Área de una pirámide

Área lateral“El área lateral de una pirámide regular es la mitad del producto del perímetro de la base y la apotema de la pirámide”

Hipótesis:

S-ABCDE pirámide regular

Demostración:

Aا = área ∆ ASB . N

área ∆ ASB = ½ AB . a

Aا = ½ AB . a n

AB . n = p

Aا = ½ p a

Tesis:

Aا = ½ p a

S

A

B C

D

E

S

a

Área totalEl área total de una pirámide regular es la suma del área lateral y el área de la base

At = Aا + Ab

Aا = ½ p a Ab = ½ p a’

At = ½ p a + ½ p a’

At = ½ p (a + a’)

Volumen de una pirámide

“Si dos pirámides tienen bases equivalentes a la misma altura, entonces tienen el mismo volumen”

Hipótesis:

h altura de las pirámides V-ACD y O-PQRS

B misma área de las bases

Tesis:

Pirámides V-ACD y O-PQRS tienen el mismo volumen

Demostración:

A’C’D’ y P’Q’R’S’ secciones transversales a las dos pirámides

Sección A’C’D’ es equivalente a P’Q’R’S’

Pirámides V-ACD y O-PQRS tienen el mismo volumen

V

A

C

D

A’ D’

C’h

B P

Q

R

S

O

P’

Q’R’

S’

B

h

Volumen de una pirámide triangular“El volumen de una pirámide triangular es un

tercio del producto del área de su base y su altura”

Hipótesis:

S-DEF pirámide triangular

B área de la base

h altura

V volumen

Tesis:

V = ⅓ B . h

A C

S

D

E

F

N

P

M

Demostración:

ASCDEF prisma triangular de base DEF y de altura H

Prisma ASCDEF = S-DEF + S-ADF + S-AFC

∆ADF = ∆AFC y ∆DSE = ∆DSA

Pirámides S-ADF y S-AFC tienen el mismo volumen

Pirámides F-DSE y F-DSA tienen el mismo volumen

Pirámides S-DEF, S-ADF y S-AFC tienen el mismo volumen V

Vp = 3V

Vp = B . h

3V = B . h

V = ⅓ B . h

Desarrollo de una pirámide

Lado del pentágono: 10cm

Altura: 24cm

10cm24cm

a = √ h2+r2

l5 = √ 10-2 √ 5 r

2

r =

2 l5

√ 10-2 √ 5

Radio: 8.5cm

8.5cm

Arista: 25.5cm

25.5c

m

10cm24cm

8.5cm25.5c

m

Lado del pentágono: 10cm

Altura: 24cm

Radio: 8.5cm

Arista: 25.5cm

25.5cm

10cm