediante la programacion parametrica, analizar elconjunto de diferentes planes de envasado y sus resultados en funcion de cualquier valor no negativode la contribucion unitaria al beneficio del producto A.

7. El gran distribuidor GD exige que las entregas diarias sean multiplos exactos de mil para cadamodalidad. A partir de la resolucion del apartado a) de la pregunta anterior, plantear un planosecante de correspondiente al algoritmo de Gomory y, sin realizar ninguna iteracion, introducir larestrccion correspondiente en la tabla de la solucion optima hasta el momento.

1.2. Resolucion

max z = 5x1 + 6x2 + 8x3

s.a.

2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 25

3x1 + 2x2 + 1x3 = 20

x1, x2, x3 ≥ 0

(2)

1 8El problema se puede reformular de la siguiente manera, convirtiendo las desigualdades en igualdades(identido al problema anterior en terminos del sistema que representa):

max z = 5x1 + 6x2 + 8x3

s.a.

2x1 + 3x2 + 4x3 + h1 = 25

3x1 + 2x2 + 1x3 = 20

x1, x2, x3 ≥ 0

(3)

No existe solucion basica factible inmediata, por lo que es necesario utilizar el metodo de las dos faseso de la M grande. En el primer caso, se construye el siguiente problema auxiliar P ′:

max z = −a

s.a.

2x1 + 3x2 + 4x3 + h1 = 25

3x1 + 2x2 + 1x3 + a = 20

x1, x2, x3, a ≥ 0

(4)

Apartado 1. Para el problema P ′ es posible encontrar una solucion basica factible de partida con lasactividades basicas h1 y a, con valores h1 = 20 y a = 20. Al aplicar el metodo del Simplex, en su variantede la matriz completa, para esa solucion basica se obtiene la siguiente tabla:

x1 x2 x3 h1 a20 3 2 1 0 0 (V B fase 1)0 5 6 8 0 0 (V B fase 2)

h1 25 2 3 4 1 0a 20 3 2 1 0 1

Introduciendo en la base x1 y sacando a, se obtiene:

x1 x2 x3 h1 a0 0 0 0 0 -1 (V B fase 1)

-100/3 0 8/3 19/3 0 -5/3 (V B fase 2)h1 35/3 0 5/3 10/3 1 -2/3x1 20/3 1 2/3 1/3 0 1/3

La tabla anterior corresponde a una solucion del problema P ′ donde a = 0, por lo que es una solucionbasica factible del problema original, pero no optima, porque no cumple V B ≤ 0. Introduciendo en labase x3 y sacando h1, se obtiene:

x1 x2 x3 h1 a0 0 0 0 0 -1 (V B fase 1)

-111/2 0 -1/2 0 -19/10 -2/5 (V B fase 2)x3 7/2 0 1/2 1 3/10 -1/5x1 11/2 1 1/2 0 -1/10 2/5

La tabla anterior corresponde a la solucion optima del problema original (V B ≤ 0). El programa deproduccion optimo consiste en:

Producir 5500 refrescos de 1/3l, ningun refresco de 1/2l y 3500 de 1l.

Se consumen todo el material disponible para producir las botellas (h1 = 0)

1 9Apartado 2. Los multiplicadores del simplex (πB = cBB−1) se pueden calcular, a partir de la tabla,de la siguiente manera:

πB1 = −V B

h1= 19/10

πB2 = −V B

a = 2/5

La interpretacion de los mismos es la siguiente:

πB1 = 19/10. Si Δb1 = 1 ⇒ Δz = 19/10. La empresa estarıa dispuesta a pagar hasta 1900 unidades

monetarias para disponer de 1 kg mas diariamente. Igualmente, estarıa dispuesta a vender 1 kg sirecibiera por ello cualquier cantidad superior a 1900 unidades monetarias.

πB2 = 2/5. Si Δb1 = 1 ⇒ Δz = 2/5. La empresa podria obtener un beneficio mayor (4/5) si el

compromiso fuera entrgar 21000 botellas y no 20000, por lo que este compromiso esta actuandocomo una limitacion. FR estarıa dispuesta a renegociar el compromiso para pasar a 21000 botellas,siempre y cuando esto no representara un coste para ella superior a 400 unidades monetarias.

Apartado 3. En terminos del planteamiento del modelo, la posibilidad descrita se traducirıa en lasiguiente restriccion:

x1 + x2 + x3 ≤ 6 ⇒ x1 + x2 + x3 + h3 = 6

Tras introducir la nueva restriccion y modificarla convenientemente para que x1, x3 y h3 sean lasvariables basicas, se obtiene la solucion correspondiente a la siguiente tabla, que es una solucion quecumple el criterio de optimalidad pero no es factible. Aplicando Lemke (sacando h3 e introduciendo h1)se obtiene la siguiente tabla.

x1 x2 x3 h1 h3

-111/2 0 -1/2 0 -19/10 0x3 7/2 0 1/2 1 3/10 0x1 11/2 1 1/2 0 -1/10 0

6 1 1 1 0 11/2 0 1/2 1 1/10 1

h3 -3 0 0 0 -1/5 1-111/2 0 -1/2 0 -19/10 0

x3 7/2 0 1/2 1 3/10 0x1 11/2 1 1/2 0 -1/10 0h3 -3 0 0 0 -1/5 1

-27 0 -1/2 0 0 -19/2x3 -1 0 1/2 1 0 3/2x1 7 1 1/2 0 0 -1/2h1 15 0 0 0 1 -5

La ultima tabla corresponde a una solucion no factible (x3 ≤ 0) y no existe ninguna tasa de sustitucionde esa variable con respecto a las no basicas que sea negativa. Al introducir la nueva restriccion el problemano tiene solucion factible. Si el proveedor de tapones hiciera como se dice, no serıa posible obtener unprograma de produccion que cumpliera con todas las restricciones.

Apartado 4. El rango de valores para c2 y c3 dentro del cual la composicion del mix de producciones el mismo que el obtenido se obtiene calculando los nuevos criterios del Simplex en funcion de dichosvariables.

En el caso de c2, como x2 no es una variable basica, si c2 se modifica, solo se modifica V B2 . En

particular:

V B2 = c2 − cBB−1A2 = c2 − πB

(32

)= c2 − 13/2 (5)

1 10El mix sigue siendo el mismo si c2 − 13/2 ≤ 0, es decir, si c2 ≤ 13/2El el caso de que cambie c3, como x3 es una variable basica, cambian los criterios del Simplex de todas

las variables (menos los de las basicas, que son 0). En particular:

V B = c− cBB−1A = c− cBp =(5 6 c3 0

)− (c3 5

)( 0 1/2 1 3/101 1/2 0 −1/10

)=

=(5 6 c3 0

)− (5 c3+5

2 c33c3−510

)=

(0 7− c3 0 3c3−5

10

) (6)

Es decir, el mix es el mismo si se cumple simultaneamente:

7− c3 ≤ 03c3−510 ≤ 0

⇒ c3 ≥ 7c3 ≥ 5/3

⇒ c3 ≥ 7 (7)

El mix es el mismo, siempre y cuando la contribucion unitaria al beneficio de cada botella de litro seaigual o superior a 7 unidades monetarias.

Apartado 5. La demanda de refrescos quedar reflejada en la segunda restriccion. Si cambia b2, lasolucion podrıa dejar de ser factible y, por lo tanto, dejar de ser optima.

uB = B−1b =

(3/10 −1/5−1/10 2/5

)(25b2

)=

(75−2b2

10−25+4b210

)≥ 0 ⇒ b2 ≤ 75/2

b2 ≥ 25/4(8)

Es decir, el mix es el mismo se 25/4 ≤ b2 ≤ 75/2, es decir, si la demanda supera los 6250 botellas ysi no supera los 37500.

Apartado 6.

T0 x1 x2 x3 h1

-111/2 0 -1/2 0 -19/10x3 7/2 0 1/2 1 3/10x1 11/2 1 1/2 0 -1/10

Sea c1 = λ, con 0 ≤ λ ≤ ∞. Si λ = 5, T ,0 es la tabla correspondiente a la solucion optima.Si λ modifica su valor, se modificara el vector de criterios del Simplex V B(λ). Siempre y cuando

V B(λ) ≤ 0 las actividades basicas seran x1 y x3, con los niveles de realizacion de la tabla T0. El criteriodel Simplex V B(λ) es:

V B(λ) = c− cBB−1A = c− cBp =(λ 6 8 0

)− (8 λ

)( 0 1/2 1 3/101 1/2 0 −1/10

)=(

0 − 4−λ2 0 λ−24

10

) (9)

Las variables basicas son x1 y x3 siempre y cuando V B(λ). Es decir:

4− λ ≤ 0λ− 24 ≤ 0

⇒ 4 ≤ λ ≤ 24 (10)

Si 4 ≤ λ ≤ 24, la tabla corresondiente a la solucion optima es T0(λ):

T0(λ) x1 x2 x3 h1

−28− 11λ/2 0 4−λ2 0 λ−24

10

x3 7/2 0 1/2 1 3/10x1 11/2 1 1/2 0 -1/10

1 11Si λ = 4, la tabla se convierte en T1, correspondiente a un optimo multiple. Introduciendo x2 ysacando x3 se obtiene una nueva solucion a la que le corresponde la tabla T2

T1 x1 x2 x3 h1

-50 0 0 0 -2x3 7/2 0 1/2 1 3/10x1 11/2 1 1/2 0 -1/10T2 x1 x2 x3 h1

-50 0 0 0 -2x2 7 0 1 2 3/5x1 2 1 0 -1 -2/5

Si λ modifica su valor, se modificara el vector de criterios del Simplex V B(λ). Siempre y cuandoV B(λ) ≤ 0 las actividades basicas seran x1 y x2, con los niveles de realizacion de la tabla T2. El criteriodel Simplex V B(λ) es:

V B(λ) = c− cBB−1A = c− cBp =(λ 6 8 0

)− (6 λ

)( 0 1 2 3/51 0 −1 −2/5

)=(

0 0 λ− 4 2λ−185

) (11)

El criterio del Simplex de la tabla T2 nunca se anula para valores de λ tales que 0 ≤ λ ≤ 4Volviendo a la tabla T0(λ), si λ = 24, la tabla se convierte en la tabla T3, correspondiente a un

optimo multiple. Introduciendo h1 sacando x3 se obtiene la tabla T4 correspondiente a la solucion optimaalternativa:

T3 x1 x2 x3 h1

−160 0 -10 0 0x3 7/2 0 1/2 1 3/10x1 11/2 1 1/2 0 -1/10T4 x1 x2 x3 h1

−160 0 -10 0 0h3 35/3 0 5/3 10/3 1x1 20/3 1 2/3 1/3 0

De nuevo, Si λ modifica su valor, se modificara el vector de criterios del Simplex V B(λ). Siempre ycuando V B(λ) ≤ 0 las actividades basicas seran x1 y h1, con los niveles de realizacion de la tabla T4. Elcriterio del Simplex V B(λ) es:

V B(λ) = c− cBB−1A = c− cBp =(λ 6 8 0

)− (0 λ

)( 0 5/3 10/3 11 2/3 1/3 0

)=(

0 6−2λ3

24−λ3 0)

) (12)

El criterio del Sipmlex no se hace positivo para ningun valor de λ tal que λ > 24En resumen:

Variables basicas: x1 = 2 y x2 = 7 si 0 ≤ λ ≤ 4 con z = 42 + 2λ

Variables basicas: x1 = 11/2 y x3 = 7/2 si 4 ≤ λ ≤ 24 con z = 28 + 11λ/2

Variables basicas: x1 = 20/3 y h1 = 35/3 si 24 ≤ λ con z = 20λ/3

1 12Apartado 6. Los dos posibles plano de Gomory de la forma: −f0 +∑

fixi ≥ 0 serıan, en este caso,dos, uno por cada variable:

−1/2 + 1/2x2 + 3/10h1 ≥ 0 ⇒ 1/2x2 + 3/10h1 − h3 = 1/2

−1/2 + 1/2x2 + 9/10h1 ≥ 0 ⇒ 1/2x2 + 9/10h1 − h4 = 1/2

Si se introduce y modifica el primer plano secante, la tabla resultante serıa la siguiente:

x1 x2 x3 h1 h3

-111/2 0 -1/2 0 -19/10 0x3 7/2 0 1/2 1 3/10 0x1 11/2 1 1/2 0 -1/10 0

1/2 0 1/2 0 3/10 -1h3 -1/2 0 1/2 0 -3/10 1

La tabla final es la siguiente, correspondiente a una solucion no factible que cumple el criterio deoptimalidad, por lo que se podrıa aplicar el metodo de Lemke.

x1 x2 x3 h1 h3

-111/2 0 -1/2 0 -19/10 0x3 7/2 0 1/2 1 3/10 0x1 11/2 1 1/2 0 -1/10 0h3 -1/2 0 1/2 0 -3/10 1

2 132.

2.1. Enunciado

Un fabricante de refrescos FR produce tres modalidades (A, B y C), cada una en su propio formato:de 3 litros, 2 litros y 1 litro, respectivamente. Este fabricante esta comprometido a entregar a un grandistribuidor GD (su unico cliente) exactamente 20000 litros diarios de refrescos. Dispone de 25000 gramosdiarios de un saborizante del que cada modalidad consume por botella: la botella de 3 litros, 2 gramos; lade 2 litros, 3 g; y la de un litro, 4 g. Conocidos los datos economicos de A, B y C, y siendo xj los miles debotellas de la modalidad j a envasar diariamente, FR ha planteado el siguiente modelo de programacionlineal (c y b estan expresados en miles):

max z = 5x1 + 6x2 + 8x3

s.a.

2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 25

3x1 + 2x2 + 1x3 = 20

x1, x2, x3 ≥ 0

(13)

1. Obtener el plan optimo de envasado de FR.

2. Determinar el significado de los multiplicadores del simplex de las dos restricciones.

3. A FR le preocupa la posibilidad de que su proveedor de tapones (iguales para las tres modalidades)restrinja su suministro a un maximo de 6000 tapones diarios. Como ejercicio de postoptimizacion,introducir esta nueva restriccion y determinar su repercusion.

4. Mediante el correspondiente analisis de sensibilidad, determinar la repercusion en elmix de envasadode posibles cambios en los precios de venta de las dos modalidades de menor capacidad, B y C (x2

y x3).

5. Determinar la validez del mix de produccion ante posibles variaciones en la demanda total derefrescos, que se traducirıan en un mayor o menor volumen a entregar diariamente a GD, utilizandoel analisis de sensibilidad.

6. El formato de 3 litros (modalidad A, x1) puede estar especialmente afectado por los cambios enlos mercados de refrescos y materias primas. Mediante la programacion parametrica, analizar elconjunto de diferentes planes de envasado y sus resultados en funcion de cualquier valor no negativode la contribucion unitaria al beneficio del producto A.

7. El gran distribuidor GD exige que las entregas diarias sean multiplos exactos de mil para cadamodalidad. A partir de la resolucion del apartado a) de la pregunta anterior, plantear un planosecante de correspondiente al algoritmo de Gomory y, sin realizar ninguna iteracion, introducir larestrccion correspondiente en la tabla de la solucion optima hasta el momento.

2.2. Resolucion

max z = 5x1 + 6x2 + 8x3

s.a.

2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 25

3x1 + 2x2 + 1x3 = 20

x1, x2, x3 ≥ 0

(14)

2 14El problema se puede reformular de la siguiente manera, convirtiendo las desigualdades en igualdades(identido al problema anterior en terminos del sistema que representa):

max z = 5x1 + 6x2 + 8x3

s.a.

2x1 + 3x2 + 4x3 + h1 = 25

3x1 + 2x2 + 1x3 = 20

x1, x2, x3 ≥ 0

(15)

No existe solucion basica factible inmediata, por lo que es necesario utilizar el metodo de las dos faseso de la M grande. En el primer caso, se construye el siguiente problema auxiliar P ′:

max z = −a

s.a.

2x1 + 3x2 + 4x3 + h1 = 25

3x1 + 2x2 + 1x3 + a = 20

x1, x2, x3, a ≥ 0

(16)

Apartado 1. Para el problema P ′ es posible encontrar una solucion basica factible de partida con lasactividades basicas h1 y a, con valores h1 = 20 y a = 20. Al aplicar el metodo del Simplex, en su variantede la matriz completa, para esa solucion basica se obtiene la siguiente tabla:

x1 x2 x3 h1 a20 3 2 1 0 0 (V B fase 1)0 5 6 8 0 0 (V B fase 2)

h1 25 2 3 4 1 0a 20 3 2 1 0 1

Introduciendo en la base x1 y sacando a, se obtiene:

x1 x2 x3 h1 a0 0 0 0 0 -1 (V B fase 1)

-100/3 0 8/3 19/3 0 -5/3 (V B fase 2)h1 35/3 0 5/3 10/3 1 -2/3x1 20/3 1 2/3 1/3 0 1/3

La tabla anterior corresponde a una solucion del problema P ′ donde a = 0, por lo que es una solucionbasica factible del problema original, pero no optima, porque no cumple V B ≤ 0. Introduciendo en labase x3 y sacando h1, se obtiene:

x1 x2 x3 h1 a0 0 0 0 0 -1 (V B fase 1)

-111/2 0 -1/2 0 -19/10 -2/5 (V B fase 2)x3 7/2 0 1/2 1 3/10 -1/5x1 11/2 1 1/2 0 -1/10 2/5

La tabla anterior corresponde a la solucion optima del problema original (V B ≤ 0). El programa deproduccion optimo consiste en:

Producir 5500 refrescos de 1/3l, ningun refresco de 1/2l y 3500 de 1l.

Se consumen todo el material disponible para producir las botellas (h1 = 0)

2 15Apartado 2. Los multiplicadores del simplex (πB = cBB−1) se pueden calcular, a partir de la tabla,de la siguiente manera:

πB1 = −V B

h1= 19/10

πB2 = −V B

a = 2/5

La interpretacion de los mismos es la siguiente:

πB1 = 19/10. Si Δb1 = 1 ⇒ Δz = 19/10. La empresa estarıa dispuesta a pagar hasta 1900 unidades

monetarias para disponer de 1 kg mas diariamente. Igualmente, estarıa dispuesta a vender 1 kg sirecibiera por ello cualquier cantidad superior a 1900 unidades monetarias.

