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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS VIBRACIONES DE ELEMENTOS SIMPLES CON CONDICIONES DE CONTORNO DEPENDIENTES DEL TIEMPO PROYECTO FIN DE CARRERA INGENIERÍA INDUSTRIAL AUTOR: JOSUÉ ARANDA RUIZ DIRECTOR: D. JOSÉ FERNÁNDEZ SÁEZ Leganés, Septiembre 2010

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  1. 1. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID ESCUELA POLITCNICA SUPERIOR DEPARTAMENTO DE MECNICA DE MEDIOS CONTINUOS Y TEORA DE ESTRUCTURAS VIBRACIONES DE ELEMENTOS SIMPLES CON CONDICIONES DE CONTORNO DEPENDIENTES DEL TIEMPO PROYECTO FIN DE CARRERA INGENIERA INDUSTRIAL AUTOR: JOSU ARANDA RUIZ DIRECTOR: D. JOS FERNNDEZ SEZ Legans, Septiembre 2010
  2. 2. Agradecimientos En primer lugar quisiera agradecer a mi tutor Jos Fernndez Sez la opor- tunidad que me ha brindado para realizar este proyecto y aprender de l, y al Departamento de Mecnica de Medios Continuos y Teora de Estructuras el permitirme realizarlo. A mi familia, sobre todo a mi madre y a mi abuela, por conar siempre en m y darme nimos en los momentos duros. Y a todos los que de una forma u otra han compartido conmigo estos largos aos de trabajo. GRACIAS.
  3. 3. ndice general 1. Introduccin y objetivos 7 1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Vibraciones longitudinales en barras 10 2.1. Vibraciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1. Ecuacin del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2. Separacin de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3. Ondas elsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.4. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.5. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Vibraciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1. Caso prctico 1: barra empotrada con carga puntual en su extremo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3. Vibraciones en exin de vigas 38 3.1. Vibraciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1. Ecuacin del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2. Separacin de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.3. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.4. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2. Ortogonalidad de las autofunciones . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3. Vibraciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.1. Caso prctico 2: viga en voladizo . . . . . . . . . . . . 53 4. Condiciones de contorno dependientes del tiempo 64 4.1. Descripcin del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2. Mtodo de solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.1. Caso prctico 3: viga en voladizo . . . . . . . . . . . . 68 4.2.2. Caso prctico 4: barra empotrada con carga puntual en su extremo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3
  4. 4. 5. Comparacin de resultados 96 5.1. Viga en voladizo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.1.1. Carga P(t) externa de tipo armnico . . . . . . . . . . 96 5.1.2. Carga P(t) externa de tipo parablico . . . . . . . . . 108 5.2. Barra empotrada con carga puntual en su extremo libre . . . 114 5.2.1. Carga P(t) externa de tipo armnico . . . . . . . . . . 114 5.2.2. Carga P(t) externa de tipo parablico . . . . . . . . . 125 6. Conclusiones y trabajo futuro 132 6.1. Resumen y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.2. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 A. Programas MATLAB 135 A.1. vibtrad.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A.1.1. ceros.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 A.2. volparabtrad.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 A.3. vibccdt.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 A.4. volparabccdt.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4
  5. 5. ndice de guras 2.1. Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Elemento diferencial de la barra . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3. Barra empotrada con extremo libre . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4. Barra empotrada con carga puntual en su extremo libre . . . 27 2.5. Desplazamientos longitudinales con carga armnica . . . . . . 35 2.6. Desplazamientos longitudinales con carga parablica . . . . . 37 3.1. Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2. Elemento diferencial de viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3. Viga en voladizo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4. Viga en voladizo con carga puntual aplicada . . . . . . . . . . 53 3.5. Desplazamientos y esfuerzos con carga puntual armnica . . . 59 3.6. Desplazamientos y esfuerzos para un tiempo t . . . . . . . . . 60 3.7. Desplazamientos con carga puntual armnica . . . . . . . . . 61 3.8. Esfuerzos cortantes con carga puntual armnica . . . . . . . . 61 3.9. Desplazamientos y esfuerzos con carga puntual parablica . . 62 3.10. Desplazamientos con carga puntual parablica . . . . . . . . . 63 3.11. Esfuerzos cortantes con carga puntual parablica . . . . . . . 63 4.1. Viga en voladizo con carga puntual en su extremo libre . . . . 69 4.2. Desplazamientos y esfuerzos con carga puntual armnica, con condiciones de contorno dependientes del tiempo . . . . . . . 78 4.3. Desplazamientos con carga puntual armnica, con condiciones de contorno dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4. Esfuerzos cortantes con carga puntual armnica, con condi- ciones de contorno dependientes del tiempo . . . . . . . . . . 79 4.5. Desplazamientos y esfuerzos con carga puntual parablica, con condiciones de contorno dependientes del tiempo . . . . . . . 81 4.6. Desplazamientos con carga puntual parablica, con condiciones de contorno dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . 82 4.7. Esfuerzos cortantes con carga puntual parablica, con condi- ciones de contorno dependientes del tiempo . . . . . . . . . . 82 4.8. Desplazamientos longitudinales con carga armnica, con condi- ciones de contorno dependientes del tiempo . . . . . . . . . . 92 5
  6. 6. 4.9. Esfuerzo axil con carga armnica, con condiciones de contorno dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.10. Desplazamiento con carga parablica, con condiciones de con- torno dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.11. Esfuerzo axil con carga parablica, con condiciones de con- torno dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.1. Demostracin de la condicin de igualdad en desplazamientos para vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2. Comparacin de desplazamientos en vigas con carga armnica y el primer modo de vibracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.3. Comparacin de desplazamientos en vigas con carga armnica y los seis primeros modos de vibracin . . . . . . . . . . . . . 103 5.4. Demostracin de la condicin de igualdad en desplazamientos para vigas con carga parablica . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.5. Comparacin de desplazamientos en vigas con carga parabli- ca y el primer modo de vibracin . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.6. Comparacin de desplazamientos en vigas con carga parabli- ca y los seis primeros modos de vibracin . . . . . . . . . . . 112 5.7. Demostracin de la condicin de igualdad en desplazamientos para barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.8. Comparacin de desplazamientos en barras con carga armni- ca y primer modo de vibracin . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.9. Comparacin de desplazamientos en barras con carga armni- ca y los seis primeros modos de vibracin . . . . . . . . . . . 121 5.10. Demostracin de la condicin de igualdad en desplazamientos para barras con carga parablica . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.11. Comparacin de desplazamientos en barras con carga parabli- ca y el primer modo de vibracin . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.12. Comparacin de desplazamientos en barras con carga parabli- ca y los seis primeros modos de vibracin . . . . . . . . . . . 129 6
  7. 7. Captulo 1 Introduccin y objetivos 1.1. Introduccin Los sistemas mecnicos en general, consisten en un conjunto de compo- nentes estructurales, que poseen elasticidad y masa distribuida. Ejemplos de estos componentes son las barras y vigas. Las vibraciones de sistemas mecnicos con masas puntuales y elementos elsticos discretos estn gober- nadas por una serie de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Las barras, vigas y otros componentes estructurales, sin embargo, estn con- siderados como sistemas continuos que poseen innitos grados de libertad; las vibraciones de estos sistemas estn gobernadas por ecuaciones diferencia- les en derivadas parciales que involucran variables que dependen tanto del tiempo como de coordenadas espaciales. En este trabajo se recoge un estudio riguroso y minucioso de las vibraciones en sistemas simples, barras y vigas, de materiales elsticos. El estudio de las vibraciones ha adquirido una gran importancia en el proceso de diseo de numerosos elementos, tanto en el mbito industrial co- mo fuera de ste, ya que la existencia de vibraciones puede acarrear mltiples problemas, tales como la aparicin de ruido, funcionamiento incorrecto e in- cluso el colapso del elemento en cuestin, al favorecerse la propagacin de defectos debido a procesos de fatiga. Como ejemplo de sistemas reales en los que las vibraciones son un pro- blema importante se pueden citar los sistemas de transporte de viajeros: ferrocarriles, automviles... en los que se deben evitar determinados valores en la frecuencia de vibracin del sistema, ya que sta puede afectar al con- fort, provocando malestar y mareos en los ocupantes. Actualmente tambin se est trabajando en el estudio de las vibraciones en aerogeneradores, ya que existen lneas de investigacin que pretenden desarrollar aerogeneradores de dos e incluso una nica pala, y cuyo problema radica en la aparicin de 7
  8. 8. elevadas vibraciones y fenmenos de fatiga que en los aerogeneradores de tres palas no se dan debido a que disponen de un mayor equilibrado. Como se ha comentado anteriormente, los problemas de vibraciones en sistemas continuos, como los que se recogen en este trabajo, estn denidos mediante ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que gobiernan los desplazamientos de stos. Existen determinados problemas cuyas condiciones de contorno son dependientes del tiempo, y la forma convencional y habitual de resolver las ecuaciones diferenciales que los denen es aplicando condi- ciones de contorno que no dependen del tiempo. Es importante conocer si se est cometiendo un error al resolver estos problemas como se hace habitu- almente, y en caso armativo, cuanticar dicho error. Por este motivo, los problemas recogidos en este trabajo se van a resolver siguiendo dos mto- dos, por un lado el mtodo convencional y por otro, aplicando un mtodo de resolucin en el que s se imponen dichas condiciones de contorno como dependientes del tiempo. Es necesario dejar claro que no todos los problemas presentan este tipo de condiciones de contorno, y por lo tanto no son suscep- tibles de ser resueltos mediante el mtodo alternativo que aqu se describe, ya que el mtodo convencional, en estos casos, no da lugar a error. 1.2. Objetivos Los objetivos del presente trabajo son los siguientes: Estudio de las vibraciones en sistemas simples sometidos a traccin- compresin (barras) y a exin (vigas) aplicando condiciones de con- torno dependientes del tiempo. Resolucin de estos mismos casos mediante el uso de tcnicas conven- cionales en las que las condiciones de contorno se reducen a condiciones simples. Estudiar las diferencias entre las soluciones obtenidas por ambos mto- dos, si existieran, tanto en desplazamientos como en esfuerzos. Evaluar el posible error cometido por el mtodo de resolucin convencional y la viabilidad de este mtodo en casos concretos en los que las condiciones de contorno varan con el tiempo. 8
