Pensamiento Lógico · TEMAS ANÁLISIS DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Método George Pólya Método...
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Pensamiento Lógico Área Ciencias Exactas Centro Educativo Técnico Laboral Kinal Prof. Juan Pablo Rivas Flores
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Pensamiento Lógico
Área Ciencias Exactas
Centro Educativo Técnico Laboral
Kinal Prof. Juan Pablo Rivas Flores
TEMAS
ANÁLISIS DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS
Método George Pólya
Método Miguel de Guzmán
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA, INVERSA Y COMPUESTA
LÓGICA PROPOSICIONAL O LÓGICA DE ENUNCIADOS
Introducción: lenguaje natural, lenguaje artificial y lenguaje formal.
Las proposiciones y la Lógica proposicional.
El razonamiento: verdad y validez.
El lenguaje lógico:
El lenguaje formal de la lógica proposicional.
Sintaxis: fórmulas bien formadas.
Formalización.
Tablas de verdad:
Valores de verdad de las conectivas.
Construcción de tablas de verdad.
Demostración de la validez de los razonamientos mediante tablas de verdad.
LAS FALACIAS
CONJUNTOS
Definición
Clases de Conjuntos
Diagramas
Operaciones entre conjuntos
LENGUAJE ALGEBRAICO
Expresión algebraica a lenguaje verbal
Lenguaje verbal a expresión algebraica
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Aditivos
Híbridos
Posicionales
SUCESIONES
Gráficos
Numéricos
ANÁLISIS DE PROBLEMAS
Lo que importa es el camino:
“el proceso es el que realmente nos ayuda a potenciar nuestra forma de pensar.”
Miguel de Guzmán
Durante el proceso de elaboración de este documento, se ha pensado en usted estimado
estudiante, que en el camino de resolución de problemas, se ha topado con inconvenientes o
inclusive con el desánimo de no continuar y aunque este documento no resuelve del todo sus
problemas esperamos le sirva de iluminación, para poder resolverlos mejor.
El poder de las matemáticas
“el que domina las matemáticas piensa, razona, analiza y por ende actúa con lógica en la vida
cotidiana, por tanto, domina al mundo.”
Ing. Arturo Santana Pineda
Método Pólya
George Pólya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest
y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fue maestro en el Instituto
Tecnológico Federalen Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en E.U.A. y pasó a
la Universidad de Stanford en 1942. En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del
descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para entender
una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso
de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus
estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos:
1. Entender el problema
2. Configurar un plan
3. Ejecutar el plan
4. Mirar hacia atrás
Las aportaciones de Pólya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que
promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas.
Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas, introduce
su método de cuatro pasos junto con la 1heurística y estrategias específicas útiles en la solución de
problemas. Otros trabajos importantes de Pólya son Descubrimiento Matemático (I y II), y
Matemáticas y Razonamiento Plausible (I y II). Pólya, que murió en 1985 a la edad de 97 años,
enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver
problemas.
1 Técnica de la investigación y el descubrimiento. Búsqueda o indagación en fuentes históricas.
Paso 1: Entender el Problema.
1. ¿Entiendes todo lo que dice?
2. ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
3. ¿Distingues cuáles son los datos?
4. ¿Sabes a qué quieres llegar?
5. ¿Hay suficiente información?
6. ¿Hay información extraña?
7. ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Paso 2: Configurar un Plan.
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio
ingenioso que conduce a un final).
1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
2. Usar una variable.
3. Buscar un Patrón.
4. Hacer una lista.
5. Resolver un problema similar más simple.
6. Hacer una figura.
7. Hacer un diagrama.
8. Usar razonamiento directo.
9. Usar razonamiento indirecto.
10. Usar las propiedades de los Números.
11. Resolver un problema equivalente.
12. Trabajar hacia atrás.
13. Usar casos.
14. Resolver una ecuación.
15. Buscar una fórmula.
16. Usar un modelo.
17. Usar análisis dimensional.
18. Identificar sub-metas.
19. Usar coordenadas.
20. Usar simetría.
Paso 3: Ejecutar el Plan.
1. Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema
o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
2. Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una
sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el foco
cuando menos lo esperes!).
3. No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva
estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Mirar hacia atrás.
1. ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
2. ¿Adviertes una solución más sencilla?
3. ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita.
Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en
la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta.
Este proceso lo podemos representar como sigue:
Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas:
1.- Acepta el reto de resolver el problema.
2.- Reescribe el problema en tus propias palabras.
3.- Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...
4. -Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias.
5.- Si es apropiado, trata el problema con números simples.
6.- Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en
tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.
7.- Analiza el problema desde varios ángulos.
8.- Revisas tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar
9.- Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una
para tener éxito.
10.- No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.
11.- La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su
confianza crecerá.
12.- Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que
realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres
veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de
solución.
13.- Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en
tu solución.
14.- Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla
si la lees 10 años después.
15.- Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda
para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.
16.- ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.
Modelo de Miguel de Guzmán
1. Familiarización
Comprender el enunciado.
Idea clara de los datos que intervienen, las relaciones entre ellos y lo que se pide.
Ser capaces de contar el problema con nuestras palabras (película del problema)
2. Estrategias
Encontrar formas de abordar el problema.
Estrategias generales: empezar por algún caso fácil; experimentar y buscar regularidades;
hacer figuras, esquemas y diagramas; escoger un lenguaje o notación adecuados; buscar
semejanzas; empezar por el final; suponer que no es posible; técnicas específicas
(matemáticas); ...
3. Llevar adelante la estrategia
Seleccionar la estrategia que parece más viable.
Llevar adelante la estrategia con decisión, confianza, orden, tesón y sosiego.
Asegurarse de haber llegado a la solución, no quedarse a medias.
Apuntar ideas nuevas que puedan surgir sin que te desvíen del camino trazado.
Revisar la idoneidad de la estrategia elegida si no prospera.
4. Revisión y consecuencias
En este paso es importante tener un buen protocolo del problema: tener escritos los datos,
las ideas, los pasos, las conclusiones, los problemas…
Revisión: ¿era adecuada la estrategia, se ha seguido correctamente, la solución está de
acuerdo con el problema?
Consecuencias: ¿hay otras formas de resolver, permite generalizar conclusiones, interesan
variaciones del problema?
Pautas en la resolución de un problema con ecuaciones
1.- Familiarizarse con el problema
leer hasta comprender el problema
identificar los datos conocidos y los que se buscan: variables
identificar las relaciones entre los datos: condiciones
elaborar un esquema
2.- Establecer y ejecutar un plan: plantear y resolver
estudiar y decidir el modelo: número de variables y ecuaciones
elegir variables simples, comunes a todas las relaciones y que permitan contestar a la
pregunta. Definirlas con precisión
traducir las relaciones en ecuaciones
resolver la ecuación o sistema
3.- Revisar el proceso y sacar consecuencias
generar soluciones del problema
comprobar la adecuación de las soluciones al enunciado: que cumplen las condiciones y
que responden a la pregunta realizada
concretar la solución(es) del problema
Halla dos números cuya suma sea 59 y la diferencia 15.
Análisis:
Dos números 1) Suma es 59 2) Diferencia es 15
¿Números?
Planteamiento:
Dos relaciones con dos incógnitas (los números)
X=número menor; Y=número mayor 1) X+Y=59 2) Y-X=15
Por reducción (1ª+2ª): 2y = 74 y=37
(1ª): x =59-y = 59-37 = 22
x=22, y=37
Solución:
x=22, y=37: números 22 y 37
Comprobación: 1) 22+37=59
2) 37-22=15
Solución: Los números son 22 y 37.
Lola y Mohamed salen de un mismo punto: Lola en dirección sur y Mohamed en dirección este.
Lola camina a 3 km/h y Mohamed a 4 km/h. ¿Qué tiempo deberá transcurrir para que haya 7.5
km de distancia entre ambos?
Punto DM
DL DLM
Velocidad de Lola: 3 km/h
Velocidad de Mohamed: 4 km/h
Distancia Lola/Mohamed: 7’5 km
¿tiempo transcurrido?
Variables implícitas: Distancia recorrida por Lola (DL)
Distancia recorrida por Mohamed (DM)
Relaciones implícitas:1) distancia = velocidad * tiempo
2) DLM2 = DL
2 + DM2
Variable básica: t = tiempo transcurrido (horas)
Variables secundarias: DL=3*t; DM=4*t (1)
Ecuación: 7.52 = (3t)2+(4t)2 (2)
56.25 = 9t2 + 16t2
56.25 = 25t2 t2= 2.25 t=1.5
t=-1.5: no tiene sentido el valor negativo del tiempo
t=1.5: Una hora y media
Distancia de Lola: 3*1.5=4.5
Distancia de Moh.: 4*1.5=6 4.52 + 62 = 7.52 = 56.25
Solución: Debe transcurrir una hora y media.
Esquema alternativo
Velocidad
(km/h)
Tiempo
(h)
Distancia
(km)
Lola 3 t 3·t
Mohamed 4 t 4·t
Pepe y Olga hacen un trabajo en tres horas. Si Pepe lo hiciera solo, tardaría cuatro
horas. ¿Cuánto tiempo tardaría Olga en hacerlo sola?
Un mismo trabajo a realizar
Tiempo que tardarían juntos: 3h
¿tiempo que tardaría Olga?
Variables que intervienen:
el trabajo es fijo; varía el tiempo que tardan; y varía el ritmo de trabajo.
Relaciones:
(1) ritmo = trabajo / tiempo (2) Al trabajar juntos se suman los ritmos de trabajo
[ej.: 20 folios cada hora uno y 30 folios cada hora otro hacen 50 folios cada hora entre los
dos]
t = tiempo que tardaría Olga (horas) (1) Ritmo de Pepe:
1
4 Ritmo juntos:
1
3 Ritmo de Olga:
1
𝑡
Ecuación: (2) 1
3=
1
4+
1
𝑡
1
𝑡=
1
3−
1
4
1
𝑡=
1
12 t =12
(3t)2+ (4t)2=7.52
t=12: tiempo que tardaría Olga es 12 horas
juntos: 1trab./4h + 1trab./12h = 4trab./12h = 1trab./3h
[En 12 horas: Olga 1trab. + Pepe 3trab. = 4trab. juntos1trab. en 3h]
Solución: Olga tardaría 12 horas.
Esquema alternativo
Trabajo Tiempo
(h)
Ritmo
(1/h)
Olga 1 t 1/t
Pepe 1 4 1/4
Juntos 1 3 1/3
ACTIVIDADES DE ANÁLISIS
1. Carlos tiene una caja con 24 bolígrafos que reparte entre sus primos de la forma siguiente:
Rosa recibe la tercera parte. Sergio, la cuarta parte. Dani, la mitad de la tercera parte. Rocío, la cuarta
parte de la mitad.
a) ¿Cuántos bolígrafos recibe cada uno? ¿Sobra alguno? Escribe los que sobran mediante una
fracción.
2. Un cine tiene un aforo para 500 espectadores. Se han llenado los 7/10 del aforo.
a) ¿Cuántos espectadores han entrado?
b) ¿Qué fracción de aforo falta por llenar?
c) ¿Cuántos espectadores tendrían que entrar para llenar el aforo?
3. Sergio se comió 2/5 de una caja de 30 bombones.
a) ¿Cuántos bombones se comió?
b) ¿Qué fracción de bombones sobró y cuántos son?
Ritmo=Trabajo/Tiempo
Constante Se suma el ritmo de trabajo
𝟏
𝟑=
𝟏
𝟒+
𝟏
𝒕
4. María gasta en libros 3/5 partes de 500 euros que tiene ahorrados.
a) ¿Qué parte le queda sin gastar?
b) ¿Cuánto dinero ha gastado?
c) Si le deja a su hermana ¼ de lo que le queda, ¿qué cantidad de dinero tiene ahora María?
5. En un instituto hay 120 alumnos en segundo básico, de los que dos tercios practican algún
deporte. De aquellos que practican algún deporte, dos quintos juegan al fútbol, un quinto al
tenis y el resto a varios deportes.
a) ¿Cuántos alumnos practican algún deporte?
b) ¿Cuántos juegan al fútbol?
c) ¿Cuántos al tenis?
d) ¿Cuántos a varios deportes?
6. Los 2/5 de los alumnos del colegio practican baloncesto, ¼ tenis y el resto fútbol. ¿qué
fracción de alumnos practican fútbol? Si el número total de alumnos del colegio es 660,
calcular cuántos alumnos practican cada deporte.
7. Una caja de galletas contiene 40 galletas. Alberto se come una quinta parte de la caja y su
hermana Rocío 3/8. ¿qué fracción de la caja comen entre los dos? ¿Cuántas galletas quedan
en la caja?
8. Entre tres amigos, Elena, Alejandro y Raquel se repartes 1800 euros de modo que a Elena le
corresponde 1/3, a Alejandro 2/5 y a Raquel el resto de dicha cantidad.
a) ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
b) ¿Qué fracción del total le corresponde a Raquel?
9. En un grupo de estudiantes de Secundaria, los 4/10 van al cine, los 7/15 al teatro y el resto al
circo. ¿Qué fracción de estudiantes va al circo?
10. Tres obreros realizaron la tercera, la cuarta y la quinta parte de una obra, respectivamente.
¿Qué parte de la obra se ha terminado? ¿Cuánta obra queda aún por hacer?
11. Los estudiantes de 2º de básico de un colegio han elegido como segundo idioma: 9/12 francés,
2/15 alemán y 1/20 italiano.
a) ¿Cuál de los tres idiomas es el más elegido?
b) ¿Qué fracción de la clase no cursa segundo idioma?
12. En el cumpleaños de Paula la tarta se repartió de la siguiente forma: Blanca tomó un cuarto
de tarta, María un quinto, Jorge un tercio y Paula un sexto. ¿Qué fracción de tarta sobró?
13. En la comunidad de vecinos de Carlos, los ingresos obtenidos se emplean de la siguiente
forma: 1/8 en electricidad, ¼ en mantenimiento del edificio, 2/5 en combustible para la
calefacción y el resto en limpieza.
a) Hallar la fracción de ingresos que se emplean en limpieza.
b) Calcular en qué servicio se gasta más ingresos y en cuál menos.
14. Un padre deja los 3/5 de su herencia a su hija y 1/3 para su hijo. Además deja 40,000 euros a
una asociación benéfica. ¿A cuánto asciende el total de la herencia?
15. Un poste de luz tiene enterrado 3/5 de metro y sobresale 2,25 metros. ¿Qué longitud tiene el
poste?
16. Después de haberse estropeado las 2/9 partes de fruta de un almacén, aún quedan 63
toneladas. ¿Cuánta fruta había antes de estropearse?
17. Un jardinero siega por la mañana los 3/5 de una pradera de un parque. Por la tarde siega el
resto, que equivale a 4000 metros cuadrados. ¿Cuántos metros cuadrados tiene la pradera?
18. Juan ha gastado 5/12 del dinero que llevaba. Vuelve a casa con 28 euros.
a) ¿Cuánto ha gastado?
b) ¿Cuánto dinero tenía al salir de casa?
19. Un vendedor tiene un puesto de golosinas. Por la mañana vende la mitad de los caramelos
que tiene en una cesta. Por la tarde vende la mitad de los que quedaron por la mañana y ve
que le quedan aún 50 caramelos sin vender. ¿Cuántos caramelos tenía la cesta?
20. Una persona realiza 3/5 partes de un viaje en ferrocarril; los 1/8 del resto en coche y los 26
kilómetros restantes en motos. Calcular cuántos kilómetros recorre.
21. Una botella de limonada tiene tres cuartos de litro. Si un grupo de amigos ha comprado 20
botellas para celebrar un cumpleaños, ¿cuántos litros ha comprado?
22. Un recipiente de agua de 60 litros se vacía en botellas de ¾ de litro. ¿Cuántas botellas se
necesitan?
23. Un parque tiene un estanque cuadrado que mide de lado 9/6 metros.
a) ¿Cuánto mide su área?
b) ¿Cuánto su perímetro?
24. Un carpintero tiene un tablero de madera de 14/5 de metro de longitud. ¿Cuántas tablas de
6/5 de metro puede cortar del tablero?
