Pensamiento computacional

Pensamiento Variacional y Tecnologías Computacionales

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Pensamiento Variacional y Tecnologías Computacionales

PROYECTO

Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y

Media de Colombia

Ministerio de Educación NacionalDirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.

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PROYECTO

Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo deMatemáticas de la Educación Básica Secundaria

y Media de Colombia

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBACoordinadora General del Proyecto

LUIS MORENO ARMELLAAsesor Internacional

CINVESTAV – IPN, México

EDITOR

Ministerio de Educación Nacional

Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.

Elaborado por:

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA.

Ministerio de Educación Nacional.

HENRY URQUINA LLANOS.

Ministerio de Educación Nacional.

ERNESTO ACOSTA GEMPELER.

Escuela Colombiana de Ingeniería.

Con la colaboración de:

FABIOLA RODRÍGUEZ GARCÍA.

Instituto Pedagógico Nacional.

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Diseño, Diagramación, Preprensa digital, Impresión y terminados:ENLACE EDITORES LTDA.

Primera edición: 1.500 ejemplares

ISBN: 958 - 97413 - 3 - 9

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización escrita delMinisterio de Educación Nacional - MEN

Derechos reservados

DISTRIBUCIÓN GRATUITA - PROHIBIDA SU VENTA

Impreso en Colombia

Bogotá, D.C., ColombiaAbril 2004

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XI

INSTITUCIONES PARTICIPANTES

La implementación nacional del proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia”, y la construcción del presente documento ha sido posible gracias a la participación de las siguientes instituciones educativas y docentes que hacen parte integral de la red consolidada en este proceso.

UNIVERSIDADES

Universidad de AntioquiaFacultad de Educación.Gilberto Obando Zapata. Coordinador Departamento de Antioquia.

Universidad del NorteDepartamento de Matemáticas.Margarita Viñas de La Hoz. Coordinadora Departamento del Atlántico.

Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”Facultad de Ciencias y Educación.Martha Bonilla Estévez. Coordinadora Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C.Jaime Romero Cruz. Coordinador Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C.

Universidad Pedagógica NacionalFacultad de Ciencia y Tecnología. Departamento de Matemáticas.Leonor Camargo Uribe. Coordinadora Bogotá D.C.

Universidad Pedagógica y Tecnológica de ColombiaFacultad de Ciencias.José Manuel Holguín. Coordinador Departamento de Boyacá.

Universidad de la AmazoníaFacultad de Ciencias de la Educación. Programa Lic. Matemáticas y Física.Javier Martínez Plazas. Coordinador Departamento del Caquetá.

Universidad Popular del CesarFacultad de Educación. Departamento de Matemáticas.Álvaro de Jesús Solano, Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad de CaldasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales.Carlos Barco Gómez. Coordinador Departamento de Caldas.

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XII

Universidad del CaucaFacultad de Educación. Departamento de Matemáticas.Yenny Rosero Rosero. Coordinadora Departamento del Cauca.Alba Lorena Silva Silva. Coordinadora Departamento del Cauca.

Universidad de la GuajiraFacultad de Ciencias Básicas.Ramón Bertel Palencia. Coordinador Departamento de la Guajira.

Universidad de los LlanosFacultad de Educación.Ivonne Amparo Londoño Agudelo. Coordinadora Departamento del Meta.

Universidad del MagdalenaDepartamento de Matemáticas.Pablo Gonzáles. Coordinador Departamento del Magdalena.Jesús Tinoco. Coordinador Departamento del Magdalena.

Universidad de NariñoFacultad de Educación. Departamento de Matemáticas.Oscar Fernando Soto. Coordinador Departamento de Nariño.Oscar Alberto Narváez Guerrero. Coordinador Departamento de Nariño.

Universidad “Francisco de Paula Santander”Facultad de Ciencias Básicas.Paulina Gómez Agudelo. Coordinadora Departamento Norte de Santander.Carlos Díaz. Coordinador Departamento Norte de Santander.

Universidad del QuindíoDepartamento de Matemáticas.Julián Marín Gonzáles. Coordinador Departamento del Quindío.Efraín Alberto Hoyos. Coordinador Departamento del Quindío.

Universidad Tecnológica de PereiraDepartamento de Matemáticas.Carlos Arturo Mora. Coordinador Departamento de Risaralda.

Universidad de SucreFacultad de Educación. Félix Rozzo. Coordinador Departamento de Sucre.Jesús Cepeda. Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad Industrial de SantanderFacultad de Educación & Escuela de Matemáticas.Jorge Enrique Fiallo Leal. Coordinador Departamento de Santander.

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XIII

Universidad Surcolombiana.Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.Gustavo Londoño Betancourt. Coordinador Departamento del Huila. Jaime Polanía Perdomo. Coordinador Departamento del Huila.

Universidad del TolimaFacultad de Educación.Rubén Darío Guevara. Coordinador Departamento del Tolima.Ivonne López. Coordinadora Departamento del Tolima.

Universidad del Valle Instituto De Educación y Pedagogía.Diego Garzón. Coordinador Departamento del Valle.Octavio Augusto Pabón. Coordinador Departamento del Valle.

Universidad Nacional de Colombia.Departamento de Matemáticas y Estadística.Miryam Acevedo de Manrique. Coordinadora Departamento del Amazonas.

Universidad de CórdobaFacultad de Educación.Jhon Jairo Puerta. Coordinador Departamento de Córdoba.

Escuela Colombiana de Ingeniería Julio GaravitoDirección de Ciencias Básicas.Ernesto Acosta Gempeler

SECRETARÍAS DE EDUCACIÓN

Secretaría de Educación Departamento del AtlánticoYolima Fernández Felízzola. Coordinadora Departamento del Atlántico.

Secretaría de Educación Departamento del PutumayoEdgar Gilberto Palacios. Coordinador Departamento del Putumayo.

Secretaría de Educación Departamento del HuilaRafael Blanco Fernández. Coordinador Departamento del Huila.

INSTITUCIONES EDUCATIVAS DE BÁSICA Y MEDIA

Departamento de AntioquiaColegio Santa Teresa. Medellín.Normal Superior. Envigado.Liceo Comercial Pedro Luis Álvarez. Caldas.Normal Superior María Auxiliadora. Copacabana.

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XIV

Normal Superior Pedro Berrío. Santa Rosas de Osos.Instituto Técnico Industrial Simona Duque. Marinilla.Liceo Fé y Alegría la Cima. Medellín.Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán. Carmen de Viboral.

Departamento del AtlánticoEscuela Normal Superior Nuestra Señora de Fátima. Sabanagrande.Instituto Pestalozzi. Barranquilla.Normal Superior Santa Ana. Baranoa.Normal Superior la Hacienda. Barranquilla.Escuela normal Superior de Manatí. Manatí.Colegio de Bachillerato Técnico. Santo Tomás.Colegio de Bachillerato Masculino. Sabanalarga.

Departamento de AmazonasInternado Indígena Femenino María Auxiliadora. Nazareth. Corregimiento de Leticia.INEM “José Eustasio Rivera”. Leticia.

Bogotá D.CCentro Educativo Distrital Rodrigo Lara Bonilla. (J.T).Colegio Distrital Heladia Mejía.Instituto Pedagógico Nacional.Colegio Distrital de Educación Básica y Media General Santander.Unidad Básica Rafael Uribe Uribe (J.M).Colegio Distrital Benjamín Herrera (J.M).Colegio República de Costa Rica.

Departamento de BoyacáInstituto Técnico Rafael Reyes. Duitama.Instituto Integrado Nalzado Silvino Rodríguez. Tunja.Colegio Nacional Sugamuxi. Sogamoso.Normal Superior Santiago de Tunja. Tunja.Normal Superior Sor. Josefa del Castillo y Guevara. Chiquinquirá.Colegio Julius Sierber. Tunja.

Departamento de CaldasNormal Superior de Caldas. Manizales.Colegio la Asunción. Manizales.Normal Superior María Escolástica. Salamina.Instituto Nacional Los Fundadores. Riosucio.

Departamento del CesarNormal Superior María Inmaculada. Manaure.Colegio Manuel Germán Cuello. Anexo a la Universidad Popular del Cesar. Valledupar.Colegio Nacional Loperena. Valledupar.Instituto Técnico Industrial Pedro Castro Monsalve. ValleduparInstituto Técnico Industrial La Esperanza. Valledupar.

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XV

Departamento del CaquetáColegio Juan Bautista la Salle. Florencia.Colegio Nacional La Salle. Florencia.Escuela Normal Superior. Florencia.Colegio Cervantes. Morelia.

Departamento del CaucaLiceo Nacional Alejandro Humboldt. Popayán.Instituto Técnico Industrial. Popayán.INEM Francisco José de Caldas. Popayán.Instituto Nacional Mixto. Piendamó.

Departamento de CórdobaNormal Superior. Montería.Normal Superior Lácidez A. Iriarte. Sahagún.Colegio Marceliano Polo. Cereté.

Departamento de CundinamarcaInstituto Técnico Industrial. Tocancipá.Instituto Técnico Industrial Capellanía. Fúquene.Instituto Técnico Industrial. Zipaquirá.Colegio Departamental San Juan de Rioseco.Normal Superior Nuestra Señora de la Encarnación. Pasca.

Departamento de la GuajiraColegio Helión Pinedo Ríos. Riohacha.Colegio Livio Reginaldo Fishioni. Riohacha.Colegio La Divina Pastora Riohacha.Colegio Santa Catalina de Sena. Maicao. Normal Superior San Juan del Cesar.

Departamento del HuilaINEM Julián Motta Salas. Neiva.Liceo Santa Librada. Neiva.Normal Superior. Neiva.Normal Superior. Gigante.

Departamento del MetaNormal Superior María Auxiliadora. Granada.Colegio Enrique Olaya Herrera. Puerto López.INEM Luis López de Mesa. Villavicencio.Unidad Educativa de Cabuyaro. Cabuyaro.

Departamento del MagdalenaNormal Superior San pedro Alejandrino. Santa Marta.Colegio de Bachillerato de Bonda. Bonda.Liceo Antonio Nariño. Santa Marta.Normal de Señoritas. Santa Marta.

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XVI

Departamento de NariñoINEM Mariano Ospina Rodríguez. Pasto.Colegio Ciudad de Pasto. Pasto.Liceo Central Femenino. Pasto.Colegio San Bartolomé de la Florida. La Florida.Colegio Nacional Sucre. Ipiales.Normal Superior. Pasto.Colegio María Goretti. Pasto.

Departamento de Norte de SantanderColegio Nacional de Bachillerato. Cúcuta.Colegio Departamental Integrado Once de Noviembre. Los Patios.Colegio Femenino Departamental de Bachillerato. Cúcuta.Colegio Departamental Carlos Pérez Escalante. Cúcuta.Normal Superior María Auxiliadora. Cúcuta.

Departamento del PutumayoColegio Alvernia. Puerto Asís.Colegio Nacional Pío XII. Mocoa.Colegio Agropecuario Guillermo Valencia. Villagarzón.Colegio Fray Bartolomé de Igualada. Sibundoy.

Departamento del QuindíoInstituto Técnico Industrial. Armenia.Normal Superior. Armenia.Colegio los Fundadores. Montenegro.Institución Educativa Ciudadela Henry Marín Granada.Circasia.Instituto Tebaida. La Tebaida.Colegio Teresita Montes. Armenia.

Departamento de RisaraldaInstituto Técnico Superior. Pereira.Normal Superior de Risaralda. Pereira.Instituto Técnico Industrial Nacional. Santa Rosa.Colegio Pablo Sexto. Dosquebradas.

Departamento de SucreLiceo Carmelo Percy Vergara. Corozal.Colegio Antonio Lenis. Sincelejo.Normal Superior de Corozal. Corozal.

Departamento de SantanderINEM Custodio García Rovira. Bucaramanga.Centro educativo Las Américas. Bucaramanga.Escuela Normal Superior. Bucaramanga.Instituto Santa María Goretti. Bucaramanga.Colegio Vicente Azuero. Floridablanca.Colegio Nacional Universitario. Socorro.

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XVII

Departamento del TolimaInstituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán Ayala. Líbano.Colegio Nuestra Señora de las Mercedes. Icononzo.Colegio Nacional San Simón. Ibagué.Normal Superior. Ibagué.INEM Manuel Murillo. Ibagué.Colegio de Bachillerato Comercial Camila Molano. Venadillo.Institución Educativa Santa Teresa de Jesús. Ibagué.

Departamento del ValleColegio Joaquín Caicedo y Cuero. Cali.Normal Superior de Señoritas. Cali.Colegio Manuel María Mallarino. Cali.Colegio Mayor. Yumbo.Instituto Técnico Industrial Humberto Raffo Rivera. Palmira.Escuela Normal Superior Santiago de Cali. Cali.

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XIX

AGRADECIMIENTOS

La Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media del Ministerio de Educación Nacional agradece de manera especial:

� A los niños y niñas colombianas de las diversas regiones que sustentados en su inte-ligencia, talento y capacidad creativa vienen aprovechando las posibilidades que brindan las nuevas tecnologías para aprender unas matemáticas con sentido para sus vidas y que nos han permitido construir e implementar situaciones y propuestas para el estudio de la variación y el cambio en el contexto escolar.

� A los Coordinadores del proyecto que han

dinamizado el trabajo a nivel regional permi-tiendo la construcción de situaciones para el trabajo de aula sobre la variación y el cambio con tecnología.

� A los maestros y maestras del país que han asumido el compromiso y reto de avanzar en el diseño, implementación y evaluación de las situaciones de aula sobre la variación y el cambio con tecnología.

� A las Universidades que han asumido el lide-

razgo regional y el acompañamiento a los

procesos de desarrollo, innovación e inves-tigación en el uso de Nuevas Tecnologías en la Educación Matemática.

� A las Secretarías de Educación Departa-mentales, Distritales y Municipales que han asumido el liderazgo y gestión de los procesos de incorporación de nuevas tecno-logías informáticas en sus territorios.

� A los Consejos Directivos y rectores de las Instituciones educativas de básica y media que han hecho posible la generación de condiciones para la implementación y soste-nibilidad del proyecto en sus instituciones.

� A los padres de familia que consientes de la necesidad de aproximar a las nuevas gene-raciones en conocimientos y experiencias en punta, han apoyado y contribuido a la incor-poración de nuevas tecnologías en la educa-ción matemática.

� A los investigadores e innovadores que vienen aportando en la generación de cono-cimiento y experiencias significativas sobre el uso de nuevas tecnologías en la educación matemática.

