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CONOCIMIENTO Y DESARROLLO Volumen 1 Los avances en la investigación y teoría Editado por Willis E Overton Y Jeanette McCarthy Gallagher Temple Universidad Filadelfia PLENUN PRESS NEW YORK AND LONDON

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CONOCIMIENTO Y DESARROLLO

Volumen 1

Los avances en la investigación y teoría

Editado por Willis E Overton Y

Jeanette McCarthy Gallagher

Temple Universidad

Filadelfia

PLENUN PRESS ● NEW YORK AND LONDON

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El Papel de la Acción en el Desarrollo del Pensamiento∗

JEAN PIAGET

Traducción: César Delgado G.∗∗

Deseamos establecer, sin profundizar en conocidas consideraciones teóricas contrarias, una

serie de hechos y experimentos que podrían ser de interés para aquellos que tienen un

problema práctico relacionado con el estudio del pensamiento. Tenemos en mente, no sólo

a los psicólogos del niño, sino también a los educadores, cuyo objetivo es traducir este

conocimiento de la Psicología en procesos de enseñanza eficaces.

La siguiente discusión se dividirá en dos partes: una dedicada al problema general de

los dos aspectos de la las funciones cognitivas, esto es, los aspectos figurativo y operativo,

y la otra dedicada al problema particular de la relación entre la acción y las operaciones de

pensamiento.

1. Los aspectos Figurativo y operativos de la funciones Cognitivas

Para entender mejor el prominente papel interpretado por la acción en el desarrollo del pensamiento, es importante primero clasificar las funciones cognitivas en dos categorías, de

∗ In: Overton, WF and Gallagher, JM, Editors, 1977. Knowledge and development. Vol. 1, Advances in Research and Theory. Plenum Press, New York. Miezitis, S. pp. 17-42.

∗∗ Profesor titular. Departamento de matemáticas. Universidad del Valle, Cali, Colombia.

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acuerdo a si dependen directa o indirectamente en la acción. Es importante sobre todo estudiar la relación entre estas dos categorías. ¿Son independientes entre sí o una cada vez más se subordina a la otra?

1.1 Propuesta de Clasificación y Planteamiento de los Problemas

La física, las matemáticas y otras realidades que la mente se esfuerza por conocer aparecen en dos formas: como Estados o transformaciones. Cada transformación parte de un estado para terminar en otro estado, por lo que es imposible comprender las transformaciones sin conocer los estados; recíprocamente, es imposible entender los estados sin conocer las transformaciones de las cuales provienen, así como aquellos estados a los que pueden dar lugar. Desde el punto de vista lógico, el conocimiento, por lo tanto, supone dos tipos de instrumentos: descriptores que proporcionan las características de los estados o transformaciones y operadores o combinadores que permiten producir y manipular las transformaciones, inclusive de sus estados inicial y final. Una conclusión adicional se sigue: Aunque es necesario describir con el fin de comprender, no es suficiente la descripción para la comprensión. Por lo tanto, desde el punto de vista de la lógica la comprensión de los estados está subordinada a las transformaciones.

Desde el punto de vista psicológico −el punto de vista que origina nuestra investigación− puede hacerse una clasificación similar. En primer lugar, existen las funciones cognitivas, o aspectos de estas funciones, que corresponden a los descriptores. Estos son los aspectos que tienen que ver principalmente con las configuraciones de la realidad; por este motivo se los puede llamar aspectos figurativos. Esencialmente, estos son 1) percepción, 2) imitación y 3) la imagen mental, que puede llamarse una especie de imitación interiorizada ─un intento de reproducir de manera esquemática los modelos perceptuales. Estas funciones figurativas esencialmente se refieren a estados, y, cuando éstos se someten a transformaciones, ellas los traducen (más o menos) en términos de figuras o de estados (como en la percepción de un movimiento en términos de una Gestalt bien formada). Pero por otra parte, hay funciones cognoscitivas, o aspectos de estas funciones, que esencialmente se relacionan con transformaciones: son (1) acción, en su mecanismo sensoriomotor (los esquemas sensoriomotores, incluyendo mecanismos instintuales dinámicos); (2) acciones interiorizadas en sus formas generales, reversibles y coordinadas en estructuras globales coherentes. Estos aspectos operativos de las funciones cognitivas (cuya forma operatoria es el caso particular N° 3) son indispensables para la reproducción, la manipulación y la consiguiente comprensión de transformaciones. A

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menos que el sujeto actúe sobre el objeto y lo transforme, no podría comprender su naturaleza y permanecería en el nivel de la mera descripción.

Los tres grandes problemas, por consiguiente, que esta clasificación plantea son los siguientes: (1) ¿son los elementos del pensamiento (conceptos, etc.). extraídos exclusivamente de los aspectos figurativos (como se ha sostenido por positivismo, que ve en los conceptos el producto de percepciones, abstraídas, generalizadas y formuladas por medio del lenguaje), o son los mecanismos operativos indispensables para el desarrollo y la estructuración de los conceptos? (2) ¿Pueden los mecanismos operativos por sí mismos establecerse independientemente, o son procedentes de estructuras figurativas (percepción o imágenes, etc., como los Gestaltistas sostienen cuando con Wertheimer intentan reducir las operaciones a estructuras de Gestalt)? (3) ¿Pueden las estructuras figurativas establecerse independientemente, o su progreso se puede atribuir, en parte, a contribuciones externas extraídas de los mecanismos operativos y por tanto de las acciones en general u operaciones?

Es de la respuesta a estos tres tipos de preguntas que depende la solución de nuestro problema general del papel de la acción en el desarrollo del pensamiento.

1.2. Percepciones, conceptos y operaciones

Hemos estudiado en gran escala (Piaget, 1969) el desarrollo de ciertos conceptos y el de las correspondientes percepciones, a fin de determinar la relación entre estos dos grupos de fenómenos. Una variedad de situaciones se encuentran en este sentido y vamos a recordar las principales.

1.2.1. Evolución Divergente de una Percepción y un Concepto correspondiente.

En primer lugar, a veces se observa una evolución parcialmente divergente en el caso de

conceptos y en las percepciones correspondientes. Por ejemplo, los conceptos propios de la

geometría proyectiva (perspectiva, etc.) no se iniciarán hasta alrededor de los 7 años de edad, es

decir, la representación o anticipación de la forma de un objeto (reloj, crayón, etc.) de acuerdo con

la posición que ocupa con respecto al observador; o la anticipación de la forma de una sombra en

una pantalla de acuerdo con la posición del objeto con respecto a la fuente de luz (Piaget y Inhelder,

1956). La perspectiva en el dibujo no es generalmente definida sino hasta los 8 o 9 años

aproximadamente. Por último, la representación correcta de las respectivas posiciones en un

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escenario de tres montañas o tres casas de acuerdo con la posición del observador (en relación con

la escena) no es adquirida hasta alrededor de los 10 años. Hay, por lo tanto, un desarrollo de

conceptos proyectivos comenzando a la edad de 7, con una primera meseta alrededor de los 10 a 11

años de edad.

Por otra parte, las percepciones proyectivas son mucho más precoces, porque la percepción de la constancia de la forma, lo que supone un aspecto proyectivo, comienza en al final del primer año.

Con Lambercier (Piaget, 1969) realizamos mediciones perceptuales de tamaño aparente o

proyectivo. Por ejemplo, a un niño se le muestra una barra vertical de 10 cm de largo colocada 1

metro lejos de él y una varilla de longitud variable se coloca a 4 metros, y se le pide que diga

cuándo esta última tiene un tamaño aparente igual a la varilla de 10 cm (en este caso debería ser de hacho de 40 cm de largo). En esta situación el adulto promedio (a diferencia de artistas y

dibujantes) hace errores apreciables, la varilla elegida suele ser generalmente de 20 cm o menos en

longitud, porque la constancia de tamaño (real) prevalece sobre tamaño proyectivo. Los niños más

jóvenes, sin embargo, tiene grandes dificultades para comprender la pregunta ─se les tiene que explicar la tarea haciendo que pinten sobre un vidrio plano el tamaño aparente de una muñeca

distante vista a través de este vidrio─ pero cuando entiende, da mucho mejores respuestas de los 6

a 7 años que el adulto: el del niño da respuestas en el rango de 25 a 40 cm. A medida que el niño

crece, la proyección perceptual se deteriora mientras desarrolla la proyección conceptual.