  9. 9. 1.3. Contenido Este trabajo consta de seis captulos que conforman tres bloques clara- mente diferenciados. El primer bloque lo componen los captulos 2 y 3, en los cuales se resuel- ven mediante el mtodo convencional de resolucin, problemas que involu- cran condiciones de contorno dependientes del tiempo. Los casos prcticos que se estudian son concretamente el de una barra empotrada en un extremo y sometida a esfuerzos de traccin-compresin por una carga puntual depen- diente del tiempo aplicada en su extremo libre; y el de una viga en voladizo sometida a exin por una carga puntual, tambin variable con el tiempo, aplicada en su extremo libre. El segundo bloque lo conforma el captulo 4, en el cual se detalla el mtodo de resolucin por el cual se consideran condiciones de contorno de- pendientes del tiempo, y se lleva a cabo la obtencin de la solucin a los mismos casos prcticos detallados antes. Por ltimo, el captulo 5, en el cual se lleva a cabo la comparacin de las soluciones obtenidas, confrontando por un lado los desplazamientos y por otro los esfuerzos. Todas las soluciones calculadas a lo largo del trabajo se representan gr- camente haciendo uso de los programas MATLAB y WOLFRAM MATHE- MATICA, recogindose en el apndice los cheros programados con MAT- LAB mediante los cuales se han llevado a cabo algunas de dichas representa- ciones grcas. 9
  10. 10. Captulo 2 Vibraciones longitudinales en barras A lo largo de este captulo se van a estudiar las vibraciones de una barra sometida a traccin-compresin. Primero se desarrollar todo el proceso de obtencin de la solucin suponiendo que la barra est sometida a la accin de una fuerza distribuida a lo largo de su longitud, para nalmente resolver el caso concreto en el que dicha carga se impusiera como puntual en el extremo. 2.1. Vibraciones libres En esta seccin se estudiarn las vibraciones longitudinales libres en ba- rras de longitud L, rea A, mdulo de elasticidad E y densidad . Dicha barra estar sujeta a una fuerza distribuida F(x, t) por unidad de longitud. Figura 2.1: Barra 10
  11. 11. 2.1.1. Ecuacin del movimiento En la gura 2.2 se muestran las fuerzas que actan en un volumen inni- tesimal de longitud dx, siendo P la fuerza axial resultante de las vibraciones de la barra. El centro geomtrico de este elemento innitesimal est situado a una distancia x + dx 2 desde el extremo inicial de la varilla. Figura 2.2: Elemento diferencial de la barra Aplicando la 2a ley de Newton (equilibrio dinmico del volumen innite- simal): A 2u t2 dx = P + P x dx P + F(x, t)dx A 2u t2 dx = P x dx + F(x, t)dx A 2u t2 = P x + F(x, t) La fuerza P puede escribirse en trminos de la tensin axial como P = A A su vez, la tensin axial puede denirse en trminos de la deformacin axial mediante el uso de la ley de Hooke como = E 11
  12. 12. mientras que la relacin entre deformacin y desplazamiento se encuentra denida por = u x Por lo tanto, se puede denir la fuerza o esfuerzo axial resultante de las vibraciones longitudinales de la barra, P, como P = EA u x De esta ltima expresin se deduce que la fuerza P es funcin del des- plazamiento longitudinal u. Finalmente, la expresin del equilibrio dinmico en el volumen innite- simal denido para la barra se puede escribir como A 2u t2 = x EA u x + F(x, t) (2.1) La ecuacin (2.1) es la ecuacin diferencial en derivadas parciales que gobierna las vibraciones longitudinales forzadas de la barra. Se asume que la funcin u(x, t) es lo sucientemente suave como para que existan todas las derivadas apropiadas. La ecuacin diferencial para las vibraciones libres se obtiene a partir de la ecuacin (2.1), imponiendo la condicin F(x, t) = 0, y resultando as la expresin A 2u t2 = x EA u x (2.2) Si asumimos que tanto el mdulo de elasticidad, E, como el rea transver- sal de la barra, A, son constantes, se obtiene 2u t2 = c2 2u x2 (2.3) Que es la ecuacin en derivadas parciales que gobierna las vibraciones longitudinales libres en la barra, donde c es una constante que recibe el nombre de velocidad de onda, que depende del material de la barra y que 12
  13. 13. viene denida por c = E (2.4) 2.1.2. Separacin de variables La solucin general a la ecuacin anterior puede ser obtenida mediante el mtodo de separacin de variables, segn el cual, se puede asumir una solucin de la forma u(x, t) = (x)q(t) (2.5) donde es una funcin dependiente del espacio y q una funcin dependien- te del tiempo. A partir de la expresin anterior, se obtienen las siguientes derivadas 2u t2 = (x)q(t) 2u x2 = (x)q(t) donde el smbolo () signica diferenciacin respecto al tiempo, y el smbolo () diferenciacin respecto al espacio. Sustituyendo estas derivadas en la ecuacin (2.3) resulta la expresin c2 = q q Como el lado izquierdo de la ecuacin depende nicamente de la coorde- nada espacial x, y el lado derecho slo del tiempo t, se puede concluir que esta igualdad slo se satisface si ambos trminos se igualan a una constante c2 = q q = 2 (2.6) Obsrvese que ha sido elegida una constante negativa, 2. Esta eleccin nos conduce al movimiento oscilatorio. La eleccin de cero o una constante positiva no conduce a soluciones de tipo vibratorio, y por lo tanto deben ser rechazadas. Por ejemplo, si la constante seleccionada es cero, la solucin crece linealmente con el tiempo, mientras que si se elige una constante positiva, la solucin contiene dos trminos: una funcin exponencialmente creciente, y otra exponencialmente decreciente, lo cual conduce a una solucin inestable 13
  14. 14. que no representa el movimiento oscilatorio. La constante se dene como la frecuencia natural de vibracin del sistema. La ecuacin (2.6) proporciona dos nuevas expresiones + c 2 = 0 q + 2 q = 0 que son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. La solucin a estas ecuaciones est dada respectivamente por (x) = A1 sin c x + A2 cos c x q(t) = B1 sin (t) + B2 cos (t) Usando la ecuacin (2.5), el desplazamiento longitudinal puede escribirse como u(x, t) = A1 sin c x + A2 cos c x B1 sin (t) + B2 cos (t) (2.7) donde A1, A2, B1, B2 y son constantes que se determinarn mediante condiciones iniciales y de contorno. 2.1.3. Ondas elsticas La ecuacin (2.7) puede ser escrita de la siguiente forma alternativa u(x, t) = A sin c x + 1 sin (t + 2) (2.8) donde A, 1 y 2 son constantes que pueden ser expresadas en trminos de A1, A2, B1 y B2; y , como se coment antes, es la frecuencia natural de vibracin del sistema. Usando la identidad trigonomtrica sin A sin B = 1 2 cos(A B) cos(A + B) 14
  15. 15. podemos escribir la ecuacin (2.8) como u(x, t) = A 2 cos c x t + 1 2 A 2 cos c x + t + 1 + 2 que a su vez puede reescribirse en la forma u(x, t) = f1(kx t + m) + f2(kx + t + p) donde m = 1 2 p = 1 + 2 k = c f1(kx t + m) = A 2 cos(kx t + m) f2(kx + t + p) = A 2 cos(kx + t + p) La funcin f1 representa una onda armnica elstica viajando en la direccin de las x positivas con una velocidad de onda c = k mientras que la funcin f2 representa igualmente una onda armnica elstica, pero viajando en sentido contrario (el de las x negativas) con la misma velocidad de on- da c, donde c, como se vio anteriormente, tambin viene determinada por la ecuacin (2.4). Por este motivo, a la ecuacin (2.3) se la conoce normalmente por el nombre de Ecuacin de ondas de las vibraciones longitudinales de la barra. Se puede observar, como ya se dijo, que la velocidad de la onda, c, es constante y depende nicamente de las propiedades del material de la barra. La constante k, que relaciona la velocidad de onda c con la frecuencia del armnico (o frecuencia de oscilacin) , se denomina nmero de ondas. 15
  16. 16. 2.1.4. Condiciones de contorno Para mostrar el procedimiento mediante el que se calculan las constantes que aparecan en la solucin (2.7), se va a considerar el ejemplo mostrado en la gura 2.3, donde la barra se encuentra empotrada en un extremo y libre en el otro (voladizo). Figura 2.3: Barra empotrada con extremo libre La condicin de contorno para el extremo empotrado viene dada por la imposicin de desplazamiento nulo u(0, t) = 0 (2.9) mientras que en el extremo libre, la tensin axial debe ser igual a cero (L, t) = E(L, t) = E u(L, t) x = 0 por lo que la condicin de contorno en dicho extremo es u(L, t) x = u (L, t) = 0 (2.10) 16
  17. 17. De forma general, se pueden denir dos tipos de condiciones de contorno: Condicin de contorno geomtrica: describe desplazamientos o pendientes en los extremos. En el ejemplo anterior correspondera a la condicin de contorno en el extremo empotrado de la barra, u(0, t) = 0. Condicin de contorno natural: describe el estado de fuerzas, ten- siones, momentos..., esfuerzos en general. ste es el caso de la condicin de contorno en el extremo libre de la barra, u (L, t) = 0. Sustituyendo estas condiciones de contorno en la ecuacin (2.7) se tienen u(0, t) = (0)q(t) = A2q(t) = 0 u (L, t) = (L)q(t) = c A1 cos c L A2 sin c L q(t) = 0 que dan lugar a A2 = 0 A1 cos L c = 0 Para obtener una solucin no trivial (A1 = 0), se dene (x) = A1 sin c x (2.11) cos L c = 0 (2.12) a esta ltima ecuacin se la conoce con el nombre de ecuacin de frecuencias o ecuacin caracterstica. Las races de esta ecuacin estn dadas por L c = 2 , 3 2 , 5 2 , . . . , (2n 1) 2 , . . . a partir de las cuales se denen las frecuencias naturales de vibracin de la barra como j = (2j 1) c 2L 17
  18. 18. y usando la denicin de velocidad de onda, ecuacin (2.4), se tiene j = (2j 1) 2L E (2.13) As, la barra, como medio continuo, posee un nmero innito de frecuen- cias naturales de vibracin. Correspondiente a cada una de estas frecuencias, hay un modo propio de vibracin o autofuncin j denido por la ecuacin (2.11) como j(x) = A1j sin j c x (2.14) donde A1j son constates arbitrarias. Al tener la ecuacin caracterstica innitas soluciones, la solucin pro- puesta por el mtodo de separacin de variables, (2.5), pasa a ser una suma innita de trminos de la forma u(x, t) = j=1 j(x)qj(t) (2.15) que se puede reescribir como u(x, t) = j=1 Cj sin (jt) + Dj cos (jt) sin j c x (2.16) En las constantes Cj y Dj, que se determinan mediante condiciones ini- ciales, est incluida la constante A1j. No hay que olvidar que la expresin anterior, as como las frecuencias y modos propios dados por las expresiones (2.13) y (2.14) respectivamente, corresponden al caso concreto de una barra con un extremo empotrado y otro libre, que fue el caso que se tom como ejemplo para mostrar el proceso de clculo de las constantes que aparecan en la ecuacin (2.7). De manera general, una vez aplicadas las condiciones de contorno, se tendr una expresin de la forma u(x, t) = j=1 B1j sin (jt) + B2j cos (jt) j(x) (2.17) donde los modos propios, j(x), sern diferentes dependiendo del problema que se est resolviendo. 18