25. Mario toma ¼ de litro de leche en el desayuno, 1/5 de litro en la comida, 2/10 para merendar
y 3/8 en la cena. ¿Cuánta leche toma cada día?
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA, INVERSA Y COMPUESTA
La regla de tres pretende resolver problemas de proporcionalidad, donde al estar
presente una incógnita, se pueda encontrar su valor, dependiendo de otras tres presentes.
REGLA DE TRES DIRECTA
Por preparar un campo de 7 hectáreas de superficie, un labrador cobra 21.315 € ¿Cuánto
cobraría si la superficie del campo midiera 12 hectáreas?
Por 7 Ha. Cobra 21.315 €.
Por 12 Ha. Cobrará X €.
Pasos a dar:
a) A más Hectáreas ,se cobra más
1.Tipo de proporcionalidad: Directa
b)Al doble de Hectáreas, doble paga
2.Cálculo
X
21315
12
7
.€ 540.36
7
2131512
xX
REGLA DE TRES INVERSA
Los soldados de un cuartel se colocan formando 9 filas de 40 reclutas cada una. ¿Cuántas
filas de 30 hombres cada una se puede formar?
A 9 filas. 40 reclutas.
A X filas 30 reclutas
Pasos a dar:
A más filas, menos reclutas por fila
1.Tipo de proporcionalidad Inversa
Al doble de filas, mitad de reclutas
2. Cálculo
40
309
X .filas 1230
409
xX
Observar el cambio de lugar que debe producirse
en la disposición de los datos cuando la proporcionalidad
es inversa.
ACTIVIDADES DE REGLA DE TRES SIMPLE
1) En una finca de 3 hectáreas se colocan 18 000 plantas. ¿Cuántas plantas necesitaré para un campo
de 12 ha, si las plantas han de estar con la misma separación que en la primera finca?
2) Si para repartir el vino de un barril en botellas de 0,75 litros, se necesitan 1040 botellas. ¿Cuántas
botellas de 0,65 litros se necesitarán?
3) Un automóvil que va a 90 km/h recorre 160 km. ¿Cuántos kilómetros recorrería si hubiese ido a
50 km/h?
4) La nave espacial Columbia, al despegar, recorre en 15 minutos 47.535 m. Si mantiene esa
velocidad, ¿cuánto tiempo tardará en alcanzar los 255.000 m de altura?
5) El cable de un globo cautivo está enrollado 72 veces en un eje y cada vuelta mide 4 m. Si el eje
tuviera 3 m, ¿cuántas vueltas daría el cable?
6) Cinco obreros realizan en 6 días una pared de 240 m de largo. ¿Cuántos días tardarían en realizar
la misma obra 12 obreros?
7) Con 25 m3 de agua un campesino riega las 4 ha de su propiedad. Si dispusiera de 125 m3 de
agua, ¿cuántas hectáreas podría regar?
8) Según las ordenanzas municipales de cierta ciudad lo máximo que puede construirse en
determinada zona corresponde a 28 pisos de 3 m de altura cada uno. ¿Qué altura deberá tener
cada piso si en dicha zona se desea construir un edificio de 30 plantas?
9) En las 24 horas de Le Mans un vehículo en la recta de tribuna alcanza una velocidad de 360 km/h
y la recorre en 12 segundos. ¿Cuánto tiempo emplearía si su velocidad fuera de 300 km/h?
10) Para pavimentar un gran hipermercado se han empleado 20604 baldosas cada una de las cuales
mide 1200 cm2 de superficie. ¿Cuántas baldosas se habrían utilizado si el tamaño de cada una
fuera de sólo 100 c m2?
11) El charrán del ártico es una de las aves que hace la migración más larga, ya que recorre 20.160
km. en 12 días. ¿Cuántos kilómetros recorre en los tres primeros días si lleva siempre la misma
velocidad?
12) El premio gordo de una lotería es 60 millones de pesetas por cada 2 500 ptas. jugadas. Si yo he
jugado 160 pesetas de lotería a ese número, ¿cuánto dinero me correspondería si mi número
resultara premiado?
13) Cada dos meses, en una granja de conejos nacen 245 gazapos. ¿Cuántos gazapos nacerán en un
año?
14) Un ganadero alimenta sus 150 reses durante 27 días con un camión de pienso; pero adquiere 30
reses más. ¿Cuántos días le durará el camión de pienso?
15) En una carretera se plantan 48 árboles, colocándolos cada 3 m. Si los colocamos cada 5 m,
¿cuántos árboles se plantarán?
16) Una mecanógrafa escribe realizando 1470 pulsaciones cada 7 minutos. ¿Cuántas veces toca las
teclas de su máquina en 100 segundos?
17) Un productor de cine para realizar una película de 5 000 m de largo gasta 12 750 m de película.
¿Cuántos metros gastaría para una película de 1 200 m de longitud?
18) En el comedor de un colegio se gastan, en los 20 días lectivos de un mes, 2540 barras de pan.
¿Cuál ha sido el gasto de una semana (5 días lectivos)?
19) Un bloque de cierto material de construcción de 7 m3 de volumen pesa 17,5 toneladas. ¿Cuánto
pesará otro bloque del mismo material de 20 m3 de volumen?
20) En la construcción de una carretera han trabajado 752 obreros durante 570 días. Si la obra hubiera
tenido que finalizar en 470 días, ¿cuántos obreros más se habrían necesitado?
REGLA DE TRES COMPUESTA
Para realizar una obra 40 obreros, trabajando 6 horas diarias, han necesitado 100 días.
¿Cuántos obreros, trabajando sólo 4 horas diarias se necesitarían para terminar la misma obra
en 120 días?
Magnitudes que intervienen:
Número de obreros Incógnita
Horas al día
Número de días
Planteamiento
Trabajando 6 horas al día durante 100 días se necesitan 40 obreros
Trabajando 4 horas al día durante 120 días se necesitan X obreros
Análisis de proporcionalidad:
Horas diarias y números de obreros
A más horas diarias se necesitan menos obreros Inversa
Al doble de horas diarias se necesitan la mitad de obreros
Días de trabajo y número de días
A más días de trabajo se necesitan menos obreros
Inversa
Al doble de días se necesitan la mitad de obreros
Cálculo
obrerosx
xxX
Xx 50
1204
10064040
100
120
6
4
Observa el cambio de lugar (en la
fracción) que sufren las magnitudes
inversamente proporcionales
Para alimentar las 248 máquinas de una fábrica durante 24 horas se gastan 89 280 euros. Si
trabajan 12 horas 324 máquinas iguales, ¿cuánto gastarán?
Magnitudes que intervienen:
Número de máquinas
Horas de trabajo
Gasto Incógnita
Planteamiento:
248 máquinas trabajando 24 horas gastan 89.280 €.
324 máquinas trabajando 12 horas gastan X €.
Análisis de proporcionalidad:
Número de máquinas y gasto que producen
A más máquinas se gasta más
Directa
Al doble de máquinas se produce el doble de gasto
Horas de trabajo y gasto producido
A más horas de trabajo más gastos se producen
Directa
Al doble de horas de trabajo doble de gastos
Cálculo
. 320.5824248
8928012324280.89
12
24
324
248ptas
x
xxX
Xx
Observa que no hay cambio de lugar (en la
fracción) de las cantidades
correspondientes a las magnitudes
directamente proporcionales
ACTIVIDADES DE REGLA DE TRES COMPUESTA
1) Para recorrer una distancia de 15 000 Km. un pájaro tarda 20 días, volando durante 9
horas diarias. ¿Cuántos días tardará en recorrer 2000 Km., si vuela durante 12 horas
diarias? (Sol.: 2 días)
2) Con el vino contenido en recipiente llenamos 63 vasos de 12 centilitros de capacidad.
Con el vino de otro recipiente que contiene la misma cantidad que el primero hemos
llenado 42 vasos. ¿Qué capacidad tiene cada uno de estos vasos? (Sol.: 18 cl.)
3) Los 14 depósitos para el suministro de agua a una población tienen la misma capacidad.
Para llenar 5 de ellos se necesitan 4 bombas que estén funcionando durante 10 horas. Si
queremos llenar todos los depósitos, ¿durante cuánto tiempo deberán estar funcionando
8 bombas iguales a las mencionadas antes? (Sol.:14 h)
4) He comprado 6 metros de cuerda que en total me han costado 80 €. ¿Cuánto me costarían
227 metros de dicha cuerda? (Sol.:3026.7€)
5) Cuatro grifos llenan en 12 horas dos depósitos de agua de 60 m3 de capacidad cada uno.
¿Cuánto tiempo tardarían 6 grifos, iguales a los anteriores, en llenar 3 depósitos de 80 m3
cada uno? (Sol.:16 h)
6) Durante 15 días una familia compuesta por 6 personas ha gastado 900€ en alimentación.
¿Cuánto gastaría una pareja en 20 días? (Sol.400 €):
7) Para pavimentar una calle de 600 m de largo y 24 m de ancho se han utilizado 36 000
adoquines. ¿Cuántos adoquines se necesitarían para otra calle de 500 m de largo y 30 m
de ancho? (Sol.:37.500 adoquines)
8) Por depositar 275.000 € en un banco me dan al año 15400 €. ¿Cuánto dinero me
entregarán si deposito 100 € durante ese mismo tiempo? (Sol.:5.6€)
9) Por labrar un campo de 1400 m de largo y 500 m de ancho se pagan 330€. ¿Cuánto habría
que pagar por labrar otro de 420m de largo y 90m de ancho? (Sol.:17.82€)
10) Veinte obreros han construido una piscina de 50 metros de largo. ¿Cuántos se necesitan
para construir en el mismo tiempo que la anterior otra piscina de 40 m de largo y que
tiene la misma anchura y la misma profundidad que la primera? (Sol.:16 obreros)
11) ¿Cuántos obreros serán necesarios para construir una piscina de 25.5 m de ancho, si 20
obreros realizan una de 30 m de ancho? (Ambas piscinas tienen la misma longitud y la
misma profundidad.) (Sol.:17 obreros)
12) Queremos construir una piscina en 60 días, para lo cual han de trabajar 20 obreros.
¿Cuántos serían necesarios para hacerla en sólo 40 días? (Sol.:30 obreros)
13) Si 20 obreros trabajando 10 horas al día acaban una piscina, ¿cuántos se necesitan si
trabajaran 8 horas diarias? (Sol.:25 obreros)
14) Para realizar una piscina de 50 m de largo y 30 m de ancho, se necesitan 20 obreros que
trabajan 10 horas al día. ¿Cuántos obreros, trabajando 8 horas diarias, construirán, en el
mismo tiempo, una piscina de 40 m de largo y 25,5 m de ancho? (Sol.:17)
15) Trata de calcular cuál será el peso de una persona de 40 años, si dicha persona a los 5
años de edad pesaba 22 Kg. (Sol.: No se puede)
16) Seis obreros que trabajan durante 8 horas diarias han necesitado 19 días para montar 1368
aparatos iguales. ¿Cuántos aparatos montarán 5 obreros trabajando diariamente 10 horas
durante 20 días? (Sol.:1500 aparatos)
17) En una granja avícola hay 5600 gallinas que ponen 11200 huevos en 12 horas de luz. Si
en la granja se sacrifican 2800 gallinas, ¿cuántos huevos habrá puesto durante tres horas,
el resto de las gallinas? (Sol.: 1400 huevos)
18) Para alimentar durante 24 días a 40 alumnos de un comedor escolar se necesitan 192
barras de pan. ¿Cuántas barras de pan habrá que comprar para alimentar a 65 alumnos
durante 80 días? (Sol.: 1040 barras)
19) ¿Cuántas personas habrá que contratar para recolectar 50 melones, trabajando 8 horas
diarias durante 10 días, si para recoger 120 melones se han necesitado 20 personas que
han trabajado 6 horas diarias durante 16 días? (Sol.:10 )
20) Para recoger el fruto de un campo de almendros, se necesitan 25 obreros trabajando 6
horas diarias durante 7 días. Si no disponemos más que de 15 obreros y queremos recoger
el fruto en 5 días, ¿cuántas horas diarias tendrán que trabajar? (Sol.: 14)
LÓGICA PROPOSICIONAL O LÓGICA DE ENUNCIADOS
LENGUAJE NATURAL, LENGUAJE ARTIFICIAL Y LENGUAJE FORMAL
Los lenguajes naturales, es decir, las distintas lenguas que habitualmente utilizan los
miembros de distintas comunidades humanas para comunicarse, poseen, como todo lenguaje,
un conjunto de símbolos (léxico) y una serie de reglas para manejarlos (sintaxis) y operar
con ellos (formación, concatenación y transformación de oraciones). Todos los lenguajes
naturales son el producto de muchos siglos de evolución y son tan infinitamente ricos en
matices que los mismos símbolos o expresiones pueden significar cosas diferentes en función
factores tales como el contexto, la entonación, la situación, etc. Estas ambigüedades, dobles
sentidos, vaguedades, relajación en el uso de las reglas… nos permiten construir paradojas,
chistes, metáforas, poemas, etc.
Los lenguajes naturales
poseen, sin duda, una gran riqueza y
capacidad expresiva que resulta
deseable, pero en determinados
momentos es preferible un lenguaje
menos ambiguo y, por tanto, más
preciso y operativo. Para el uso
científico, por ejemplo, los lenguajes
naturales presentan ciertas
deficiencias: desde el punto de vista
del léxico, falta de univocidad; desde
el punto de vista de la sintaxis,
relajación en las reglas; y desde el
punto de vista operacional, dificultad
para realizar cualquier cálculo.
Por este motivo, las distintas
ciencias construyen lenguajes
artificiales, asignando a sus
símbolos significados precisos y
unívocos, y estableciendo con precisión reglas operativas eficaces que permitan construir
razonamientos fiables. Se trata de ganar en exactitud y seguridad a costa de perder en
expresividad. La Física y la Química, por ejemplo, usan este tipo de lenguaje de forma que
una expresión tan metafórica como «el tiempo es oro», al traducirla a tal lenguaje –
«t = Au»– pierde todo su sentido. Por eso, tales lenguajes sólo se emplean en campos muy
restringidos.
Incluso puede haber ocasiones en las que el significado de los símbolos no nos
interese, sino más bien las relaciones que podamos establecer entre dichos símbolos, como
por ejemplo ocurre en las Matemáticas y la Lógica. Decimos entonces que estamos ante un
lenguaje formal, porque sólo interesa la forma, no el contenido o significado empírico de
sus símbolos. Lo único que cuenta es que la utilización de los símbolos, las fórmulas y las
operaciones se ajuste a las reglas establecidas.
LAS PROPOSICIONES Y LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Todos los lenguajes están construidos a partir de combinaciones de signos que reciben
el nombre de expresiones. Pero no cualquier combinación es válida, sino que dicha
combinación debe realizarse de acuerdo con una serie de reglas gramaticales
(morfológicas, sintácticas, etc.). Cuando una expresión del lenguaje natural es
gramaticalmente correcta y tiene un sentido completo recibe el nombre de oración.
Hay muchos tipos de oraciones en los lenguajes naturales: enunciativas,
desiderativas, de posibilidad, dubitativas, exhortativas, interrogativas, exclamativas, etc.
Aquí nos interesan las oraciones enunciativas, también llamadas enunciados o
proposiciones, que son aquellas oraciones que tienen un sentido completo y pueden ser
calificadas como verdaderas o falsas. La Lógica proposicional (denominada también
Lógica de enunciados) se ocupa de las proposiciones.
Tanto lógica como gramaticalmente, las oraciones pueden ser sometidas a análisis.
Por ejemplo:
«Las moscas son insectos.»
Gramaticalmente, podemos analizar esta oración comenzando por distinguir un sujeto
y un predicado. Lógicamente, podemos analizarla señalando que en ella se establece una
relación entre dos clases o conjuntos, en cuyo caso la interpretaremos como afirmación de
que los miembros de la clase de las moscas son también miembros de la clase de los insectos:
así se hace en la Lógica de clases.
En la Lógica proposicional, las proposiciones no se analizan, sino que se toman
como un todo, en bloque. Las proposiciones son los elementos últimos sobre los cuales opera
esta rama de la Lógica.
