LASTAREASDEMATEMTI CASENPI SA2012LASTAREASDEMATEMTI CASENPI SA2012LAS TAREAS DE MATEMTICAS EN PISA 2012Primera edicin, 2014ISBN: 978-607-7675-62-4CoordinacinMara Antonieta Daz GutirrezSalvador Sauls EstradaCon la colaboracin deJos Alfonso Jimnez MorenoRevisin tcnica de las observaciones a las respuestas:Prof. Daniel Hernndez Dvila, CECYTEMD.R. Instituto Nacional para la Evaluacin de la EducacinBarranca del Muerto 341, Col. San Jos Insurgentes,Deleg. Benito Jurez, C.P. 03900, Mxico, D.F.EditoraMara Norma Ordua ChvezCorreccin de estiloHugo Soto de la VegaDiseo grfco y formacinMartha Alfaro AguilarImpreso y hecho en Mxico.Distribucin gratuita. Prohibida su venta.Consulte el Catlogo de publicaciones en lnea:www.inee.edu.mxLa elaboracin de esta publicacin estuvo a cargo de laDireccin General de Difusin y Fomento de la Cultura de la Evaluacin.El contenido, la presentacin, as como la disposicin en conjuntoy de cada pgina de esta obra son propiedad del INEE. Se autoriza su reproduccin parcial o total por cualquier sistema mecnico o electrnico para fnes no comerciales y citando la fuente de la siguiente manera:INEE (2014). Las tareas de matemticas en PISA 2012.Mxico: INEE.PRESENTACI NI . LACOMPETENCI AMATEMTI CADi mensi onesCont eni dosPr ocesosSi t uaci onesocont ext osI I . REACTI VOSDEMATEMTI CASEl ena,l aci cl i st aAscensoal mont eFuj iCul aut omvi l ?Cocher aBI BLI OGRAF A NDI CE5910101112151622313647Materiales para docentesLas tareas de matemticas5PRESENTACI NEsta obra tiene el propsito de ofrecer a los profesores de educacin secundaria y media superior herramientas que los apoyen en su trabajo en el aula y les permitan aprovechar al mximo la informacin proporcionada por el Programa para la Evaluacin Internacional de los Estudiantes (PISA, por sus siglas en ingls).En correspondencia con la lnea de publicaciones dirigidas a los docentes, y una vez que los resul-tados de PISA 2012 donde el rea de nfasis fue matemticas se han dado a conocer, el Instituto Nacional para la Evaluacin de la Educacin (INEE), a travs de la Direccin de Evaluaciones Internacio-nales de Resultados Educativos (DEIRE), presenta Las tareas de matemticas en PISA 2012, en donde se dan a conocer algunos de los reactivos liberados de esta rea tal y como se aplicaron en Mxico. Lo relevante de este material es que incluye adems una seleccin de respuestas de los estudian-tes mexicanos a las preguntas abiertas, lo que permitir al profesor identifcar tanto los errores como los aciertos mostrados por ellos cuando se enfrentan a estas tareas de matemticas. Esta informacin servir a su vez al profesor como un referente ms a la hora de focalizar, en los aspectos que lo requie-ran, los procesos de enseanza-aprendizaje en su saln de clases.Esta obra cuenta con dos antecedentes importantes. En el 2005, con la perspectiva de realizar materiales de apoyo para los profesores, el INEE public PISA para docentes. Al igual que ahora, tam-bin se presentaron algunos reactivos que fueron empleados en PISA 2000 y 2003. La publicacin cumpliconelcometidodedaraconocerporprimeravezpreguntasdelapruebaquepodranser aprovechadas por los docentes. Ms adelante sali a la luz el reporte Mxico en PISA 2009. En esta publicacin, adems de in-formarse sobre los resultados obtenidos por Mxico y los dems pases participantes en la prueba, 6Las tareas de matemticasMateriales para docentesse incluy un anexo con algunas de las preguntas de lectura liberadas por PISA, que fue el rea de nfasis en dicho ciclo. Lo innovador fue la inclusin de ejemplos de respuestas de estudiantes mexi-canos, ya que esto permiti que docentes e investigadores pudieran contar con mayores elementos para el anlisis de los resultados en el rea de lectura. Con estos antecedentes, Las tareas de matemticas en PISA 2012 se organizan en dos apartados: I. Una descripcin del marco conceptual de la competencia matemtica con sus distintas dimen-siones(contenidos,procesosysituaciones).Enesteapartadoeldocentepodrconocerde manera detallada los distintos aspectos en los que se organiz esta rea. No est dems decir que dicha informacin es indispensable para comprender el alcance conceptual de la prueba y de cada uno de los reactivos. II. Los reactivos de matemticas. Este apartado se conforma de la siguiente manera: Una clasifcacin general de las unidades de reactivos.1 El estmulo de la unidad junto con sus distintos reactivos. La fcha tcnica de cada uno de los reactivos, que incluye el proceso y el contenido evaluados, as como su nivel de difcultad. Los comentarios elaborados por PISA para cada uno de los reactivos, pero adaptados por la DEIRE para los objetivos pedaggicos de esta obra. En ellos se refexiona sobre los recursos cognitivos y de contenido que el estudiante debe movilizar para enfrentar de manera adecua-da los requerimientos de la prueba. Al fnal de los comentarios se incluyen las claves con la opcin correcta (en los reactivos de opcinmltiple)ylosdistintoscriteriosparaotorgarleonoalgncrditoalasrespuestas de los estudiantes en los reactivos abiertos. Algunosejemplosderespuestasdeestudiantesmexicanosparacadaunodeloscrditos posibles en los reactivos abiertos. Las observaciones sobre las respuestas emitidas por los estudiantes mexicanos para cada uno de los crditos otorgados.Esimportantemencionarquelaseleccinquesepresentaconsiderellistadoincluidoenel informe internacional PISA 2012 (OECD, 2014). Los comentarios elaborados por PISA tambin estn en este informe, al fnal de cada uno de los reactivos.Adems de los reactivos de opcin mltiple, PISA integra reactivos de respuesta abierta o cons-trudaquelosestudiantesdebencontestardeformaescritadirectamenteenelcuadernillodela prueba y que requieren del trabajo de distintos jueces o codifcadores para otorgarles o no un crdito 1La prueba se presenta a los estudiantes en unidades, compuestas por un estmulo y un conjunto de reactivos o preguntas, ya sea de opcin mltiple o de respuesta abierta.Materiales para docentesLas tareas de matemticas7determinado, segn criterios establecidos por el propio programa. En algunas de estas preguntas se solicita al estudiante mostrar sus operaciones y el procedimiento que sigui para obtener el resul-tado.Enotras,losestudiantesmostraronsusoperacionesyprocedimientoauncuandonoseles haba solicitado que lo hicieran, se debe precisar que en la prueba de matemticas se permite el uso de calculadora. Esconvenientetenerencuentaquelasrespuestasseleccionadaspresentanlassiguientes caractersticas: Se eligieron al azar, pero se busc incluir (aunque no fue posible en todos los casos) cada uno de los niveles educativos que abarca la poblacin evaluada por PISA (secundaria y bachillerato), en sus distintas modalidades. No son una muestra representativa de los estudiantes de quince aos evaluados por PISA. Lasrespuestassefotografarondirectamentedeloscuadernillos,porellolasimgenespre-sentan distintos tamaos y cortes. El criterio fue copiar toda el rea que pudiera proporcionar informacin acerca del procedimiento que se llev a cabo para enfrentar la tarea solicitada. En algunos casos (por ejemplo en la respuesta A que aparece en la pgina 18), se puede observar parte de la pregunta, pues el estudiante comenz a resolver la tarea desde ese momento. No puede concluir esta presentacin sin mencionar que las observaciones incluidas despus de las respuestas de los estudiantes contaron con la revisin tcnica del profesor Daniel Hernndez Dvila, do-cente del rea de matemticas en el nivel medio superior (Colegio de Estudios Cientfcos y Tecnolgicos del Estado de Mxico), quien valid y agreg algunos elementos tiles para su mejor comprensin.Con Las tareas de matemticas en PISA 2012, el INEE, a travs de la DEIRE, mantiene su propsito de proporcionar a los docentes materiales que los apoyen en la formacin de estudiantes con slidas competencias matemticas. Dichas competencias no slo ayudarn a los estudiantes a comprender la funcin que desempea en el mundo esta