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CONTENIDO

INSTITUCIONES PARTICIPANTES. ..................................................................................................... XIAGRADECIMIENTOS. ................................................................................................................... XIXCONTENIDO. .............................................................................................................................. XXIPRESENTACIÓN. ....................................................................................................................... XXIIIINTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................XXV

CAPÍTULO 1LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS. ..............................1

1.1 Los inicios: un mundo cambiante. .................................................................................11.2 La representación retórica y los rudimentos del estudio de las nociones de variable, dependencia o función . ...................................................................................11.3 De la retórica a la comprensión y representación sincopada (abreviada) y la ampliación de algunas relaciones funcionales de fenómenos de variación y cambio.. ......31.4 La transición hacia sistemas de representación simbólica(algabraica actual) y el surgimiento de la Variable y la Función. .....................................................................51.5 La Consolidación del Sistema de Representación Simbólico (algebraico actual) y de la Función como Representación de Procesos de Variación y Cambio. .....................71.6 La interacción entre sistemas de representación ejecutables en el estudio y comprensión sistemática de la variación y el cambio .....................................................9

CAPÍTULO 2LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS DE COLOMBIA. ........................11

2.1 El Movimiento Internacional de transformación y reforma de la Educación Matemática. .......................................................................................................................112.2 La Renovación Curricular de Matemáticas en Colombia: impulso al estudio de la variación y el cambio. ...............................................................................................112.3. Desarrollo del Pensamiento Variacional: uno de los Lineamientos Básicos en el Currículo de Matemática de Colombia. ....................................................................13

CAPÍTULO 3EL PENSAMIENTO VARIACIONAL. ...................................................................................................17

3.1 Situaciones de Variación y Cambio. ............................................................................173.1.1 Descripción e interpretación de situaciones de variación y cambio desde un punto de vista cualitativo.. .......................................................................183.1.2 Formas de representación cualitativa de estas situaciones. ...........................193.1.3 Formas de representación cuantitativa de situaciones de variación y cambio. .................................................................................................................... 19

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XXII

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES

3.1.4 Interpretación de representaciones de situaciones de variación y cambio. ...213.2 La variable y el concepto de función. .........................................................................213.3 La modelación variacional: un ejemplo. .....................................................................23

CAPÍTULO 4USO DE TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES. ....................................................................................27

4.1 Los programas de geometría dinámica. .......................................................................274.2 Las calculadoras graficadoras. ....................................................................................28

CAPÍTULO 5SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA. ....................................................................................................31

5.1 Propósitos y lineamientos generales ..........................................................................315.2 Momentos del trabajo de aula con tecnología en situaciones de variación y cambio. ...........................................................................................................................325.3 Propuesta del tratamiento didáctico de las actividades ..............................................33

5.3.1 Observación y descripción de la situación. ...................................................335.3.2 Predicción de la gráfica. ................................................................................335.3.3 Registro de los datos en una tabla y descripción de la variación. .................335.3.4 Visualización de la gráfica formada por un conjunto de valores registrados.345.3.5 Relacionar la información obtenida en la gráfica con la información obtenida en la tabla. ................................................................................................345.3.6 Hacer aproximaciones de la expresión algebraica que mejor relaciona las variables. ...........................................................................................................355.3.7 Hacer el cálculo de regresión .........................................................................35

5.4 Situaciones didácticas que promueven el desarrollo del pensamiento variacional y potencian el papel mediador de las nuevas tecnologías computacionales ....................35

5.4.1 Modelación del Movimiento Pendular. .........................................................355.4.2 Simulación del Movimiento de Aviones. .......................................................375.4.3 La función seno y su gráfica. .........................................................................455.4.4 Estudio de la simulación del lanzamiento de un cuerpo. ...............................485.4.5 Simulaciones en Cabri para diseñar otras actividades. ..................................515.4.5.1 Variación del radio y la circunferencia .......................................................515.4.5.2 Variación del ancho y la altura de un rectángulo con perímetro fijo ..........515.4.5.3 Variación del ancho (o el largo) y el área de un rectángulo con perímetro fijo ..........................................................................................................525.4.5.4 Variación del radio y el área del círculo .....................................................525.4.5.5 Variación del ancho (o el largo) del rectángulo inscrito en una circunferencia y su área ..........................................................................................525.4.5.6 Variación de un ángulo de un trapecio inscrito en una semicircunferencia y la altura del trapecio ............................................................................................525.4.6 La derivada como razón de cambio ...............................................................53

BIBLIOGRAFÍA. ...............................................................................................................................63

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XXIII

PRESENTACIÓN

El Ministerio de Educación Nacional, compro-metido con el mejoramiento de la calidad de la educación y respondiendo de manera efectiva a las necesidades, tendencias y retos actuales de la educación matemática, viene adelantando desde el año 2000, la implementación del proyecto Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currí-culo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia, con el cual se viene instaurando una nueva cultura informática en el país apro-vechando el potencial formativo que brindan las tecnologías computacionales, específicamente los sistemas computacionales gráficos y alge-braicos.

La columna vertebral del proyecto ha sido la formación permanente de los docentes, centrada en la reflexión sobre su propia práctica en el salón de clase y en las posibilidades pedagógicas y didácticas del recurso tecnológico. La dinámica lograda viene impulsando la consolidación de grupos de estudio regionales con profesores de matemáticas de la educación secundaria y media, de las universidades y con profesionales de las Secretarías de Educación, de manera que se ha enriquecido la reflexión teórica y la experiencia práctica y se han creado condiciones de sostenibilidad a largo plazo.

Las posibilidades que brindan las tecnologías computacionales (computadores y calculadoras gráficas y algebraicas), como instrumentos mediadores en el aprendizaje de los alumnos, en la construcción de conocimientos y en la

comprensión de lo que hacen, viene impulsando en el país una verdadera revolución educativa, una oportunidad para acceder a la información y al conocimiento universal y la transformación de las escuelas desde las particularidades de las diferentes regiones que integran el país.

Maestros más creativos y comprometidos con su ejercicio profesional; estudiantes activos haciendo matemática y colocando en juego todo su talento en horarios de clase y extra clase; comunidades educativas que en ejercicio de su autonomía se han cohesionado en torno a la incorporación de tecnologías; articulación entre los niveles educativos básico, medio y superior; en síntesis, una gama de opciones alternativas que nos permite creer firmemente que la educación matemática será cada día de mejor calidad.

Las reflexiones y propuestas sobre el estudio de la variación y el cambio con mediación de nuevas tecnologías computacionales gráficas y algebraicas constituyen un aporte a la comu-nidad educativa para fortalecer los procesos de formación de docentes, especialmente en la construcción de ambientes de aprendizaje con tecnología, y en una herramienta de trabajo para promover la discusión y construcción nacional sobre la diseminación de la cultura informática en la educación matemática colombiana.

Los autores

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XXV

INTRODUCCIÓN

El estudio de procesos de variación y cambio constituye uno de los aspectos de gran riqueza en el contexto escolar. El énfasis actual en la educación matemática orientado hacia el desa-rrollo del pensamiento matemático a partir de situaciones problemáticas significativas para los estudiantes, hacen del estudio de la varia-ción y el cambio con mediación de herra-mientas tecnologías computacionales gráficas y algebraicas un campo de acción y formación potente en la educación matemática del país. Atendiendo a esto, en el presente documento se presentan ideas y propuestas sobre el desarrollo del pensamiento variacional y el uso de nuevas tecnologías.

Se parte en el capítulo uno de una ubicación de la “La variación y el cambio a la luz de la histórica de las matemáticas”; en un esfuerzo de síntesis, se ubican algunos de los momentos relevantes de su estudio desde una perspectiva histórica. El énfasis marcado en lo geométrico y algebraico en las épocas de la antigüedad clásica, la edad media y el renacimiento, han hecho muy exigente el rastreo de la manera como se ha estudiado la variación y el cambio y, naturalmente los sistemas de representación para ello construidos.

En el Capítulo dos: “La variación y el cambio en el Currículo de Matemáticas de Colombia”, se ubica a los lectores en la manera como se ha incorporado en la educación matemática colombiana de los niveles de básica y media el estudio de situaciones, fenómenos o procesos cambiantes o variables.

En el capítulo tres: “El pensamiento Variacional”, se hace una aproximación conceptual a lo que se asume en el contexto del documento por variación, cambio, variable, función, los diversos sistemas de representación y los momentos para el estudio sistemático y la comprensión de procesos o fenómenos de variación y cambio en contextos escolares.

En el capítulo cuatro: “Uso de Tecnologías Computacionales”, se reconoce el potencial mediador de los sistemas computacionales dinámicos, gráficos y algebraicos en el estudio sistemático de procesos o fenómenos variables o cambiantes.

En el capítulo 5: “Situaciones Didácticas para el Desarrollo del Pensamiento Variacional con Mediación Tecnológica” se presentan diversas situaciones didácticas que potencian el uso de tecnologías computacionales dinámicas, gráficas y algebraicas en el estudio de procesos o fenómenos de variación y cambio.

El particular enfoque en el tratamiento del tema, en el sentido de reconocer y avanzar en la comprensión de la variación y el cambio y los sistemas de representación a ellos conexos y, no al contrario, el partir de lo algebraico, tabular o gráfico (en el mayor de los casos de manera aislada o fragmentada), como sistemas de representación privilegiados para modelar fenómenos o procesos cambiantes o varia-bles, han colocado un alto grado de exigencia al proceso de producción de este documento. Atendiendo a ello, se estima que las ideas, argu-

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mentos y propuestas que se hacen, constituyen un referente para potenciar el desarrollo del pensa-miento matemático desde el estudio sistemático

de procesos de variación y cambio aprovechando el potencial mediador de las nuevas tecnologías computacionales en el contexto escolar.

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1

LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO

A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS1

Un mundo dinámico en permanente transformación ha constituido el escenario propicio para que el hombre se sensibilice e interese por la comprensión de la variación y el cambio en el transcurso de la historia.

La comprensión científica de la variación tomó auge en el periodo comprendido entre los siglos XIV y XVII en el que se centra el interés por el estudio de las cualidades en situaciones como el movimiento, la intensidad luminosa o la intensidad de calor, inspirados en los trabajos científicos de Aristóteles y de los filósofos esco-lásticos sobre tópicos como el infinito, el infi-nitesimal y la continuidad (Moreno y Zubieta, 1996, Pág. 457).

1.1 Los inicios: un mundo cambiante

Desde la época prehistórica, cuando surgieron las primeras nociones e ideas matemáticas (Collette, J.P., 2000. Pág. 4-5), la observación del cambio en la posición de las ramas de los árboles por la influencia del viento; el despla-zamiento de un lugar a otro para las labores de recolección; el desarrollo de técnicas y herra-mientas para la caza y la pesca; la sucesión del día a la noche y su relación con el cambio en la posición del sol, la luna y las estrellas; el vínculo entre la posición de los astros y los procesos de producción agrícola; los aspectos cambiantes de la vegetación y el tamaño de los rebaños de animales domesticados; el desarrollo de rituales colectivos con largas procesiones de partici-pantes; permite inferir, que el hombre se hizo

sensible y observó fenómenos cambiantes, que impulsaron el desarrollo de tecnologías mate-riales y simbólicas elementales (herramientas, lenguaje gestual, lenguaje verbo icónico), que sentaron las bases para el surgimiento posterior de sistemas de representación escritos mucho más complejos.

1.2 La representación retórica y los rudimentos del estudio de las nociones de variable, dependencia o función

La consolidación de la escritura (Hacia el 3000 a.C), impulsó el surgimiento de diversos tipos e instrumentos de registro a través de los cuales ha sido posible conocer el saber social y cultural construido a partir de la antigüedad.

A partir de tablillas de arcilla encontradas en excavaciones arqueológicas, se ha podido veri-ficar que en la época antigua (desde la aparición de la escritura hasta la caída del imperio romano en el 476 d. C), la civilización Babilónica (ubicada en Mesopotamia – hoy Irak – 5000 a. C), avanzó en lo que se denomina “álgebra retó-rica”, en la que los problemas se enunciaban y solucionaban sin utilizar de manera sistemá-tica notaciones algebraicas como las actuales. De igual manera, resolvían en lenguaje verbal (oral – escrito) lo que actualmente se conoce como ecuaciones cuadráticas (por compleción del cuadrado o por sustitución), algunas ecua-ciones cúbicas y bicuadráticas y sistemas de ecuaciones de varios tipos con dos incógnitas,

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que incluían generalmente una ecuación lineal y una ecuación de segundo grado.

Por ejemplo, uno de los problemas consistía en “conocer la longitud del lado de un cuadrado cuya área menos el lado es igual a 870°”, que equivale a resolver en la actualidad la ecuación

; otro de los problemas conte-nidos en los textos babilónicos eran del tipo

, cuya solución se basaba en la utili-zación de una tabla que se ha encontrado, en la que se daban las combinaciones de la forma

para 1 < n < 30.

En las transformaciones algebraicas (nombre con el cual se le conocen actualmente), asumiendo de manera tácita las propiedades conmutativa y distributiva, consiguieron obtener algunas rela-ciones algebraicas (Collette, J.P; 2000. Pág. 26 –29).

La civilización Egipcia (3100 – 322 a. C aprox.), según se ha podido encontrar en papiros como los del Rhin y de Moscú, logró algunos avances en el campo algebraico. A partir del abordaje de problemas de la vida cotidiana, como: el reparto de panes, grano o animales, la fermen-tación del pan, la cantidad de granos necesarios para producir cantidades dadas de cerveza, o la cantidad de granos de una calidad necesaria para obtener el mismo resultado con granos de otra calidad, cuya “fuerza” relativa al primero fuera conocida, la estimación de la comida de los animales y el almacenamiento de productos alimenticios, etc., avanzaron en la solución verbal de ecuaciones lineales aplicando el método de la falsa posición y en el trabajo con progresiones aritméticas y geométricas, empleando unos pocos símbolos (Collette, J.P., 2000. Pág. 40 – 58; Kline, M. 1994. Pág. 44).

Debido a lo esencial del Río Nilo y la incidencia de sus inundaciones periódicas en la producti-vidad de su población, lograron la estimación

empírica de la duración de un año. A partir de la observación de los cambios y constantes en la visibilidad de una estrella (Sirio), en relación con la salida y ocultamiento del sol durante determinadas épocas, estimaron y adoptaron un calendario civil con un año de 365 días, dividido en 12 meses de 30 días, más cinco días extras al final; la única diferencia con el calendario actual, es que los Egipcios, no inter-calaron el día adicional cada cuatro años, por lo que el calendario se iba retrazando poco a poco con respecto a las estaciones, y al cabo de 1460 años volvía a la situación inicial (Kline, M. 1994. Pág. 44 – 45).

La civilización Griega ( 2800 a. C – 600 d. C aprox., ubicada en el Asia Menor en el territorio continental europeo que constituye la actual Grecia, y en el sur de Italia, Sicilia, Creta, Rodas, Delos y el norte de África), que a partir del siglo VI a. C, se preocupó no sólo por investigar el “como”, sino sobre todo de establecer el “por qué” de las cosas, impulsó la transformación de las matemáticas en una ciencia deductiva (al menos a partir de Pitágoras en el siglo VI a. C) (Collette, J.P., 2000. Pág. 66).

Como se ha podido encontrar a partir de los códices bizantinos manuscritos en griego, escritos entre 500 y 1500 años después de que fueran escritas las obras originales griegas (Kline, M. Pág. 49), fundamentados en una escri-tura basada en un alfabeto fácil de aprender y en sistemas de numeración en base 10 (“Ático” o “Herodiano” y “Jónico” o “Alfabético”), inven-taron procesos geométricos ingeniosos para llegar a solucionar problemas algebraicos.

Según algunos historiadores, especialmente en el libro II de los elementos de Euclides, la más importante y singular obra de las mate-máticas griegas, dan a entender cierta geome-tría algebraica, en la que las construcciones geométricas tienen la misma función que las


LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

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operaciones algebraicas. Euclides resuelve los primeros teoremas con conceptos geométricos. El concepto de “magnitud” se usó para deter-minar cualquier objeto geométrico, el segmento de una línea o bien una figura, y los teoremas tratan las construcciones y las relaciones entre dichas magnitudes (ManKiewicz, R, 2000).

En la línea de la denominada geometría alge-braica, se destacan la demostración de identi-dades algebraicas y la solución de ecuaciones cuadráticas, a partir de dos métodos: el método de las proporciones y el método de la aplicación de las áreas.

Por ejemplo, el método de la aplicación de las áreas, consistía en llevar sobre una recta (como base), con un ángulo dado, un paralelogramo que debía ser igual (en superficie) a cualquier figura rectilínea dada. En los problemas más difíciles, el paralelogramo utilizado puede sobresalir de la base, o ser inferior a la línea dada para un parale-logramo semejante (Collette, J.P., Pág. 79 – 81).

Como señalan Azcárete y Deulofeu (1996), a pesar de que las ideas de cambio o cantidad variable no eran ajenas a los Griegos, que habían considerado problemas sobre movimiento, continuidad o infinito desde los tiempos de Heráclito y Zenón, y a los cuales dedica Aristó-teles buena parte de su física, se puede asegurar que ni los aspectos de cambio ni los referidos al movimiento fueron estudiados desde un punto de vista cuantitativo por la ciencia griega, más que en algunos momentos muy concretos que no pueden hacer cambiar la idea general de que el estudio de la matemática pura prevaleció sobre la cinemática. Esta puede ser una razón importante para explicar por qué el concepto de función permaneció prácticamente en su prehistoria al final de lo que hemos llamado la edad antigua.

En términos generales, sustentan Azcárete y Deulofeu, en el mundo antiguo aparecen

las primeras relaciones funcionales ligadas a problemas principalmente astronómicos, en forma tabulada a partir de interpolaciones gene-ralmente lineales, que alcanzan su mayor preci-sión en el Almagesto de Ptolomeo que llega a introducir con su tabla de cuerdas la función seno. No obstante, ni estas funciones tabuladas ni los trabajo sobre curvas ligados al estudio de las cónicas, realizados por los Griegos, princi-palmente por Apolonio, llevaron al parecer a ningún tipo de consideración general sobre la idea de variable o de función.

Algunos obstáculos conceptuales que hicieron que en la época antigua el estudio de fenó-menos de cambio sea aún muy reducido y que las aproximaciones cuantitativas y cualitativas de dichos fenómenos se hallen todavía total-mente disociadas y por tanto no sea posible hablar de la formulación explícita de nociones como variable, dependencia o función, estu-vieron relacionadas con: el uso de proporciones o la disociación entre número y magnitud, así como el carácter eminentemente geométrico de la matemática griega y a ellos cabría añadir los problemas debidos al simbolismo, totalmente inexistente en lo que se refiere al estableci-miento de expresiones algebraicas, a excepción de los interesantes intentos de Diofanto, aunque en forma retórica, conceptualmente relacio-nado con la dependencia funcional (Azcárate J., Carmen & Deulofeu P., Jordi; 1996).