Las proposiciones «Las moscas son insectos.» y «La Tierra es un planeta.» son
proposiciones simples.
En cambio, «Las moscas son insectos y la Tierra es un planeta» y «Si las moscas son
insectos, entonces la Tierra es un planeta» son proposiciones complejas.
Una proposición simple es aquella que no puede descomponerse en partes que, a su
vez, sean proposiciones. Las proposiciones simples se denominan también atómicas.
Una proposición compleja –también denominada molecular– es aquella que puede
descomponerse en proposiciones simples. Las proposiciones complejas se componen,
pues, a partir de proposiciones simples por medio de partículas como «y», «si… entonces…»,
etc., que sirven para conectar o unir proposiciones entre sí.
En definitiva, la Lógica proposicional es aquella parte de la lógica que se ocupa
de los razonamientos tomando las proposiciones que los componen como un todo, sin
analizarlas, sin entrar en sus relaciones internas.
EL RAZONAMIENTO: VERDAD Y VALIDEZ
Un razonamiento es una serie de enunciados en la cual, a partir de unos enunciados
iniciales (premisas) y siguiendo unas reglas determinadas, se infiere una conclusión.
Por ejemplo:
En el mes de enero cada día anochece un poco más tarde.
Si estamos en el mes de enero, por lo tanto, mañana anochecerá un poco más tarde
que hoy.
Así pues, razonamiento es un proceso mental que se caracteriza porque en él se
produce el paso de uno o más enunciados (las denominadas premisas) a otro posterior (lo que
denominamos conclusión) que se deriva necesariamente de aquellos.
Denominamos premisas de nuestro razonamiento a cada uno de los enunciados que
utilizamos para defender la idea o enunciado que queremos demostrar.
Denominamos la conclusión de nuestro razonamiento al enunciado que intentamos
demostrar o defender y para el que hemos construido nuestro razonamiento.
Se dice que el razonamiento es válido si la conclusión se deduce necesariamente de
las premisas. En ese caso, si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también
será necesariamente verdadera. Un razonamiento, por tanto, es o no válido en virtud de su
forma o estructura, no en virtud de la verdad o falsedad de las premisas. Los enunciados
pueden ser verdaderos o falsos, pero los razonamientos sólo pueden ser válidos o no
válidos, correctos o incorrectos.
Veamos tal diferencia con un ejemplo. Partamos de dos razonamientos simples:
Proposición: Si tienes la gripe entonces tienes fiebre.
Premisa: No tienes fiebre.
Conclusión: Por lo tanto, no tienes la gripe.
Proposición: Si crece la inversión entonces disminuye el paro.
Premisa: No disminuye el paro.
Conclusión: Por lo tanto, no crece la inversión.
Observamos que:
Tienen distinto contenido: R1: medicina.
R2: economía.
Tienen la misma forma:
P1: Si A entonces B.
P2: No B.
C: Por lo tanto, no A.
Sustituimos las proposiciones por letras mayúsculas.
Por lo tanto, en los razonamientos hay que distinguir entre:
Forma: es la estructura lógica del razonamiento: el cómo se hayan relacionadas entre
sí las proposiciones en las premisas y la conclusión: qué relaciones lógicas existen entre ellas.
Contenido: es lo expresado por las premisas y la conclusión, el conjunto de
afirmaciones que éstas realizan del mundo, el conjunto de sucesos que éstas describen.
El objetivo de la lógica es decir qué tipo de razonamientos son correctos, y esto se
define exclusivamente en virtud de su estructura formal. La lógica prescinde del contenido
pues sólo analiza la corrección formal de los razonamientos. No corresponde a la Lógica
determinar la verdad o falsedad de los enunciados, de ello se ocupan los científicos o quienes
los propongan (dependerá del ámbito al que pertenezca el razonamiento). Tampoco le
importa si son verdaderos o falsos. Que, de hecho, las premisas sean verdaderas o falsas no
afecta a la validez del argumento, a su corrección formal.
Valor de Verdad
Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o
falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es vedad y el de una proposición
falsa es falso.
Dígase cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de vedad
de aquellas que lo sean.
a. p: Existe el Premio Nobel de la pereza.
b. q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida.
c. r: Teclee Escape para salir de la aplicación
d. s: Cinco más siete es grande.
Solución:
a. p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso
b. No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es
verdadera o falsa.
c. r no es una proposición ya que no es verdadera ni falsa. Es un mandato.
d. s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En
efecto, cinco niñas más siete niños es un número grande de hijos en una familia, sin
embargo cinco monedas de cinco centavos más siete monedas de un centavo no
constituyen una cantidad de dinero grande.
RAZONAMIENTO VÁLIDO
CON PREMISAS VERDADERAS
RAZONAMIENTO NO VÁLIDO
CON PREMISAS VERDADERAS Proposición: Todos los perros son mamíferos.
Premisa: Todos los caniches son perros.
Conclusión: Todos los caniches son mamíferos.
Proposición: Todos los primates son mamíferos.
Premisa: Todos los gatos son mamíferos.
Conclusión: Todos los gatos son primates.
EL LENGUAJE LÓGICO
El interés de la lógica es el análisis de los razonamientos en el ámbito formal. Los
razonamientos se hacen en el lenguaje cotidiano, también denominado “lenguaje ordinario
o natural. Puesto que el lenguaje natural está cargado de ambigüedades e imprecisiones
resulta difícil de analizar lógicamente.
La lógica necesita extraer del lenguaje natural su estructura formal, reduciendo su
variedad a unas cuantas expresiones lógico - formales. Para hacer esto con precisión la lógica
necesita crear un lenguaje artificial, con sus propias reglas de construcción, que sea el reflejo
de la estructura formal del razonamiento.
Todo lenguaje artificial (por ejemplo: las señales de tráfico, los iconos del ordenador,
etc.) está construido y pensado como medio para lograr un fin determinado. En el caso del
lenguaje formal, su fin es destacar en los razonamientos su estructura formal.
EL LENGUAJE FORMAL DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Las reglas de simbolización que nos permitirán pasar de las expresiones del lenguaje
natural a las del lenguaje formal (formalizar).
A) VOCABULARIO.
Está constituido por las variables proposicionales que simbolizan o representan las
proposiciones del lenguaje natural. Se denominan “variables” porque representan cualquier
proposición del lenguaje natural.
REGLA
Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se sustituirá por variables
proposicionales simbolizadas mediante las letras minúsculas: p, q, r, s, t, u, v, w. Si hubiera
más se pondrán subíndices. Ejemplos:
"Éste fue un verano caluroso": p
"La fidelidad es una quimera": q
"Al final de los tiempos resucitarán los cuerpos": r
"Tengo sueño": s
B) SÍMBOLOS DE ENLACE
Están constituidos por las constantes lógicas (se denominan también “conectivas” o
“juntores”) que representan las relaciones lógicas existentes entre las proposiciones.
Simbolizan los elementos del lenguaje natural que ponen en relación las diferentes
proposiciones. Hay tipos básicos de relación lógica entre proposiciones:
Operación Símbolo Significado
Negación
Conjunción o producto lógico
Disyunción o suma lógica
Implicación
Doble implicación
Diferencia simétrica o
Disyunción excluyente
~
“no …..” o “no es cierto que …
“…. y….”
“… o …” (en sentido incluyente)
“… implica …”, o “si… entonces …”
“… si y sólo si …”
“ … o …” (en sentido excluyente)
1) La negación.
Significa la negación de la proposición que ponemos a su derecha.
Las expresiones del lenguaje natural tales como "no", "no es cierto", "no es el caso que",
"es falso", "es imposible", etc. se sustituirán por el símbolo "~".
Ejemplos:
"No vendré a cenar esta noche p": ~p
"Es imposible que pueda olvidar lo sucedido q": ~q
"No es cierto que no se lo dijera r": ~~r
2) La conjunción.
Significa que ambas proposiciones suceden de forma conjunta
Las expresiones del lenguaje natural tales como "y", "ni", "pero", " que", "e", "mas",
una simple coma ",", etc. se sustituirán por el símbolo "".
Ejemplos:
"Viene cansado p y deprimido q: p q
" Ana quiere a Luís p pero no es tonta q": p ~q
"No es cierto que sea viuda p y no tenga hecha la cirugía q ": ~ (p ~q)
3) La disyunción.
Significa que sucede una proposición, sucede la otra, o suceden ambas. Es lo que se
denomina “disyunción inclusiva”, frente a la disyunción exclusiva, que usualmente
utilizamos en el lenguaje natural y que significa que sucede una u otra, pero no ambas a la
vez.
Las expresiones del lenguaje natural tales como "o", "o…o…", "bien…bien…",
"ya…ya…", etc. se sustituirán por el símbolo "v".
Ejemplos:
"O vamos al cine p o nos aburrimos soberanamente q ": p v q
"Es imposible que pueda volver p o olvidar lo sucedido q": ~ (p v q)
"O no es cierto que le gusten los niños p o tiene muy mala leche q ": ~p v q
4) El Condicional.
Significa que si se da la primera (a la izquierda de la flecha) entonces se dará la
segunda (a la derecha de la flecha). Es una relación de consecuencia entre dos
proposiciones: la primera es la condición (antecedente) y la segunda es el resultado
(consecuente).
En el lenguaje natural es habitual encontrarlas expresadas en orden inverso, por lo
que al simbolizar hemos de tener cuidado para entender bien el sentido de la relación lógica
expresada. Por ejemplo: "Sería sumamente feliz si os callarais" [ p q ] [siendo p: "os
callarais" y q: "Sería sumamente feliz"].
Las expresiones del lenguaje natural tales como "si…entonces", "…luego…", "…por
tanto…", "…en consecuencia…", "cuando", "…se infiere de…","…se deduce de…","…se
deriva de…","…se demuestra…", etc. se sustituirán por el símbolo " ".
Ejemplos:
"Si hubiera venido en coche p aun estaría buscando aparcamiento q ": p q
"Cuando traigas el taladro p, te arreglaré la cortina q": p q
"Si no cambias de hábitos p entonces se acabará cansando de ti q ": ~p q
5) El Bicondicional.
Significa que las dos proposiciones se implican mutua y necesariamente. Equivale a
un condicional en ambas direcciones: sólo ocurrirá la primera si sucede la segunda y sólo
sucederá la segunda si sucede la primera.
Las expresiones del lenguaje natural tales como "…si y sólo si…", "…equivale a…", "…es
igual a…", "…vale por…", "…es lo mismo que…", etc. se sustituirán por el símbolo "".
Ejemplos:
"Un pueblo es democrático p si y sólo si hay elecciones libres q ": p q
"Sólo si cambias de actitud p, estaré dispuesto a ir tus quejas q": p q
"Serás feliz p sólo si buscas el placer q y no te dejas esclavizar por los deseos r": p
(q ~r)
C) SIGNOS AUXILIARES.
a) Son las llaves, los paréntesis y los corchetes.
Indican cómo están agrupados los símbolos de una expresión de nuestro lenguaje
formal, y cuál es el símbolo de enlace principal en ella. Si no hay paréntesis, hay una
jerarquía para determinar el signo dominante (1º↔, 2º →, 3º Λ ó V). Ejemplo: p → r V q es
lo mismo que p → (r V q).
SINTAXIS: FÓRMULAS BIEN FORMADAS.
Todos los lenguajes se componen de unos símbolos y de unas reglas sintácticas que
nos indican qué combinaciones de símbolos son correctas y cuáles no lo son. Por ejemplo,
en castellano podemos decir:
“Mis amigos y yo voy al cine”.
La oración del ejemplo está mal formada porque no hay la concordancia debida entre
el número del sujeto (plural) y el número del verbo (singular). También en matemáticas hay
unas reglas que nos indican qué combinaciones de símbolos podemos hacer, de modo que si
nos presentaran lo siguiente:
%=4+(78-)
No sabríamos qué hacer simplemente porque la expresión está mal formada, no
respeta las reglas de formación de fórmulas matemáticas. Del mismo modo, cualquier
combinación de símbolos lógicos no constituye una fórmula bien formada. Así por ejemplo,
no están bien formadas las fórmulas
∧p
∨p ∨ q
p→~
etc…
No es difícil descubrir intuitivamente, a partir de ejemplos, qué fórmulas están bien
formadas y cuáles no, pero no está de más ofrecer las siguientes reglas para la formación
de fórmulas bien formadas (fbf):
Regla 1: Toda proposición atómica es una fbf.
Regla 2: Si A es una fbf, entonces ~A también es una fbf.
Regla 3: Si A y B son fbf, entonces (A∧B), (A∨B) y (A→B)
también son fbf.
En consecuencia, podemos obtener dos tipos de fórmulas: fórmula atómica y
fórmula molecular. La primera es una fórmula constituida tan sólo por una variable
proposicional (por ejemplo: p , q , r , t ...). La segunda es una fórmula constituida por una
variable proposicional y la negación, o por varias variables proposicionales unidas por una
o más conectivas (por ejemplo: ~p , p q , r v t s ...).
FORMALIZACIÓN
Formalizar “consiste en analizar las expresiones del lenguaje natural y traducirlas
al lenguaje formal reduciéndolas a su forma”. Su objetivo es reducir el razonamiento a su
estructura formal separándola de su contenido pues sólo ésta nos interesa para poder
determinar su validez.
La trascripción del lenguaje natural al lenguaje formal no es automática ni literal:
requiere un análisis minucioso del sentido de las expresiones que vamos a transcribir.
Se ha de tener en cuenta:
Sólo se formalizan las proposiciones, no las frases o expresiones incluidas en el
razonamiento que no lo sean por pertenecer a otros usos del lenguaje que no sea el
descriptivo. Esto es así porque esas expresiones carecen de valor lógico.
Por ejemplo: ¡Ay de mí!, ¡Ojala fuese así!, ¡Hazlo!, ¿Vendrá esta noche?,...
A veces en el lenguaje natural dos frases pueden significar lo mismo expresado a
través de otras palabras. En este caso se simbolizarán ambas con la misma variable
proposicional (siempre según el contexto).
Por ejemplo: "aumenta la temperatura corporal", "tiene fiebre" [ p ];
"Sacó más de cinco puntos en el examen", "aprobó el examen" [ q ].
Hay que tener cuidado, de igual forma, con una proposición y su contraria. Se
simbolizan con la misma variable proposicional pero añadiendo la negación.
Por ejemplo: "aprobaré" [ p ] , "suspenderé" [~p ].
Cuando aparezcan dos proposiciones unidas por un condicional hay que tener en
cuenta cuál es el antecedente y cuál es el consecuente, no siempre aparecen en este orden.
Para aclarar el sentido hay que tener presente qué expresa, ya que para que se dé el
consecuente (resultado) se ha de dar primero necesariamente el antecedente (condición).
Por ejemplo: "Escribiría un libro si tuviera tiempo" [ p q ] [siendo p: "tuviera
tiempo" y q: "Escribiría un libro"]. Un buen método es parafrasear la expresión que
queremos formalizar: decirla con otras palabras pero sin cambiarle el sentido para poder
aclarar éste último. Por ejemplo: "Si tuviera tiempo entonces escribiría un libro."
Pasos a seguir: esquema de un razonamiento.
Ejemplo: “Si me abandona, me sentiré muy solo. Si continúa conmigo, seguiremos
peleándonos sin parar. Si me siento solo o nos seguimos peleando continuamente, tendré una
fuerte depresión. Es obvio que, tanto si me deja como si sigue conmigo, entraré en una fuerte
depresión”.
Determinación de las premisas y la conclusión.
Destacamos y numeramos correlativamente en el razonamiento cada una de las
premisas. Normalmente, en el lenguaje natural aparecen unas separadas de las otras por un
punto y seguido.
La conclusión, que aparece normalmente al final (o al principio en raras ocasiones),
en el lenguaje natural está introducida por expresiones tales como: "Por lo tanto...", "En
consecuencia...", "Se deduce de esto...", "Por consiguiente...", etc.
Determinación de las variables proposicionales.
Subrayamos cada una de las proposiciones asignándoles una variable proposicional.
Así como las vamos subrayando, hacemos con ellas una lista y así, si se repiten, sabemos
cómo las hemos simbolizado y podemos asegurarnos que dos no sean la misma expresada
con otras palabras.