importante rea del conocimiento, sino sobre todo sen-tarn las bases para alcanzar uno de los fnes ltimos de la educacin: lograr que el estudiante emita juicios fundamentados y tome las decisiones necesarias para ser un ciudadano refexivo, constructivo y comprometido, tal y como se asienta claramente en la defnicin de competencia matemtica que se presenta en el siguiente apartado.Materiales para docentes 9I . LACOMPETENCI AMATEMTI CA2Enunentornocotidiano,losindividuosseenfrentanaunaseriedesituacionescomocomprar, viajar, ocuparse de su economa domstica, cocinar, juzgar informacin de peridicos, interpretar estadsticas, entre otras. En dichas situaciones el empleo de razonamientos cuantitativos, espa-cialesyotrascapacidadesmatemticascontribuyenaaclarar,formularoresolverlosproblemasque se les plantean. Estosusosdelasmatemticas,quesebasanenhabilidadesyconocimientosquefueronad-quiridos y practicados en el medio escolar, exigen la capacidad de aplicar lo aprendido en contextos menos estructurados, que carecen de instrucciones precisas y en las que el individuo debe decidir cul ser el conocimiento ms adecuado y cul la forma ms til de aplicarlo.PorelloPISAconsideraelreadematemticascomounacompetenciafundamentalparael desarrollodelosindividuos,noslocomounrecursoinstrumental,sinocomounaformadera-zonamientoypensamientolgicoqueposibilitalacapacidaddesolucionarproblemasylograrun pensamiento abstracto.Por ello, PISA defne la competencia matemtica como:La capacidad del individuo para formular, emplear e interpretar las matemticas en una variedad de contextos. Incluye el razonamiento matemtico y el uso de conceptos, procedimientos, datos y herramientas matemticas para describir, explicar y predecir fenmenos. Esta competencia le 2La introduccin y la defnicin de la competencia matemtica que se incluye ms adelante, se tomaron del reporte Mxico en PISA 2012 (INEE, 2013). Salvo algunas adaptaciones propias del contexto mexicano y ciertos agregados de organizacin, el resto del marco terico fue tomado del Informe espaol (MECD, 2013), y se cotej de igual forma la versin chilena (Agencia de Educacin, 2013). La fuente original es PISA 2012 Results (OECD, 2014).10Las tareas de matemticasMateriales para docentesayuda al individuo a reconocer la funcin que desempean las matemticas en el mundo, emitir juicios bien fundados y tomar decisiones necesarias en su vida diaria como ciudadano construc-tivo, comprometido y refexivo (citado en INEE 2013: 34).Di mensi onesLa competencia matemtica comprende tres dimensiones: los contenidos, los procesos y las situacio-nes o contextos. A su vez, cada dimensin posee distintas categoras, como se detalla a continuacin.Dimensiones CategorasContenidosCantidadProbabilidad Cambio y relacionesEspacio y formaProcesosFormularEmplearInterpretarSituaciones PersonalSocialLaboralCientfcaContenidosSe refere al tipo de tema abordado en los problemas y las tareas de matemticas. Los contenidos se clasifcan en cuatro: cantidad, probabilidad, cambio y relaciones, y espacio y forma.Cantidad. Este contenido se refere a la cuantifcacin de los atributos de los objetos, las relaciones, las situaciones y las formas del mundo, interpretando distintas representaciones de esas cuantifcaciones yjuzgandointerpretacionesyargumentosbasadosenlacantidad.Participarenlacuantifcacindel mundo supone comprender las mediciones, los clculos, las magnitudes, las unidades, los indicadores, el tamao relativo, as como las tendencias y los patrones numricos. Algunos aspectos del razonamien-to cuantitativo son: el sentido de nmero, sus mltiples representaciones, el desarrollo de clculos, el clculo mental, la estimacin y evaluacin de la justifcacin de resultados.Probabilidad. Es un contenido central del anlisis matemtico en muchas situaciones, por lo que se han desarrollado la teora de la probabilidad y la estadstica, as como las tcnicas de representacin y descripcin de datos. Esta categora incluye el reconocimiento del lugar de la variacin en los proce-sos, la posesin de un sentido de cuantifcacin de esa variacin, la admisin de incertidumbre y error en las mediciones, as como conocimientos sobre el azar. Asimismo, comprende la elaboracin, inter-pretacin y valoracin de las conclusiones extradas en situaciones donde la probabilidad y los datos son fundamentales. La presentacin e interpretacin de datos son conceptos clave en esta categora.Materiales para docentesLas tareas de matemticas11Cambio y relaciones. El mundo natural y el artifcial despliegan una variedad de relaciones tempora-les y permanentes entre los objetos y las situaciones, donde los cambios se producen dentro de los sistemasdeobjetosinterrelacionadosoencircunstanciasdondeloselementosseinfuyenmutua-mente. Estos cambios ocurren diacrnica y sincrnicamente. Algunas de estas situaciones suponen un cambio discontinuo, otras, un cambio continuo; unas ms son permanentes o invariables. Tener mayores conocimientos sobre el cambio y las relaciones supone comprender los tipos fundamentales de cambio y cundo tienen lugar, con el fn de utilizar modelos matemticos adecuados para describirlo y predecirlo. Desde un punto de vista matemtico, esto implica modelar el cambio y las relaciones con las funciones y ecuaciones pertinentes, adems de crear, interpretar y traducir las representaciones simblicas y grfcas de las relaciones.Espacio y forma. Esta categora incluye una amplia gama de fenmenos que se encuentran en nuestro mundo visual y fsico: patrones, propiedades de los objetos, posiciones y direcciones, representacio-nes de los objetos, decodifcacin y codifcacin de la informacin visual, navegacin e interaccin dinmica con formas reales y representaciones. PISA presupone que la comprensin de un conjunto de conceptos y destrezas bsicas es importante para la competencia matemtica en lo que respecta a espacio y forma. Por ello dicha competencia incluye una serie de actividades tales como la com-prensin de la perspectiva (por ejemplo en los cuadros), la elaboracin y lectura de mapas, la transfor- macin de las formas con y sin tecnologa, la interpretacin de vistas de escenas tridimensionales desde distintas perspectivas y la construccin de representaciones de formas.ProcesosPara resolver los problemas y las tareas matemticas deben activarse ciertos procesos. Los estudian-tes tienen que demostrar su dominio en tres procesos genricos: 1) formular situaciones en el mbito matemtico, 2) emplear conceptos, datos, procedimientos y razonamiento matemtico, y 3) interpretar, aplicaryevaluarresultadosmatemticos.Acontinuacinseexplicarbrevementelosalcancesde cada uno de ellos.3 Formular situaciones en el mbito matemtico. El trmino formular hace referencia a la capacidad del individuo de reconocer e identifcar oportunidades para utilizar las matemticas y, posteriormente, proporcionar la estructura matemtica a un problema presentado de forma contextualizada. Este pro-ceso incluye actividades como: Identifcacin de los aspectos matemticos de un problema situado en un contexto del mundo real, e identifcacin de sus variables signifcativas.3Para informacin detallada, vid. OECD (2014).12Las tareas de matemticasMateriales para docentes Reconocimientodelaestructuramatemtica(incluidaslasregularidades,lasrelacionesylos patrones) en problemas o situaciones dadas. Simplifcacin de una situacin o problema para que sea susceptible de anlisis matemtico.Emplearconceptos,datos,procedimientosyrazonamientomatemtico.Eltrminoemplearhace referencia a la capacidad del individuo para aplicar conceptos, datos, procedimientos y razonamien-tos en la resolucin de problemas formulados matemticamente con el fn de llegar a conclusiones relacionadas con esta rea. Este proceso incluye actividades tales como: Diseo e implementacin de estrategias para encontrar soluciones matemticas. Utilizacin de herramientas matemticas, incluida la tecnologa, que ayuden a encontrar solu-ciones exactas o aproximadas. Aplicacin de