1.3 De la retórica a la comprensión y representación sincopada (abreviada) y la ampliación de algunas relaciones funcionales de fenómenos de variación y cambio.

Desde Diofanto (250 d. C) hasta finales del Siglo XIV d. C, se introdujeron algunas abre-viaturas para las incógnitas y las relaciones de



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uso frecuente, pero los cálculos se desarrollan en lenguaje natural, que dio origen a la deno-minada álgebra sincopada, caracterizada por el empleo de síncopas o abreviaciones.

Este periodo que comprende la época histórica de la Edad Media, se caracteriza en el campo de las matemáticas por el trabajo de las árabes, que retomaron el relevo de los griegos y permitieron que el legado de estos llegara a occidente. En relación con la idea de función, a pesar del notable incremento en el número de funciones consideradas, que abarca, entre otras, la mayoría de funciones trigonométricas, así como la mejora de los métodos de estudio de las mismas, ampliando y perfeccionando los sistemas de interpolación esenciales para la tabulación de funciones, no es posible hablar de un cambio sustancial en el tratamiento de las mismas, ni se tienen indicios que permitan pensar que los árabes avanzaron hacia el concepto general.

No obstante, es importante destacar, que una de las preocupaciones de la Edad media, fue el estudio de las cosas sujetas al cambio, y en particular del movimiento. Las escuelas de filosofía natural de Oxford y París, dos de los principales núcleos científicos de este periodo, que tuvieron su mayor florecimiento durante el siglo XIV y que consideraban las matemáticas griegas como un instrumento esencial para el estudio de los fenómenos de la naturaleza, hicieron grandes aportes en los que se destacan al inicio de un estudio cuantitativo del movi-miento local no uniforme, partiendo inicial-mente de las doctrinas aristotélicas.

A partir del siglo XIII el estudio cuantitativo de fenómenos adquiere gran relevancia. Se analizan cualidades y formas, según la termino-logía propuesta por Aristóteles, de fenómenos muy diversos como calor, luz, densidad, velo-cidad, que pueden poseer varios “grados” de “intensidad” que cambian entre dos límites esta-

blecidos; la intensidad se considera en relación a su “extensión” con el tiempo o la cantidad de materia. En el transcurso de estos estudios, y al margen del valor concreto de cada uno de ellos, empiezan a aparecer conceptos funda-mentales como cantidad variable, entendida como un grado de cualidad, velocidad instan-tánea o puntual, aceleración, todos ellos ínti-mamente ligados a la idea de función (Azcárate J., Carmen & Deulofeu P., Jordi; 1996)

De la escuela francesa se destaca Nicolás Oresme, que continuando el estudio sobre los fenómenos que cambian, abre una nueva vía al proponer una aproximación geométrica, frente a los estudios cinemático – aritméticos desa-rrollados hasta el momento, en su teoría sobre las latitudes de las formas (Tratado De confi-gurationibus qualitatum et motuum), que se fundamenta en el uso de segmentos rectilíneos para representar todo lo que varía, ya que todo lo medible puede imaginarse como un cantidad continua, pasando después a la representación de diversos tipos de cambio. De esta forma, por ejemplo, para representar la velocidad de un móvil a lo largo del tiempo, Oresme traza un segmento horizontal cuyos puntos representan los sucesivos instantes de tiempo (longitud) y para cada instante traza un segmento perpendi-cular (latitud) cuya longitud representa la velo-cidad en aquel instante.

Fig. 1. Oresme y la representación del Cambio

La teoría de las latitudes de las formas de Oresme, destaca por el carácter general de los



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primeros problemas abordados, pero pronto restringe su campo con la distinción de tres tipos de configuraciones, las uniformemente uniformes (de latitud constante y por consi-guiente la línea superior o de intensidades es una recta paralela a la de las longitudes), las uniformemente diformes (la variación de las latitudes da una línea superior o de intensidad igual a una recta) y las diformemente diformes (la línea superior no es una recta), descritas negativamente como las que no pertenecen a ninguna de las configuraciones anteriores. Con este tipo de representaciones, que recuerdan mucho la llamada representación gráfica de una función sobre unos ejes cartesianos, Oresme pretende que se entienda más fácil y más rápi-damente la naturaleza de los cambios, ya sean cuantitativos o cualitativos, de forma que sea posible dar una representación de todos ellos. No obstante no se puede considerar estas repre-sentaciones como la expresión de una depen-dencia en sentido actual.

1.4 La transición hacia sistemas de representación simbólica(algabraica actual) y el surgimiento de la Variable y la Función

El apogeo en el estudio sistemático de procesos de variación y cambio relacionados con el movi-miento, la intensidad luminosa y la intensidad de calor, se da en el periodo que va desde el Siglo XV hasta el Siglo XVII, con los trabajos de Tarta-glia, Cardan, Vieta, Galileo, Descartes, Wallis, Newton y Leibniz, que construyeron a partir de Vieta con influencia de Napier, Descartes y Wallis, el álgebra simbólica (Sigma, 1985, Pág. 43). En el álgebra simbólica se usan letras para todas las cantidades y signos para representar las operaciones, se utiliza el lenguaje simbólico no sólo para resolver ecuaciones sino también para demostrar reglas generales (Malisani, E. 1999,

Pág. 4). Desde distintos puntos de vista, desde esta época, se da paso al nacimiento primero de la geometría analítica y luego del cálculo infi-nitesimal, con el consiguiente progreso para el estudio de las funciones que permitirá la apari-ción de las primeras definiciones así como el término de función.

Los avances de Galileo sobre el estudio expe-rimental del movimiento usando ingeniosos instrumentos para tomar medidas que le permi-tieron establecer leyes entre magnitudes que son auténticas relaciones funcionales, a pesar de basarse y expresarse en la clásica teoría griega de las proporciones, resulta decisiva para el establecimiento del concepto matemá-tico de función.

Hasta el siglo XVII, un a función podía intro-ducirse utilizando una expresión verbal, una tabla, una gráfica, e incluso en ciertos casos una comparación de carácter cinemático. Hacia 1637, Descartes Publicó su trabajo “La géométrie”, libro que marca el nacimiento y expansión de la geometría analítica, que permitirá, a partir de este momento, interpretar curvas y superficies por medio de ecuaciones, y que un siglo más tarde llevó a la algebriza-ción de la geometría. Esta idea fundamental, afectó de forma decisiva a las funciones, ya que en este mismo trabajo aparece por vez primera el hecho de que una ecuación en x e y es una forma para expresar una dependencia entre dos cantidades variables, de manera que a partir de ella, es posible calcular los valores de una variable que corresponden a determi-nados valores de otra.

Siguiendo a Azcárate y Deulofeu, para llegar a las ideas fundamentales, que permitieron con el tiempo, considerar por un lado las funciones como relaciones entre conjuntos de números, más que como entre “cantidades”, y por otro representar las función por medio de fórmulas,



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se habían producido en el campo de las mate-máticas dos avances muy importantes en la segunda mitad del siglo XVI: los progresos reali-zados en la extensión del concepto de número, con la configuración de los números reales y la primera aparición de los números imagina-rios, y la aparición del álgebra simbólica, en la que cabe destacar la introducción de signos para numerosas operaciones y especialmente la utilización de letras para representar cantidades desconocidas y coeficientes arbitrarios distin-guiendo claramente una cosa de otra.

Junto a Descartes, se destaca el trabajo de Fermat, el cual en una publicación póstuma de 1679, escrita antes de 1637, expone los princi-pios fundamentales del método de las coorde-nadas. Al igual que Descartes, tomó un eje de referencia y en él un punto fijo, el origen de segmentos variables, a partir de cuyos extremos toma otros segmentos variables, generalmente perpendiculares a aquellos, de manera que el extremo de este segundo segmento dibujará una curva que dependerá de la relación alge-braica establecida entre los dos segmentos variables. En esa memoria aparece, de manera más explicita que en Descartes, la ecuación de la recta, siguiendo la notación de Viète, así como las ecuaciones de la circunferencia y de las demás cónicas.

Como se observa, Descartes consideró sola-mente las funciones algebraicas, excluyendo incluso las curvas mecánicas que no podían ser tratadas según su método de análisis, alejando así la vinculación de las matemá-ticas con la física, como fruto de su parti-cular visión de aquella ciencia. No obstante, pocos años después, el descubrimiento del desarrollo de funciones en series infinitas de potencias, debido entre otros a Newton, redujo notablemente las restricciones de Descartes, haciendo posible la representación analítica de la mayoría de funciones estudiadas en aquellos

tiempos. El desarrollo en series de potencias de una función tuvo una gran importancia, a partir de la mitad del siglo XVII, hasta el punto que durante mucho tiempo se convirtió en el método fundamental para el estudio de las funciones.

A manera de síntesis se puede señalar que Newton hizo grandes contribuciones al desa-rrollo del estudio de las funciones, entre las que se destacan:

- Su interpretación geométrico – cinemática de los conceptos fundamentales del análisis matemático, siguiendo las ideas de Barrow, en las que tomando el tiempo como argu-mento analiza las variables dependientes como cantidades continuas que poseen una determinada velocidad de cambio.

- Sus ideas sobre el cálculo infinitesimal, expuestas en uno de sus trabajos principales, el método de fluxiones y series infinitas, escrito en 1671 y publicado en 1736, en los que a partir de la exposición de sus ideas básicas a través de la mecánica, presentó los dos principales problemas del cálculo infi-nitesimal, la diferenciación y la integración, en términos de movimiento, es decir dada la ley para la distancia determinar la velocidad, para el primer caso, y dada la velocidad determinar la distancia, para el segundo. En efecto al determinar un movimiento x = f(t) sobre le eje x, en el tiempo t, lo que carac-teriza dicho movimiento es su velocidad, es decir el valor del límite del cociente de diferencias ∆x / ∆t. Esta velocidad, con la cual varía la variable x en el tiempo, es la que Newton llama “fluxión de x” que repre-senta asimismo por x, y dependientes de una variable primitiva t, el tiempo de manera que la derivada de y respecto a x es el cociente de dos fluxiones y´ / x´, lo que en la actualidad se escribe como dy /dt: dx / dt.



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Gottfried W. Leibnitz, contemporáneo y rival de Newton, otro matemático de la segunda mitad del siglo XVII, contribuyó decidida-mente el concepto de función. Al igual que Newton, sus primeras obras fueron dedi-cadas al estudio de las series infinitas. Hacia 1673, se dio cuenta que la determinación de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas cuando éstas tienden a cero, así como el cálculo de las áreas depende de la suma de las ordenadas o de los rectángulos cuya abscisa tiende a cero y que ambos son problemas inversos, llegando a la misma conclusión de Newton que se encontraba ante un método de gran importancia por su gene-ralidad. Introdujo las notaciones que todavía perviven para representar las diferenciales (dx, dy) y para la integral ∫, una s estilizada que es la inicial de la palabra suma.

El término función aparece por primera vez en un escrito de Leibnitz de 1673. Inicial-mente tiene un significado muy particular, pues se refiere a un problema de cálculo de ordenadas a partir de cierta propiedad de las tangentes; hacia 1694, utiliza la palabra en un sentido más general, aunque todavía poco preciso, y referido como siempre a cuestiones de geometría diferencial. Conjuntamente con Jean Bernoulli, muestra cómo el deseo para expresar mediante una palabra cantidades que dependen de una cierta variable se encuentra todavía restringida a las expresiones analíticas. En este sentido, una función arbitraria de x es una cantidad formada de manera cualquiera a partir de x y de constantes, esta “manera cualquiera” se entiende como una expresión algebraica o trascendente. No obstante, cabe destacarse que parece observarse una supera-ción de la concepción cinemática del término variable puesto que ésta se considera ya como un elemento genérico de un conjunto numérico cualquiera.

1.5 La Consolidación del Sistema de Representación Simbólico (algebraico actual) y de la Función como Representación de Procesos de Variación y Cambio

En los siglos XVIII y XIX con los trabajos de Jean Bernoulli, Leonard Euler, Lagrange, Fourier y de Dirichlet se consolida el sistema de representación simbólico del álgebra actual y la noción de función como representación de procesos de variación y cambio.

Durante el siglo XVIII el análisis matemático va cobrando cada vez mayor importancia e independencia como disciplina, perdiendo su carácter geométrico y mecánico a favor del uso casi exclusivo del álgebra.

La ampliación del concepto de función como una de las representaciones de procesos de variación y cambio se desarrolló con toda su extensión en el siglo XIX, gracias a los trabajos de Fourier, Cauchy y Dirichlet, entre otros.

La primera definición de función como una expresión analítica, publicada en 1718, se debe a Jean Bernoulli, cuya notación no perduró, correspondiendo a Euler (1740) la notación f(x) utilizada hasta nuestros días. El término función se tuilizó por primera vez hacia 1698.

Euler, uno de los grandes matemáticos del siglo XVIII, al inicio de su obra Introductio in analysis infinitorum (1748) hace un detallado estudio del concepto de función y de otros relacionados con este. Al definir las nociones iniciales se refiere a los términos constante, cantidad definida que toma siempre un mismo valor determinado, y variable, cantidad indeterminada, o universal, que comprende en si misma todos los valores determinados (refiriéndose a los valores del conjunto de los números complejos o a alguno de sus subconjuntos). Al definir la función



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sigue a Bernoulli: una función de una cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera a partir de esta cantidad variable y números o cantidades constantes.

Posteriormente aborda el complejo problema de establecer qué se entiende por expresión analí-tica, enumerando en primer lugar las operaciones algebraicas, luego las trascendentes, como la exponencial y la logarítmica, para ampliar el campo a una infinidad de otras funciones obte-nidas del cálculo integral, incluyendo la integra-ción de ecuaciones diferenciales, pero sin llegar a determinar claramente cuál es la amplitud del término.

La restricción todavía imperante en esta primera definición dada por Euler desapareció unos años más tarde. Ya durante la primera mitad del siglo XVIII habían aparecido dife-rencias de opinión sobre las maneras de repre-sentar funciones, cuando D’Alembert y Euler dieron sus soluciones al problema de la cuerda vibrante, en la llamada “forma cerrada”, utili-zando un par de definiciones, arbitrarias, mien-tras que Daniel Bernoulli había encontrado una solución en términos de una serie infinita de funciones trigonométricas. Y cómo esta última solución parecía implicar el carácter periódico de la función, mientras que las funciones arbi-trarias de D’Alembert y de Euler no eran perió-dicas necesariamente, parecía que la solución de Bernoulli era menos General. Esta situación fue demostrada por J. B. J. Fourier en 1824 (BOYER, C., 1996).

Euler al considerar que para la solución del problema de la cuerda vibrante deben acep-tarse funciones o curvas de forma arbitraria, es decir, que no satisfacen ninguna ley analítica, planta el germen de una definición, que le llevó a explicitar por vez primera la noción general de correspondencia entre pares de elementos,

cada uno perteneciente al conjunto en el que toman valores las correspondientes variables. En el prefacio de su obra Institutiones calculi differentialis publicado en 1755, aparece la nueva definición, que no mantiene relación con la anterior al desaparecer la idea de expresión analítica: Si x es una cantidad variable, entonces toda cantidad que dependa de x de cualquier manera o que esté determinada por aquél se llama función de dicha variable.

En la transición al siglo XIX, Lagrange restringió de nuevo el concepto de función al limitarlo a las llamadas funciones analíticas definidas por series de potencias, todas ellas continuas o con un número reducido de discontinuidades, ya que es necesario recordar que el análisis, o estudio de los procesos infinitos, se entendía, desde su creación por Newton y Leibnitz, como referido a las llamadas magnitudes continuas.

Fourier a través del estudio de las series trigono-métricas, conocidas como series de Fourier, ya abordado por Daniel Bernoulli, para desarrollar funciones arbitrarias, supuso una gran revolu-ción en su tiempo al lograr representar por medio de funciones analíticas, funciones arbitrarias formadas por leyes analíticas distintas en dife-rentes intervalos de la variable independiente. Como señala Boyer (1996), para Fourier, “… cualquier función y = f(x) se puede representar por una serie de la forma:Y=1/2a

0+a

1cosx+a

2co2x+...+a

ncosnx+...+b

1senx+b

2sen2x+...+b

nsenx+...

serie que conocemos hoy con el nombre de serie de Fourier. Las representaciones por medio de tales series permiten un grado de generalidad mucho mayor, en cuanto al tipo de funciones a las que se puede aplicar para estudiarlas, que el que permite la serie de Taylor. Incluso si hay muchos puntos en los que no exista la derivada de la función o en los que la función no sea continua…”.



