Permutaciones

5/9/2018 Permutaciones - slidepdf.com

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1. Permutaciones con repetición

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = n

r

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para lasegunda elección, y así.)

Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 deellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

Así que la fórmula es simplemente:

nr

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges

(Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?

Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"

sí que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo loescribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ... = 16 × 15 × 14 = 336013 × 12 ...

¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14

La fórmula se escribe:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/factorial.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/factorial.html



donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(No se puede repetir, el orden importa)

Ejemplos:

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:

16!=

16!=

20,922,789,888,000= 3360

(16-3)! 13! 6,227,020,800

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

10!=

10!=

3,628,800= 90

(10-2)! 8! 40,320

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:

16!=

16!=

20,922,789,888,000= 560

3!(16-3)! 3!×13! 6×6,227,020,800

O lo puedes hacer así:

16×15×14=

3360= 560

3×2×1 6

Permutaciones

Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación;cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Esimportante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación, cuandovariamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos.



El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, se designa por:

Permutación lineal con elementos diferentes

El número de permutaciones de “n” objetos diferentes, tomados en grupos de k elementos(siendo k n) y denotado por , estará dado por:

donde: n, k N y 0 k n

Ejemplos:

1.- ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?

Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas,

tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos

quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos

quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

8 7 6 5 4 3 2 1 = 40320

2.- ¿De cuántas formas se pueden colocar 5 libros diferentes en un anaquel?

Solución: 5!

3.- ¿ De cuántas formas diferentes se pueden sentar seis alumnos en un salón de clases con 25

pupitres?

Solución: El primer estudiante puede elegir entre 25 lugares, el segundo tendrá 24 lugares a

escoger, el tercero 23, así sucesivamente; por lo tanto el número de arreglos sin repetición de 25

elementos tomados de 6 en 6 es:

Esto se simboliza por =

4.- ¿Cuántos números se 2 cifras sin repetición se pueden formar con los dígitos 8, 2, 5, 4, 7?



Solución: = 5 4 = 20

5.- Un técnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al azar, ¿decuántas formas diferentes podría completar las conexiones?

Permutaciones sin repetición. Solución: 720 conexiones diferentes.

Permutación lineal con elementos repetidos

Frecuentemente queremos encontrar el número de permutaciones de objetos donde algunos sonsimilares. La fórmula general para esto, es la siguiente:

TEOREMA: el número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son similares de algunamanera, n2 son similares de otra manera, …. , nr son similares aún de otra manera, es

de otra forma; el número de permutaciones (P) distintas de “n” elementos tomados de “n” en “n” endonde hay un primer grupo de n1 objetos iguales entre si; n2 objetos iguales entre si de un segundotipo y así sucesivamente hasta nk objetos iguales entre si de un último tipo, entonces:

Solución: Para responder cada una de las preguntas del examen, tenemos 5 alternativas, y son 12preguntas, por lo que

5 ´ 5 ´ 5 ´ ¼ ´ 5 ( doce veces el 5) =

4.- : ¿Cuántos números de tres cifras con repetición se pueden formar usando todos los siguientesdígitos 7, 4, 8, 5, 3?

Solución: Como se pueden repetir los dígitos y son 5 de ellos, podemos colocar en la posición delas centenas cualquiera de los cinco y en la posición de las decenas también 5 dígitos al igual que enla posición de las unidades, por lo tanto, el resultado es 53 ó

5.- : Queremos abrir un candado de combinación de 4 anillos, cada uno marcado con los dígitos 1, 2,3, 4, 5; pero no sabemos cual es la combinación correcta,



Solución: En cada uno de los 4 anillos pueden ponerse los 5 dígitos. Así quen=5 y r=4, por lo que elnúmero total de posiciones es = 625. Pero como una de estas 625 es la correcta, el

número máximo de incorrectos es 624.

Permutación circular

Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada.Para hallar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con “n” objetos distintos deun conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! Formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativaal primer punto.

El número de permutaciones circulares será:

EJEMPLO:

1.- ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 7 en

la siguiente figura?

# de maneras = 7 x 5! = 7 x 120 = 840

2.-¿De cuántas formas se pueden sentar 3 parejas de casados alrededor de una mesa circular, si nodebe haber dos mujeres juntas ni dos hombres juntos?

Solución: 2! ´ 3! = 2 ´ 6 = 12

3.-Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.

PC7= (7 − 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

4.-. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

5.- ¿De cuántas maneras se pueden sentar en una mesa redonda 3 matrimonios si cada esposo

debe tener a su lado a su mujer?



Cada pareja se puede sentar de dos formas para que el esposo esté al lado de la esposa. Esto da

2x2x2=8 formas distinta.

Combinaciones

Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las

combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” ala vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r”

factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática.

Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco

cartas habría?

La cantidad de combinaciones posibles sería: C(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126

combinaciones posibles.

1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos

comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.

No importa el orden: Juan, Ana.

No se repiten los elementos.

2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?


No importa el orden.


3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se

han intercambiado?






4. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir

cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Sólo elije 4..

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

5. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el

acierto de los seis resultados, de 49?




EJEMPLOS RESUELTOS ( Para aclararnos):

- Una persona está interesada en contar todos los posibles resultados en el juego de la LOTERÍAPRIMITIVA. ¿ Podrías ayudarle?

Sol: C49,6 = 13983816boletos diferentes(difícil acertar ¿no?)

- Siete amigos hacen cola para el cine. Al llegar sólo quedan 4 entradas. ¿ De cuántas formas podrían repartirse estas entradas para ver la película ?