πB2 = 2/5. Si Δb1 = 1 ⇒ Δz = 2/5. La empresa podria obtener un beneficio mayor (4/5) si el

compromiso fuera entrgar 21000 botellas y no 20000, por lo que este compromiso esta actuandocomo una limitacion. FR estarıa dispuesta a renegociar el compromiso para pasar a 21000 botellas,siempre y cuando esto no representara un coste para ella superior a 400 unidades monetarias.

Apartado 3. En terminos del planteamiento del modelo, la posibilidad descrita se traducirıa en lasiguiente restriccion:

x1 + x2 + x3 ≤ 6 ⇒ x1 + x2 + x3 + h3 = 6

Tras introducir la nueva restriccion y modificarla convenientemente para que x1, x3 y h3 sean lasvariables basicas, se obtiene la solucion correspondiente a la siguiente tabla, que es una solucion quecumple el criterio de optimalidad pero no es factible. Aplicando Lemke (sacando h3 e introduciendo h1)se obtiene la siguiente tabla.

x1 x2 x3 h1 h3

-111/2 0 -1/2 0 -19/10 0x3 7/2 0 1/2 1 3/10 0x1 11/2 1 1/2 0 -1/10 0

6 1 1 1 0 11/2 0 1/2 1 1/10 1

h3 -3 0 0 0 -1/5 1-111/2 0 -1/2 0 -19/10 0

x3 7/2 0 1/2 1 3/10 0x1 11/2 1 1/2 0 -1/10 0h3 -3 0 0 0 -1/5 1

-27 0 -1/2 0 0 -19/2x3 -1 0 1/2 1 0 3/2x1 7 1 1/2 0 0 -1/2h1 15 0 0 0 1 -5

La ultima tabla corresponde a una solucion no factible (x3 ≤ 0) y no existe ninguna tasa de sustitucionde esa variable con respecto a las no basicas que sea negativa. Al introducir la nueva restriccion el problemano tiene solucion factible. Si el proveedor de tapones hiciera como se dice, no serıa posible obtener unprograma de produccion que cumpliera con todas las restricciones.

Apartado 4. El rango de valores para c2 y c3 dentro del cual la composicion del mix de producciones el mismo que el obtenido se obtiene calculando los nuevos criterios del Simplex en funcion de dichosvariables.

En el caso de c2, como x2 no es una variable basica, si c2 se modifica, solo se modifica V B2 . En

particular:

V B2 = c2 − cBB−1A2 = c2 − πB

(32

)= c2 − 13/2 (17)

2 16El mix sigue siendo el mismo si c2 − 13/2 ≤ 0, es decir, si c2 ≤ 13/2El el caso de que cambie c3, como x3 es una variable basica, cambian los criterios del Simplex de todas

las variables (menos los de las basicas, que son 0). En particular:

V B = c− cBB−1A = c− cBp =(5 6 c3 0

)− (c3 5

)( 0 1/2 1 3/101 1/2 0 −1/10

)=

=(5 6 c3 0

)− (5 c3+5

2 c33c3−510

)=

(0 7− c3 0 3c3−5

10

) (18)

Es decir, el mix es el mismo si se cumple simultaneamente:

7− c3 ≤ 03c3−510 ≤ 0

⇒ c3 ≥ 7c3 ≥ 5/3

⇒ c3 ≥ 7 (19)

El mix es el mismo, siempre y cuando la contribucion unitaria al beneficio de cada botella de litro seaigual o superior a 7 unidades monetarias.

Apartado 5. La demanda de refrescos quedar reflejada en la segunda restriccion. Si cambia b2, lasolucion podrıa dejar de ser factible y, por lo tanto, dejar de ser optima.

uB = B−1b =

(3/10 −1/5−1/10 2/5

)(25b2

)=

(75−2b2

10−25+4b210

)≥ 0 ⇒ b2 ≤ 75/2

b2 ≥ 25/4(20)

Es decir, el mix es el mismo se 25/4 ≤ b2 ≤ 75/2, es decir, si la demanda supera los 6250 botellas ysi no supera los 37500.

Apartado 6.

T0 x1 x2 x3 h1

-111/2 0 -1/2 0 -19/10x3 7/2 0 1/2 1 3/10x1 11/2 1 1/2 0 -1/10

Sea c1 = λ, con 0 ≤ λ ≤ ∞. Si λ = 5, T ,0 es la tabla correspondiente a la solucion optima.Si λ modifica su valor, se modificara el vector de criterios del Simplex V B(λ). Siempre y cuando

V B(λ) ≤ 0 las actividades basicas seran x1 y x3, con los niveles de realizacion de la tabla T0. El criteriodel Simplex V B(λ) es:

V B(λ) = c− cBB−1A = c− cBp =(λ 6 8 0

)− (8 λ

)( 0 1/2 1 3/101 1/2 0 −1/10

)=(

0 − 4−λ2 0 λ−24

10

) (21)

Las variables basicas son x1 y x3 siempre y cuando V B(λ). Es decir:

4− λ ≤ 0λ− 24 ≤ 0

⇒ 4 ≤ λ ≤ 24 (22)

Si 4 ≤ λ ≤ 24, la tabla corresondiente a la solucion optima es T0(λ):

T0(λ) x1 x2 x3 h1

−28− 11λ/2 0 4−λ2 0 λ−24

10

x3 7/2 0 1/2 1 3/10x1 11/2 1 1/2 0 -1/10

2 17Si λ = 4, la tabla se convierte en T1, correspondiente a un optimo multiple. Introduciendo x2 ysacando x3 se obtiene una nueva solucion a la que le corresponde la tabla T2

T1 x1 x2 x3 h1

-50 0 0 0 -2x3 7/2 0 1/2 1 3/10x1 11/2 1 1/2 0 -1/10T2 x1 x2 x3 h1

-50 0 0 0 -2x2 7 0 1 2 3/5x1 2 1 0 -1 -2/5

Si λ modifica su valor, se modificara el vector de criterios del Simplex V B(λ). Siempre y cuandoV B(λ) ≤ 0 las actividades basicas seran x1 y x2, con los niveles de realizacion de la tabla T2. El criteriodel Simplex V B(λ) es:

V B(λ) = c− cBB−1A = c− cBp =(λ 6 8 0

)− (6 λ

)( 0 1 2 3/51 0 −1 −2/5

)=(

0 0 λ− 4 2λ−185

) (23)

El criterio del Simplex de la tabla T2 nunca se anula para valores de λ tales que 0 ≤ λ ≤ 4Volviendo a la tabla T0(λ), si λ = 24, la tabla se convierte en la tabla T3, correspondiente a un

optimo multiple. Introduciendo h1 sacando x3 se obtiene la tabla T4 correspondiente a la solucion optimaalternativa:

T3 x1 x2 x3 h1

−160 0 -10 0 0x3 7/2 0 1/2 1 3/10x1 11/2 1 1/2 0 -1/10T4 x1 x2 x3 h1

−160 0 -10 0 0h3 35/3 0 5/3 10/3 1x1 20/3 1 2/3 1/3 0

De nuevo, Si λ modifica su valor, se modificara el vector de criterios del Simplex V B(λ). Siempre ycuando V B(λ) ≤ 0 las actividades basicas seran x1 y h1, con los niveles de realizacion de la tabla T4. Elcriterio del Simplex V B(λ) es:

V B(λ) = c− cBB−1A = c− cBp =(λ 6 8 0

)− (0 λ

)( 0 5/3 10/3 11 2/3 1/3 0

)=(

0 6−2λ3

24−λ3 0)

) (24)

El criterio del Sipmlex no se hace positivo para ningun valor de λ tal que λ > 24En resumen:

Variables basicas: x1 = 2 y x2 = 7 si 0 ≤ λ ≤ 4 con z = 42 + 2λ

Variables basicas: x1 = 11/2 y x3 = 7/2 si 4 ≤ λ ≤ 24 con z = 28 + 11λ/2

Variables basicas: x1 = 20/3 y h1 = 35/3 si 24 ≤ λ con z = 20λ/3

2 18Apartado 6. Los dos posibles plano de Gomory de la forma: −f0 +∑

fixi ≥ 0 serıan, en este caso,dos, uno por cada variable:

−1/2 + 1/2x2 + 3/10h1 ≥ 0 ⇒ 1/2x2 + 3/10h1 − h3 = 1/2

−1/2 + 1/2x2 + 9/10h1 ≥ 0 ⇒ 1/2x2 + 9/10h1 − h4 = 1/2

Si se introduce y modifica el primer plano secante, la tabla resultante serıa la siguiente:

x1 x2 x3 h1 h3

-111/2 0 -1/2 0 -19/10 0x3 7/2 0 1/2 1 3/10 0x1 11/2 1 1/2 0 -1/10 0

1/2 0 1/2 0 3/10 -1h3 -1/2 0 1/2 0 -3/10 1

La tabla final es la siguiente, correspondiente a una solucion no factible que cumple el criterio deoptimalidad, por lo que se podrıa aplicar el metodo de Lemke.

x1 x2 x3 h1 h3

-111/2 0 -1/2 0 -19/10 0x3 7/2 0 1/2 1 3/10 0x1 11/2 1 1/2 0 -1/10 0h3 -1/2 0 1/2 0 -3/10 1

3 193.

3.1. Enunciado

La empresa San Guemil fabrica dos tipos de cerveza, una lager y una pilsen, para lo cual necesitadisponer de malta, lupulo y levadura.

Cada metro cubico de lager requiere 50 kg de malta, 20 de lupulo y 2 de levadura. Cada metro cubicode pilsen necesita 60 kg de malta, 25 de lupulo y 2 de levadura. El beneficio que obtiene la empresa concada metro cubico de lager es de 140 um, mientras que con cada metro cubico de pilsen obtiene 150 um.San Guemil dipone de una tonelada de malta por semana, 250 kg de lupulo y 22 kg de levadura tambienpor semana.

El modelo de programacion lineal que permite obtener la produccion optima para cada semana quedadescrito por:

max z = 140x1 + 150x2

s.a. :

50x1 + 60x2 ≤ 1000

20x1 + 25x2 ≤ 250

2x1 + 2x2 ≤ 22

x1, x2 ≥ 0

(25)

donde x1 y x2 representan, respectivamente, los volumenes de produccion semanales (en m3) de lagery de pilsen.

La tabla del simplex correspondiente a la solucion optima del modelo anterior y, por lo tanto, al plande produccion optimo de San Guemil, es:

x1 x2 h1 h2 h3

-1600 0 0 0 -2 -50h1 390 0 0 1 -2 -5x2 6 0 1 0 1/5 -2x1 5 1 0 0 -1/5 5/2

donde h1, h2 y h3 son, respectivamente, las holguras correspondientes a las tres restricciones delmodelo lineal.

Se pide:

1. Indicar que uso se hace de cada una de las tres materias primas, ası como cual es el precio maximoque estarıa dispuesta a pagar San Guemil por disponer de 1 kg mas a la semana de cada una de lastres materias primas.

2. Indicar, para el caso del lupulo, cuantos kg adicionales estarıa dispuesta a adquirir y cuantos kg desu disponibilidad de lupulo estarıa dispuesta a vender semanalmente tomando como referencia elprecio indicado en el apartado anterior.

3. San Guemil esta valorando la posibilidad de producir un nuevo tipo de cerveza, que tiene una doblefermentacion. Esta nueva cerveza consume, por cada metro cubico producido, 70 kg de malta, 30de lupulo y 4 kg de levadura. Indicar el beneficio unitario mınimo que harıa rentable la producciony comercializacion de esta nueva cerveza.

4. San Guemil ha firmado un contrato de suministro con sus actuales clientes, por el cual se compro-mete a servir, conjuntamente entre lager y pilsen, un mınimo de 40 m3 al mes (considerese que unmes tiene cuatro semanas). Indicar cual es el nuevo plan de produccion optimo.

5. Si una determinada semana se decide reservar 10 kg de lupulo sin utilizar (h2 = 10), ¿como semodifica el plan optimo de produccion? ¿como se modifica el valor de la funcion objetivo?

3 203.2. Resolucion

Apartado 1. La utilizacion que se hace de los recursos es la siguiente:

de los 1000 kg de malta, queda 390 sin utilizar;

se consumen por completo los 250 kg de lupulo;

se consumen por completo los 22 kg de levadura;

El valor de una unidad adicional de cada recurso viene dado por el precio sombra de la restriccioncorresonpondiente. El vector de multiplicadores del simplex (precios sombra) es πB

i = −V Bhi, debido a

que todas las restricciones son de tipo menor o igual, por lo que πB = (0, 2, 50). Por lo tanto:

San Guemil no esta dispuesta a pagar nada por adquirir un kg adicional de malta (y estarıa dispuestoa vender un kg de malta a cualquier precio);

San Guemil esta dispuesta a comprar un kg adicional de lupulo si el precio de ese kg es inferior a2 um (estarıa dispuesta a vender un kg a un precio superior a 2 um);

igualmente, estarıa dispuesta a comprar un kg adicional de levadura a un precio inferior a 50 um/kg(y a vender uno de sus 22 kg disponibles a un precio superior a 50 um/kg);

Apartado 2. Al adquirir lupulo adicional a los 250 kg se modifica el vector de disponibilidad de losrecursos b = (1000, 250, 22)T . Por un lado:

el precio sombra de ese recurso (segunda componente de πB = cBB−1) cambiara si cambia la base(B);

la base se modifica, porque, al modificarse b, la solucion basica hasta ahora optima puede dejar deser factible (uB = B−1b).

El rango de valores dentro del cual el precio al cual San Guemil esta dispuesta a comprar un kg delupulo adicional a un maximo de 6um/kg es aquel para el cual uB ≥ 0:

uB = B−1b =

⎛⎝ 1 −2 −5

0 1/5 −20 −1/5 5/2

⎞⎠

⎛⎝ 1000

b222

⎞⎠ ⇒

1000− 2b2 − 110 ≥ 0b25 + 44 ≥ 0

− b25 + 55 ≥ 0

⇒b2 ≤ 440b2 ≥ 220b2 ≤ 275

⇒ 220 ≤ b2 ≤ 275

(26)

Por lo tanto, San Guemil esta dispuesta a comprar hasta 25 kg de lupulo a un precio inferior a 2um/kg (75 = 275-250) o a vender hasta 30 kg a un precio superior a 2 um/kg (30=250-220).

Apartado 3. La nueva variedad resultara un producto rentable si el criterio del simplex de la variablecorrespondiente (x3) es positivo. Es decir:

V B3 = c3 − cBB−1A3 = c3 − πBA3 = c3 − (0, 2, 50)

⎛⎝ 70

304

⎞⎠ = c3 − 260 ≥ 0 ⇒ c3 ≥ 260 (27)

Por lo que si el precio es superior a los 260 um/m3, sera interesante su produccion y comercializacion.

Apartado 4. San Guemil esta produciendo en la actualidad 11 m3, por lo que en la actualidad yaesta cumpiendo el compromiso de producir al menos 10m3. La restriccion que tendrıa la forma x1+x2 ≥ 10no modifica el plan optimo de produccion, de manera que el plan optimo de produccion serıa el mismo.

3 21Apartado 5. Reservar una cantidad de lupulo de 10 kg es equivalente a que h2 = 10. Cuando unavariable no basica entra a formar parte de la solucion, las tasas de sustitucion de esa variable con respectoa las basicas indican como se modifican los valores de estas al entrar aquella.

Las tasas de sustitucion de h3 son ph3 = (−2, 15 ,− 15 , 0)

T , por lo que:

h1 aumenta en 10× 2 = 20, con lo que sobran 20 kg mas de malta

x2 disminuye en 10× 15 = 2, con lo que se produce 2 m3 menos de pilsen, es decir, se producirıan 4

m3 semanales;

x1 aumenta en 10× 15 = 2, con lo que se producen 2 m3 mas de lager, es decir, se producirıan 7 m3

semanales.

Por su parte, la funcion objetivo se modificarıa de la siguiente manera: Δz = 10 × V Bh2

= 10× (−2),es decir, el beneficio serıa de 1580 um semanales.

4 224.

4.1. Enunciado

1Un avicultor AV ha determinado que sus necesidades semanales de acido ascorbico (AA) y β-caroteno

(βC) como suplemento al pienso comun son, como mınimo, de 15 y 3 kilogramos respectivamente. Ensu mercado local dispone de tres complejos suplementarios, de distinto precio y que contienen amboscomponentes en distintas proporciones. Siendo x1, x2 y x3 los kg semanales que comprarıa AV de cadauno de los tres complejos suplementarios CS1,CS2 y CS3, AV ha planteado el siguiente modelo deprogramacion lineal:

min z = 70x1 + 20x2 + 50x3

s.a. :

40x1 + 60x2 + 40x3 ≥ 15000

30x1 + 60x2 + 40x3 ≥ 3000

x1, x2, x3 ≥ 0

(28)

1. Explicar el significado de cada uno de los coeficientes que aparecen en el modelo.

2. Obtener el plan optimo de compra de complejos suplementarios al precio normal y describir lainformacion que suministra la matriz completa para esta solucion.

3. Si surge un nuevo proveedor que ofrece un complejo suplementario CSN a 80 �/Kg que contiene30 gramos de AA por kilogramo ¿cuanto βC por Kg deberıa contener como mınimo CSN para quele interesara a AV?

4. Realizar el analisis de sensibilidad de la solucion optima obtenida en 2 respecto a los precios de loscomplejos suplementarios CS1, CS2 y CS3.

4.2. Resolucion

Apartado 1 Los coeficientes de la funcion objetivo (70, 20, 50) son los precios por kg de CS1, CS2 yCS3. Los terminos independientes de las restricciones (15000, 3000)T son los requisitos mınimos de AAy βC medidos en gramos. Los coeficientes tecnicos indican los gramos de AA o de βC contenidos en unkilogramo de cada uno de los complejos suplementarios.

Apartado 2 La estructura del modelo se ajusta a la requerida para aplicar el metodo de Lemke. optima:

-z x1 x2 x3 xh1 xh2

0 -70 -20 -50 0 0xh1 -15000 -40 -60 -40 1 0xh2 -3000 -30 -60 -40 0 1

5000 -170/3 0 -110/3 -1/3 0x2 250 2/3 1 2/3 -1/60 0xh2 12000 10 0 0 -1 1

Solucion optima: AV comprarıa 250 kg/semana de CS2 con un coste de 5000 �/semana. De estaforma cumplirıa estrictamente el mınimo de AA y de βC suministrarıa a sus gallinas 12000 gramos (12kg) mas semanalmente de lo estrictamente necesario. Para que le interesara comprar CS1 o CS2, el preciodel suplemento deberıa bajar 170/3 �/kg (57 �/kg) y 110/3 �/kg (37 �/kg), respectivamente, pasandoen ambos casos a 40/3 �/kg (13 �/kg). Una disminucion de los requisitos de βC no tendrıa repercusioneconomica para AV (los cumple con holgura). Sin embargo, el valor de oportunidad de un gramo de AA es1/3 �, lo que significa que por cada kilogramo que disminuyeran o aumentaran las necesidades semanalesde AA en la granja, AV disminuirıa o aumentarıa sus costes en 333 �.