Si me abandona p me sentiré muy solo q. Si continúa conmigo ¬p seguiremos
peleándonos sin parar r. Si me siento solo q o nos seguimos peleando continuamente tendré
una fuerte depresión s. Es obvio que tanto si me deja p como si sigue conmigo ¬p entraré en
una fuerte depresión s.
Variables Proposicionales:
p: "me abandona"
q: "me sentiré sólo"
r: "nos seguiremos peleando continuamente"
s: "tendré una fuerte depresión"
Determinación de las conectivas.
Analizamos las relaciones lógicas existentes entre las proposiciones en cada una de
las premisas y en la conclusión simbolizándolas.
Realización del esquema del razonamiento.
Hacemos el esquema del razonamiento que contiene las premisas y la conclusión
simbolizadas y refleja su estructura formal.
Esquema del razonamiento:
P1: p q
P2: ~p r
P3: (q v r) s
_____________
C: (p v ~ p) s
Otros ejemplos:
La comida no le supo bien: ~p
Mañana es sábado y nos iremos a la playa: p ∧ q
Aunque tú no me quieras, yo te amo: ~p ∧ q
O bien te lo comes o no verás la tele: p ∨ ~q
O lo recoges todo o no vas de excursión y no te regalo el vestido: p ∨ (~ q ∧ ~ r)
Si vienes, no te lo olvides en casa: p → ~ q
Si no estuvo aquí el asesino, entonces no llegó a verle o lo supo demasiado tarde:
~ p → (~ q ∨ r )
No por mucho madrugar amanece más temprano: ~ ( p→ q )
Sólo si baja la Bolsa 15 puntos, deberás vender el 10% de las acciones de la empresa y no
comunicarlo al Consejo: p ↔ (q ∧ ~ r )
Sólo en el caso de que no sepas hacer el dibujo y haya dos preguntas en la 2ª casilla del
examen, deberás contestar únicamente a la primera de ellas: (~ p ∧ q) ↔ r
Si Pedro sabe hablar inglés, entonces no habla francés, aunque si no supiese hablar inglés,
tampoco hablaría francés: (p → ~ q) ∧ (~ p → ~ q)
Si llegas después de las 10, te encontrarás con la puerta cerrada y no podrás cenar:
p → (q ∧ ¬~r)
Juan abrirá la puerta y saldrá a la calle, sólo en el caso de que, si viene María con el coche,
no venga con ella Pedro: (p ∧ q ) ↔ ( r → ~ s )
No es verdad que si Antonio estudia, entonces María no trabaje: ~ (p → ~ q )
Sólo si tú no lo has matado, te dejaremos libre: ~ p ↔ q
ACTIVIDADES
Invente razonamientos expresados en lenguaje natural que respondan a las siguientes combinaciones:
1. Premisas Falsas - Conclusión Falsa. 2. Premisas Falsas - Conclusión Verdadera. 3. Unas Premisas Falsas y otras Verdaderas - Conclusión Falsa. 4. Unas Premisas Falsas y otras Verdaderas - Conclusión Verdadera. 5. Premisas Verdaderas - Conclusión Verdadera. 6. Premisas Verdaderas - Conclusión Falsa.
Formaliza los argumentos en enunciados lógicos e indica su valor de verdad.
1.- No es cierto que no me guste bailar.
2.- Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción.
3.- Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos.
4.- Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre.
5.- Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un loco.
6.- Si los elefantes volaran o supieran resolver raíces cuadradas, pensaría que estoy como una
regadera y dejaría que me internaran en psiquiátrico.
7.- Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que
ir a trabajar.
8.- O estás seguro y lo que dices es cierto o mientes como un bellaco.
9.- Si acepto este trabajo o dejo de pintar por falta de tiempo; entonces no realizaré mis
sueños. He aceptado el trabajo y he dejado de pintar. Por lo tanto, no realizaré mis sueños.
10.- Vinieron, pero llegaron muy tarde.
11.- Aunque va mal vestido, da gusto verlo.
12.- Si eres puntual, iremos juntos, pero si llegas tarde iré solo.
13.- Si ha sido él, o bien es un ingenuo o un delincuente; y si es un delincuente, irá a prisión.
14.- Sólo aprobaré Matemáticas si consigo que me presten los ejercicios de integrales.
15.- Tener malos pensamientos equivale a practicarlos.
16.- O estudias y trabajas o serás un desgraciado.
17.- Todo lo que tú dices es falso.
18.- No es verdad que todo lo que tú digas es falso.
19.- Es imposible que no sea cierto lo que dices.
20.- La riqueza ayuda a ser feliz, pero la cultura todavía más.
21.- Si eres licenciado, no es posible que no sepas leer ni escribir.
22.- Es imposible que una misma cosa sea y no sea.
23.- Un mineral es un metal si y sólo si es un buen conductor de la electricidad.
24.- Si no crees en Dios pero blasfemas, te estás contradiciendo.
25.- No es cierto que sólo aplicando la racionalidad tenga sentido la vida.
26.- ¿A qué hora vas a venir esta noche? ¡Ojalá vengas pronto!
27.- Siéntate de una vez. ¿No me has oído?
28.- Si voy al cine, me divertiré y no tendré que ponerme a estudiar. Así que voy al cine.
29.- O veo Antena 3 o Telecinco, pero es imposible que vea ambas a la vez.
30.- El libro está sobre la mesa, pero no he tenido tiempo para leerlo y resumirlo.
31.- Si no como ni duermo, me pondré enfermo.
32.- Si leo la prensa, estaré informado de los asuntos económicos, y si esto es así, invertiré
en bolsa con éxito. Por lo tanto, si leo la prensa me aseguraré el éxito en la bolsa.
33.- Que no es cierto que llueve y hace sol equivale a decir que no llueve o no hace sol.
34.- Irak dice que si los aviones norteamericanos sobrevuelan su territorio, los derribará. Si
esto último ocurre, la ONU endurecerá sus sanciones económicas contra Irak. Por lo tanto, si
los aviones norteamericanos sobrevuelan Irak, se llevarán a cabo las sanciones de la ONU.
35.- O la Televisión modifica sus esquemas y renueva su programación o se producirá una
huida masiva de telespectadores y veremos las calles inundadas de gente.
36.- Si se ganan las elecciones y nuestros representantes acceden al poder, confiaremos en
ellos si y sólo si cumplen sus promesas y el poder no les corrompe.
37.- Aristóteles nació en Estagira y fue tutor de Alejandro Magno. Pero si nació en Estagira
fue de nacionalidad macedónica. Por tanto Aristóteles fue de nacionalidad macedónica.
38.- O los libros de la Biblioteca de Alejandría contienen las enseñanzas del Corán o no las
contienen. Si contienen las enseñanzas del Corán son superfluos, y si son superfluos deben
ser quemados. Si no contienen las enseñanzas del Corán son nocivos, y si son nocivos deben
ser quemados. Por consiguiente, los libros de la Biblioteca de Alejandría deben ser
quemados.
39.- Si el Rh de la futura madre es negativo, debe analizarse inmediatamente después de cada
parto la sangre del recién nacido y, si ésta es Rh positivo, ha de administrarse a la parturienta
el suero apropiado si se desean evitar complicaciones a otros hijos.
40.- Si el número n es positivo, entonces n2 es positivo. Si n es negativo, entonces n2 es
positivo. N es positivo o negativo. En consecuencia, n2 es positivo.
TABLAS DE VERDAD
VALORES DE VERDAD DE LAS CONECTIVAS.
Una vez que hemos formalizado una proposición resulta mucho más fácil operar con
ella. Lo primero que podemos hacer con ella es averiguar en qué casos es verdadera y en qué
casos no. La Semántica es aquella parte del lenguaje que se ocupa de la relación entre los
símbolos y su significado, pero ya dijimos que a la Lógica no le interesa el significado
empírico de las proposiciones; lo único que le interesa de su significado es su valor veritativo:
su verdad o falsedad. Como la verdad de las proposiciones complejas depende del valor
veritativo de sus proposiciones simples (variables) y del tipo de relación que las une
(constantes o conectores), la Lógica usa un método para demostrar semánticamente una
fórmula cualquiera: el método de las tablas de verdad. Este método consiste en
calcular en qué casos una proposición compleja es verdadera y en qué casos es falsa.
Interpretar un símbolo consiste en darle un significado. La Lógica proposicional,
como la mayoría de los tipos de lógica, es una lógica bivalente, lo cual quiere decir que cada
proposición simple o variable sólo puede tener dos interpretaciones o significados:
Verdadero (1) o Falso (0). Un caso es una posible combinación de tales valores en sus
variables, de forma que mientras más variables tenga una fórmula más casos posibles habrá.
Así, en una fórmula que contenga una única variable (por ejemplo, p → p) sólo hay
dos casos posibles: que “p” sea verdadera o que sea falsa, mientras que en una que contenga
dos variables (p → q) hay cuatro casos posibles: 1) que ambas sean verdaderas; 2) que ambas
sean falsas; 3) que “p” sea verdadera y “q” falsa; y 4) que “p” sea falsa y “q” verdadera. En
una fórmula de tres variables hay ocho posibles casos; en una de cuatro, dieciséis, y así,
sucesivamente. Hay una fórmula para hallar el número de casos (x) de una proposición
molecular: x = 2n, donde n es el número de variables de la fórmula.
Cada uno de los conectores o constantes lógicas se define semánticamente mediante una
tabla de verdad que muestra sus posibles valores veritativos según los casos. Estas son las
tablas de verdad de los conectores y del negador:
NEGADOR:
A ~ A
V F
F V
CONJUNTOR:
A B A Λ B
V V V
V F F
F V F
F F F
DISYUNTOR:
A B A V B
V V V
V F V
F V V
F F F
IMPLICADOR (O CONDICIONAL):
A B A → B
V V V
V F F
F V V
F F V
COIMPLICADOR
(O BICONDICIONAL)
A B A ↔ B
V V V
V F F
F V F
F F V
CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE VERDAD
Cualquier fórmula tiene su propia tabla de verdad, que variará en función de la
cantidad de proposiciones atómicas que la integran y de su propia complejidad lógica. Para
realizar la tabla de verdad de una fórmula, hay que determinar, en primer lugar, de cuántas
columnas (vertical) y filas (horizontal) constará.
Para determinar el número de columnas de una tabla, es necesario recurrir al
concepto de historia formacional de una fórmula. La historia formacional de una fórmula es
el conjunto de todas sus subfórmulas, incluyéndola a ella misma. Es algo así como desandar
el camino que nos ha llevado desde las proposiciones atómicas a la proposición molecular a
analizar.
Supongamos, por ejemplo, que tenemos la fórmula p ∧ q, su historia formacional
será el conjunto {p, q, p ∧ q}. Otro ejemplo, en el caso de la fórmula (p ∧ q) → (r ∨ ~ q),
su historia formacional será el conjunto {p, q, r, ~ q, p ∧ q, r ∨ ~ q, (p ∧ q) →(r ∨ q)} formado
por 7 elementos.
Una vez hemos determinado la historia formacional de una fórmula, podemos
continuar con la confección de su tabla de verdad, que tendrá tantas columnas como
elementos tenga la historia formacional de la fórmula, y a cada columna le corresponderá
uno de esos elementos, desde los más simples hasta los más complejos. Así, la tabla de
verdad de la fórmula anterior (p ∧ q) → (r ∨ ~ q) tendrá 7 columnas.
Determinar el número de filas de la tabla es fácil, pues sólo debemos aplicar la
siguiente fórmula: Número de filas de la tabla = 2n, donde n es el número de proposiciones
atómicas de que consta la fórmula. Así, si observamos la historia formacional de la fórmula
(p ∧ q) → (r ∨ ~ q), observaremos que consta de las 3 proposiciones atómicas p, q y
r (recordemos que las proposiciones que se repiten sólo deben ser contadas una vez).
Aplicando la fórmula arriba indicada obtenemos que nuestra tabla debe tener 23 filas,
es decir, 8 filas. Por supuesto, a estas 8 filas habrá que añadir una, que será la primera, que
rellenaremos con las subfórmulas de la historia formacional. La tabla quedará como sigue:
p q r ~ q p∧q r∨~ q (p∧q)→(r∨~ q)
Es momento de completarla. En primer lugar, tendremos que completar las columnas correspondientes a las proposiciones atómicas, pues el valor del resto de celdas de la tabla dependerá de los valores de las proposiciones atómicas. Olvidémonos, de momento, de las columnas correspondientes a fórmulas moleculares y fijémonos sólo en las columnas de las fórmulas atómicas:
p q r
En primer lugar, lo que haremos es dividir la primera columna en dos partes iguales y completar la primera de esas partes con ‘1’ o V y la segunda con ‘0’ o F. En este caso tenemos 8 filas, de modo que las 4 primeras filas de la columna correspondiente a p se completarán con ‘V’ y las cuatro siguientes con ‘F’. Si en vez de 8 filas tuviéramos 16, la operación sería semejante, aunque en vez de dos grupos de 4, tendríamos dos grupos de 8, uno con ‘1’ y el otro con ‘0’. En nuestro caso la tabla quedará así:
p q r V V V V F F F F
Si hemos dividido en 2 partes la primera columna, la segunda la dividiremos en 4
partes iguales y completaremos con ‘V’ la primera, con ‘F’ la segunda y así sucesivamente
hasta agotarlas. En este caso, como tenemos 8 filas por columna y 8/4=2, dividiremos la
columna correspondiente a q en cuatro partes de 2 celdas cada una y las completaremos como
se ha indicado, de modo que obtendremos lo siguiente:
p q r V V V V V F V F V V V V V F V F
Dividida la primera columna en 2 partes y la segunda columna en 4, dividiremos
la tercera en 8 partes y las completaremos con ‘V’ y ‘F’ alternativamente (nótese que las
columnas han sido divididas, respectivamente por 21, 22 y 23, de modo que si hubiera una
cuarta columna correspondiente a una cuarta fórmula atómica, sería dividida por 24, y así
sucesivamente). Al final tendremos:
p q r V V V V V F V F V V F F V V V V V F V F V V F F
Como podemos observar, mediante este procedimiento hemos obtenido todas las
combinaciones posibles de valores de verdad de las fórmulas atómicas de nuestra tabla, que
ahora tendrá este aspecto:
p q r ~ q p∧q r∨~ q (p∧q)→(r∨~ q)
V V V V V F V F V V F F V V V V V F V F V V F F
Queda ahora por completar las columnas correspondientes a las fórmulas
moleculares. Como sabemos, el valor de verdad de estas fórmulas dependerá del valor de
verdad de las fórmulas atómicas que las integran. Comencemos por la columna
correspondiente a ~q. Sabemos, por la tabla de verdad de la negación, que cuando q es V, ~q
es F, y viceversa. En consecuencia, asignaremos a cada celda de la columna ~q un valor en
relación con el valor que para esa fila tenga la columna q. La tabla quedará como sigue:
p q r ~ q p∧q r∨~ q (p∧q)→(r∨~ q)
V V V F V V F F V F V V V F F V V V V F V V F F V F V V V F F V
Para completar la columna correspondiente a p ∧ q, debemos aplicar la tabla de
verdad de la conjunción a cada par de valores de las columnas correspondientes a p y a q de
modo que obtenemos la siguiente distribución de valores de verdad:
p q r ~ q p∧q r∨~ q (p∧q)→(r∨~ q)
V V V F V V V F F V V F V V F V F F V F F V V F F F V F F F F F V V F F F F V F
A continuación hay que completar la columna correspondiente a la fórmula r ∨ ~ q.