  19. 19. 2.1.5. Condiciones iniciales Se asumir que la barra est sujeta a las siguientes condiciones iniciales, denidas de forma general como u(x, 0) = f(x) (2.18) u(x, 0) = g(x) (2.19) Sustituidas en la ecuacin (2.17) se tiene u(x, 0) = f(x) = j=1 B2jj(x) u(x, 0) = g(x) = j=1 jB1jj(x) Para determinar las constantes B1j y B2j se har uso de la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones, a la que se le dedicar una seccin ms adelante para comentarla en detalle, y que por ahora se puede denir como L 0 ijdx = 0 si i = j hj si i = j (2.20) siendo hj una constante que variar en funcin de cmo se hayan denido los modos propios para cada problema. Por lo tanto, las constantes B2j se calculan como sigue f(x) = j=1 B2jj(x) L 0 f(x)i(x)dx = L 0 j=1 B2jj(x)i(x)dx L 0 f(x)i(x)dx = B2i L 0 2 i dx B2j = L 0 f(x)j(x)dx L 0 2 j dx (2.21) 19
  20. 20. De manera similar para calcular B1j g(x) = j=1 jB1jj(x) L 0 g(x)i(x)dx = L 0 j=1 jB1jj(x)i(x)dx L 0 g(x)i(x)dx = iB1i L 0 2 i dx B1j = L 0 g(x)j(x)dx j L 0 2 j dx (2.22) Volviendo al ejemplo de la barra con un extremo empotrado y el otro libre, si aplicamos los mismos clculos a partir de la ecuacin (2.16), se ob- tendran como constantes Cj y Dj Cj = 2 jL L 0 g(x) sin( j c x)dx (2.23) Dj = 2 L L 0 f(x) sin( j c x)dx (2.24) donde las frecuencias naturales, j, estaran denidas por (2.13) y la veloci- dad de onda, c, por (2.4). Es importante observar que la solucin a la ecuacin que gobierna las vibraciones longitudinales libres en la barra, ecuacin (2.3), se expresa como la suma de modos de vibracin, que para el caso de barra en voladi- zo, son funciones armnicas simples. La contribucin de cada uno de estos modos depender del grado en que dicho modo en particular sea excitado. Como resultado de una aplicacin sbita de una fuerza, como en el caso de un impacto, muchos de estos modos son excitados, y consecuentemente, su contribucin a la solucin de la ecuacin (2.3) es signicante. Tambin es importante, de hecho, dejar claro que la barra puede vibrar en un nico modo de vibracin. Por ejemplo, si la deformacin elstica inicial de la misma coincide exactamente con uno de esos modos, y la velocidad inicial se considera cero, la excitacin ocurrir slo en dicho modo de vibracin y el sistema se comportar como un sistema de un grado de libertad, lo cual se demuestra a continuacin para el caso de barra empotrada con extremo libre. 20
  21. 21. Como se ha dicho, las condiciones iniciales sern u(x, 0) = sin k c x u(x, 0) = 0 Claramente, el desplazamiento inicial toma la forma del k-simo modo de vibracin. Sustituyendo estas condiciones en las ecuaciones (2.23) y (2.24), y usando la ortogonalidad de los modos propios, se obtiene Dj = 0 si j = k 1 si j = k Cj = 0, j = 1, 2, 3, . . . As, la solucin obtenida anteriormente, ecuacin (2.16), toma la forma u(x, t) = qk(t) sin k c x = Dk cos (kt) sin k c x (2.25) lo que demuestra que efectivamente, la barra vibra en su k-simo modo de vibracin. Esto se debe a que las condiciones iniciales, en este caso, causa- ban nicamente la excitacin del modo de vibracin k-simo. En este caso especial, el sistema continuo se comporta como un sistema de un grado de libertad, lo que se puede demostrar si se deriva dos veces el desplazamiento con respecto al espacio y al tiempo, dando lugar, respectivamente a 2u x2 = k c 2 qk(t) sin k c x 2u t2 = qk(t) sin k c x Sustituyendo estas dos ecuaciones en la ecuacin diferencial en derivadas parciales dada por la expresin (2.3), se obtiene qk sin k c x = 2 kqk sin k c x qk + 2 kqk = 0 (2.26) que es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden, que tiene la mis- ma forma que la ecuacin que gobierna la vibracin libre de un sistema de 21
  22. 22. un grado de libertad, siendo la frecuencia de oscilacin en este caso k. Del mismo modo, si las condiciones iniciales son diferentes, otros modos de vibracin pueden ser excitados, por ejemplo, si el desplazamiento inicial del sistema es una combinacin lineal de unos modos de vibracin determi- nados, slo esos modos en concreto sern excitados, y la solucin se podr representar como una serie truncada con un nmero nito de trminos en lugar de la serie innita dada por la ecuacin (2.15). Para el estudio de sistemas continuos se suele aplicar el siguiente proce- dimiento: excitar un nmero nito de modos de vibracin y usar tcnicas de anlisis de sistemas de mltiples grados de libertad para aproximar al anli- sis de dicho sistema continuo. La exactitud de esta aproximacin depender de la determinacin de los modos de vibracin que son signicantes en el movimiento del sistema continuo que se est estudiando, el anlisis de las frecuencias de vibracin contenidas en las condiciones iniciales y en las fun- ciones que provocan las vibraciones forzadas ser de gran ayuda para decidir que modos deben ser escogidos. 2.2. Vibraciones forzadas Anteriormente se obtuvo la ecuacin diferencial en derivadas parciales que gobierna las vibraciones longitudinales en una barra, expresin (2.1), la cual se puede reescribir de la siguiente manera A 2u t2 x EA u x = F(x, t) Al ser vibraciones forzadas, ahora el trmino F(x, t) no se anula como ocurra para el caso de vibraciones libres, y actuar como una fuerza externa por unidad de longitud, aplicada en la direccin longitudinal de la barra, tal y como se mostraba en la gura 2.1. Adems, como se hizo para el caso en el que la fuerza externa se deni nula, tambin se considerarn tanto el rea transversal de la barra, A, como el mdulo de elasticidad del material, E, constantes, resultando entonces la ecuacin de movimiento A 2u t2 EA 2u x2 = F(x, t) (2.27) De igual modo, se har uso del mtodo de separacin de variables para resolver la expresin anterior. 22
  23. 23. Tal y como se comprob anteriormente, el desplazamiento longitudinal se puede expresar segn la ecuacin (2.15) u(x, t) = j=1 j(x)qj(t) Adems, para el caso de vibraciones forzadas, ser necesario denir un desplazamiento virtual, u(x, t), dado por u(x, t) = i=1 i(x)qi(t) (2.28) Multiplicando la ecuacin (2.27) por este desplazamiento virtual, e inte- grando a lo largo de la longitud L de la barra, se obtiene L 0 A 2u t2 u EA 2u x2 u dx = L 0 F(x, t)udx y haciendo uso de las expresiones (2.15) y (2.28) i=1 j=1 L 0 Aji qj EAj iqj qidx = i=1 L 0 F(x, t)iqidx Para resolver la integral correspondiente al segundo trmino del lado izquierdo de la expresin anterior, se recurrir a la integracin por partes, por lo tanto L 0 j idx = ji L 0 L 0 jidx y siendo sustituida en la expresin anterior, proporciona i=1 j=1 L 0 Aji qj + EAjiqj F(x, t)i dx EAji L 0 qj = 0 (2.29) Aplicando las correspondientes condiciones de contorno, que se supon- drn simples en ambos extremos, y la relacin de ortogonalidad de las auto- funciones, se puede demostrar que j=1 L 0 Aji qj + EAjiqj dx EAji L 0 qj = mi qi + kiqi 23
  24. 24. donde mi y ki son coecientes que vienen dados por mi = L 0 A2 i (x)dx (2.30) ki = L 0 EAi 2 (x)dx (2.31) que se estudiarn ms detenidamente en el captulo dedicado a la ortogona- lidad de las autofunciones. Por lo tanto, la ecuacin (2.29) puede reescribirse de la siguiente manera j=1 mj qj + kjqj L 0 F(x, t)jdx qj = 0 y deniendo el coeciente de fuerza modal como L 0 F(x, t)jdx = Qj(t) (2.32) queda j=1 [mj qj + kjqj Qj] qj = 0 Como los cambios virtuales, qj, son linealmente independientes, se ob- tiene nalmente la expresin mj qj(t) + kjqj(t) = Qj(t) (2.33) La expresin (2.33) dene una serie de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden desacopladas, de la misma forma que las ecuaciones que rigen las vibraciones de sistemas de un grado de libertad. Por lo tanto, su solucin puede obtenerse mediante la integral de Duhamel, la cual, para una ecuacin diferencial del tipo M qj(t) + C qj(t) + Kqj(t) = Qj(t) (2.34) dene la solucin como 24
  25. 25. q(t) = Solucion homogenea + + 1 Md t 0 Qj() exp(d(t )) sin[d(t )]d (2.35) donde = K M (2.36) = C 2M (2.37) d = 1 2 (2.38) Como se puede observar en la ecuacin (2.33), no aparece ningn trmi- no que contenga qj(t), ya que en todo el desarrollo anterior no se ha tenido en cuenta la existencia de amortiguamiento para facilitar los clculos, por lo tanto, el valor de la constante C que aparece en las expresiones (2.34) y (2.37) es cero. De esta forma, la solucin (2.35) particularizada para resolver la ecuacin (2.33) es qj(t) = B1j sin(jt) + B2j cos(jt) + 1 mjj t 0 Qj() sin[j(t )]d (2.39) donde las frecuencias propias, j, cumplen la relacin j = kj mj (2.40) y los coecientes mj y kj vienen dados por las expresiones (2.30) y (2.31) respectivamente. Los modos propios j(x), para el caso de vibraciones forzadas, se ob- tienen a partir de la expresin A 2u t2 x EA u x = 0 (2.41) es decir, que se calcularn como si se tratara de un problema de vibraciones libres. Esto se debe a que los modos propios nicamente dependen de las 25
  26. 26. condiciones de contorno y de las propiedades del material de cada problema, independientemente de la carga externa que se est aplicando al sistema. Por lo tanto, se obtendrn aplicando las condiciones de contorno propias de cada problema a la ecuacin (2.7). Las frecuencias naturales, j, se obtendrn a partir de la ecuacin caracterstica que aparecer al aplicar dichas condi- ciones de contorno, tal y como se hizo en el ejemplo de barra empotrada para el caso de vibraciones libres. Para calcular las constantes B1j y B2j se har uso de las condiciones ini- ciales, que se supondrn iguales a las del caso de vibraciones libres y que por lo tanto vienen denidas por las expresiones (2.18) y (2.19). Sustituyendo estas condiciones en la ecuacin (2.15) se tiene j=1 j(x)qj(0) = f(x) j=1 j(x) qj(0) = g(x) Multiplicando a ambos lados de las expresiones anteriores por Ai(x) e integrando a lo largo de la longitud de la barra, se obtienen, gracias a la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones mjqj(0) = L 0 f(x)Aj(x)dx mj qj(0) = L 0 g(x)Aj(x)dx donde a partir de la ecuacin (2.39) qj(0) = B2j qj(0) = jB1j por lo tanto, las constantes que se buscaban adoptan las expresiones B1j = 1 mjj L 0 g(x)Aj(x)dx (2.42) B2j = 1 mj L 0 f(x)Aj(x)dx (2.43) Se puede observar que estas ltimas expresiones coinciden con las calcu- ladas para el caso de vibraciones libres, (2.21) y (2.22), aunque presentadas de una forma alternativa, ya que aparecen multiplicadas y divididas por el 26