datos, reglas, algoritmos y estructuras matemticas en la bsqueda de soluciones.Interpretar, aplicar y evaluar resultados matemticos. El trmino interpretar se centra en la capacidad del individuo para refexionar sobre soluciones, resultados o conclusiones matemticas, e interpretarlas en el contexto de los problemas de la vida real. Este proceso incluye actividades tales como: Reinterpretacin de un resultado matemtico en el contexto del mundo real. Valoracin de la razonabilidad de una solucin matemtica en el contexto de un problema del mundo real. Comprensindelmodoenqueelmundorealafectalosresultadosylosclculosdeunpro-cedimiento o modelo matemtico para realizar juicios contextuales sobre la forma en que los resultados deben ajustarse o aplicarse.Situaciones o contextosSe refere al rea de la vida real en la cual se ubica el problema matemtico. Las cuatro clases de situaciones son: personal, social, laboral o cientfca.Personal. Los problemas clasifcados en esta categora se centran en actividades del propio individuo, su familia y su grupo de pares. Los tipos de contexto que pueden considerase personales incluyen aquellosqueimplicanlapreparacindelosalimentos,lascompras,losjuegos,lasaludpersonal, el transporte personal, los deportes, los viajes, la planifcacin personal y las fnanzas propias.Social. Problemas clasifcados en esta categora se centran en la comunidad (ya sea local, nacional o global). Pueden incluir aspectos como los sistemas electorales, el transporte, el gobierno, las polticas pblicas, la demografa, la publicidad, las estadsticas nacionales y la economa. Aunque los individuos estn involucrados en todos estos aspectos en la categora de contexto social los problemas ponen el acento en la perspectiva comunitaria.Materiales para docentesLas tareas de matemticas13Laboral. Esta categora da cuenta de problemas que se centran en el mundo del trabajo. Las pregun-tas pueden incluir aspectos como la medicin, el clculo de costos, el pedido de materiales para la construccin, la nmina, la contabilidad, el control de calidad, la planifcacin, el inventario, el diseo, la arquitectura y la toma de decisiones relacionadas con el trabajo. Los contextos laborales pueden referirse a cualquier nivel de la mano de obra, desde el trabajador no especializado, hasta el profesio-nal, aunque las preguntas del estudio PISA deben ser accesibles a los estudiantes de 15 aos.Cientfca. Forman parte de esta categora aquellos problemas que referen a la aplicacin de las ma-temticas al mundo natural y a cuestiones y temas relacionados con la ciencia y la tecnologa. Los contextos concretos podran incluir reas como la meteorologa o el clima, la ecologa, la medicina, las ciencias espaciales, la gentica, las mediciones y el propio mundo de las matemticas.La informacin descrita permite contextualizar al lector respecto de los elementos considerados en la evaluacin de matemticas de PISA, los cuales se ven refejados en las unidades de reactivos que se muestran en el siguiente apartado.Materiales para docentes 15I I . REACTI VOSDEMATEMTI CAS Las unidades y sus preguntas se clasifcaron de la siguiente manera:45Unidad Reactivo Formato Proceso4Contenido Contexto Nivel Puntaje5Elena la ciclista1 Opcin mltiple EmplearCambio y relaciones Personal 2 440.52 Opcin mltiple EmplearCambio y relaciones Personal 3 510.63 Respuesta construida EmplearCambio y relaciones Personal 6 696.6Ascenso al monte Fuji1 Opcin mltiple FormularCantidad Social 2 4642 Respuesta construida FormularCambio y relaciones Social 5 641.63 Respuesta construida EmplearCantidad Social 5 610Culautomvil?1 Opcin mltiple Interpretar Probabilidad Personalpor debajo del nivel 1327.82 Opcin mltiple EmplearCantidad Personal 3 490.93 Respuesta construida EmplearCantidad Personal 4 552.6Cochera1 Opcin mltiple Interpretar Espacio y forma Laboral 1 419.62 Respuesta construida EmplearEspacio y forma Laboral 6 687.34Las denominaciones completas de los procesos son las siguientes: emplear conceptos, datos, procedimientos y razonamiento matemtico; formular situaciones en el mbito matemtico; e interpretar, aplicar y evaluar resultados matemticos.5Para mayor informacin sobre los niveles de desempeo vase Mxico en PISA 2012.16Las tareas de matemticasMateriales para docentesElena acaba de comprar una bicicleta nueva. En el manubrio tiene un velocmetro. El velocmetro indica a Elena la distancia que recorre y su velocidad promedio en un viaje.A continuacin el lector podr conocer el contenido de estas unidades. Para cada uno de los reac-tivos se proporciona una fcha tcnica que incluye el proceso y el contenido evaluados, as como su nivel de difcultad. Adicionalmente, para el caso de los reactivos abiertos, se presentan ejemplos de respuestas de estudiantes mexicanos. Los ejemplos se clasifcaron segn los crditos asignados en cada reactivo. Por ejemplo, en algunos casos se presentan respuestas que obtienen crdito total, otras que alcanzaron crdito parcial y otras tantas que no pudieron obtener ningn crdito (es decir, respues-tas no aceptables). Todo ello con el fn de que el lector pueda apreciar distintos tipos de respuestas en cada reactivo.Elena, la ciclistaPregunta 1. Elena, la ciclistaEn un viaje, Elena recorri 4 km en los primeros 10 minutos y luego 2 km en los siguientes 5 minutos.Cul de las siguientes afrmaciones es correcta?A. LavelocidadpromediodeElenafuemayorenlosprimeros 10 minutos que en los 5 minutos siguientes.B. LavelocidadpromediodeElenafuelamismaenlosprimeros 10 minutos y en los 5 minutos siguientes.C. LavelocidadpromediodeElenafuemenorenlosprimeros 10 minutos que en los 5 minutos siguientes.D. No es posible decir nada sobre la velocidad promedio de Elena a partir de la informacin proporcionada.Proceso Contenido Contexto NivelPuntajeEmplear Cambio y relaciones Personal 2 440.5Materiales para docentesLas tareas de matemticas17Comentario de PISA 6Comentario de PISALapregunta1requierecompararlasvelocidadesalcanzadascuandoserecorren4kmen10minutosy cuando se recorren 2 km en 5 minutos. Se necesita una precisa comprensin matemtica de que la velo-cidad es una tasa (una relacin entre dos magnitudes) y tener nociones de proporcionalidad. La pregunta se puede resolver utilizando una nocin simple de proporcin: para el doble de distancia se emplea el doble de tiempo (2 km a 4 km se recorren en 5 y 10 minutos, respectivamente). Los estudiantes que respondieron correctamente esta pregunta demuestran una comprensin bsica de la velocidad, as como del clculo de proporciones: si la distancia y el tiempo estn en la misma proporcin, la velocidad ser la misma. No obs-tante, los estudiantes tambin pueden solucionar correctamente este problema de formas ms complejas, por ejemplo, calculando las velocidades promedio de ambos recorridos (24 km/h).Respuesta correcta: B. La velocidad promedio de Elena fue la misma en los primeros 10 minutos y en los 5 minutos siguientes.Pregunta 2. Elena, la ciclistaElena recorri 6 km para ir a casa de su ta. Su velocmetro mostr que en todo el viaje su velocidad promedio fue de 18 km/h.Cul de las siguientes afrmaciones es correcta?A. Elena se tard 20 minutos en ir a casa de su ta.B. Elena se tard 30 minutos en ir a casa de su ta.C. Elena se tard 3 horas en ir a casa de su ta.D. No es posible decir cunto tiempo se tard Elena en ir a casa de su ta.La pregunta 2 se puede resolver simplemente con un razonamiento de proporcionalidad y con la compren-sin del signifcado de la velocidad: 18 km se recorren en una hora, por lo tanto para una tercera parte de la distancia (6 km) el tiempo debe ser el tercio de una hora (20 minutos).Respuesta correcta: A. Elena se tard 20 minutos en ir a casa de su ta.6Estos comentarios fueron incluidos en Mxico en PISA 2012 y adaptados por la Direccin de Evaluaciones Internacionales de Resultados Educativos para los objetivos pedaggicos de esta obra.Proceso Contenido Contexto NivelPuntajeEmplear Cambio y relaciones Personal 3 510.618Las