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Lejeune Dirichlet, discípulo de Fourier, que casi siempre se refería a funciones continuas o poco discontinuas, hablaba de los desarro-llos en serie de funciones completamente arbitrarias, en el mismo sentido de Fourier, mostrando que poseía ya el concepto general de función. Según Boyer (1996), Dirichlet propuso en 1837 una definición sumamente amplia y general expresada de la siguiente manera: si una variable y está relacionada con otra variable x de tal manera que siempre que se atribuya un valor numérico a x hay una regla según la cual queda determinado un único valor de y, entonces se dice que y es una función de la variable independiente x. Esta definición se acerca mucho ya a la idea moderna de una correspondencia general entre dos conjuntos de números reales, aunque en su época los conceptos de “conjunto” y de “número real” estaban lejos de tener un significado preciso. Para ejemplificar la arbitrariedad de la regla propuso lo que se llama función de Diri-chlet: sean a y b dos números reales distintos; entonces si x es racional y = a, mientras que si x es irracional y= b. Esta función es discon-tinua para todos los valores de x, y por tanto no es diferenciable para ninguno de ellos. A pesar de que ya no existe duda sobre la generalidad de su definición, posteriormente, formuló un conjunto de condiciones, conocidas como las condiciones de Dirichlet, que debían satisfacer las funciones por él consideradas.

Paralelamente, hacia 1830, se desarrolló la teoría de funciones de variable compleja, debida ante todo a Cauchy, Riemann y Weierstrass; con este paso al campo complejo vienen a coincidir en cierto modo los conceptos de función de Lagrange y de Fourier – Dirichlet.

Posteriormente, con la introducción de la teoría de conjuntos el concepto de función alcanza un nuevo grado de generalización. Hasta ese momento, una función estaba siempre en cada

punto del continuo de todos los valores reales o complejos, o cuanto menos, en cada punto e un intervalo dado. Pero, al considerar una definición en términos conjuntistas, todas las definiciones anteriores corresponden a casos particulares de esta nueva generalización. Así, se llega a plantear, que dados dos conjuntos arbitrarios A y B una función (o aplicación) de A en B es una ley que a cada elemento x de A hace corresponder un solo elemento y de B; o si se prefiere, una función de A en B es un subconjunto F del producto cartesiano A x B tal que si (x, y) y (x,z) pertenecen a F entonces y = z. Como ratifican Azcárate y Deulofeu (1996), en esta última generalización del concepto se pierden muchos los atributos que tenían las definiciones clásicas, como son la idea de variación, de continuidad, de la variable como parámetro temporal, de dependencia, característicos de la mayoría de problemas que generaron la necesidad del concepto de función.

1.6 La interacción entre sistemas de representación ejecutables en el estudio y comprensión sistemática de la variación y el cambio.

La transformación en las concepciones sobre las matemáticas a finales del siglo XIX y durante el siglo XX, continuaron impulsando el refina-miento en sus diferentes campos y en la manera de concebir los sistemas de representación de procesos o fenómenos de variación y cambio.

Los estudios sobre la variación y el cambio agrupados en el análisis adquirieron mayor rigor y surgieron nuevas definiciones generales y precisas de conceptos como función, límite, integral y, finalmente, del concepto básico de magnitud variable (se dio una definición rigu-rosa de número real) (ALEKSANDROV, A. D & otros; 2003).



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Este mayor rigor se logró al mismo tiempo que se hacían nuevos hallazgos en álgebra y geometría, y culminó en su forma actual en los años 80 del siglo XIX gracias a los matemáticos alemanes Weierstrass, Dedekind y Cantor, quien puso los cimientos de la teoría de los conjuntos transfi-nitos, que desempeñan un gran papel en el desa-rrollo de las novísimas ideas de la matemática.

La mayor precisión que adquirieron los conceptos de variable y función en conexión con la teoría de conjuntos, fue esencial para el posterior desarrollo del análisis. Se paso del estudio de funciones más generales, y en esta misma línea se generalizó también el aparato del análisis, es decir, el cálculo diferencial e integral. Fue así como a comienzos del siglo XX, surgió la nueva rama del análisis: la teoría de funciones de una variable; ligada princi-palmente a los matemáticos franceses Borel, Lebesgue y N, N Luzón y su escuela.

Surgieron igualmente otras teorías, como la teoría de aproximación de funciones, que estudia los problemas relativos al mejor modo de repre-sentar aproximadamente funciones arbitrarias mediante funciones “simples”, y en particular mediante polinomios, que proporciona métodos generales para el cálculo práctico de funciones y para la sustitución aproximada de funciones complicadas por otras más sencillas.

Sobre la base proporcionada por el desarrollo del análisis y la física matemática, y junto con las nuevas ideas de la geometría y el álgebra, ha madurado una nueva y extensa sección de la matemática, el llamado análisis funcional, que tiene un papel excepcionalmente importante en la matemática moderna, construido a través de los trabajos de Hilbert, del matemático Húngaro Riesz y el matemático polaco Banach.

La esencia del análisis funcional se resume, en que en el análisis clásico la variable es una magnitud o “número”, en análisis funcional se considera como variable la función misma. Las propiedades de una función particular se determinan, no como tales propiedades, sino en relación con otras funciones. Lo que se estudia no es una función aislada sino toda una colec-ción de funciones caracterizadas por una u otra propiedad; por ejemplo la colección de todas las funciones continuas. Tal colección de funciones constituye lo que se denomina un espacio funcional. Este procedimiento corresponde, por ejemplo, al hecho de considerar la colección de todas las curvas sobre una superficie o de todos los posibles movimientos de un sistema mecá-nico dado, definiéndose así las propiedades de las curvas o movimientos particulares en su relación con otras curvas o movimientos.

La transición de la investigación de funciones individuales a la investigación de una función variable es similar al paso de los números desco-nocidos x, y a las variables x, y.

Con el advenimiento desde la primera mitad del siglo XX de las tecnologías informáticas y su evolución hacia el uso de sistemas gráficos y algebraicos ejecutables, se a abierto un campo infinito de experimentación y desarrollo en el campo de las matemáticas, con importantes repercusiones en el campo de la educación.

Como se puede observar en capítulos posteriores, la mediación de herramientas computacionales provistas de un sistema de álgebra simbólica ejecutable, constituye un poderoso recurso en el contexto escolar, para observar, explorar, conje-turar, representar modelar y simular situaciones de variación y cambio, a partir de la interacción entre sistemas de representación.


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LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO

EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS DE COLOMBIA2

2.1 El Movimiento internacional de transformación y reforma de la Educación Matemática

La década de los años 60 se caracterizó por un gran movimiento internacional en el campo de la educación matemática preocupado por actua-lizar y reorientar lo enseñado tradicionalmente en las escuelas e incorporar ciertos temas de la denominada matemática moderna o nueva; estos temas estaban relacionados con la teoría de conjuntos, grupos, anillos, cuerpos, vectores, espacios vectoriales, matrices, álgebra de Boole y otros, que al no ser presentados de manera unifi-cada o coherente, hicieron que los programas de matemáticas elaborados atendiendo estos énfasis, aparecieran demasiado recargados, difíciles y abstractos. Como consecuencia de esto “en los países donde se adoptaron estas medidas de manera precipitada, el número de estudiantes de matemáticas de los dos últimos años de la escuela secundaria descendió seria-mente”. (F. Fehr, Howard y otros; 1971)

Durante la década de los años 70, en reacción al movimiento de la matemática moderna y su énfasis en el carácter abstracto y formal de la matemática escolar, surgen movimientos de vanguardia que reivindican una enseñanza más real, con problemas de contenido real y el papel de los problemas frente a lo rutinario de los ejercicios. Renuncian a los modelos tradi-cionales, entre los que incluyen las matemá-ticas modernas, y se aproximan cada vez más a postulados pedagógicos y psicológicos que validen su modelo de enseñanza.

Uno de los movimientos surgidos como respuesta inmediata a las deficiencias que el movimiento de las matemáticas modernas deja en los estudiantes, es el conocido, como el regreso a lo básico. Dicho movimiento, le daba mucha importancia al manejo de las opera-ciones fundamentales y procedimientos algo-rítmicos. Sin embargo, el regreso a lo básico tampoco mejoró el aprovechamiento de los estudiantes, ya que cuando algunos estudiantes, eran capaces de resolver operaciones, muchas veces no entendían el significado o sentido de las respuestas. Había casos en que el estudiante encontraba “la respuesta” a problemas cuyos datos no tenían sentido o eran insuficientes.

2.2 La Renovación Curricular de Matemáticas en Colombia: impulso al estudio de la variación y el cambio.

En el caso colombiano, a mediados de la década de los años 70’s, como manera de avanzar en la construcción de un currículo que respondiera a las necesidades del país, en el marco del “Programa Nacional de Mejoramiento Cualita-tivo de la Educación” (MEN, 2002), que tuvo como objetivo general “mejorar cualitativa y cuantitativamente la educación sistematizando el empleo y generación de tecnología educa-tiva para ampliar las condiciones de acceso a la educación en forma equitativa, a toda la población colombiana fundamentalmente de las zonas rurales”, se cimentó la renovación curricular de matemáticas.



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En el contexto de la estrategia de renovación curricular, teniendo como sustento los funda-mentos Generales del Currículo que integraron aspectos legales, filosóficos, epistemológicos, sociológicos, psicológicos y pedagógicos que permitieron proponer en la educación: la idea de hombre que se pretendía hacer real; se concibió el conocimiento como proceso y conjunto de experiencias durante toda la vida, transferibles a otras situaciones y presentes en diferentes contextos; los conocimientos y verdades se consideraron como proyectos que deben revi-sarse y corregirse permanentemente; el alumno como el centro del proceso y el maestro su orien-tador y animador (MEN, 1977); se construyó el marco general de la propuesta de programa curricular de matemáticas (MEN, 1990).

En el Marco General del Programa de Matemá-ticas para la educación Básica, se:

• Parte del reconocimiento e importancia del estudio de los diferentes aspectos de las matemáticas como forma de contribuir deci-didamente a la educación integral del indi-viduo

• Acoge el enfoque de sistemas, que contrasta con el enfoque por conjuntos de la llamada “Nueva matemática” o “Matemática Moderna” (New Math”), con el enfoque por habilidades algorítmicas básicas de la corriente de “Volver a lo básico” (“Back to Basics”), y con el enfoque de resolución de problemas (“Problem Solving Approach”).

• Asume un sistema como un conjunto de objetos con sus relaciones y operaciones

• Plantean como sistemas (interrelacionados), que articulan los contenidos para la educa-ción básica: Los numéricos, Geométricos, Métricos, de datos, Lógicos, de Conjuntos, operaciones y relaciones y analíticos.

Los sistemas analíticos, se incorporan de manera explícita dentro de los contenidos básicos para la educación básica secundaria (6° a 9°), susten-tados en el reconocimiento de la importancia, necesidad y pertinencia del estudio de situa-ciones de cambio. A este respecto fundamen-talmente proponen:

• La utilización de las funciones, las gráficas y las tablas para modelar situaciones de cambio.

• Que puede ser más importante en un primer momento el análisis cualitativo de las gráficas que el trazado muy preciso de gráficas a partir de fórmulas o tablas.

• El trabajo con situaciones de la vida real y sus modelos de puntos y líneas, modelos escalonados, modelos lineales, polinómicos de 2° y 3 grado, exponenciales, radicales y logarítmicos.

• La importancia de ejercitar las traducciones de una a otra de las distintas representaciones de una función.

• La incorporación de algunos temas de los que se habían venido trabajando en los programas tradicionales bajo el nombre de “Álgebra”, y que en realidad son sólo el manejo de ciertas expresiones para las funciones reales o sus valores.

• A través de la función lineal se cubren todos los temas como proporcionalidad y todas sus aplicaciones. Paralelamente a las funciones se van estudiante las ecuaciones e inecua-ciones.

Como contenidos por grado para el estudio de los sistemas analíticos, se proponen:

Para grado 6°:• Representación en la recta numérica de

naturales y racionales positivos (“No recta real”).

• Relaciones mayor, menor, mayor igual, menor igual.


LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS

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Para Grado 7°:• Funciones crecientes y decrecientes. Corre-

laciones.• Razones.• Proporciones.• Representación gráfica de funciones lineales

y de gráfica lineal.• Ejes, cortes, intercepto.• Ecuaciones lineales.• Solución de ecuaciones lineales.

Para Grado 8°:• Funciones lineales.• Funciones de gráfica lineal.• La recta pendiente.• Ecuaciones lineales.• Funciones cuadráticas.• Representación de funciones cuadráticas.• Ecuaciones cuadráticas. Para Grado 9°:• Funciones de gráfica lineal y ecuaciones

lineales.• Funciones cuadráticas y ecuaciones cuadrá-

ticas.• Solución de ecuaciones cuadráticas.• Factor Común.• Cuadrado perfecto.• Diferencia de cuadrados.• Función cúbica y ecuaciones cúbicas.• Función exponencial.• Polinomios de una variable.• Operaciones +, -, x, /• Sucesiones y series; límites.• Progresiones. Decimales infinitos.• Interés simple; compuesto.

Como se puede observar, desde la renovación curricular, en lo relativo a los sistemas analí-ticos, hay un reconocimiento explícito del estudio de situaciones de cambio (enfatizando en las provenientes de la realidad), empleando diversos sistemas de representación: analítico, gráfico, tabular, verbal y escrito.

Durante la década de los 80 y mediados de los 90, se continuó impulsando y desarrollando en el país la propuesta programática para el área de matemáticas de la renovación curricular.

2.3. Desarrollo del Pensamiento Variacional: uno de los Lineamientos Básicos en el Currículo de Matemática de Colombia

Hacia el año 1996, en el proceso de construc-ción de lineamientos curriculares reconociendo los aportes, avances y logros de la renovación curricular, se incorporan nuevos elementos provenientes de las investigaciones en el campo de la educación o didáctica de la matemática, nuevos enfoques y tendencias para la orienta-ción de la matemática en contextos escolares y las nuevas perspectivas sobre la matemática escolar y sus propósitos formativos. Esto llevó a la construcción participativa de los Linea-mientos curriculares de matemáticas (MEN, 1997), en los cuales se enriquece la perspectiva respecto a la naturaleza e importancia de contri-buir al desarrollo del pensamiento variacional.

Fundamentalmente en los lineamientos curricu-lares, se plantea como propósito central de la educación matemática de los niveles de básica y media contribuir al desarrollo del pensamiento matemático a partir del trabajo con situaciones problemáticas provenientes del contexto socio-cultural, de otras ciencias o de las mismas mate-máticas. Dentro de los pensamientos se hace alusión directa al “Pensamiento variacional”.

Se propone el inicio y desarrollo del pensamiento variacional como uno de los logros para alcanzar en la educación básica, lo cual presupone superar la enseñanza de contenidos matemáticos fragmentados y compartimentalizados, para ubicarse en el dominio de un campo conceptual,



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que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas.

En esta forma se plantea que se amplía la visión de la variación, por cuanto su estudio se inicia en el intento de cuantificar la variación por medio de las cantidades y las magnitudes. En los linea-mientos se reconoce la necesidad de estudiar con detalle los conceptos, procedimientos y métodos que involucra la variación para poner al descu-bierto las interpelaciones entre ellos. Un primer acercamiento en la búsqueda de las interrela-ciones permite identificar algunos de los núcleos conceptuales matemáticos en los que está involu-crada la variación:

• las magnitudes; • Continuo numérico, reales, en su interior los

procesos infinitos, su tendencia, aproxima-ciones sucesivas, divisibilidad;

• la función como dependencia y modelos de función;

• el álgebra en su sentido simbólico, liberada de su significación geométrica, particular-mente la noción y significado de la variable es determinante en este campo;

• modelos matemáticos de tipos de variación: aditiva, multiplicativa, variación para medir el cambio absoluto y para medir el cambio relativo. La proporcionalidad cobra especial significado.

Se plantea que en la vida práctica y el mundo científico, la variación se encuentra en contextos de dependencia entre variables o en contextos donde una misma cantidad varía (conocida como medición de la variación absoluta o relativa). Estos conceptos promueven en el estudiante actitudes de observación, registro y utilización del lenguaje matemático.