El primer término de la disyunción es r, por lo tanto deberemos atender a los valores de la
columna r para establecer los de (r ∨ ~ q). Pero como vemos, el segundo término que hay
que tener en cuenta es ~ q, esto significa que tenemos que basarnos en los valores de la
columna ~ q y no en los de la columna q. Siguiendo la tabla de verdad de la disyunción,
quedará como sigue:
p q r ~ q p∧q r∨~ q (p∧q)→(r∨~ q)
V V V F V V V V F F V F V F V V F V V F F V F V F V V F F V F V F F F F F F V V F V F F F V F V
Para completar la última columna, correspondiente a la fórmula entera, aplicaremos
la tabla de verdad del condicional, tomando como referencia las columnas correspondientes
a (p ∧ q) y a (r ∨ ~ q) de modo que obtenemos:
p q r ~ q p∧q r∨~ q (p∧q)→(r∨~ q)
V V V F V V V
V V F F V F F V F V V F V V V F F V F V V F V V F F V V F V F F F F V F F V V F V V F F F V F V V
Contingencias, tautologías y contradicciones
Consideremos las tablas de verdad de las fórmulas (p→q), (p∨¬p) y ( p∧¬p),
respectivamente:
p q p→ q
V V V V F F F V V F F V
p ~ p p ∧ ~ p
V F F
F V F
p ~ p p ∨ ~ p
V F V
F V V
De las tres fórmulas analizadas, sólo podemos afirmar con absoluta certeza la verdad
de (p ∨ ~p), pues, como observamos, sea cual sea el valor de sus componentes, la fórmula
resulta ser siempre verdadera. A este tipo de fórmulas las llamamos tautologías, y son
consideradas verdades lógicas.
Por otra parte, la fórmula (p ∧ ~p) es el caso opuesto a la anterior, pues para todos los
valores de sus subfórmulas, resulta ser falsa. A estas fórmulas las llamamos contradicciones.
En efecto, diga p lo que diga, si afirmo (p ∧ ~p) me estoy contradiciendo y por lo tanto mi
afirmación tiene que ser necesariamente falsa.
El tercer tipo de fórmulas son aquéllas cuya verdad o falsedad no puede decidirse
simplemente por medios lógicos, como la tabla de verdad, sino que es necesario el recurso a
la observación. Es el caso de la fórmula (p→q). Sabemos que la fórmula p ∨ ~p es siempre
verdadera, signifique p lo que signifique, y también sabemos que p ∧ ~p es siempre falsa,
valga p lo que valga; y esto lo sabemos únicamente mediante el método lógico de la
tabla de verdad. Pero la tabla de verdad de p→q nos dice que la fórmula puede ser verdadera
o puede ser falsa, y nos indica en qué casos es verdadera y en qué casos es falsa, pero
no nos resuelve el problema de si es efectivamente verdadera o falsa. Este tipo de fórmulas
son contingencias (o indeterminaciones) porque no son ni necesariamente verdaderas ni
necesariamente falsas, sino que su verdad o falsedad es relativa, depende del significado de
las fórmulas atómicas y es, por lo tanto, contingente.
ACTIVIDADES CON TABLAS DE VERDAD
Construya las tablas de verdad de las siguientes fórmulas.
1. p → ~ p 2. q v ~ p 3. (p ^ q) v ~ p 4. ~ (p ^ q) ↔ (~p v ~ q) 5. [ p (q ↔ r) ^ (~p v r)]
6. (p v q) ~ p 7. [ p ^ (q v r)] [ (p ^ q) v (p ^ r)] 8. [ (~pq) ^ (qr)] (~p r) 9. [ (p ^ q) v (r p)] (~p ^ ~ r) 10. [p (q v r)] ↔~ [p (q v r)]
11. [ (p ~ q) ^ r] v ~~ (p↔ r)
DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE LOS RAZONAMIENTOS MEDIANTE
TABLAS DE VERDAD.
Todos los razonamientos argumentos pueden convertirse en un condicional,
pues, después de todo, lo que un argumento está afirmando es que si las premisas son verdaderas,
entonces la conclusión también lo es, o dicho de otro modo:
P1 ∧ P2 ∧ … n→ C
Es decir, un argumento es, en realidad, un condicional en el que el antecedentes la
conjunción de todas las premisas (P1 ∧ P2 ∧…∧ Pn) y el consecuente es la conclusión (C).
Como sabemos, la tabla de verdad del condicional nos dice que éste
sólo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente
falso, y verdadero en el resto de casos.
Esto coincide completamente con la definición de argumento válido, según la cual,
una argumento será válido exactamente en los mismos casos en que el condicional que le
corresponde lo sea. Como un condicional no puede ser verdadero si el antecedente es
verdadero y el consecuente falso, un argumento no podrá ser válido si las premisas
son verdaderas y la conclusión falsa.
No siempre es fácil averiguar intuitivamente si un argumento es válido o no,
por lo que en ocasiones es necesario recurrir a métodos más fiables que la intuición.
Dado que podemos convertir cualquier argumento en un condicional, podemos usar
el método de las tablas de verdad para averiguar si un argumento dado
es válido o no. Evidentemente, un argumento sólo será válido cuando el condicional
correspondiente sea una tautología y no será válido en el resto de casos
(si es una contradicción o si es una contingencia). Veamos esto con dos ejemplos.
Evaluando el primer ejemplo:
Premisa 1) Si estudio entonces aprobaré.
Premisa 2) No he estudiado.
Conclusión: No aprobaré.
Lo primero que debemos hacer para evaluar o decidir si
el argumento es válido o no, es formalizarlo:
Premisa 1): p → q (si estudio entonces aprobaré)
Premisa 2): ¬p (no estudio)
Conclusión: ¬q (no apruebo)
En segundo lugar, tenemos que convertir el argumento en un condicional. Como
hemos visto, el antecedente del condicional estará formado por la conjunción de todas las
premisas, y el consecuente por la conclusión, de modo que obtenemos lo siguiente: [(p→q)
∧¬p]→q.
Éste es, en consecuencia, el condicional que le corresponde al
argumento del ejemplo. Es el momento de hacer su tabla de verdad, que quedará como sigue:
p q ¬p p→q (p→q)∧¬p [(p→q)∧¬p]→q
V V F V F V V F F F F V F V V V V V F F V V V F
Como vemos, la tabla de verdad nos revela que el condicional analizado es
una contingencia, lo que significa que puede ser verdadero o no,
es decir, que es posible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa.
Evaluando el segundo ejemplo:
Premisa 1) Si Alicia llega tarde a casa, será castigada.
Premisa 2) Alicia ha llegado tarde a casa.
Conclusión: Alicia será castigada.
Como en el caso anterior, obtenemos el condicional que le corresponde al argumento que
vamos a evaluar, que, tras formalizar cada una de las premisas y la
conclusión, quedará como sigue: [(p→q)∧p]→q
Y al realizar la tabla de verdad correspondiente obtenemos:
p q p→q (p→q)∧p [(p→q)∧p]→q
V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V
La tabla de verdad nos indica que la fórmula evaluada es una tautología, por lo tanto,
podemos concluir que el argumento correspondiente es válido, y la tabla de verdad
correspondiente es la prueba de su validez.
ACTIVIDADES CON TABLAS DE VERDAD
Lea las siguientes fórmulas e indicando si se trata de una tautología, indeterminación o contradicción.
1. p q v r
2. (p q) v r
3. p (q r)
4. p ¬ q r
5. (p v r) q
6. p r s
7. p r v s
8. p ( r s)
LAS FALACIAS
Vamos a ver un tipo de razonamientos que no pueden ser válidos desde ningún punto de
vista. Para determinar su no validez no es necesario utilizar el cálculo lógico basta con poner un
poco de atención y un poco de práctica.
Es una forma de razonamiento que parece correcta pero que resulta no serlo cuando se
analiza cuidadosamente.
Algunos razonamientos son tan claramente incorrectos que no engañan a nadie, pero en
lógica se reserva el nombre de falacia para aquel razonamiento que, aunque incorrecto, es
"persuasivo", tiene una apariencia de corrección.
En ocasiones su incorrección surge por una falta de atención a la materia, es decir,
el asunto o tema del razonamiento, no siendo dicha falta de atención fácil de ser detectada
por aquellos que no dominan el tema. En otras ocasiones viene dada por errores de
razonamiento provocados por la inadvertencia o la ambigüedad del lenguaje usado para
realizarlo.
Si se hace a sabiendas, con el ánimo de engañar, recibe el nombre de sofisma. El
origen de esta palabra está en la utilización del lenguaje que hicieron algunos pensadores (siglo
V de a. C.) de los denominados sofistas. Maestros de la retórica y la elocuencia, y poseedores
de un saber enciclopédico (dominaban casi todos los terrenos del saber), algunos de los sofistas,
se especializaron en ganar pleitos utilizando su gran dominio del lenguaje y el saber. Fue el uso
continuo de falacias por parte de algunos de estos pensadores lo que hizo aparecer el término
“sofisma”.
TIPOS DE FALACIAS.
Nos centramos en las denominadas falacias de pertinencia, que tienen como
característica común a todas ellas el que sus premisas carecen de atenencia lógica con respecto
a la conclusión que quieren establecer. Sus premisas no son pertinentes, es decir, no son
apropiadas para poder justificar la conclusión.
1.- Argumentum ad populum.
Es un intento de ganar el asentimiento popular para una conclusión despertando
pasiones y el entusiasmo del público, sin dar razones pertinentes y sin argumentar con
pruebas. Es el recurso preferido del publicista y el demagogo. (También el preferido de
algunos sofistas)
Por ejemplo: "X, para gente inteligente", “La gente que sabe utiliza X”, “Porque yo no
soy tonto” o "Un discurso apologético sobre la juventud con la intención de manipularlos"
2.- Argumentum ad baculum.
A veces si no se consigue adulando se busca el otro extremo: la amenaza.
Significa "al bastón".
A. Amenaza velada.
Se comete esta falacia cuando se apela a la fuerza o a la amenaza para provocar la
aceptación de una conclusión. No se debe confundir con una simple amenaza, ha de tener la
forma de un razonamiento y estar constituido por proposiciones. Por ejemplo, no sería una
falacia de este tipo:
"Debes estudiar, ya que si no te pondré un cero"
Sería una falacia de este tipo:
"Es bueno que el alumno estudie, ya que así lo afirma el profesor, que es quien pone
la nota".
Su esquema es el siguiente:
B. Consecuencias catastróficas.
Otra forma de plantearla es hacer derivar consecuencias catastróficas, desastrosas
o negativas del hecho de no aceptar la conclusión que nosotros proponemos.
3.- Argumentum ad hominem.
En otras ocasiones no se tienen argumentos y se intenta desautorizar a quien defiende
una postura distinta a la nuestra en vez de dar razones que intenten demostrar nuestras ideas.
Significa "argumento dirigido contra el hombre". En lugar de refutar la verdad de
lo que se afirma se ataca a la persona que hace la afirmación. Hay dos tipos:
A. Ofensivo.
Por ejemplo:
"Los ecologistas afirman que los vertidos tóxicos son peligrosos. Pero los ecologistas
siempre han sido unos ingenuos. Por lo tanto, es falso que los vertidos sean peligrosos."
A afirma "p"
A es una persona que tiene algún tipo de poder
__________________________________________________________
Por lo tanto, "p" es verdadero
A afirma "p"
No aceptar “p” tendría causas terribles y desastrosas
__________________________________________________________
Por lo tanto, "p" es verdadero
Su esquema es:
B. Circunstancial.
Cuando se refuta la afirmación de una persona argumentando que su opinión no es fiable
por hallarse la persona en determinadas circunstancias que invalidan su opinión. Es cuando se
dice de alguien que es juez y parte a la vez.
Por ejemplo:
"Los empresarios de las compañías eléctricas afirman que las centrales nucleares son
seguras y no contaminan. Pero claro, éstos tienen grandes cantidades de dinero invertidas en las
centrales nucleares. Por lo tanto, su afirmación es falsa.
Su esquema es:
4.- Argumentum ad verecundiam.
Muchas veces que nos encontramos sin razones para argumentar recurrimos a lo que ha
dicho gente que es famosa o prestigiosa, a lo que hemos oído a alguien que para nosotros tiene
autoridad.
Cuando el niño pequeño dice "pues mi papá dice..."
Significa "apelación a la autoridad" y se comete cuando se recurre al sentimiento de
respeto (intelectual o de cualquier otro tipo) por alguna persona para ganar el
asentimiento a una conclusión.
No todos los razonamientos de este tipo son falaces. A veces en una discusión recurrir
a la opinión de un experto puede apoyar nuestras afirmaciones. Se incurre en una falacia
cuando:
A afirma "p"
A no es fiable (por diversos motivos)
__________________________________________________________
Por lo tanto, "p" es falso.
A afirma "p"
A no es fiable (por sus circunstancias)
__________________________________________________________
Por lo tanto, "p" es falso.
1. La apelación a la autoridad pretende establecer una validez absoluta del
argumento. Es muy usado por todos los movimientos religiosos, dogmáticos y
fanáticos. Un ejemplo es la infabilidad papal, hay quien afirma que sólo la posee en
asuntos teológicos y hay quien la extiende a todo tipo de asuntos.
2. Cuando se apela a la opinión de un especialista que, por muy entendido que sea
en otros asuntos, no lo es en el que se está tratando.
Por ejemplo:
Todos los anuncios en los que un famoso recomienda algo:
"Michael Jordan es el mejor jugador de baloncesto del mundo y dice que los calzoncillos
X son muy cómodos. Por lo tanto, éstos son muy cómodos".
El esquema es:
5.- Argumentum ad ignorantiam.
Cuando se pretende que porque algo no se sepa o no se haya probado que es
verdadero, entonces es falso o viceversa: que es verdadero porque no se ha demostrado
que es falso.
Por ejemplo:
1. Nadie ha podido demostrar que Dios existe, por lo tanto, Dios no existe.
2. Nadie ha podido demostrar que Dios no existe, por lo tanto, Dios existe.
Su esquema es:
6.- Argumentum "Tu quoque".
Significa "tú también", cuando no se presentan razones oportunas para replicar
una acusación, sino que en su lugar se devuelve la ofensa al acusador.
Por ejemplo:
A afirma "p"
A es una persona que tiene un cierto prestigio, saber o autoridad.
__________________________________________________________
Por lo tanto, "p" es verdadero.
No hay prueba de que "p" es verdadero ( o falso)
__________________________________________________________
Por lo tanto "p" es falso (o verdadero)
Ante la acusación: a un alumno de estar fumando en lugares no permitidos.
Responder: que los profesores también lo hacen.
Su esquema es:
7.- Falacia Ex populo.
Se defiende un determinado punto de vista alegando que todo el mundo o mucha gente
está de acuerdo con esa opinión.
Por ejemplo:
"La mayoría de la gente tiene un teléfono móvil, por lo tanto el teléfono móvil es útil"
Su esquema es:
8.- Falacia de las Preguntas Complejas.
Consiste en utilizar preguntas que comportan presuposiciones con la finalidad que
el interlocutor admita una afirmación que puede ser utilizada contra él.
Por ejemplo:
"¿Has dejado de hablar?" (Sea cuál sea la respuesta se estará admitiendo que estaba
hablando)
"¿No te arrepientes de haber cometido un crimen tan horrendo?" (Responda lo que
responda da por sentado que el crimen es efectivamente horrendo)
9.- Falacia de la Falsa Causa.
Por una simple coincidencia entre dos fenómenos se establece sin que haya una base
suficiente una conexión causal entre ellos.
Por ejemplo:
"El hecho que haya tocado dos veces seguidas la lotería en Sort es una prueba de que
los números de lotería comprados a Sort tienen más probabilidades de ser premiados"
A hizo "p"
__________________________________________________________
Luego que yo haga "p" es válido.
La mayoría de la gente piensa "p"
__________________________________________________________
Por lo tanto "p" es cierto.
Su esquema es:
10.- Falacia del Argumento Circular.
Se denomina también Petición de principio (Petitio principii) Es cuando las
premisas presuponen la conclusión que se pretende demostrar. En la demostración se
utiliza la misma conclusión como premisa aunque de manera implícita.
Por ejemplo:
La justificación del principio de inducción a partir del mismo principio de inducción:
"El principio de inducción funciona porque ha funcionado bien en la mayoría de los casos".
"La porcelana se rompe porque es frágil"
"La gasolina arde porque es inflamable”
ACTIVIDADES DE FORMALIZACIÓN
Formaliza los argumentos siguientes y construye sus tablas de verdad correspondientes:
1. Si trabajo, gano dinero, y si estoy ocioso, me divierto. O bien trabajo o bien estoy ocioso.
Luego, o gano dinero o me divierto.