tareas de matemticasMateriales para docentesPregunta 3. Elena, la ciclistaElena fue en bicicleta de su casa al ro, que est a 4 km. Se tard 9 minutos. Luego regres a su casa y us una ruta ms corta, de 3 km. Slo se tard 6 minutos.Cul fue la velocidad promedio de Elena, en km/h, en el viaje al ro, ida y vuelta?Velocidad promedio del viaje: km/hLa pregunta 3 es abierta y requiere de una mayor comprensin del signifcado de la velocidad promedio, para ello es necesario relacionar el tiempo total empleado con la distancia total recorrida. La velocidad del viaje total no puede obtenerse promediando las velocidades de los dos recorridos (26.67 km/h y 30 km/h), aunque este promedio (28.3 km/h) sea cercano al de la respuesta correcta de 28 km/h. Si los estudiantes calculan el tiempo total utilizado en el viaje (9 + 6 = 15 minutos) y la distancia total recorrida (4 + 3 = 7 km), la respuesta puede obtenerse simplemente por un razonamiento proporcional (7 km en 15 minutos equivalen a 28 km en 1 hora), o mediante el uso de una frmula ms complicada, por ejemplo: distancia / tiempo = 7 / (15 / 60) = 420 / 15 = 28. Para otorgarle crdito total a la respuesta, el estudiante debe contestar 28 km/h. Respuestas distintas a 28 no obtienen crdito. En el caso de que el estudiante conteste 28.3, la respuesta tampoco obtiene crdito por utilizar un mtodo inadecuado para calcular el promedio de velocidad.RESPUESTAS QUE OBTUVIERON CRDITO TOTALEjemplos Sexo y nivel educativoA Hombre Secundaria generalB Mujer Secundaria generalComentario de PISAProceso Contenido Contexto NivelPuntajeEmplear Cambio y relaciones Personal 6 696.6Materiales para docentesLas tareas de matemticas19Ejemplos Sexo y nivel educativoC Mujer Secundaria tcnicaD Mujer Secundaria tcnicaE Hombre TelesecundariaF Hombre Bachillerato generalG Hombre Bachillerato generalH Mujer Bachillerato tecnolgicoI Mujer Bachillerato tecnolgicoJ Mujer Profesional tcnicoK Mujer Bachillerato tecnolgico20Las tareas de matemticasMateriales para docentesObservaciones a las respuestas que obtuvieron CRDITO TOTALEs conveniente anotar que en esta tarea no se le solicita al estudiante mostrar ni sus operaciones ni sus procedimientos para obtener el resultado. A pesar de ello, algunos estudiantes mostraron sus operacio-nes, lo que permite intuir el posible procedimiento utilizado para obtener el resultado. En los ejemplos A y H se puede observar que el razonamiento de proporcionalidad, mencionado en el comentario de PISA, fue concretado con la elaboracin de una tabla de datos en la que los estu-diantes manejan como un total tanto el tiempo como la distancia. De las tablas se puede inferir que 7 km se recorren en un tiempo de 15 minutos, por lo tanto el patrn proporcional se repetir para mltiplos de 7: 14 en 30, 21 en 45 y 28 en 60.En la respuesta F slo se hizo la separacin de datos en la que se pone en claro que las distancias y el tiempo se suman. Y aunque no hay evidencia de que se us el concepto de proporcionalidad, el resultado fue adecuado.En otras respuestas se presenta una organizacin de datos efciente y por dems ilustrativa, tanto de la informacin proporcionada en el reactivo, como de las operaciones realizadas. Particularmente, en K y en B se hizo un uso efectivo de la frmula para la velocidad (v = d / t) y se realiz la respectiva sustitucin de valores de manera adecuada. Adems, en el ejemplo B se hizo una conversin previa de la que slo se muestra el resultado (.25 h), y en seguida se calcul el cociente con el resultado correcto.EnlarespuestaDseempleladenominadaregladetres;estoes,sehizousodela proporcionalidad entre razones iguales, y aunque slo se tuvo un mnimo conficto con las unidades (km/h), esta situacin no disminuy el crdito obtenido. Estos ejemplos que obtuvieron crdito total muestran la variedad de estrategias que los alumnos utilizan para dar solucin a los reactivos. Sin embargo, es importante destacar que la conceptualizacin de velocidad promedio, y de las unidades de medida y sus respectivas conversiones, son conocimientos fundamentales que el estudiante requiere dominar para realizar un manejo adecuado de los datos, lo que deriva en el planteamiento de una estrategia exitosa para la solucin de esta tarea.RESPUESTAS QUE NO OBTUVIERON CRDITOEjemplos Sexo y nivel educativoA Hombre Secundaria generalB Hombre Secundaria generalC Hombre Secundaria tcnicaMateriales para docentesLas tareas de matemticas21Ejemplos Sexo y nivel educativoD Hombre Secundaria tcnicaE Hombre TelesecundariaF Hombre Bachillerato generalG Mujer Bachillerato generalH Hombre Bachillerato tecnolgicoI Hombre Bachillerato tecnolgicoJ Mujer Profesional tcnicoK Mujer Profesional tcnicoObservaciones sobre las respuestas que NO OBTUVIERON CRDITOLas respuestas seleccionadas que no obtuvieron crdito son, en su mayora, cifras en las que aparen-temente no se muestra algn elemento que permita intuir el procedimiento seguido. No obstante, en B, C y D, la respuesta es 7, lo que podra hacer pensar que en estos casos los estudiantes slo sumaron las distancias. Situacin semejante sucede con A y K, pues la respuesta de 15 es quiz la suma de los tiempos. Si as fuera, estas respuestas hacen suponer que el concepto de velocidad promedio est par-cialmente entendido, y aun cuando estos estudiantes no alcanzaron a resolver la tarea de manera exitosa, los conocimientos demostrados pueden potencializarse con una gua adecuada. En el ejemplo G se destaca el camino inadecuado, en trminos procedimentales, para la obtencin del promedio de velocidad de los dos tramos y, adems, incompleto, pues se queda en el clculo del primer tramo. Sin embargo, la respuesta hace patente que existe conocimiento del concepto de propor-cionalidad, lo que puede ser aprovechado tanto en la elaboracin de alguna estrategia para el manejo de los datos como en la conversin de unidades.En J se aprecia una operacin (36 + 18 = 54) que permite intuir que el estudiante no conoce la frmu-la de la velocidad o que la interpret de manera equivocada, pues, en lugar de obtener un cociente, hace un producto; esto es, multiplica la distancia por el tiempo en cada uno de los tramos, y al fnal suma los totales (un error adicional, pues no obtuvo el promedio sino la suma total). Estos ejemplos dejan entrever ciertas conceptualizaciones que poseen los estudiantes que pueden ser aprovechadas por los docentes para enfocar de manera adecuada sus estrategias de intervencin.22Las tareas de matemticasMateriales para docentesComentario de PISAElmonteFujiesunfamosovolcninactivo de Japn.Pregunta 1. Ascenso al monte FujiEl monte Fuji slo est abierto al pblico del 1 de julio al 27 de agosto de cada ao. Alrededor de 200, 000 personas escalan el monte Fuji en este periodo.Cuntas personas en promedio escalan el Monte Fujicada da aproximadamente?A. 340B. 710C. 3, 400D. 7, 100E. 7, 3400La pregunta 1 requiere calcular primero el nmero de das en los que el recorrido est abierto (haciendo uso de los datos proporcionados en el texto) y luego calcular el promedio de personas que escalan el monte. Se requiere utilizar la frmula para el promedio, lo cual implica el uso de una relacin para encontrar la cantidad de gente por da.Respuesta correcta: C. 3 , 400Ascenso al monte FujiProceso Contenido Contexto NivelPuntajeFormularCantidad Social 2 464Materiales para docentesLas tareas de matemticas23Comentario de PISAPregunta 2. Ascenso al monte FujiEl sendero Gotemba, que sube por el Monte Fuji, mide alrededor de 9 kilmetros (km) de largo. Los visitantes deben regresar de la caminata de 18 km a ms tardar a las 8 p.m. Toshi calcula que puede subiralamontaaaunpromediode1.5kilmetrosporhora,ybajaraldobledevelocidad.Estas velocidades toman en cuenta los tiempos para comer y descansar.Utilizando las velocidades calculadas por Toshi, a qu hora es lo ms tarde que puede comenzar su caminata para que pueda regresar a ms tardar a las 8 p.m.?La pregunta 2 requiere cuantifcar el tiempo para subir