Abordado así el desarrollo del pensamiento variacional, se asume por principio que las estructuras conceptuales se desarrollan en el tiempo, que su aprendizaje es un proceso que se madura progresivamente para hacerse más sofisticado, y que nuevas situaciones proble-máticas exigirán reconsiderar lo aprendido para aproximarse a las conceptualizaciones propias de las matemáticas.

En los lineamientos se señala que entre los dife-rentes sistemas de representación asociados a la variación se encuentran los enunciados verbales, las representaciones tabulares, las gráficas de tipo cartesiano o sagital, las representaciones pictóricas e icónicas, la instruccional (progra-mación), la mecánica (molinos), las fórmulas y las expresiones analíticas.

Orienta frente al hecho, que el estudio de la variación se inicie pronto en el currículo de matemáticas, considerando que el significado y sentido acerca de la variación puede estable-cerse a partir de las situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y variación de la vida práctica. Se orienta respecto a que la organización de la variación en tablas, puede usarse para iniciar en los estudiantes el desarrollo del pensamiento variacional por cuanto la solución de tareas que involucren procesos aritméticos, inicia también la comprensión de la variable y de las fórmulas. En estos problemas los números usados deben ser controlados y los procesos aritméticos también se deben ajustar a la aritmética que se estudia. Igualmente, la aproximación numérica y la esti-mación deben ser argumentos usados en la solu-ción de los problemas. La calculadora numérica se convierte en una herramienta necesaria en la iniciación del estudio de la variación.

Adicionalmente se señala, que la tabla se cons-tituye en un elemento para iniciar el estudio de la función, pues es un ejemplo concreto de


LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS

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función presentada numéricamente. Y aunque en algunas ocasiones enfatiza la variación numérica discreta, es necesario ir construyendo la variación numérica continua. Así mismo, las situaciones problemáticas deben seleccio-narse para enfrentar a los estudiantes con la construcción de expresiones algebraicas o con la construcción de las fórmulas. Acogiendo los planteamientos de Demana (1990), se considera que la exposición repetida de construcciones de fórmulas, como expresiones que explicitan un patrón de variación, ayuda a los estudiantes a comprender la sintaxis de las expresiones alge-braicas que aparecerán después del estudio del álgebra. La tabla también se constituye en una herramienta necesaria para la comprensión de la variable, pues el uso de filas con variables ayuda a que el estudiante comprenda que una variable puede tener un número infinito de valores de reemplazo. Además, el uso de variables en la tabla también ayuda a la escritura de las expre-siones algebraicas, tipo retórico o fórmulas para describir la variación o el cambio.

Otra herramienta necesaria para iniciar el estudio de la variación desde la primaria la cons-tituye el estudio de los patrones. Éstos incluyen escenarios en la vida práctica como fotografías y representaciones pictóricas e icónicas. En las matemáticas los escenarios geométricos o numéricos también deben ser utilizados para reconocer y describir regularidades o patrones presentes en las transformaciones. Estas explo-raciones permiten, en una primera instancia, hacer una descripción verbal de la relación que existe entre las cantidades (el argumento y el producto terminado que se lee primero) que intervienen en la transformación. Los contextos de variación deben incluir patrones aditivos y multiplicativos.

Las tablas se pueden usar posteriormente para llevar a los estudiantes a la graficación de situa-ciones problema de tipo concreto, aunque quede

restringida al primer cuadrante. La identifica-ción de la variable independiente y dependiente es más significativa cuando se inicia desde la representación de situaciones concretas. Más adelante se formaliza el sistema cartesiano con el aprendizaje de su sintaxis.

Por su parte, las gráficas cartesianas también pueden ser introducidas tempranamente en el currículo. Ellas hacen posible el estudio diná-mico de la variación. La relación explícita entre las variables que determinan una gráfica puede ser iniciada con situaciones de variación cuali-tativa y con la identificación de nombres para los ejes coordenados.

Los contextos de la variación proporcional integran el estudio y comprensión de variables intensivas con dimensión, así como también ayudan al estudiante a comprender el razona-miento multiplicativo.

Particularmente la gráfica tiene como fin abordar los aspectos de la dependencia entre variables, gestando la noción de función como dependencia.

Los contextos donde aparece la noción de función establecen relaciones funcionales entre los mundos que cambian, de esta manera emerge la función como herramienta de conocimiento necesaria para “enlazar” patrones de variación entre variables y para predecir y controlar el cambio. Los modelos más simples de función (lineal, afín, cuadrática, exponencial...) encap-sulan modelos de variación como la proporcio-nalidad.

Se considera en los lineamientos, que la intro-ducción de la función en los contextos descritos preparan al estudiante para comprender la natu-raleza arbitraria de los conjuntos en que se le define, así como a la relación establecida entre ellos. Es necesario enfrentar a los estudiantes



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a situaciones donde la función no exhiba una regularidad, con el fin de alejar la idea de que su existencia o definición está determinada por la existencia de la expresión algebraica. A la conceptualización de la función y los objetos asociados (dominio, rango...) le prosigue el estudio de los modelos elementales, lineal, afín, cuadrático, exponencial, priorizando en éstos el estudio de los patrones que los carac-terizan (crecientes, decrecientes). La calcula-dora gráfica y algebraica se constituye en una herramienta didáctica necesaria para lograr este propósito.

En lo referente a la construcción del continuo numérico, se indica en los lineamientos que

los escenarios deben ser los numéricos y los geométricos. Particularmente el trabajo con las representaciones decimales, cobra especial relevancia. Los procesos infinitos deben ser introducidos en contextos geométricos.

En términos generales en los lineamientos curriculares de matemáticas se hace una alusión explícita a la promoción y desarrollo del pensa-miento variacional a partir de situaciones de la realidad, de las matemáticas u otras ciencias relacionadas con fenómenos o procesos de variación y cambio. Propone el uso de diversos sistemas de representación en su exploración, comprensión y estudio sistemático.


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EL PENSAMIENTO VARIACIONAL3

Como se indicó en las secciones anteriores la idea de pensamiento variacional aparece explí-citamente en los Lineamientos Curriculares en Matemáticas. Este término, pensamiento variacional, se introdujo con la intención de profundizar un poco más en lo que se refiere al aprendizaje y manejo de funciones como modelo de situaciones de cambio.

Se trata de abandonar el enfoque rígido de los sistemas y superar la enseñanza de los contenidos matemáticos fragmentados y compartimentali-zados que ha gobernado por un tiempo la acti-vidad matemática escolar. El énfasis que se quiere hacer con la introducción de esta manera de ver el currículo es, como lo dicen los Lineamientos, la ubicación en el dominio de un campo concep-tual que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas (MEN, 1997).

Es decir, lo que se quiere es desarrollar una forma de pensamiento que identifique de manera natural fenómenos de cambio y que sea capaz de mode-larlos y transformarlos. Podríamos introducir aquí la siguiente conceptualización que trata de recoger las características descritas arriba: el pensamiento variacional es la capacidad para darle sentido a las funciones numéricas y mane-jarlas en forma flexible y creativa, para entender, explicar y modelar situaciones de cambio, con el propósito de analizarlas y transformarlas.

Teniendo presente este planteamiento y recono-ciendo que el significado y el sentido acerca de la variación se establecen a partir de situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los refe-ridos a fenómenos de cambio y variación, las actividades que se propongan como ejemplos serán planteadas como situaciones problema que pueden ser desarrolladas en los diferentes niveles de escolaridad y que no necesariamente siguen una secuencia lineal de contenidos. El énfasis del tratamiento de la situación se hará de acuerdo con el nivel apropiación del lenguaje y los conceptos por parte de los estudiantes, teniendo en cuenta las recomendación de los Lineamientos en cuanto a que el estudio de la variación puede ser iniciado pronto en el currí-culo de matemáticas.

En lo que sigue explicaremos con más detalle lo que significaría desarrollar el pensamiento variacional en los estudiantes. Para esto desglosaremos y describiremos los diferentes momentos (no necesariamente consecutivos) que aparecen en el estudio de situaciones de variación y cambio.

3.1 Situaciones de Variación y Cambio

La mayoría de las situaciones de variación y cambio de la vida diaria involucran de manera explícita la consideración del tiempo. El cambio y la variación se presentan cuando una circuns-tancia dada se transforma con el transcurso del tiempo. El poder identificar el fenómeno de



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cambio, describirlo, interpretarlo, predecir sus consecuencias, cuantificarlo y modelarlo, son las características del pensamiento variacional que se pretenden desarrollar.

No estamos excluyendo de ninguna manera otras situaciones de variación que no involucran de manera explícita el tiempo o que no tienen que ver con el tiempo. Consideraremos dos formas de modelación de situaciones en las que inter-viene el tiempo. La primera cuando se considera el tiempo (el tiempo es un concepto físico al que le corresponde la magnitud duración según Federici. Ver Sobre el análisis dimensional), como una magnitud continua. Es decir, cuando se considera el tiempo fluyendo de manera inin-terrumpida. En estas circunstancias hablaremos de variación continua. El modelo general para el estudio de estas situaciones es el de funciones de variable real.

La otra forma de modelar una situación en la que interviene el tiempo será cuando se observa la situación en instantes espaciados de tiempo (Algo así como cada una de las fotogra-fías consecutivas de una película que registra la situación en estudio). En este caso habla-remos de variación discreta. Lo que distingue esta forma de modelar de la anterior es que podremos enumerar cada uno de los instantes observados y por consiguiente parametrizar la situación con los números naturales. El modelo general para el estudio de estas situa-ciones es el de las sucesiones (funciones de variable entera).

3.1.1 Descripción e interpretación de situa-ciones de variación y cambio desde un punto de vista cualitativo.

En una situación de cambio, como la que estamos considerando en esta sección, se presentan ciertas magnitudes que pueden

cambiar o no cambiar en la evolución de las circunstancias iniciales. Es importante identi-ficar estas magnitudes y la relación que existe entre ellas dentro de la situación particular. La identificación de las magnitudes y la descrip-ción verbal y escrita de la manera cómo estas magnitudes se comportan en la situación, es el acercamiento cualitativo al fenómeno que permitirá sacar algunas conclusiones y hacer las primeras predicciones de lo que sucederá con los elementos involucrados con el transcurso del tiempo. Se espera que en las descripciones de la situación de cambio se usen expresiones como: tal magnitud aumenta, tal magnitud disminuye, tal magnitud aumenta más rápido que tal otra, tal magnitud disminuye más lenta-mente que tal otra, tal magnitud ni aumenta ni disminuye, etc.

Por ejemplo, supongamos que estamos en el proceso de llenar un balde con agua. En esta situación de variación están involucradas magnitudes como: tiempo, el volumen del balde (capacidad total), volumen de agua dentro del balde, altura del nivel del agua en el balde, capacidad del balde y rapidez de llenado del balde entre otras (¿hay más?).

Podemos decir que las magnitudes que aumentan en la situación son el tiempo, el volumen de agua en el balde, la altura del nivel del agua dentro del balde; la que disminuye es la capacidad del balde y las que permanecen constantes son el volumen del balde y la rapidez de llenado del balde. A medida que el tiempo transcurre (aumenta), la altura del nivel del agua y la cantidad de agua en el balde aumentan a la vez que la capacidad del balde disminuye. Como el volumen del balde no cambia y su capacidad disminuye con el tiempo, llegará un momento en el que el balde estará completa-mente lleno. Preguntas que surgen de manera natural son: ¿Cómo podemos medir el volumen del balde? ¿Cómo podemos medir la rapidez


EL PENSAMIENTO VARIACIONAL

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con que se está llenando el balde? Una vez contestadas estas preguntas, ¿cuánto tiempo tarda en llenarse el balde? Si dispongo de un tiempo determinado para llenar el balde, ¿con qué rapidez debo llenarlo? ¿Las dimensiones del balde intervienen en las respuestas a las preguntas hechas? Si tengo dos baldes de volú-menes diferentes, ¿con qué rapidez debemos llenarlos para que se llenen completamente al mismo tiempo?

3.1.2 Formas de representación cualitativa de estas situaciones

Escrita. Para poder comunicar las observaciones que se hacen de las situaciones de variación se debe disponer de sistemas de representación que sean familiares para el grupo de estudiantes. Uno de estos sistemas es el lenguaje escrito. El estudiante debe ser capaz de escribir con sus propias palabras lo que está sucediendo en la situación de cambio al igual que las conclu-siones que se deduzcan de sus observaciones. Es decir que se debería producir un texto pare-cido al párrafo anterior para describir el llenado del balde.

Pictórica. Los dibujos y gráficos son medios de representación en las situaciones de variación ya que muestran de otra forma lo que el estu-diante entiende acerca de la situación. Estos dibujos y gráficos en un comienzo pueden ser muy concretos y mostrar lo que sucede en dife-rentes momentos de la situación de cambio. Por ejemplo, dibujos del balde mostrando diferentes alturas del nivel de agua. De todas formas estos dibujos y gráficos deberían ir acompañados de explicaciones verbales. Estos dibujos y gráficos ayudarán a darle sentido a las gráficas carte-sianas de las funciones que describen las situa-ciones de cambio. (Ver la secuencia de dibujos y gráficos)

Fig. 2.

Fig. 3

Modelos físicos que simulen la situación. Algunas situaciones de cambio, sobre todo las presentadas por medio de un texto, son suscep-tibles de ser recreadas mediante maquetas con movimiento lo que permite tener un entendi-miento más concreto de la situación de cambio. Hablar sobre los modelos y hacer preguntas sobre los mismos ayudan en la identificación de magnitudes presentes.

3.1.3 Formas de representación cuantitativa de situaciones de variación y cambio

Representación geométrica. Aparece cuando las magnitudes involucradas en la situación de cambio se asocian con longitudes de segmentos



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(ver figura 3). Esta identificación no es una mera forma de representación gráfica sino un recono-cimiento del comportamiento de la magnitud en cuestión como el de la longitud de un segmento. Es decir, se reconocen propiedades comunes de comportamiento algebraico y continuidad (El comportamiento algebrico y las propiedades de continuidad comunes a las magnitudes continuas son las que dan origen a la definición formal de número real y a su representación geométrica como punto de un eje numérico). Este acerca-miento al estudio de las situaciones de varia-ción y cambio permite modelar mediante el uso de programas de geometría dinámica como lo veremos más adelante.

Representación tabular. Aparece cuando se está en capacidad de producir diferentes medidas de las magnitudes involucradas en la situación de cambio. Por ejemplo, en el caso del llenado del balde, podríamos por medio de una gradua-ción actual del balde y un reloj, producir dife-rentes valores del volumen de agua en el balde en diferentes momentos de tiempo. Se puede hacer un estudio de esos datos numéricos para encontrar patrones de regularidad. Las tablas de datos numéricos se pueden producir también con sensores conectados a calculadoras o a partir de expresiones algebraicas. Los patrones de regularidad o los métodos de regresión permiten encontrar expresiones algebráicas que condensan el comportamiento de las variables involucradas y que se ajustan a los datos que sobre los mismos se tienen.

Duración Volumen

t1 0 cm3

t2 2.000 cm3

t3 4.000 cm3

t4 6.000 cm3

t5 8.000 cm3

Representación algebraica. De acuerdo a los patrones de regularidad encontrados en la tabla se pueden establecer expresiones algebraicas que condensen toda la información acerca de la situación de cambio. Las propiedades alge-braicas de las expresiones permiten encontrar aspectos del comportamiento de las variables relacionadas en el problema de estudio. Por ejemplo, los valores de las variables para los cuales una expresión o fórmula se anula dan información acerca de los intervalos donde la expresión es positiva o negativa. Conocer las propiedades de las expresiones algebraicas y poder manipularlas. El estudio de expresiones algebraicas en el contexto de la variación contri-buye de manera significativa en el desarrollo del pensamiento algebraico (Ver, Approaches to algebra y Early Algebra.), para extraer informa-ción sobre el comportamiento de las variables involucradas en la expresión, contribuirá con la comprensión del fenómeno en estudio y será una herramienta para la solución de problemas. La tabla sirve como herramienta para mostrar los datos gráficamente, lo que permite descubrir patrones y hacer predicciones.

Representación gráfica. Se hace mediante la representación en un plano con un sistema de coordenadas cartesianas de los datos de la tabla que consigna las mediciones de las magnitudes involucradas. Se puede así mismo producir la gráfica a partir de las expresiones algebraicas que se obtuvieron de la tabla. Tradicionalmente, la introducción de las funciones numéricas en el aula de clase se ha hecho desde un principio de acuerdo a la complejidad de su expresión algebraica. Es decir, se estudiaban primero las variaciones lineales, luego las cuadráticas, las cúbicas, y así sucesivamente. Quedaba la impresión en muchos estudiantes que las únicas funciones que existían eran las lineales y las cuadráticas, lo que se pretende cambiar con el enfoque que presenta las situaciones de varia-ción y cambio desde un punto de vista cualita-



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tivo primero. Esto no quiere decir que a partir de un cierto momento no se haga un acerca-miento sistemático al estudio de los fenómenos mediante una clasificación de los modelos de acuerdo a la complejidad de su representación algebraica.