4 23Apartado 3 Como se acaba de ver, el contenido en βC de un nuevo CS le es indiferente, ya queeste requisito esta cumplido de sobra. Por lo tanto, el interes CSN radica en si su precio de 80 �/kgesta compensado por su contenido en AA medido mediante el valor de oportunidad, es decir, para queV BN = cN − πBAN = cN − πB

1 aN1 ≥ 0, debe suceder que cN ≥ πB1 aN1. Como lo que aporta CSN en

terminos de AA es πB1 aN1 = 30/3 = 10 �/kg y su precio es 80 �/kg ⇒ V B

N = −70 y no interesa CSN

sea cual fuera su contenido en βC.

Apartado 4 Para c1 y c3 ya se ha visto en el apartado b) que el intervalo correspondiente serıa [40/3,∞)en ambos casos. Como CS2 esta en la base de la solucion optima, si se expresa V B para esta en funcionde c2, resultarıa:

x1 x2 x3 xh1 xh2

5000 -70+2c2/3 0 -50+2c2/3 -c2/60 0x2 250 2/3 1 2/3 -1/60 0xh2 12000 10 0 0 -1 1

Para que no exista un V Bj > 0 debe darse que: c2 ≤ 105, c2 ≤ 75 y c2 ≥ 0 ⇒ c2 ∈ [0, 75] ya que si el

precio de CS2 sube de 75 �/kg AV pasarıa a comprar CS3.

5 245.

5.1. Enunciado

Dado el siguiente modelo de programacion lineal (MP):

max z = 5x1 + 2x2 − 9x3

s.a. :

x1 + x2 − x3 ≤ 6

x1 + 3x3 = 12

x1, x2, x3 ≥ 0

(29)

1. ¿Que afirma el Teorema Fundamental de la Programacion Lineal?¿Que implicaciones tiene en termi-nos de la busqueda de la solucion optima de un problema de Programacion Lineal? Para el problema(MP), indicar tres soluciones: una solucion no basica factible, una solucion basica factible y unasolucion basica no factible.

2. Plantear y resolver graficamente el problema dual de MP.

3. Por aplicacion del teorema de las holguras complementarias, determinar a partir de 2) la composicionde la solucion optima de MP ası como su correspondiente vector de criterios del simplex.

4. Explicar el significado de cada uno de los componentes del vector de criterios del simplex de lasolucion optima de MP obtenido en 3).

Postoptimizacion

5. Explicar la repercusion que podrıa tener para MP y para su dual la consideracion de una nuevarestriccion en MP (no es necesario mostrar ningun ejemplo numerico)

6. Ante la posibilidad de introducir en una nueva variable de accion xN en MP con los siguientesdatos: cN = 8 , a1N = 1 , a2N = 4 , analogamente a lo realizado en 2) y en 3), analizar graficamentesu repercusion en el modelo dual y su interes para MP.

6 256.

6.1. Enunciado

MME 1011 ENEUna empresa produce y comercializa tres tipos de productos, P1, P2 y P3, que sirve en pales, que

pueden o no estar completos (se puede entregar un pale a medio completar, medio pale, un cuarto depale, etc.) Por cada pale de estos productos, obtiene unos ingresos netos de 4, 12 y 2 unidades monetarias,respectivamente. Existe una instalacion de la que se dispone de un total de 6 dıas de trabajo a la semana.Producir un pale de P1 lleva 3 dıas, uno de P2 lleva 6 dıas y montar uno de P3 lleva 2 dıas. Ademas,existe un compromiso de entregar al menos el contenido conjunto equivalente a dos pales.

El siguiente modelo de programacion lineal permite obtener el plan de produccion optimo.

max z = 4x1 + 12x2 + 2x3

s.a. :

3x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 6

x1 + x2 + x3 ≥ 2

x1, x2, x3 ≥ 0

(30)

Donde xi representa el numero de pales producidos y servidos semanalmente de Pi, con i = 1, 2, 3. Elproblema tambien se puede formular como:

max z = 4x1 + 12x2 + 2x3

s.a. :

3x1 + 6x2 + 2x3 + h1 = 6

x1 + x2 + x3 − h2 = 2

x1, x2, x3, h1, h2 ≥ 0

(31)

Una solucion posible es aquella a la que le corresponde la siguiente tabla, obtenida con la aplicaciondel metodo del simplex en su variante de la matriz completa.

x1 x2 x3 h2 h1

-8 0 2 0 -2 -2x1 2 1 4 0 2 1x3 0 0 -3 1 -3 -1

Se pide:

1. Explicar el significado de las variables h1 y h2.

2. Indicar si la solucion a la que se refiere la tabla dada es optima y justificar por que.

3. Para la solucion optima del problema (sea la correspondiente a la tabla dada u otra obtenida apartir de ella) interpretar y explicar el programa de produccion obtenido, la utilizacion que se hacede la instalacion y el cumplimiento del compromiso comercial.

Para la solucion optima (cada uno de los siguientes apartados son independientes entre sı):

4. En que condiciones esta dispuesta la empresa a renegociar su compromiso de entregar un mınimode 2 pales.

5. Se ha realizado un estudio de mercado, y se sabe que no se pueden vender mas de 1 pale de P3 ala semana. Obtener el nuevo programa de produccion optimo con esa informacion.

6. Identificar el rango de valores para el ingreso por pale neto dentro del cual resulta interesanteproducir y vender el producto P2.

6 266.2. Resolucion

Apartado 1.

h1 representa el numero de dıas, de los 6 disponibles, que no se emplean en la produccion de pales.Es capacidad no utilizada.

h2 representa el numero de pales que se sirven por encima del compromiso de los dos pales adqui-ridos.

Apartado 2. La solucion correspondiente a la tabla dada no es la solucion optima, porque la variablex2 tiene criterio del simplex positivo (V B

2 = 2), de manera que la introducion de esta variable (producciony venta de P2) reportarıa un valor de la funcion objetivo mayor que 8.

Apartado 3. En primer lugar, hay que obtener la solucion optima del problema. A partir de la tabladada, aplicando el metodo del Simplex, se introduce la variable x2 y se suprime la variable x1.

x1 x2 x3 h2 h1

-8 0 2 0 -2 -2x1 2 1 4 0 2 1x3 0 0 -3 1 -3 -1

-9 -1/2 0 0 -3 -5/2x2 1/2 1/4 1 0 1/2 1/4x3 3/2 3/4 0 1 -3 /2 -1/4

La tabla obtenida corresponde a la solucion optima. El plan de produccion consiste en:

no producir nada de producto P1,

producir medio pale de producto P2,

producir un pale y medio de producto P3,

utilizar por completo los seis dıas de capacidad de produccion y

cumplir el compromiso comercial entregando el mınimo de producto pactado (dos pales),

con un beneficio semanal de 9 unidades monetarias.

Apartado 4. El precio sombra de la restriccion correspondiente al compromiso comercial (de tipo ≥)es πB

2 = V Bh2

= −3. De manera que Δzj|Δb2=1 = −3, por lo que:

la empresa estarıa dispuesta a asumir un compromiso de entrega superior a 2, siempre que recibieraalgun tipo de compensacion superior a 3 u.m. por cada pale adicional que se comprometiera aentregar por encima de esos dos.

la empresa estarıa dispuesta a ofrecer algun tipo de compensacion por relajar el compromiso deentrega, sin superar 3 u.m. por la relajacion del compromiso en un pale.

Apartado 5. La informacion adicional da lugar a la aparicion de una nueva restriccion: x3 ≤ 1. Comola produccion de P3 obtenida anteriormente es de 1.5 pales, dicha solucion no es factible y es necesarioobtener la nueva solucion. Introducciendo la nueva restriccion (que se puede formular como x3 + h3 = 1y aplicando el metodo de Lemke, se obtiene lo siguiente:

6 27x1 x2 x3 h2 h1 h3

-9 -1/2 0 0 -3 -5/2 0x2 1/2 1/4 1 0 1/2 1/4 0x3 3/2 3/4 0 1 -3 /2 -1/4 0

1 0 0 1 0 0 1-26/3 0 0 0 -4 8/3 -2/3

x2 1/3 0 1 0 1 1/3 1/3x3 1 0 0 1 0 0 1x1 2/3 1 0 0 -2 -1/3 -4/3

La tabla obtenida corresponde a la nueva solucion optima, cuyo plan de produccion consiste en:

producir 2/3 de pale de producto P1,

producir 1/3 de pale de producto P2,

producir un pale de producto P3,

utilizar por completo los seis dıas de capacidad de produccion y

cumplir el compromiso comercial entregando el mınimo de producto pactado (dos pales),

con un beneficio semanal de 26/3 unidades monetarias, menor que el que se obtenıa antes de larestriccion comercial.

Apartado 6. Resulta interesante producir y vender P2 mientras V B ≤ 0, ya que x2 es una variablebasica en la solucion optima

V B = c− cBB−1A =(4 c2 2 0 0

)− (c2 2

)( 1/4 1 0 1/2 1/43/4 0 1 −3/2 −1/4

)≤ 0 ⇒(

10−c24 0 0 6−c2

22−c24

) ≤ 0 ⇒ 10 ≤ c2 ≤ ∞(32)

Para cualquier precio de venta superior a 10 u.m. por pale resulta interesante producir y venderproducto P2

7 287.

7.1. Enunciado

Dado el problema de programacion lineal

max z = −x1 + x2 − 5x3 + 14x4

s.a

3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 ≤ 24

−x1 + x2 − 2x3 + 2x4 ≤ 12

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

(33)

su solucion optima queda caracterizada por: xo =

(x4

h2

), uo =

(44

)y B−1 =

(16 0−13 1

).

Se pide:

1. Para la solucion optima, obtener el cuadro correspondiente a la aplicacion del metodo del Simplexen su variante de la matriz completa.

2. Indicar la nueva solucion si la disponibilidad del recurso de la segunda restriccion disminuye en 8unidades.

3. Indicar, partiendo del problema original, como se modificarıa la solucion si el coeficiente de x4

pasara de tomar un valor 14 a un valor 5.

4. Explicar el significado de V B3 , interpretado como c3 − cBpB3 , explicando con detalle su significado

con los valores numericos que permiten calcular V B3 .

5. Formular el problema dual e indicar cual es su solucion optima a partir de la aplicacion de losteoremas de la dualidad. No se valorara la resolucion del apartado por otros metodos diferentes delsolicitado.

7.2. Resolucion

Apartado 1. Lo que falta para poder construir la tabla son las tasas de sustitucion, pB = B−1A, y elvector de criterios del simplex, V B = c− cBB−1A.

pB = B−1A =

(16 0−13 1

)(3 4 5 6 1 0−1 1 −2 2 0 1

)=

(1/2 2/3 5/6 1 1/6 0−2 −1/3 −10/3 0 −1/3 1

)(34)

V B = c− cBB−1A = c− cBpB =( −1 7 −5 14 0 0)− (

14 0)( 1/2 2/3 5/6 1 1/6 0

−2 −1/3 −10/3 0 −1/3 1

)=( −8 −25/3 −50/3 0 −7/3 0) (35)

Y, por lo tanto, la tabla es:

x1 x2 x3 x4 h1 h2

-56 -8 -25/3 -50/3 0 -7/3 0x4 4 1/2 2/3 5/6 1 1/6 0h2 4 -2 -1/3 -11/3 0 -1/3 1

7 29Apartado 2. El nuevo problema tendrıa b2 = 4, por lo que uB = B−1b cambiarıa de valor.

B−1b =

(16 0−13 1

)(244

)=

(4−4

)(36)

La solucion deja de ser factible y cumplirıa V B ≤ 0 y uB ≤ 0. Hay que aplicar el metodo de Lemke.Eliminando h2 de la base e introduciendo x1 se obtiene:

x1 x2 x3 x4 h1 h2

-40 0 -7 -2 0 -1 -4x4 3 0 * * 1 * *x1 2 1 * * 0 * *

Con lo que la nueva solucion es x4 = 3, x1 = 2 y el resto de variables no basicas, e iguales a 0 y conun valor de la funcion objetivo z = 40.

Apartado 3. El nuevo problema tendrıa c4 = 5, por lo que V B cambiarıa de valor.

V B = c− cBcB−1A = c− cB − cpB =( −1 1 −5 5 0 0)− (

5 0)( 1/2 2/3 5/6 1 1/6 0

−2 −1/3 −11/3 0 −1/3 1

)=( −7/2 −7/3 −55/6 0 −5/6 0) (37)

Luego la solucion serıa igualmente factible y optima. Con lo que x4 = 4, h2 = 0. Sı cambiarıa el valorde la funcion objetivo, z = 20

Apartado 4. V B3 = c3 − cBpB3 = −50/3 representa la diferencia entre:

c3 = −5 la contribucion unitaria al beneficio por cada unidad realizada de x3 (en este caso representauna perdida) y

la modificacion de la funcion objetivo por la modificacion de las variables basicas que representa larealizacion de una unidad de x3, 35/3,que se calcula como

� la contribucion unitaria de las variables basicas, cB, multiplicada por

� la modificacion de las variables basicas que representa la realizacion de una unidad de x3, pB3 .

En este caso, al realizar una unidad de x3 la funcion objetivo disminuirıa en 5 y la modificacion delas variables basicas harıa que la funcion objetivo disminuyera en 35/3, con lo que no resulta interesantela realizacion de esa actividad.

Apartado 5. El problema dual es:

min s = 24y1 + 12y2

s.a

3y1 − y2 ≥ −1

4y1 + y2 ≥ 1

5y1 − 2y2 ≥ −5

6y1 + 2y2 ≥ 14

y1, y2 ≥ 0

(38)

Y su solucion optima es, por aplicacion del teorema fundamental de la dualidad: yo = πB = (7/3, 0)Y por aplicacion del teorema de las holguras complementarias:

7 30Para la primera variable de hogura: y3 = −V1 = 8

y4 = −V2 = 25/3

y5 = −V3 = 49/3

y6 = −V4 = 0

Con un un valor de la funcion objetivo s∗ = z∗ = 56

8 318.

8.1. Enunciado

Se pide responder a las siguientes preguntas de tipo test.NOTA: redactar la respuesta incluyendo la frase completa en las hojas entregadas para calificar

con el encabezado y con la opcion elegida como correcta. Por ejemplo, una posible respuesta, serıaAl resolver un problema mediante le metodo de las dos fases, una restriccion del tipo

∑j aijxj = bi,

en el problema auxiliar asociado se transforma en∑

j aijxj + hi − ai = bi. No es necesario indicar elsubapartado (porque todos son diferentes)

Solo una respuesta de cada apartado es correcta. Para cada apartado, una respuesta correcta sumaun punto, una respuesta incorrecta resta un cuarto de punto.

1. Al resolver un problema mediante el metodo de las dos fases, una restriccion del tipo∑

j aijxj = bi,en el problema auxiliar asociado

Se transforma en∑

j aijxj + hi − ai = bi.

Se transforma en∑

j aijxj − hi + ai = bi.

Se transforma en∑

j aijxj + ai = bi.

Ninguna de las anteriores es correcta.

2. Al resolver un problema mediante el metodo de las dos fases:

Si la solucion optima del problema auxiliar contiene alguna variable artificial en la base, elproblema original no tiene solucion factible.

Si la solucion optima del problema auxiliar tiene funcion objetivo igual a cero, el problemaoriginal sı tiene solucion factible.

Tras obtener la solucion optima del problema auxiliar, basta con recalcular V B y z para poderreutilizar la tabla de dicha solucion y obtener una tabla correspondiente una solucion factibledel problema original .


3. Dado un problema de programacion lineal de maximizacion P, cuya solucion optima es x∗:

Al introducir una nueva restriccion, la solucion x∗ puede dejar cumplir el criterio de optima-lidad.

Al introducir una nueva actividad, la solucion x∗ puede dejar de ser factible.

Si se disminuye la contribucion unitaria al beneficio de una actividad no basica, la x∗ podrıadejar de ser la solucion optima.


8.2. Resolucion

1. Al resolver un problema mediante le metodo de las dos fases, una restriccion del tipo∑

j aijxj = bi,en el problema auxiliar asociado

INCORRECTA: se transforma en∑

j aijxj + hi − ai = bi

INCORRECTA: se transforma en∑

j aijxj − hi + ai = bi

CORRECTA: se transforma en∑

j aijxj + ai = bi

INCORRECTA: ninguna de las anteriores es correcta

8 322. Al resolver un problema mediante el metodo de las dos fases

INCORRECTA: si la solucion optima del problema auxiliar contiene alguna variable artificialen la base, el problema original no tiene solucion factible

CORRECTA: si la solucion optima del problema auxiliar tiene funcion objetivo igual a cero,el problema original sı tiene solucion factible

INCORRECTA: tras obtener la solucion optima del problema auxiliar, basta con recalcularV B y z para poder reutilizar la tabla de dicha solucion y obtener una tabla correspondientela solucion optima del problema original

INCORRECTA: ninguna de las anteriores es correcta

3. Dado un problema de programacion lineal P, cuya solucion optima es x∗

INCORRECTA: al introducir una nueva restriccion, la solucion x∗ puede dejar cumplir elcriterio de optimalidad

INCORRECTA: al introducir una nueva actividad, la solucion x∗ puede dejar de ser factible

INCORRECTA: si se disminuye la contribucion unitaria al beneficio de una actividad nobasica, la x∗ podrıa dejar de ser la solucion optima

CORRECTA: ninguna de las anteriores es correcta

9 339.

9.1. Enunciado

La empresa dynamix fabrica tres estilos diferentes de mesas. A, B y C. Cada modelo de mesa requierede una cierta cantidad de tiempo para el corte de las piezas, su montaje y el correspondiente proceso depintura. La empresa puede vender todas las unidades que fabrica. Es mas, el modelo B tambien se puedevender sin pintar. Los datos tecnico-economicos se muestran a continuacion.