y para descender a partir de la informacin proporcio-nada sobre distancias y velocidades; adems se debe combinar esta informacin con el tiempo lmite para comenzar el recorrido. La pregunta posee cierta complejidad porque su estructura matemtica involucra mlti-ples relaciones que el estudiante debe realizar para contestarla: tiempo de inicio = tiempo fnal duracin; du-racin = tiempo para subir + tiempo de descenso; tiempo para subir (o para descender) = distancia / velocidad (o su equivalente razonamiento proporcional); tiempo para descender = la mitad del tiempo para subir. Todo ello considerando los supuestos de que la velocidad promedio incluye los tiempos para comer y para descansar. Para otorgarle crdito total a la respuesta, el estudiante debe contestar 11 a.m. (con o sin a.m., o una forma equivalente de escribir esta hora). Respuestas distintas no obtienen crdito. RESPUESTAS QUE OBTUVIERON CRDITO TOTALEjemplos Sexo y nivel educativoA Hombre Secundaria generalB Mujer Secundaria generalProceso Contenido Contexto NivelPuntajeFormularCambio y relaciones Social 5 641.624Las tareas de matemticasMateriales para docentesEjemplos Sexo y nivel educativoC Mujer Secundaria tcnicaD Mujer TelesecundariaE Mujer Bachillerato generalF Hombre Bachillerato generalG Hombre Bachillerato tecnolgicoH Hombre Profesional tcnicoI Mujer Profesional tcnicoObservaciones sobre las respuestas que obtuvieron CRDITO TOTALEs conveniente anotar que en esta tarea tampoco se solicita al estudiante que muestre ni sus opera-ciones ni sus procedimientos para obtener el resultado. Sin embargo, algunos de estos ejemplos de respuesta se caracterizan por utilizar elementos grfcos para organizar la informacin proporcionada, y otros, por incluir sus operaciones. Los procedimientos grfcos (uso de fechas, crculos, subrayados, sealizaciones,etctera)sonunrecursoquelosestudiantespuedenutilizarcomoestrategiapara hallar la solucin a la tarea matemtica. No son el nico camino, pues otros ejemplos evidencian un uso exclusivo de las operaciones adecuadas para encontrar la hora solicitada.Enparticular,larespuestaAmuestraunprocesodesolucinquepermitedistinguirdistintas etapas de razonamiento. Primero, un acomodo de la informacin en donde se extraen y ordenan los datos, y despus una etapa de clculo. En esta ltima, el estudiante no muestra evidencia con la que se pudiera intuir su procedimiento para la obtencin de los tiempos. Sin embargo, como emplea el producto (d = v t) en lugar de utilizar el cociente (t = d / v), est comprobando que, para velocidades distintas, con los tiempos de 6 y 3 horas, se recorren las distancias que indica con las fechas. Des-pus realiza la suma de las horas para obtener el tiempo de la caminata y de ah salta al resultado sin mostrar qu es lo que le condujo a dar esa respuesta.Materiales para docentesLas tareas de matemticas25La estrategia que se emplea en las respuestas B y D, una serie numrica de la escala horaria que va de la 1 a las 12 horas, permiti a los estudiantes hacer un conteo del tiempo empleado en la camina-ta e indicar la hora mxima de inicio. En B se observa, sobre todo, una traduccin del lenguaje comn al lenguaje matemtico, al detallar los tiempos de ascenso y descenso de forma muy grfca.En F, G y H, se recurre a calcular los tiempos con el cociente (t = d / v). En estos ejemplos, como tambin sucede en A, los clculos que realizan los estudiantes los llevan a determinar el tiempo total y de ah pasan a escribir el resultado. Se podra suponer que estn recurriendo al clculo mental o quiz al uso de la calculadora por lo que no anotan el procedimiento.RESPUESTAS QUE NO OBTUVIERON CRDITOEjemplos Sexo y nivel educativoA Mujer Secundaria generalB Hombre Secundaria generalC Hombre Secundaria tcnicaD Hombre Secundaria tcnicaE Hombre TelesecundariaF Hombre Bachillerato generalG Mujer Bachillerato generalH Mujer Bachillerato tecnolgicoI Hombre Bachillerato tecnolgicoJ Hombre Profesional tcnicoK Mujer Profesional tcnico26Las tareas de matemticasMateriales para docentesComentario de PISAEjemplos Sexo y nivel educativoL Mujer Bachillerato generalM Mujer Bachillerato generalObservaciones sobre las respuestas que NO OBTUVIERON CRDITOUna caracterstica general de estas respuestas es que la mayora no muestra ni sus operaciones ni sus procedimientos para obtener el resultado. Sin bien slo se solicita la hora ms tarda en que se debe comenzar la caminata, el hecho de mostrar el dato podra sugerir cierta incomprensin en los niveles de conceptualizacin del problema desde la informacin proporcionada. Las respuestas son tan variables que se ubican en un rango de 18 a 1 hora antes del lmite para el regreso. En B y J se observan respuestas iguales, y en L y M el procedimiento es adecuado para llegar a una parte de la solucin (las 9 horas que dura el recorrido); sin embargo, no llegan a concretar la hora de sa-lida. Se podra inferir que conceptualmente existe un conficto entre diferenciar un lapso de tiempo y ubi-car, en una hora especfca, el tiempo transcurrido. Esto podra ocurrir quiz por el reto que implica hacer una cuenta regresiva con la escala horaria de 12 horas, ya que despus de llegar a la 1 la serie se repite.Pregunta 3. Ascenso al monte FujiToshi utiliz un podmetro para contar sus pasos al caminar por el sendero Gotemba. Su podmetro mostr que dio 22, 500 pasos en la subida.Calcula la longitud promedio de los pasos de Toshi para su caminata de 9 km al subirpor el sendero Gotemba. Tu respuesta debe estar en centmetros (cm). Respuesta: cmLa pregunta 3 requiere utilizar la siguiente frmula: la distancia recorrida = nmero de pasos x longitud pro-medio de los pasos. El hacer uso de esta frmula para solucionar el problema implica dos cuestiones: una apropiada conversin de unidades (km y cm) y el reordenamiento de la frmula (lo que probablemente hagan Proceso Contenido Contexto NivelPuntajeEmplearCantidad Social 5 610Materiales para docentesLas tareas de matemticas27los estudiantes de manera informal, ms que escribir de manera formal la relacin entre variables), con el fn de que la longitud promedio de los pasos pueda generarse mediante el uso de la distancia recorrida y el nmero de pasos. Las respuestas a esta pregunta pueden recibir crdito total, parcial o no obtener crdito. Para obtener crdi-to total, el estudiante debe contestar 40 cm. Respuestas que muestren una conversin incorrecta, por ejemplo 4 000 o que fueron dadas en metros (0.4), obtienen crdito parcial. Otras respuestas no obtienen crdito.RESPUESTAS QUE OBTUVIERON CRDITO TOTALEjemplos Sexo y nivel educativoA Mujer Secundaria generalB Hombre Secundaria generalC Hombre Secundaria tcnicaD Mujer Secundaria tcnicaE Hombre TelesecundariaF Mujer Bachillerato generalG Mujer Bachillerato generalH Mujer Bachillerato tecnolgicoI Hombre Bachillerato tecnolgicoJ Hombre Profesional tcnico28Las tareas de matemticasMateriales para docentesObservaciones sobre las respuestas que obtuvieron CRDITO TOTALEn algunos de estos ejemplos (D, F, G), se muestra una correcta aplicacin de conversiones y ope-raciones. En ellos se emplea de forma indirecta la frmula para obtener la longitud promedio de los pasos (distancia recorrida / nmero de pasos). Se puede adquirir ms informacin de los resultados que obtuvieron crdito parcial o que no obtuvieron crdito alguno.RESPUESTAS QUE OBTUVIERON CRDITO PARCIALEjemplos Sexo y nivel educativoA Mujer Secundaria generalB Mujer Secundaria generalC Hombre Secundaria tcnicaD Mujer Secundaria tcnicaE Mujer TelesecundariaF Hombre Bachillerato generalG Hombre Bachillerato generalH Mujer Bachillerato tecnolgicoI Mujer Bachillerato tecnolgicoJ Mujer Profesional tcnicoObservaciones sobre las respuestas que obtuvieron CRDITO PARCIALComo se mencion anteriormente, el crdito parcial se otorga tanto a las respuestas dadas en me-tros como a las que evidencian una conversin inadecuada. En alguno de los comentarios a otros Materiales para docentesLas tareas