  27. 27. trmino A, de forma que las constantes se denieran en funcin del coe- ciente mj. El hecho de que coincidan con las calculadas para el caso de vibraciones libres se debe a que, al obtenerse a partir de las condiciones iniciales, t = 0, la integral que aparece en la expresin (2.39) siempre se anular, y slo se tendr en cuenta la parte de la funcin qj(t) que proviene de la solucin homognea. 2.2.1. Caso prctico 1: barra empotrada con carga puntual en su extremo libre Como primer caso prctico, se resolver el problema planteado por una barra empotrada en un extremo y sometida a una carga externa axial, P(t), aplicada de forma puntual en su extremo libre, tal y como se observa en la gura 2.4 Figura 2.4: Barra empotrada con carga puntual en su extremo libre Tanto las propiedades geomtricas de la barra, seccin transversal A y longitud L, como las propiedades fsicas del material del que est fabricada, densidad y mdulo de elasticidad E, se supondrn constantes. En primer lugar, se tratar la fuerza externa de forma genrica, para pos- teriormente trabajar en el caso de que dicha fuerza fuese una carga armnica de la forma P(t) = P0 sin(t) (2.44) 27
  28. 28. siendo P0 el valor mximo de la carga, y su frecuencia de oscilacin. Por l- timo, se estudiar un caso en el que la fuerza externa aplicada no sea de tipo armnico, para ello, se tomar como ejemplo una fuerza de tipo parablico denida segn la expresin P(t) = P0t2 + 2P0t, 0 t 2 (2.45) donde P0 vuelve a tomar el valor mximo de la carga, el cual se da para un tiempo t = 1. Carga P(t) genrica La ecuacin que rige las vibraciones longitudinales forzadas en barras viene dada por la expresin (2.1). En este caso en concreto, como se dijo ante- riormente, tanto las propiedades geomtricas de la viga como las propiedades fsicas del material se han supuesto constantes, por lo que la ecuacin (2.1) toma la forma A 2u t2 EA 2u x2 = P(t)L(x) (2.46) Se debe observar en la ecuacin anterior, que la fuerza externa aplicada sobre la viga ha sido denida mediante el uso de la delta de Dirac como F(x, t) = P(t)L(x) P(t)(x L) lo cual es debido a que, si se recuerda el procedimiento por el cual se lleg a la expresin (2.1), la fuerza externa F(x, t) que aparece en dicha expresin, se deni como una fuerza distribuida, es decir, como una fuerza por unidad de longitud; y como en el caso que se quiere resolver, la fuerza aplicada es una fuerza puntual, se debe multiplicar el trmino P(t) por la delta de Dirac considerada en el punto en el cual est aplicada la carga externa, que en este caso es el extremo de la barra x = L. Las condiciones de contorno para este problema son u(0, t) = 0 u (L, t) = 0 (2.47) que suponen desplazamiento nulo en el extremo empotrado, y tensin axial nula en el extremo libre. 28
  29. 29. Tanto la velocidad como la aceleracin iniciales se supondrn nulas, por lo que las condiciones iniciales del sistema son u(x, 0) = 0 u(x, 0) = 0 (2.48) Para resolver la ecuacin diferencial en derivadas parciales (2.46) se seguir el mtodo de separacin de variables descrito en apartados an- teriores, por el cual se denen u(x, t) = j=1 j(x)qj(t) u(x, t) = i=1 i(x)qi(t) De esta forma, las condiciones de contorno (2.47) pasan a ser j(0) = j(L) = 0 (2.49) A partir de la ecuacin (2.46) se sigue segn lo detallado en secciones anteriores A 2u t2 EA 2u x2 = P(t)L(x) L 0 A 2u t2 u EA 2u x2 u dx = L 0 P(t)L(x)udx sustituyendo las expresiones (2.15) y (2.28) i=1 j=1 L 0 Aji qj EAj iqj qidx = = i=1 L 0 P(t)L(x)iqidx (2.50) La integral L 0 j idx se resuelve mediante integracin por partes u = i du = idx dv = j dx v = j 29
  30. 30. por lo tanto L 0 j idx = ij L 0 L 0 jidx Esta ltima expresin se puede simplicar haciendo uso de las condi- ciones de contorno dadas por (2.49), resultando L 0 j idx = L 0 jidx Sustituyendo el valor de la integral anterior en la ecuacin (2.50) se ob- tiene i=1 j=1 L 0 Aji qj + EAjiqj qidx = i=1 L 0 P(t)L(x)iqi i=1 j=1 L 0 Aji qj + EAjiqj P(t)L(x)i dx qi = 0 Aplicando la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones se tiene j=1 L 0 Aji qj + EAjiqj P(t)L(x)i dx = = mi qi + kiqi L 0 P(t)L(x)idx que sustituido en la expresin anterior da lugar a i=1 mi qi + kiqi L 0 P(t)L(x)idx qi = 0 y como los desplazamientos virtuales son linealmente independientes, resulta mi qi + kiqi L 0 P(t)L(x)idx = 0 mi qi + kiqi = L 0 P(t)L(x)idx mj qj + kjqj = L 0 P(t)L(x)jdx 30
  31. 31. siendo mj y kj los coecientes dados por las ecuaciones (2.30) y (2.31). Segn las propiedades de la delta de Dirac, el lado derecho de esta ex- presin se resuelve como L 0 P(t)d(x)jdx = P(t) j(d) si 0 d L 0 si d < 0, d > L (2.51) por lo que de esta manera se obtiene nalmente la expresin de la ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden siguiente mj qj + kjqj = P(t)j(L) (2.52) Como ya se vio, la solucin a esta ecuacin viene dada por la integral de Duhamel qj(t) = B1j sin(jt) + B2j cos(jt)+ + 1 mjj t 0 P()j(L) sin j(t ) d (2.53) Es importante recordar, que las frecuencias y modos propios de vibracin para el caso de vibraciones forzadas, son los mismos que para el caso de vi- braciones libres, ya que stos dependen nicamente de las condiciones de contorno y de las propiedades del material. Por lo tanto, para el caso de una barra en voladizo, las frecuencias propias se denen por la ecuacin (2.13) j = (2j 1) 2L E que coincide con la expresin (2.40), y los modos propios de vibracin me- diante la expresin (2.14) j(x) = A1j sin( j c x) con c = E y donde A1j es una constante arbitraria. 31
  32. 32. En este punto, quedan por determinar las constantes B1j y B2j, las cuales, haciendo uso de las condiciones iniciales y de la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones se calculaban segn las expresiones (2.42) y (2.43) B1j = 1 mjj L 0 g(x)Aj(x)dx B2j = 1 mj L 0 f(x)Aj(x)dx Para este ejemplo, se supuso que las condiciones iniciales eran nulas tal y como indica la expresin (2.48), por lo que f(x) = g(x) = 0 Esto da lugar a que las constantes B1j y B2j sean tambin nulas B1j = B2j = 0 por lo que la expresin (2.53) pasa a ser qj(t) = 1 mjj t 0 P()j(L) sin j(t ) d (2.54) Los desplazamientos longitudinales de la barra quedan, por lo tanto, to- talmente denidos segn la expresin (2.15); donde j(x) y qj(t) vienen dados, respectivamente, por las ecuaciones (2.14) y (2.54). Carga P(t) armnica Todo el desarrollo realizado para el caso de la carga genrica es vlido aqu, ya que se mantienen tanto las condiciones iniciales como las de con- torno, por lo que las expresiones (2.14) y (2.54) siguen siendo vlidas. En este caso, la carga externa aplicada viene denida segn la ecuacin (2.44) P(t) = P0 sin(t) por lo que se tendr que desarrollar la expresin (2.54) para esta carga en concreto, por lo tanto qj(t) = 1 mjj t 0 P()j(L) sin j(t ) d 32
  33. 33. qj(t) = 1 mjj t 0 P0 sin()j(L) sin j(t ) d qj(t) = P0j(L) mjj t 0 sin() sin j(t ) d I1 (2.55) La integral I1 se resuelve mediante integracin por partes u = sin() du = cos()d dv = sin j(t ) d v = cos j(t ) j Por lo tanto I1 = sin() cos j(t ) j t 0 t 0 cos j(t ) j cos()d I1 = sin() cos j(t ) j t 0 j t 0 cos j(t ) cos()d I2 (2.56) La integral I2 tambin se resuelve mediante integracin por partes u = cos() du = sin()d dv = cos j(t ) d v = sin j(t ) j quedando I2 = cos() sin j(t ) j t 0 t 0 sin j(t ) j sin()d I2 = cos() sin j(t ) j t 0 j t 0 sin j(t ) sin()d I1 I2 = cos() sin j(t ) j t 0 j I1 (2.57) 33
  34. 34. Sustituyendo la expresin (2.57) en la (2.56) se tiene I1 = sin() cos j(t ) j t 0 j cos() sin j(t ) j t 0 + j 2 I1 I1 = sin() cos[j(t)] j t 0 j cos() sin[j(t)] j t 0 1 j 2 (2.58) y por ltimo, sustituyendo la ecuacin anterior, (2.58), en la (2.55) resulta qj(t) = P0j(L) mjj sin() cos[j(t)] j t 0 j cos() sin[j(t)] j t 0 1 j 2 qj(t) = P0j(L) mjj [j sin(t) sin(jt)] (2 j 2) (2.59) En esta ltima expresin se puede observar el fenmeno de resonancia. La resonancia se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la accin de una fuerza peridica, cuya frecuencia de vibracin coincide con la frecuencia de vibracin propia de dicho cuerpo j. En estas circuns- tancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva su amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza. Por lo tanto, aunque en un principio podra parecer que no se alcanzarn grandes amplitudes de vibracin al aplicar una fuerza relativamente pequea a un sistema capaz de vibrar, si sta se aplica de forma repetida y con una fre- cuencia de vibracin cercana a la frecuencia propia del sistema, se producir un progresivo aumento de la amplitud con posibles resultados catastrcos. La solucin para el caso de una carga armnica aplicada viene dada, por lo tanto, por la ecuacin (2.15), donde (x) y q(t) vienen dados, respectiva- mente, por las expresiones (2.14) y (2.59). A continuacin se va a proceder a representar grcamente el desplaza- miento del extremo libre de la barra. Como datos numricos se van a tomar los siguientes L = 1 m Diametro de la seccion = 0,2 m Densidad del acero = 7850 kg m3 34
  35. 35. M odulo elasticidad del acero = 2 1011 N m2 El valor mximo de la carga armnica ser P0 = 100 N y la frecuencia de oscilacin de la misma = 20 rad s obtenindose los resultados grcos recogidos en la gura 2.5 Figura 2.5: Desplazamientos longitudinales con carga armnica Los esfuerzos axiles en el extremo libre son nulos, ya que vienen denidos por la ecuacin P(L, t) = EA u x (L, t) que en dicho extremo se anula debido a la imposicin de la condicin de contorno (2.10). 35
  36. 36. Carga P(t) parablica Como se coment antes, para estudiar el caso en el que la carga externa aplicada no fuera armnica, se considerar una carga parablica denida por la expresin (2.45), por lo que la ecuacin (2.54) se traduce en qj(t) = 1 mjj t 0 P()j(L) sin j(t ) d qj(t) = 1 mjj t 0 P02 + 2P0 j(L) sin[j(t )]d qj(t) = P0j(L) mjj t 0 2 + 2 sin[j(t )]d En este caso, la integral que se ha de calcular es inmediata y no es nece- sario utilizar integracin por partes, siendo su solucin qj(t) = P0j(L) mj4 j 2j sin(jt) + 2 cos(jt) + (t 2)2 j t 2 (2.60) Al igual que en el caso anterior, la solucin para carga parablica viene dada por la ecuacin (2.15), donde los modos propios siguen siendo los dados por la expresin (2.14), ya que las condiciones de contorno no varan, y las funciones qj(t) son ahora las denidas por la expresin anterior, (2.60). Para la representacin grca de los desplazamientos del extremo libre en el caso de carga externa de tipo parablico se tomarn los mismos datos geomtricos y del material que en el caso de la carga armnica, as como el valor mximo de dicha carga que seguir siendo P0 = 100 N y con los cuales se obtienen los desplazamientos recogidos en la gura 2.6 36
  37. 37. Figura 2.6: Desplazamientos longitudinales con carga parablica Los esfuerzos axiles continan siendo nulos en el extremo libre, ya que siguen denidos por la condicin de contorno homognea (2.10). 37
  38. 38. Captulo 3 Vibraciones en exin de vigas 3.1. Vibraciones libres A continuacin se va a llevar a cabo el estudio de las vibraciones en vigas elsticas, como la representada en la gura 3.1, denidas por su longitud L y su rea transversal A, y constituidas por un material de mdulo de elasticidad E y densidad . Figura 3.1: Viga En la teora elemental de vigas, todas las tensiones se consideran cero, excepto la tensin normal , que se considera que vara linealmente, a lo largo de la seccin transversal, con la coordenada y. La tensin normal se puede escribir, por lo tanto, como 38
