2 Revista πkasle Aldizkaria

Aurkibidea ÍndiceAutorea Autor O. Pág.

Portada Josué Tonelli-Cueto 1Anuncios y Noticias Antonio Gallastegui, Ricardo Grande, 3

Irene Llana y Victor ManeroCursos on-line para estudiantes Jon Asier Bárcena 6Reseña: Ciencia e Hipótesis Manuel Santos 7Al acabar la carrera, ¿qué? Daniel Girela 8Interview with Christiane Rousseau Josué Tonelli-Cueto y Ricardo Grande 10La catenaria y el coseno hiperbólico Imanol Pérez 12abraMATabra Andrea Aresti eta Julene Escudero 13Srinivasa Ramanujan . . . el genio de la intuición Irune Gurrutxaga 15Eboluzioa Jone Uria 18Txominen Sariketa El Concurso de Txomin Txomin Zukalaregi 20

Zenbaki honen kolaboratzaileak Las y los colaboradores de este número

Maitane AmorAndrea Aresti

Jon Asier BárcenaJulene Escudero

Antonio GallasteguiDaniel Girela

Irune GurrutxagaIrene Llana

Imanol PérezManuel Santos

Jone UriaTxomin Zukalaregi

Haien laguntza eta lana gabe, ez zen posible izango zenbaki hau.Sin su ayuda y trabajo, este número no hubiera sido posible.

Batzorde Editoriala Comité EditorialRicardo Grande Josué Tonelli-Cueto

Aholkulari Batzordea Comité AsesorJulio García Marta Macho-Stadler Víctor Manero

Agradecimientos a Christiane Rousseau por la concesión de la entrevista.

πkasle aldizkariaren eduki bakoitzaren erantzukizuna eduki horren egilearena izango da, eta ez besterena.πkasle aldizkariak ez du bere gain hartuko eduki horietatik sor daitezkeen arazoen ardura.

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Komunitatea eta berriak Comunidad y Noticias 3

Sobre la portada

El 26 de marzo de 1913 nacía el mago de Buda-pest, Paul Erdös. De esta forma, el pasado 26 de marzose cumplieron cien años del nacimientos de este ilus-tre matemático del siglo XX. Por ello, sumándonos a lacelebración del centenario del nacimiento de Erdös, lehemos dedicado la portada de este número. Esta se ins-pira en los Celebrity Portraits del artista Andy Warhol.

Jornadas ANEM sobre salidas profesionalespara estudiantes de matemáticas

El pasado lunes, 11 de marzo, tuvieron lugar enValencia unas jornadas sobre salidas profesionalespara estudiantes de matemáticas organizadas por laAsociación Nacional de Estudiantes de Matemáticas(ANEM). Durante dos días se sucedieron varias confe-rencias donde se pretendía dar respuesta a una preguntahabitual entre los estudiantes: “¿Qué se puede hacer alterminar la carrera?”.

Todas las charlas fueron grabadas en vídeo y pue-den verse y descargarse en la siguiente página web:http://anem2013.blogs.uv.es/2013/04/07/

videos-de-las-jornadas/

Luis Vegak2012ko Ikerkuntzaren Euskadi saria

eskuratu du.

Irudia 1: Luis Vega.

Luis Vegak, UPV/EHUko Azterketa Matematikokokatedradunak, 2012ko Ikerkuntzako Euskadi saria lortudu. Luis Vega 1960. urtean jaio zen Madrilen; 1988an,Matematikako Lizentzia lortu zuen, Madrileko Univer-sidad Complutensean (UCM), eta 1988an, doktoregoa,Madrileko Unibertsitate Autonomoan (UAM). Bi ur-tez Chicagoko Unibertsitatean egon ondoren, Madrile-ko Unibertsitate Autonomora itzuli zen, 1993. urteraarte. Urte hartan, UPV/EHUra etorri zen, non 1995azgerotik katedraduna baita. Epaimahaiak, saria ematean,deribatu partzialetako ekuazioei eta azterketa harmo-nikoari Luis Vegak eginiko ekarpena nabarmendu zuen,eta bai azterketa horren kalitate eta sakontasuna etamatematika-arlo horren ikerketan izan duen garrantzihandia ere.

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4 Anuncios y Noticias

Nuevo número Matgazine

El pasado mes de marzo salió a la venta el númerocuatro de la revista sobre matemáticas Matgazine. Estarevista, que publicó su primer número en 2010, ha cre-cido rápidamente y ya se distribuye en múltiples uni-versidades estatales. En ella encontrareis noticias, ar-tículos sobre matemáticas y aplicaciones, curiosidades,pasatiempos, problemas y soluciones, y un largo etcé-tera.

Figura 2: Portada del nuevo número.

En particular en este cuarto número, nos encontra-mos con una entrevista a David Ellwood y dos artículosmuy interesantes: el primero habla sobre un teoremaque afirma que cualquier dibujo hecho con líneas rec-tas en un papel puede obtenerse doblando el papel dealguna forma y después pegando un tijeretazo recto alpapel doblado; el segundo nos habla de las probabili-dades de volver al punto de origen si se emprende uncamino aleatorio por una recta, un plano y otros espa-cios de más dimensiones.

Podéis echar un vistazo a los números anterioresy descargarlos en http://matgazine.tk/ o pedir elnuevo número en matgazine@gmail.com

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XIV ENEM

Figura 3: Logo del XIV ENEM.

El XIV Encuentro Nacional de Estudiantes deMatemáticas (ENEM), que organiza anualmente laAsociación Nacional de Estudiantes de Matemáticas(ANEM), se celebra este año en Mallorca desde el 22 al28 de julio. La inscripción con alojamiento está dispo-nible desde 180 euros (incluyendo comidas, matrículay actividades). Además, hay interesantes descuentos entransporte gracias a varios convenios.

Más información en:http://enem2013.uib.es/

I Encuentro de Matemáticas y Matemáticos Vascos

El 18 de julio tendrá lugar en el Palacio Markeskoa deEibar/Eibarreko Markeskoa jauregia el I Encuentro deMatemáticas y Matemáticos Vascos. En una serie decomunicaciones, los distintos grupos de investigaciónde la universidad nos presentarán el trabajo que realizanen sus respectivos campos. Las comunicaciones van di-rigidas a todo profesional o estudiante de matemáticasy serán íntegramente en euskera. Tras la úlima comu-nicación habrá una mesa redonda que versará sobre lasmatemáticas en los medios comunicación, y para con-cluir se llevará a cabo un debate sobre el futuro de lasmatemáticas.

El plazo de inscripción se abrirá en mayo, sien-do totalmente gratuita para el alumnado y con uncoste de treinta euros para el resto de participan-tes. Para mas información visitar la web: http://

www.unibertsitatea.net/blogak/ueu365/2013/

04/12/matematikari-euskaldunen-i-topaketa-

behin-behineko-egitaraua/

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Komunitatea eta berriak Comunidad y Noticias 5

XLIX Olimpiada Matemática EspañolaEste año, el concurso final de la Fase Nacional de

la XLIX Olimpiada Matemática Española se celebró enBilbao del 4 al 7 de abril. Las pruebas se realizaron enla Facultad de Ciencia y Tecnología de la UPV/EHU, ylos participantes, así como sus acompañantes, se aloja-ron en el Colegio Mayor Miguel de Unamuno. Y parahacer de su visita una experiencia no sólo académica,estos últimos recibieron una visita guiada en el MuseoGuggenheim de Bilbao y una excursión por la villa deGernika.

La fase final de la Olimpiada consta de dos pruebasescritas de cuatro horas y media de duración cada una,en el transcurso de las cuales, los participantes debenenfrentarse a un total de seis problemas propuestos porun tribunal.