de matemticas29reactivos, PISA menciona que a los 15 aos de edad muchos estudiantes todava poseen una con-cepcin errnea de los nmeros decimales. Estos ejemplos son evidencia de ello.Ntese que para los ejemplos C, D, F y G, el resultado es 0.4 cm, esto da cuenta de que los alum-nos, conceptualmente, tienen comprendida la razn distancia recorrida / nmero de pasos, lo que los lleva a realizar el siguiente clculo: 9 000 / 22 500 = 0.4, asumiendo ellos que el resultado est dado en centmetros al colocarlo en la casilla correspondiente. Se destaca que los alumnos estn hacien- dounaprimeraconversin,dekilmetrosametros,noobstantepasanporaltolaconversinde metros a centmetros. Para los casos E, H y J, la conversin presenta difcultades conceptuales, ya que asume que 9 km son 90 000 cm, por ello sus operaciones conducen a obtener 4 con el consiguiente error en sus uni-dades. En tanto que para los ejemplos B e I, los alumnos inferen que 9 km equivalen a 900 cm, as sus resultados arrojan 0.04 cm. Finalmente, el ejemplo A no hace la conversin y emplea directamente 9 km en la divisin.Estos ejemplos son interesantes dadas las diferentes formas en que los alumnos conciben la conver-sin de unidades de longitud. Como estrategia didctica se puede cuestionar a los alumnos, con ejercicios en el aula de esta naturaleza, si las soluciones dadas representan un resultado coherente.RESPUESTAS QUE NO OBTUVIERON CRDITOEjemplos Sexo y nivel educativoA Mujer Secundaria generalB Mujer Secundaria generalC Mujer Secundaria tcnicaD Mujer Secundaria tcnicaE Mujer Telesecundaria30Las tareas de matemticasMateriales para docentesEjemplos Sexo y nivel educativoF Mujer Bachillerato generalG Hombre Bachillerato generalH Mujer Bachillerato tecnolgicoI Hombre Bachillerato tecnolgicoJ Hombre Profesional tcnicoK Hombre Profesional tcnicoObservaciones sobre las respuestas que NO OBTUVIERON CRDITOEn algunos de estos ejemplos se constata que parte de las soluciones inadecuadas a un problema matemtico se vinculan con dejar un procedimiento sin concluir. Tal es el caso de la respuesta B en la que se obtiene un resultado preciso, con el procedimiento detallado de manera esmerada, pero de los pasos realizados en un solo kilmetro y no en los nueve que dura el recorrido. En los ejemplos H e I, el resultado (2 500) es producto de una concepcin errnea de la relacin (dis-tancia recorrida / nmero de pasos), porque los estudiantes invierten esta relacin para dar con dicho resultado. Ntese adems que en estos casos se pasa por alto la conversin de unidades.Algo similar pasa con C y G, en donde se observa que se invierte la relacin mencionada, no obs-tante los alumnos tienen la precaucin de hacer la conversin de kilmetros a metros, su resultado (2.5) se obtiene de la razn 22 500 / 9 000. En el ejemplo J tambin se observa el mismo error de planteamiento, recurrente en los ejercicios antes mencionados, en este caso se presenta adems un error en la conversin (9 / 1 000 = 0.009); lo que lleva a dividir 22 500 / 0.009 = 2 500 000. ParaelejemploB,esinteresanteobservarqueelcontenidoprocedimentaldesusolucines correcto, ya que aplica bien la relacin de variables como una proporcionalidad, como se prev en el co-mentario de PISA. Su conversin de kilmetros a centmetros es correcta (1 x 1 000 x 100 = 100 000), el detalle del error en el clculo est en que pasa por alto multiplicar por nueve.No menos interesante resulta el ejemplo E. En este caso el alumno comete un error en la rela-cin de variables, ya que las organiza de la siguiente forma: distancia recorrida x nmero de pasos = 22 500 x 9 = 202 500.Materiales para docentesLas tareas de matemticas31Comentario de PISACarla acaba de recibir su licencia de conducir y quiere comprar su primer automvil.La tabla siguiente muestra los detalles de cuatro automviles que encuentra en una agencia automotriz.Modelo Alfa Bolta Caste DelosAo 2003 2000 2001 1999Precio anunciado(zeds)4, 800 4, 450 4, 250 3, 990Kilometraje(kilmetros)105, 000 115, 000 128, 000 109, 000Cilindraje (litros) 1.79 1.796 1.82 1.783Pregunta 1. Cul automvil?Carla quiere un automvil que cumpla con todas estas condiciones: Que el kilometraje no sea mayor a 120, 000 kilmetros. Que lo hayan fabricado en el ao 2000 o en un ao posterior. Que el precio anunciado no sea ms de 4, 500 zeds.Cul automvil cumple con las condiciones de Carla?A. AlfaB. BoltaC. CasteD. DelosLa pregunta 1 requiere manejar la lectura convencional dentro de una tabla (fla-columna), as como la habilidad para el manejo de gran cantidad de datos que le permita al estudiante identifcar en dnde se satisfacen de manera simultnea las tres condiciones mencionadas.Respuesta correcta: B. BoltaCul automvil?Proceso Contenido Contexto NivelPuntajeInterpretar Probabilidad Personal por debajo del nivel 1 327.832Las tareas de matemticasMateriales para docentesComentario de PISAComentario de PISAPregunta 2. Cul automvil?Cul automvil tiene el cilindraje ms pequeo?A. AlfaB. BoltaC. CasteD. DelosLa difcultad de la pregunta 2 radica en que muchos estudiantes a la edad de quince aos poseen una con-cepcinerrneadelsistemadecimalydelvalorposicionalqueserequiereconocerparaordenarnmeros decimales desiguales, como sucede en este caso.Respuesta correcta: D. DelosPregunta 3. Cul automvil?Carla tendr que pagar adems 2.5% del precio anunciado del automvil para impuestos.De cunto son los impuestos por el Alfa? Impuestos en zeds: En la pregunta 3 se requiere que el estudiante realice el clculo de un porcentaje (2.5%) del precio anunciado (4 800 zeds) de un auto. Para obtener crdito total, el estudiante debe contestar 120. Otras respuestas no obtienen crdito, a pesar de que, por ejemplo, se enuncie la operacin (2.5% de 4 800 zeds) pero no se efecte para lograr el resultado.Proceso Contenido Contexto NivelPuntajeEmplearCantidad Personal 3 490.9Proceso Contenido Contexto NivelPuntajeEmplearCantidad Personal 4 552.6Materiales para docentesLas tareas de matemticas33RESPUESTAS QUE OBTUVIERON CRDITO TOTALEjemplos Sexo y nivel educativoA Mujer Secundaria generalB Mujer Secundaria generalC Hombre Secundaria tcnicaD Mujer Secundaria tcnicaE Mujer TelesecundariaF Hombre Bachillerato generalG Hombre Bachillerato generalH Hombre Bachillerato tecnolgicoI Mujer Bachillerato tecnolgicoJ Mujer Profesional tcnicoK Mujer Profesional tcnico34Las tareas de matemticasMateriales para docentesObservaciones sobre las respuestas que obtuvieron CRDITO TOTALLasoperacionesmostradasenlasrespuestasB,DeI,permitendeducirquelosestudiantesuti-lizaroncomoestrategialaaplicacindelaregladetresparaestablecerlaproporcionalidady,en consecuencia, el porcentaje solicitado. En Aseobservaunerrordeplanteamientoenlarazn100/1 200,yaquedeesamaneraes claro que el resultado debe ser 0.008333, no obstante escribe 120, que resulta de dividir de forma invertida la razn mostrada. En el ejemplo J, muy similar al ejemplo B, se nota la escritura del algo- ritmo 4 800 x 2.5 / 100, que, por su mismo nivel jerrquico de operaciones, hace suponer que la tarea no representa mayor difcultad para estos estudiantes. En G se muestra una respuesta en la que el alumno ya resolvi conceptualmente el 2.5% y lo ha traducido a su valor decimal, 0.025. Finalmente en H se establece el algoritmo 4 800 x 2.5 / 12 000, esto hace suponer un conficto al establecer la proporcionalidad; no obstante, el estudiante, en su divisin, plantea correctamente su solucin.RESPUESTAS QUE NO OBTUVIERON CRDITOEjemplos Sexo y nivel educativoA Mujer Secundaria generalB Mujer Secundaria generalC Mujer Secundaria tcnicaD Mujer Secundaria tcnicaE Mujer TelesecundariaF Mujer Bachillerato generalG Hombre Bachillerato generalH Hombre Bachillerato tecnolgicoMateriales para docentesLas tareas de matemticas35Ejemplos Sexo y nivel educativoI Mujer Bachillerato tecnolgicoJ Hombre Profesional tcnicoK Mujer Profesional tcnicoObservaciones sobre las respuestas que NO OBTUVIERON CRDITOLas difcultades mostradas en estas