  39. 39. = ky (3.1) donde k es constante, y la coordenada y = 0 contiene el eje neutro a lo largo del cual la tensin normal es nula. La suposicin de que el resto de tensiones son nulas requiere que la re- sultante de los esfuerzos internos a lo largo de toda la supercie transversal A de la viga sea cero, y que los momentos generados por dichos esfuerzos en torno al eje neutro igualen al momento ector interno M; esto es A dA = 0 A ydA = M lo que equivale, haciendo uso de (3.1), a k A ydA = 0 (3.2) k A y2 dA = M (3.3) Dado que k es una constante distinta de cero, la ecuacin (3.2) implica que el eje neutro y el eje geomtrico de la seccin transversal coinciden. La ecuacin (3.3) se puede usar para denir el valor de k como k = M Iz donde Iz es el momento de inercia de la seccin transversal respecto al eje z Iz = A y2 dA por lo tanto = My Iz Usando la ley de Hooke = E = My EIz 39
  40. 40. Para pequeas deformaciones (dv dx 1), se cumple que 1 r d2v dx2 = y = M EIz M = EIzv (3.4) donde v(x, t) es el desplazamiento transversal de la viga, y r el radio de cur- vatura de la misma. A la ecuacin (3.4) se la conoce como Ley de Euler-Bernoulli 3.1.1. Ecuacin del movimiento Se considerar un volumen innitesimal dx a una distancia x del nal de la viga como el mostrado en la gura 3.2, donde V y M son respectivamente el esfuerzo cortante y el momento ector; y F(x, t) la carga por unidad de longitud de la viga. Figura 3.2: Elemento diferencial de viga Aplicando equilibrio de momentos en el extremo izquierdo del elemento diferencial se tiene M + M x dx M V dx V x dx2 F(x, t) dx2 2 = 0 y tomando el lmite cuando dx 0 V = M x (3.5) 40
  41. 41. La condicin de equilibrio dinmico para las vibraciones transversales de la viga, se obtiene aplicando la 2a Ley de Newton Adx 2v t2 = V V x dx + V + F(x, t)dx Sustituyendo el esfuerzo cortante segn la ecuacin (3.5) y el momento ector segn la ecuacin de Euler-Bernoulli (3.4), da lugar a A 2v t2 = 2 x2 EIz 2v x2 + F(x, t) y considerando adems E e Iz como constantes, se obtiene nalmente A 2v t2 = EIz 4v x4 + F(x, t) (3.6) Del mismo modo que para el caso de vibraciones longitudinales en ba- rras, la funcin v(x, t) se asume lo sucientemente suave como para que las derivadas apropiadas existan. Para el caso de vibraciones libres, F(x, t) = 0, se tiene A 2v t2 = 2 x2 EIz 2v x2 y con E e Iz constantes 2v t2 = c2 4v x4 (3.7) donde c es una constante denida como c = EIz A (3.8) 3.1.2. Separacin de variables La ecuacin que gobierna las vibraciones transversales libres de la viga es una ecuacin diferencial en derivadas parciales de cuarto orden, cuya solu- cin puede ser obtenida mediante el mtodo de separacin de variables. 41
  42. 42. La solucin v(x, t) se puede escribir como el producto de dos funciones, una dependiente de la coordenada espacial x, y la otra dependiente del tiem- po t v(x, t) = (x)q(t) (3.9) por lo tanto 2v t2 = (x) d2q(t) dt2 = (x)q(t) 4v x4 = d4(x) dx4 q(t) = (x)q(t) sustituyendo estas expresiones en la ecuacin diferencial (3.7) se obtiene 2v t2 = c2 4v x4 (x)q(t) = c2 (x)q(t) q(t) q(t) = c2 (x) (x) como se vio en el caso de las vibraciones longitudinales de una barra pris- mtica, la nica forma de que esta igualdad se pueda cumplir es que ambos trminos se igualen a una constante de valor 2 q(t) q(t) = c2 (x) (x) = 2 (3.10) siendo la frecuencia natural de vibracin del sistema. La ecuacin (3.10) da lugar a las dos ecuaciones siguientes q(t) + 2 q(t) = 0 (3.11) (x) c 2 (x) = 0 (3.12) que son ecuaciones diferenciales ordinarias, de segundo y de cuarto orden respectivamente. La solucin a la ecuacin (3.11) viene dada por q(t) = B1 sin(t) + B2 cos(t) (3.13) 42
  43. 43. mientras que para el clculo de (x), se asumir una solucin de la forma (x) = A exp(x) que sustituida en (3.12) da lugar a 4 c 2 A exp(x) = 0 4 c 2 = 0 4 4 = 0 (3.14) donde = c (3.15) Las races de la ecuacin (3.14) son 1 = 2 = 3 = i 4 = i por lo tanto, la solucin general a la ecuacin (3.12) se puede escribir como (x) = A1 exp(x) + A2 exp(x) + A3 exp(ix) + A4 exp(ix) que puede ser reescrita de la siguiente manera (x) = A5 exp(x) exp(x) 2 + A6 exp(x) + exp(x) 2 + +A7(i) exp(ix) exp(ix) 2 + A8 exp(ix) + exp(ix) 2 y que mediante el uso de la frmula de Euler de variables complejas, toma la forma (x) = A5 sinh(x) + A6 cosh(x) + A7 sin(x) + A8 cos(x) (3.16) Por lo tanto, la solucin (3.9) resulta v(x, t) = [A5 sinh(x) + A6 cosh(x) + A7 sin(x)+ 43
  44. 44. +A8 cos(x)][B1 cos(t) + B2 sin(t)] (3.17) siendo A1 = A5 + A6 2 A2 = A6 A5 2 A3 = A8 iA7 2 A4 = A8 + iA7 2 y donde, a partir de (3.15), la frecuencia natural de vibracin, , viene deni- da por = c2 (3.18) Las constantes Ai y Bi que aparecen en la expresin (3.17), as como el valor de la constante y con l, el de la frecuencia natural de vibracin , se determinarn mediante condiciones iniciales y de contorno. 3.1.3. Condiciones de contorno Al igual que en el caso de las vibraciones longitudinales en barras, las condiciones de contorno determinarn las frecuencias, , y los modos pro- pios, (x), de vibracin del sistema. En concreto, y como ejemplo, se estudiarn las condiciones de contorno para el caso de una viga en voladizo como la que aparece en la gura 3.3, de longitud L y de seccin y propiedades constantes, empotrada en el extremo x = 0, al igual que para el caso de barras. Figura 3.3: Viga en voladizo 44
  45. 45. Las condiciones de contorno para el extremo empotrado son ambas condi- ciones geomtricas, ya que se denen por la imposibilidad de desplazamiento y giro en dicho extremo, y estn dadas por v(0, t) = 0 v (0, t) = 0 mientras que en el extremo libre, las condiciones de contorno son de tipo natural, y equivalen a momento ector y esfuerzo cortante nulos v (L, t) = 0 v (L, t) = 0 Teniendo en cuenta la expresin (3.9), estas condiciones de contorno equivalen a (0) = 0 (0) = 0 (L) = 0 (L) = 0 que sustituidas en (3.16) permiten obtener la ecuacin caracterstica cos(L) cosh(L) = 1 (3.19) a partir de la cual se obtienen los valores de y con ellos los de las frecuen- cias naturales de vibracin . Las races de (3.19) pueden ser determinadas numricamente, siendo las primeras seis 1L = 1, 875 2L = 4, 694 3L = 7, 855 4L = 10, 996 5L = 14, 137 6L = 17, 279 Es importante observar que se pueden calcular valores aproximados de estas races mediante la ecuacin jL j 1 2 (3.20) 45
  46. 46. De esta forma, las frecuencias naturales del sistema, que en este ejem- plo es una viga en voladizo, son j = 2 j c = 2 j EIz A (3.21) siendo las seis primeras 1 = 3, 51563 EIz mL3 2 = 22, 03364 EIz mL3 3 = 61, 7010 EIz mL3 4 = 120, 9120 EIz mL3 5 = 199, 8548 EIz mL3 6 = 298, 5638 EIz mL3 donde m es la masa total de la viga. Los modos propios de vibracin, tras aplicar las condiciones de con- torno a la ecuacin (3.16), quedan denidos como j(x) = A6j sin(jx) sinh(jx) + Dj cos(jx) cosh(jx) (3.22) donde A6j es una constante arbitraria, y la constante Dj viene dada por Dj = cos(jL) + cosh(jL) sin(jL) sinh(jL) (3.23) Al igual que ocurri para el caso de las vibraciones longitudinales en ba- rras, al tener la ecuacin caracterstica (3.19) innitas races, existen innitas frecuencias e innitos modos propios de vibracin, pasando a ser la solucin propuesta (3.9) una suma innita de trminos de la forma v(x, t) = j=1 j(x)qj(t) (3.24) que mediante el uso de la ecuacin (3.13) se puede expresar como v(x, t) = j=1 [C1j sin(jt) + C2j cos(jt)] j(x) (3.25) En las constantes C1j y C2j se ha incluido la constante arbitraria A6j que apareca en los modos propios de vibracin, (3.22). 46
  47. 47. Tal y como se explic para el caso de barras, si el sistema no se tratara de una viga en voladizo, habra que aplicar las condiciones de contorno apro- piadas a la ecuacin (3.16), obteniendo una expresin de la forma general v(x, t) = [B1j cos(jt) + B2j sin(jt)]j(x) (3.26) donde las frecuencias y modos propios seran diferentes a los obtenidos para este ejemplo concreto. En la prctica, con el clculo de nicamente los primeros trminos de la solucin (3.24) ser suciente, dando lugar a una suma truncada de produc- tos. Esta simplicacin es debida a que a partir de un determinado momento, segn se sigue aumentando el nmero de trminos, la variacin que sufre la solucin es mnima. 3.1.4. Condiciones iniciales Las constantes B1j y B2j de la ecuacin (3.26) se calculan a partir de las condiciones iniciales a las que est sometida la viga. Se supondr que las condiciones iniciales vienen dadas por v(x, 0) = f(x) (3.27) v(x, 0) = g(x) (3.28) donde f(x) y g(x) son dos funciones arbitrarias. Es importante observar, que para el caso de vibraciones libres, si dichas condiciones iniciales fueran nulas, se obtendra la solucin trivial, v(x, t) = 0, para cualquier valor de x y t. Para calcular dichas constantes, ser necesario hacer uso de la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones (2.20), exactamente igual a como se explic para el caso de vibraciones longitudinales libres en barras L 0 i(x)j(x)dx = 0 si i = j hi si i = j Por lo tanto, sustituyendo las ecuaciones (3.27) y (3.28) en la solucin (3.26) se obtiene f(x) = j=1 j(x)B2j 47
  48. 48. g(x) = j=1 j(x)jB1j Multiplicando a ambos lados de las expresiones anteriores por i(x) e in- tegrando a lo largo de la longitud de la viga, y gracias a la propiedad (2.20) de ortogonalidad de las autofunciones, las constantes B1j y B2j toman la forma B1j = L 0 g(x)j(x)dx j L 0 2 j (x)dx (3.29) B2j = L 0 f(x)j(x)dx L 0 2 j dx (3.30) 3.2. Ortogonalidad de las autofunciones En este captulo se estudiar en detalle la importante propiedad de or- togonalidad de las autofunciones de los sistemas continuos. Esta propiedad puede usarse para obtener, a partir de una ecuacin diferencial en derivadas parciales, un nmero innito de ecuaciones diferenciales ordinarias de segun- do orden desacopladas, cuya solucin puede presentarse en una forma simple y cerrada. Este desarrollo justica el uso de tcnicas de aproximacin para la ob- tencin de un modelo de dimensin nita que represente, con cierto grado de exactitud, las vibraciones de sistemas continuos. Adems, el uso de la ortogonalidad de las autofunciones da lugar a importantes deniciones como las de masa modal, rigidez modal o coecientes de fuerza modales, para sistemas continuos. Concretamente se estudiar la ortogonalidad de las autofunciones para el caso de vibraciones transversales en vigas, pudindose resolver para el caso de vibraciones longitudinales de barras de forma anloga. Anteriormente se demostr que la ecuacin diferencial en derivadas par- ciales que gobierna las vibraciones transversales libres de vigas viene dada por A 2v t2 = 2 x2 EIz 2v x2 (3.31) donde, siguiendo la misma nomenclatura que en secciones anteriores, v(x, t) 48
  49. 49. es el desplazamiento transversal. Como ya se explic, la solucin a esta ecuacin se puede obtener median- te el mtodo de separacin de variables como v(x, t) = (x)q(t) donde q(t) = B1 sin(t) + B2 cos(t) Por lo tanto, sustituyendo estas ltimas expresiones en la ecuacin (3.31) se tiene 2 A(x)q(t) = EIz (x) q(t) 2 A(x) = EIz (x) siendo, para la j-sima frecuencia natural j EIzj (x) = jAj(x) L 0 EIzj (x) k(x)dx = 2 j L 0 Aj(x)k(x)dx y, resolviendo por partes la integral del lado izquierdo de la igualdad, resulta nalmente EIzj (x) k(x) L 0 EIzj (x)k(x) L 0 + + L 0 EIzj (x)k(x)dx = 2 j L 0 Aj(x)k(x)dx (3.32) La ecuacin (3.32) es una expresin general para la condicin de ortogonalidad de las autofunciones de las vibraciones transversales en vi- gas. Se puede comprobar, que si se tienen condiciones de contorno simples, como extremos libres, biempotrados o biapoyados, la ecuacin anterior se reduce a L 0 EIzj (x)k(x)dx = 2 j L 0 Aj(x)k(x)dx 49