Es evidente que en este primer ejemplo el concepto contiene mucho más que la percepción por sí sola. La percepción proyectiva, de hecho simplemente proporciona los conocimientos que corresponde a un punto de vista particular (una posición en relación con el objeto, y luego otro que borra la percepción anterior, etc.). Los conceptos proyectivos (perspectiva, etc.), sin embargo, presuponen dos tipos de propiedades que la percepción por sí misma no puede proporcionar: (l) una interrelación o coordinación de diferentes puntos de vista, tal que el sujeto entiende por qué el objeto al parecer ha cambiado de forma debido a un cambio en la posición con respecto al sujeto; (2) una posibilidad para el razonamiento deductivo que permite al niño anticipar qué forma se tendrá cuando él esté en una posición que no ocupa actualmente. Por lo tanto se pueden ver la comprensión y el razonamiento deductivo o anticipación como resultado de acciones o de las operaciones del sujeto. Para comprender estos cambios de forma evidente el sujeto tiene que moverse o mover el objeto en relación con él mismo y estas son acciones; él debe interiorizar estas acciones como operaciones reversibles para que estas transformaciones se puedan deducir o reproducir en el pensamiento. Estas acciones y las operaciones son el punto de partida de uno de los "grupos de transformaciones" en que se fundamenta la geometría proyectiva.

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1.2.2. Prefiguración de Conceptos por Percepción

En el otro extremo de las situaciones, de las cuales acabamos de dar un ejemplo, están aquellas en las cuales la percepción prefigura el concepto, y a cambio el concepto o las operaciones actúan sobre la organización de la percepción. El término "prefigura" simplemente significa que la percepción desarrolla en una manera similar (o "parcialmente isomorfa" con) el concepto; el problema de la relación entre estos permanece abierta y será discutida luego.

Un ejemplo de esta situación es el de los sistemas de referencia o de los ejes naturales de coordenadas (orientación con respeto a la horizontal y vertical y el desarrollo de estas dos direcciones privilegiadas). Desde el punto de vista del concepto, es necesario hacer una cuidadosa distinción entre el esquematismo sensoriomotor y los conceptos u operaciones representacionales. En el nivel sensoriomotor, el bebé muy rápidamente consigue distinguir la horizontal de la vertical, pero sólo en su propio cuerpo (posiciones de tendido o sentado) y por una forma exclusivamente tónica o postural. Entonces se podría pensar que tan temprana experiencia sería traducida en pensamiento según un concepto igualmente temprano, pero este no es el caso. Hay que esperar hasta la edad de 9 o 10 años para que un niño que ve una botella de agua coloreada pueda ser capaz de dibujar el nivel horizontal por adelantado previendo que pasará cuando la botella es inclinada en posiciones diferentes. El problema es que él busca los puntos de referencia dentro de la jarra, mientras que para juzgar la horizontal tendría que referirse al exterior de la jarra, es decir al soporte sobre el cual la jarra es colocada, la mesa, etc.

Desde el punto de vista de la percepción, la evolución es el siguiente. Desde sus primeros años, el niño puede juzgar la horizontal y vertical con respecto a la línea de atención que corresponde y está vinculada a una evaluación postural (por eso la teoría de la sensoritonica de H. Werner y S. Wapner). Él no sabe cómo evaluar la horizontalidad o la verticalidad de una línea recta con respecto a otros puntos de referencia que no sea su propio cuerpo. Hemos realizado, por ejemplo, el siguiente experimento con P. Dadsetan (Piaget, 1969). Una línea variable, pero con una variación ligeramente de la horizontal, es dibujada dentro de un triángulo de ángulo recto la base del cual está inclinada; ya que la línea está cerca de esta base inclinada es difícil de juzgar su horizontalidad sin buscar puntos de referencia fuera del triángulo, como los bordes de la hoja donde un marco es dibujado en líneas negras para este propósito. Los resultados fueron sorprendentes: (1) los

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sujetos más jóvenes no fueron excesivamente engañados por el triángulo, que no se veía; (2), a continuación, los errores aumentaron en los niños hasta alrededor de los 9 a 10 años por el triángulo y debido a no mirar el marco exterior de la figura; (3) alrededor de 9 a 10 años los errores disminuyeron mucho y abruptamente, porque los sujetos estaban tomando cuenta el marco; (4) cuando la prueba operatoria o la prueba conceptual para la anticipación de la horizontalidad del nivel del agua en jarras inclinadas fueron aplicadas a los sujetos mayores, se encontró una buena correlación entre el juicio conceptual y la percepción, pero con aquel a la iniciativa.

Por lo tanto, es evidente que, en este situación, aunque la percepción prefigura al concepto, al llegar a la edad de 9 a 10 años, el concepto actúa regresando de nuevo sobre la percepción; hasta esta edad el niño no tiene la “idea” de mirar el marco externo para utilizarlo como referencia, mientras que en el plano operatorio donde comienza a construir y generalizar los sistemas de referencia (por la generalización de mediciones a dos y tres dimensiones), los hábitos que ha adquirido orientan su exploración perceptual y por lo tanto indirectamente modifican su percepción.

1.2.3. La relación de la percepción al concepto

No hay ninguna razón para dar ejemplos de otras situaciones donde la percepción y el concepto están relacionados: son casos de interacción, o casos de prefiguración perceptual, pero sin ninguna acción conocida de retorno por el juicio conceptual sobre la percepción. Este es el caso, por ejemplo, con constancias perceptuales y conservaciones operatorias, donde hay un modo análogo de formación con un intervalo de 6 a 7 años entre el principio de las constancias perceptivas y el principio de las conservaciones operatorias; pero las conservaciones en ningún caso son sacadas de las constancias.

La conclusión que se extrae de estos y otros hechos es la siguiente: aunque un concepto obviamente obtiene información indispensable de la percepción correspondiente, el concepto no es, sin embargo, extraído de la percepción por simples abstracciones y generalizaciones, como Aristóteles creía, y como piensan los positivistas contemporáneos. Si esta fuera el caso, el concepto, mientras más general, podría ser más pobre que las percepciones correspondientes porque de estas sólo se habría extraído algunos aspectos perceptuales y se habría descuidado otros. En realidad, un concepto como el de perspectiva o de un sistema de referencia o coordenadas es mucho más rico que las percepciones descriptivas o las coordenadas perceptuales, porque éste siempre implica un sistema de operaciones o transformaciones (clasificaciones, seriaciones, correspondencias, medidas,

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etc.). Este aspecto operativo del concepto no es reducible a las estructuras perceptuales y deriva de las estructuras sensoriomotoras o de la estructuras de acción en general. Ahora vamos a establecer este hecho por comparación de las estructuras operatorias con la "Gestalt" de estructuras perceptivas

1.2.4. La posición de Gestalt

Los psicólogos Gestalt han descrito la Gestalt como la estructura más general de la percepción. Sin duda tienen razón, excepto que una estructura no es una explicación, sino sólo el resultado de un proceso funcional y dialéctico que por sí solo es explicativo. Todo lo que deseamos hacer por el momento es comparar la estructura de la Gestalt, característica de la percepción, con las estructuras operatorias características de inteligencia, para ver si estas últimas son reducibles a las primeras. Una Gestalt es definida por Kohler y por Wertheimer por medio de dos características: (1) es una totalidad que tiene sus propias leyes como totalidad, distinta de las leyes de sus componentes (percepción y sensaciones); (2) es una totalidad de no aditiva, es decir, el todo es diferente de la suma de sus partes. Estas dos características son concebido por los Gestaltistas como integral, y esta es la razón por la cual, cuando Wertheimer intentó explicar las estructuras operatorias de formas matemáticas o formas lógicas (el silogismo por ejemplo), trató de reducirlas a Gestalten.

Ahora, si comparamos esta estructura Gestalt con una estructura operatoria, como la serie de números enteros, vemos que esta última tiene la primera pero no la segunda característica. La serie de los números enteros muestra leyes de totalidad: leyes de los "conjuntos", las leyes de "cuerpo", las leyes de "anillo", leyes de "red", etc., que los matemáticos han descrito y que tienen un profundo significado psicológico. Pero por otro lado es una totalidad estrictamente aditiva, porque 2 + 2 es precisamente igual a 4, no un poco más o un poco menos, como en las ilusiones perceptuales.