respuestas son de distinta ndole. El profesor podr identifcar, por ejemplo, casos en los que no se logra ubicar el auto indicado (K) o que no se sigue el procedimien-to de manera correcta. Son distintos errores los que permitirn dirigir de mejor manera sus estrategias didcticas a la hora de ensear un contenido (el concepto de porcentaje) en apariencia sencillo, pero que requiere el dominio de fracciones, decimales, razones y proporciones.En A, la respuesta muestra una clara aplicacin de proporcionalidad en el planteamiento; sin em-bargo, no llega a concretar su respuesta correctamente. Algo similar sucede con B, en este caso su procedimiento es correcto, pero el dato del porcentaje es impreciso: 2 en lugar de 2.5. En los ejemplos D e I, los estudiantes emplean un factor de 0.25, lo que hace suponer que confunden 2.5% con 25%. En H se escribe el porcentaje en notacin decimal, con errores en el procedimiento (2.5 x 100), al igual que en F (2.5 X 1 000).36Las tareas de matemticasMateriales para docentesCocheraEn la categora bsicos de un fabricante de cocheras, hay modelos con una sola ventana y una puerta.Jorge elige el siguiente modelo de la cate-gora bsicos. Aqu se muestra la posicin de la ventana y de la puerta.Pregunta 1. CocheraLas siguientes ilustraciones muestran diferentes modelos bsicos vistos desde atrs.Slo una de estas ilustraciones corresponde al modelo anterior que Jorge eligi.Cul modelo eligi Jorge? Encierra en un crculo A, B, C o D.A BC DProceso Contenido Contexto NivelPuntajeInterpretar Espacio y forma Laboral 1 419.6Materiales para docentesLas tareas de matemticas37Comentario de PISAEn la pregunta 1 se solicita a los estudiantes que identifquen un dibujo de una construccin vista desde atrs, proporcionndole la vista del frente. El diagrama debe ser interpretado con relacin a la posicin del mundo real visto desde atrs. La tarea de una rotacin mental como sta puede solucionarse haciendo uso de una visualizacin espacial intuitiva. Otras personas necesitarn explicitar un proceso de razonamien-to. Estas ltimas pudieran analizar las posiciones relativas de mltiples elementos (puerta, ventana, alguna de las esquinas), descartando las alternativas una a una. Otros tal vez hagan uso de dibujos para poder rotar fsicamente la imagen. Estos son slo algunos ejemplos de las diferentes maneras en que los estudiantes pueden enfrentar las preguntas de PISA: en este caso, el razonamiento explcito para algunos es intuitivo para otros.Respuesta correcta: C.Pregunta 2. CocheraLos siguientes planos muestran las dimensiones, en metros, de la cochera que Jorge eligi.1.002.400.50 0.50 2.00 1.00 0.50 6.001.00Vista frontal Vista lateralNota: El dibujo no est a escala.El techo se conforma de dos secciones rectangulares idnticas.Calcula la superfcie total del techo. Muestra tus operaciones.Proceso Contenido Contexto NivelPuntajeEmplearEspacio y forma Laboral 6 687.338Las tareas de matemticasMateriales para docentesComentario de PISALa pregunta 2 requiere de un clculo complejo, con mltiples referencias al uso de diagramas matemticos, adems de conocer el teorema de Pitgoras. Hay un alto nivel de demanda cognitiva dado que se requiere una comprensin y un uso exacto de la informacin de la vista frontal y lateral que se presenta en la pregun-ta. Es un reto para el estudiante la conciliacin del aparente 1.0 m de altura del techo desde la vista lateral con la vista frontal. El plan mostrado en la fgura 1 muestra la estructura bsica para obtener la solucin de la pregunta. El estudiante debe ser capaz de disear su propio plan para obtener la informacin solicitada a partir de los datos presentados.Las respuestas a esta pregunta pueden recibir crdito total, parcial o no obtener crdito. Para obtener crdito total, el estudiante debe contestar cualquier valor entre 31 y 33, ya sea que que apoye su respuesta en el uso del teorema de Pitgoras (aunque slo incluya algunos elementos que indiquen el uso de dicho mtodo) o que no muestre el trabajo realizado. No se requiere la inclusin de las unidades (m2).Para obtener crdito parcial existen dos posibilidades. La primera sucede cuando el trabajo del estudiante muestra un uso adecuado del teorema de Pitgoras, pero comente algn error de clculo, usa una longitud incorrecta, o no duplica el rea del techo. La segunda posibilidad considerada es que el trabajo del estudiante no evidencie el uso del teorema de Pitgoras, pero haga uso de un valor razonable para el ancho de una seccin del techo (por ejemplo, cualquier valor de 2.6 a 3) y completa el resto del clculo de forma correcta.Las respuestas que no obtienen crdito son aquellas en las que no se da una contestacin o en las que, por ejemplo, la estimacin del ancho de una de las secciones del techo est fuera del rango acepta-ble, que va de 2.6 a 3.Figura 1. Plan para responder a la pregunta 2 de la unidad CocheraVistafrontalProyeccinverticaldel techoProyeccinhorizontaldel techo(2.5m)Alturainclinadadel techorea deun ladorea detodo el techoVistalateralLongitud deun lado (6m)Materiales para docentesLas tareas de matemticas39RESPUESTAS QUE OBTUVIERON CRDITO TOTALEjemplos Sexo y nivel educativoA Mujer Secundaria generalB Hombre Secundaria generalC Hombre Secundaria tcnicaD Mujer Secundaria tcnicaE Mujer Telesecundaria40Las tareas de matemticasMateriales para docentesEjemplos Sexo y nivel educativoF Hombre Bachillerato generalG Mujer Bachillerato generalH Hombre Bachillerato tecnolgicoI Hombre Profesional tcnicoObservaciones sobre las respuestas que obtuvieron CRDITO TOTALTal y como se solicita en la propia pregunta, estas respuestas muestran las operaciones y el procedi-miento seguido para alcanzar el resultado. El grado de complejidad de la tarea solicitada la ubica en el nivel ms alto que mide PISA; sin embargo, los ejemplos mostrados evidencian la capacidad de estos estudiantes para utilizar, con sus estilos particulares, el teorema de Pitgoras. Los distintos procedi-mientos para alcanzar la respuesta permiten al docente identifcar caminos y rutas para contrastarlas con las que sus estudiantes estn utilizando en el saln de clase.Estosejemplosderespuestadejanverlacreatividadqueponenenjuegolosestudiantesensus procedimientos. Se puede destacar la riqueza de las estrategias de solucin en tres aspectos singula-res: el uso de fguras que auxilian el planteamiento, algoritmos elaborados adems de detallados y la descripcin escrita del procedimiento.Materiales para docentesLas tareas de matemticas41En A y D los estudiantes emplean un tringulo rectngulo para delimitar los catetos y a partir de ah calcular la hipotenusa. El ejemplo A tiene tambin similitud con los ejemplos G y H, en donde se descri-be el procedimiento, resultado de la instruccin del reactivo Muestra tus operaciones. Se destaca el ejemplo H, donde se redacta de manera muy detallada y precisa la secuencia del clculo, independien-temente de que se omite la parte numrica. De igual forma, los ejemplos A, C, D y G, manifestan una caracterstica particular en el procedimien-to: hacen un desarrollo de operaciones en columna, o bien, hacen un desarrollo por flas, lo cual denota un orden en su organizacin. En particular, en C y D, se recurre a la representacin simblica del teo-rema de Pitgoras: a2 + b2= c2, lo cual otorga evidencia de un manejo completo del tema. En cambio los ejemplos B, E, F e I, muestran un procedimiento de clculo lineal, referido este trmino a la disposicin de la secuencia de clculo.RESPUESTAS QUE OBTUVIERON CRDITO PARCIAL(Con uso adecuado del teorema de Pitgoras, pero con algn error)Ejemplos Sexo y nivel educativoA Mujer Secundaria generalB Mujer Secundaria general42Las tareas de matemticasMateriales para docentesEjemplos Sexo y nivel educativoC Hombre Secundaria tcnicaD Hombre TelesecundariaE Mujer Bachillerato generalF Mujer Bachillerato generalG Hombre Bachillerato generalMateriales para docentesLas tareas de matemticas43Ejemplos Sexo y nivel educativoH