Como complemento, se organizaron conferencias,con interés matemático por supuesto, en el Salón deGrados de la ZTF-FCT, teniendo como ponentes aAdolfo Quirós, Luca Gerardo-Giorda y Jesús MaríaArregi.

Durante los días de las pruebas pudimos disfrutarde la exposición “Momentos Matemáticos”, compues-ta por varios carteles divulgativos editados por la AMSque intentan recalcar la importancia de las matemáticasen la ciencia, la tecnología y la cultura.

En la ceremonia de entrega de medallas, JavierDuandikoetxea ofreció una charla con objeto de ani-mar a los participantes a seguir adelante con su peque-ña pasión, las matemáticas. En total se repartieron 6medallas de oro, 12 de plata y 18 de bronce. Entre losganadores de la medalla de bronce entró una estudiantedel País Vasco, y los ganadores de la medalla de oropasaban a la fase internacional. ¡Enhorabuena a todas ytodos!

Más información en: http://www.ehu.es/

olimpiadamat/OME2013/OME2013

XLIX Espainiako Olinpiada Matematikoa

Apirilaren 4tik 7ra bitartean, XLIX. EspainiakoOlinpiada Matematikoaren azken fasea egin zen Bil-bon. Probak UPV/EHUko Zientzia eta Teknologia Fa-kultatean (ZTF-CTF) egin ziren. Parte-hartzaileak etahaien laguntzaileak Bilboko Miguel de Unamuno ikas-tetxe nagusian ostatatu ziren, eta beren bisitan, espe-rientzia akademikoaz bestalde, Bilboko Guggenheimmuseoko bisita gidatua egiteko aukera izan zuten, etabai Gernikan zeharreko txango bat ere.

Olinpiadaren azken fasea lau ordu eta erdiko irau-peneko bi probak osatzen dute, eta, guztira, epai-mahaiak proposatutako 6 problemari egin behar dioteaurre parte-hartzaileek.

Ekitaldia zela eta, interes matematikoko hitzal-diak antolatu ziren ZTF-CTFko gradu aretoan; AdolfoQuirós, Luca Gerardo-Giorda, eta Jesús María Arregiizan ziren hizlariak.

Proben bitartean, “Momentos Matemáticos” izen-buruko erakusketaz gozatu ahal izan ginen. AMSek(American Mathematical Society) argitaratutako karteldibulgatiboz osatua zegoen; haien bidez, matematikakzientzian, teknologian eta naturan duen garrantzia na-barmendu nahi zen.

Dominak banatzeko ekitaldian, Javier Duandiko-txea irakasleak, bere hitzaldian, parte-hartzaileak berenpasioarekin eta matematikarekin aurrera jarraitzera ani-matu zituen. Guztira, 36 domina banatu ziren: urrezko6, zilarrezko 12 eta brontzezko 18; brontzezko irabaz-leen artean, neska euskaldun bat sartu zen. Urrezkodominen irabazleak nazioarteko fasera pasatu dira. Zo-rionak guztioi!

Informazio gehiago http://www.ehu.es/

olimpiadamat/OME2013/OME2013 webgunean.

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6 Komunitatea eta berriak Comunidad y Noticias

Cursos on-line para estudiantesJon Asier Bárcena

Hace ya un par de años que las universidades esta-dounidenses llevan impartiendo cursos on-line por In-ternet. Su justificación es que quieren universalizar laeducación y permitir que gente de origen humilde pue-da disfrutar de cursos del nivel de instituciones de pres-tigio como el MIT, la Universidad de Standford, la Uni-versidad de Brown, etc.

Figura 1: Logos de Udacity, coursera y edX.

Dentro de su gama de cursos, ofrecen muchos te-mas que podrían resultar de interés para el alumnadode matemáticas. Un ejemplo es la computación, ya queuna de las posibles salidas de un matemático o mate-mática es el mundo de la informática. Por eso son degran utilidad páginas como Udacity [1], que permitenadquirir conocimientos a tu ritmo y sin estrés. Además,sintonizan con la formación de un matemático: inclu-yen una teoría precisa bien cimentada, seguida de unosejercicios de nivel medio y terminando con problemasque requieren una mayor reflexión. Lo mejor de estapágina es que no hay condiciones de tiempo: tienen losdocumentos colgados y los trabajas a tu ritmo. Además,ofrecen un curso de iniciación y se coordinan entre loscursos para dar una sensación de relativa continuidad.

Otras páginas interesantes son Coursera [2] y edX[3]. Estas dos páginas se diferencian de Udacity en di-versas formas: mientras que Udacity se considera unente autónomo formado por personas, coursera y edXson plataformas de agrupaciones de universidades delos EEUU y varias europeas como la École Polytech-nique Fédérale de Lausanne o la École PolytechniqueParis-Tech. Ofrecen de todo: computación, economía,física, química, biología, etc. De esta forma, una perso-

na que decidiera hacer matemáticas puede ir estudiandoáreas en las que se plantee trabajar en un futuro. Su ma-yor interés es que te marcan plazos; con lo cual, evitaque a uno se le perpetúe un curso. O se termina, o seabandona.

En cuanto a matemáticas, la oferta no es muy varia-da: tienen un curso de iniciación muy básico, aunqueperfecto y recomendable para nuestras y nuestros lec-tores de enseñanzas medias [4]; otro de introduccióna la lógica [5], idóneo para cualquiera, pues sirve pa-ra agilizar la mente a la vez que explica, a modo deapéndice, cómo se usa esta materia en la inteligenciaartificial; y un trío de cursos en francés sobre métodosnuméricos, probabilidad e introducción a la teoría de ladistribución.

La gran mayoría de estos cursos son en inglés, locual puede venir bien a alguien que piense hacer unaestancia en el extranjero. Asimismo, están empezandoa ofrecer cursos en otros idiomas como el español o elfrancés.

En general, recomiendo estos cursos a cualquier es-tudiante, ya que benefician al currículum y los conoci-mientos nunca sobran.

Referencias

[1] Udacity. https://www.udacity.com/

[2] coursera. https://www.coursera.org/

[3] edX. https://www.edx.org/

[4] K. Devlin. Introduction to Mathematical Thin-king. coursera. https://www.coursera.org/

course/maththink

[5] M. Genesereth. Introduction to Logic. cour-sera. https://www.coursera.org/course/

intrologic

Jon Asier BárcenaEstudiante del Grado en MatemáticasUPV/EHU

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Komunitatea eta berriak Comunidad y Noticias 7

Reseña:Ciencia e Hipótesis

Manuel Santos

Muchas veces, sobre todo a la hora de resolver pro-blemas, hay que abordar las cosas desde diferentes pun-tos de vista. La ciencia, a lo largo de la historia, ha sidocriticada, evaluada y descrita, desde la perspectiva dereligiosos, científicos y filósofos, entre otros. Por esopienso que la filosofía de la ciencia es una disciplinaque reúne muchas de las cuestiones que han traído yseguirán trayendo de cabeza a infinidad de pensadores.

Por esta razón quiero presentar Ciencia e Hipóte-sis. Escrita por Henri Poincaré, se trata de una obra enla que el prestigioso matemático nos ofrece su visiónsobre el método y la naturaleza de las ciencias mate-máticas y físicas, así como la relación entre estas dos yla naturaleza.

La obra es en esencia un ensayo filosófico y por tan-to el autor no hace excesivo uso de tecnicismos cientí-ficos, eso sí, tenga el lector por seguro que releerá másde una vez un párrafo, pues en ocasiones hay ideas cho-cantes difíciles de entender a la primera. En general,como he dicho, no es un libro técnico pero aun así noes de lectura ágil. Sin duda es un libro cuya lectura re-quiere tiempo y paciencia, que bien empleados, puedeser de gran satisfacción.