Por sólo esta razón es imposible sacar de las estructuras perceptuales las estructuras operatorias o conceptuales. El razón es que las primeras, siendo no aditivas, son irreversibles y de un naturaleza probabilística, como todas las funciones figurativas. Una estructura operatoria, sin embargo, como la del número entero, se deriva de una cierta forma de acción (aquí la acción de reunir juntos) que se ha convertido en reversible (reunir y separar → añadir y restar) y en consecuencia susceptible de una deducción precisa o necesaria, en contraste con las estructuras irreversible y probabilísticas.

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1.2.5. La percepción y el pensamiento

En lo que a las relaciones entre las percepciones y pensamiento se refiere, podemos por lo tanto concluir respondiendo como sigue a las tres preguntas planteadas al final de la Sección 1.1.

1.2.5.1. Pensamiento causal. En todos los casos donde se ha intentado derivar un concepto de solo la correspondiente percepción, se ha olvidado que no son solo estos dos términos los que están involucrados. Hay un tercer término que es fundamental y constituye el origen común, es el complejo de las estructuras sensoriomotoras, el reflejo, la propia inteligencia sensoriomotora (la cual es establecida en la segunda mitad del primer año).

Michotte, por ejemplo, buscó explicar la formación del concepto de causa por un fenómeno peculiar a la causalidad perceptual, que él estudió detalladamente como lanzar y tirar. Pero allí existe una causalidad sensoriomotora cuyo rasgo inicial es su vínculo exclusivo con la propia acción de alguien, como las acciones de tirar, lanzar, balancear objetos suspendidos, etc., independientemente de contactos espaciales. Por ejemplo, un infante puede sacudir la cuna por, varios movimientos en el intento de actuar sobre objetos situados a dos o tres metros de distancia. No es sino hasta alrededor de 10 a 12 meses de edad que el bebé comienza a reconocer las limitaciones espaciales (necesidad de contactos) y a objetivizar (asignar la causalidad de la acción a relaciones entre los propios objetos). Por otro lado, la causalidad visual perceptual de Michotte proviene de una causalidad perceptual táctil-cinestésica que es previa a ésta, porque si el sujeto no tuviera los músculos y motricidad, no "vería" ningún impacto, empuje, resistencia, etc., en las pequeñas figuras de Michotte, sino sólo movimientos sucesivos y regulares. La causalidad tactil-cinestésica depende, desde luego, de la acción misma como un todo, que por lo tanto, constituye el origen común de causalidad perceptual y de la causalidad conceptual.

1.2.5.2. Razonamiento. Asimismo, las operaciones de pensamiento no derivan de Gestalts, como hemos visto, y su génesis se pueden seguir a partir de las acciones sensoriomotoras. Desde el nivel sensoriomotor del primer año, hemos sido testigos de la formación de esquemas de acción que comprometen coordinaciones generales de combinaciones (coordinación de la visión y agarrar con la mano, o de dos movimientos en uno, etc..), de ordenación (el aprovechamiento del medio, como tirar de una manta, antes de apuntar directamente al objetivo, que es alcanzar el objeto remoto colocado sobre ella), etc., de correspondencia (el aprendizaje de la imitación), etc. Esta coordinación general constituye previa al lenguaje, una especie de lógica de acción que es fundamental para el posterior desarrollo de operaciones. Por ejemplo, la coordinación de movimientos (del propio cuerpo o de objetos manipulados en la acción) en última instancia resulta, en

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aproximadamente 12 a 18 meses, en la adquisición de una estructura "de grupo" (en el sentido de la geometría). La posibilidad de "devolverse" hasta el punto de partida (reversibilidad del conjunto) y de "desvíos" (composiciones asociativas haciendo posible llegar al mismo punto por diferentes rutas) ya confiere a esto la estructura de las propiedades de movilidad reversibles que caracterizan las futuras operaciones. Además, las acciones de esta estructura cuasi-operatoria (estas son acciones sucesivas sin alguna representación simultánea de eventos) conducen a la constitución de un "invariante de un grupo" en la forma del esquema del objeto permanente: el bebé llegará a ser capaz hacia el final de la primer año de buscar un objeto (lo que no hace en absoluto entre los 4 y 9 a 10 meses) teniendo en cuenta movimientos sucesivos y posiciones (Gruber et al., 1971). Por lo tanto, aquí tenemos el germen, no sólo de futuras operaciones, sino también de los esquemas de conservación; y la conservación caracteriza todas las operaciones una vez que ellas son establecidas.

1.2.5.3. Percepción y Desarrollo. La percepción por lo tanto, en ningún caso es suficiente para explicar estos acontecimientos que implican la acción como un todo. Tampoco la percepción en sí misma se desarrolla con la edad de una manera autónoma o independiente, ya que ella está cada vez más subordinada a la inteligencia y a las operaciones que son activas y participan como esquemas de acción. Hemos visto un ejemplo de esto en conexión con las coordenadas perceptuales. Muchos otros podrían ser mencionados, pero no hay ninguna necesidad de hablar extensamente de esto.

1.3 Las relaciones de entre imágenes mentales y operaciones

La percepción es un primer ejemplo de una función figurativa que no explica los aspectos operativos del pensamiento pero cada vez más se subordina a éste. Un segundo ejemplo, igualmente convincente, es el de la imagen mental.

La psicología asociacionista considera la imagen mental como resultado de la percepción y un elemento de pensamiento, como si el razonamiento consistiera en asociar imágenes uno con otra y con percepciones. Desde el punto de vista del desarrollo del niño, la imagen mental no parece desempeñar papel alguno justo después del nacimiento, como si lo hacen las percepciones, y no se manifiestan hasta después de 1½ a 2 años, en el momento de la aparición de la función simbólica (es decir, juego imaginativo o funcional, imitación diferida, lengüaje, etc..). La imagen, por lo tanto, esencialmente desempeña un papel simbólico, pero bajo una forma interiorizada (neurológicamente la representación de un movimiento produce ondas similares en electromiogramas o en electroencefalogramas como la ejecución del propio movimiento).

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Podríamos preguntarnos, por lo tanto, qué relaciones hay entre las imágenes y las operaciones del pensamiento: ¿Las primeras preparan a éstas últimas o sólo sirven como ayudas simbólicas? Y ¿se desarrollan las imágenes independientemente de las operaciones de pensamiento o bajo su creciente influencia?

Primero, dos clases de imágenes deben ser distinguidas: imágenes reproductoras, que evocan acontecimientos ya conocidos u objetos, y las imágenes anticipadoras que representan acontecimientos aún no observados.

1.3.1. Imágenes reproductoras

En cuanto a reproducción de imágenes concierne, dos tipos de hechos son de interés aquí. El primero es que la retención de estas imágenes de memoria en la memoria es mejor cuando están vinculadas a la acción que cuando han sido registradas como el efecto de la sola percepción. Por ejemplo, hemos realizado algunos experimentos (Piaget y Inhelder, 1971) con diseños de pequeños botones. Se compararon tres condiciones:

1. El niño simplemente examina el diseño y tiene que reconstruirlo de la memoria. 2. El niño copia el diseño con otros botones y tiene que reconstruirlo de la memoria. 3. El niño mira a un adulto que es hacer el diseño y tiene que reconstruirlo de la memoria.

Diferentes grupos de sujetos fueron examinados aparte siguiendo el orden 1→2 o 2→1, etc., 1 semana o 2 semanas.

Se obtuvieron resultados claros cuando los diseños tenían un patrón de corte deseado (pero no cuando los diseños eran solamente series arbitrarias de elementos o cuadros): (a) los resultados eran mejores cuando el niño actuó que cuando sólo miró. (b) En el orden 2→1 había una influencia definitiva de la acción anterior sobre la percepción posterior (incluso si el diseño había sido cambiado ligeramente de un experimento al siguiente), mientras que en el orden 1→2 la percepción previa no tuvo ninguna influencia sobre los resultados de la acción posterior. (c) El hecho que un adulto fuera observado en la acción (la situación 3) no añadió nada a la percepción simple (1) y no era en ningún caso equivalente a la acción del niño mismo (2).

Este último punto contiene una pequeña sugerencia pedagógica, aunque está de acuerdo con lo que ha sido durante mucho tiempo conocido: el alumno aprende mucho menos mirando que algo se está haciendo que haciéndolo él mismo.