Mujer Bachillerato tecnolgicoI Hombre Profesional tcnicoObservaciones sobre las respuestas que obtuvieron CRDITO PARCIAL(Con uso adecuado del teorema de Pitgoras pero con algn error)Las respuestas mostradas en esta ocasin comprueban que, a pesar de poseer conocimiento sobre el teorema de Pitgoras, en algunos casos el procedimiento seguido por los estudiantes es incompleto oquizcontienedistintoserrores.Estosejemplossonparticularmenteilustrativosparaeldocente, pues puede identifcar las reas hacia las que puede dirigir sus estrategias didcticas. En particular, en casi todos los casos se logra calcular correctamente la hipotenusa. A pesar de que los estudiantes no evidencian difcultades cognitivas con el teorema de Pitgoras, su resultado no es empleado adecuadamente para el clculo del rea solicitada. En A, la respuesta presenta una confusin conceptual con el rea y el volumen. En B y C se distin-gue la aplicacin correcta de la suma de los cuadrados de los catetos, y se obtiene como resultado el cuadrado de la hipotenusa; sin embargo, no se culmina con el radical de este resultado. Este dato se emplea de distintas maneras. En B se utiliza para hacer el clculo del rea de las dos secciones del techo. En C este mismo resultado se multiplica por dos, con esto se asume que se est confundiendo la hipotenusa con el rea de una seccin del techo. Es destacable este ejemplo dado que en la res-puesta se redacta el procedimiento, dejando de lado en gran medida la parte numrica.En D, E, F, G, e I, se calcula correctamente la hipotenusa. Estos resultados tambin tienen diferentes tratamientos. En D y F emplean este valor como rea y lo multiplican por dos para obtener su resultado. Se destaca D, en el que se recurre a la redaccin del procedimiento, as como al uso de fguras auxilia-res. En el ejemplo E sucede algo similar que en D, adems de que se adiciona un cinco del que no se muestran evidencias de cmo se obtiene. En G e I, se muestran resultados muy cercanos a lo solucin correcta, ya que los estudiantes no pre-sentan difcultades en el uso del dato de la hipotenusa para calcular el rea, el nico detalle es que slo ven una parte del rea, es decir, falta multiplicar por dos. Una particularidad de F es que se redondea a una cifra signifcativa el resultado del radical.44Las tareas de matemticasMateriales para docentesFinalmente, en H se plantea el teorema de Pitgoras, pero se infere que se cometi un error en la suma de las acotaciones para obtener el cateto y as obtener la hipotenusa, ya que se incurre en el error de interpretar la hipotenusa como rea.RESPUESTAS QUE OBTUVIERON CRDITO PARCIAL(Sin evidencia del uso del teorema de Pitgoras, pero con resultado aproximado al correcto)Ejemplos Sexo y nivel educativoA Mujer Secundaria tcnicaB Mujer Bachillerato generalC Hombre Profesional tcnicoObservaciones sobre las respuestas que obtuvieron CRDITO PARCIAL(Sin evidencia del uso del teorema de Pitgoras, pero con resultado aproximado al correcto)Estos ejemplos son particularmente interesantes. A pesar de que no hay evidencia del uso del teorema de Pitgoras, los estudiantes utilizaron un valor razonable para el ancho de uno de los segmentos del techo. Lo que permite inducir un razonamiento adecuado en trminos de la informacin proporcionada. En los casos B y C, las soluciones mostradas se encuentran dentro del rango establecido en la codif-cacin; obsrvese que los alumnos recurren a una solucin prctica, en donde queda una clara evidencia de que intuitivamente aplican una relacin entre los lados del tringulo y el lado faltante para calcular el rea. El valor didctico de estos ejemplos radica en que los estudiantes no muestran evidencia de una adquisicin mnima del concepto del teorema de Pitgoras, aunque hay bases cognitivas que pueden ser aprovechadas para la construccin de conocimientos. En este sentido, es menester del docente brindar, en estos casos, herramientas sufcientes para la construccin de conceptos.Materiales para docentesLas tareas de matemticas45RESPUESTAS QUE NO OBTUVIERON CRDITOEjemplos Sexo y nivel educativoA Mujer Secundaria generalB Hombre Secundaria generalC Mujer Secundaria tcnicaD Hombre Secundaria tcnicaE Mujer TelesecundariaF Mujer Bachillerato generalG Mujer Bachillerato general46Las tareas de matemticasMateriales para docentesEjemplos Sexo y nivel educativoH Mujer Bachillerato generalI Mujer Bachillerato generalJ Mujer Profesional tcnicoK Mujer Profesional tcnicoObservaciones sobre las respuestas que NO OBTUVIERON CRDITOComo puede apreciarse en los ejemplos seleccionados, existe un esfuerzo notorio por parte de los estudiantes para hacer frente a este tipo de problemas; sin embargo, se evidencia un limitado reper-torio de elementos metodolgicos para encontrar una solucin acorde con lo requerido, en este caso, el uso del teorema de Pitgoras. Incluso, en algunos casos, hay confusin de trminos al momento de ser aplicados en un problema en concreto, como en el caso del ejemplo B, en el que el estudiante confunde la obtencin del permetro con el rea. En los ejemplos A, C, E y F, los estudiantes desarrollan sumas, lo que hace suponer que hay confusin del concepto de rea con el de permetro. En A, se recurre a una fgura auxiliar; en el supuesto de que se est calculando el permetro, hacen faltan dos elementos para concretar bien este clculo. Un anlisis similar se puede obtener de los ejemplos C, E y F, el cual se deja al lector para la obtencin de conclusio-nes personales. En los ejemplos E, I y K se emplea el valor de la altura 2.4, por lo que se presume que hay confusin en lo elementos que conforman el techo, haciendo la altura parte de este. Rescatables, desde el punto de vista metodolgico, son los ejemplos J y K por la redaccin de su procedimiento. Nte-se que en el ejemplo K se tiene claro el procedimiento genrico que se debe seguir al describir que son dos reas las que hay que considerar.Materiales para docentesLas tareas de matemticas47BI BLI OGRAF A AgenciaEducacin.(2013).PISA.Competenciasmatemticas:unrequisitoparalasociedaddela informacin.Marcodeevaluacin,preguntasyejemplosderespuestasdelaprueba.Santiagode Chile: Ministerio de Educacin. InstitutoNacionalparalaEvaluacindelaEducacin(INEE).(2013).MxicoenPISA2012. Mxico: INEE. MinisteriodeEducacin,CulturayDeporte(MECD).(2013).Programaparalaevaluacininter-nacionaldelosalumnos.VolumenI:Resultadosycontexto.Madrid:Autor.Consultadoel21de octubre de 2014 desde: http://www.mecd.gob.es/dctm/inee/internacional/pisa2012/pisa2012vo-li-24-02-2014.pdf?documentId=0901e72b8189abb8 Organization for Economic Co-operation and Development (OECD). (2014). PISA 2012 results: What students know and can do. Student performance in mathematics, reading and science (Vol. I. Edicin revisada). Pars: OECD Publishing. Consultado el 21 de octubre de 2014 desde: http://www.oecd.org/pisa/keyfndings/pisa-2012-results-volume-I.pdfDIRECTORIOJUNTA DE GOBIERNOSylvia Irene Schmelkes del ValleConsejera PresidentaEduardo Backhoff EscuderoConsejeroGilberto Ramn Guevara NieblaConsejeroMargarita Mara Zorrilla FierroConsejeraTeresa Bracho GonzlezConsejeraTITULARES DE UNIDADFrancisco Miranda LpezUnidad de Normatividad y Poltica EducativaJorge Antonio Hernndez UraldeUnidad de Evaluacin del Sistema Educativo NacionalAgustn Caso RaphaelUnidad de Informacin y Fomento de la Cultura de la EvaluacinLuis Castillo MontesUnidad de Planeacin, Coordinacin y Comunicacin SocialMiguel ngel de Jess Lpez ReyesUnidad de AdministracinLuis Felipe Michel DazContralor InternoDireccin General de Difusin y Fomento de la Cultura de la EvaluacinAnnette Santos del RealDireccin de Difusin y PublicacionesAlejandra Delgado SantoveaLAS TAREAS DE MATEMTICAS EN PISA 2012Es una publicacin digitaldel Instituto Nacional para la Evaluacin de la Educacin.En su formacin se emplearon la familias tipogrfcasITC Franklin Gothic Std y Syntax LT Std.Comunquesecon nosotrosVisite nuestroportalDescargue unacopia digital gratuita