Para la clasificación y estudio de los fenómenos de variación y cambio desde este punto de vista se requiere profundizar un poco en los aspectos algebraicos de las expresiones que representan dichos fenómenos. Es la oportunidad de hacer un estudio contextualizado del álgebra con el propósito de que el estudiante de sentido a los objetos de estudio.

Los análisis y descripciones que pueda hacer un estudiante de las diferentes representaciones serán de vital importancia en el entendimiento del fenómeno de variación. Por ejemplo, la lectura de una gráfica, una tabla, una fórmula, etc., en términos cualitativos, describiendo la forma en que una variable se comporta con respecto a otra y explicando la relación que existe entre las dife-rentes formas de representación.

3.1.4 Interpretación de representaciones de situaciones de variación y cambio

La calidad de la comprensión de la situación de variación dependerá de las relaciones que el estudiante pueda establecer entre las diferentes representaciones. Para lograr esto se pueden proponer diferentes representaciones de una situación de cambio para que sean contextua-lizados e interpretados por los estudiantes. Se debe también plantear problemas para que el estudiante pueda producir una representación a partir de otra.

Lo anterior también es posible mediante la presentación de simulaciones a los estudiantes o mediante la petición de producir una simu-

lación a partir de las representaciones. Estas simulaciones pueden incluir representaciones teatrales.

El pensamiento variacional está relacio-nado con los pensamientos numérico (tablas, patrones numéricos), geométrico (mecanismos geométricos y gráficas cartesianas), algebraico (expresiones y ecuaciones), métrico (medición de magnitudes en situaciones de variación y cambio) y estadístico (tratamiento de datos y regresiones), a través de las formas de repre-sentación cuantitativas de las situaciones de variación y cambio. Esto quiere decir que no es posible dejar de lado los otros pensamientos cuando se estudian situaciones de variación y cambio.

3.2 La variable y el concepto de función

Muy a menudo se asocia la variable con la letra x que aparece con mucha frecuencia en el álgebra junto con todas las letras del alfabeto. Esta letra, o letras, deben interpretarse dentro del contexto conveniente.

Su aparición en una expresión algebraica hace de ella una indeterminada. Es decir, como la abstracción de un objeto que es susceptible de ser operado con el mismo o con otros mediante las operaciones explícitas en la expresión. Es un representante general de una estructura alge-braica, que no necesariamente es el cuerpo de los números reales. Podrían ser cualquier otra estructura que contemple las operaciones en la expresión como por ejemplo un espacio vecto-rial o un anillo.

Cuando dos expresiones algebraicas se conectan con un signo de igualdad (o de desigualdad) nos encontramos con lo que se conoce como una ecuación (o inecuación), si el interés parti-



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cular se centra en encontrar objetos particu-lares que la hacen válida. En este contexto las indeterminadas en las expresiones algebraicas se convierten en incógnitas (El concepto de incognita se puede ubicar en el contexto más general de la lógica cuando se hace una afir-mación acerca de los individuos de una colec-ción y se quiere saber cuales son los individuos que hacen verdadera la afirmación.), hasta que encontremos el, o los objetos particulares que hacen de la ecuación un enunciado verdadero.

Cuando una ecuación se trata como un meca-nismo para relacionar dos indeterminadas x, y (dos valores de las indeterminadas están rela-cionados si al remplazarlas simultáneamente en la ecuación se obtiene una proposición verda-dera). En este caso tenemos una relación de dependencia que eventualmente podría terminar siendo una relación funcional. En la mayoría de los contextos estas indeterminadas reciben el nombre de variables, pero más que todo cuando la ecuación se lee en el contexto de los números reales. Las funciones son en este contexto funciones reales de variable real, o funciones numéricas.

Es en el contexto de las funciones numéricas, tema de estudio de la matemática escolar y del cálculo diferencial e integral, en el que mejor ‘encaja’ el término variable (Aparece en el contexto de las funciones numéricas - variable dependiente, variable independiente - . La terminología se extiende por abuso al contexto de las funciones generales). Por eso es que se relaciona el estudio de funciones con el pensa-miento variacional. Es de aquí que se ha tomado el nombre para referirse a la indeterminada en el dominio de una función como variable indepen-diente y a la indeterminada en el recorrido de una función como variable dependiente, siendo en principio términos que se usaron en análisis para el tipo especial de funciones que mencio-namos (En realidad no deberíamos referirnos

aquí a indeterminadas. El término correcto en este contexto debería ser objeto general de una estructura determinada. Las variables se representan mediante objetos generales en la estructura algebraica (R, +, *) en el caso de las funciones numéricas).

La mayoría de las veces, cuando se habla de funciones, sobre todo en el contexto de la mate-mática escolar, se piensa en las funciones numé-ricas. Por lo tanto, su enseñanza se centra, a veces en exceso, en el estudio de las ecuaciones, objetos algebraicos que las definen. La ecuación y = f(x) que define a la función f, o que está defi-nida por la función f es una representación alge-braica de la relación funcional f : x → y. Este aspecto de las funciones, sin embargo, es de gran importancia para lograr la representación geométrica de las mismas a través del método de las coordenadas, corazón de la geometría analítica. Las soluciones (x, y) de la ecuación y = f(x) se pueden representar como puntos en un plano mediante la introducción de un sistema de coordenadas cartesianas. El lugar geométrico de estos puntos es la gráfica de la función (gráfica de la ecuación y = f(x)).

En el contexto de la recolección de datos y la búsqueda de modelos para fenómenos de la vida real, aparecen de manera natural las tablas de valores. En estas tablas se buscan dependen-cias funcionales a través de su representación gráfica y de regularidades en el estudio de su comportamiento y técnicas sofisticadas como la regresión, con el objetivo de obtener un modelo algebraico (ecuación) que represente la depen-dencia funcional.

Así, las funciones numéricas, corazón del pensamiento variacional, están íntimamente relacionadas con el álgebra a través de la ecua-ción y = f(x), con la geometría por la gráfica de la ecuación y = f(x), con los números por la correspondencia entre los mismos y con la



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variación a través de la noción de ‘cambio con respecto al tiempo’.

La variable x (tiempo) se representa sobre un eje numérico. El trazo (o re-trazo) del eje ‘repre-senta’ el transcurso del tiempo. La variable independiente es una abstracción de la variable tiempo. El cambio que se produce en la variable independiente es un reflejo de la idea de cambio en el tiempo. La variable dependiente es una abstracción del suceso (hecho o fenómeno observable) que cambia con el transcurrir del tiempo. La variación o cambio en el suceso que se observa con el transcurso del tiempo está relacionado con la idea de cambio de la variable dependiente con respecto al cambio de la variable independiente (tiempo).

El movimiento es uno de los ejemplos más representativos y contundentes de variación, siendo este el cambio de posición con respecto al transcurso del tiempo. Este contexto se convierte así en una fuente inagotable de activi-dades y problemas que permitiría el desarrollo del pensamiento variacional.

La falta de claridad sobre los aspectos mencio-nados antes y sus diferencias, introduce en las actividades de aprendizaje del pensamiento variacional, manejo del modelo general de función en el contexto de los números reales, confusiones entre maestros y estudiantes. Es muy importante mantener un balance entre los diferentes aspectos de las funciones numéricas.

3.3 La modelación variacional: un ejemplo

No todos los problemas o situaciones de varia-ción involucran la variable tiempo. Sin embargo, muchos problemas involucran una variable (de manera implícita o explícita) que se comporta

como el tiempo y de la cual dependen otras magnitudes en la situación. Diremos que dichos problemas o situaciones se pueden modelar variacionalmente. Los problemas de optimiza-ción son un ejemplo de problemas que se pueden “modelar variacionalmente”. Para ilustrar esto consideremos el siguiente problema:

Encontrar entre todos los rectángulos de igual perímetro el que (los que) tienen área máxima.

Vamos a describir en la forma más explícita posible, el proceso al que hay que seguir para modelar variacionalmente este problema. Se puede ver que en su planteamiento este problema no es un problema de variación por excelencia ya que el tiempo no interviene explícitamente como variable. Sin embargo, el problema es susceptible de ser “modelado variacional-mente”. Es decir, se puede introducir de manera explícita la variable duración (magnitud para tiempo) para activar el “movimiento”

Los rectángulos de igual perímetro son dema-siados considerados como objetos geométricos de un plano. Esto nos obliga a confinarnos a las clases de congruencia en la familia de rectán-gulos de igual perímetro ya que dos rectán-gulos congruentes tendrán la misma área. Pero, trabajar con las clases de congruencia no es práctico. Es mejor trabajar con un representante de cada clase. La forma en que se escojan los representantes facilitará la modelación varia-cional (o no).

Tomemos en el plano dos semirrectas perpendi-culares que por comodidad una será horizontal y la otra vertical. Escogemos en la familia de rectángulos de perímetro p los que tienen lados sobre las semirrectas escogidas. Es decir, los representantes buscados comparten un vértice y tienen lados que se traslapan. Tomemos uno de estos rectángulos que tiene lado a sobre la semirrecta horizontal. Imaginamos ahora que,



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por alguna acción mágica el lado a comienza a variar su tamaño a medida que transcurre el tiempo. Algo así como si pudiésemos estirar el lado a. Si queremos permanecer dentro de la familia de rectángulos de perímetro p, el lado b correspondiente al lado a (a + b = 1/2p) que se encuentra sobre la semirrecta vertical debe variar también con el tiempo. A medida que estiramos a, b se encoge.

En términos tal vez muy matemáticos lo que hemos hecho es parametrizar con el tiempo la familia de rectángulos de perímetro p que tienen dos de sus lados sobre las semirrectas perpendi-culares al hacer depender del tiempo uno de los lados. Obtenemos así la siguiente interpretación variacional del problema original:

Dada la familia de rectángulos “parametrizada” como se dijo arriba, encontrar el momento en el que el área de los rectángulos es máxima.

Identificar el momento en el que el área es máxima, equivale a encontrar el lado a del rectángulo de área máxima y por ende el lado b del rectángulo de área máxima. Una vez mode-lado el problema variacionalmente, podemos introducir la modelación algebraica que aparece al tener en cuenta el álgebra de las magnitudes involucradas.

Obsérvese que hasta el momento no hemos introducido en los argumentos la medición de las magnitudes ni los números reales producto de estas mediciones. El perímetro de un rectán-gulo de lados a y b es p, si al “poner uno de los lados a continuación del otro” (alineados), se produce un segmento congruente con la mitad de un segmento p dado. Este hecho lo escri-bimos así: a + b = 1/2p

Otras expresiones algebraicas equivalentes son las siguientes: 2(a+b) = p, 2a+2b = p, b = 1/2p - a, etc. Para expresar el área del rectángulo

usamos la expresión A = a · b, que se puede escribir también en la forma A = a · (1/2p - a), debido a la última expresión escrita arriba. Geométricamente tenemos que si u = 1/4p, el rectángulo de lados a = u + k y 1/2p - a = u - k tendrá área a(1/2p - a) = u 2 - k 2 < u 2

u - k

k

b = u - ku - k

u k

a = u + k

Fig. 4

Esto muestra que el área máxima se obtiene con un rectángulo de lados a = b = 1/4p. Si pensamos en términos de medición, la expresión anterior se puede interpretar como una expresión que relaciona las medidas de los segmentos involu-crados. Esto quiere decir que el problema plan-teado originalmente se formularía así: ¿Para qué valor de a se obtiene el valor más grande de A?

Esta forma de abordar el problema da cabida a la construcción de rectángulos con medidas dadas y el cálculo de su área, con el objeto de producir una tabla de valores que compararían las dife-rentes longitudes de a con las respectivas áreas A. La lectura de esta tabla permitiría conjeturar acerca de las posibles dimensiones del rectán-gulo de perímetro p para los que el área es máxima. En este contexto de trabajo, interviene de manera explícita la medida de las longitudes de los lados por lo que se requiere trabajar con casos concretos. Es decir, construyendo rectán-gulos de perímetro 12 cm, por ejemplo.



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La manipulación algebraica de la (o las) expre-sión para el área permitirá de alguna forma validar las conclusiones encontradas en la explo-ración tabular: el área máxima se encuentra cuando a = 1/4p = b. En efecto, sea a0 otro lado “horizontal” de un rectángulo de perímetro p. Si a0 es más grande que a, es decir, si hay un k > 0 tal que a0 = a + k, se tiene entonces que el área del rectángulo de lado a0 es.

a0(1/2p - a0) = (1/4p + k)(1/2p - (1/4p + k))= (1/4p + k)(1/4p - k)= (1/4p)2- k 2< (1/4p)2

= área del cuadrado de lado 1/4p

Longitud del lado a Longitud del lado b Longitud del lado a.b1 cm 5 cm 5 cm2 cm 4 cm 8 cm3 cm 3 cm 9 cm4 cm 2 cm 8 cm5 cm 1 cm 5 cm6 cm 0 cm 0 cm

Longitud del lado a Longitud del lado b Longitud del lado a.b2.6 cm 3.4 cm 8.84 cm2.8 cm 3.2 cm 8.96 cm3.0 cm 3.0 cm 9.00 cm3.2 cm 2.8 cm 8.96 cm3.4 cm 2.6 cm 8.84 cm3.6 cm 2.4 cm 8.64 cm

Rectángulos de perímetro 12 cm

Rectángulos de perímetro 12 cm

Si a0 es más pequeño que a, es decir, si hay un k > 0 tal que a0 = a - k, se tiene entonces que el área del rectángulo de lado a0 es

a0(1/2p - a0) = (1/4p - k)(1/2p - (1/4p - k))= (1/4p - k)(1/4p + k)= (1/4p)2- k 2< (1/4p)2

= área del cuadrado de lado 1/4p

En ambos casos el área del rectángulo de lados a = b = 1/4p es mayor. Es decir no podremos encontrar otro de área mayor.


27

USO DE TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES4

Con la aparición de las tecnologías computacio-nales, como calculadoras graficadoras, sistemas de álgebra computacional (CAS), geometría dinámica, programación, etc. se ampliaron las posibilidades de representación de los fenó-menos de variación y de poder pasar de manera versátil de un sistema de representación a otro.

En la actualidad, los instrumentos computa-cionales (calculadoras algebraicas como la TI-92, las computadoras) encarnan sistemas de representación que presentan características novedosas: son sistemas ejecutables de repre-sentación, que virtualmente ejecutan funciones cognitivas que anteriormente eran privativas de los seres humanos. Por ejemplo, graficar una función. Es un proceso que el estudiante ve desplegándose en la pantalla de su calculadora, sin su intervención directa.

Los nuevos sistemas de representación hacen posible también un campo de experiencia que no estaba antes a disposición del estudiante, como por ejemplo el acceso a los sensores (CBL, CBR) que pueden articularse a las calculadoras. El estudiante puede representar gráficamente fenómenos naturales como las variaciones de temperatura, de intensidad sonora, intensidad luminosa, Ph, etc. Es decir, todo un mundo de variación y cambio queda a su disposición como parte de su campo de experiencias. Estas nociones de variación y cambio no tienen que ser estudiadas de modo abstracto (en el sentido en que son extrañas a las experiencias del estu-

diante) sino que puede tejerse alrededor de ellas y con ellas, una red entre ideas y conceptos que dé como resultado una mayor familiaridad con este complejo conceptual (MORENO, L.)

4.1 Los programas de geometría dinámica

Comenzamos con los programas de geometría dinámica (como Cabri y Regla y Compás) ya que este es un medio al cual se puede tener acceso con relativa facilidad, no solamente por las posibilidades físicas en una calculadora o en un computador, sino también porque se puede interactuar con éstos sin mayores conocimientos de matemáticas. Unos pocos conocimientos de geometría y una breve instrucción sobre los comandos de dichos programas ponen a disposi-ción del aprendiz una herramienta poderosísima para la investigación en geometría y la modela-ción de situaciones de variación y cambio.

Con estos programas estamos en la posibilidad de representar magnitudes mediante segmentos y a su vez establecer relaciones de dependencia que se mantienen al hacer variaciones en los objetos iniciales. Para mostrar su potencial en la modelación de la variación presentamos la solución del problema planteado en la sección anterior en este ambiente.