En primer lugar, Poincaré comienza analizando lanaturaleza del razonamiento matemático y defiende lanecesidad y la legitimidad del método de induccióncompleta en matemáticas. Más adelante, el científico

francés nos hablará de la geometría, tanto euclidianacomo no euclidiana. En este capítulo se pondrán a prue-ba la noción de espacio y sus dimensiones, y se estu-diará su estrecha relación con el estudio del universo.En esta parte de la obra podremos comprender detalla-damente la pionera visión convencionalista1 que teníaPoincaré con respecto a la ciencia.

En el segundo apartado, Poincaré adoptará su facetade físico y nos trasladará, por supuesto, a esta ciencia.Comenzará por hablar del concepto de fuerza y distin-tos elementos a priori de la mecánica clásica. Despuésde explicarnos ideas básicas de la termodinámica y laenergía, Poincaré estudiará el papel de la hipótesis enla física, y la importancia de la experimentación y lageneralización en esta ciencia. Finalmente revisará lasnociones elementales de la física moderna, que empe-zaba a desarrollarse en su época.

Ciencia e Hipótesis nos brinda una estupenda opor-tunidad de sumergirnos en pleno inicio del siglo XXde la mano de Henri Poincaré. Con la lectura de es-te libro, comprenderemos la perspectiva de uno de losprotagonistas de esta época de esplendor científico ynos permitirá observar en él la influencia de las princi-pales corrientes del pensamiento científico. Así, Cien-cia e Hipótesis se convierte en un genial complementofilosófico-científico que invita al lector a una reflexiónprofunda sobre la naturaleza de la física y las matemá-ticas.

Referencias

[1] H. Poincaré. Ciencia e Hipótesis Colección Aus-tral. Editorial Espasa. 2005. ISBN 84-670-0143-7

Manuel SantosEstudiante del Grado en MatemáticasUPV/EHU

1Convencionalismo (Científico): pensamiento que defiende que las verdades científicas no son más que una convención, una selec-ción razonable de axiomas y principios. H. Poincaré se considera su fundador.

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8 Komunitatea eta berriak Comunidad y Noticias

Al acabar la carrera, ¿qué?Daniel Girela

Un estudiante de doctorado de la Universitat Autònoma de Barcelona, Daniel Girela, nos aconsejaacerca del Máster en Modelización para la Ciencia y la Ingeniería de esta misma universidad.

Figura 1: Foto de Daniel Girela.

Uno de los problemas más frecuentes que uno seencuentra al terminar la carrera es el de decidir quéhacer con su vida. Si tienes claro que quieres seguirestudiando, pero no estás seguro si prefieres dedicartea la investigación o al mundo empresarial, un mástercon varias modalidades puede ser una buena opción. ElMáster en Modelización para la Ciencia y la Ingenie-ría [1] de la Universidad Autónoma de Barcelona esuna buena elección en este sentido, puesto que da acce-so a estudios de doctorado en áreas como Matemáticas,Física o Ingeniería, y puede servir también como for-mación adicional para el trabajo científico en una em-presa.

Este máster está organizado conjuntamente por losdepartamentos de Matemáticas [2], Física [3] y Arqui-tectura de Computadores y Sistemas Operativos [4] dela UAB y sus objetos de estudio son, fundamentalmen-te, la modelización de sistemas y la simulación o reso-lución numérica de los mismos.

1. Estructura del máster

El plan de estudios del máster consta de sesenta cré-ditos ECTS, a realizar a lo largo de un curso académico,y que se dividen en las siguientes categorías:

Obligatorias: Tres asignaturas obligatorias, co-munes a todos los estudiantes, cada una de ellascon un peso de 6 créditos ECTS, a realizarse du-rante el primer cuatrimestre.

Asignaturas de modalidad: El máster está con-figurado en cuatro especialidades, que se distin-

guen, principalmente, por el tipo de sistemas queen ellas se estudian: Modelización Ambiental,Modelización Matemática, Modelización para laIngeniería y Modelización Estadística. La elec-ción de cada una de estas modalidades conllevala elección de dos asignaturas propias de esta mo-dalidad, cada una de ellas de 6 créditos ECTS.

Asignaturas optativas y/o prácticas de empresa:Este bloque consta de 18 créditos ECTS, quepueden obtenerse cursando tres asignaturas op-tativas, o bien cursando sólo una optativa y aña-diendo la realización de prácticas en alguna em-presa colaboradora del máster o un departamen-to, con una carga equivalente a 12 créditos ECTS.

Trabajo fin de máster: Este trabajo se realiza al fi-nal del máster y consiste en la resolución de unaproblemática real (o casi real) con la finalidad deponer en práctica las técnicas y conocimientosadquiridos a lo largo del máster. Su carga es de12 créditos ECTS.

2. Ventajas e inconvenientes

Los principales atractivos que presenta la realiza-ción de este máster son los siguientes:

La carga lectiva es bastante abordable: no llegaa veinte horas a la semana en el primer cuatri-mestre, y disminuye notablemente en el segun-do. Además, toda la docencia se desarrolla por latarde. Esto hace que sea más o menos fácil de so-brellevar para los alumnos que estén trabajando.

Al ser un máster con bastantes modalidades, laoferta de asignaturas optativas es muy amplia, ypor tanto cada alumno puede elegir, fácilmente,un itinerario que le satisfaga.

Este es un máster que habilita para la realizaciónde doctorado.

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Komunitatea eta berriak Comunidad y Noticias 9

Hay un buen número de empresas catalanas quecolaboran con el máster para la realización deprácticas, y todos los alumnos que las hicieronel curso pasado coinciden al calificarlas de muybuenas.

Por otra parte, este máster presenta las siguientes defi-ciencias:

Al ser un máster muy nuevo (la de este año será lasegunda promoción), aún no está bien asentado ya veces hay problemas de organización.

Algunas asignaturas se comparten con un másterimpartido en la Escuela de Ingeniería, que tieneun calendario distinto de éste, y la adaptación noes sencilla.

Por ser un máster con tantas alternativas, da aco-gida a estudiantes con perfiles muy distintos y,por esto, es difícil encontrar el nivel adecuado encada grupo. Esto hace que muchas de las asigna-turas se den a un nivel que no agrada a muchagente, puesto que es muy bajo para algunos y de-masiado elevado para otros.

Figura 2: Logo de la UAB.

En mi opinión, este es un máster muy atractivo y re-comendable si quieres dedicarte a la Matemática Apli-cada o si tu objetivo es hacer una carrera en el mundoempresarial, pero si pretendes dedicarte a la investiga-ción en Matemática Pura, creo que no es la mejor op-ción, y quizá el Máster en Matemática Avanzada dela Universitat de Barcelona [5] sea una elección más

adecuada. Yo estoy en este último caso y, aunque re-cibí clases bastante interesantes en la mayoría de lasasignaturas, pienso que sólo la formación derivada dela preparación del Trabajo Fin de Máster me servirá,directamente, de cara a la realización de mi tesis.