Tiempo Tiempo Tiempo Contrib.Modelo corte (h) montaje (h) pintura (h) unitaria (euros)Modelo 1: mesa A pintada 1 2 4 35Modelo 2: mesa B pintada 2 4 4 40Modelo 3: mesa B sin pintar 2 4 0 20Modelo 4: mesa C pintada 3 7 5 50

Capacidad (h/mes) 200 300 240

El siguiente modelo de programacion lineal permite obtener el plan de produccion mensual optimo.

max z = 35x1 + 40x2 + 20x3 + 50x4

s.a

x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 ≤ 200

2x1 + 4x2 + 4x3 + 7x4 ≤ 300

4x1 + 4x2 + 5x4 ≤ 240

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

(39)

Donde xi, i = 1, 2, 3 representa las unidades de modelo i producidas y vendidas mensualmente y x5,x6 y x7 son las variables de holgura necesarias para convertir las restricciones 1, 2 y 3, respectivamente,en igualdades.

Se sabe que las variables basicas de la solucion optima son x5, x3 y x1 y que la matriz inversa de labase, para el orden de variables basicas anterior, correspondiente a dicha solucion es

B−1 =

⎛⎝ 1 − 1

2 00 1

4 − 18

0 0 14

⎞⎠

.Se pide:

1. Definir el plan de produccion optimo y el uso asociado de los recursos.

2. Dado el exito de los modelos de mesa sin pintar, la empresa esta valorando la posiblidad de fabricar elmodelo C sin pintar (que se diferencian de las mesas pintadas solo en el proceso de pintado). Estimaque la contribucion unitaria al beneficio de ese modelo serıa de 42 euros por unidad. Justificar elinteres de la fabricaccion y venta de mesas C sin pintar y, en caso de haber un nuevo plan ´optimode produccion, describir cual serıa.

3. Realizar un analisis de sensibilidad para la capacidad del taller de montaje.

4. Un estudio preliminar de metodos y tiempos permite afirmar que el tiempo de pintado de las mesasB podrıa reducirse. En particular, atendiendo a diferentes mejoras se podrıa reducir el valor peronunca podrıa bajar de 2 horas. Se pide indicar cual es el beneficio obtenido en funcion de las horasde reduccion λ, que puede tomar cualquier valore entre 0 y 2.

9 349.2. Resolucion

Apartado 1. El vector de realizacion de las actividades basicas se obtiene como uB = B−1b. En estecaso:

uB =

⎛⎝ 1 − 1

2 00 1

4 − 18

0 0 14

⎞⎠

⎛⎝ 200

300240

⎞⎠ =

⎛⎝ 50

4560

⎞⎠ (40)

Es decir, x5 = 50, x3 = 45, x1 = 60 y el resto de variable son nulas, lo cual significa que:

se fabrican 60 mesas de tipo A y 45 de tipo B sin pintar,

no se fabrica nada del resto de modelos y

se emplean todas las horas disponibles de montaje y pintura y

sobran 50 horas de taller de corte,

con un beneficio de 3000 euros.

Apartado 2. Para valorar el interes de fabricar un nuevo modelo serıa necesario introducir una nuevavariable, x8: numero de mesas de tipo C sin pintar. Con A8 = ( 3 7 0 )T , c8 = 42.

Serıa interesante fabricar el nuevo modelo si V B8 ≥ 0.

V B8 = c7 − cBB−1A8 = 42− (

0 20 35)⎛⎝ 1 − 1

2 00 1

4 − 18

0 0 14

⎞⎠(

3 7 0)= 7 (41)

Por lo que sı serıa interesante su produccion y venta, ya que con cada unidad producida y vendida elbeneficio se incrementarıa en 8 euros.

La tabla correspondiente a la solucion optima sin introducir la produccion del nuevo modelo serıa lasiguiente, a partir de la cual, se podrıa iterar para obtener el nuevo plan de produccion.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

-3000 0 -5 0 -65/4 0 -5 -25/4 7x5 50 0 0 0 -1/2 1 -1/2 0 -1/2x3 45 0 1/2 1 9/8 0 1/4 -1/8 7/4x1 60 1 1 0 5/4 0 0 1/4 0

-3180 0 -7 -4 -83/4 0 -6 -23/4 0x5 62.87 0 × × × 1 × × 0x8 25.71 0 × × × 0 × × 1x1 60 1 × × × 0 × × 0

Con lo que el nuevo plan optimo consiste en:

producir, por termino medio, 60 mesas A y 25.71 de tipo C sin pintar

no producir nada del resto de modelos,

empleando todas las horas de todos los talleres, salvo en el de corte, que sobrarıan 62.87.

9 35Apartado 3. Las variables basicas de la solucion del apartado 1 son las correspondientes a la solucionoptima mientras que uB = B−1b tenga todos sus valores no negativos.

uB =

⎛⎝ 1 − 1

2 00 1

4 − 18

0 0 14

⎞⎠

⎛⎝ 200

b2240

⎞⎠ =

⎛⎝ 200− b2

2b24 − 3060

⎞⎠ ≥ 0 (42)

Es decir 0 ≤ b2 ≤ 400. Mientras la disponibilidad de las horas de montaje sea superior a 120 e inferiora 400, la solucion optima tiene las mismas soluciones basicas, lo que significa que el mix de prouduccionno cambia. Sı cambia la funcion objetivo que aumenta o disminuye en π2 = 25/4 con cada aumento odisminucion de una hora de taller con respecto a las disponibles.

Apartado 4. Como se admite que el tiempo de pintura puede reducirse en cualquier valor superiorcero e inferior a dos, en terminos del modelo, esto significa que los coeficientes tecnicos de la actividad 2

dependen de un parametro λ. En concreto, A2 =(2 4 4− λ

)TEs necesario evaluar como se modifica

la solucion optima del problema en funcion de los valores del parametro.Para la solucion optima de partida λ = 0 y x2 es no basica. Puede ocurrir que al variar el valor de λ

resulte rentable realizar dicha actividad. Para ello es necesario evaluar el critero del simplex para dichavariable en funcion del parametro:

V B2 = c2 − πBA2 = 40− (

0 5 25/4)⎛⎝ 2

44− λ

⎞⎠ =

−20 + 25λ

4(43)

Al modificar A2, cambian tanto V B2 como pB2 = B−1A2.

pB2 =

⎛⎝ 1 − 1

2 00 1

4 − 18

0 0 14

⎞⎠

⎛⎝ 2

44− λ

⎞⎠ =

⎛⎝ 0

4+λ8

4−λ4

⎞⎠ ≥ 0 (44)

Es decir, mientras λ ≤ 4/5 la solucion inicial sigue siendo optima. En caso de que λ ≥ 4/5, la intro-

duccion de x2 mejorarıa el valor de la funcion objetivo. Para λ = 0, se tiene que pB2 =(0 3/5 4/5

)TLa tabla correspondiente a ese caso serıa la siguiente, correspondiente a un optimo multiple.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

-3000 0 0 0 -65/4 0 -5 -25/4x5 50 0 0 0 -1/2 1 -1/2 0x3 45 0 3/5 1 9/8 0 1/4 -1/8x1 60 1 4/5 0 5/4 0 0 1/4

-3000 0 0 0 -65/4 0 -5 -25/4x5 50 0 0 0 -1/2 1 -1/2 0x2 75 0 1 5/3 15/16 0 5/12 5/24x1 0 1 0 -4/4 -1/4 0 -1/3 25/6

La segunda tabla se obtiene introduciendo x2 y eliminando x1 de la base. Para valores de λ superioresa 4/5, las actividades basicas son x5,x2 y x1.

Al entrar x2 en la base, la nueva solucion base es:

9 36

B =

⎛⎝ 1 2 1

0 4 20 4 4− λ

⎞⎠ (45)

Y, a patir de su inversa, es posible calcular los nuevos criterios del simplex. Se puede comprobar quepara 4/5 ≤ λ ≤ 2 el criterio del simplex de las nuevas variables no basicas sigue siendo no negativo.

En resumen:

si la reduccion del tiempo de pintado es de entre 0 y 0.8 horas, el plan de produccion es el mismodel apartado 1;

si la reduccion del tiempo de pintado esta entre 0.8 y 2 horas, el mix de produccion cambia y seproducirıan mesas de tipo A y B, en diferente cantidad segun la reduccion del tiempo de pintura.

10 3710.

10.1. Enunciado

El fabricante de bicicletas UPM Bikes produce bicicletas, triciclos y tandems. La produccion semanaldepende, esencialmente, de la disponibilidad de ruedas y de manillares y de las tareas de montaje. Elaprovisionamiento del resto de piezas y el resto de tareas no representan una limitacion para la empresa.

A la semana, UPM bikes dispone de un maximo de 100 ruedas y de 50 manillares.Por otro lado, el montaje de una bicicleta requiere una hora, mientras que el montaje de un triciclo o

de un tandem requiere dos horas y existen dos operarios para realizar el montaje, cada uno de los cualestrabaja 40 horas semanales.

Ademas, UPM Bikes ha asumido un compromiso comercial y debe entregar un mınimo de 10 bicicletassemanalmente a uno de sus clientes.

Por ultimo, el beneficio unitario que proporcionan estos productos son de 300 � cada bicicleta, 400� cada triciclo y 500 � cada tandem.

Si x1, x2 y x3 representan las unidades de bicicletas, triciclos y tandems producidos semanalmente,el siguiente modelo de programacion permite obtener el plan de produccion optimo.

max z = 300x1 + 400x2 + 500x3

s.a. :

2x1 + 3x2 + 2x3 + h1 = 100

x1 + x2 + 2x3 + h2 = 50

x1 + 2x2 + 2x3 + h3 = 80

x1 − h4 = 10

x1, x2, x3, h1, h2, h3, h4 ≥ 0

(46)

Se admite que aunque las variables podrıan ser enteras, con el problema lineal se calculan los valoresmedios de produccion a lo largo de las diferentes semanas en las que se repite el plan de produccion.

La siguiente tabla corresponde a una solucion del problema correspondiente a su vez al plan deproduccion.

x1 x2 x3 h1 h2 h3 h4

-13000 0 150 0 0 -250 0 50h1 40 0 2 0 1 -1 0 1x3 20 0 1/2 1 0 1/2 0 1/2h3 30 0 1 0 0 -1 1 0x1 10 1 0 0 0 0 0 -1

Se pide:

1. Obtener el plan de produccion optimo y explicar el uso que se hace de los recursos

Para la solucion optima (cada uno de los siguientes apartados son independientes entre sı):

2. Identificar la inversa de la base correspondiente a la solucion optima encontrada.

3. Discutir el interes por subcontratar horas adicionales para el montaje de productos.

4. Realizar el analisis de sensibilidad de la solucion obtenida con respecto al numero de manillaresdisponibles.

5. Indicar de que manera estarıa interesada UPM Bikes en renegociar su compromiso comercial

6. El precio de los tandems es bastante variable a lo largo del tiempo. Obtener mediante programa-cion parametrica el programa de produccion optimo para todos los posibles valores positivos de lacontribucion unitaria al beneficio de dicho producto iguales o superiores a 350� .

10 3810.2. Resolucion

REVISAR ERRATAS ULTIMO APARTADO

Apartado 1. Se aplica el metodo del Simplex partiendo de la tabla dada:

x1 x2 x3 h1 h2 h3 h4

-13000 0 150 0 0 -250 0 50h1 40 0 2 0 1 -1 0 1x3 20 0 1/2 1 0 1/2 0 1/2h3 30 0 1 0 0 -1 1 0x1 10 1 0 0 0 0 0 -1

-16000 0 0 0 -75 -175 0 -25x2 20 0 1 0 1/2 -1/2 0 1/2x3 10 0 0 1 -1/4 3/4 0 1/4h3 10 0 0 0 -1/2 -1/2 1 -1/2x1 10 1 0 0 0 0 0 -1

El programa de produccion optimo consiste en producir:

10 bicicletas

20 triciclos

10 tandems

Se usan todos los manillares y todas las ruedas y sobran diez horas de operarios de montaje.

Apartado 2. La inversa de la base esta donde originalmente habrıa estado la identidad. Las columnas1, 2 y 3 de la identidad estaban en la tabla inicial en las columnas correspondientes a h1,h2 y h3. Por suparte, la columna de h4, en la tabla incial, conteıa a la cuarta columna de la matriz identidad, por lo quela inversa de la base es la siguiete:

B−1 =

⎛⎜⎜⎝

1/2 −1/2 0 −1/2−1/4 3/4 0 −1/4−1/2 −1/2 1 1/20 0 0 1

⎞⎟⎟⎠ (47)

Apartado 3. Sobran 10 horas de montaje por lo que no interesa contratar horas adicionales de montaje,y ası queda de manifiesto dado el valor del precio sombra de la tercera restriccion π3 = −V B

h3= 0.

Apartado 4. Las variables basicas de la solucion obtenida serıan las de la solucion optima al modificarb2 si la solucion basica correspondiente sigue siendo factible.

uB = B−1b =

⎛⎜⎜⎝

1/2 −1/2 0 −1/2−1/4 3/4 0 −1/4−1/2 −1/2 1 1/20 0 0 1

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

100b28010

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝

b2 ≤ 90b2 ≥ 110/3b2 ≤ 7010 ≥ 0

⎞⎟⎟⎠ (48)

Mientras la disponibilidad de manillares este entre 37 y 70 a la semana, la composicion del plan deproduccion optimo no cambia (aunque sı la cantidad de piezas producidas).

10 39Apartado 5. El compromiso comercial de UPM bikes aparece reflejado en la cuarta restriccion. El preciosombra de la misma es π4 = V B

h4= −25, lo cual significa que si el compromiso comercial aumentase, en

una unidad, el beneficio semanal se reducirıa en 25 � . Por lo tanto, UPM Bikes estarıa dispuesta a:

asumir un compromiso comercial mas restrictivo y entregar mas de 10 bicis, si recibe una compen-sacion por cada una de ellas superior a 25 � .

relajar su compromiso comercial en la entrega de bicicletas, siempre y cuando la reduccion nosupusiera un coste adicional superior a 25 � .

Apartado 6. Se trata de estudiar la solucion optima cuando el vector de contribuciones unitarias albeneficio es c = (300, 400, 500+ λ, 0, 0, 0, 0), con −150 ≤ λ ≤ ∞.

La solucion obtenida en el apartado 1 es valida para λ = 0 y, en general, el valor de V B en funcionde λ es:

uB(λ) = c(λ)− cB(λ)B−1A =

(300 400 500 + λ 0 0 0 0

)− (400 500 + λ 0 300

)⎛⎜⎜⎝

0 1 0 1/2 −1/2 0 1/20 0 1 −1/4 3/4 0 1/40 0 0 −1/2 −1/2 1 −1/21 0 0 0 0 0 −1

⎞⎟⎟⎠ =

(0 0 0 λ−300

4 − 3λ+7004 0 −100−λ

4

)(49)

λ = 0 x1 x2 x3 h1 h2 h3 h4

0 0 0 λ−3004 − 3λ+700

4 0 −100−λ4

x2 20 0 1 0 1/2 -1/2 0 1/2x3 10 0 0 1 -1/4 3/4 0 1/4h3 10 0 0 0 -1/2 -1/2 1 -1/2x1 10 1 0 0 0 0 0 -1

La solucion es la solucion optima si se cumple simultaneamente

λ− 300 ≤ 0

−3λ− 700 ≤ 0

−100− λ ≤ 0

(50)

Es decir, mientras −100 ≥ λ ≥ 300 la base no se modifica.Si λ = −100 (el beneficio por cada tandem es de 400� ), la tabla se convierte en la siguiente (optimo

multiple) y se puede introducir la variable h4:

x1 x2 x3 h1 h2 h3 h4

0 0 0 -100 -100 0 0x2 20 0 1 0 1/2 -1/2 0 1/2x3 10 0 0 1 -1/4 3/4 0 1/4h3 10 0 0 0 -1/2 -1/2 1 -1/2x1 10 1 0 0 0 0 0 -1

0 0 0 -100 -100 0 0h4 40 0 2 0 1 -1 0 1x3 0 0 -1/2 1 -1/2 1 0 0h3 30 0 1 0 0 -1 1 0x1 50 1 2 0 1 -1 0 0

10 40La solucion obtenida es valida para λ = −100 y, en general, el valor de V B en funcion de λ es:


(300 400 500 + λ 0 0 0 0

)− (0 500 + λ 0 300

)⎛⎜⎜⎝

0 2 0 1 −1 0 10 −1/2 1 −1/2 1 0 00 1 0 0 −1 1 01 2 0 1 −1 0 0

⎞⎟⎟⎠ =

(0 λ+100

2 0 λ−1002 −λ+ 200 0 0

)(51)

x1 x2 x3 h1 h2 h3 h4

0 λ+1002 0 λ−100

2 −λ+ 200 0 0h4 40 0 2 0 1 -1 0 1x3 0 0 -1/2 1 -1/2 1 0 0h3 30 0 1 0 0 -1 1 0x1 50 1 2 0 1 -1 0 0

La solucion es la solucion optima si se cumple simultaneamente

λ+ 100 ≤ 0

λ− 100 ≤ 0

−λ− 200 ≤ 0

(52)

Esto se cumple para cualquier valor de λ con −150 ≤ λ ≤ 100Si λ = 300 (el beneficio por cada tandem es de 800� ), la tabla se convierte en la siguiente (optimo

multiple) y se puede introducir la variable h1:

x1 x2 x3 h1 h2 h3 h4

0 0 0 0 -400 0 -100x2 20 0 1 0 1/2 -1/2 0 1/2x3 10 0 0 1 -1/4 3/4 0 1/4h3 10 0 0 0 -1/2 -1/2 1 -1/2x1 10 1 0 0 0 0 0 -1

0 0 0 0 -400 0 -100h1 40 0 2 0 1 -1 0 1x3 20 0 1/2 1 0 1/2 0 1/2h3 30 0 1 0 0 -1 1 0x1 10 1 0 0 0 0 0 -1

La solucion obtenida es valida para λ = 300 y, en general, el valor de V B en funcion de λ es:


(300 400 500 + λ 0 0 0 0

)− (0 500 + λ 0 300

)⎛⎜⎜⎝

0 2 0 1 −1 0 10 1/2 1 0 1/2 0 1/20 1 0 0 −1 1 01 0 0 0 0 0 −1

⎞⎟⎟⎠ =

(0 300−λ

2 0 0 −500−λ2 0 100− λ

)(53)

10 41La solucion es la solucion optima si se cumple simultaneamente

300− λ ≤ 0

−500− λ ≤ 0

100− λ ≤ 0

(54)

Esto se cumple para cualquier valor de λ con λ ≤ ∞En resumen:

si 350 ≤ c3 ≤ 450, se deben producir 50 bicicletas;

si 450 ≤ c3 ≤ 800, se deben producir 10 bicicletas, 20 triciclos y 10 tandems;

si 800 ≤ c3 ≤ ∞, se deben producir 10 bicicletas y 20 tandems.