Podemos simular la parametrización temporal del lado a y observar la forma en que el lado b



28

depende del lado a. Para hacer esto, represen-tamos en la pantalla una semirrecta recta hori-zontal h de izquierda a derecha y de origen O. Sobre h representamos un punto P y el segmento OP que hará las veces de medio perímetro del rectángulo.

Sobre este segmento representamos un punto A y el segmento OA que hará las veces del lado a del rectángulo. Ahora, trazamos una semi-rrecta v perpendicular a h de origen O y con la ayuda del compás construimos un punto B sobre v de tal forma que OB sea congruente con AP (Recordemos que a + b = 1/2p). Comple-tamos el rectángulo. Al desplazar el punto A sobre el segmento OP desde O hasta P estamos simulando la dependencia del segmento a con respecto al tiempo. Es decir, tenemos nuestra primera experiencia variacional en el ambiente dinámico. Pero además, podemos observar la forma en que b depende de a. A medida que a crece, b disminuye.

Fig. 6

Además, se puede hacer más explícita la depen-dencia que el área tiene del lado a, trazando una perpendicular a h por A y una perpendicular a v por C. El punto G de intersección entre estas rectas “amarra” el lado a y el área del rectángulo. El lugar geométrico de G cuando A se mueve sobre OP representa todas las posibilidades existentes de lados y áreas en las condiciones impuestas. Más aún, podemos observar como se produce este lugar geométrico haciendo mover A sobre OP y siguiendo el recorrido de G. En este lugar geométrico se puede observar que el área máxima se obtiene cuando a = 1/4p = u.

v

B

b

O a A P h

Fig. 5

Usando como referencia el punto medio U entre O y P, construimos un punto C sobre V de tal forma que a/c = u/b, siendo u es el segmento OU y c es el segmento OV. Es decir, el segmento AC debe ser paralelo a UB. El segmento OC representa el área del rectán-gulo de lados a y b y al mover A sobre OP podremos ver la forma en que el área del rectángulo depende de a.

v

C

B

O U A P h

C

B

O U A P

G

Fig. 7

4.2 Las calculadoras graficadoras

Por último hagamos la gráfica del área de los rectángulos de perímetro p con respecto a sus lados en la ventana de graficación de la calcu-


USO DE TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES

29

ladora. Para esto tendremos que escribir en el editor de funciones la expresión del área corres-pondiente y1(x) = x _ (6 – x) Se obtiene la gráfica de una parábola que abre hacia abajo. Se pueden comparar descripciones de la gráfica con la tabla de valores dada por la misma y comportamientos de los valores numéricos de las tablas con las características de la gráfica.

La ventana de graficación permitirá discutir acerca del dominio de la función de área y el

significado de la gráfica cuándo la variable x está por fuera del intervalo [0, 1/4p]. En general, la posibilidad de definir la ventana y de hacer ampliaciones y disminuciones (zoom) de las graficas de la función, no solo permitirá sacar conclusiones del problema en estudio sino también aportar a la conceptualización de función, modelo general para los problemas variacionales.

La meta sería que un estudiante sea capaz de hacer uso de los sistemas de representación descritos en el análisis de problemas variacio-nales. La calculadora graficadora juega aquí un papel muy importante al ser un medio de repre-sentación ejecutable que propicia los aspectos que se mencionan en el marco teórico del Proyecto de Incorporación de Nuevas Tecnolo-gías al Currículo de Matemáticas de la Educa-ción Media de Colombia.


31

SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA5

En este capítulo se plantean orientaciones para aprovechar el potencial mediador de las nuevas tecnologías computacionales en el estudio siste-mático y la comprensión de procesos de varia-ción y cambio y se presentan algunas situaciones didácticas a través de las cuales se promueve el desarrollo del pensamiento variacional. Se comienza indicando los propósitos, momentos del trabajo de aula y los lineamientos generales para la organización y gestión del trabajo con los estudiantes ante una situación determinada. Posteriormente, se expone de manera deta-llada el planteamiento y desarrollo de situa-ciones didácticas relacionadas con el estudio de la variación y el cambio con nuevas tecno-logías diseñadas con el propósito de ilustrar los momentos de gestión y desarrollo propuestos en este documento y se incorporan situaciones didácticas diseñadas e implementadas por los docentes del país, que constituyen un excelente referente sobre la implementación en el aula de clase del trabajo con nuevas tecnologías en el estudio de procesos de variación y cambio.

5.1 Propósitos y lineamientos generales

Reconociendo que el significado y el sentido acerca de la variación se establece a partir de situaciones cuyos contextos sean los referidos a fenómenos de cambio y variación, las activi-dades que se proponen como ejemplo son plan-teadas como situaciones problema que pueden ser desarrolladas en los diferentes niveles de

escolaridad y que no necesariamente siguen una secuencia lineal de contenidos. El énfasis del tratamiento de la situación se hará de acuerdo con el nivel de desarrollo cognitivo en el que se encuentren los estudiantes, tendiendo en cuenta las recomendaciones de los lineamientos curriculares de matemáticas en cuanto a que el estudio de la variación puede ser iniciado pronto en el currículo de matemáticas.

Para efectos de elevar el impacto del trabajo que se realice, se considera pertinente tener en cuenta los siguientes indicadores de logro referentes al desarrollo del pensamiento varia-cional, planteados en la resolución 2343, por el Consejo Nacional de Profesores de los Estados Unidos (NCTM) y en el Currículo inglés, entre otros:

• Detectar, reproducir y extender patrones o esquemas que se repiten en varias situa-ciones y analizar situaciones de cambio en varios contextos.

• Modelar diversas situaciones de cambio a través de funciones y expresar dichas funciones inicialmente en palabras y luego simbólicamente, representándolas en forma gráfica, tabular y mediante expresiones alge-braicas.

• Representar y analizar funciones utilizando para ello tablas, expresiones orales, expre-siones algebraicas, ecuaciones y gráficas y hacer traducciones entre estas representa-ciones.



32

• Formular conjeturas sobre el comportamiento de una gráfica teniendo en cuenta el fenó-meno que representa y usar la calculadora para comprender dicho comportamiento.

• Interpretar gráficos que describen diversas situaciones.

• Analizar tablas y gráficas para descubrir patrones, hacer predicciones e identificar propiedades y relaciones.

• Investigar y comprender contenidos matemá-ticos a través del uso de distintos enfoques para el tratamiento y resolución de problemas del mundo real aplicando modelos matemá-ticos e interpretar resultados a la luz de la situación inicial.

• Organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre como de las ciencias y las matemáticas donde la variación se encuentra como sustrato de ellos.

• Elaborar modelos de fenómenos del mundo real y de las matemáticas con funciones polinómicas, escalonadas, exponenciales, logarítmicas, circulares y trigonométricas; representarlas y traducirlas mediante expre-siones orales, tablas, gráficas y expresiones algebraicas.

5.2 Momentos del trabajo de aula con tecnología en situaciones de variación y cambio

Durante el desarrollo de las actividades propuestas, se plantean diferentes momentos. En el momento inicial se propone la obser-vación, descripción y análisis cualitativo del fenómeno (situaciones donde estén involu-crados procesos de variación y cambio), el cual

puede ser presentado a partir de una situación experimental, situaciones del contexto, datos registrados sobre el comportamiento de una situación de cambio y variación o una simula-ción. A través de esto se pretende que los estu-diantes hagan una descripción de la variación, formulen conjeturas, hagan predicciones y las verifiquen.

Como uno de los momentos finales se propone la modelación del fenómeno a través de la expresión algebraica. Sin embargo, debe tenerse presente que es necesario enfrentar a los estudiantes a situaciones donde la función no exhiba una regularidad, con el fin de alejar la idea de que su existencia o definición está determinada por la existencia de la expresión algebraica (MEN, 1997).

Se sugieren entonces los siguientes momentos que se implementarán y profundizarán de acuerdo con el nivel del desarrollo cognitivo de los estudiantes y con los logros que se pretendan alcanzar:

• Observación de la simulación del fenómeno: descripción, predicción, verificación.

• Aproximación al tipo de gráfica que se producirá al relacionar las magnitudes que varían.

• Registro de los datos en una tabla y análisis de la información suministrada.

• Visualización de la gráfica formada por el conjunto de valores registrados y análisis de la misma.

• Relación entre los registros (tabular y gráfico)

• Aproximación a la expresión algebraica que mejor relaciona las variables.


SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA

33

• Cálculo de regresión.

• Análisis de la función y de su relación con el fenómeno en estudio

• Otras extensiones al estudio de la función: construcción geométrica de la derivada, análisis de la derivada, cálculo de la deri-vada, interpretación, etc.

5.3 Propuesta del tratamiento didáctico de las actividades

El proceso de gestión del trabajo de aula con situaciones didácticas relacionadas con la varia-ción y el cambio teniendo como uno de los mediadores importantes los sistemas computa-cionales gráficos y algebraicos, se caracteriza por las fases integradas y no necesariamente secuenciadas linealmente, que se indican a continuación:

5.3.1 Observación y descripción de la situa-ción

o Inicialmente se propone una descripción libre de lo que se observa y posteriormente precisar aspectos como:

• ¿Qué elementos varían? ¿Cómo varían?

• ¿Qué elementos permanecen cons-tantes?

• ¿Qué valores pueden o podrían tomar las magnitudes en observación? ¿Por qué?

• ¿Qué sucede con una de las magnitudes a medida que varía la otra? Explicar la respuesta.

o Con base en lo observado, realizar predic-ciones, formular hipótesis.

o Verificar (en la medida en que la situación lo permita) las hipótesis.

5.3.2 Predicción de la gráfica

Imaginar y esbozar el tipo de gráfica que se espera obtener, en el plano cartesiano, si se relaciona la variable que se considera indepen-diente con la variable que se considera depen-diente. No deben aparecer valores, únicamente la gráfica esbozada.

5.3.3 Registro de los datos en una tabla y descripción de la variación

Teniendo presente que la información obtenida por la tabla da cuenta de la variación numérica de los fenómenos de variación, se proponen los siguientes aspectos para su análisis:

o Describir cualitativamente la variación, a través de preguntas como:

• ¿Cuál es el rango de valores que puede tomar la variable independiente?

• ¿Cuál es el rango de valores que puede tomar la variable dependiente?

• ¿Cómo varía la variable dependiente a medida que los valores de la variable independiente se acercan a cero?

• ¿Cómo varía la variable dependiente a medida que los valores de variable inde-pendiente aumentan?

• ¿Cómo varía la variable dependiente a medida que los valores de variable inde-pendiente disminuyen?

• ¿Existe un valor de la variable indepen-diente para el que se obtenga el valor



34

máximo de la variable dependiente? ¿Uno para el que se obtenga el valor mínimo? ¿Cuáles son estos valores?

• ¿Se podrían encontrar otros? Explicar.

• En general, ¿cómo varían los valores de la variable dependiente a medida que varían los valores de la variable inde-pendiente?

• ¿Existen valores en la variable indepen-diente a los que les corresponda más de un valor? Explicar

• ¿Existen valores diferentes para la variable independiente a los que les corresponda un mismo valor? Explicar.

o Cuantificar la variación mediante la realización de diferencias al interior de cada columna y de cocientes entre estas diferencias.

o Esbozar la gráfica que se producirá al rela-

cionar la variable independiente con la variable dependiente

5.3.4 Visualización de la gráfica formada por un conjunto de valores regis-trados

Teniendo presente que la información obtenida por la gráfica hace posible el estudio dinámico de la variación y posibilita abordar los aspectos de la dependencia entre variables, se proponen los siguientes aspectos para su análisis:

• ¿Qué forma aproximada tendría la gráfica que une los puntos?

• ¿En qué coincide con las gráficas esbozadas anteriormente? ¿En qué difieren?

• ¿Cuál es el rango de valores que puede tomar la variable independiente?

• ¿Cuál es el rango de valores que puede tomar la variable dependiente?

• ¿Cómo varía la variable dependiente a medida que los valores de la variable inde-pendiente se acercan a cero?

• ¿Cómo varía la variable dependiente a medida que los valores de variable indepen-diente aumentan?

• ¿Cómo varía la variable dependiente a medida que los valores de variable indepen-diente disminuyen?

• ¿Existe un valor de la variable independiente para el que se obtenga el valor máximo de la variable dependiente? ¿Uno para el que se obtenga el valor mínimo? ¿Cuáles son estos valores?

• ¿Se podrían encontrar otros? Explicar.

• ¿En general, cómo varían los valores de la variable dependiente medida que varían los valores de la variable independiente?

• ¿Existen valores en la variable independiente a los que les corresponda más de un valor? Explicar.

• ¿Existen valores diferentes para la variable independiente a los que les corresponda un mismo valor? Explicar.

5.3.5 Relacionar la información obtenida en la gráfica con la información obte-nida en la tabla.

Comparar las respuestas obtenidas en los puntos anteriores y relacionar la información con el fenómeno en estudio.



35

5.3.6 Hacer aproximaciones de la expre-sión algebraica que mejor relaciona las variables

De acuerdo con la descripción cualitativa y cuantitativa de la relación entre las variables, intentar formular expresiones algebraicas aproximadas que establezcan su mejor rela-ción. Verificar estas hipótesis introduciendo la expresión algebraica en el editor de funciones y comparando la gráfica producida por ésta y por el conjunto de puntos tomados del fenómeno en estudio.

5.3.7 Hacer el cálculo de regresión

De acuerdo con la función que mejor modela los datos responder a las preguntas planteadas para el análisis de los registros anteriores y comparar las respuestas.

Analizar la función obtenida en el conjunto de todos los reales (ceros, crecimiento, decreci-miento, máximos, mínimos, etc.)

5.4 Situaciones didácticas que promueven el desarrollo del pensamiento variacional y potencian el papel mediador de las nuevas tecnologías computacionales

Las situaciones didácticas que se presentan a continuación surgieron de actividades que los profesores que participan en el “Proyecto Incor-poración de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secun-daria” desarrollaron en el aula de clase con sus estudiantes. Se han organizado en un mismo formato tratando de destacar los puntos más importantes de cada actividad y los posibles momentos de gestión en el aula.

5.4.1 Modelación del Movimiento Pendular

Profesor: Oscar Alberto Narváez Guerrero

Institución Educativa: INEM de Pasto Departa-

mento de Nariño Grado: Décimo Asesoría y acompañamiento: Universidad de Nariño.

I. Guía para los estudiantes

Un péndulo es un cuerpo sujeto a la acción de su propio peso y que puede girar alrededor de un punto o de un eje horizontal superior a su centro de gravedad. Un péndulo se puede construir con una cuerda delgada y una esfera (o cualquier otro objeto) atada a uno de sus extremos. Un péndulo se pone en movimiento de la siguiente manera: se asegura el extremo que no tiene atada la esfera de tal manera que la esfera cuelgue libremente, se levanta la esfera manteniendo tensa la cuerda y se deja caer la esfera.

Queremos con esta actividad encontrar un modelo matemático (tablas de datos, gráficas, ecuaciones, etc.) que describa el movimiento del péndulo con la mayor precisión posible. Para esto necesitaremos un CBL, una calcula-dora TI92 y diferentes péndulos.

A) Actividades.

a) Construir péndulos de diferentes longitudes de cuerda y de diferentes pesos.

b) Identificar magnitudes en el movimiento del péndulo y clasificarlas según cambien con el transcurso del tiempo o no.

c) Discutir la forma en que se medirían estas magnitudes y decidir acerca de las unidades que se utilizarían.

d) Discutir la forma en que se usaría el CBL para obtener datos de las medidas de una



36

de las magnitudes involucradas en el movi-miento del péndulo.

e) Discutir la forma en que se representarían los datos tomados por el CBL en una gráfica cartesiana. Explicar el significado de los ejes coordenados en esta situación.

f) Predecir el comportamiento de la gráfica en cuestión relacionándola con el movimiento real del péndulo.

g) Proponer, de acuerdo a las predicciones hechas en el ítem (f), expresiones matemáticas que conozcan como modelos funcionales para establecer el comportamiento de la magnitud en cuestión al transcurrir el tiempo.

h) Montar el péndulo y el CBL de una forma conveniente, según lo discutido en el ítem (d), y tomar los datos.

B) Análisis de datos y gráficas

a) Discutir el significado de los datos tomados por el CBL, explicando con precisión el significado de la medida de la magnitud en cuestión a medida que se recorre la tabla.

b) Discutir el significado de la gráfica produ-cida por la calculadora TI92 en términos del movimiento del péndulo y en términos de los datos de la tabla.

c) Comparar la gráfica de la calculadora con las predicciones hechas en el item (f).