  50. 50. De manera similar, para la frecuencia natural k-sima, k, se tiene L 0 EIzk(x)j (x)dx = 2 k L 0 Ak(x)j(x)dx Si se restan ambas expresiones, se obtienen las siguientes relaciones para condiciones de contorno simples Si j = k L 0 Aj(x)k(x)dx = 0 L 0 EIzj (x)k(x) = 0 Si j = k L 0 A2 j dx = mj (3.33) L 0 EIzj 2 (x)dx = kj (3.34) donde mj y kj son respectivamente, los coecientes de masa modal y rigidez modal, los cuales se relacionan mediante la expresin 2 j = kj mj (3.35) Observar que si las condiciones de contorno no son simples, se debe usar la expresin general para la ortogonalidad de las autofunciones de las vibra- ciones transversales de vigas, ecuacin (3.32), para el clculo de los coe- cientes mj y kj. 3.3. Vibraciones forzadas La ecuacin que gobierna las vibraciones transversales forzadas en vigas viene dada por A 2v t2 + 2 x2 EIz 2v x2 = F(x, t) (3.36) Para resolverla, se har uso del mtodo de separacin de variables y de la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones para convertir la ecuacin diferencial en derivadas parciales en un nmero innito de ecuaciones dife- renciales ordinarias de segundo orden desacopladas, expresadas en trminos de las coordenadas modales, similares a las que gobiernan la vibracin de 50
  51. 51. un sistema de un grado de libertad. El proceso de solucin ser exactamente el mismo que el seguido para el caso de vibraciones longitudinales forzadas en barras prismticas, por lo que determinados clculos intermedios sern omitidos aqu. Usando la tcnica de separacin de variables, el desplazamiento transver- sal v, viene dado por la ecuacin (3.24) v(x, t) = j=1 j(x)qj(t) y un cambio virtual en el mismo v, como se vio anteriormente, por v(x, t) = i=1 i(x)qi(t) (3.37) Multiplicando la ecuacin de movimiento (3.36) por el desplazamiento virtual e integrando a lo largo de la longitud L de la viga se obtiene L 0 A 2v t2 v + 2 x2 EIz 2v x2 v dx = L 0 F(x, t)vdx y sustituyendo ahora el desplazamiento, v, y el desplazamiento virtual, v, segn las expresiones (3.24) y (3.37) respectivamente i=1 j=1 L 0 Aji qj + EIzj iqj qidx = i=1 L 0 F(x, t)iqidx El segundo trmino de la parte izquierda de la expresin es una integral que se debe resolver por partes, siendo su solucin L 0 EIzj idx = EIzj i L 0 EIzj i L 0 + L 0 EIzj i dx que sustituida en la ecuacin anterior, da lugar a la expresin general i=1 j=1 L 0 Aji qj + EIzj i qj F(x, t)i dx+ + EIzj i L 0 qj EIzj i L 0 qj qi = 0 51
  52. 52. Siguiendo los mismos pasos que fueron descritos en la seccin correspon- diente a barras, se obtiene nalmente la expresin mj qj(t) + kjqj(t) = Qj(t) (3.38) donde, en este caso, los coecientes mj y kj son los coecientes de masa y rigidez modales, que vienen dados respectivamente por las ecuaciones (3.33) y (3.34). Si se comparan stos con los que aparecen en la expresin (2.33) para barras, se puede observar que los coecientes kj son diferentes, ya que en lugar del rea transversal A y de j 2 (x), aparecen el momento de inercia Iz y j 2 (x). Sin embargo, la expresin para mj es la misma en ambos casos, lo cual no debe conducir al error de pensar que sean iguales, ya que, como se vio anteriormente, los modos propios, j(x), no son iguales para una barra que para una viga. Como puede observarse, la expresin anterior es idntica a la dada por (2.33), por lo que su solucin y el mtodo por el que sta se obtiene, tambin coinciden. Por lo tanto, la solucin a (3.38) vendr dada por qj(t) = B1j sin(jt) + B2j cos(jt) + 1 mjj t 0 Qj() sin[j(t )]d (3.39) En este caso, como se ha comentado anteriormente, los coecientes de masa y rigidez modales, mj y kj, vienen dados por las expresiones (3.33) y (3.34) respectivamente, el coeciente de fuerza modal por (2.32) y tanto las frecuencias, j, como los modos propios de vibracin, j(x), se obtendrn aplicando las condiciones de contorno adecuadas a la ecuacin (3.26). Para calcular las constantes B1j y B2j, nuevamente se recurrir a las condiciones iniciales y a la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones. Dichas condiciones iniciales se van a suponer iguales a las del caso de vibra- ciones libres, (3.27) y (3.28), por lo que nalmente se obtiene B1j = 1 mjj L 0 g(x)Aj(x)dx (3.40) B2j = 1 mj L 0 f(x)Aj(x)dx (3.41) Si, al contrario de lo que se ha supuesto, las condiciones de contorno no fueran simples, se usara la ecuacin (3.32) para obtener la condicin de or- togonalidad de las autofunciones correspondiente, y hallar as las constantes anteriores a partir de las condiciones iniciales. 52
  53. 53. 3.3.1. Caso prctico 2: viga en voladizo Se va a resolver a continuacin el caso concreto de una viga en voladizo sometida a la accin de una fuerza externa puntual P(t), situada a una distancia d del empotramiento, tal y como indica la gura 3.4. Figura 3.4: Viga en voladizo con carga puntual aplicada Se estudiar una viga de longitud L, rea transversal A y momento de inercia Iz. El material de la viga ser de densidad y mdulo de elasticidad E. Todos estos datos se supondrn constantes. Al igual que se llev a cabo en el captulo referente a barras, previamente se plantear una carga externa de tipo genrico, para luego estudiar los casos en los que dicha carga fuera de tipo armnico y de tipo parablico, denidas por las expresiones (2.44) y (2.45) respectivamente. Carga P(t) genrica La ecuacin que gobierna las vibraciones transversales forzadas en vi- gas viene dada por la expresin (3.36). En este caso en concreto, como se dijo anteriormente, tanto las propiedades geomtricas de la viga como las propiedades fsicas del material se han supuesto constantes, por lo que la ecuacin (3.36) toma la forma A 2v t2 + EIz 4v x4 = P(t)d(x) (3.42) la cual coincide con la expresin (3.6). 53
  54. 54. En este caso, al tratarse de una carga puntual, tambin se ha recurrido al uso de la delta de Dirac, d(x), tal y como ya se explic. El cambio aqu se produce por estar estudindose una carga situada en un punto cualquiera, d, de la viga, lo que provoca que en lugar de denir la delta de Dirac en el punto x = L, se haga en el punto x = d. Las condiciones de contorno para la viga en voladizo son v(0, t) = 0 v (0, t) = 0 v (L, t) = 0 v (L, t) = 0 (3.43) que suponen desplazamiento y giro nulos en el extremo empotrado, y mo- mento y esfuerzo cortante nulos en el extremo libre. Las condiciones iniciales seguirn siendo, por simplicidad, nulas v(x, 0) = 0 v(x, 0) = 0 (3.44) Aplicando de nuevo el mtodo de separacin de variables descrito ante- riormente, se denen v(x, t) = j=1 j(x)qj(t) v(x, t) = i=1 i(x)qi(t) transformando las condiciones de contorno (3.44) en j(0) = j(0) = j (L) = j (L) = 0 (3.45) Partiendo de la ecuacin (3.43) se sigue exactamente igual que en cap- tulos anteriores A 2v t2 + EIz 4v x4 = P(t)d(x) L 0 A 2v t2 v + EIz 4v x4 v dx = L 0 P(t)d(x)vdx sustituyendo las expresiones (3.24) y (3.37) 54
  55. 55. i=1 j=1 L 0 Aji qj + EIzj iqj qidx = = i=1 L 0 P(t)d(x)iqidx (3.46) La integral L 0 j idx se resuelve usando integracin por partes u = i du = idx dv = j dx v = j por lo tanto L 0 j idx = ij L 0 L 0 j idx y nuevamente, mediante integracin por partes u = i du = i dx dv = j dx v = j se obtiene nalmente L 0 j idx = ij L 0 ij L 0 + L 0 j i dx Simplicando la expresin anterior gracias a las condiciones de contorno dadas por (3.48), resulta como solucin nal a la integral L 0 j idx = L 0 j i dx que sustituida en la ecuacin (3.49) permite obtener i=1 j=1 L 0 Aji qj + EIzj i qj qidx = i=1 L 0 P(t)d(x)iqi i=1 j=1 L 0 Aji qj + EIzj i qj P(t)d(x)i dx qi = 0 55
  56. 56. Aplicando, tal y como se hizo para el caso de barras, la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones se tiene i=1 mi qi + kiqi L 0 P(t)d(x)idx qi = 0 y como los desplazamientos virtuales se denen linealmente independientes, resulta mi qi + kiqi L 0 P(t)d(x)idx = 0 mi qi + kiqi = L 0 P(t)d(x)idx mj qj + kjqj = L 0 P(t)d(x)jdx siendo mj y kj, en este caso, los coecientes de masa y rigidez modales dados por las ecuaciones (3.33) y (3.34). Aplicando las propiedades de la delta de Dirac, denidas en la expre- sin (2.51), a la ecuacin anterior, se obtiene nalmente la expresin de la ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden mj qj + kjqj = P(t)j(d) (3.47) en cuya forma coincide con la obtenida para el caso de vibraciones longitu- dinales forzadas en barras (si aplicamos la carga en x = L), pero que en el fondo son diferentes, ya que tanto los modos propios, que aparecen tambin implcitamente en las expresiones de los coecientes modales, como la propia expresin de kj son diferentes en ambos casos. Una vez ms, la solucin a esta ecuacin viene dada por la integral de Duhamel qj(t) = B1j sin(jt) + B2j cos(jt)+ + 1 mjj t 0 P()j(d) sin j(t ) d (3.48) donde las frecuencias y modos propios de vibracin vienen dados por las ex- presiones obtenidas para una viga en voladizo sometida a vibraciones libres 56
  57. 57. j = kj mj = 2 j EIz A j(x) = A6j sin(jx) sinh(jx) + Dj cos(jx) cosh(jx) donde A6j es una constante arbitraria, la constante Dj viene dada por Dj = cos(jL) + cosh(jL) sin(jL) sinh(jL) y los valores de j se obtienen como soluciones a la ecuacin trascendental (3.19). Por ltimo, slo queda por obtener las expresiones para las constantes B1j y B2j, y dado que las condiciones iniciales para este ejemplo son nulas, al igual que ocurri en el caso prctico 1 de barras, dichas expresiones son B1j = B2j = 0 por lo que la solucin (3.48) pasa a ser qj(t) = 1 mjj t 0 P()j(d) sin j(t ) d (3.49) Es fcil darse cuenta que la expresin anterior es exactamente la misma que la que se obtuvo para vibraciones longitudinales en barras (2.54), slo que aplicando la carga en un punto d cualquiera de la viga. Pero hay que tener en cuenta que aqu, el coeciente de masa modal, mj, las frecuencias propias, j, y los modos propios de vibracin, j(x), son diferentes. Por lo tanto, los desplazamientos transversales de la viga quedan totalmente denidos segn la expresin (3.24); donde j(x) y qj(t) vienen dados, respectivamente, por las ecuaciones (3.22) y (3.49). Carga P(t) armnica y parablica Ya que, como se ha dicho antes, las expresiones (2.54) y (3.49) son for- malmente iguales, el desarrollo de los casos para carga armnica y parablica sern los mismos que los que se realizaron en el captulo dedicado a barras. Por lo tanto, para no repetir los mismos clculos, se recogern directamente ambas soluciones. Dichas soluciones tienen en comn que las vibraciones transversales de la viga, v(x, t), vienen denidas por la expresin (3.24) y los modos propios 57