2. Si trabajo, no me divierto, y si estoy ocioso, no gano dinero. O bien trabajo o bien estoy
ocioso. Luego, o no gano dinero o no me divierto.
3. Si alguien es sabio, es una persona inteligente. Si una persona es inteligente, entonces calla
sobre aquello que no sabe. Por tanto, si alguien es sabio, calla sobre lo que no sabe.
4. Si hace frío, el lago se helará. El lago se heló. Por tanto, hizo frío.
5. Si los jóvenes de izquierdas apoyan a Zapatero, renuncian a su programa de
reivindicaciones. Y si combaten a Zapatero, entonces favorecen a la oposición del Partido
Popular. Pero, una de dos: o apoyan a Zapatero o lo combaten. Por consiguiente, habrán de
renunciar a su programa de reivindicaciones o favorecer a la oposición del Partido Popular.
6. O el animal no es un pájaro o tiene alas. Si el animal es un pájaro, entonces pone huevos.
El animal no tiene alas. Por tanto, no pone huevos.
7. O ahorro el sueldo cada mes o me lo gasto para vivir. Si ahorro, no puedo vivir. Pero si
quiero vivir no puedo ahorrar. Por tanto, no es posible vivir y ahorrar.
Sucede el hecho "p" y a continuación ocurre el hecho "q"
__________________________________________________________
Por lo tanto, "p" es la causa de "q".
CONJUNTOS
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS
Conjunto: Término básico no definido.
Concepto intuitivo: Lista, colección o clase de objetos, bien definidos.
Notación: por letras mayúsculas. Sus elementos por letras minúsculas.
Se puede definir:
Por extensión (o forma tabular): se enumera cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplo: A = {-2,1,3,4}
Por comprensión (o forma constructiva): cuando se enuncia una propiedad que deben
tener sus elementos.
Ejemplo: B = {x/x es número racional}
C = {x/x = 2n-1 + 1, nN}
Relación de pertenencia: Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto
se utiliza los signos y respectivamente.
Conjuntos numerables y no numerables: Un conjunto es numerable si consta de un
cierto número de elementos distintos donde el proceso de contar puede acabar, si no acaban
el conjunto es no numerable.
Conjuntos numerables
Conjunto vacío: Carece de elementos. Se denota por el símbolo ó { } y se representa
por A AxAxx
Conjunto unitario: Es el que tiene un solo elemento.
Conjunto universal: Es un conjunto que contiene todos los conjuntos que se están
tratando, (también se le conoce como Referencial). Símbolo: U y se representa por U =
{x/x A x A; siendo A cualquier conjunto}
Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos
elementos. Es decir, A es igual a B si cada elemento que pertenece a A pertenece también a
B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. Se denota la igualdad de los
conjuntos A y B por A = B.
Subconjunto: sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es un subconjunto de B, (A
B), si y solo si todo elemento de A es también elemento de B. : símbolo de subconjunto
o contenencia, inclusión.
Simbólicamente: BxAxxBA
BA se lee A es un subconjunto de B o AB B es un superconjunto de A
BA se lee A no es un subconjunto de B o B no es un superconjunto de A
Propiedades de la inclusión:
El conjunto vacío, , se considera subconjunto de todo conjunto.
Si A no es subconjunto de B, es decir, BA ; entonces hay por lo menos un elemento
de A que no es elemento de B.
Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, es decir, si A es cualquier conjunto
entonces AA
Con la definición de subconjunto se puede dar de otra forma la definición de la
igualdad de conjuntos; así:
Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y sólo si BA y AB .
Simbólicamente: ABBABA
La igualdad de conjuntos es una relación de equivalencia.
Subconjunto propio: Ya que todo conjunto A es subconjunto de sí mismo, se dice
que B es un subconjunto propio de A, si:
B es un subconjunto de A, y
B no es igual a A
Es decir, B es subconjunto propio de A si: AB y AB
En algunos textos “B es subconjunto de A” se denota por AB , y “B es subconjunto
propio de A”, se denota por AB
Comparabilidad: Dos conjuntos A y B son comparables si BA o AB , es decir,
si uno de los conjuntos es subconjunto del otro.
Simbólicamente:
A y B son comparables ABBA
Dos conjuntos A y B se dicen no comparables si ABBA
Familia de conjuntos: Es el conjunto formado por elementos que son conjuntos. Para
designar familias o clases de conjuntos se emplean letras inglesas:
A, B, C, D, E, .... ya que las minúsculas denotan sus elementos.
Conjunto potencia: Se define el conjunto potencia o conjunto de partes de un conjunto dado
A como el conjunto de todos los subconjuntos de A. Se representa como P (A).
Con:
n(A): número de elementos de A.
n[P (A)]: números de elementos de P (A).
Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos si y sólo si no tienen elementos
comunes.
Diagramas:
Venn-Euler: Se representa un conjunto mediante un área plana, generalmente
círculos.
Ejemplo: A
B B A
Lineales: Se establece la representación mediante líneas donde se identifican
órdenes jerárquicos.
Ejemplo:
1) A B Se representa:
2) Si A B y B C, entonces se representa:
3) Sean los conjuntos:
A = {1}; B = {1, 2}; C = {1, 2, 3}; D = {1, 2, 4}
Su representación lineal sería:
OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS
Unión:
Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la función
proposicional “x A v x B”, entonces se obtiene un nuevo conjunto llamado la unión de
A y B, es decir:
A U B = {x/x A v x B}
Representación:
A) Simbólica: x (A U B) x A v x B
B) Gráfica:
A A B
A U B
Propiedades:
1. Idempotencia: A U A = A
2. Identidad: A U = A; A U U = U
3. Conmutativa: A U B = B U A
4. Asociativa: A U (B U C) = (A U B) U C
5. Adición: A (A U B) ; B (A U B)
Intersección:
Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la función
proposicional “x A x B”, se obtiene un nuevo conjunto llamado la intersección de A
con B, es decir:
A B = {x/x A x B}
Representación:
A) Simbólica: x (A B) x A x B
B) Gráfica:
A B
A B
Propiedades:
1. Idempotencia: A A = A
2. Identidad: A = ; A U = A
3. Conmutativa: A B = B A
4. Asociativa: A (B C) = (A B) C
5. Distributiva: a) A (B U C) = (A B) U (A C)
b) A U (B C) = (A U B) (A U C)
6. (A B) A; (A B) B
7. Si A y B son disjuntos entonces A B =
Complemento:
El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a
A. El complemento de A se denota por A’, o por Ac, o por Ā
A’ = {x/x A}
Representación:
A) Simbólica: x A’ x A (x A)
B) Gráfica:
A A’
Propiedades:
1. (A’)’ = A (Complemento del complemento)
2. A U A’ = U (Tercer excluido)
3. A A’ = (Contradicción)
4. (A U B)’ = A’ B’ (Leyes de De Morgan)
(A B)’ = A’ U B’
5. U’ = ; ’ = U
Diferencia:
Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una función
proposicional “x A x B”, se obtiene un nuevo conjunto llamado diferencia entre A y
B.
Notación: La diferencia entre A y B se designa por A – B.
A – B = {x/x A x B}
Representación:
A) Simbólica: x (A – B) x A x B
B) Gráfica:
A B
A - B
Propiedades:
1. A – B = A B’
2. A – A =
3. A - = A
4. - A = , U – A = A’
5. A – B = B - A A = B
6. (A - B) - C A - (B - C)
7. (A - B) A
NOTA: A-B B-A (No cumple con la propiedad conmutativa excepto cuando A=B).
Diferencia simétrica:
Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una función
proposicional “x (AB) x (AB)”, se obtiene un nuevo conjunto llamado la diferencia
simétrica entre A y B.
Notación: Se designa la diferencia simétrica entre los conjuntos A y B por A B.
A B={x/x (AB) x (AB)}
Representación:
A. Simbólica:
x(A B) x(AB) x (AB)
B. Gráfica:
A B
A B
Propiedades:
1. AB BA
2. (AB)C = A (BC)
3. A = A
4. AA =
5. (AB)C = (AC) (BC)
6. AB = (A-B)U (B-A)
7. AB = (A U B)-(AB)
Operaciones con conjuntos comparables:
Las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento tienen propiedades
sencillas cuando los conjuntos de que se trata son comparables.
Teoremas:
1. A B implica A B = A
2. A B implica A U B = B
3. A B implica B’ A’
A B implica A U (B - A) = B
Principio de dualidad en B, U ∩:
Toda proposición o identidad algebraica deducible de los postulados de un álgebra
booleana de conjuntos B, U ∩ sigue válida sí todas las operaciones U e ∩ y los
elementos identidad y U son intercambiados. Si una proposición o una expresión se obtiene
de otra por una sola aplicación del principio de dualidad, la segunda se llama la “DUAL” de
la primera y viceversa.
Ejemplos:
1. (a) A U A = A (b) A A = A (Dual de (a)).
2. (a) A U U = U (b) A = (Dual de (a)).
3. (a) A U (A B) = A (b) A (A U B) = A (Dual de (a)).
NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
O Cardinalidad de un conjunto, si A es un conjunto, se denota con n(A) el número de
elementos de A.
Sea V = {x/x es vocal} ; n(V) = 5.
Sea P = {x/x es # primo par} ; n(P) = 1.
Sea N = {x/x es divisor de 5} ; n(N) = 2.
Entonces podemos analizar dos casos:
A) Si se dan conjuntos A y B disjuntos, es decir, A B = , entonces el número de
elementos en la unión de A y B es igual a la suma del número de elementos de A y el número
de elementos de B.
Luego: Si A B = entonces n(A U B) = n(A) + n(B).
Ejemplo:
Sea A = {a, b, c, d} y B = {m, n, o, p, q} entonces: n(A) = 4; n(B) = 5;
A B =
A U B = {a, b, c, d, m, n, o, p, q}
n(A U B) = n(A) + n(B) = 4 +5 = 9.
B) Si se dan dos conjuntos A y B tales que A B , es decir, no son disjuntos. Se
puede obtener el número de elementos de A U B de la siguiente forma:
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B) (*)
Ejemplo.
Sean A = {x/ -3 < x < 4, x Z} y B = {x/ 2 x 6, x Z}
Entonces: n(A) = 6; n(B) = 5 y A B = {2, 3}
n(A B ) = 2 A U B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(A U B) = 9.
Aplicando (*) tenemos: como BA
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)
n(A U B) = 6 + 5 - 2 = 9 .
Si A B = entonces n(A B) = 0, puede entonces generalizarse:
A, B; n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)
Ejemplo:
Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes,
acerca de los hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería y aporta los siguientes datos:
Estudian trigonometría: 40
Estudian álgebra: 55
Estudian geometría: 55
Estudian trigonometría y álgebra: 15
Estudian trigonometría y geometría: 20
Estudian álgebra y geometría: 30
Estudian las tres materias: 10
No van a la biblioteca: 5
¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?
Desarrollo:
Sean T = {x/x estudia trigonometría}
A = {x/x estudia álgebra}
G = {x/x estudia geometría}
Observación: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda:
A) “Dibujar” el diagrama de Venn y ubicar los datos dados.
B) Se debe iniciar por aquel que puede señalarse con certeza.
C) Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el número de estudiantes que
estudia cualquier combinación de materias.
Gráficamente:
T A
15 5 20
10
10 20
15 G
5 U
Analíticamente:
n(T U A U G) = n(T) + n(A) + n(G) – n(TA) – n(TG) – n(GA) + n(TAG)
n(T U A U G) = 40 + 55 + 55 - 15 - 20 - 30 + 10 = 95
95 Estudiantes que asisten a la biblioteca.
100 – 95 = 5 Estudiantes que no asisten a la biblioteca.
Por lo tanto la encuesta está bien realizada.
ACTIVIDADES CON CONJUNTOS
1. Representar gráficamente:
[(A’B)U(C-B)] B’
2. Sean los conjuntos: N = [d, i) E = (e, z) Z = [d, e]
a. [(EZ)Z]UN = ?
b. [(Z-N) Z](NUE) = ?
3. Sean los conjuntos:
A = {x/ x >-10, x Z+} D = {x/ 20 < x 30, x R}
B = {x/ -5 x < 15, x Z} E = {x/ 7< x 50, x Q}
C = {x/ x 100, x R}
Hallar:
a) (AB)-D =
b) (DUC)B =
c) (A-C)U(CD) =
d) (BA) (E-D) =
e) (EB)(CUE)
4. En una encuesta a 200 estudiantes, se halló que:
1) 68 se comportan bien.
2) 138 son inteligentes.
3) 160 son habladores.
4) 120 son habladores e inteligentes.
5) 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes.
6) 13 se comportan bien y no son habladores.
7) 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes.
¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no son
habladores y no son inteligentes?.
5. Al final del semestre se hizo una encuesta sobre las materias que más perdió la gente:
Contabilidad, Administración y Química.
Siendo la clase de 60 alumnos, se tiene:
n(CAQ) = 2 n(AQ) = 8 n(CQ) = 10
n(CA) = 7 n(C) = 25 n(A) = 15 n(Q) = 35
Expresar simbólicamente y hallar el número de personas de:
a) ¿Cuántos fracasaron exactamente en una prueba?
b) ¿Cuántos aprobaron las 3 pruebas?
c) ¿Cuántos fracasaron en la 1era y en la 3era, pero no en la segunda?
d) ¿Cuántos fracasaron al menos en dos pruebas?
e) ¿Cuántos aprobaron al menos una materia?
f) ¿Cuántos aprobaron la 2da o la 3era pero no la 1era?
6. Representar gráficamente:
a) [(AC’)’(P’-A)]U(AC)
b) [(Q’-Z’)’-(TQ)’] T’
c) {F’ [(D’UE)E’]}-D
7. Expresar simbólicamente:
a) U b) U
A B N E
C G
c) U
Q D
Z
8. Representar, sombreando el área apropiada, cada uno de los conjuntos productos que
siguen en un diagrama cartesiano de R x R.
a) (-4, -1] x [-2, -5]
b) {x/ -1 < x < 3}x {x/ -3 x < 6}
c) {x/ x > 7} x {x/ 2 < x 5}
d) {x/ x < -4} x {x/ x 10}
9. Sean los conjuntos :
D = (x, z) M = (y, t] P = [x, t] A = [y, z)
Siendo x, y, z, t R
Si t > z > y > x
Hallar:
a) (MA)-(PUD) = ?
b) [(PA)M]UA = ?
c) [(DM)-(P-A)] D = ?
d) [(M-A)(AUP)]-D =?
10. Se da la siguiente información referente al número de elementos de los conjuntos A,
B y C de cierto conjunto de 150 elementos:
n(A) = 85, n(B) = 70, n(C) = 55, n(AB) = 35,
n(AC) = 30, n(BC) = 25, y n(ABC) = 20
Hallar:
a) n(AUB)
b) n(AUBUC)
c) n(ABC’)
d) n(AB’C’)
e) n(A’B’C’)
11. Un alumno de la facultad efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes
acerca de los hábitos de estudio en la biblioteca de ingenierías y aporta los siguientes
datos: Estudian Física 40, álgebra 55, geometría 55, física y álgebra 15, física y
geometría 20, álgebra y geometría 30, estudian las tres asignaturas 10, no asisten a la
biblioteca 5.
¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?
12. En una investigación realizada sobre los hábitos de lectura de los estudiantes de la
Universidad se encuentra que 48% leen la revista A, 50% la revista B, 30% la revista
C, 20% la revista A y B, 10% las revistas B y C, 13% las revistas A y C, 10% no leen
ninguna de las revistas.
Hallar el porcentaje y expresarlo simbólicamente:
a) ¿Qué porcentaje leen las tres revistas?
b) ¿Qué porcentaje leen exactamente dos revistas?
c) ¿Qué porcentaje leen al menos dos revistas?
d) ¿Qué porcentaje leen la revista A o la C, pero no la B?
e) ¿Qué porcentaje leen exactamente una revista?
f) ¿Qué porcentaje no leen la revista B y la C, pero si la A?