Referencias

[1] Página web del Máster en Modelización para laCiencia y la Ingeniería. Universitat Autònomade Barcelona.http://www.uab.cat/servlet/Satellite/

masters/presentacio-1307602763551.html

[2] Página web del Departamento de Matemáticas dela UAB. Universitat Autònoma de Barcelona.http://www.uab.cat/matematiques/

[3] Página web del Departamento de Física de la UAB.Universitat Autònoma de Barcelona.http://www.uab.cat/departament/fisica/

[4] Página web del Departamento de Arquitectura deComputadores y Sistemas Operativos de la UAB.Universitat Autònoma de Barcelona.http://caos.uab.es/

[5] Página web del Máster en Matemáti-ca Avanzada. Universitat de Barcelona.http://www.ub.edu/web/ub/es/estudis/

oferta_formativa/master_universitari/

fitxa/M/M0K03/index.html

Daniel GirelaLicenciado en Matemáticas por la U. de Málaga.Estudiante de DoctoradoUniversitat Autònoma de Barcelona

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10 Elkarrizketak Entrevistas

Interview with Christiane RousseauJosué Tonelli-Cueto and Ricardo Grande

Con motivo del Año Internacional de las Matemáticas del Planeta Tierra (MPE2013), laconferencia del ciclo de M4TEMOZIOA de este año fue impartida por la presidenta delMPE2013, Christiane Rousseau. Aprovechando esta ocasión, hemos realizado una entre-vista a esta matemática con el objetivo de conocer de primera mano algunos aspectos delMPE2013.

Figura 1: Christiane Rousseau (C).

What is the main objective of MPE 2013?C: There are several main objectives, but certainly oneis to advance research on topics related to planet Earth.We hope to have new researchers coming into the area.Maybe you would be interested in joining this researchin a couple of years, when you go to Graduate School.

There is also an important aspect, which is to reachthe public. It is necessary to explain to the public thatmathematics can contribute to the understanding of ourplanet, -how is organized, how is inhabited by life. . . -,but also that mathematics can help understand the chal-lenges our planet is facing. We would like that theteachers also bring the subject to the students, becausewhen the kids ask “what is mathematics useful for?”,there are so many good answers just looking at theplanet. And the fact that it is an international year is ex-citing for the classroom: we are not alone discussing onthese matters, the whole planet is discussing on them.When organizing the activities of an internationalyear like this, what kind of challenges and problemsdo you have to deal with?C: The project of MPE2013 started four years ago and,at the beginning, we needed to convince people thatwe could achieve something. Hence, the first challengewas really to convince people that it was worth goinginto the project. It grew from a small seed, but now thatthe project has grown, it spreads by itself. Then the nextchallenge, because it is becoming big, is to manage tobe able to answer all the partners.

What we try to do is to put everyone together, be-cause the idea is that you do more if you share re-sources. For instance, you prepare some material forthe schools and you make it public on the Internet, sothat some countries can use it or decide to translate it.It is worth joining efforts at the level of planet Earth.

Internationally did you have a good answer? Waseveryone willing to help or did you have to convincea lot of mathematicians?

C: I could say both, there were people we needed toconvince, but MPE2013 is large because there are peo-ple who are really committed to the project. I couldnot have done this alone. MPE2013 has no resourcesby itself, but there was a lot of enthusiasm, and manyinstitutes and societies have worked very closely andput their resources in the venture. We have no budget,we function with partners, and the idea is that partnerscommit to organize MPE activities.

Why is it important to celebrate MPE 2013 formathematicians an non-mathematicians?

C: Our planet is facing important challenges, so it isimportant that the scientific community at least tries tohelp. We won’t solve the problems by ourselves andwe are not making the decisions, but at least we shouldtry to understand what is happening. For example, weknow that the climate is warming, but a lot of what willreally happen is unknown. We know that some verypopulated regions will be flooded because the sea levelis rising. But what will happen with the weather? Willthe frequency of extreme events increase? How willthe ecosystems react? There are many things that wedo not know.

Another challenge is that the population of theworld is growing while there is a limit to the populationthat the planet can feed with its resources, so we needto pay attention to the management of resources andthese resources will change with the climate warming.As you see, there are a lot of uncertainties.

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Elkarrizketak Entrevistas 11

Figure 2: Christiane Rousseau during M4TEMOZIOA.

Talking about mathematics and planet Earth, howcan mathematics help with issues such as climatechange or the preservation of the world we live in?C: I will explain some examples of how mathematicscan help. For example, when you have a pandemic,what is a strategy to control it? Mathematical modelingbrings some answers that look surprising, for instance,you don’t need to have a vaccine for the whole popu-lation to stop the pandemic. What is relevant in thiscase is how many people are infected by one infectiousperson. If the mean number of persons contracting thedisease from one infectious person is less than one then,even if the number of infected people increases at thebeginning, the pandemic will finally disappear. For in-stance, when the resources are scarce for the vaccine,taking into account the properties of the pandemic, youonly need to make sure that each person as a mean in-fects half a person.

This is an easy example. Speaking about climate,one big challenge is to quantify the uncertainty and un-derstand it in the long term: this is a multidisciplinaryproblem requiring the work of people of various disci-plines. Even for infectious diseases, you need to workwith the people in public health in order to have a goodmodel to analyze.

Let’s take now another example. If you want to de-termine what is under the ground you have to use indi-rect methods, such as sending signals and analyzing thereflected signals using mathematics, in order to obtaininformation about the internal structure of the planet.MPE2013 helps us understand our planet better.What is your field of expertise? Is your researchhelpful when studying questions of planet Earth?C: I work in dynamical systems; I am myself a puremathematician. There are many applications of dynam-ical systems to questions of planet Earth, but I am notworking on them. However, I am very interested in thepopularization of mathematics and I like to learn abouta lot of subjects outside my own field of expertise. Dy-namical systems are really helpful in epidemics, butalso in the modeling of population biology, for exam-ple, to understand how populations interact or the ecol-ogy of different sites.

The solar system is not related to the challengesmentioned before, but understanding the movement ofthe Earth as a planet is a dynamical system problem. In-side the solar system there are asteroids and planets thatorbit on approximate elliptic trajectories around thesun, and there are other celestial bodies, which comefrom very far, and circulate without energy: mathemati-cians try to understand the corridors, called “ energypathways” along which these bodies circulate. Theselow energy pathways, discovered by pure mathemati-cians, are the highways of the solar system: they arenow used in interplanetary missions.Do you think that mathematics is the best way tounderstand the world?C: As a scientist, I prefer not to use the word “best”.It is a good way. Mathematics has an essential role toplay, but so do other disciplines, with whom we need towork. You have to solve the problem, but first you haveto choose the right problem. If you choose a bad modeland analyze it, then you may have a good theorem, butit is not relevant to Earth.

What to put inside a model needs to be decided byworking with people from other disciplines. This is vi-tal in order to do good mathematical work on planetaryproblems.Thank you very much.

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12 Matematika Matemática

La catenaria y el coseno hiperbólicoImanol Pérez

En mayo de 1690, Jakob Bernoulli publicó un ar-tículo en la revista científica Acta eruditorum, fundadapor Leibniz, en el que proponía un problema que con-sistía en encontrar la curva que describe una cadena to-talmente flexible y con densidad lineal uniforme cuan-do se cuelga por dos puntos fijos bajo un campo gravi-tatorio constante. Esta curva se conoce con el nombrede catenaria.

Hubo varios intentos de resolución del problema.Por ejemplo, Galileo propuso que la curva era una pa-rábola. En efecto, a simple vista, la curva se asemejamucho a la parábola, pero Huygens demostró que nopodía serlo. Finalmente, en junio de 1961 la revista pu-blicó las tres soluciones correctas que recibieron (deChristiaan Huygens, Gottfried Leibniz y Johann Ber-noulli).

Figura 1: Fuerzas actuando sobre una catenaria.