El segundo hecho revelador es el de las diferentes variedades de imágenes reproductivas y su frecuencia en relación con las escenas cotidianas o eventos que dan lugar a su formación. Se pueden distinguir tres tipos de imágenes: estáticas (que representan objetos inmóviles), cinéticas (cambios de posición), o transformaciones (cambio de formas).

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En la vida cotidiana hay tantos movimientos y transformaciones como objetos estáticos existen. Sin embargo, cuando uno estudia la representación de la imagen de movimientos elementales o transformaciones en niños menores de 7 o 8 años, se encuentran algunas dificultades muy curiosas. Por ejemplo, los niños dibujan de memoria, sin mostrarles el modelo, una barra que gira 90 ° o 180 ° como las manecillas de un reloj, o un tubo con los extremos coloreados que girará 180° y al final de la caída acaba en el borde de una caja en una mesa, o simplemente los cuatro lados coloreados de manera diferente de un cuadrado giratorio (rotando en un plano o en el espacio); ellos tienen toda clase de inesperadas dificultades en el dibujo de las posiciones intermedias. De modo similar en el caso de la transformación de un arco, de alambre flexible, en una línea recta, el niño tiene un desempeño pobre al representar las posiciones intermedias, y dibuja la línea recta no mayor que la cuerda del arco, aun cuando él sea consciente que éste está siendo extendido.

En resumen, imágenes que reproducen movimientos o las transformaciones son muy

infrecuentes o muy inexactas antes de los 7 u 8 años de edad. Claramente, no consisten de

meras evocaciones pasivas sino que implican anticipaciones activas o re-anticipaciones. En

cuanto a imágenes anticipativas relativas a movimientos o transformaciones que aún son

desconocidos(as) (tales como plegado y el posterior corte de una esquina de la hoja), es

evidente que su producción ocurre incluso más tarde. Esto sugiere la hipótesis que el

progreso de la imagen, a partir de las imágenes estáticas primitivas, es debido a las

primeras operaciones, que comienzan precisamente a los 7 a 8 años, y que la imagen es

entonces más y más subordinada a las operaciones, en lugar de constituir su fuente.

1.3.2. Imágenes de operaciones

Para verificar esta hipótesis, hemos repetido un número de antiguos experimentos de una naturaleza operatoria que se relaciona con los conceptos de conservación, pero encausamos el resultado de las transformaciones para que estas fueran previstas por la imagen antes de que el niño en realidad las realice, y antes de hacer el estudio del resultado real. Uno de estos experimentos (Piaget y Inhelder, 1971) consistía en pedir a los niños encontrar tantas fichas rojas como fichas azules hay en una fila horizontal de 10 fichas azules ligeramente espaciados. El más joven hizo una fila de la misma longitud sin molestarse sobre si había correspondencia entre las filas. En una segunda etapa, el niño hace las filas estableciendo una correspondencia óptica uno a uno sobre una base de uno por uno y expresa el número (¿cuántos?), pero si se acercan las fichas en una de las filas o se espacia un poco más la separación, dice esto ya no se tiene el mismo número y que hay

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que añadir una o dos fichas en un extremo para hacerlas iguales una vez más. Durante una tercera etapa, si se modifica la longitud de una de las filas, el niño está de acuerdo en que el número es el mismo, pero no la cantidad: "Son 10 y 10, pero allí hay más que aquí." (¡Por lo que el todo todavía no es igual a la suma de las partes!) Por último, en una cuarta etapa, ya sobre los 7 años, número y cantidad se conservan si se modifica la disposición espacial de los contadores, "porque ellos se pueden ponerse nuevamente en la forma como estaban antes". Aquí tratamos con una operación, por lo tanto, reversibilidad y conservación.

La reacción de los pequeños es asombrosa desde el punto de vista de la imagen: Ellos razonan como si no se imaginaran que la separación de las fichas podría ser neutralizada moviéndolas sólo 1 cm o ½ cm de su nueva posición, o como si no se imaginaran su identidad en el curso del movimiento. Entonces construimos un aparato en forma de un abanico abierto: Las fichas rojas en la parte inferior quedaban cercanas y las fichas azules en lo alto quedaban extendidas, pero una línea con barreras de cartulina unía cada rojo a cada azul y las fichas no podían salir de sus líneas. Aquí la imagen de los caminos de acceso no planteó ningún problema, y era evidente que a una ficha roja correspondía sólo una azul y viceversa. Entonces pedimos al niño imaginarse los caminos, y nada era más fácil. Pero increíblemente esta imagen no produjo ningún cambio de las reacciones pre-operatorias: " Cuando ellos suben hay más y cuando ellos vienen hacia abajo hay menos. " Finalmente, transformamos la imagen de la percepción moviendo todas las fichas rojas a la vez con un dispositivo mecánico; los niños quedaron encantados de ver esto y simplemente concluyeron otra vez que los fichas aumentan o disminuyen según si ellas son levantadas o bajadas.

Otro experimento anterior se repitió para estudiar la imagen (Piaget y Inhelder, 1971), a saber, la experimento de conservación de líquidos en el que el líquido se vierte desde un recipiente de vidrio de tamaño mediano A en uno más delgado B o a uno más ancho C. Alrededor de siete años el líquido es considerado por el sujeto promedio aumentando o disminuyendo en cantidad de acuerdo a los niveles, independientemente de la anchura de los recipientes. Para estudiar el papel desempeñado por la imagen, solicitamos a continuación al niño prever lo que iba a suceder cuando se hicieran las transferencias, que indicara los niveles y dijera de antemano si o no el líquido podría ser conservado. Se encontró a continuación tres tipos de reacciones: (1) para la mayoría de los sujetos jóvenes, todo "será lo mismo," incluyendo los niveles. Pero cuando ellos vieron que el líquido se eleva más en B que en el A y menos en C, dijeron habían sido engañados y negaron cualquier conservación de la cantidad misma. (2) Un segundo grupo de sujetos (23 %) preveía los niveles y concluyó correctamente que habría más de beber en B que en el A y

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menos en C. En efecto, cuándo les dieron los recipientes A, B, y el C vacíos y se les pidió verter el líquido ellos mismos de modo que cada uno de los participantes (el experimentador, el ayudante, y el niño) tuviera la misma cantidad para beber (!un asunto de justicia moral!), ellos vertieron exactamente los mismos niveles independientemente de la anchura. (3) Por último, hubo sujetos (con un promedio de 7 años o más) que correctamente preveía los niveles y aceptaban la conservación. Por lo tanto, puede observarse que, hasta el nivel de operatorio (tercera fase), la imagen puede ser incorrecta (etapa 1) o puede ser correcta (Etapa 2); sin embargo, se trata de una simple imagen reproductiva que traduce la experiencia previa del sujeto (transferencias pueden realizarse en la vida cotidiana) pero no conduce a la conservación debido a que el niño carece de la comprensión de la compensación de los cambios de altura y de ancho. Incluso la imagen correcta, por lo tanto, no basta para producir la operación.

Otros experimentos de conservación de cantidades (una bola de arcilla se convierte en un rollo con forma de pan) y en la conservación de longitudes (una vara que es inicialmente congruente con otro se desplaza a ligeramente) han producido resultados similares.

1.3.3. Conclusión

En resumen, la imagen es útil para la operación en la medida en que simboliza un conocimiento exacto de estados, pero no es en absoluto suficiente para facilitar la comprensión de las transformaciones. Para comprenderlas, es necesario actuar sobre el objeto y coordinar las modificaciones en un todo coherente. Sólo las operaciones, que prolongan acciones interiorizándolas y hacen sus coordinaciones reversibles, pueden conducir a esta comprensión: las transformaciones no transforman todo pero siempre implican un elemento invariante, por lo tanto una conservación.

Los resultados de esta investigación en el desarrollo de imágenes convergen con las relativas a las percepciones. Esto permite confirmar las conclusiones acerca de la relación general de los aspectos figurativos y operativos de las funciones cognitivas. Ahora es posible mantener lo siguiente:

1. La imagen no es más suficiente que la percepción para dar cuenta de los elementos o los conceptos de pensamiento, que surgen a de la parte dispositiva actividades que no sean reducible a datos figurativos.

2. La imagen no es más suficiente que la percepción para engendrar operaciones como tales, aun cuando, sobre la base de la experiencia adquirida, la imagen haga posible prever el resultado de ciertas transformaciones. De lo que carece el aspecto figurativo es de la comprensión de la transformación, que es un cambio de estado, no una configuración.