13. En una encuesta hecha a 100 personas sobre sus conocimientos de idiomas resultó lo
siguiente:
Hablan inglés 27; francés 22; italiano 12; inglés y francés 10; francés y alemán 9;
inglés, francés y alemán 6; alemán e italiano 5; 19 hablan inglés pero no alemán; el número
de los que hablan alemán es el triple de los que hablan únicamente francés; ninguno de los
que hablan italiano hablan ni francés ni inglés.
Hallar el número de personas y expresarlo simbólicamente:
a) ¿Cuántos no hablan ninguno de los 4 idiomas?
b) ¿Cuántos hablan únicamente alemán?
c) ¿Cuántos saben al menos 2 idiomas?
d) ¿Cuántos saben italiano o francés pero no inglés?
e) ¿Cuántos no saben alemán y no saben inglés, pero saben francés?
LENGUAJE ALGEBRAICO
Es esencial, para tener un buen manejo algebraico, el saber la equivalencia entre el
lenguaje verbal cotidiano y el lenguaje algebraico. Para ello, un listado de palabras con su
respectivo significado algebraico que es fundamental que aprendamos para su posterior
aplicación, en especial, en el planteamiento de problemas verbales. Más, suma, adición, agregar, añadir, aumentar -----> +
Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar -----> -
Multiplicación, de, del, veces, producto, por, factor -----> *
División, cociente, razón, es a -----> : , ÷
Igual, es, da, resulta, se obtiene, equivale a -----> =
Un número cualquiera -----> x
Antecesor de un número cualquiera -----> x - 1
Sucesor de un número cualquiera -----> x + 1
Cuadrado de un número cualquiera -----> x2
Cubo de un número cualquiera -----> x3
Doble de un número, duplo, dos veces, número par, múltiplo de 2 -----> 2x
Triple de un número, triplo, 3 veces, múltiplo de 3 -----> 3x
Cuádruplo de un número -----> 4x
Quíntuplo -----> 5x
Mitad de un número -----> x
2
1
ó 2
x
Tercera parte de un número -----> x
3
1
ó 3
x
Número impar cualquiera -----> 2x+1 ó 2x - 1
Semi-suma de dos números -----> 2
yx
Semi-diferencia de dos números -----> 2
yx
Números consecutivos cualesquiera -----> x, x+1, x+2, x+3, x+4,.....
Números pares consecutivos -----> 2x, 2x+2, 2x+4, 2x+6, 2x+8,....
Números impares consecutivos -----> 2x+1, 2x+3, 2x+5, 2x+7, 2x+9,.....
Con respecto a los múltiplos consecutivos, aquí van dos de ejemplo, supongo que te darás cuenta
del patrón que forman:
Múltiplos de 5 consecutivos -----> 5x, 5x+5, 5x+10, 5x+15, 5x+20,......
Múltiplos de 6 consecutivos -----> 6x, 6x+6, 6x+12, 6x+18,.....
Inverso multiplicativo (recíproco) de un número cualquiera -----> x
1
Número cualquiera de dos dígitos -----> 10x + y (Ya que, por ejemplo, 59 = 5·10 + 9)
Vamos a escribir en lenguaje verbal las siguientes expresiones algebraicas:
1) x - 4: "La diferencia entre un número cualquiera y 4"
2) 2x + 3y: " Al doble de un número agregarle el triple de otro número"
3) 5x - y: "El exceso del quíntuplo de un número sobre otro número cualquiera"
4) 4
x
+ 3y: "A la cuarta parte de un número agregarle el triple de otro número"
5) (x - 3)2: "El cuadrado de la diferencia entre un número cualquiera y 3"
6) x2 - 3: "La diferencia entre el cuadrado de un número y 3"
7) 4
32 yx
: "La cuarta parte de la diferencia entre el doble de un número y el triple de otro número"
8) 3
)( 2yx
: "La tercera parte del cuadrado de la suma entre dos números"
9) 4
xx
: "A un número cualquiera añadirle su cuarta parte"
10) (5x)2: "El cuadrado del quíntuplo de un número"
11) 5x2: "El quíntuplo del cuadrado de un número"
12) (2x)3 - 4y2: "El exceso del cubo del doble de un número sobre el cuádruplo del cuadrado de otro
número"
13) 5
)2(3 32 yx
: “La quinta parte de la diferencia entre el triple del cuadrado de un número y el
cubo del doble de otro número”
Ahora el proceso inverso y que es el que más nos ayudará a resolver problemas verbales
algebraicos.
1. El doble de un número disminuido en el triple de otro número: 2x – 3y
2. Un número aumentado en su mitad: 2
xx
3. El exceso de un número sobre 3: x – 3
4 El cuádruple del exceso de un número sobre 8: 4(x – 8)
5. El exceso del cuádruple de un número sobre 8: 4x - 8
6. El doble del cubo de un número: 2x3
7. El cubo del cuádruple de un número: (4x)3
8. La diferencia entre la cuarta parte del cubo de un número y la tercera parte del cuadrado de otro
número: 34
23 yx
9. La mitad del exceso del cuadrado del triple de un número sobre el doble del cubo de otro
número: 2
2)3( 32 yx
10. Un múltiplo de siete cualquiera: 7x
11. La suma de dos múltiplos de cinco cualesquiera: 5x + 5x+ 5
ACTIVIDADES DE LENGUAJE ALGEBRAICO
El antecesor del número natural 5(n – 1) está representado por:
¿Cuál de las siguientes expresiones representa un número que tiene m unidades menos que el
número n?
a) n – m b) m + n c) m – n d) n : m e) m : n
a) 5n b) 5n - 1 c) 5n - 3 d) 5n - 4 e) 5n - 5
El papá de Álvaro tenía x años cuando él nació. Si ahora Álvaro tiene y años. ¿Qué edad tendrá el
papá en y años más?
a) 2y b) x + 2y c) 2x + y d) x – 2y e) 2x – y
Si y es el antecesor de x + 2, entonces el doble del sucesor de y, expresado en función de x es:
a) 2x + 2 b) 2x + 3 c) 2x + 4 d) 2x + 6 e) 2x + 8
El promedio entre 5 números naturales consecutivos es k, ¿cuál es el número central?
a) k + 5 b) k - 5 c) 5k d) 3k e) k
La expresión que representa al enunciado “el cuadrado de la diferencia entre dos números” es:
a) 2x – 2y b) 2x - y c) x2 - y d) (x – y)2 e) x2 – y2
“Al número h se le suma m, dicha suma se divide por k y el resultado se multiplica por p”, se
representa por:
Si el inverso multiplicativo de 4
1
n es –6, entonces n =
a) -2 b) -10 c) 23/6 d) 25/6 e) –25/6
¿Cuál es la expresión que corresponde al enunciado: “encontrar un número x cuyo cubo es igual a
8
3
de 56”?
El enunciado: “el cuadrado de la suma de dos números a y b es igual al doble de la diferencia de los
cuadrados de esos números”, se expresa:
Sean a, b, y c números enteros tales que a – b = c. Si a = 3 y c = 10a, entonces el cuádruplo de b es:
a) 120 b) 30 c) –27/4 d) -108 e) -27
“El cubo del doble de la diferencia de p y q”, se representa por:
a) (h + m : k) · p b) (h + m · p) : k c) h : k + m · p d) [(h + m) : k] · p e) h · p + m : k
a) 56
8
3 3 x b)
568
33 x
c)
56·8
33
x
d)
3
56·8
3
x
e)
56:8
3x
a) a2+b2 =2a2–b2 b) a2+b2 =2(a-b)2 c) a2+b2 =2(a2-b2) d) (a+b)2 =2(a-b)2 e) (a+b)2 =2(a2-b2)
a) 2(p3 – q3) b) 2(p – q)3 c) (2p – 2q)3 d) [2(p – q)]3 e) 3[2(p – q)]
Si a = 2/3 y b = 1/2, entonces el aditivo inverso de ab es:
a) –1/3 b) 1/3 c) 1/6 d) –1/6 e) 3
La expresión (2x)3 se lee:
a) El doble del cubo de un número
b) El doble del triple de un número
c) El cubo del doble de un número
d) El cubo del cuadrado de un número
e) El triple del doble de un número
Dentro de 10 años Rafael tendrá el triple de la edad que tiene ahora. Entonces ahora tiene:
a) 2 años b) 3 años c) 4 años d) 5 años e) 6 años
Siendo n un número entero, el cociente entre un número impar cualquiera y el número impar que le
antecede es:
El triple de la diferencia entre 0,6 y su inverso multiplicativo es:
a) 3,2 b) 32 c) –3,2 d) 45/16 e) -3
Si el largo de un rectángulo se triplica y su ancho disminuye al 50%, entonces se afirma que su área:
se hace 1,5 veces mayor
se incrementa en el 50%
aumenta en el 150%
de estas afirmaciones son verdaderas:
a) 1n
n
b) n
n 2
c) n
21
d) n2
11
e) 32
12
n
n
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) I, II y III
Si se triplica la expresión 35 se obtiene:
a) 36 b) 315 c) 95 d) 96 e) 915
El doble de un número n más su cuadrado, se expresa por:
a) 2n2 b) 2n3 c) n2(n+1) d) 3n e) n(2+n)
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Concepto de Base
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en
bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al
siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación
más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución,
cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a
todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a
alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase.
Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior
constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de
base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las
apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción
notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración
maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades,
decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy.
Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han
visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el
cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros,
aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son
capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los
hace poco prácticos.
Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la
multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de
unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de
numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más
peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo,
tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma
tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;
del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la
opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema
en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo
que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número
por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.
Sistemas de Numeración Aditivos
Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema
jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo
en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico
específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos.
De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes.
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades,
decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por
tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido
una determinada disposición.
Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense,
azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes.
El Sistema de Numeración Egipcio
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema describir los números
en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de
unidades.
El Sistema de Numeración Griego
El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un
sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas
cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las
numeraciones aditivas.
3 4 5 3
Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para
el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka)
y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000
al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue
reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos
otros símbolos según la tabla siguiente
De esta forma los números parecen
palabras, ya que están compuestos por letras, y
a su vez las palabras tienen un valor numérico,
basta sumar las cifras que corresponden a las
letras que las componen. Esta circunstancia
hizo aparecer una nueva suerte de disciplina
mágica que estudiaba la relación entre los
números y las palabras. En algunas sociedades
como la judía y la árabe, que utilizaban un
sistema similar, el estudio de esta relación ha
tenido una gran importancia y ha constituido
una disciplina aparte: la kábala, que persigue
fines místicos y adivinatorios.
Sistemas de Numeración Híbridos
En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para
representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos
utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de
signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo
para el 0. Para representar el 703 se usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3.
El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se
dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc. se
repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por
supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para
ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se
confundan el 307 con 370, 3070...
Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y
algunos del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y el cingalés.
El Sistema de Numeración Chino
La forma clásica de escritura de
los números en China se empezó a usar
desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es
un sistema decimal estricto que usa las
unidades y los distintas potencias de 10.
Utiliza los ideogramas de la figura y usa
la combinación de los números hasta el
diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo
representar 50, 700 o 3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual
podría representar 57 que 75.
Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a
derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo para el cero siempre y
cuando se pongan todos los ideogramas, pero aun así a veces se suprimían los
correspondientes a las potencias de 10.
Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los
documentos importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar
falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se
usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes
regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido
al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia
de este.
Sistemas de Numeración Posicionales
Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición
de una cifra nos dice si son decenas, centenas... o en general la potencia de la base
correspondiente.
Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo.
Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del
cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los
sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos
particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la
unidad y la decena. El hecho que sus bases fuesen 60 y 20 respectivamente no hubiese
representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una
irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban
20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores
preocupaciones culturales.
Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo
conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el
cero. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo
asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo
una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran
evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia
hubiese podido avanzar.
El Sistema de Numeración Babilónico
Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se
desarrollaron distintos sistemas de numeración. Se inventó un sistema de base 10, aditivo
hasta el 60 y posicional para números superiores.
Para la unidad se
usaba la marca
vertical que se hacía
con el punzón en
forma de cuña. Se
ponían tantos como
fuera preciso hasta
llegar a 10, que tenía
su propio signo.
De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.
A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban
representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así
sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.
El Sistema de Numeración Maya
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se
representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya
horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10
se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.
Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados
cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el
que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar
que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba
abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para
el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y
los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula.
Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.
Sistemas de numeración actual
Los sistemas de numeración son conjuntos de dígitos usados para representar
cantidades, así se tienen los sistemas de numeración decimal, binario, octal, hexadecimal,
entre otros. Los cuatro primeros se caracterizan por tener una base (número de dígitos
diferentes: diez, dos, ocho, dieciséis respectivamente).
Los sistemas de numeración que poseen una base tienen la característica de cumplir
con la notación posicional, es decir, la posición de cada número le da un valor o peso.
Ejemplos:
El número 13510 es un número válido en el sistema decimal, pero el número 12A10 no lo
es, ya que utiliza un símbolo A no válido en el sistema decimal.
El número 358 es un número válido en el sistema octal, pero el número 398 no lo es, ya
que el símbolo 9 no es un símbolo válido en el sistema octal.
El número F1E416 es un número válido en el sistema hexadecimal, pero el número FKE416
no lo es, ya que el símbolo K no es un símbolo válido en el sistema hexadecimal
Sistema Decimal
El sistema de numeración decimal es el más usado, tiene como base el número 10,
o sea que posee 10 dígitos (o símbolos) diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). El sistema
de numeración decimal fue desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los
árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo.
Si se aplica la notación posicional
Sistema Binario
El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en
el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el
que se utiliza en los ordenadores, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje,
por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado
0).
Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos
binarios), que a su vez pueden ser representados por cualquier mecanismo capaz de estar
en dos estados mutuamente exclusivos. Las secuencias siguientes de símbolos podrían ser
interpretadas todas como el mismo valor binario numérico:
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0
| - | - - | | - | -
x o x o o x x o x o
y n y n n y y n y n
El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
símbolo. En un ordenador, los valores numéricos pueden ser representados por dos voltajes
diferentes y también se pueden usar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un
"positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor numérico de
uno; esto depende de la arquitectura usada.
De acuerdo con la representación acostumbrada de cifras que usan números árabes,
los números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Cuando son
escritos, los números binarios son a menudo subindicados, prefijados o sufijados para indicar
su base, o la raíz. Las notaciones siguientes son equivalentes:
100101 binario (declaración explícita de formato)
100101b (un sufijo que indica formato binario)
100101B (un sufijo que indica formato binario)
bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)
%100101 (un prefijo que indica formato binario)
0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de
programación)
Conversión entre binario y decimal
Decimal a binario
Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a
dividir entre 2, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del último al primero, este será el
número binario que buscamos.
Ejemplo
Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:
131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1
65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1
32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0
16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0
8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0
4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0
2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0
1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1
Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011 en sistema binario, 131 se escribe
100000112
Ejemplo
Transformar el número decimal 100 en binario.
Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en
números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método
consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar,
colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y
seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último
resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha
y ordenar los dígitos de abajo a arriba.
Ejemplo
100|0
50|0
25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
12|0
6|0
3|1
1|1 --> (100)10 = 11001002
Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos
necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número
decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras
potencias de 2, ya que la siguiente, 28=256, es superior al número a convertir. Se comienza
poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151 - 128 = 23, para llegar al 151. Este
valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma del resultado buscado
y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16,
4, 2 y 1, respectivamente.
Ejemplo
20= 1|1
21= 2|1
22= 4|1
23= 8|0
24= 16|1
25= 32|0
26= 64|0
27= 128|1 128 + 16 + 4 + 2 + 1 = (151)10 = 100101112
Binario a decimal
Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:
1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número multiplíquelo por 2 y
elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0).
2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número
resultante será el equivalente al sistema decimal.
Ejemplos:
(Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2)
También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número
binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las
posiciones que tienen un 1.
Ejemplo
El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82 se puede representar de la
siguiente manera:
entonces se suma los números 64, 16 y 2:
Sistema Octal
Un sistema octal se representa con ocho dígitos, ¿a qué se refiere con ocho dígitos?,
cuando nosotros manejamos un sistema decimal, usamos 10 dígitos que son:
Sistema decimal = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Entonces para un sistema octal se manejan solo 8 dígitos ordenados de la siguiente
manera los cuales son:
Sistema octal = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Su representación se basa igual que el decimal, solamente que aquí se corta en el 7 y
no en el nueve, porque el ocho y el nueve no existen en este sistema.