Veamos cómo se deduce cuál es la ecuación de lacatenaria. Comencemos primero con algunas definicio-nes. Sea (x,y) un punto arbitrario de la curva, s la lon-gitud de arco desde el punto más bajo hasta el punto(x,y) y w0 la densidad lineal de la cadena. La cadenase encuentra en equilibrio estático entre el punto másbajo y el punto (x,y), y como las fuerzas que actúan enese segmento son T0 (la tensión en su punto más bajo),T (la tensión en el punto (x,y)) y w0s (el peso de lasección de la cadena), descomponiendo los vectores ensus componentes horizontales y verticales y tomandomódulos, tenemos que:

T0 = T cosθ (1)w0s = T sinθ (2)

Dividiendo (2) entre (1), tenemos que tan(θ) =

s · w0

T0= as =

dydx

, con a =w0

T0. Diferenciando respec-

to a x, deducimos que:

d2ydx2 = a

dsdx

(3)

Por otro lado, teniendo en cuenta que la longitud dearco L de una función f (x) derivable en [a,b] es:

L =∫ b

a

√1+[ f ′(x)]2dx

tenemos que:

dsdx

=

√1+(

dydx

)2

Sustituyendo en (3), conseguimos la siguiente ecua-ción diferencial:

d2ydx2 = a

√1+(

dydx

)2

Tras resolverla, obtenemos la ecuación de la cate-naria:

f (x) =eax + e−ax

2a=

coshaxa

,

siendo cosh t el coseno hiperbólico, definido por

cosh t =et + e−t

2.

La catenaria tiene ciertas propiedades interesantesque han sido utilizadas para diseñar arcos en arquitec-tura, haciendo el catalán Antoni Gaudí un especial usode estas en sus obras. Por ejemplo, algunas columnasde la Sagrada Familia de Barcelona trazan una catena-ria.

Referencias

[1] E. Maor. e: The Story of a Number. Princeton Uni-versity Press. 2009. Pág. 141.

[2] Catenary. Proof Wiki. http://www.proofwiki.org/wiki/Catenary

Imanol PérezEstudiante del Grado en MatemáticasUPV/EHU

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Matematika Matemática 13

abraMATabraAndrea Aresti eta Julene Escudero

Magia eta matematika uztartzen dituen zientzia daMatemagia, eta magia-trukuak ikuspegi matematikotikarrazoitzean datza.

Inork ez du magoekin apusturik egin nahi, oso abi-lak baitira ezkutuan trikimailuak egiten. Baina badirazenbait magia-truku tranparik behar ez dutenak; alegia,haien bidez, garaile irten ahal zara iruzurrik ere egingabe. Truku horien estrategia matematika da: probabi-litatea, kontaketa ezkutuak. . .

1. Humble-Nishiyama-ren zorizko jokoa

Humble-Nishiyamaren jokoa Penney-ren jolaseanoinarritzen da. Walter Penney matematikariak, 1969.urtean, haren izena (Penney-ren jolasa) daraman jola-sa planteatu zuen Journal of Recreational Mathematicsaldizkarian; Jolasean, txanpon bat jaurtita zer alde ager-tuko zen asmatu behar zen.

Humble-ren jokoan, txanponak beharrean, kartakerabiltzen dira; karta frantsesen sorta bat, hain zuzen.Sorta hori 52 kartaz osaturik dago; bi kolore ditu (go-rria eta beltza), eta lau irudi: bihotza eta diamantea (go-rriak) eta pika eta hirusta (beltzak). Joko honetarako,beren koloreengatik bereiziko ditugu kartak: beltzaketa gorriak.

Demagun bi jokalari daudela. Jokalari bakoitzakhiru koloreren konbinaketa bat hautatu behar du: GBG(gorria, beltza, gorria) BBB, GGG, GBB, BGG, BGB,GGB, BBG. Ondoren, kartak banan-banan aterako dira,eta jokalari batek aukeratutako sekuentzia irteten bada,jokalari horrek puntu bat eskuratuko du. Erabilitakokartak alde batera utziko dira, eta jokoak berdin-berdinjarraituko du, karta guztiak bukatu arte.

Non dago koska?Joko honetan magoa bigarrena izango da kolore-

sekuentzia aukeratzen. Haren aukeraketa ez da, ordea,zorizkoa izango: beste jokalariak aukeratutakoan oina-rrituko da. Esaterako, demagun lehen jokalariak RRBkonbinazioa aukeratzen duela; bada, magoak RBBkonbinazioa aukeratuko du: jokalariaren bigarren etahirugarren koloreak (RB) magoaren lehenengoa eta bi-garrena izango dira, eta jokalariaren lehen kolorea (R)magoaren hirugarrena izango da, baina aldatuta (R>B)

Karten konbinaketa-probabilitate guztiak aztertzenbaditugu, beheragoko taulan dauden ondorioetara aile-gatuko gara.

BBB BBR BRB RBB BRR RBR RRB RRRBBB 1/2 2/5 1/8 2/5 5/12 3/10 1/2BBR 1/2 2/3 1/4 2/3 5/8 1/2 7/10BRB 3/5 1/3 1/2 1/2 1/2 3/8 7/12RBB 7/8 3/4 1/2 1/2 1/2 1/3 3/5BRR 3/5 1/3 1/2 1/2 1/2 3/4 7/8RBR 7/12 3/8 1/2 1/2 1/2 1/3 3/5RRB 7/10 1/2 5/8 2/3 1/4 2/3 1/2RRR 1/2 3/10 5/12 2/5 1/8 2/5 1/2

Humble-Nishiyama-ren zorizko jokorako taula.2

Arrazoi matematiko bat izan arren, beti existitukoda buruhausteren bat. Esaterako, zer gertatuko litzate-ke 2 barik 4 jokalari baleude? Jo dezagun lehengoakGBB konbinaketa aukeratzen duela; bigarrenak, GGB;hirugarrenak, BGG, eta laugarrenak, BBG. Horiek ho-rrela, laugarrenak, lehenengo jokalariari irabaziko lio-ke; baina laugarrenari GBB kobinaketak irabazten lio-ke: lehenengo jokalariak hautatutakoak, alegia. Hortaz,nor litzateke jokoaren garaile?

2. Oroimen liluragarria

Edozein magoren trebetasun-ezaugarria oroimenada. Hori frogatzeko, milaka truku daude. Horietako bat“oroimen liluragarria” da. Truku honetarako, honakotaula hau behar dugu:

35 23 80 32 17 46 44 3422 41 20 81 68 56 61 7816 59 77 63 50 11 79 7562 13 37 82 58 57 10 399 38 36 26 27 15 72 2460 48 53 70 14 33 12 7342 3 71 67 8 51 69 5550 49 2 31 54 5 29 7419 7 64 16 1 30 28 186 25 4 65 52 40 45 62

Taula 10 x 8 gelaxkakoa da, eta bertan 80 zenbakiageri dira; ez, ordea, 1etik 80 bitartekoak: taula azter-tuz gero, ikus dezakegu 81 eta 82 zenbakiak ageri di-rela, eta ez hori bakarrik: zenbaki batzuk errepikaturik

2Taula kalkulatzeko oinarrizko probabilitate-formulak erabili baino ez dira behar, Youtubeko bideo batean azalduta dago [4].

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14 abraMATabra

daude. Horrenbestez, ez dira zenbaki guztiak ageri, etahorrek taula memorizatzea zailtzen du.

Magoak, hala ere, frogatu egin behar du taula ho-ri memorizatzeko gai dela. Horretarako, boluntario batbehar du, eta horrek taulako zenbaki bat aukeratuko,eta paper batez estaliko du. Bien bitartean, magoak biz-karra erakutsiko dio boluntarioari. Behin boluntarioakzenbakia aukeratu eta estaltzen duenean, magoak, buel-ta emanda, estalitako zenbakia asmatu behar du, jendeguztia harri eta zur utzita.