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3. La imagen, como la percepción, no se desarrolla independientemente, sino que su progreso se debe a una intervención necesaria de las operaciones, que solas permiten el cambio de imágenes reproductivas a imágenes anticipadas del movimiento y de las transformaciones.

2. Acción y las operaciones del pensamiento

Los aspectos figurativos de las funciones cognitivas, aunque obviamente útiles y

necesarios para el conocimiento de los estados, son incapaces de dar cuenta del

pensamiento, porque por sí solos no pueden tener éxito en asimilar las transformaciones de

la realidad. La razón es que el conocimiento no es una copia estática de la realidad.

Conocer un objeto no es proporcionar una simple copia del mismo: es actuar con el fin de

transformarlo y captar dentro de estas transformaciones el mecanismo por el que se

producen. Conocer, por lo tanto, es producir o reproducir el objeto dinámicamente, pero

para reproducirlo es necesario saber cómo producirlo y esta es la razón por la que el

conocimiento se deriva de la acción completa, no sólo de sus aspectos figurativos.

2.1. El sujeto y el objeto

Desde la primacía de la acción y la insuficiencia de los aspectos figurativos se sigue una primera consecuencia sobre el análisis de las relaciones entre el sujeto y el objeto: el análisis deben buscar una dialéctica, no una relación estática, entre estos dos conceptos.

Cualquier relación estática entre el sujeto y el objeto consiste en disociarles y esta disociación es fuente de dificultades inextricables. Partir del sujeto para comprender el objeto es asumir una perspectiva apriorística o idealista que impide alcanzar el objeto. Si uno considera al sujeto como un ensamble de estructuras prefabricadas, uno se olvida de que el sujeto no existe en una determinada forma de una vez por todas y para siempre. El sujeto es ni más ni menos el ensamblaje de las acciones que se ejerce sobre los objetos y estas acciones son incesantemente transformadas en conformidad con los objetos y modifican al sujeto. Partir del objeto independientemente de las acciones del sujeto es asumir una perspectiva empirista o positivista que olvida que el objeto es alcanzado sólo por aproximaciones sucesivas. Toda la historia de las ciencias muestra que la objetividad no es un dato de partida, sino que es construida y adquirida por un esfuerzo continuo y

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laborioso. Estas aproximaciones sucesivas se refieren a las acciones del sujeto en su conquista y reconstrucción del objeto.

El sujeto S y los objetos O son, por lo tanto indisociables, y es a partir de esta interacción indisociable S O que la acción, la fuente de conocimiento, se origina. El punto de partida de este conocimiento, por lo tanto, no es ni S ni O sino la interacción adecuada a la acción propiamente dicha. Es a partir de esta interacción dialéctica que el objeto se descubre poco a poco en sus propiedades objetivas por una "descentración" que libera el conocimiento de sus ilusiones subjetivas. Es desde esta misma interacción que el sujeto, para descubrir y conquistar el objeto, organiza sus acciones en un sistema coherente que constituye las operaciones de su inteligencia y su pensamiento.

Demos dos ejemplos de esta descentración para mostrar el papel necesario de las acciones y las operaciones en la conquista del objeto y, en particular, para mostrar cómo la operación, fundada en coordinaciones generales de acción libera la acción de sus aspectos personales y subjetivos y permite una objetividad descentrada del ego o el self.

El primero de estos ejemplos es una evento familiar (Piaget, 1930). Muchos niños encuestados antes de los 7 años creen que la luna les sigue en la noche y yo vi algunos que parecían hacer comprobaciones sobre este tema. Un niño entró en una tienda y miró a la puerta para ver si la luna todavía le estaba esperando, otro corrió a lo largo de un bloque de casas desde una esquina para encontrar que allí estaba otra vez la luna en la próxima intersección. Así que aquí tenemos un pseudoconocimiento debido a su acción inmediata, sin ninguna descentración. Los niños que encueste quedaron bastante sorprendidos cuando les pregunté si la luna me sigue a mí también (respuesta: “¡por supuesto!”), y lo que haría, entonces, si yo voy de A a B y el niño de B a A (respuesta: "Ella iría con usted en primer lugar, tal vez, pero, a continuación, me alcanzará nuevamente."). Alrededor de los 7 u 8 años de edad esta creencia se desvanece. He visto niños que recordaban por qué lo hizo (o al menos lo explicó muy bien). Un niño de 7 dice, por ejemplo, "cuando tengo amigos en la escuela sabía que la Luna no puede seguir a todo el mundo a la vez y sólo parecía seguirnos pero no realmente". Tanto en este caso una descentración por reciprocidad de acciones bastó para corregir la error inicial.

El segundo ejemplo es más sutil y muestra la influencia de las operaciones aditivas en una representación de conservación. Se recordará que el niño empieza con una no conservación del número a falta de operaciones aditivas, y que adquiere esta conservación cuando él coordina las acciones en la combinación (1 + 1) en un forma coherente, tal que el todo es igual a la suma de las partes. Ahora, esta descentración de la operación aditiva es la

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que lo libera de apariencias figurativas (percepción o imagen) nos aporta un buen ejemplo de descentración en relación con la conservación de las cantidades físicas: la conservación de azúcar se disuelve en agua.

El experimento (Piaget y Inhelder, 1962) que realicé con Bärbel Inhelder consiste en poner un vaso de agua en una balanza que muestra cómo el peso aumenta cuando se añaden dos o tres terrones de azúcar, y cómo el nivel del agua se eleva cuando entran en el agua (luego de marcar el nuevo nivel). Las preguntas son: (1) ¿qué se hace del azúcar ¿Después que se disuelve? ¿(2) Mantiene su peso? (3) El nivel del agua ¿sigue siendo elevado o tiene que bajar nuevamente (conservación de volumen)? Durante las etapas preoperatorias cuando todavía no hay ninguna composición operatoria aditiva, no hay conservación en este dominio físico o bien: se presume la azúcar disuelta será aniquilada (y el sabor dulce del agua, desaparecerá en la misma forma en que un olor se va), el peso del recipiente va a disminuir después de que el azúcar se disuelve, y el nivel del agua va a caer de nuevo a donde estaba antes de que los terrones fueran sumergidos. Pero a partir de la formación de las composiciones aditivas, el niño adquiere la conservación de la sustancia en primer lugar, y a continuación, peso y por último volumen. Comienza afirmando que el azúcar en disolución divide en cada vez más y más pequeños granos. Él entonces supone, cuando el azúcar parece que ha desaparecido, todo lo queda son granos tan pequeños que no pueden verse, pero −y aquí es donde la importancia de composición aditiva se observa− todas estos granos juntos son equivalentes en su suma a los terrones iniciales que si eran visibles, por lo que se conserva la sustancia del azúcar. Pero al principio el niño piensa que estos granos son demasiado pequeños para pesar algo, sobre todo para ocupar espacio; después, sin embargo, él se admite que cada grano tiene un poco de peso y finalmente un pequeño volumen, la suma de estos pesos o de estos volúmenes, a continuación, es igual al peso total de los terrones antes de ser disueltos y a su volumen total que se mide por el nivel de el agua.

Vemos en este ejemplo de cómo la coordinación de las acciones de combinación o sumar, una vez han sido o interiorizadas como operaciones coherentes, conducen a un descentración y una objetividad suficiente para superar las apariciones figurativas. Así, los niños adquieren aquellas difíciles formas de conservación de la materia, el peso y el volumen de un cuerpo que durante la transformación se había vuelto invisible. Esta conquista de objetividad es más interesante porque se lleva a cabo acerca de la misma edad en que las transformaciones durante las cuales todo puede ser visto, tales como amasar una bola de arcilla en una barra, se observa que la cantidad de materia, el peso y el volumen siguen siendo los mismos. Con el azúcar así como con la arcilla, la conservación de la

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cantidad de materia se observa desde los 7 a 8 años de edad, la conservación del peso desde los 9 a 10 años y la conservación de volumen desde los 11 a 12 años.