  58. 58. de vibracin, j(x), por (3.22). Mientras que la expresin para qj(t) es qj(t) = P0j(d) mjj [j sin(t) sin(jt)] (2 j 2) (3.50) para el caso de carga armnica, y qj(t) = P0j(d) mj4 j 2j sin(jt) + 2 cos(jt) + (t 2)2 j t 2 (3.51) para el de carga parablica. Al igual que para el caso de barras, como ltimo paso se van a representar grcamente las soluciones obtenidas por este mtodo para cada una de las cargas aplicadas. En esta ocasin se van a presentar los desplazamientos a lo largo de toda la viga, el diagrama de momentos ectores obtenidos mediante la ecuacin de Euler-Bernoulli (3.4), y el diagrama de esfuerzos cortantes calculados con (3.5). Como valores numricos del problema, una viga prismtica de acero en voladizo, se van a tomar los siguientes L = 1 m Altura de la seccion = 0,2 m Ancho de la seccion = 0,2 m Densidad del acero = 7850 kg m3 M odulo elasticidad del acero = 2 1011 N m2 y adems se tomar como valor de la distancia d d = L es decir, que la carga estar aplicada en el extremo libre de la viga, ya que es en este caso concreto en el que el problema adquiere condiciones de contorno dependientes del tiempo. 58
  59. 59. Primero se va a representar la solucin del caso en el que se aplica una carga externa armnica dada por (2.44), donde el valor mximo de dicha carga es P0 = 100 N y la frecuencia de oscilacin de la misma = 20 rad s obtenindose las grcas recogidas en la gura 3.5 mediante el programa vibtrad.m que aparece en el apndice. Figura 3.5: Desplazamientos y esfuerzos con carga puntual armnica En dichas grcas aparecen los desplazamientos, momentos ectores y esfuerzos cortantes (eje y), para cada uno de los puntos de la viga (eje x) a lo largo de un perodo completo de aplicacin de la carga externa (desde t = 0s a t = 0,31s), calculados teniendo en cuenta los seis primeros modos de vibracin. Cada lnea corresponde a un instante de tiempo determinado, por 59
  60. 60. lo que si se representa nicamente el instante de tiempo t = 0,1s se obtienen las grcas de la gura 3.6. Figura 3.6: Desplazamientos y esfuerzos para un tiempo t Una manera de ver ms claro como va desplazndose la viga a lo largo del tiempo, es representar dicho desplazamiento en una grca de tres di- mensiones como la que se muestra en la gura 3.7, donde se pueden observar las posiciones de la viga a lo largo del tiempo. 60
  61. 61. Figura 3.7: Desplazamientos con carga puntual armnica Resulta ilustrativo representar tambin en un grco 3D los esfuerzos cortantes a los que est sometida la viga a lo largo del perodo de aplicacin de la carga, tal y como se muestra en la gura 3.8, y donde es importante darse cuenta que dichos esfuerzos cortantes V se anulan en el extremo libre de la viga para todos los instantes de tiempo. Figura 3.8: Esfuerzos cortantes con carga puntual armnica 61
  62. 62. Para el caso de carga externa de tipo parablico dada por la expre- sin (2.45), tambin se va a tomar como valor mximo de dicha carga P0 = 100 N obtenindose en este caso las grcas recogidas en la gura 3.9 usando el programa volparabtrad.m que aparece en el apndice. Figura 3.9: Desplazamientos y esfuerzos con carga puntual parablica En esta ocasin se ha representado el ciclo completo de aplicacin de la carga, que como aparece en (2.45), va desde t = 0s a t = 2s. Nuevamente se muestra el grco de los desplazamientos de la viga en tres dimensiones en la gura 3.10, esta vez para el caso de una carga de tipo parablico, as como los esfuerzos cortantes que aparecen en la viga, y que vuelven a ser nulos en el extremo libre, tal y como se puede comprobar en la gura 3.11 62
  63. 63. Figura 3.10: Desplazamientos con carga puntual parablica Figura 3.11: Esfuerzos cortantes con carga puntual parablica 63
  64. 64. Captulo 4 Condiciones de contorno dependientes del tiempo 4.1. Descripcin del problema Para describir el problema y el correspondiente mtodo de solucin se considerar el caso de una viga prismtica sometida a vibraciones transver- sales de acuerdo a Bernoulli-Euler o teora clsica de la exin, ya que el desarrollo puede resultar algo ms complicado que si se estudiara el caso de una barra sometida a vibraciones longitudinales. Una vez desarrollado el problema, se resolvern a modo de ejemplos tanto el caso de una viga pris- mtica como el de una barra, con sendas cargas puntuales en sus extremos. Los desplazamientos transversales, v(x, t), de una viga prismtica estn gobernados por la siguiente ecuacin 2v t2 = c2 4v x4 + F(x, t) A (4.1) donde c2 = EIz A y F(x, t) es la carga externa por unidad de longitud de la viga. Es fcil darse cuenta que la ecuacin (4.1) es la misma que la ecuacin (3.6) obtenida an- teriormente, dividida por A. El mtodo que se va a describir a continuacin, se aplica igualmente in- cluso si se tienen en cuenta la inercia de rotacin o el amortiguamiento, pero se han omitido por simplicidad. 64
  65. 65. En el siguiente desarrollo, el smbolo Di se usa para representar un ope- rador diferencial lineal de orden 0, 1, 2 o 3, dependiendo de lo que las condi- ciones de contorno del problema dicten, es decir, Di(v) representa v, v x, 2v x2 , 3v x3 o una combinacin lineal de estas operaciones. Haciendo uso de esta no- tacin, las condiciones de contorno pueden escribirse como Di v(0, t) = fi(t), i = 1, 2 (4.2) Di v(L, t) = fi(t), i = 3, 4 (4.3) Por ejemplo, si la viga en cuestin es una viga en voladizo, empotrada en x = 0 D1 = 1, D2 = x , D3 = 2 x2 , D4 = 3 x3 donde f1(t) = f2(t) = 0 ya que el desplazamiento y el giro en x = 0 seran nulos, mientras que el momento ector y el esfuerzo cortante en x = L puede que varen con el tiempo de acuerdo a f3(t) y f4(t) respectivamente. Combinaciones lineales de estos operadores se dan cuando, por ejemplo, el extremo de la viga est sujeto a un muelle que impide el desplazamiento o la rotacin. Las condiciones iniciales del movimiento se especican mediante dos funciones arbitrarias v(x, 0) = v0(x) (4.4) v(x, 0) = v0(x) (4.5) en esta ocasin no se utiliza la notacin f(x) y g(x) que se us para los cap- tulos anteriores para no provocar confusin con las funciones fi(t) referentes a las condiciones de contorno. La dicultad para resolver estos problemas por el mtodo de separacin de variables aparece cuando alguna de dichas funciones, fi(t), que denen las condiciones de contorno, es no nula. En ese caso, no se puede aplicar el mtodo directamente pues no es posi- ble satisfacer las condiciones de contorno (4.2) y (4.3), ya que la funcin dependiente de x no se ajustara. 65
  66. 66. 4.2. Mtodo de solucin La anterior dicultad se puede solventar dividiendo la solucin en dos partes, una de las cuales se ajusta despus para simplicar las condiciones de contorno de la otra. Por lo tanto, se va a imponer que los desplazamientos transversales de la viga tomen la forma v(x, t) = (x, t) + 4 i=1 fi(t)gi(x) (4.6) donde fi(t) son las mismas funciones que aparecen en las expresiones (4.2) y (4.3) que determinan las condiciones de contorno. Sustituyendo esta expresin en la ecuacin (4.1) encontramos que debe satisfacer la ecuacin diferencial 2 t2 + c2 4 x4 = F(x, t) A 4 i=1 c2 figi + figi (4.7) Adems, la expresin asumida para v(x, t), ecuacin (4.6), debe satisfa- cer las condiciones de contorno (4.2) y (4.3), por lo tanto Di (0, t) = fi(t) 4 j=1 fj(t)Di gj(0) , i = 1, 2 (4.8) Di (L, t) = fi(t) 4 j=1 fj(t)Di gj(L) , i = 3, 4 (4.9) Finalmente, las condiciones iniciales (4.4) y (4.5) pasan a ser (x, 0) = v0(x) 4 i=1 fi(0)gi(x) (4.10) (x, 0) = v0(x) 4 i=1 fi(0)gi(x) (4.11) El siguiente paso es determinar las funciones gi(x) de forma que los tr- minos del lado derecho de las ecuaciones (4.8) y (4.9) se anulen, obteniendo as unas condiciones de contorno homogneas para la funcin . Para asegu- rar esto, es suciente con satisfacer las 16 condiciones siguientes D1 g1(0) = 1 D2 g1(0) = 0 D3 g1(L) = 0 D4 g1(L) = 0 (4.12) 66
  67. 67. D1 g2(0) = 0 D2 g2(0) = 1 D3 g2(L) = 0 D4 g2(L) = 0 (4.13) D1 g3(0) = 0 D2 g3(0) = 0 D3 g3(L) = 1 D4 g3(L) = 0 (4.14) D1 g4(0) = 0 D2 g4(0) = 0 D3 g4(L) = 0 D4 g4(L) = 1 (4.15) o en una notacin ms abreviada Dj gi(0) = ij, j = 1, 2, i = 1, 2, 3, 4 (4.16) Dj gi(L) = ij, j = 3, 4, i = 1, 2, 3, 4 (4.17) donde ij = 0 si i = j 1 si i = j Cada una de las expresiones (4.12) a (4.15) proporciona cuatro condi- ciones a cada una de las cuatro funciones gi(x). Para asegurar que se satis- facen estas condiciones en todos los casos, las funciones gi(x) se toman como polinomios de quinto grado en x gi(x) = ai + bix + cix2 + dix3 + eix4 + hix5 (4.18) escogiendo sus coecientes de acuerdo al siguiente criterio: "Sustituir cada una de las funciones gi(x) en la la apropiada (i-sima) de las ecuaciones (4.12) a (4.15). En cada caso, resultar un conjunto de cuatro ecuaciones lineales algebraicas que determinarn los coecientes de la funcin particular gi(x). Si ms de cuatro de esas constantes ai, . . . , hi apare- cen en esas expresiones, reducirlas a cuatro igualando a cero el coeciente del trmino de mayor grado en x, y si es necesario, tambin el coeciente del segundo trmino de mayor grado. Si alguna de las constantes ai, . . . , hi no aparece, igualarla a cero". Las ecuaciones resultantes determinarn las constantes de la expresin (4.18). Con esta eleccin de las funciones gi(x), las condiciones de contorno expresadas por las ecuaciones (4.8) y (4.9) se convierten en las de un proble- ma estacionario. Di (0, t) = 0, i = 1, 2 (4.19) 67
  68. 68. Di (L, t) = 0, i = 3, 4 (4.20) Normalmente slo se requieren polinomios de tercer grado para las fun- ciones gi(x); los trminos adicionales se incluyen para acomodar casos excep- cionales, como por ejemplo, cuando existen momentos ectores y esfuerzos cortantes dependientes del tiempo en ambos extremos. Es importante apreciar que solamente es necesario calcular aquellas fun- ciones gi(x) para las cuales, sus correspondientes fi(t) no son nulas. Queda, por tanto, encontrar la funcin (x, t) que satisface la ecuacin diferencial (4.7), con las condiciones de contorno (4.19) y (4.20), y las condi- ciones iniciales (4.10) y (4.11). Esta parte se puede resolver de la manera explicada en el captulo anterior, en el cual se obtuvieron los desplazamien- tos transversales de una viga sometida a vibraciones forzadas, mediante el mtodo de separacin de variables, buscando una solucin de la forma = j=1 j(x)qj(t) (4.21) Esto completa la solucin formal del problema. 4.2.1. Caso prctico 3: viga en voladizo El problema a resolver es el de una viga en voladizo sometida a una carga puntual en su extremo libre, P(t), tal y como se representa en la gura 4.1. En este caso, se va a considerar que se trata de un problema de vibraciones libres, puesto que dicha carga se va a imponer como una condicin de contorno en dicho extremo, y no como una carga externa aplicada, por lo que la funcin F(x, t) que aparece en las ecuaciones (4.1) y (4.7), y que dara lugar a un caso de vibraciones forzadas, ser nula. Al igual que se realiz en los dos casos prcticos anteriores, primero se tomar una carga P(t) genrica, para posteriormente particularizarla a una carga armnica de la forma P(t) = P0 sin(t) (4.22) y a una carga parablica denida segn la expresin P(t) = P0t2 + 2P0t, 0 t 2 (4.23) 68
  69. 69. Figura 4.1: Viga en voladizo con carga puntual en su extremo libre Carga P(t) genrica La ecuacin diferencial en derivadas parciales que rige las vibraciones transversales de la viga, o ecuacin del movimiento para un caso de vi- braciones libres, es 2v t2 = c2 4v x4 (4.24) con c = EIz A Las condiciones de contorno vienen dadas por v(0, t) = 0 v (0, t) = 0 v (L, t) = 0 v (L, t) = P(t) EIz (4.25) y las condiciones iniciales por v(x, 0) = 0, v(x, 0) = 0 (4.26) Es importante observar en las condiciones de contorno, que la que in- cluye a la carga puntual P(t), se ha denido como P(t) EIz , ya que el efecto que provoca dicha carga en el extremo es el de un esfuerzo cortante, y como tal, 69