Horren azalpena zenbakiek taulan duten kokape-nean datza, eta oso sinplea da, benetan. Estalitako zen-bakitik abiatuta, taulan zehar diagonalki mugituko garalau lauki, gora edo beherra. Gora mugituz gero, lauga-rren laukiaren zenbakiari 8 kenduko diogu; aldiz, behe-ra eginez gero, 8 gehitu behar diogu zenbakiari. Emai-tza, bai kasu batean bai bestean, bilatu nahi dugun zen-bakia izango da. Saia zaitez zu egiten!

3. Karta-asmaketa

Karta-joko honetan, Humble-Nishiyamaren jokora-ko erabilitako karta-sorta baliatuko du magoak. Guz-tiak ezberdinak dira, zenbakiarengatik eta kolorearen-gatik.

Kartak nahastuta, 12 karta ahoz behera jartzen diramahaian, eta ikusle batek hamabi kartetatik lau auke-ratuko ditu, ahoz gora jarriz. Gainerako kartak sortarabueltatuko ditu magoak.

Hori egin ondoren, boluntarioak aukeraturiko kartabakoitzaren aurrean, karta horren balioa hamarrerainoosatzeko behar beste karta ateratzen ditu sortatik ma-goak (beltzek, hots, erregeek eta abarrek, hamarna ba-lio dute); boluntarioak aukeraturiko karta, esaterako,bateko pika bada, karta horren aurrean bederatzi kartajarri beharko ditu magoak, sortatik atereak. Horren os-tean, mahaian buruz gora dituen lau karten balioak ba-tuko ditu, eta, sortatik, batura den adina karta kendukoditu. Eta ikusi gabe asmatuko du zein den azkenengokarta.

Truku honetan, bi gauza kontuan hartzen dira: ma-goaren disimulua eta aritmetikan duen trebetasuna. Di-simulua behar du, zeren, mahai gainean 12 kartak jar-tzean, inor konturatu gabe, magoak karta sortaren az-ken kartari begiratuko dio; hain zuzen, horixe baita as-matuko duen karta.

Eta trebetasunari dagokionez. . . Magoak mahaian12 kartak jarrita, 40 karta geratzen dira haren eskuan;horrenbestez, aurretiaz disimuluz ikusitako karta berro-geigarrena da. Boluntarioak aukeratutako eta ahoz gorajarritako karta bakoitzeko, lehen azaldu bezala, hama-rreko kopurua osatzeko adina karta atereaz eta lau kartahorien batura adina karta atereraz, sortatik kendutakokarten kopurua bera izaten da beti: guztira, 40 kartakentzen dira. Honela lortzen da asmatu beharreko kar-ta.

Erreferentziak

[1] P. Alegría, J.C. Ruiz de Arcaute. La ma-temagia desvelada. Sigma. 21. http:

//www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-

573/es/contenidos/informacion/dia6_

sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_21/10_la_

matemagia_desvelada.pdf [Kontsulta: 2012koirailaren 25a]

[2] S. Ferrero Bravo. La magia de las matemáticasy las matemáticas de la magia. MatemaTICs.http://sferrerobravo.wordpress.com/

2007/10/23/la-magia-de-las-matematicas-

y-las-matematicas-de-la-magia/ [Kontsul-ta: 2012ko irailaren 25a]

[3] J. Muñoz Santoja. Taller de magia y matemáticas.educastur blog. http://blog.educastur.es/

primaria/files/2010/07/taller-de-magia-

y-matematica.pdf [Kontsulta: 2012ko irailaren25a]

[4] Coin Game Magic Trick Maths: The Pen-ney Ante Part 2 (Re: Derren Brown: Howto Win the Lottery). Youtube. Bideoaren ko-digoa: U9wak7g5yQA http://www.youtube.

com/watch?v=U9wak7g5yQA [Kontsulta: 2012koabenduaren 16a]

Andrea Aresti eta Julene EscuderoMatematikazko Lizentziako IkasleakUPV/EHU

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Un paseo por la historia 15

Srinivasa Ramanujan. . . el genio de la intuición

Irune Gurrutxaga

Figura 1: Srinivasa Ramanujan.

Queridos y queridas lectoras, en esta ocasión em-prenderemos un viaje hasta la India. Aunque las mate-máticas de este país, para nosotras y nosotros lejano,tuvieron su apogeo entre el año 500 y 1200 d.C cabedestacar como importante matemático indio del sigloXX a Srinivasa Ramanujan, una persona enfermiza yautodidacta que anotaba todas sus conclusiones en uncuaderno que siempre llevaba bajo el brazo, y cuya es-casa formación académica se hacía notar en la informa-lidad de sus demostraciones.

Nuestro singular matemático nació en diciembre de1887 en Erode (India) en el seno de una humilde fami-lia, a pesar de pertenecer a la casta de los brahmanes (lacasta de los sacerdotes, la más importante de las cuatrocastas que aun hoy en día existen en la India).

A la edad de 7 años entró en una escuela públicagracias a una beca. Se dice que le gustaba recitar a suscompañeros fórmulas matemáticas y dígitos del núme-ro π . A la edad de 12 años dominaba extraordinaria-mente la trigonometría, a los 13 comenzó a estudiar lassumas de series aritméticas y geométricas y a los 15 en-contró métodos para resolver las ecuaciones cúbicas ycuárticas.

Fue a esta edad cuando encontró en una librería ellibro “La Trigonometría plana” de S. Looney, y la “Sy-nopsis of Elementary Results in Pure Mathematics” de

S. Carr que contenían un listado de unos 6000 teoremassin demostración, lo que le permitió entretenerse sacan-do sus propias conclusiones y resultados pertenecientesen su mayoría a la teoría de los números, simplementeusando su intuición.

A los 16 años el destino, sus méritos y capacidadespeculiares le proporcionaron otra oportunidad en for-ma de nueva beca, esta vez para ingresar en el CollegeGouvernement de Kumbakonam. Pero su desinterés ylagunas en otras disciplinas, especialmente en inglés,le hicieron perder esa beca al año siguiente cuando sus-pendió todas las asignaturas menos la de matemáticas.Dos años después intentó acceder a la universidad, pe-ro fue en vano, ya que sufrió una enfermedad que no lepermitió preparar los exámenes de acceso y solo consi-guió, nuevamente, superar la prueba de matemáticas.

En 1909, cuando contaba 22 años, se casó con unaniña de tan sólo 9 años elegida por su madre, tal comodicta la religión hindú. Al verse obligado a sustentar asu familia, tuvo que empezar a buscar un trabajo pa-ra mantenerla. Fue en ese periodo cuando un amigo leconsiguió una carta de recomendación para colaborarcon un matemático de Madrás, Diwan Behadur R. Ra-machandra Rao, quien, dándose cuenta de las extraor-dinarias capacidades de nuestro amigo, trató de mante-nerle económicamente y de encontrarle una nueva becapara que se pudiera dedicar única y exclusivamente alas matemáticas. Pero no tuvo éxito.

En 1911 publicó su primer trabajo en el Journal ofthe Indian Mathematical Society y su primer artículolargo sobre las propiedades del número de Bernoulli.También colaboró en esa misma revista en algunos pro-blemas y algunas notas.

Ramanujan, con el apoyo y ayuda de Rao, escribióa numerosos matemáticos europeos a fin de expresarlessus deseos de ampliar conocimientos, y para demos-trarles su capacidad les mandó algunas de las demos-traciones que había hecho. Pero sólo el matemático in-glés G.H Hardy respondió a su carta. De hecho, en unaocasión, Hardy dijo sobre las demostraciones de Ra-manujan: “. . . nunca había visto antes nada, ni siquieraparecido a ellas. Una hojeada es suficiente para com-prender que solamente podían ser escritas por un ma-

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16 Srinivasa Ramanujan

temático de la más alta categoría. Tenían que ser cier-tas, porque, si no lo hubiesen sido, nadie habría tenidosuficiente imaginación para inventarlas”.