2.2. El desarrollo de operaciones

Las operaciones son acciones reversibles, interiorizadas que se agrupan en sistemas generales y disponen de leyes de composición como sistemas o totalidades. Por ejemplo, una acción que un niño se realiza a una muy temprana edad consiste en combinar objetos que son similares entre sí en un pila o colección A. Asimismo puede combinar otros objetos similares uno con otro en otra pila A' y si reúne estas dos colecciones A y A' para hacer una totalidad B, entonces se involucra en una nueva acción que consiste en combinar, objetos no individuales, sino colecciones o pilas, y podemos representar esta acción simplemente como A+A'=B. Estas son acciones materiales, pero las acciones ya dotadas de significación general; puede verse inmediatamente que estas acciones son el punto inicio de las operaciones de combinación o de adición. Pero todavía un largo camino separa estas acciones de las operaciones correspondientes, porque todavía tiene que ser interiorizadas, hacerse reversibles y ser agrupadas en un sistema total.

La interiorización de las acciones plantea todo tipo de problemas neurológicos y psicológicos que han sido objeto de estudió, particularmente en la Unión Soviética. No insistiré sobre la interiorización, excepto para observar que es apoyada por la función simbólica. En el nivel sensoriomotor, desde el nacimiento hasta 1½ o 2 años, las acciones aún no pueden ser internalizadas como esbozos. Con el lenguaje, el juego simbólico (simulación), la imitación diferida y la imagen mental, la interiorización se hace posible a través de dos factores: bosquejos figurativos de acciones originarios del sistema nervioso y significación operativa derivadas de niveles superiores de coordinación de las acciones. Pero observamos especialmente que una acción interiorizada sigue siendo una acción: combinar dos guijarros o sumar dos unidades abstractas 1+1 = 2, es aún agregar elementos para formar un todo y, si el objeto de la acción parece desaparecer en las matemáticas "puras", este siempre está presente en el forma de "algún objeto en general."

La reversibilidad presenta un problema que es muy complejo. Cuando el niño ha combinado las dos colecciones A y A ' en una totalidad B, uno podría pensar que esta es ya una acción reversible, porque él puede disociar la totalidad B; recuperar la subcolección A, en forma de B − A' = A. Esto es, de hecho, un comienzo de reversibilidad pero es todavía muy incompleto, debido a que el niño está inclinado a olvidar la totalidad B; cuando él,

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piensa en la colección A él olvida que A = B − A', es decir, que A es el residuo relativo a la toda B. Este comentario parece artificial, pero los siguientes experimentos (Inhelder y Piaget, 1969) mostrarán que no es del todo artificial.

Los niños a la edad de 5 y 6 años recibieron fotos de flores, siete primaveras, dos rosas y una violeta, y se les preguntó, "todas las primaveras son flores" "sí, seguro." "¿Son todas las flores primaveras?" "No, hay también algunas rosas y una violeta". "Por lo tanto, en este ramo existen más primaveras o más flores?" "Pero si se sacan las flores las primaveras pueden dejarse?" "No, ellas también son flores." "Entonces Hay más flores allí o más primaveras?" "Más primaveras, porque hay sólo tres flores," y así sucesivamente. En otras palabras, el niño puede estar pensando muy bien el conjunto como "todas las flores" y de una parte como "las primaveras". Pero cuando piensa en una parte A, él destruye la totalidad B y todo lo que queda es la otra parte A'. Entonces responde que A > A ' cuando se preguntó si A < B, porque el conjunto B ya no existe para él cuando lo ha disociado en el pensamiento. Para comprender la inclusión A < B, por lo tanto, es necesario conservar la totalidad y pensar en la reversibilidad: A + A ' = B, por lo tanto, A= B − A ' y por lo tanto A< B.

Es esta ausencia de reversibilidad lo que explica las no conservaciones sobre las que hemos hablado. Cuando el niño vierte agua de una botella X dentro de una botella más estrecha Y y dice que hay más porque el agua sube más, no considera el hecho de que el agua que está en Y se puede poner de nuevo dentro de X. Sobre todo, descuida el hecho que, si la columna de agua es superior, es al mismo tiempo más estrecha y si se agrega al total una cantidad Q en altura y se quita la misma cantidad Q del ancho, +Q ─ Q = 0; es decir, nada ha cambiado. Ahora, esto es precisamente lo que el niño de 7 a 8 años dice cuando adquiere conservación: "es mayor, pero es más estrecho, por lo que es lo mismo".

Para pasar de la acción a la operación, es claramente necesario que la acción sea reversible. Esto es lo que sucede. Cuando el niño ya no basa su razonamiento en acciones particulares y aisladas, tales como "verter", "Agregar", etc., sino en la coordinación general de las acciones. Ya hemos visto, empezando por el nivel sensoriomotor, que las acciones son coordinadas entre sí bajo formas generales de combinación, seriación, correspondencias e intersecciones. En la medida en que estas coordinaciones generales se aplican también a acciones particulares interiorizadas se convierten en reversibles. Más precisamente, cualquier coordinación de acciones, como cualquier coordinación biológica, tiende a mantener la equilibración por una serie de regulaciones y autoregulaciones. Ahora, la equilibración a través de autorregulación consta de mecanismos compensatorios actuando

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por correcciones retroactivas o anticipadoras. Por lo tanto, este equilibrio tiende hacia una reversibilidad. Cuando las coordinaciones se logran plenamente, como en el caso de coordinaciones de acciones, combinaciones, seriaciones, correspondencias, esta reversibilidad puede hacerse completa a través de una regulación intencional del pensamiento.

Pero las operaciones no son acciones simplemente interiorizadas y reversibles. Ellas están también, por su propia naturaleza, agrupadas en sistemas de totalidad; pueden repetirse indefinidamente en el sentido de composiciones directas y pueden invertirse por lo que las composiciones entre operaciones directas e inversas dan aún más combinaciones. En el caso de la combinaciones de que hemos estado hablando hasta ahora, tan pronto como el infante puede combinar dos clases en forma A + A ' = B, que puede continuar en la forma B + B'= C, C + C’ = D, etc. y así construir una clasificación, desde que no existen clases aisladas. Tan pronto como se construye una clase, se opone a otras clases y así se implica la construcción de una clasificación de una forma u otra.

Asimismo, una relación transitiva asimétrica A < B no existe en un estado aislado, y supone la seriación de otras relaciones B < C, C < D, etc.. Un número no existe en aislamiento, sino que participa en la serie de operatoria de los números enteros (o naturales). Una relación familiar participa asimismo en un árbol genealógico. Dos clasificaciones forman una tabla de multiplicar o matriz de doble entrada. Dos seriaciones puede hacerse corresponder. En resumen, tan pronto como hay allí operaciones reversibles, hay una constitución de las estructuras del todo que tiene sus leyes de totalidades como estructuras o sistemas. Pero estas estructuras no constituyen, a priori, un punto de partida que permitiría el pensamiento de los "sujetos" de una vez y para siempre: son el punto final de una ininterrumpida sucesión de acciones sobre los objetos que finalmente están coordinadas en operaciones reversibles. Y por "finalmente" nos referimos simplemente a una cierta etapa del desarrollo, esta etapa así mismo es seguida por una serie de otras en una dialéctica sin algún final definitivo.

2.3. Experiencia física y experiencia lógica matemática

Por lo tanto, las operaciones de pensamiento derivan de la acción sobre objetos y cada acción sobre el objeto comienza con una interacción indisociable S O entre un sujeto S que actúa y objeto O que reacciona. Es necesario distinguir dos tipos de conocimiento: de una parte, los conocimientos físicos en la sentido más amplio, es decir, los conocimientos que se refieren a las propiedades de objetos particulares; y, por otro lado, conocimientos

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lógicos o matemáticos, que siempre se aplican a objetos en general. Comenzando en un cierto nivel, este conocimiento sólo procede de manera deductiva sin necesidad de verificación experimental.

2.3.1. Dos tipos de experiencia

A menudo se ha afirmado, y toda escuela anglosajona del positivismo lógico todavía afirma, que sólo los conocimientos físicos se derivan de la experiencia. En contraste, el conocimiento lógico-matemático sigue siendo extraño y constituye un mecanismo deductivo puro o un simple "lenguaje" cuya sintaxis y semántica no se originan en las experiencias sino que sólo sirven para describirlas. Tal interpretación me parece incorrecta, históricamente y psicológicamente. Como he repetido incesantemente, las operaciones lógicas y matemáticas se derivan de la acción y, como el conocimiento físico, presuponen experiencia en el verdadero sentido de la palabra, por lo menos en sus fases iniciales.