  70. 70. debe ser dimensionalmente compatible. Las condiciones de contorno son dependientes del tiempo, por lo que se impone que los desplazamientos transversales, v, de la viga, sean de la forma v(x, t) = (x, t) + 4 i=1 fi(t)gi(x) (4.27) De las condiciones de contorno se tiene que D1 = 1, D2 = x , D3 = 2 x2 , D4 = 3 x3 f1(t) = f2(t) = f3(t) = 0, f4(t) = P(t) EIz por lo tanto, al ser f4(t) la nica funcin no nula, slo es necesario calcular la funcin g4(x). Para calcular g4(x), se sigue el procedimiento denido por la norma des- crita anteriormente g4(x) = a4 + b4x + c4x2 + d4x3 + e4x4 + h4x5 D1 g4(0) = 0 a4 = 0 D2 g4(0) = 0 b4 = 0 D3 g4(L) = 0 2c4 + 6Ld4 + 12L2 e4 + 20L3 h4 = 0 D4 g4(L) = 1 6d4 + 24Le4 + 60L2 h4 = 1 De las seis constantes que se usaron para denir g4(x), aparecen ms de cuatro en las ecuaciones algebraicas anteriores (aparecen las seis), por lo que segn la norma, se deben hacer cero aquellas que acompaen a los trminos de mayor grado e4 = h4 = 0 resultando c4 = L 2 d4 = 1 6 70
  71. 71. Finalmente, la expresin obtenida para g4(x) es g4(x) = x3 6 x2L 2 (4.28) Como f1(t) = f2(t) = f3(t) = 0, de la ecuacin (4.27) se sigue que v(x, t) = (x, t) + f4(t)g4(x) (4.29) Tomando la expresin (4.28) para g4(x), (x, t) se calcula aplicando como condiciones de contorno D1 (0, t) = 0 D2 (0, t) = 0 D3 (L, t) = 0 D4 (L, t) = 0 es decir (0, t) = (0, t) = (L, t) = (L, t) = 0 (4.30) y, de las ecuaciones (4.10), (4.11) y (4.26), aplicando como condiciones ini- ciales (x, 0) = f4(0)g4(x) (x, 0) = f4(0)g4(x) (4.31) Sustituyendo la expresin (4.29) en la ecuacin diferencial (4.24) se ob- tiene 2 t2 + f4(t)g4(x) = c2 4 x4 + f4(t)g4 (x) y como de (4.28) se tiene que g4 (x) = 0, la ecuacin diferencial en derivadas parciales que debe satisfacer es nalmente 2 t2 + c2 4 x4 = f4(t)g4(x) (4.32) 71
  72. 72. Las ecuaciones (4.32) y (4.30) corresponden a un problema de vibraciones forzadas con condiciones de contorno homogneas, el cual se resolver de la manera desarrollada en el captulo 3. Aplicando el mtodo de separacin de variables se obtiene (x, t) = j=1 j(x)qj(t) (4.33) (x, t) = i=1 i(x)qi(t) (4.34) Las condiciones de contorno (4.30) se formulan ahora como sigue j(0) = j(0) = j (L) = j (L) = 0 (4.35) Integrando la ecuacin (4.32) L 0 2 t2 + c2 4 x4 dx = L 0 f4g4dx L 0 j=1 (j qj + c2 j qj) i=1 iqi dx = L 0 f4g4 i=1 iqidx L 0 j=1 j qj i=1 iqi + c2 j=1 j qj i=1 iqi dx = i=1 L 0 f4g4iqidx llamando Qi al conjunto f4g4i, se tiene j=1 i=1 L 0 j qji + c2 j qji qi dx = i=1 L 0 Qiqidx (4.36) La integral L 0 j idx es la misma que apareca en la expresin (3.46), por lo que siguiendo el mismo procedimiento que en aquel caso para resolver- la, se llega a que, para condiciones de contorno simples se cumple L 0 j idx = L 0 j i dx 72
  73. 73. Sustituyendo esta ltima ecuacin en (4.36) j=1 i=1 L 0 ji qj + c2 j i qj qi dx = i=1 L 0 Qiqidx i=1 j=1 L 0 ji qj + c2 j i qj Qi dx qi = 0 Aplicando la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones, y teniendo en cuenta que los desplazamientos virtuales son linealmente independientes i=1 L 0 2 i qidx + c2 L 0 i 2 qidx L 0 Qidx qi = 0 L 0 A2 i qidx + L 0 EIzi 2 qidx L 0 AQidx = 0 mj qj + kjqj = L 0 AQjdx donde mj y kj son los coecientes de masa y rigidez modales, que vienen dados por las ecuaciones (3.33) y (3.34) respectivamente. Nuevamente la solucin a esta ecuacin diferencial, se determina median- te la integral de Duhamel, dando lugar a qj(t) = B1j sin(jt)+B2j cos(jt)+ 1 mjj t 0 L 0 AQj()dx sin j(t) d qj(t) = B1j sin(jt)+B2j cos(jt)+ A mjj t 0 f4() sin j(t) d L 0 g4jdx donde, si se sustituye mj por su correspondiente expresin mj = L 0 A2 j dx se obtiene nalmente qj(t) = B1j sin(jt) + B2j cos(jt)+ + G4j j t 0 f4() sin j(t ) d (4.37) 73
  74. 74. siendo G4j G4j = L 0 g4jdx L 0 2 j dx (4.38) Las constantes B1j y B2j se calculan a partir de las condiciones iniciales (4.31). Primero, para calcular B2j (x, 0) = f4(0)g4(x) j=1 j(x)qj(0) = f4(0)g4(x) L 0 j=1 j(x)qj(0)i(x)dx = L 0 f4(0)g4(x) i(x)dx qj(0) L 0 2 j (x)dx = f4(0) L 0 g4(x)j(x)dx resultando qj(0) = B2j = f4(0)G4j B2j = f4(0)G4j (4.39) Para calcular B1j se procede de forma similar (x, 0) = f4(0)g4(x) j=1 j(x) qj(0) = f4(0)g4(x) L 0 j=1 j(x) qj(0)i(x)dx = L 0 f4(0)g4(x) i(x)dx qj(0) L 0 2 j (x)dx = f4(0) L 0 g4(x)j(x)dx resultando qj(0) = B1jj = f4(0)G4j 74
  75. 75. B1j = f4(0)G4j j (4.40) Los modos propios de vibracin son los correspondientes al caso de vi- braciones libres, y para las condiciones de contorno que denen a una viga en voladizo, vienen dados por la ecuacin j(x) = A6j sin(jx) sinh(jx) + Dj(cos(jx) cosh(jx) (4.41) donde Dj = cos(jL) + cosh(jL) sin(jL) sinh(jL) A6j es una constante arbitraria y jL son las soluciones de la ecuacin trascendental cos(jL) cosh(jL) = 1 a partir de las cuales, se pueden obtener las frecuencias naturales de vibracin como j = 2 j EI A (4.42) Por lo tanto, la solucin nal para los desplazamientos de una viga en voladizo sometida a la accin de una carga externa, siendo sta ltima apli- cada como condicin de contorno dependiente del tiempo es v(x, t) = (x, t) + f4(t)g4(x) v(x, t) = j=1 j(x)qj(t) + P(t) EIz g4(x) v(x, t) = j=1 j(x)qj(t) + P(t) EIz x3 6 x2L 2 (4.43) donde las funciones j(x) y qj(t) vienen dadas, respectivamente, por las ecuaciones (4.41) y (4.37). 75
  76. 76. Carga P(t) armnica Si se particulariza la solucin anterior para una carga P(t) armnica, de la forma P(t) = P0 sin(t) (4.44) se tiene que f4(t) = P0 sin(t) EIz (4.45) por lo que las constantes B1j y B2j toman los valores B1j = f4(0)G4j j = P0G4j EIzj (4.46) B2j = f4(0)G4j = 0 (4.47) Sustituyendo el valor de estas constantes y de f4(t) = P02 sin(t) EIz en la ecuacin (4.37) resulta qj(t) = P0G4j EIzj sin(jt) + P02G4j EIzj t 0 sin() sin j(t ) d qj(t) = P0G4j EIzj t 0 sin() sin j(t ) d I1 sin(jt) Se puede observar que la integral I1 que aparece en la expresin anterior, es la misma que la que apareca en la ecuacin (2.55), y cuya solucin se hall entonces, resultando qj(t) = P0G4j EIzj [j sin(t) sin(jt)] (2 j 2) sin(jt) Por lo que, nalmente, qj(t) adopta la expresin qj(t) = P0G4j EIz [ sin(t) j sin(jt)] (2 j 2) (4.48) donde G4j y j vienen dadas respectivamente por las ecuaciones (4.38) y (4.42). 76
  77. 77. Por lo tanto, a partir de la ecuacin (4.43), los desplazamientos de una viga en voladizo sometida a la accin de una carga armnica externa, siendo sta ltima aplicada como condicin de contorno dependiente del tiempo, vienen denidos por v(x, t) = j=1 j(x)qj(t) + P0 sin(t) EIz x3 6 x2L 2 (4.49) donde j(x) y qj(t) vienen dados, respectivamente, por las ecuaciones (4.41) y (4.48). Nuevamente se van a representar grcamente las soluciones obtenidas y para ello, se van a tomar los mismos datos para denir el sistema, que son los siguientes L = 1 m Altura de la seccion = 0,2 m Ancho de la seccion = 0,2 m Densidad del acero = 7850 kg m3 M odulo elasticidad del acero = 2 1011 N m2 y para el caso de carga externa armnica quedan por denir el mximo valor de la misma y su frecuencia de oscilacin, que son P0 = 100 N = 20 rad s con lo que los resultados grcos obtenidos en este caso, con el programa vibccdt.m contenido en el apndice, son los recogidos en la gura 4.2. 77
  78. 78. Figura 4.2: Desplazamientos y esfuerzos con carga puntual armnica, con condiciones de contorno dependientes del tiempo Tambin se han representado en grcos de tres dimensiones los despla- zamientos, en la gura 4.3, como los esfuerzos cortantes, en la gura 4.4. Es importante darse cuenta, que ahora que se ha obtenido la solucin aplicando condiciones de contorno dependientes del tiempo, los esfuerzos cortantes no se anulan en el extremo libre de la viga, sino que toman el valor de la carga puntual externa para cada instante de tiempo. 78
  79. 79. Figura 4.3: Desplazamientos con carga puntual armnica, con condiciones de contorno dependientes del tiempo Figura 4.4: Esfuerzos cortantes con carga puntual armnica, con condiciones de contorno dependientes del tiempo 79
  80. 80. Carga P(t) parablica Partiendo nuevamente de la solucin obtenida para una carga genrica, y particularizndola para una carga P(t) parablica de la forma P(t) = P0t2 + 2P0t, 0 t 2 (4.50) se obtiene f4(t) = P0t2 + 2P0t EIz (4.51) tomando por lo tanto las constantes B1j y B2j los siguientes valores B1j = f4(0)G4j j = 2P0G4j EIzj (4.52) B2j = f4(0)G4j = 0 (4.53) Incorporando el valor de estas constantes, y de la funcin f4(t) = 2P0 EIz , a la ecuacin (4.37) se tiene qj(t) = 2P0G4j EIzj sin(jt) + 2P0G4j EIzj t 0 sin j(t ) d qj(t) = 2P0G4j EIzj t 0 sin j(t ) d sin(jt) qj(t) = 2P0G4j EIzj 1 cos(jt) j sin(jt) Adoptando nalmente qj(t) la expresin qj(t) = 2P0G4j EIz2 j [1 cos(jt) j sin(jt)] (4.54) donde, de nuevo, las expresiones de G4j y j vienen dadas por (4.38) y (4.42). Por lo tanto, al igual que para el caso anterior, la expresin de los des- plazamientos se obtiene a partir de la ecuacin (4.43) y viene dada por v(x, t) = j=1 j(x)qj(t)+ (P0t2 + 2P0t) EIz x3 6 x2L 2 , 0 t 2 (4.55) donde j(x) y qj(t) estn denidos, ahora, por las ecuaciones (4.41) y (4.54). 80
  81. 81. Para llevar a cabo la representacin grca en este caso, se han toma- do los mismos datos numricos que anteriormente, y mediante el programa volparabccdt.m se han obtenido los resultados reejados en la gura 4.5 Figura 4.5: Desplazamientos y esfuerzos con carga puntual parablica, con condiciones de contorno dependientes del tiempo Los grcos en tres dimensiones correspondientes tanto a los desplaza- mientos y como los esfuerzos cortantes en la viga son los que aparecen en las guras 4.6 y 4.7 respectivamente. Se debe hacer hincapi en que, como ocurriera con el caso de una carga aplicada de tipo armnico, cuando el pro- blema se resuelve teniendo en cuenta condiciones de contorno dependientes del tiempo, los esfuerzos cortantes en el extremo libre de la viga no son nu- los, sino que toman el valor de la carga externa aplicada, P(t), para cada instante de tiempo. 81
  82. 82. Figura 4.6: Desplazamientos con carga puntual parablica, con condiciones de contorno dependientes del tiempo Figura 4.7: Esfuerzos cortantes con carga puntual parablica, con condiciones de contorno dependientes del tiempo 82
  83. 83. 4.2.2. Caso prctico 4: barra empotrada con carga puntual en su extremo libre Se va a resolver ahora el caso de una barra empotrada sometida a una carga puntual en su extremo libre, P(t). Exactamente igual a como se ha realizado en el caso anterior, se va a tratar como un problema de vibraciones libres, puesto que dicha carga se va a imponer como una condicin de con- torno en dicho extremo, y no como una carga externa aplicada. Como en todos los casos prcticos que se han resuelto, primero se tomar una carga P(t) genrica, para despus convertirla en una carga armnica de la forma P(t) = P0 sin(t) (4.56) y en una carga parablica denida por P(t) = P0t2 + 2P0t, 0 t 2 (4.57) Carga P(t) genrica La ecu