Gracias a su nuevo mecenas viajó a Inglaterra don-de consiguió otra beca para el Trinity College de Cam-bridge y pudo así al fin ampliar sus conocimientos. Es-to supuso una ardua tarea también para Hardy, dada lainexperiencia de nuestro amigo ante los formalismosmatemáticos de aquella época.

Figura 2: Sello conmemorativo en honor de Ramanu-jan.

Una de las anécdotas que contaba Hardy para ex-presar la increíble capacidad de Ramanujan era la si-guiente: “Recuerdo una vez que fui a verle cuando ya-cía enfermo en Putney. Yo había viajado en el taxi nú-mero 1729 y observé que el número me parecía másbien insípido y esperaba que no le fuera de mal agüe-ro. “No”, contestó, “es un número muy interesante. Esel número más pequeño expresable como suma de doscubos de dos maneras diferentes””.

1729 = 103 +93 = 123 +13

Desde entonces al número 1729 se le conoce como nu-mero de Hardy-Ramanujan o como taxicab y se defineasí: “El n-ésimo número Taxicab, Ta(n), es el núme-ro natural más pequeño que se puede expresar de nformas distintas como suma de dos cubos positivos”.Hasta ahora solo se conocen los siguientes números ta-xicab: [7]

Ta(1) =2Ta(2) =1729Ta(3) =87539319Ta(4) =6963472309248Ta(5) =48988659276962496

Ramanujan vivió cinco años en Cambridge duran-te los cuales publicó veintiún artículos entre los cuales

cinco fueron firmados en colaboración con su mecenasHardy. Pero en la primavera de 1917 aparecieron losprimeros síntomas de lo que en esa época diagnostica-ron como tuberculosis, pero que para la medicina actualno sería más que una falta vitamínica. En este periodoestuvo en varios sanatorios hasta que en 1918 mejoróy retomó su trabajo. Algunos dicen que esta mejora sedio por el estímulo de su elección para la Royal Societyof London y de hecho sus mejores trabajos pertenecena esta época. Más tarde, también fue elegido para unaTrinity Fellowship. Finalmente, en 1919 regresó a la In-dia donde murió al año siguiente.

Nuestro amigo, pese a vivir solo 33 años, dejó trasde sí más de 4000 teoremas de distintas ramas de lasmatemáticas, hasta el punto de que aun hoy en día nose ha podido revisar el total de su trabajo. Aunque, síse ha constatado que pese a que la mayoría de esas de-mostraciones son validas, hay un cierto número de ellasque han resultado ser erróneas.

Por otro lado su trabajo es difícil de describir en es-te breve espacio por los numerosos temas que abordó.Si tuviéramos que enfatizar sobre alguna de sus aporta-ciones, en primer lugar destacaríamos su fórmula paracalcular el número π , número que le fascinaba y cuyaaproximación vendría dada por

1π=

2√

29801

∞

∑k=0

(4k)!(1103+26390k)(k!)43964k

Esta aproximación converge exponencialmente al nú-mero π [4].

Otro punto a destacar es su fórmula para la funcióntheta, una función de varias variables complejas que seutiliza en diferentes campos, y cuya la utilización máscomún la encontramos en la teoría de funciones elíp-ticas. La fórmula que dio Ramanujan para la funcióntheta [8] es la siguiente

f (a,b) =∞

∑n=−∞

an(n+1)

2 bn(n−1)

2 , para |ab|< 1

Y por último, incluimos su fórmula para la función τ

[6], relacionada con la función divisor σ [5], definidamediante series de Fourier del discriminante ∆(τ) paraτ ∈ H, donde H es el semiplano superior, y que vienedada por:

∆(τ) = (2π)12∞

∑n=1

τ(n)ei2πnτ

Tras esta pequeña introducción a sus aportaciones ma-temáticas, cabe decir que fue tal el reconocimiento que

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Un paseo por la historia 17

se le dio, que la biografía de Srinivasa Ramanujan hasido recopilada en el libro The man who knew infinityescrito por Robert Kanigel en 1991 y que próximamen-te será llevado al cine por el cineasta indio Dev Bene-gal, un director fascinado por la biografía de su com-patriota. Benegal afirma haber estado cuatro años reco-pilando información sobre la vida de Ramanujan parallevarlo a la gran pantalla bajo el título de “Sacred Num-bers”, película con la que pretende explorar y mostrarsu vida a nivel sentimental y emocional por un lado,pero también como matemático de gran importancia.Nuestros actuales cajeros automáticos están basados enel principio de la teoría de partición de Ramanujan, ysu conjetura es la base de Google o de la Wikipedia,por ello el cineasta piensa que su historia sigue siendorelevante hoy en día [2].

Figura 3: Doodle de Google dedicado a Ramanujan.

Para terminar, contaremos una breve anécdota denuestro matemático indio. Según Ramanujan, la diosahindú Namagiri (o Namakal) jugó un importante papelen su intuición. Solía decir que era ella quien en sueñosle transmitía las fórmulas y que al despertar escribía losresultados y los comprobaba, aunque no siempre eracapaz de demostrarlos de forma rigurosa. Parece queMaría Gaetana Agnesi, de la que os hablamos en unnúmero anterior, no era la única que recibía inspiraciónen sueños.

Referencias

[1] Biografía de Srinivasa Ramanujan. Sangakao.http://www.sangakoo.com/blog/ramanujan/

[2] S.D. Dundoo. The man and his math. TheHindu. 2011. http://www.thehindu.com/

features/metroplus/the-man-and-his-

math/article1561207.ece

[3] C. Pereda. Ramanujan, un Genio dela India. Ciencia Abierta 19. 2002.http://cabierta.uchile.cl/revista/

19/articulos/pdf/edu1.pdf

[4] A. Pérez Sanz. Ramanujan y el número π . Suma57. 2008. Págs. 105-109. http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/decabeza/57decabeza.pdf

[5] E.W. Weisstein. Divisor Function. Wolfam Math-World. http://mathworld.wolfram.com/

DivisorFunction.html

[6] E.W. Weisstein. Tau Function. Wolfam Math-World. http://mathworld.wolfram.com/

TauFunction.html

[7] E.W. Weisstein. Taxicab Number. Wolfam Math-World. http://mathworld.wolfram.com/

TaxicabNumber.html

[8] E.W. Weisstein. Ramanujan Theta Functions. Wol-fam MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/RamanujanThetaFunctions.html

[9] Wikipedia, The Free Encyclopedia.http://www.wikipedia.org/

Irune GurrutxagaEstudiante de la Licenciatura en MatemáticasUPV/EHU

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18 Bertsoak eta Matematika

EboluzioaJone Uria

Estos bertsos tratan de comparar la evolución de una persona con la de los números. Nadie duda de lanaturalidad de un niño, compartida también por los números naturales. Sumamos sin ningún miedo hastadarnos cuenta de pronto de cuánto tenemos que perder: es cuando aparecen los negativos y la resta; y conello, los enteros. Llega la adolescencia y se nos multiplican los sueños y las nuevas experiencias; hastaque toca separarse, dividirse. . . Tratamos de ser lógicos ante ello, de buscar motivos, de ser racionales. Sinembargo nos comportamos de forma irracional ante las situaciones más sencillas; igual que π alrededor dela circunferencia. Y como si no tuviésemos bastante con el mundo real, nos llenamos la cabeza de ilusionesy de ideas imaginarias; convirtiéndonos en tan complejos, que a veces se nos olvida esa naturalidad conla que vinimos al mundo.