11 4211.

11.1. Enunciado

David, Diana y Lidia son los unicos socios y empleados de una companıa que produce relojes. Davidy Diana pueden trabajar un maximo de 40 horas por semana (cada uno de ellos), mientras que Lidia solopuede trabajar hasta 22 horas semanales.

La empresa hace dos tipos de relojes: rejores de pie y relojes de pared. Para hacer un reloj, David(ingeniero mecanico) ensambla las partes internas y Diana (ebanista) produce las cajas de madera ela-boradas a mano. Lidia es responsable de recibir pedidos y enviar los relojes. El tiempo que se requierepara cada tarea se muestra en la siguiente tabla.

Tarea Reloj de pie Reloj de pared

Montar mecanismo 6 horas 4 horasTallar la cubierta de madera 8 horas 4 horasEnvıo 3 horas 3 horas

Cada reloj de pie construido y enviado deja una ganancia de 300 �, mientras que cada reloj de paredproporciona una ganancia de 200 �.

Los tres socios desean determinar cuantos relojes de cada tipo deben producir por semana paramaximizar la ganancia total.

Se pide:

1. Formular un modelo de programacion lineal para los socios de esta empresa.

2. Resolver el modelo anterior e indicar el plan de produccion optimo y la ocupacion de los socios. Sepide interpretar y explicar correctamente los resultados obtenidos.

3. Existe acuerdo entre los socios por el que aquel que pudiera hacer que el beneficio aumentara maspor cada hora adicional trabajada, aumentarıa su disponibilidad horaria para la empresa. Identificarque socio aportarıa mayor incremento del beneficio por hora adicional trabajada y el numero dehoras que podrıa aumentar su disponibilidad proporcionando ese incremento.

4. Existe la posiblidad de vender solo las cajas de los relojes de pared, sin incluir ningun mecanismo.Identificar cual es el beneficio unitario obtenido por caja que harıa rentable su produccion y venta.Se estima que para este producto el tiempo de preparacion de envıos es el mismo que para el restode productos.

5. Identificar el rango de valores para el margen por reloj de pared dentro del cual resulta interesanteproducir y vender dicho producto.

6. Se ha adquirido un compromiso comercial consistente en entregar al menos 9 relojes de pie cada tressemanas a un cliente. Caracterizar el efecto que tiene este compromiso sobre el plan de producciony comentar en que condiciones dicho compromiso puede ser interesante para la empresa.

11.2. Resolucion

Apartado 1. Se define x1 y x2 como el numero de relojes de pie y de pared producidos y enviadossemanalmente, respectivamente. El modelo de programacion lineal que permite maximizar la ganancia esel siguiente:

11 43

max z = 300x1 + 200x2

s.a. :

6x1 + 4x2 ≤ 40

8x1 + 4x2 ≤ 40

3x1 + 3x2 ≤ 22

x1, x2 ≥ 0

(55)

Apartado 2. El modelo se puede reformular con las restricciones en forma de igualdad

max z = 300x1 + 200x2

s.a. :

6x1 + 4x2 + h1 = 40

8x1 + 4x2 + h2 = 40

3x1 + 3x2 + h3 = 22

x1, x2, h1, h2, h3 ≥ 0

(56)

Donde h1, h2, h3 representan, respectivamente, el numero de las horas dispnibles que no trabajancada semana, respectivamente, David, Diana y Lidia. Aplicando el metodo del simplex se puede resolverel problema.

x1 x2 h1 h2 h3

0 300 200 0 0 0h1 40 6 4 1 0 0h2 40 8 4 0 1 0h3 22 3 3 0 0 1

-1500 0 50 0 -75/2 0h1 10 0 1 1 3/4 0x1 5 1 1/2 0 1/8 0h3 7 0 3/2 0 -3/8 1

-5200/3 0 0 0 -25 -100/3h1 16/3 0 0 1 -1/2 -2/3x1 8/3 1 0 0 1/4 -1/3x2 14/3 0 1 0 -1/4 2/3

El plan de produccion optimo consiste en producir, cada tres semanas, 8 relojes de pie, 14 relojes depared, para lo cual David debe trabajar 34.67 horas a la semana, Diana 40 horas y Lidia 22 horas, conun beneficio total de 1733.33 �por semana.

Apartado 3. El incremento de la funcion objetivo obtenido al disponer de una hora adicional de cadauna de las tareas de la empresa viene dada por el precio sombra de las tres restricciones correspondientes.

π1 = −V Bh1

= 0

π2 = −V Bh2

= 25

π3 = −V Bh3

= 33.33

(57)

Es decir, cada hora adicional de Lidia, permitirıa mejorar el beneficio en 33.33 �.

11 44Para calcular el numero de horas que se deberıa ampliar el horario de Lidia obteniendo una mejora de33.33�por cada hora adicional, es necesario calcular para que valor de b3 la solucion deja de ser factible.

uB = B−1b =⎛⎝ 1 −1/2 −2/3

0 1/4 −1/30 −1/4 2/3

⎞⎠

⎛⎝ 40

40b3

⎞⎠ =

⎛⎝ 60−2b3

330−b3

32b3−30

3

⎞⎠ (58)

Mientras 15 ≤ b3 ≤ 30 se mantiene la solucion basica obtenida y, con ella, los precios sombra.Con el acuerdo pactado, Lidia deberıa trabajar 8 horas adicionales con un incremento total del bene-

ficio de 8× 33.33 = 266.66 �.

Apartado 4. Lo que se propone representa una nueva actividad x3, cuyos coeficientes tecnicos sonAT = (0, 4, 3). Se pide caracterizar c3 para que interese realizar esta actividad, es decir, si V B

3 ≥ 0

V B3 = c3 − cB − cBB−1A3 = c3 − cB − πBA3 =

c3 −(0 25 100/3

)⎛⎝ 043

⎞⎠ = c3 − 200

(59)

Siempre y cuando el beneficio unitario obtenido por la venta de las cajas de relojes de pared seasuperior a 200 �es interesante su produccion y venta.

Apartado 5. En terminos del modelo, se pide un analisis de sensiilidad de c2, es decir, para que rangode valores de c2 la solucion siga siendo optima.

V B = c− cB − cBB−1A =(300 200 0 0 0

) (0 300 c2

)⎛⎝ 0 0 1 −1/2 −2/31 0 0 1/4 −1/30 1 0 −1/4 2/3

⎞⎠ =

(300 c2 0 0 0

)− (0 0 0 300−c2

4−300+2c2

3

) ≥ 0 ⇒ 150 ≤ c2 ≤ 300

(60)

Es decir, el plan de produccion es optimo siempre y cuando el precio de los relojes de pared sea igualo superior a 100� e igual o inferior a 300� .

Apartado 6. El nuevo compromiso se traduce en una nueva restriccion: x1 ≥ 3. La solucion optimaobtenida no cumple esta restriccion, por lo que es necesario iterar para obtener la nueva solucion.

La restriccion, de haberse introducido en la tabla del problema original, habrıa tenido la forma x2 −h4 = 3

x1 x2 h1 h2 h3 h4

-5200/3 0 0 0 -25 -100/3 0h1 16/3 0 0 1 -1/2 -2/3 0x1 8/3 1 0 0 1/4 -1/3 0x2 14/3 0 1 0 -1/4 2/3 0

3 1 0 0 0 0 -11/3 0 1 0 -1/4 1/3 -1

h4 -1/3 0 -1 0 1/4 -1/3 1

La tabla una vez incorada la nueva restriccion y con h4 como variable basica es la siguiente, a partirde la cual se puede iterar aplicando el metodo de Lemke.

11 45x1 x2 h1 h2 h3 h4

-5200/3 0 0 0 -25 -100/3 0h1 16/3 0 0 1 -1/2 -2/3 0x1 8/3 1 0 0 1/4 -1/3 0x2 14/3 0 1 0 -1/4 2/3 0h4 -1/3 0 -1 0 1/4 -1/3 1

-1700 0 0 0 -50 0 -100h1 6 0 0 1 -1 0 -2x1 3 1 0 0 0 0 -1x2 4 0 1 0 1/4 0 2h3 1 0 0 0 -3/4 1 3

Por lo que en beneficio disminuirıa en 33.33 �cada semana. Se justificarıa asumir este compromisocomercial si, de alguna manera, las ventajas que proporciona el acuerdo supera esta perdida.

La produccion, con el nuevo compromiso, serıa de 3 relojes de pie y 4 de pared con un beneficiosemanal del 1700 �.

12 4612.

12.1. Enunciado

El siguiente programa de programacion lineal se utiliza para realizar la planificacion mensual deuna planta que produce 3 productos (P1, P2 y P3) que se procesan en tres talleres (T1, T2 y T3) condisponibilidades horarias respectivas de 900, 480 y 400 horas al mes.

max z = 8x1 + 6x2 + 6x3

s.a. :

3x1 + x2 + 2x3 ≤ 900

x1 + x2 + x3 ≤ 480

x1 + 2x3 ≤ 400

x1, x2, x3 ≥ 0

(61)

La siguiente tabla corresponden a la solucion optima del problema anterior:

x1 x2 x3 h1 h2 h3

-3300 0 0 -1 -1 -5 0x1 210 1 0 1/2 1/2 -1/2 0x2 270 0 1 1/2 -1/2 3/2 0h3 190 0 0 3/2 -1/2 1/2 1

Donde h1, h2 y h3

Se pide responder de forma independiente y a partir de la solucion optima a las siguientes cuestiones:

1. Interpretar la solucion correspondiente a la tabla dada.

2. Realizar el analisis de sensibilidad para c1 y c3, explicando los resultados obtenidos.

3. Calcular la nueva solucion optima del problema si debido a una enfermedad, las horas disponiblesen el taller T2 se reduce a 300 horas semanales.

4. Se esta evaluando la posiblidad de amplicar la capacidad en cada uno de los talleres. Existe un tallervecino que ofrece horas adicionales de cada uno de los talleres a un precio de 3 unidades monetariascada hora. ¿En que talleres y cuantas horas serıa interesante subcontratar al taller vecino al precioanterior?

5. Se esta valorando la posiblidad de ampliar la gama de productos e introducir un nuevo producto,P4, que consumirıa una hora de cada uno de los talleres. ¿Que debe cumplir la contribucion unitariaal benefecio de este nuevo producto para que resulte interesante su produccion y venta?

12.2. Resolucion

Apartado 1. El plan de produccion optimo consiste en:

producir 210 unidades de P1;

producir 270 unidades de P2;

no producir P3;

emplear todas las horas de los talleres T1 y T2; y

emplear 210 horas del taller T3 (de manera que no se emplean 190).

12 47Apartado 2. Analisis de sensibilidad psra c1.Como x1 es una variable basica, si se mofifica c1 se modifica todo el vector de criterios del simplex.

V B = c− cBB−1A =(c1 6 6 0 0 0

) (c1 6 0

)⎛⎝ 1 0 1/2 1/2 −1/2 00 1 1/2 −1/2 3/2 00 0 3/2 −1/2 1/2 1

⎞⎠ =

(c1 6 6 0 0 0

)− (c1 6 c1+6

2c1−62

−c1+182 0

)=

(0 0 6−c1

26−c12

c1−182 0

)(62)

Con lo que la solucion seguira siendo optima si V B ≥ 0:

6− c1 ≤ 06− c1 ≤ 0c1 − 18 ≤ 0

⇒ 6 ≤ c1 ≤ 18 (63)

Si la contribucion unitaria al beneficio del prodcuto P1 esta entre 6 y 18 (como es el caso inicial, enel que es 8), la gama de productos de plan de produccion optimo, no se modifica.

En efecto, si la contribucion unitaria fuera menor que 6 no interesarıa realizar P1 y si fuera superior a18, su contribucion serıa lo suficientemente alta como para aumentar todo lo posible el nivel de realizacionde P1 aun a costa de dejar de realizar algo de lo que se realiza en la solucion optima de partida.

Analisis de sensibilidad psra c3.Como x1 es una variable no basica, si se mofifica c1 se modifica solo su componente en el vector de

criterios del simplex.

c3 − cBB−1A3 = c3 − cBpB3 = c3 −(8 6 0

)⎛⎝ 1/21/23/2

⎞⎠ = c3 − 7 (64)

Mientras c3− 7 ≤ 0, no interesara realizar este producto. Si la contribucion unitaria al beneficio fueraigual o superior a 7, serıa interesante realizar esta actividad.

Apartado 3. Si b3=300, cambia uB = B−1b:

uB =

⎛⎝ 1/2 −1/2 0

−1/2 3/2 0−1/2 1/2 1

⎞⎠

⎛⎝ 900

300400

⎞⎠ =

⎛⎝ 300

0100

⎞⎠ (65)

La nueva solucion es degenerada. La funcion objetivo decrece (zB = 2400).

Apartado 4. Viendo el vector de precios sombra πB = (1, 5, 0) solo interesa subcontratar horas en eltaller 2; porque es mas lo que puedo ganar que el coste de la subcontratacion. Al hacer el analisis desensibilidad de b2 se observa que la cantidad maxima de horas a subcontratar es de 380.

Apartado 5. Hay que calcular el interes del nuevo producto en funcion de su coste. Para eso se estudiala relacion entre V B y c4.

V Bx4 = c4 − cBp4 = c4 −

(8 6 0

)⎛⎝ 001

⎞⎠ = c4 − 6

El nuevo producto resulta interesante si su contribucion al beneficio es mayor de 6.

13 4813.

13.1. Enunciado

El siguiente modelo de programacion lineal, que se utiliza para la planificacion de la produccion de 3productos sometidos a 3 restricciones.

max z = 5x1 + 4x2 + 12x3

s.a. :

4x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 40

5x1 + 3x2 + 7x3 ≤ 60

x1 + x2 + x3 = 10

x1, x2, x3 ≥ 0

(66)

Se ha resuelto por el metodo de la M grande, y la siguiente tabla corresponde a una solucion optimadel problema correspondiente a su vez al plan de produccion optimo.

x1 x2 x3 x4 x5 a3-280/3 -13/3 0 0 -8/3 0 4/3-M

x3 20/3 2/3 0 1 1/3 0 -2/3x5 10/3 -2/3 0 0 -4/3 1 -1/3x2 10/3 1/3 1 0 -1/3 0 5/3

Tomando como referencia la solucion optima actual:

1. Explicar el significado de las tasas de sustitucion pB11 y pB13.

2. Analizando el interes de incrementar o disminuir b3, justificar si la tercera restriccion esta operandocomo una limitacion o como una obligacion.

3. Explicar el significado de V B1 , haciendo uso explıcito de los valores de los precios sombra de los

recursos correspondientes a las tres restricciones.

4. Suponiendo que los recursos R1 y R2 fueran intercambiables, calcular la solucion optima para cual-quier cantidad de recurso transferido de R2 a R1, utilizando para ello la programacion parametrica.

5. Determinar el intervalo de c2 dentro del cual la base de la solucion optima es la correspondiente ala de la tabla dada. Sin necesidad de realizar calculos, indicar por que la solucion basica obtenidadejarıa de ser la optima y que serıa necesario realizar para obtener la nueva solucion optima.

6. Obtener la nueva solucion y calcular la repercusion que tendrıa sobre el beneficio el hecho de que,debido a un cambio de normativa, ya no se puede vender producto P2

13.2. Resolucion

Apartado 1.

La tasa de sustitucion pB11 = 23 de la primera variable basica con respecto a la variable x1, no

basica, representa en que medida disminuye el valor de la primera variable basica x3 (uB1 ) cuando

la variable x1 toma valor 1. Es decir: ΔuB1 Δx1

= pB11 = − 23

La tasa de sustitucion pB13 es la tasa de sustitucion de x3 con respecto a esa misma variable y es 1.Esta tasa representa en que medida disminuye x1 cuando x1 toma valor 1, y es -1. Es decir, no esposible obtener un valor diferente de x3 = 20

3 , para la base B = (A3 A5 A2 ).

13 49Apartado 2. El precio sombra de la tercera restriccion es πB3 = − 4

3 . Es decir:

Si Δb3 = 1 ⇒ Δz = − 43

Si Δb3 = −1 ⇒ Δz = 43

Si fuera posible, serıa desear disminuir el valor de b3, porque darıa lugar a un aumento de la funcionobjetivo. Se puede decir, que la restriccion tercera esta actuando en esta solucion como una obligacion.

Apartado 3. El criterio del simplex de la variable x1 se puede expresar como:

V B1 = c1 − πBA1 = 5− (

83 0 − 4

3

)⎛⎝ 451

⎞⎠ (67)

Los precios sombra de las tres restricciones son πB =(

83 0 − 4

3

)que son, respectivamente, los

valores unitarios de cada uno de los tres recursos.

El consumo unitario de dichos recursos al realizar una unidad de P1 es

⎛⎝ 4

51

⎞⎠.

Con lo que el producto de πBA1 representa el valor de los recursos que son necesarios para produciruna unidad de P1 y que se detraen del plan de produccion correspondiente a la solucion optima. En estecaso πBA3 = 28

3 .El criterio del simplex V B

1 representa la diferencia entre:

la contribucion unitaria al beneficio de P1, c1 = 5 y

el citado valor de los recursos para realizar una unidad de P1: πBA3 = 28

3 .

La diferencia es V B1 = − 13

3 , con lo que no resulta realizar este producto, porque no se ve compensadoel ingreso con lo que se deja de ganar al detraer recursos del plan actual de produccion.