Históricamente lo sabemos muy bien, antes de la axiomática matemática de los griegos, existían en Egipto y en otros lugares matemáticas empíricas y utilitarias que sirvieron para realizar cálculos y estudios topográficos. Existe, por lo tanto, una etapa en que las matemáticas se originan a partir de experiencias anteriores a la aparición de una construcción deductiva. Aquí, como es a menudo el caso, la ingeniería ha precedido a la ciencia y la acción material precedió a las operaciones del intelecto.

Por otro lado, en el campo de la Psicología del niño, es evidente que, en los niveles preoperatorios donde la deducción todavía no es posible de una manera controlada y al principio de los niveles propiamente operatorios, el niño descubre por experiencia algunas verdades lógicas y matemáticas que aún es incapaz de deducir. Un primer ejemplo es el modelo de transitividad. Cuando el niño de 7 a 8 años sabe cómo construir una seriación organizando de manera operatoria un conjunto de 10 palos que miden de 10 a 14,5 cm, él deductivamente sabe que A < C si A < B y B <C. Su construcción operatoria consiste en la búsqueda en primer lugar del más pequeño de los palos, luego el más pequeño de los restantes, etc., así que comprende por adelantado que un elemento E es tanto más grande que los anteriores (E > D, C, B, A) y más pequeño que las que viene después de (E < F, G, etc..). Esta reversibilidad conduce a la seriación sistemática y, a continuación, trae la inmediata comprensión de la transitividad A < C, etc.. Pero antes de que actúe de esta manera operatoria, el niño es incapaz de construir su seriación excepto por ensayo y error: él obtiene B < E, a continuación, B < C < E entonces A < B, etc., no sistemáticamente, por carecer de una coordinación anticipada de sus acciones sucesivas. En este caso, si se le muestra dos palos A < B y A es ocultado, y si encuentra que B < C, es incapaz de deducir

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que A < C y necesita que se le muestre A con el fin de compararlo con C. ¡La experiencia es, por lo tanto, necesaria para poder captar esta verdad lógica!

En aritmética, también, una ecuación conmutativa como 2 + 3 = 3 + 2 no es evidente en los niveles preoperatorios previos a la verificación experimental con objetos. Además, cualquiera enseñanza concreta de la aritmética por cálculos con objetos demuestra la necesidad de acción continua y verificación por experiencia antes de que esos cálculos se conviertan en una producción deductiva. Por otra parte, en cada nivel de la enseñanza e incluso de invención matemática, se encuentra que la verificación a través de ejemplos concretos es necesaria antes de que podemos obtener demostraciones más generales y abstractas. Lo que los matemáticos llaman "intuiciones" (que pueden que nunca prueben alguna cosa, pero que juegan un papel útil en el descubrimiento de nuevas perspectivas) parecen ser un residuo de estos niveles de acción y experimentación.

Sin embargo es cierto que, en el curso de su desarrollo, las matemáticas alcanza un nivel puramente deductivo en el cual la verificación experimental se convierte en inútil. La demostración deductiva es suficiente y, en algunos casos, incluso se hace imposible porque la experiencia es finita y no puede dar lugar a lo infinito. Esta libertad de la experiencia plantea un problema, por lo que queda por ser explicado si las operaciones matemáticas derivan de acciones particulares o de coordinaciones generales de acciones.

Antes de que este problema pueda ser discutido, sin embargo, tiene que ser correctamente establecido. Decir que el razonamiento operatorio, peculiar a las matemáticas, no tiene necesidad de verificación experimental después un cierto nivel de abstracción es una verdad a medias, ni la matemática es contradictoria a la experiencia ni las matemáticas pierden todo contacto con el objeto. Por lo contrario, uno de los hechos más sorprendentes de la historia de las ciencias es que muy a menudo los matemáticos construyen estructuras sin ninguna referencia a la experiencia. Estas mismas estructuras se aplican después a la experiencia física, a veces mucho después. Un ejemplo sobresaliente es el caso de las geometrías no Euclidianas que fueron desarrolladas por pura ocupación en generalizaciones abstractas y que sirvió posteriormente como marcos de referencia para un número de fenómenos físicos. La física nuclear constantemente está utilizando "operadores", construidos por los matemáticos mucho antes de que éstos "operadores" pudieran aplicarse.

Por lo que hay que decir que cualquier fenómeno físico es susceptible de análisis matemático pero que las matemáticas van de más allá de la experiencia física, sea por que la precede en el tiempo o por lograr un mayor grado de generalización abstracta. Por lo

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tanto, existe una relación, entre las operaciones de la lógico-matemáticas y el objeto físico, pero no es una relación directa; de ahí el difícil problema psicológico.

2.3.2. El retraso del tiempo en el Conocimiento físico

El problema es al aparentemente complicado –pero de hecho es más preciso− cuando encontramos que en la historia y en el mismo desarrollo de los niños, las operaciones lógico-matemáticas darán lugar al conocimiento, propiamente dicho, mucho antes que los conocimientos físicos alcancen el mismo grado de precisión:

En la historia de la ciencia, los griegos fueron los fundadores de la lógica y de las matemáticas, pero nunca llegaron a la física experimental salvo por algunas raras excepciones en el campo de la estática (la estática de Arquímedes). Hicieron un poco de astronomía, pero la física de Aristóteles permaneció en un nivel muy inferior con respecto a su lógica o a las matemáticas del período. Tuvimos que esperar a Galileo y el siglo XVII para que nos proporcionaran una teoría del movimiento inercial y para hacer posible una física propiamente experimental a diferencia de una física más o menos empírica.

Una de las razones de ello es que, en el dominio lógico-matemático, las operaciones más comunes son al mismo tiempo las más simples: composición aditiva, ordenamiento serial (concepto de orden), correspondencias, son ejemplos obvios. En el dominio de la física, sin embargo, los fenómenos comunes son los más complejos y para lograr la simplicidad en primer lugar es necesario disociar los factores. La caída de una hoja muerta, por ejemplo, es imposible de expresar como una ecuación y la genialidad de Galileo, más de 20 siglos después de los comienzos de las matemáticas deductivas, consistió en disociar suficientemente los factores para hacer de la duración del tiempo una variable independiente y lograr un movimiento "simple".

Bärbel Inhelder ha realizado una serie de experimentos sobre el descubrimiento de las leyes físicas elementales por el niño. Hemos publicado los resultados, intentando analizarlos desde el punto de vista de las operaciones lógicas involucradas en tales experimentos. Para nosotros el resultado más claro y más general de esta investigación ha sido la dificultad que los niños e incluso los preadolescentes tienen para disociar factores; al parecer esta disociación asume un sistema combinatorio, es decir, operaciones lógicas de un nivel superior al de la clasificación simple, seriación, correspondencia.

Uno de los experimentos (Inhelder y Piaget, 1958) consistía en dar a los sujetos un conjunto de barras de flexibilidad variable y les solicitaba (1) dar cuenta de las diferencias relacionadas con la flexibilidad (longitud de la varilla, espesor, forma de corte transversal y material de que conforman la varilla) y (2) demostrar cómo estos factores afectaban la

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flexibilidad. Un niño puede descubrir fácilmente todos o algunos de estos factores, pero no es sino hasta alrededor de la edad de los 14 a 15 años, que ellos puedenproporcionar una prueba sistemática: variando sólo uno factor mientras los otros se neutralizan haciéndolos constantes. Un niño de 9 o 10 años, por ejemplo, rápidamente descubre que la longitud tiene algo que ver con la flexibilidad; pero cuando se le pregunta cómo probarlo, toma una vara larga y delgada y una varilla de corta y gruesa. Si se le pregunta por qué, dice, "para que se puede ver mejor la diferencia" y él no tiene la más débil sospecha que con esto no demuestra nada.

En otras palabras, los niños pequeños recurren directamente a la acción, luego clasifican y hacen seriaciones, coordinaciones pero en una forma global, sin intentar disociar los factores subyacentes. Los niños mayores, después de algunas tentativas, hacen una lista de las hipótesis y estudian uno factor a la vez, luego dos a la vez, tres a la vez (esto es indispensable en otros experimentos). Además, no usan solamente las operaciones elementales o concretas de clasificación, relación y números, sino las operaciones de la lógica proposicional (implicaiones, disyunciones, conjunciones, incompatibilidades), también presuponen un sistema combinatorio. Para disociar los factores, es necesario disponer de un sistema de doble combinatoria, uno que se aplica a ideas o proposiciones y el otro a hechos particulares u observaciones.