Sol: C7,4 = 35 formasdistintas de reparto

- En una clase de 30 alumnos se quiere elegir ungrupo de 5 alumnos para participar en unconcurso. ¿ De cuántas formas podría hacerse ?

Sol: C30,5 = 142506 posibles grupos



Efrén de la Cruz De la Cruz. Numero de control: 10480275 Fecha: 22 de agosto del 2011.

REQUISITOS DE CONSTITUCION

Para proceder a la constitución de las sociedades anónimas se requiere: Que haya dos socios como

mínimo, y que cada uno de ellos, suscriba una acción por lo menos. Que el capital social no sea menor de 50

mil pesos y que este íntegramente suscrito. Que se exhiba en dinero efectivo, cuando menos, el 20% del

valor de cada acción, pagadera, en numerario. Que se exhiba íntegramente el valor de cada acción que

haya de pagarse, en todo, o en parte con bienes distintos de el numerario.

La sociedad anónima puede constituirse por la comparecencia ante el notario de las personas que otorgen

la escritura social; que por su suscripción pública

ELEMENTOS QUE CONTIENE UN ACTA CONSTITUTIVA

Ante notario o corredor público. Le faltó mencionar a Agent 47 el art. 6 de la Ley General de Sociedades

Mercantiles en vigor y que es donde se mencionan los requisitos generales que debe tener toda acta

constitutiva (independiente de la figura que adopte con base en el art. 1o.): "Artículo 6o.- La escritura

constitutiva de una sociedad deberá contener:

I.- Los nombres, nacionalidad y domicilio de las personas físicas o morales que constituyan la sociedad;

II.- El objeto de la sociedad;

III.- Su razón social o denominación;

IV.- Su duración;

V.- El importe del capital social;

VI.- La expresión de lo que cada socio aporte en dinero o en otros bienes; el valor atribuido a éstos y el

criterio

seguido para su valorización. Cuando el capital sea variable, así se expresará indicándose el mínimo que se

fije;VII.- El domicilio de la sociedad;

VIII.- La manera conforme a la cual haya de administrarse la sociedad y las facultades de los

administradores;

IX.- El nombramiento de los administradores y la designación de los que han de llevar la firma social;

X.- La manera de hacer la distribución de las utilidades y pérdidas entre los miembros de la sociedad;

XI.- El importe del fondo de reserva; XII.- Los casos en que la sociedad haya de disolverse

anticipadamente, y



XIII.- Las bases para practicar la liquidación de la sociedad y el modo de proceder a la elección de los

liquidadores, cuando no hayan sido designados anticipadamente.

Todos los requisitos a que se refiere este artículo y las demás reglas que se establezcan en la escritura

sobre organización y funcionamiento de la sociedad constituirán los estatutos de la misma.

Capital económico. El Capital. económico es uno de los factores de la producción y está representado por el conjunto de bienes necesarios para producir riqueza; por ejemplo, en el caso de un carpintero,sus herramientas de trabajo constituyen su Capital, porque sin ellas no puede hacer productivo sutrabajo; en el caso de un agricultor, su maquinaria y demás implementos forman su Capital, por ser indispensables para labrar la tierra, etc.Capital financiero. Es el dinero que se invierte para que produzca una renta o un interés; por

ejemplo, cuando un inversionista adquiere acciones de determinada empresa para obtener utilidades,el valor de sus acciones constituye su Capital, porque sin ellas no puede percibir dividendos; o el dineroque invierten las instituciones bancarias en las prestaciones que otorgan a sus clientes, dinero por elcual cobran un interés, etc.Capital contable. Es la diferencia aritmética entre el valor de todas las propiedades de la empresay .el total de SUS deudas; por ,ejemplo,’ si una entidad tiene en efectivo, mercancías, mobiliario y terrenosun total de $500 000.00, y documentos por pagar por valor de $ 100 000.00, su Capital contable es de $400000.00En contabilidad se emplean términos especiales de carácter técnico para indicar con ellos conceptos, cosaso. hechos; como los que â continuación se indican:

Activo. El Activo representa todos los bienes y derechos que son propiedad de la empresa.

Pasivo. El Pasivo presenta todas las deudas y obligaciones a cargo de la empresa.Capital contable, Capital líquido o Capital neto. el Capital contable es la diferencia aritméticaentre el Activo y e! Pasivo; ejemplo:Activo $ 500,ooo.00Pasivo $ 400,000.00Capital contable $ l00 000.00

Capital contable positivo. El Capital contable es positivo cuando el valor del activo es mayor 9que el monto del Pasivo: ejemplo:

Activo 700 000.00

Pasivo 200 000.00

Capital contable positivos $ 500 ooo.00

Capital contable negativo. El Capital contable es negativo cuando el valor del Activo es menor que el monto del Pasivo; ejemplo:Activo s 200 000.00Pasivo 250 000.00Capital contable negativo 9 50 000.00

Contablemente existen varias clases de Capital, como las que a continuación se señalan:



Capital en giro o Capital invertido. El Capital en giro es el conjunto de valores propios oajenosinvertidos en una empresa; ejemplo:Valores propios invertidos $ 500 000.00Valores ajenos invertidos $ 100 ooo.00Capital en giro o Capital invertido S 600 000.00

Capital propio. El capital propio es el que pertenece a una persona.

Capital social. El Capital social es el importe total que se han comprometido a aportar las personasque constituyen una sociedad.

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