Apartado 4. Lo que se pide es resolver el siguiente problema de programacion parametrica con b =(40 + λ 60− λ

)T, con λ ≥ 0:

max z = 5x1 + 4x2 + 12x3

s.a. :

4x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 40 + λ

5x1 + 3x2 + 7x3 ≤ 60− λ

x1 + x2 + x3 = 10

x1, x2, x3 ≥ 0

(68)

La solucion dada corresponde a λ = 0

x1 x2 x3 x4 x5 a3λ = 0 -280/3 -13/3 0 0 -8/3 0 4/3−Mx3 20/3 2/3 0 1 1/3 0 -2/3x5 10/3 -2/3 0 0 -4/3 1 -1/3x2 10/3 1/3 1 0 -1/3 0 5/3

13 50Esta solucion es optima y factible si uB(λ) ≥ 0:

uB(λ) = B−1b(λ) =

⎛⎝ 1/3 0 −2/3

−4/3 1 −1/3−1/3 0 5/3

⎞⎠

⎛⎝ 40 + λ

60− λ10

⎞⎠ =

1

3

⎛⎝ 20 + λ

10− 7λ10− λ

⎞⎠ ≥ 0 ⇒ λ ≤ 10

7

(69)

Las siguientes tres tablas son, respectivamente, la tabla correspondente a la solucion optima cuando0 ≤ λ ≤ 10

7 , la tabla correspondiente a dicha solucion otpima cuando λ = 107 y la que se obtiene a partir

de la anterior aplicando el metodo de Lemke.

x1 x2 x3 x4 x5 a30 ≤ λ ≤ 10

7 − 280+8λ3 -13/3 0 0 -8/3 0 4/3−M

x320+λ

3 2/3 0 1 1/3 0 -2/3x5

10−7λ3 -2/3 0 0 -4/3 1 -1/3

x210−λ

3 1/3 1 0 -1/3 0 5/3λ = 10

7 − 6807 -13/3 0 0 -8/3 0 4/3−M

x3507 2/3 0 1 1/3 0 -2/3

x5 0 -2/3 0 0 -4/3 1 -1/3x2

207 1/3 1 0 -1/3 0 5/3

λ = 107 − 680

7 -3 0 0 0 -2 2−Mx3

507 1/2 0 1 0 1/4 -3/4

x4 0 1/2 0 0 1 -3/4 1/4x2

207 1/2 1 0 0 -1/4 7/4

Esta solucion es optima y factible si uB(λ) ≥ 0:

uB(λ) = B−1b(λ) =

⎛⎝ 0 1/4 −3/4

1 −3/4 1/40 −1/4 7/4

⎞⎠

⎛⎝ 40 + λ

60− λ10

⎞⎠ =

1

4

⎛⎝ 30− λ

−10 + 7λ10 + λ

⎞⎠ ≥ 10

7⇒ λ ≤ 30

(70)

Las siguientes tres tablas son, respectivamente, la tabla correspondente a la solucion optima cuando107 ≤ λ ≤ 30, la tabla correspondiente a dicha solucion otpima cuando λ = 30 y la que se obtiene a partirde la anterior aplicando el metodo de Lemke.

x1 x2 x3 x4 x5 a3107 ≤ λ ≤ 30 100− 2λ -3 0 0 0 -2 2−M

x330−λ

4 1/2 0 1 0 1/4 -3/4x4

−10+7λ4 1/2 0 0 1 -3/4 1/4

x210+λ

4 1/2 1 0 0 -1/4 7/4λ = 30 -40 -3 0 0 0 -2 2−Mx3 0 1/2 0 1 0 1/4 -3/4x4 50 1/2 0 0 1 -3/4 1/4x2 10 1/2 1 0 0 -1/4 7/4

No existe posiblidad de iterar aplicando el metodo de Lemke, porque no existen tasas de sustitucionnegativas para x3. Por lo tanto,la solucion optima en funcion de lambda es:

13 51Si 0 ≤ λ ≤ 107

� Valores de las variables basicas: x2 = 10+λ3 , x3 = 20+λ

3 y x5 = 10−7λ3

� Valor de la funcion objetivo: z = 280+8λ3

Si 107 ≤ λ ≤ 30

� Valores de las variables basicas: x2 = 10+λ4 , x2 = 30−λ

4 y x4 = −10+7λ4

� Valor de la funcion objetivo: z = 100− 2λ

Si λ > 30 el problema no tiene solucion

A partir del analisis anterior, se puede concluir que el beneficio maximo se obtiene para λ = 107 , es

decir, transfiriendo es cantidad de recursos, con un beneficio de 6807 .

Apartado 5. La base de la solucion basica obtenida no cambia si la solucion sigue siendo optima yfactible. Si se modifica c2, puede cambiar V B y la solucion puede dejar de ser optima. Hay que calcularel intervalo de c2 dentro del cual V B ≤ 0.

V B = c− cBpB =(5 c2 12 0 0

)− (12 0 c2

)⎛⎝ 2/3 0 1 1/3 0−2/3 0 0 −4/3 11/3 1 0 −1/3 0

⎞⎠ =

( −3− c23 0 0 c2

3 − 4 0) ≤ 0 ⇒ −9 ≤ c2 ≤ 12

(71)

Si c2 ∈ [−9, 12], la base sigue siendo la obtenida.

Si c2 < −9, la solucion dejarıa de ser optima porque V B1 > 0, y habrıa que aplicar el metodo del

Simplex e introducir la variable x1.

Si c2 > 12, la solucion dejarıa de ser optima porque V B4 > 0, y habrıa que aplicar el metodo del

Simplex e introducir la variable x4.

Apartado 6. x2 ≤ 0 ⇒ x2 + x6 = 0

x1 x2 x3 x4 x5 a3 x6

-280/3 -13/3 0 0 -8/3 0 4/3−M 0x3 20/3 2/3 0 1 1/3 0 -2/3 0x5 10/3 -2/3 0 0 -4/3 1 -1/3 0x2 10/3 1/3 1 0 -1/3 0 5/3 0

0 0 1 0 0 0 0 1x6 -10/3 -1/3 0 0 1/3 0 -5/3 1

-50 0 0 0 -7 0 −23−M -13x3 0 0 0 1 1 0 -4 2x5 10 0 0 0 -2 1 3 -2x2 0 0 1 0 0 0 0 1x1 10 1 0 0 -1 0 5 -3

La nueva solucion consiste en no fabricar P2 y fabricar 10 unidades de P1 con una funcion objetivode 50, peor que el valor de la funcion objetivo antes de introducir la restriccion.

14 5214.

14.1. Enunciado

Resolver el siguiente problema mediante el metodo de las dos fases:

max z = 3x1 + 4x2 + 5x3

s.a. :

3x1 + 2x2 + 4x3 ≥ 50

x1 + x2 + x3 = 20

4x1 + 5x2 + 8x3 ≤ 300

x1, x2, x3 ≥ 0

(72)

14.2. Resolucion

Reformulacion del problema original (P )

max z = 3x1 + 4x2 + 5x3

s.a. :

3x1 + 2x2 + 4x3 − h1 = 50

x1 + x2 + x3 = 20

4x1 + 5x2 + 8x3 + h3 = 300

x1, x2, x3, h1, h3 ≥ 0

(73)

Problema de la primera fase (P ′)

max z = −a1 − a2

s.a. :

3x1 + 2x2 + 4x3 − h1 + a1 = 50

x1 + x2 + x3 + a2 = 20

4x1 + 5x2 + 8x3 + h3 = 300

x1, x2, x3, h1, h3, a1, a2 ≥ 0

(74)

14 53x1 x2 x3 h1 a1 a2 h3

(1� fase) 70 4 3 5 -1 0 0 0(2� fase) 0 3 4 5 0 0 0 0

a1 50 3 2 4 -1 1 0 0a2 20 1 1 1 0 0 1 0h3 300 4 5 8 0 0 0 1

(1� fase) 15/2 1/4 1/2 0 1/4 -5/4 0 0(2� fase) -125/2 -3/4 3/2 0 5/4 -5/4 0 0

x3 25/2 3/4 1/2 1 -1/4 1/4 0 0a2 15/2 1/4 1/2 0 1/4 -1/4 1 0h3 200 -2 1 0 2 -2 0 1

(1� fase) 0 0 0 0 0 -1 -1 0(2� fase) -85 -3/2 0 0 1/2 1/2 -3 0

x3 5 1/2 0 1 -1/2 1/2 -1 0x2 15 1/2 1 0 1/2 -1/2 2 0h3 185 -5/2 0 0 3/2 -3/2 -2 1

(1� fase) 0 0 0 0 0 -1 -1 0(2� fase) -100 -2 -1 0 0 0 -5 0

x3 20 1 1 1 0 0 1 0h1 30 1 2 0 1 -1 4 0h3 140 -4 -3 0 0 0 -8 1

La solucion del problema original es: x3 = 20, x1 = x2 = 0

15 EJERCICIO 5415. Ejercicio

15.1. Enunciado

Dado el problema de programacion lineal (P ):

max z = x1 + x2 + 2x3

s.a

3x1 + 4x2 ≥ 12

x1 + x2 ≤ 24

x1 + x3 = 15

x1, x2, x3 ≥ 0

(75)

1. Plantear el problema correspondiente a la primera fase (P ′), si se resolviera mediante el metodo delas dos fases.

2. Construir la tabla correspondiente al metodo del Simplex, variante de la matriz completa, para laprimera solucion de (P’).

3. Explicar que se puede decir de P si al resolver el problema anterior (P ′), la funcion objetivo de lasolucion optima es diferente de cero.

15.2. Resolucion

TMCIO 1011 JUN

Apartado 1. El problema P ′ correspondiente a la pimera fase es el siguiente.

max z = −a1 − a3

s.a

3x1 + 4x2 − h1 + a1 = 12

x1 + x2 + h2 = 24

x1 + x3 + a3 = 15

x1, x2, x3, h1, a1, h2, a3 ≥ 0

(76)

Apartado 2. La tabla correspondiente a la solucion basica de partida de P ′ es:

x1 x2 x3 h1 a1 h2 a327 4 4 1 -1 0 0 0

a1 12 3 4 0 -1 1 0 0h2 24 1 1 0 0 0 1 0a3 15 1 0 1 0 0 0 1

Apartado 3. Si la solucion optima del problema P ′ tiene una funcion objetivo diferente de cero, significaque no tiene soluciones factibles con a1 = a3 = 0, con lo que el problema original P no tiene ningunasolucion factible.


16.1. Enunciado

Al resolver un problema mediante el metodo de Lemke, aparece una tabla como la siguiente. Explicar,sin hacer operaciones, que habrıa que hacer para continuar (la explicacion no deberıa tener una extensionsuperior a 100 palabras).

x1 x2 x3 h1 h2

-7 0 6 -4 -2 0x1 -2 1 3 0 2 0x3 -5 0 3 1 -3 1

16.2. Resolucion

Todas las soluciones que se visitan al aplicar el metodo de Lemke cumplen el criterio de optimalidad(V B ≤ 0). En la tabla se muestra una solucion que no lo cumple, por lo que debe de haber existido algunerror previo en la aplicacion de dicho metodo, habrıa que revisar los calculos previos.


17.1. Enunciado

Para la relajacion lineal del problema anterior, se pide:

1. Construir el problema dual correspondiente.

2. Indicar cuales son las variables basicas ası como sus valores, correspondientes a la solucion optimade dicho problema dual.

17.2. Resolucion

MME 0809 FEBDado el primal:

max z = x1 + x2

sujeto a:

2x1 + 5x2 ≤ 16

6x1 + 5x2 ≤ 30

x1,x2 ≥ 0

(77)

Su dual es:

min s = 16y1 + 30y2

sujeto a:

2y1 + 6y2 ≥ 1

5y1 + 5y2 ≥ 1

y1,y2 ≥ 0

(78)

Para la solucion optima:

y∗ = πB = (1/20 3/20)

Se cumple que: V B1 = V B

1 = 0, por lo que las restricciones del dual se cumplen en terminos deigualdad y, por lo tanto, h′

1 = h′2 = 0

Las variables basicas de la solucion optima del dual son y∗1 = 1/20 y y∗2 = 3/20


18.1. Enunciado

Una empresa de productos quımicos EPQ trata de convencer a AV de que alimente a sus gallinasanadiendo directamente AA y βC al pienso comun. EPQ conoce las caracterısticas de los complejossuplementarios que se ofrecen en el mercado local.

1. Plantear el modelo de programacion lineal que utilizarıa EPQ para determinar su polıtica de preciospara AA y βC de modo que a AV le resultara indiferente acudir al mercado local o comprar a EPQ.

2. Obtener la solucion optima al modelo planteado por EPQ precisamente a partir de la obtenida enel apartado 2 del ejercicio anterior.

3. Explicar como podrıa afectar a EPQ que CSN fuera o no interesante para AV.

18.2. Resolucion

Apartado 1 El modelo que utilizarıa EPQ serıa el dual del de AV. Siendo y1 e y2 los precios que EPQpondrıa a AA y a βC, respectivamente, tratarıa de maximizar sus ingresos por suministrar el AA y βCque necesita AV, siendo competitivo con los complejos suplementarios del mercado local, es decir:

max z = 15000y1 + 3000y2

s.a. :

40y1 + 30y2 ≤ 70

60y1 + 60y2 ≤ 20

40y1 + 40y2 ≤ 50

y1, y2 ≥ 0

(79)

Apartado 2 Tanto por la aplicacion del teorema de las holguras complementarias, como por la inter-pretacion del ejercicio anterior, y∗1 = 1/3 e y∗2 = 0 �/gramo, es decir, EPQ deberıa ofrecer AA a 333�/kg y deberıa regalarle βC a AV para ser competitivo e ingresar los 5000 �/semana.

Apartado 3 Logicamente, como a AV no le interesa CSN , no afectarıa a lo ya dicho para EPQ.Sin embargo, si a AV le interesara CSN, serıa porque reducirıa sus costes. Como en dualidad las

funciones objetivo coinciden en el optimo, los beneficios esperados por EPQ bajarıan (se enfrentarıa conun mercado mas competitivo).


19.1. Enunciado

Considerese el problema

max z = 2x1 + x2

s.a. :

x1 + x2 ≤ 14

2x1 − x2 ≤ 10

x1 − x2 ≤ 3

x1, x2 ≥ 0

(80)

Se pide

Escribir el problema dual

Verificar la solucion x = (8, 6) es una solucion factible.

Demuestrar que x es solucion optima mediante el teorema de las holguras complementarias y de-terminar la solucion optima del problema dual.

19.2. Resolucion


min s = 14y1 + 4y2 + 3y3

s.a. :

y1 + 2y2 + y3 ≥ 2

y1 − y2 − y3 ≥ 1

y1, y2 , y2 ≥ 0

(81)

Apartado 2. Se trata de una solucion:Restriccion 1:8 + 6 = 14 ≤ 14Restriccion 2:2 ∗ 8− 6 = 10 ≤ 10Restriccion 2:8− 6 = 2 ≤ 3Se cumplen las tres restricciones, ademas h3 = 1. El valor de la funcion objetivo es 22.

Apartado 3. Los valores de las holguras del problema original son: h1 = 0, h2 = 0,h3 = 1, por lo quelos criterios del simplex de las variables del problema primal son V B = (0, 0,≤ 0,≤ 0, 0).

Por el teorema de las holguras complementarias solo y1 e y2 pertenecen a la base del problema dual.yh1 = yh2 = y3 = 0

Las restricciones del dual se transforman en un sistema de dos ecuaciones con dos variables (y1 e y2),cuyo resultado es: y1 = 4

3 e y2 = 13 . Para esta solucion del dual, la funcion objetivo vale s = 22. Como

z = s estamos en la solucion optima.


20.1. Enunciado

Dado el siguiente problema

max z = 5x1 + 4x2 + 3x3

s.a. :

x1 + x3 ≤ 15

x2 + 2x3 ≤ 25

x1, x2, x3 ≥ 0

(82)

Se pide:

1. Construir el problema dual

2. Justificar sin resolver el problema dual, que 175 es una cota superior del problema primal

3. Resolver graficamente el dual.

4. Obtener la solucion optima del primal a partir del dual

20.2. Resolucion


min s = 15y1 + 25y2

s.a. :

y1 ≥ 5

y2 ≥ 4

y2 + 2y2 ≥ 3

y1, y2 ≥ 0

(83)

Apartado 2. Si se encuentra una solucion del dual con s = 175, se dispondra de una cota superior delprimal. En efecto, y1 = 5 y y2 = 4 es una solucion factible del primal y ofrece una funcion objetivo des = 175

Apartado 3. La solucion optima del dual se alcanza para y1 = 5, y2 = 4, con s = 175

Apartado 4.

Como y1 = 5, el precio sombra de la primera restriccion en el primal es diferente de cero, por loque h1 es una variable no basica.

Como y2 = 4 , el precio sombra de la segunda restriccion en el primal es diferente de cero, por loque h2 es una variable no basica.

Por ultimo, con la tercera restriccion del dual no se cumple como igualdad, la tercera variable delprimal, x3 es no basica.

20 EJERCICIO 60

Las variables basicas de la solucion optima del primal son: x1 y x2. Es decir, se debe cumplir:

x1 = 15

x2 = 25(84)

El valor de la funcion objetivo es z∗ = 175 = s∗

21 EJERCICIO MME-1213-ENE-2 6121. Ejercicio MME-1213-ENE-2

21.1. Enunciado

Hallar el problema dual de este problema.

max z =∑i

cixi

s.a. :∑i

bixi ≤ F

xi ≥ 0

(85)

Siendo F un escalar

21.2. Resolucion

Hallar el problema dual es

min s = yF

s.a. :

ybi ≥ ci ∀iy ≥ 0

(86)


22.1. Enunciado

Dado el problema:

max z = x1 + x2

sujeto a:

2x1 + 5x2 ≤ 16

6x1 + 5x2 ≤ 30

x1,x2 ≥ 0 y enteros

(87)

Se conoce la solucion optima de la relajacion lineal correspondiente, x∗RL, cuya tabla del simplex se

indica a continuacion.

x1 x2 h1 h2

-53/10 0 0 -1/20 -3/20x2 9/5 0 1 3/10 -1/10x1 7/2 1 0 -1/4 1/4

Se pide resolver de forma grafica el problema entero utilizando Branch&Bound, dibujando el arbolcorrespondiente.

22.2. Resolucion

El arbol correspondiente a la aplicacion del algoritmo de Land-Doig es el siguiente.

22 EJERCICIO 63

Existen tres soluciones enteras que arrojan el mismo valor z = 5. Las soluciones son las siguientes.Solucion 1: x1 = 5 y x2 = 0. Solucion 2: x1 = 4 y x2 = 1. Solucion 3: x1 = 3 y x2 = 2.