Puede verse, por lo tanto, que aunque el niño comienza alrededor de los 7 a 8 años de edad, a manejar deductivamente operaciones elementales lógico-matemáticas, debe esperar hasta que sea 14 o 15 antes de que él sea capaz de llevar a cabo experimentos. Esta brecha es una reminiscencia de los siglos que separan la aritmética de Pitágoras o los Elementos de Euclides o la física de Galileo o Descartes.

2.3.3. Experiencia y Deducción

Estos hallazgos diferentes (A y B) parecen indicar que la experiencia es en efecto necesaria para la formación de las estructuras lógico-matemáticas, así como para el conocimiento físico. Sin embargo, hay una diferencia entre estos dos tipos de experiencia, aunque ambos, por supuesto, consisten en acciones ejercidas por el sujeto sobre los objetos.

La experiencia física consiste, como acabamos de recordar, de acciones sobre objetos y modificación de ellos (variando uno de los factores, por ejemplo) para descubrir las propiedades de los objetos y ganar conocimiento por la abstracción del propio objeto. Es de esta manera que la niño descubre que una varilla es más flexible que otra o que hay un relación entre la flexibilidad y la longitud.

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Nos permite examinar, sin embargo, una experiencia el tipo lógico-matemático, tal como descubrir que la suma numérica de un conjunto es independiente del orden (ecuación conmutativa): 2 + 3 = 3 + 2. Un gran matemático me dijo que de niño había descubierto esto con asombro. Contando 10 guijarros en una fila, obtuvo la idea de contarlos en la otra dirección, a continuación, contarlos disponiéndolos en un círculo, y fue entusiasmado por el hecho de que siempre encontró 10. ¿Cuál es la naturaleza de esta experiencia?

Allí está, por supuesto, una vez más, la acción sobre objetos para modificarlos (organizarlos en una fila o en un círculo) y descubrir desde el objeto el resultado de estas modificaciones (10 desde la izquierda hacia la derecha = 10 desde la derecha hacia la izquierda, etc.). Pero la diferencia entre la experiencia física y lógico-matemática es la siguiente: en el caso de experiencia física, las propiedades descubiertas ya estaban presentes en el objeto; pero, en el caso de la experiencia lógico-matemática, fueron introducidas o añadidas por la acción del sujeto. La varilla era flexible, antes de que el niño la doblara, es decir, el doblarla no la hizo flexible; pero la disposición lineal o circular de los guijarros no existían para estos guijarros antes de que fueran arreglados por la acción. En cuanto al número, se dirá que había 10, no 9 u 11 guijarros; pero fueron simplemente objetos susceptibles de ser numerados y, para asignar al número 10 a ellos, fue todavía necesario coordinarlos con los nombres de los números 1, 2, 3,..., 10, o con los dedos de la mano, etc.., porque el número es una relación, no una propiedad absoluta.

En otras palabras, lo que el sujeto descubre en el caso de la experiencia lógico-matemática es que el resultado de la acción de contar por los números cardinales es independiente de la acción de ordenar. La experiencia lógico-matemática consiste en la abstracción de las características del objeto en relación con las acciones que modificaron el objeto, y no simplemente las características que se hicieron evidentes por aquellas acciones pero que existen independientemente de ellas. Por lo tanto, se puede decir que, incluso si las características de la acción se descubren como que residiesen en el objeto, la experiencia lógico-matemática procede por abstracción de las acciones mismas o de su coordinación, no desde el objeto independientemente de tales acciones.

Puesto que estas acciones, ejercidas sobre el objeto, añaden nuevas características a éste y son el punto de partida para las operaciones lógico-matemáticas propiamente dichas (Sección 2.2), es fácil entender por qué las matemáticas pueden volverse puramente deductivas. Es suficiente que el sujeto, en vez de experimentar con los guijarros, pueda realizar las mismas operaciones sobre algún objeto, sea el que sea, que simbólicamente es evocado por los signos 1, 2, 3 ... o x, y, z.... En el dominio físico, sin embargo, si la barra flexible es substituida por algún otro objeto, habría riesgo de afirmar algo completamente falso.

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2.3.4. Objeciones

Esta interpretación de la experiencia lógico-matemática ha encontrado objeciones que tienden a reducir o eliminar su diferencia de la experiencia física. Pero creemos que estas objeciones surgen de malentendidos que pueden ser disipados por los siguientes comentarios.

1. Los dos tipos de experiencia, física y lógico-matemática, simplemente constituyen dos polos, no dos tipos totalmente separardos, porque son de facto inseparables. En el caso de la conmutatividad verificada con los guijarros, una experiencia física se agrega a la experiencia lógico-matemática, porque los guijarros han sido organizados y contados. Puede por lo tanto, concluirse que los guijarros han sido conservados durante la manipulaciones, que no se fusionaron en uno como gotas de agua. Esto es el aspecto físico que es inseparable del aspecto lógico-matemático. Recíprocamente, las acciones que intervienen en una experiencia física son siempre inseparables de coordinaciones generales cuya naturaleza es lógico-matemática (combinar, seriar, relacionar). Estos dos tipos de experiencias son, por lo tanto, realmente dos polos o dos orientaciones, de forma similar a la relación entre el sujeto y el objeto que son inseparables (S O). El polo físico, por lo tanto, en diferentes proporciones de acuerdo con la situación, corresponde a la flecha ← y el Polo lógico matemático a la flecha →.

2. La experiencia lógico-matemática también se aplica en el objeto, pero sobre el objeto modificado por la acción. El sujeto, por supuesto, no tiene conciencia de la diferencia entre una abstracción del objeto descubierto por la acción y una abstracción del objeto modificado por la acción.

3. La lógica y las matemáticas siempre tiene que ver con objetos, incluso en el caso de matemáticas "pura", pero estos los objetos pueden permanecer indeterminados porque se trate de coordinaciones generales, acciones no especial y diferenciadas como en experiencia física.

4. Por último y sobre todo, conectar las operaciones lógico-matemáticas a las acciones del sujeto consiste en, no descuidar la realidad física, sino encontrarla dentro del organismo del que el sujeto depende. Las coordinaciones generales de la acción están, de hecho, vinculadas a las coordinaciones del sistema nervioso. Se sabe que McCulloch y Pitts en el estudio de los distintos tipos de conexiones neuronales o sinápticas han encontrado estructuras isomorfas con las de la lógica proposicional. Las coordinaciones nerviosas mismas dependen de las coordinaciones orgánicas en general, que son de carácter físico-químico. El problema de la adaptación de las matemáticas a la realidad física, si las matemáticas no se abstraen de experiencia física sino de las coordinaciones generales de acción, puede por lo tanto tener una solución biológica. Este problema afecta los

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fundamentos mismos de nuestro conocimiento. Sin duda la biología que se aplica al estudio de la variabilidad y la evolución en lugar de la psicología del niño dará la respuesta a esta pregunta. Esto no significa, por supuesto, que las matemáticas y lógica se registran con antelación en el organismo. Significa que las acciones y las operaciones por medio de las cuales se construyen no son arbitrarias pero derivan sus leyes de las de un organismo que es un objeto entre otros, si bien todavía constituyendo el origen del sujeto.

Referencias

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Piaget, J., and Inhelder, B., 1971, Mental Imagery in the Child, Basic Books, New York, pp. 231-239, 276-290, 259, 270

Piaget, j. and Inhelder, B., 1956, The Child’s Conception of Space, Routledge y Kegan Paul, Londres.

Piaget,J. and Inhelder, B., de 1962, Le Développement des Quantités Physiques chez L'Enfant, Delachaux et Niestlé, Neuchatel, capítulo 4.

Piaget, J. and Inhelder, B., 1971, Mental Imagery in the child, Basic Books, Nueva York, págs. 231-239, 276-290, 259, 270

* JEAN PIAGET, • Faculté de Psychologie et des Ciencias de l'Éducation, Université de Genève, Geneva. Suiza. * Traducido del francés por Hans Furth. ** Traducido del inglés por César Delgado G.

In: Overton, WF and Gallagher, JM, Editors, 1977. Knowledge and development. Vol. 1, Advances in Research and Theory. Plenum Press, New York. Miezitis, S. pp. 17-42

Piaget, J. (1977). The role of action in the development of thinking. In: Overton, WF and Gallagher, JM, Editors, 1977. Knowledge and development. Vol. 1, Advances in Research and Theory. Plenum Press, New York. Miezitis, S. pp. 17-42.