Se hace el conteo y se corta en el octavo digito; al decir que se corta en el octavo
digito no se refiere a que se corta en el número 8, si no en el octavo digito que es el 7, muchos
omiten el cero, pero el cero también cuenta como digito entonces nuestro sistema octal se
representa de la siguiente forma:
Decimal a octal:
Un entero decimal se puede convertir a octal con el mismo método de división
repetida que se usó en la conversión de decimal a binario, pero con un factor de división de
8 en lugar de 2. Por ejemplo:
Tenemos en base 10 el 16410 y lo dividiremos sucesivamente por 8
16410 / 8=2051 residuo 2
2051 / 8=256 residuo 3
256 / 8= 32 residuo 0
32 / 8=4 residuo 0
4 / 8=0 residuo 4
Entonces tomamos los residuos del último al primero quedando el número octal 40032
Octal a decimal:
Para convertir de un número octal por ejemplo el número obtenido anteriormente que es
40032 en decimal, tomamos el número y lo enumeramos de derecha a izquierda comenzando
con el cero y estas serían las potencias en base 8 entonces tenemos:
4 0 0 3 2 --- Numero a convertir
84 83 82 81 80 --- Potencias en base 8 de izquierda a derecha
4096 512 64 8 1 --- Potencias resueltas
Al obtener estas potencias resueltas en base 8, multiplico cada uno de los dígitos con el
número a convertir.
Obteniendo:
4 0 0 3 2
4096 512 64 8 1 Multiplico
16384 + 0 + 0 + 24 + 2 Sumo multiplicaciones
Se suman los resultados y obtenemos el número en decimal 16410
Sistema Hexadecimal
El sistema numérico BASE16 o hexadecimal, se utiliza con frecuencia al trabajar con
computadoras porque puede representar números binarios de una forma más legible. La
computadora efectúa los cálculos en formato binario. Sin embargo, en algunos casos, la
salida binaria de una computadora se expresa en forma hexadecimal para facilitar su lectura.
Una forma que tiene las computadoras y el software de expresar usan salida en hexadecimal
consiste en anteponer 0x al número hexadecimal. Siempre que utilice 0x el número que
sigue esta expresado en hexadecimal. Por ejemplo, 0x1234 significa que está en base 16, es
normal encontrar esta notación en la configuración de un router.
La base 16 utiliza 16 caracteres para expresar las cantidades numéricas. Estos caracteres son
los siguientes: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Una A representa el numero decimal 10, B
representa el 11, C el 12, D el 13, D el 14 y F el 15. Algunos ejemplos de números
hexadecimales son el 22AF, el 999901, FFFFFF y el EBADC3.
Representación de las potencias de 16 165 164 163 162 161 160
Representación Decimal 1.048.576 65.536 4096 256 16 1
Representación en BASE 16 0 B 2 3 C F
Decimal a Hexadecimal:
Un entero decimal se puede convertir a hexadecimal con el mismo método de división
repetida que se usó en la conversión de decimal a binario o a octal, pero con un factor de
división de 16 en lugar de 2 u 8. Por ejemplo: Tenemos en base 10 el 16410 y lo dividiremos
sucesivamente por 16
16410 / 16=1025 residuo 10 equivale a A
1025 / 16= 64 residuo 1
64 / 16= 4 residuo 0
4 / 16=0 residuo 4
Entonces tomamos los residuos del último al primero quedando el número hexadecimal es
401A
Hexadecimal a decimal:
Para convertir de un número hexadecimal por ejemplo el número obtenido anteriormente que
es 401A en decimal, tomamos el número y lo enumeramos de derecha a izquierda
comenzando con el cero y estas serían las potencias en base 16 entonces tenemos:
4 0 1 A --- Numero a convertir
163 162 161 160 --- Potencias en base 16 de izquierda a derecha
4096 256 16 1 --- Potencias resueltas
Al obtener estas potencias resueltas en base 16, multiplico cada uno de los dígitos con el
número a convertir.
Obteniendo:
4 0 1 A
4096 256 16 1 Multiplico
----------------------------
16384 + 0 + 16 + 10 Sumo multiplicaciones
Se suman los resultados y obtenemos el número en decimal 16410.
Tablas de conversiones:
ACTIVIDADES DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Convertir a binario, octal y hexadecimal cada uno de los siguientes decimales.
a. 32510 b. 95410 c. 156210 d. 246310
Convertir a decimal los siguientes binarios.
a. 1110012 b. 10101012 c. 111001012 d.1010111101012
Convertir a decimal los siguientes octales.
a. 658 b. 3278 c. 25868 d. 40508
Convertir a decimal los siguientes hexadecimales.
a. 15A16 b. 25BD16 c. CFF216 d. 15CF216
SUCESIONES
SUCESIONES
Noción de sucesión:
Se tiene como idea o noción de sucesión, a todo conjunto ordenado de elementos
(números, letras o figuras), tal que cada uno ocupa un lugar establecido, por tanto, se puede
distinguir el primero, el segundo, el tercero, etc., acorde con una ley de formación, criterio
de ordenamiento o fórmula de recurrencia.
A los elementos de dicho conjunto se les denomina términos de sucesión
Tipos de sucesiones
Sucesiones gráficas
Sucesiones aritmética
Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por sumas o restas de cantidades
constantes o variables. Se presenta los siguientes casos.
Por suma o Resta de una cantidad constante.
Ejemplo:
1, 5, 9, 13,.....
+4 +4 +4 +4
15, 12, 9, 6,.....
-3 -3 -3 -3
Por sumas o restas de cantidades variables que forman otra sucesión.
Ejemplo:
4, 5, 7, 10,....
+1 +2 +3 +4
12, 11, 9, 6,.....
-1 -2 -3 -4
Por suma o resta de cantidades que no forman una sucesión simple.
Ejemplo:
4, 8, 15, 26,....
+4 +7 +11 +x
+3 +4 +5
99, 91, 80, 64,.....
-8 -11 -16 x
-3 -5 -7
Sucesiones geométricas
Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por multiplicación o división de cantidades
constantes o variables. Se presentan los siguientes casos:
Por multiplicación de una cantidad constante.
Ejemplo:
*) 2, 6, 18, 54,....
x3 x3 x3 x3
**) 48, 24, 12, 6,.....
2 2 2 2
Por multiplicación o división de cantidades variables.
Ejemplo
*) 4, 8, 24, 96,....
x2 x3 x4 x5
**) 360, 72, 18, 6,....
5 4 3 2
Sucesiones combinadas
Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por la combinación de las operaciones de
suma, resta, multiplicación y división en una misma sucesión.
Ejemplo
*) 3, 5, 10, 12, 24, ....
+2 x2 +2 x2
**) 2, 6, 4, 12, 10, ......
x3 -2 x3 -2 x3
***)1, 5, -3, 13, ......
+4 -8 +16 x
x(-2) x(-2) x(-2)
Sucesiones alternadas
Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por la combinación de dos sucesiones
numéricas diferentes en una misma sucesión.
Ejemplo
*) 2, -1, 6, -4, 10, -7 , ... ...
Sucesiones exponenciales
Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por potenciación de cantidades constantes
o variables.
1; 3; 16; 125
Sucesiones literales
Las sucesiones literales pueden tener una ley de formación de tipo aritmética, geométrica,
alternada, combinada o iniciales de palabras populares de uso cotidiano.
Ejemplo:
* ) A; C; F; J;....
**) A; C; I;.....
***) C , M , C , M , S , J , ... , ...
U A I I E U
A R N E I E
T T C R S V
R E O C E
O S O S
L
E
S
)**** A, I, M, E, D, A, C, ....
- - -
+ + +
2° 31 42 53
Nota: Las letras compuestas CH, LL y RR no se consideran en las sucesiones literales, a
menos que se indique lo contrario
Métodos para encontrar el término general de una sucesión aritmética:
Sucesión Lineal o de 1er grado
Tn = Términos general que permite encontrar cualquier término de la sucesión
n = Lugar que ocupa el término enésimo
A, B = constantes de la ley de formación (L.F.) de la sucesión
Ejemplo: dada la serie
5, 9, 13, 17,....
Hallar: T220
Solución
B= 1, 5, 9, 13,....
A = 4 4 4 4
Tn = 4n + 1
T220 4(220) + 1
T220 = 881
Sucesión cuadrática o de 2do grado
Tn = término general
n = lugar enésimo de un término
A, B, C = constantes de la L.F.
Ejemplo:
Hallar T100 en:
4, 8, 14, 22, 32
Tn = An + B
Como la razón la encontramos
enseguida es una sucesión lineal a continuación
retrocedemos
Tn = An2 + Bn + C
Solución:
C = 2, 4, 8, 14, 22, 32,....
A + B= 2 +4 6 8 10
2A = 2 2 2 2
Tn = n2 + n + 2
T100 = 1002 + 100 + 2 = 10102
Sucesión cúbica o de 3er grado
Ejemplo:
Hallar T20 en:
-1, 1, 11, 35, 79, 149
Solución:
D = -1; -1 , 1, 11, 35, 79, 149, ...
A+B+C=0 2 10 24 44 70
6A+2B= 2 8 14 20 26
6A= 6 6 6 6
Tn = n3 – 2n2 + n-1
T20 = 203 – 2(202) + 20 – 1 = 7219
SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES Y ESPECIALES
A continuación mostraremos, en el siguiente cuadro, algunas sucesiones importantes:
De los números primos 2,3,5,7,11,13,..... No se tiene término enésimo pero si el criterio
De Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,....
.
t1 = 1; t2 = 1
tn=tn–1+tn-2 n3
De Feinberg1 (“Tribonacci”) 1,1,2,4,7,13,24,..
..
t1 = 1; t2 = 1 t3=2
tn=tn–1+tn-2 + tn-3 n 4
De Lucas 1,3,4,7,11,.......... t1 = 1; t2 = 3
tn=tn–1 + tn-2 n 3
Tn = An3 + Bn2 + Cn + D
Problemas
Nivel I
1. ¿Qué número sigue? 4, 7, 13, 25, 49, 97, ____
a) 136 b) 193 c) 214 d) 307 e) 929
2. Hallar "x": 15, 16, 11, 20, 7, 24, x
a) 3 b) 16 c) 32 d) 9 e) 5
3. Calcular la suma de cifras del siguiente término: 1, 3, 7, 15, 31, __
a) 5 b) 10 c) 6 d) 9 e) 3
4. ¿Qué letras continúan? __;;;;
D
K
H
C
B
E
B
A
a) M
E
b) N
F
c) N
E
d) T
G
e) S
H
S
U
C
E
S
I
O
N
E
S
N
O
T
A
B
L
E
S
De los números naturales 1,2,3,4,5,....... tn = n
De los números pares 2,4,6,8,10,..... tn = 2n
De los números impares 1,3,5,7,9,....... tn = 2n - 1
De los números
triangulares
1,3,6,10,15,21,..... tn = 2
1nn
De los números
tetraédricos
1,4,10,20,35,....... 6
2n1nntn
Números pentagonales 1,5,12,22,........... 2
1n3ntn
Números hexagonales 1,6,15,28,....... tn = n(2n-1)
De los números
cuadrados
1,4,9,16,25,........ tn = n2
De los cubos perfectos 1,8,27,64,125,...... tn = n3
5. ¿Qué letra sigue? O, S, E, R, G, N, _____
a) P b) T c) A d) I e) O
6. Tenemos una progresión geométrica cuyo primer término es 2, y el 6to término es
64. Calcule el octavo término.
a) 124 b) 64 c) 256 d) 512 e) 1024
7. Hallar el término 80 en la sucesión: 23, 25, 27, 29,........
a) 174 b) 156 c) 160
d) 181 e) 174
8. ¿Qué sigue en? 1, 4, 13, 40, 121, ?
a) 186 b) 264 c) 292 d) 306 e) 364
9. En la sucesión el número siguiente es: ____,
17
1,
10
1,
5
1,
2
1
a) 24
1
b) 26
1
c) 21
1
d) 27
1
e) 30
1
10. El octavo término de la sucesión es: ____:,
20
31,
12
17,
6
7,
2
1
a) 72
127
b) 56
129
c) 72
128
d) 79
129
e) 56
127
11. ¿Qué número sigue? 2, 3, 4, 9, 16, 29, 54, ?
a) 89 b) 72 c) 81 d) 96 e) 99
12. Hallar el valor de: 1, 2, 9, 121, ?
a) 260 b) 629 c) 16900
d) 1300 e) 2500
13. La ley de formación que corresponde a la sucesión es: 0, 10, 24, 42, 64, 90,.....
a) n2 + 4n + 6 b) 2n2 + 4n + 2 c) 2n2 + 4n – 6 d) 3(n+3) (n-1)
e) 2(n+3) (n+2)
14. Hallar 2
x
en la sucesión: 5, x , 32, 68, 140, 284
a) 20 b) 10 c) 6 d) 7 e) 3
15. En la sucesión el término siguiente es: -11, - 4, 6, 22, 50, ?
a) 72 b) 90 c) 102 d) 84 e) 100
Nivel II
16. Hallar el término 40 en:
4, 9, 18, 37, 72,......
a) 58997 b) 59878 c) 57997 d) 50000 e) 64000
17. Dadas las sucesiones: ,.........
5
16,
4
9,
3
4,
2
1
y ,.........
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
La diferencia de los términos n - ésimos es:
a) 1
)1(
n
nn
b) 1n
n
c) 1
)1(
n
nn
d) )1(
1
nn
n
e) )1(
1
nn
n
18. Hallar: 2(x + y): 3; 4; 7; 7; 11; 11; 15; x; y
a) 8 b) 64 c) 92 d) 70 e) 28
19. Hallar x: 3; 8; 6; 35; 8; 63; 7; x
a) 27 b) 54 c) 48 d) 81 e) 14
20. En los siguientes problemas, hallar el valor del término que continúa
a. 1; 2; 5; 10; 13; 26; x.
a) 15 b) 29 c) 9 d) 3 e) 16
b. 20; 8; 8; 26; 68; x.
a) 10 b) 325 c) 176 d) 140 e) 125
c. G, R, P, N, ___
a) A b) E c) I d) O e) U
d. M, M, J, ____
a) P b) Q c) S d) Y e) V
e. B, D, H, N, ____
a) P b) U c) M d) K e) O
f. ____;
35
6;
15
4;
3
2
a) 638
b) 2
5
c) 17
6
d) 517
e) 123
10
g. y
x;
11
11;
14
8;
16
6;
17
5
. Hallar x +y
a) 35 b) 22 c) 9 d) 40 e) 57
h. 8; 4, 6; 7; 3; 5; 12; 20; 16; 7; 23; a
a) 15 b) 12 c) 21 d) 34 e) 51
i. 34;12;2;2
a) 71 b) 329 c) 28 d) 15 e) 4 15
j. 12; 23; 1; 45; ____
a) –15 b) –43 c) 24 d) 48 e) 71
k. Hallar “x”
2, 3, 5, 7, 11, 13, x
a) 15 b) 14 c) 16 d) 17 e) 18
l. ¿Qué letra continúa:
U, T, C, S; ______
a) V b) N c) O d) X e) D
m. ¿Qué letra continúa?
U, S, O, D, V; ____
a) U b) B c) Z d) X e) V
n. Qué letra sigue:
G; H; I; G; I; K; G; J; ______
a) N b) P c) R d) M e) S
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Cardazo, Claudia, Rocío Elejalde y Guillermo López. De la lógica a las funciones
Casado, Santiago. [email protected]
Zill, Dennis, Jacqueline Dewar. Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica
http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/
http://antesdelascenizas.com/2009/12/17/materiales-para-la-logica-de- bachillerato/
http://www.xtec.cat/~lvallmaj/passeig/enunfor2.htm
http://www.xtec.cat/~lvallmaj/preso/fal-log2.htm
González Rodríguez, Francisco José. Apuntes de Lógica Matemática.