Resolucion grafica de los problemas:

22 EJERCICIO 64


23.1. Enunciado

En un problema de programacion lineal entera resuelto mediante ramificacion y acotacion (algoritmode Land-Doig), explicar en que casos un nodo del arbol no se ramifica (y, por lo tanto, no da lugar a dosnuevos nodos con sus correspondientes problemas).

23.2. Resolucion

Un nodo no se ramifica si cumple alguna de las siguientes condiciones.

1. Si la solucion del problema correspondiente a ese nodo es entera.

2. Si el valor de la funcion objetivo del problema correspondiente a ese nodo es peor que el valor dela funcion objetivo de algun nodo con solucion entera.

3. Si el problema correspondiente al nodo no tiene solucion factible.


24.1. Enunciado

En el curso de aplicar el metodo “Branch & Bound” (en el que cada nodo se ramifica en dos sub-problemas que tienen una restriccion ≤ o ≥ mas que el subproblema del que parten) para resolver unproblema de optimizacion entera con variables (x1 y x2) y funcion objetivo maxz = 4x1 −x2, se obtieneel arbol 1 de la figura 1.

Al lado de los nodos S, S1, S12 y S2 se muestran las soluciones obtenidas al resolver la relajacion linealde los subproblemas correspondientes. Por ejemplo, al resolver la relajacion lineal para el subproblemaS1 se obtiene la solucion relajada (2, 12 ).

Figura 1: arbol 1 del B&B

1. La informacion proporcionada en el arbol 1 y la funcion objetivo dada permiten calcular cotasinferiores y superiores del problema original. Para cada nodo indica que tipo de cota ofrece y cuales su valor.

2. El Arbol 1 muestra una solucion entera factible. ¿Se puede asegurar que sea optima con la infor-macion dada hasta ahora? ¿Por que?

3. Al seguir con la ramificacion del subproblema S1 se obtiene el Arbol 2 mostrado en la Figura 2,donde se indican las soluciones de las relajaciones lineales correspondientes a los subproblemas quese ven en el arbol. Actualiza las cotas inferiores y superiores ¿Puedes encontrar una solucion optimapara el problema, o habrıa que continuar explorando el arbol? ¿Por que?

Figura 2: arbol 2 del B&B

24.2. Resolucion

MME 0809 SEP

24 EJERCICIO 67Apartado 1 Cada nodo aporta una cota:

S0. Solucion no entera. Cota superior. z1 = 4× 207 − 3 = 59

7

S1. Solucion no entera. Cota superior. z2 = 4× 2− 12 = 15

2

S12. Solucion entera. Cota inferior. z12 = 4× 2− 1 = 7

Apartado 2 No se puede asegurar que sea la solucion optima porque, por ejemplo, el nodo no resueltocorrespondiente a la ramificacion de S0, es decir, S2 puede ofrecer soluciones enteras mejores que la delnodo S12.

Apartado 3 Los nuevos nodos aportan nuevas cotas:

S2. Solucion no factible. No proporciona cota.

S11. Solucion no entera con funcion objetivo z11 = 4× 322− 0 = 6, menor que el valor de la solucion

entera de S12, con lo que se trata de una cota inferior.

La solucion optima es la correspondiente a S12, ya que el nodo S2 no se puede ramificar, ya que correspondea un problema sin solucion factible, y el nodo S11 corresponde a un problema con solucion no entera peorque la solucion de S12, que sı es entera.


25.1. Enunciado

Resolver mediante Branch and Bound el siguiente problema PLE:

max z = 12x1 + 6x2

s.a. :

2x1 + 4x2 ≤ 17

x1, x2 ≥ 0 y enteras

(88)

Utilizar Simplex o Lemke para resolver las relajaciones lineales correspondientes (no se valorara laobtencion de soluciones optimas mediante metodo grafico).


26.1. Enunciado

Al empezar a resolver con Branch & Bound un problema de maximizacion con todas las variablesenteras se divide el problema original en dos subproblemas (dos ramas): x1 ≤ 2 y x1 ≥ 3. La rama x1 ≤ 2ha sido podada al encontrar un solucion entera en la relajacion lineal correspondiente (x1, x2, x3) =(1, 2, 1) con z = 5. Cual serıa el siguiente paso si la solucion a la que se llega al resolver la relajacionlineal correspondiente a la rama x1 ≥ 3 fuera:

1. (x1, x2, x3) = (3, 1, 0.5) con z = 3.5

2. (x1, x2, x3) = (4, 1, 0) con z = 8

3. (x1, x2, x3) = (4, 1.5, 0) con z = 8

4. (x1, x2, x3) = (4, 1, 2) con z = 7.5

26.2. Resolucion

MME 1011 ENE

Apartado 1. En este caso la solucion obtenida por la rama x1 ≥ 3 ofrece una cota superior menor quela cota inferior de la rama x1 ≤ 1, por lo que esa rama tambien se podarıa, no habrıa nodos que ramificary la solucion optima serıa (x1, x2, x3) = (1, 2, 1) con z = 5

Apartado 2. En este caso, habrıa que podra la rama x1 ≥ 3, al haber obtenido una solucion entera (lacota superior igual a la cota inferior) y la solucion optima serıa (x1, x2, x3) = (4, 1, 0) con z = 8

Apartado 3. En este caso, la rama x1 ≥ 3 no se podrıa podar, ya que su cota superior es mayor quela inferior del unico otro nodo del problema y porque el nodo corresondiente a dicha rama no ofrece unasolucion entera. Serıa necesario ramificar de nuevo, generando dos ramas a partir de la unica variable noentera: xx2 ≤ 2 y x2 ≥ 2. Para el problema se tendrıa una cota superior de 8 y una cota inferior de 3.5.

Apartado 4. Analogamente al caso 2, la solucion optima serıa (x1, x2, x3) = (4, 1, 2) con z = 7.5.


27.1. Enunciado

Resolviendose un problema de programacion entera se ha llegado a construir el arbol que se muestraen la figura 27.1. Se pide responder a las siguientes preguntas de tipo test.

0

P0x1=11.69x2=3.01z*=50.18

1

P1x1=11x2=3.37z*=49.36

2

P2X1=12X2=2.66z*=49.33

x1 11 x1 12

3

P3x1=11x2=3z*=48

4

P4z*=47

x2 3 x2 4

5

P5x1=12.57x2=2z*=47.71

6

x2 2

Figura 3: arbol resultante durante la resolucion de un problema con B&B

NOTA: redactar la respuesta incluyendo la frase completa en las hojas entregadas para calificarcon el encabezado y con la opcion elegida como correcta. Por ejemplo, una posible respuesta, serıa Lainformacion del arbol permite afirmar que: ninguna de las anteriores es correcta. No es necesario indicarel subapartado (porque todos son diferentes)

Solo una respuesta de cada apartado es correcta. Para cada apartado, una respuesta correcta sumaun punto, una respuesta incorrecta resta un cuarto de punto.

1. Con respecto al nodo 4:

Hay que seguir ramificando el nodo 4.

No interesa ramificar el nodo 4 porque su relajacion lineal tiene un valor menor que alguna delas cotas inferiores obteinidas hasta ahora.

No interesa ramificar el nodo 4 porque ya es una solucion entera.

Ninguna de las anteriores es correcta

2. La informacion del arbol permite afirmar que:

Debo ramificar el nodo 5 en dos nuevos subnodos cuyas ramas son x1 ≤ 12 y x1 ≥ 13.

No debo ramificar el nodo 5 porque el subproblema correspondiente no puede tener solucionesmejores que la obtenida en su relajacion lineal

Al haber resuelto el subproblema correspondiente al nodo 5 la cota infererior mas alta delproblema completo es 47.71.


27 EJERCICIO 713. El nodo 6:

representa al subproblema que consiste en anadir al subproblema 2 la restriccion x2 = 3.

representa al subproblema que consiste en anadir al subproblema 2 la restriccion x2 ≥ 3.

representa un subproblema que no se debe resolver porque es imposible que se encuentre unasolucion mejor que la mejor cota inferior obtenida hasta este momento.


27.2. Resolucion

1. Con respecto al nodo 4:

INCORRECTA: Hay que seguir ramificando el nodo 4.

CORRECTA: No interesa ramificar el nodo 4 porque su relajacion lineal tiene un valormenor que alguna de las cotas inferiores obteinidas hasta ahora.

INCORRECTA: No interesa ramificar el nodo 4 porque ya es una solucion entera.

INCORRECTA: Ninguna de las anteriores es correcta

2. La informacion del arbol permite afirmar que:

INCORRECTA: Debo ramificar el nodo 5 en dos nuevos subnodos cuyas ramas son x1 ≤ 12 yx1 ≥ 13.

INCORRECTA: No debo ramificar el nodo 5 porque el subproblema correspondiente no puedetener soluciones mejores que la obtenida en su relajacion lineal

INCORRECTA: Al haber resuelto el subproblema correspondiente al nodo 5 la cota infereriormas alta del problema completo es 47.71.

CORRECTA: Ninguna de las anteriores es correcta

3. El nodo 6:

INCORRECTA: representa al subproblema que consiste en anadir al subproblema 2 la restric-cion x2 = 3.

CORRECTA: representa al subproblema que consiste en anadir al subproblema 2 la res-triccion x2 ≥ 3.

INCORRECTA: representa un subproblema que no se debe resolver porque es imposible quese encuentre una solucion mejor que la mejor cota inferior obtenida hasta este momento.

INCORRECTA: Ninguna de las anteriores es correcta


28.1. Enunciado

Dado el siguiente problema de programacion entera:

max z = 4x1 − 2x2 + 7x3 − x4

s.a. :

x1 + 5x3 ≤ 10

x1 + x2 − x3 ≤ 1

6x1 − 5x2 ≤ 0

−x1 + 2x3 − 2x4 ≤ 3

x1, x2, x3, x4 ≥ 0 y enteras

(89)

Se ha comenzado a resolver mediante Branch-and-Bound (algoritmo de Dakin) y se dispone del si-guiente arbol. Para cada nodo se indica el valor de la solucion otpima de la relajacion lineal y los valoresde las variables que en la dicha solucion optima toman un valor no nulo.

Se pide:

1. Indicar para cada nodo, la mejor cota superior y la mejor cota inferior que se puede obtener contoda la informacion que ofrece el arbol.

2. Para cada uno de los nodos no ramificados, indicar si se deben podar o si se deben ramificar y porque.

28 EJERCICIO 7328.2. Resolucion

Las cotas figuran en el siguiente arbol.

P0

P00

z LP= 14.25x1= 1.25

x2= 1.5x3= 1.75

x2 1

P01

x2 2

P010

x3 1

P011

x3 2

P0000 P0001

P000

x3 1

P001

x3 2

x1 0x1 1

z LP= 7x3= 1

z LP= 8.33x1= 0.833

x2= 1x3= 1

z LP= 13.5x3= 2

x4= 0.5

z LP= 3x2= 2x3= 1

z LP= 9.5x2= 2x3= 2

x4= 0.5

z LP= 12.17x1= 0.833

x2= 2x3= 1.83

z LP= 14.17x1= 0.833

x2= 1x3= 1.83

010= 3010= 3

De la evaluacion del arbol, se puede concluir:

Nodo 0000. Este nodo se debe podar por optimalidad. Se ha alcanzado una solucion entera.

Nodo 0001. Este nodo se debe podar por infactibilidad. No existen soluciones enteras factibles.

Nodo 001. Este nodo no se puede podar y se debe ramificar en dos problemas x4 ≤ 0 y x4 ≥ 1.

Nodo 010. Este nodo se debe podar por optimalidad.

Nodo 011. Este nodo no se puede podar y se debe ramificar en dos problemas x4 ≤ 0 y x4 ≥ 1.

29 EJERCICIO MME-1213-ENE-3 7429. Ejercicio MME-1213-ENE-3

29.1. Enunciado

Resolver el siguiente problema mediante el metodo Branch and Bound, utilizando el metodo graficopara resolver cada subproblema:

max z = 4x1 + 6x2

s.a.:

4x1 + 3x2 ≤ 22

xi ∈ Z+

(90)

29.2. Resolucion

La solucion optima es x4 (0, 7) con z3 = 42. En la figura se puede ver el grafico utilizado paradesarrollar el algoritmo y resolver las relajaciones lineales ası como el arbol (sin actualizar cotas) en elque se muestran los distintos subproblemas estudiados.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

8

�

� �

�

x1x2

x4x5

1

2 3

4 5

43

44

42

42

40

40

no factible

x2 ≥ 8x2 ≤ 7

x1 ≤ 0 x1 ≥ 1

Figura 4: Grafico y arbol correspondiente a la solucion del problema


30.1. Enunciado

Dado el problema siguiente:

max z = 20x1 + 5x2 − 8x3 + 30x4

s.a. :

25x1 + 5x2 + 5x3 + 30x4 ≤ 35

xi enteras

(91)

se conoce la tabla de una solucion optima de la relajacion lineal del mismo. Formula un corte entero deGomory y obtener la nueva solucion tras introducir dicho corte operando sobre la tabla de simplex dada.

x1 x2 x3 x4 h1

-35 -5 0 -13 0 -1x4 7/6 5/6 5/6 1/6 1 1/30

30.2. Resolucion

La expresion del corte de Gomory es −f0+∑

i fixi ≥ 0, que para este caso toma la forma − 16 +

56x1+

56x2 +

16x3 +

130h1 ≥ 0 ⇒ − 5

6x1 − 56x2 − 1

6x3 − 130h1 + h2 = − 1

6

x1 x2 x3 x4 h1 h2

-35 -5 0 -13 0 -1 0x4 7/6 5/6 5/6 1/6 1 1/30 0h2 1/6 -5/6 -5/6 -1/6 0 -1/30 1

-35 -5 0 -13 0 -1 0x4 1 0 0 0 1 0 0x2 1/5 1 1 1/5 0 1/25 -6/5


31.1. Enunciado

Una empresa multinacional con operaciones globalizadas dispone de 3 plantas que fabrican el mismoproducto pero en diferente localizacion y 4 almacenes regionales, que abastecen la demanda local decuatro grandes regiones comerciales.

Para este ano, la capacidad de produccion de cada una de las plantas es de 7 unidades de millonespara China, 11 para EE UU y 15 para Eslovaquia.

El consumo previsto en cada una de las regiones es:

Localizacion Region Demanda previstaalmacen comercial (millones de up)

Mejico & Norteamerica CALA 4Francia EMEA 8Australia Asia-Pacifico 1 9China Asia-Pacıfico 2 12

El coste por unidad transportada entre plantas y almacenes viene dado por el siguiente cuadro:

euros/up NA & CALA EMEA Asia Asia-Pacifico 1 -Pacifico 2

China 4 2 3 1EEUU 3 3 5 7

Eslovaquia 5 4 7 4

Se pide:

1. Determinar el programa de transporte de coste mınimo entre las plantas y los almacenes. Se reco-mienda obtener una solucion inicial de partida obtenida con el metodo de Voguel.

2. Existe mas de un unico programa de transporte con dicho coste mınimo? En caso afirmativo, indicarcuantos y cuales.

31.2. Resolucion

Construyendo una primera mediante el metodo de Voguel, se obtiene la siguiente tabla:

N-C EMEA AP 1 AP 24 2 3 1

China 7 7+ + -1

3 3 5 7EE UU 4 7

+ +5 4 7 4

Eslovaquia 8 2 5 150

4 8 9 12

31 EJERCICIO 77Fijando los valores u1 = −3, u2 = −2, u3 = 0, v1 = 5, v2 = 4, v3 = 7, v4 = 4 se obtienen loscostes reduciones que figuran en la tabla anterior. El coste reducido de China-AP1 es negativo, luegointroduciendo dicha variable y creando el circuito correspondiente con las variables basicas, se puedeobtener la siguiente tabla. En la solucion correspondiente, se transportan 2 unidades entre China y AP1(la variable correspondiente entra en la bas) y se dejan de tranportar productos entre Eslovaquia y AP1(la variable corresopndiente sale de la base).


China 2 5 7+ +

3 3 5 7EE UU 4 7 11

0 +5 4 7 4

Eslovaquia 8 7 15+ +

4 8 9 12

Existe una variable no basica con coste reducido igual a 0. Es la variable corresopndiente a la rutaEE UU - EMEA, lo que significa que existe otra solucion basica optima, descrita en la siguiente tabla:


China 7 7+ +

3 3 5 7EE UU 4 5 2 11

0 +5 4 7 4

Eslovaquia 3 12 15+ +

4 8 9 12

Existen, por lo tanto dos soluciones optimas basicas y todas las soluciones optimas no basicas queresultan de la combinacion convexa de las dos basicas.

El conjunto de todas las soluciones optimas es el correspondiente a los siguientes programas de tran-porte:

China-AP1: 2+λChina-AP2: 5-λEE UU-N-C: 4EE UU-EMEA: λEE UU-AP1: 7-λEslovaquia-EMA: 8 - λEslovaquia-AP2: 7 + λPara 0 ≤ λ ≤ 5. Si λ = 0 o λ = 5, se obtienen las soluciones basicas de las tablas anteriores. Para

cualquier otro valor se tiene una solucion optima no basica.


32.1. Enunciado

Una region dispone de tres refinerıas, con capacidades diarias de produccion de gasolina de 6, 5, y 6millones de litros, respectivamente, que abastecen a tres areas de distribucion, cuyas demandas diariasson 4, 8, y 7 millones de litros respectivamente. El transporte de gasolinas desde las refinerıas hasta lasareas de distribucion se realiza mediante una red de oleoductos en la que el coste de transporte es de 10centimos de euros por cada 1000 litros de gasolina y por km recorrido. La tabla siguiente proporcionalas distancias (km) entre las refinerıas y las areas de distribucion. La refinerıa 1 no esta conectada con elarea de distribucion 3.

Area A1 Area A2 Area A3Refinerıa R1 120 180 -Refinerıa R2 300 100 80Refinerıa R3 200 250 120

Cuadro 1: Distancias entre refinerıas y areas de suministro.

Por cuestiones estrategicas relativas a la seguridad nacional, el area 1 debe recibir toda su demanda;la incapacidad para entregar las cantidades demandadas de gasolina en las areas 2 y 3 causan unapenalizacion de 5 centimos de euro por litro. Determina cual es el programa optimo de transporte entrerefinerıas y areas de distribucion, explicando claramente en que consiste dicho programa y cual es sucoste.