Doinua: Mundu honetan holako gauzak

1. Zenbakiekin lotu litezkedirua, negozioa,estadistika engainoso bat,friki baten pasioa. . .nahiz igual oso urruti joanzaidan inspirazioabertsoen bidez konparatzeada daukadan desioazenbakiena eta pertsonabaten eboluzioa.

2. Haur txiki baten naturaltasuneta begien distiragauzak kontatu ahal izateaberaientzako aski dabat, bi, hiru, lau ta infinitokonta litezke guztiranaturaltasun osoz edozerdezaketenak deskribaaskok horrela deituagatikoso arruntak ez dira.

3. Aurrera goaz guztia batuzgura dugun bakoitzekobakoitza adin ezberdineanbaina noizbait denok sekogeratzen gara konturatzeanzenbat daukagun galtzekobizitzan beti batzeko a(d)inadagoelako kentzekonegatiboak asmatu zirenosotasuna lortzeko.

4. Beraz nerabe bihurtzen garakenketarekin ohitutanegatiboen mundua erebihurtzeraino arruntabaina orduan biderketekindator jolasa, burrukaarau txiki bat asmatu etadena dago konpondutabi negatibo biderkatzeanpositibo bihurtuta.

5. Baina bigarren kolpetik ereezin da libratu inordena denean poz ilusiolagun berri, jende jatoramets bat bider beste amets batedozertarako baikorhainbeste gauza biderkatzeakarrazionaltasuna zorzer pentsatua dagoelakozatiketa bat badator.

6. Bihotza mila zati egitenzaigu horrelakoetanmila motibo eta logikabilatuz gure penetanarrazionalak izaten nahiz tagabiltzan gure ustetanPi agertu zen era bereanzirkunferentziaren bueltanirrazionalki jokatzen dugumomentu sinpleenetan.

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Bertsoak eta Matematika 19

7. Nahiz arraroa egiten zaigunlehendabiziko aldiahalako mila une daudelaez ote da nabaria?ta hala ere gure buruainoiz ez denez nagiaarrazional ta irrazionalmundu erreal handianahiko ez dela ta sortzen dugumundu irudikaria.

8. Beraz konplexu bihurtzen duguoraina, etorkizunabiderkatu zein batuz bideanjasotako maitasunaahaztu gabe zatiketa nahizkenketaren oihartzunadagoen dena ezagututabizi gaitezen zer sumaahaztu gabe sekula berezdugun naturaltasuna.

Jone UriaMatematikazko Lizentziako Ikaslea

UPV/EHU

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20 Txominen Sariketa El Concurso de Txomin

Txominen Sariketa

3. buruketaren ebazpena/Solución del problema 3Irabazleak/Ganadores

1. Ebazpen dotoreena/Solución más elegante: Carlos Van Horenbeke (4o Mat.)

2. Ebazpen originalena/Solución más original: Jon Aldekoa (2o Fis.)

3. Hobekien idatzitako ebazpena/Solución mejor redactada:

Zorionak! Joan zaitezte Marta Machoren bulegora (beheko pisua, eskuineko lehen atea)./¡Felicidades! Pasaos porel despacho de Marta Macho (planta baja, primera puerta a la derecha).Ebazpena/SoluciónEskatzen diguna lortuko badugu, azken orriaren zentroan ipini behar dugu orratza. Izan ere, orri batek beste orribaten arearen erdia baino gehiago estaltzen badu, orduan, bigarren orri horren zentroa ere estaltzen du.

Basta ponerlo en el centro para lograr lo que se nos pide; dado que si una hoja cubre más de la mitad del áreade otra, entonces cubre su centro.

Txomin Zukalaregi

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Buruketak Problemas 21

4. buruketaEpemuga: 2013-4-22Pertsona batek zifra bateko n zenbaki oso pentsatzen ditu x1, . . . , xn; negatiboak ere izan daitezke. Beste pertsonabatek zenbaki horiek igarri behar ditu; horretarako, n zenbaki errealen edozein multzorentzat {a1...an}, ezin dubesterik jaso a1x1+ · · ·+anxn batuketaren zenbakizko balioaren informazioa baizik. Gutxien jota, zenbat zenbakimultzo esan behar du, ziurtasun osoz bermatuko badut lehen pertsonak pentsaturiko zenbakiak asmatuko dituela?

Sariak:

1. Ebazpen dotoreena: 20 txikle eta matematikari buruzko dibulgazio-liburu bat.2. Ebazpen originalena: 20 txikle eta matematikari buruzko dibulgazio-liburu bat.3. Hobekien idatzitako ebazpena: 20 txikle eta “Un paseo por la geometría”-ren pack bat edo beste opari bat.

Zorte on!Txomin Zukalaregi

Problema 4Fin de convocatoria: 22-4-2013Una persona piensa n números enteros de una cifra x1, . . . , xn; pueden ser negativos. Otra persona debe adivinarlos números, para ello, solamente puede recibir la información del valor numérico de

a1x1 + · · ·+anxn

para cualquier conjunto de n números reales cualesquiera {a1, . . . ,an} que le dé. ¿Cuántos conjuntos de númerosdebe decir como mínimo para garantizar con absoluta certeza que adivinará los números que ha pensado?

Premios:

1. Solución más elegante: 20 chicles y un libro de divulgación matemática.2. Solución más original: 20 chicles y un libro de divulgación matemática.3. Solución mejor redactada: 20 chicles y un pack de “Un paseo por la geometría” u otra cosa.

¡Buena suerte!Txomin Zukalaregi

ISSN 2174-9027 www.pikasle.com Revista πkasle Aldizkaria

22 Txominen Sariketa El Concurso de Txomin

4. buruketaren ebazpena/Solución del problema 4Irabazleak/Ganadores

1. Ebazpen dotoreena/Solución más elegante: Aitziber Ibañez (5o Mat.)

2. Ebazpen originalena/Solución más original: Imanol Pérez (1o Mat.)

3. Hobekien idatzitako ebazpena/Solución mejor redactada: Jon Aldekoa (2o Fis.)

Zorionak! Joan zaitezte Marta Machoren bulegora (beheko pisua, eskuineko lehen atea)./¡Felicidades! Pasaos porel despacho de Marta Macho (planta baja, primera puerta a la derecha).Ebazpena/SoluciónBasta considerar el conjunto

{1,19,192, . . . ,19n−1}

Así, cuando nos dan el número, le sumamos 19n−12 y por la unicidad de la expresión en base 19, sacamos inme-

diatamente el conjunto de números tras fijarnos que la n-ésima cifra en base 19 menos 9 nos da el número en eln-ésimo lugar del conjunto.

Txomin Zukalaregi

Eskerrak/AgradecimientosPor su apoyo o participación en el concurso de 2012/2013 quiero agradecer a:

Jon Aldekoa, Erik Ardeo, Adur Ayerza Zubiria, Iván Esteban Muñoz, Leonardo Galleguillos, Ander GarroAbrain, Ricardo Grande, Julio Garcia, Aitziber Ibañez, Marta Macho-Stadler, Unai Martin Mendiguren, ÁlvaroPardo, Imanol Pérez, Manuel Santos Gutiérrez, Josué Tonelli-Cueto eta/y Carlos Van Horenbeke

pertsonei eskerrak eman nahi dizkiet 2012/2013ko lehiaketan laguntzagatik edo parte-hartzeagatik.

Sinatuta: Txomin Zukalaregi

Revista πkasle Aldizkaria www.pikasle.com ISSN 2174-9027