32.2. Resolucion

Las variables xij representan los millones de litros producidos por la refinerıa Ri y entregados al areaAj . Como el problema esta desequilibrado es necesario incluir un origen ficticio “Ref. fic.” cuya capacidades la diferencia entre la demanda, 19, y la capacidad de las refinerıas, 17, es decir 2.

Los costes en euros por millon de litros transportados entre Ri y Aj (en euros/Ml)) cij es igual a0.1euro

1000l×km ×Dist(km) × 106lMl

= 100×Dist(km)

Por su parte, las penalizaciones son de 0.05 euros por litro, es decir 5000 euros por Ml.Diviendo todos los costes por 1000, el problema planetado es equivalente a resolver el que aparece

representado en la siguiente tabla:

Area 1 Area 2 Area 3c11 c12 c13

Ref. 1 x11 x12 x13 O1

c′11 c′12 c′13c21 c22 c23

Ref. 2 x21 x22 x23 O2

c′21 c′22 c′23c31 c32 c33

Ref. 3 x31 x32 x33 O3

c′31 c′32 c′33c41 c42 c433

R. fic. x41 x42 x43 O4

c′41 c′42 c′43D1 D2 D3

32 EJERCICIO 79Area 1 Area 2 Area 312 18 M

Ref. 1 4 2 6+

30 10 8Ref. 2 5 5

+ -520 25 12

Ref. 3 4 2 6+

M 5 5Ref. fic 2 2

+ +4 8 7

Area 1 Area 2 Area 312 18 M

Ref. 1 4 2 6+

30 10 8Ref. 2 4 1 5

+20 25 12

Ref. 3 6 6+ +

M 5 5Ref. fic 2 2

04 8 7

El resultado, por lo tanto, consiste en

entregar desde la refinerıa 1: 4 millones de litros al area 1 y otros 2 al area 2,

entregar desde la refinerıa 2: 4 millones de litros al area 2 y uno mas al area 3,

entregar desde la refinerıa 3 sus 6 millones de litros al area 3,

dejando sin atender la demanda de 2 millones de litros del area 2

con un coste de (12× 4+18× 2+10× 4+8× 1+12× 6+5× 2)× 1000 = 214000. Es decir 214000 euros.


33.1. Enunciado

La companıa Energetic debe disenar el sistema de abastecimiento energetico de un nuevo edificio.Las necesidades de energıa se refieren a las siguientes categorıas: electricidad, calentadores de agua ycalefactores de ambiente. Los requerimientos diarios de energıa son:

Electricidad 30 unidadesCalentadores de agua 20 unidades

Calefactores de ambiente 50 unidades

Las tres fuentes posibles de energıa son electricidad, gas natural y una unidad de celulas solares que sepuede instalar en el techo. El tamano de este limita la cantidad de celulas solares a 30 unidades, pero nohay lımite en la disponibilidad de electricidad y gas natural. Las necesidades de luz se pueden satisfacersolo mediante la compra de energıa electrica (a un costo de 50 � por unidad). Las otras dos necesidadesse pueden satisfacer mediante cualquier fuente o combinacion de fuentes. Los costes unitarios son lossiguientes

Electricidad Gas natural Celulas solaresCalentadores de agua 150� 110� 70�

Calefactores de ambiente 150� 100� 90�

Se pide determinar como atender las necesidades de abastecimiento de energıa del nuevo edificio conel menor coste posible.

33.2. Resolucion

El problema se puede formular como un problema de transporte donde los orıgenes son la electricidad,el gas natural y las celdas fotovoltaicas y los destinos son la electricidad, los calentadores de agua y loscalefactores de ambiente.

La demanda total es de 100 unidades. La capacidad de energıa viene dada por la disponibilidad decelulas solares (30 unidades) mas la capacidad de suministro de gas natural y de electricidad, que es enterminos del problema tan grande como se desee.

Para poder plantear un problema de transporte y resolverlo por metodos especıficos para este tipode problema, es necesario que el problema este equilibrado. En principio, se podrıa suministrar todala energıa mediante electricidad o mediante gas natural, por lo que las capacidades de los respectivosdestinos es 100, con lo que la oferta serıa 230. Para equilibrar el problema es necesario crear un destinoficticio con una demanda de 230− 100 = 130.

A partir de la informacion dada y de las restricciones que existen en terminos de abastecimiento delos destinos con los orıgenes, y con los costes dados, la tabla que representa el problema de transporteasociado es la siguiente.

Electricidad Cal. agua Cal. ambiente Dest. fict50 150 150 200

Electricidad x11 x12 x13 x1f 100c′11 c′12 c′13 c′1f

M 110 100 200Gas natural x21 x22 x23 x2f 100

c′21 c′12 c′13 c′1fM 70 90 200

Celulas solares x11 x32 x33 x3f 30c′31 c′32 c′33 c′3f

30 20 50 130

33 EJERCICIO 81Los costes correspondientes a la columna del destino ficticio son todos iguales dado que no existeninguna consideracion adicional para discriminar que tipo de fuente de energıa debe emplearse. El valorpodrıa ser uno cualquiera, mientras sea el mismo para todos los orıgenes. En este caso se ha elegido elvalor 200, que es mayor que cualquier de los otros costes. El motivo de la eleccion es que al aplicar elmetodo de Voguel para obtener una solucion inicial tendra en cuenta los costes de asignacion reales y nolos del destino ficticio.

Construyendo la solucion mediante el metodo de Voguel se obtiene

Electricidad Cal. agua Cal. ambiente Dest. fict50 150 150 200

Electricidad 30 70 100+ +

M 110 100 200Gas natural 40 60 100

+ +M 70 90 200

Celulas solares 20 10 30+ 20 10 +

30 20 50 130

En definitiva, el suministro se debe hacer de la siguiente manera:

toda la necesidad de electricidad se debe atender con suministro electrico, tal y como se exigıa, conun coste 1500 �;

la demanda de calentadores de agua debe proporcionarse con las celulas solares, con un coste de1400 �;

la demanda de calentadores de abmiente se atiende con 70 unidades de suministro electrico (con uncoste de 4000�) y con 10 de celulas solares (con un coste de 900�);

con un coste total de 7800 �.


34.1. Enunciado

Se deben utilizar cuatro barcos para transportar bienes de un puerto determinado a otros cuatropuertos (numerados 1, 2, 3 y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer cualquiera de los cuatro viajes.Sin embargo, dadas las diferencias entre las naves y las cargas, el coste total de carga, transporte ydescarga de bienes de las diferentes combinaciones de barcos y puertos varıa de manera considerable.Estos costes se muestran en la siguiente tabla.

Puerto 1 Puerto 2 Puerto 3 Puerto 4

Barco 1 500 400 300 700Barco 2 600 600 700 500Barco 3 700 500 700 600Barco 4 500 400 600 600

Determinar, utilizando el metodo hungaro, con que barco se debe atender el envıo de cada puerto conel mınimo coste global.

34.2. Resolucion

Aplicando el metodo hungaro se llega a la siguiente tabla:

100 100 0 4000 100 200 0100 0 200 1000 0 200 200

Lo que lleva a la siguiente asignacion:

- - X -- - - X- X - -X - - -


35.1. Enunciado

Una ingenierıa ha ganado cuatro concursos de la administracion central para la construccion de cuatrocentrales de generacion electrica, por cuya realizacion la ingenierıa recibira una cantidad fija. Las cuatroplantas son una termica, una de ciclo combinado y dos parques de aerogeneradores. Existen cuatro equiposde ingenieros que pueden desarrolar los cuatro proyectos, pero, debido a la diferente experiencia de estoscuatro equipos, los costes asociados al desarrollo de cada proyecto por parte de cada equipo son diferentesy se ofrecen en el siguiente cuadro.

Termica C. comb. Parque 1 Parque 2Equipo 1 1 4 3 1Equipo 2 2 1 6 7Equipo 3 3 2 6 6Equipo 4 1 2 3 7

Se pide determinar que proyecto debe realizar cada equipo de ingenieros para obtener el coste mınimopara el desarrollo de loc cuatro proyectos.

35.2. Resolucion


Restando a los elemenentos de cada fila el menor valor de dicha fila, se obtiene el siguiente nuevocuadro


Restando a los elementos de cada columna el menor valor de dicha columna, se obtiene el siguientenuevo cuadro


Tachando la primera y la cuarta filas y la segunda columna quedan cubiertos todos los ceros con elmınimo numero de lıneas. Restando 1 a todos los elementos no tachados y sumandoselo a los que quedantachados dos veces se obtiene la siguiente nueva tabla de asignacion.


35 EJERCICIO 84Existen dos posibles asignaciones, descritas en las siguientes tablas, ambas con un coste de 8 um.

Termica C. comb. Parque 1 Parque 2Equipo 1 ×Equipo 2 ×Equipo 3 ×Equipo 4 ×

Termica C. comb. Parque 1 Parque 2Equipo 1 ×Equipo 2 ×Equipo 3 ×Equipo 4 ×


36.1. Enunciado

Resolver el problema de asignacion (mediante el metodo hungaro) consistente en asignar con el costemınimo un conjunto de tareas a un grupo de operarios. En la siguiente tabla se indican los costes deasignacion de cada operario a cada tarea:

Oper.1 Oper.2 Oper.3 Oper.4 Oper.5Tarea 1 5 3 7 3 4Tarea 2 5 6 12 7 8Tarea 3 2 8 3 4 5Tarea 4 9 6 10 5 6Tarea 5 3 2 1 4 5

Si al realizar la asignacion anterior el operario 3 no estuviera disponible:

1. indicar como se modificarıa el problema anterior para realizar la mejor asignacion posible;

2. indicar igualmente que informacion adicional serıa necesaria para resolver el problema.

36.2. Resolucion

Restando el menor valor de cada columna a todos los elementos de dicha columna se obtiene lasiguiente tabla

Oper.1 Oper.2 Oper.3 Oper.4 Oper.5

Tarea 1 3 1 6 0 0

Tarea 2 3 4 11 4 4

Tarea 3 0 6 2 1 1

Tarea 4 7 4 9 2 2

Tarea 5 1 0 0 1 1

Restando el menor valor de cada fila a todos los elementos de dicha fila se obtiene la siguiente tabla


Tarea 1 3 1 6 0 0

Tarea 2 0 1 9 1 1

Tarea 3 0 6 2 1 1

Tarea 4 5 2 7 0 0

Tarea 5 1 0 0 1 1

No es posible realizar una asignacion porque el numero mınimo de lıneas que hay que emplear paratachar todos los ceros es menor que cinco.


Tarea 1 3 1 6 0 0

Tarea 2 0 1 8 1 1

Tarea 3 0 6 2 1 1

Tarea 4 5 2 7 0 0

Tarea 5 1 0 0 1 1

36 EJERCICIO 86El menor valor no tachado es 1. Restando 1 a los no tachados, sumando 1 a los tachados dos veces,resulta la tabla siguiente


Tarea 1 4 1 6 0 0

Tarea 2 0 0 7 0 0

Tarea 3 0 5 1 0 0

Tarea 4 5 2 7 0 0

Tarea 5 2 0 0 1 1


Tarea 1 ×Tarea 2 ×Tarea 3 ×Tarea 4 ×Tarea 5 ×

La asignacion que figura en la tabla anterior tiene el coste mınimo e igual a 2 + 6 + 1 + 5 + 4 = 18


37.1. Enunciado

Se deben utilizar cuatro barcos para transportar bienes de un puerto determinado a otros cuatropuertos (numerados 1, 2, 3 y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer cualquiera de los cuatro viajes.Sin embargo, dadas las diferencias entre las naves y las cargas, el coste total de carga, transporte ydescarga de bienes de las diferentes combinaciones de barcos y puertos varıa de manera considerable.Estos costes se muestran en la siguiente tabla.

Puerto 1 Puerto 2 Puerto 3 Puerto 4

Barco 1 500 400 300 700Barco 2 600 600 700 500Barco 3 700 500 700 600Barco 4 500 400 600 600

Determinar, utilizando el metodo hungaro, con que barco se debe atender el envıo de cada puerto conel mınimo coste global.

37.2. Resolucion

Aplicando el metodo hungaro se llega a la siguiente tabla:

100 100 0 4000 100 200 0100 0 200 1000 0 200 200

Lo que lleva a la siguiente asignacion:

- - X -- - - X- X - -X - - -


38.1. Enunciado

El siguiente grafo representa las carreteras (aristas) de una comarca de montana del norte de Espanaque se compone de diez ciudades (nodos) A− J . Los servicios centrales de la comarca estan situados enel municipio A. Los numeros de cada carretera (arista) indican la distancia en km entre las dos ciudades.Te propones ayudar al personal del ayuntamiento a resolver los siguientes supuestos:

1. La unica ambulancia que hay tiene su base en el municipio A. Se estan calculando las rutas demenor distancia entre A y el resto de municipios. Aplica el algoritmo correspondiente para calcularla ruta de distancia mınima entre A y H.

2. El servicio de manteniento de las carreteras tiene que observar visualmente todas la carreteras delmunicipio para ello tiene que pasar por todas y cada una de las carreteras. Aplica el algoritmoespecıfico correspondiente para averiguar que recorrido debe hacerse y cual sera la distancia que serecorre.

3. El ayuntamiento esta pensando en ofrecer a los vecinos la posibilidad de tener fibra optica ensus casas. Para calcular el coste, como primer paso se esta pensando en como unir los municipioscon fibra de forma que el nuevo cableado vaya paralelo a las carreteras de forma que a todos lasciudades les llegue cable de fibra. Indicar, aplicando el algoritmo correspondiente, por que carreterasse tendrıa que llevar el cable de fibra optica para minimizar la cantidad de fibra utilizada.

38.2. Resolucion

Apartado 1Se aplica el algoritmo de Dijkstra, en el grafico se muestran las etiquetas permanentes correspondientes acada nodo. La mınima distancia entre A y H es 24 km; para ello hay que recorrer el camino ACDEGH.

Apartado 2Hay que hallar el ciclo euleriano o el camino euleriano de menos distancia. En este caso todos los nodosson de orden par excepto A y J. Luego NO es posible hallar un ciclo euleriano. Se puede ir mediante uncamino de A a J pasando solo una vez por cada nodo, pero despues hay que volver de J a A por elcamino mas corto (ver apartado anterior).

38 EJERCICIO 89

dTOTAL =

∑todosarcos darco︷︸︸︷

6 + 5 + 12 + 8 + · · ·+ 4 + 7+dJA

dTOTAL = 133 + 27 = 160km

Y un posible ciclo serıa AHDACDEGDHGJHIDFIJ-GEDCA.

Apartado 3Se trata de hallar un arbol generador de distancia mınima, aplicando el algoritmo de Prim o el deKurskal. Independientemente del algoritmo utilizado la solucion es la que se muestra en la figura. Senecesitarıan 42 km de cable de fibra optica.

38 EJERCICIO 9038.3. Enunciado

El servicio de electricidad del ayuntamiento de un pueblo esta preparando el alumbrado para las fiestas.En concreto tienen que unir mediante cable los distintos lugares de toma de corriente de las luces(vertices: a, ..., h). En el grafo se puede observar las conexiones posibles ası como la distancia entre cadavertice (expresada en decenas de metros).¿Es posible unir las distintas tomas de corriente con un cable de 120 m. (que es el que tienen)?¿Onecesitan buscar mas metros? Justificar la respuesta utilizando algun algoritmo de los que se han vistoen el temario de la asignatura.

38.4. Resolucion

En la figura se muestra el arbol generador de peso mınimo obtenido por el metodo de Kurskal o dePrim. Hay otras soluciones optimas posibles, pero en todos los casos se necesitan 130 metros. Luego hayque comprar mas cable.

38 EJERCICIO 9138.5. Enunciado MME-1213-ENE-4

La mayorıa de los vecinos de un cierto municipio trabaja en alguno de los siete pozos que una companıaminera explota cerca del municipio. El municipio, los pozos y las vıas que los conectan estan descritosen el grafico siguiente:

Antes de las elecciones el actual alcalde prometio a todos los vecinos que pavimentarıa algunos caminosde forma que cada trabajador tuviera pavimentado el camino mas corto desde el municipio hasta supozo. ¿ Cuantos kilometros se habrıa ahorrado pavimentar si solo hubiera prometido que cadatrabajador tendrıa un camino pavimentado para acceder a su pozo? (Nota: utilizar metodos de lo quese han visto en clase)

38.6. Resolucion

1. Para cumplir la promesa electoral el alcalde tiene que pavimentar la suma de arcos (vıas) que seutilicen al calcular el camino mas corto desde el municipio a todos los pozos (algoritmo de Dijsktra).Los arcos que se utilizan se marcan en la figura 5 y suponen 49 kilometros.2. En cambio si hubiera prometido a los vecinos que tendrıan camino pavimentado (aunque no el mascorto) tendrıa ahorros. Para saber cuantos kilometros necesitarıa tiene que calcular el arbol generadorde peso mınimo (algoritmo de Prim o Kurskal). Se utilizarıan los arcos marcados en la figura 5 (haysoluciones multiples) y se necesitarıan 39 kilometros.Luego el ahorro serıa de 10 kilometros.


39.1. Enunciado

Enunciar tres caracterısticas conmunes a todas las tecnicas metaheurısticas.

39.2. Resolucion

Tres caracterısticas comunes a las metaheurısiticas y comunes a todas ellas son:

1. Son tecnicas que no garantizan la obtencion de la solucion otpima

2. Son de caracter general y sirven de aplicacion a una gran cantidad de problemas combinatorios

3. Son de caracter iterativo y, en cada iteracion, se admite la posibilidad de transitar por unasolucion pero que de aquella con la que se inicio la iteracion.


40.1. Enunciado

Discutir la siguiente aseveracion: “En general, las tecnicas metaheurısticas permiten obtener solucionesoptimas de los problemas para los cuales se emplean”.

40.2. Resolucion

La afirmacion, en general, es falsa, ya que las tecnicas metaheurısticas se utilizan para abordarproblemas para los cuales las tecnicas exactas no resulta eficacias y eficientes. Se trata de problemas nose conoce el valor optimo, con lo que no es posible saber si la tecnica metaheurıstica alcanza o no dichooptimo. Las tecnicas metaheurısticas ofrecen soluciones razonables con tiempos de computacion no muyelevados.

40 EJERCICIO 94

40 EJERCICIO 95

Figura 5: Soluciones utilizando el algoritmo de Dijkstra (izda) o Kurskal (dcha)

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