C) Conclusiones

a) Hacer en un papel una gráfica del movi-miento pendular que represente el compor-tamiento del de la magnitud medida en la parte (A) a medida que transcurre el tiempo.

b) Incluir en la gráfica los datos que sean nece-sarios para la interpretación de la misma.

c) Escribir con sus propias palabras la descrip-ción de la gráfica en términos del movimiento del péndulo.

d) Hacer la gráfica en la TI92 de la función propuesta en el ítem (g)-(A) y compararla con la del ítem (a)-(C). Explique las diferen-

cias y haga los ajustes que sean necesarios en la expresión para acercarse mejor a la gráfica obtenida experimentalmente.

D) Actividades complementarias

a) ¿Cuánto dura cada una de las oscilaciones de un péndulo? Explique.

b) Si en el péndulo anterior aumentamos el peso dejando igual la longitud de la cuerda, ¿la duración de cada una de las oscilaciones es mayor o es menor?

c) Si cambiamos la longitud del péndulo dejando el mismo peso, ¿en qué cambia la duración de cada una de las oscilaciones? Si puede, exprese mediante una expresión matemática la relación que existe entre la longitud del péndulo y la duración de cada oscilación.

II. Guía para el profesor A) Actividades.

Las actividades propuestas tienen el propósito de que los estudiantes entiendan con mayor profundidad la situación de variación que se les presenta, identifiquen las magnitudes que cambian y que no cambian en la misma, le den sentido al modelo matemático que se va a producir (tablas, gráficas, expresiones matemá-ticas, etc.), en términos de la situación real.

Una de las magnitudes que no aparece en forma explícita en el movimiento del péndulo es el tiempo pero que debe aparecer en las discu-siones acerca del comportamiento de otras magnitudes involucradas como longitud de la cuerda, amplitud del ángulo que forma la cuerda del péndulo en movimiento con respecto a la cuerda del péndulo en equilibrio, la masa o el peso del péndulo, entre otros.

Seguramente la magnitud que se puede medir con el CBL será la distancia entre el objeto que



37

cuelga en el péndulo y el CBL, que sirve de punto de referencia.

B) Análisis de datos y gráficas.

En esta parte es importante socializar los resul-tados obtenidos por cada uno de los equipos de estudiantes mediante la presentación al grupo completo de estudiantes de las gráficas y expre-siones algebraicas producidas.

C) Conclusiones.

En la parte de conclusiones es donde se propone el modelo matemático definitivo para describir el comportamiento de una de las magnitudes involucradas en el movimiento. Para los estu-diantes más avanzados se puede recurrir a las herramientas de regresión que provee la calcu-ladora TI92. El profesor puede hacer preguntas acerca del comportamiento del péndulo en movimiento que se pueda predecir a partir del modelo encontrado. También puede preguntar a los estudiantes acerca de la relación existente entre otras magnitudes involucradas y la que se estudio en la actividad.


Los problemas propuestos deberán usar, no sola-mente los modelos matemáticos encontrados, sino que requerirán de los estudiantes la propuesta de tomas adicionales de datos y producción de nuevos modelos que se deben comparar con el ya propuesto para sacar conclusiones.

5.4.2 Simulación del Movimiento de Aviones

Profesora: Fabiola Rodríguez GarcíaInstitución Educativa: Instituto Pedagógico Nacional de

Bogotá D.C.Grados: Séptimo a Once


La simulación que se les presenta en la calcula-dora, representa el movimiento de tres aviones A, B y C que viajan paralelamente en línea recta con velocidades distintas siguiendo el mismo rumbo. El avión A viaja a 400 km/h, el avión B a 750 km/h y el avión C viaja con acelera-ción constante de 0.5 km/h2. En la pantalla 2 cm representan 1000 km. Los tres puntos A, B y C representan a cada uno de los aviones y el número que aparece representa el tiempo que transcurre. Para dar comienzo a la simulación, aplique Animación al número. (En ningún caso borre el número, pues la simulación dejará de funcionar). El propósito de esta actividad es el de elaborar un informe que de cuenta del estudio del movimiento de cada uno de ellos y de sus relaciones utilizando los diferentes sistemas de representación.

A) Actividades.

Primera parte

a) Observe cómo varía el movimiento de los aviones a medida que el tiempo transcurre y describa lo sucedido. No olvide mencionar explícitamente las magnitudes involucradas.

b) ¿Hay algún momento en el que dos de los aviones se encuentren sobre la misma vertical? ¿Si la respuesta es afirmativa, cuáles son esos aviones y, aproximadamente, al cabo de cuánto tiempo se encuentran?

c) ¿Habrá algún momento en el que los tres aviones se encuentren sobre la misma vertical? Si la respuesta es afirmativa, ¿al cabo de cuánto tiempo? De lo contrario, explicar porqué.

d) ¿Qué avión ha recorrido mayor distancia al cabo de 7 horas? ¿Por qué?



38

e) Observe el movimiento de cada uno de los aviones por separado y descríbalo en la siguiente tabla.

Avión 1

Avión 2

Avión 3

f) ¿Cómo varía la distancia recorrida por avión A a medida que transcurre el tiempo?

g) Haga un bosquejo de la gráfica cartesiana que relaciona el tiempo de recorrido y la distancia recorrida por el avión A?

h) Responder las preguntas f y g para los aviones B y C.

Segunda parte

a) Mida y registre en la siguiente tabla las distancias recorridas por cada avión en cada uno de los siguientes tiempos, a partir el momento inicial:

Tiempo (horas)

Distancia avión A

Distancia avión B

Distancia avión C

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

b) Calcule los cocientes para cada uno

de los aviones, en los siguientes intervalos de tiempo:

Intervalo de tiempo

Cociente

Avión A

Cociente

Avión B

Cociente

Avión C(1, 2.5)

(2, 3.5)

(1, 4)

(3.5, 4)

c) De acuerdo con estos resultados, ¿qué concluye con respecto al movimiento de cada uno de los aviones?

Tercera parte

d) Mida la distancia recorrida por el avión A, en cualquier instante de tiempo.

Fig. 8

e) Re-edite nuevamente el valor del tiempo y a partir del instante 0.00, registre en una tabla



39

los datos obtenidos de tiempo y distancia para el avión A1.

g) Realice algunas diferencias de los valores registrados para el tiempo, entre un dato y el anterior. ¿Qué valor obtuvo? Tenga presente este resultado ya que nos referiremos a él como .

h) Calcule las diferencia de distancias entre un dato y el anterior y almacene estos resultados en otra columna2.

1 Para realizar este registro se procede de la siguiente manera:1. Asegúrese de que no haya datos en el archivo SYSDATA.2. Una vez esté ubicado en el archivo de Cabri Gémètre sobre el cual se está trabajando, seleccione F6 + 7 Collect data

(agrupar datos), y luego Define Entry (definir entrada).3. Seleccione los datos que se van a relacionar. Para este caso, seleccione en su orden el tiempo y la distancia del avión A.4. Almacene los datos: seleccione F6 + 7 Colect data (agrupar datos) Store Data (almacenar datos).5. Anime el tiempo. Para esto seleccione F7 + 3 Animation (animación) y anime el valor que define el tiempo. Cuando

quiera detener la animación oprima la tecla ESC.6. Visualice la tabla arrojada por estos valores. Para esto oprima la tecla de Aplicaciones y seleccione 6: Data/Matrix

Editor + Open + Sysdata.2 Suponiendo que estos datos de distancia se encuentran en la columna 2, se procede así:

1. Para copiar en otra columna (por ejemplo en C3) y desplazar hacia arriba una celda, los datos obtenidos en C2 (correspon-dientes a la distancia del aviónA), se oprime F4 con el fin de definir la cabecera de la columna donde se va a copiar y se digite allí C3 = shift (C2,1). ( Si la calculadora está en español, se debe digitar desplaz (C2,1)

2. En otra columna (por ejemplo C4), se calcula C3-C2. Para esto se ubica en la cabecera de la columna y se digita C3-C2.

Fig. 9

f) Teniendo en cuenta los valores registrados en la tabla: ¿cómo varía la distancia del avión A a medida que transcurre el tiempo? Aproxi-madamente, ¿en qué momento el avión A ha recorrido una distancia de 0.5 km? (recuerde que su correspondiente en la pantalla es de 1cm).

Fig. 10

i) Calcule en otra columna el cociente .

Nota: este cociente calcula la velocidad casi instantánea del avión A ya que el intervalo de tiempo considerado es relativamente pequeño (fue por esta razón que se editó el valor del tiempo con dos cifras decimales). De esta manera puede comenzar a fundamentarse la idea de velocidad instantánea y velocidad media de un móvil.



40

Para digitar la expresión no olvide tener presente el uso adecuado de los paréntesis.

Fig. 12

n) ¿Qué forma aproximada tendría la gráfica que une los puntos?

o) ¿Cómo varía la distancia a medida que trans-curre el tiempo?

p) ¿Cuál es la distancia recorrida al cabo de dos horas? ¿Existe otro valor? Explicar

q) ¿En qué momento ha recorrido 0.5 km? (su correspondiente en la pantalla, de acuerdo con la escala es de 3cm).

r) Escriba una expresión general que relacione adecuadamente al tiempo transcurrido y la distancia recorrida por el avión A. Tenga en cuenta sus observaciones con respecto a la variación y los resultados numéricos obte-nidos en la tabla.

s) Introduzca esta expresión en el editor de funciones y grafíquela. Compare las gráficas y escoja la expresión que mejor modela los datos.

3 Para construir la gráfica se sigue este procedimiento:1. Ubicados en el editor de datos, seleccionar F2 Plot Setup2. Seleccionar F1 para definir las características de la gráfica3. Seleccionar el tipo de gráfica (Scatter) y el tipo de marca para los puntos (Box).4. Asignar a la variable x los valores correspondientes a la columna 1 (c1)5. Asignar a la variable y los valores correspondientes a la columna 2 (c2)6. Oprimir ENTER dos veces7. Graficar los puntos (♦GRAPH). Para visualizarlos mejor seleccionar ZoomData en F2 + 9.

Fig. 11

j) ¿Qué valores se obtienen al realizar este cálculo?

k) ¿Que representa este resultado con relación al movimiento del avión A?

l) ¿Qué concluye acerca del movimiento del avión A?

Cuarta parte

m) Construya la gráfica de distancia contra tiempo del avión A3.



41

t) Realice el cálculo de regresión4 y almacene el resultado en la variable y1.

ventana apropiada para observar mejor la función. ¿Qué tipo de gráfica se obtiene?

4 Para hacer el cálculo de regresión: Ubicados en el editor de datos, seleccionar F5 Calc y escoger el tipo de regresión que se considera mejor ajusta a los datos.

Guardar esta función en y1.

Fig. 13

u) Escriba la función que mejor modela los datos y de acuerdo con esta expresión: ¿en qué coincide y en qué difiere con la expre-sión que usted encontró? ¿ Qué representa cada coeficiente con relación a los resultados obtenidos en el análisis de la tabla? ¿ Qué representa cada coeficiente con relación al movimiento del avión A?

v) Describa la variación de la distancia con respecto al tiempo teniendo en cuenta los resultados obtenidos.

w) Visualice la función obtenida y los datos tomados de la simulación y seleccione una

Fig. 14

x) Describa el comportamiento de la gráfica.

Quinta parte.

Repita con los aviones B y C las actividades realizadas con el avión A

Conclusiones

Haga un informe describiendo el movimiento de los aviones mediante tablas, gráficas y expre-siones algebraicas. Describa las diferencias que se encuentran en los movimientos de los tres aviones sustentando los argumentos por medio de la información recopilada en la actividad.



42

Haga una comparación entre las predicciones o suposiciones que hizo en el transcurso de la actividad y los resultados obtenidos.

Actividades complementarias

a) Haga un análisis de la manera cómo varía la velocidad del avión C con respecto al tiempo.

b) Haga un análisis de la forma cómo varía la distancia entre los aviones A y B con respecto al transcurrir del tiempo.

c) Repita lo mismo que en el ítem (b) con los aviones A y C.

d) Repita lo mismo que en el ítem (b) con los aviones A y B pero suponiendo que los aviones viajan en direcciones que forman un ángulo de 90°

II. Guía para el profesor A) Actividades.

a) Se presenta un archivo construido en Cabri, el cual debe ser elaborado previamente por el profesor y grabado en las calculadoras de los estudiantes. En dicho archivo está construida la simulación del movimiento de tres aviones que viajan paralelamente en línea recta y en el mismo sentido. Se pretende que a través de la observación, la exploración y la siste-matización de los resultados, los estudiantes modelen las situaciones de cambio presentes en la simulación y expresen el modelo en palabras y simbólicamente, representándolo en forma tabular, gráfica y mediante expre-siones algebraicas.

b) La actividad está propuesta para ser desa-rrollada en diferentes momentos, los cuales pueden implementarse en diferentes niveles

de escolaridad, teniendo en cuenta el nivel de desarrollo cognitivo de los estudiantes. Es decir, es potencialmente realizable desde grado sexto hasta grado undécimo.

c) Se pretende que los alumnos modelen la situación a través de la función lineal y la función cuadrática y exploren en cada una de ellas los elementos que las definen en sus diferentes representaciones: tabular, gráfica y algebraica.

d) Es importante que el profesor esté familiari-zado tanto con el manejo técnico de la calcu-ladora requerido para la actividad, como con el desarrollo de la misma. Por tal razón es aconsejable que desarrolle previamente toda la actividad y dimensione su potencial, para que pueda hacer adaptaciones, cambios y extensiones de la misma, teniendo en cuenta las características de sus estudiantes y lo que quiere desarrollar en ellos.

e) Debido a que esta actividad puede realizarse desde los primeros grados de secundaria, los conocimientos previos dependerán del aspecto de la modelación sobre el que se quiera enfatizar. Por ejemplo, si se quiere hacer la modelación algebraica del problema (esta se propone como una de las últimas etapas), es conveniente que los estudiantes estén familiarizados con los términos y las operaciones con polinomios.


a) En la segunda parte, donde se toman medidas, puede desarrollarse con distintos matices dependiendo del grado en el que se desarrolle. Por ejemplo, puede aprove-charse para analizar la información obtenida en la tabla en términos de la variación de las distancias a medida que varía el tiempo, para introducir el significado de pendiente de una



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recta como cociente entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, o puede aprovecharse para reforzar el concepto de velocidad media.

b) Antes de registrar los datos se sugiere re-editar el valor numérico del tiempo t y asignarle 0.00. De esta manera los intervalos de tiempo que se consideran serán más pequeños y facilitará el análisis posterior de la velocidad media, aunque la simulación del movimiento se haga más lenta. Se aconseja tomar valores hasta el momento t=3.7 aproximadamente. Esta toma de datos tomará un tiempo.

c) El cociente que se calcula en la actividad es la velocidad casi instantánea del avión A ya que el intervalo de tiempo considerado es rela-tivamente pequeño (fue por esta razón que se editó el valor del tiempo con dos cifras decimales). De esta manera puede comenzar a fundamentarse la idea de velocidad instan-tánea y velocidad media de un móvil. Para digitar la expresión no olvide tener presente el uso adecuado de los paréntesis.

d) Una variación a la estrategia aquí presentada consiste en hacer primero la construcción de la gráfica directamente en Cabri y a partir de allí orientar la reflexión. Es decir se puede aprovechar para hacer un análisis eminente-mente geométrico.

e) La actividad que se desarrolla con el avión C se puede usar para introducir el estudio de la función cuadrática Su desarrollo se realizará de manera similar al realizado en el análisis del movimiento del avión A. Debe tener presente que el archivo en el que se guardan los datos, está ocupado con los datos ante-riores así que debe borrarse el archivo para registrar allí los nuevos datos.

f) Vale la pena detenerse en la reflexión sobre la diferencia de resultados obtenidos para el avión A y para el avión C.

C) Conclusiones

Algo que es muy ilustrativo es el comparar los resultados obtenidos en el estudio y los que se esperaban inicialmente. Se puede pedir a los estudiantes que vayan registrando sus conje-turas con respecto a la forma de las gráficas, expresiones algebraicas y al comportamiento de las tablas, para poder hacer las comparaciones en el informe.

D) Actividades complementarias.

Dentro de los problemas se pueden incluir los que planteen los estudiantes. Frecuentemente se presentan problemas muy interesantes cuya solución pone a prueba lo aprendido en la acti-vidad. A los estudiantes más avanzados se les puede pedir que construyan la simulación y simulaciones similares.

E) Construcción de la simulación.

La construcción propuesta utiliza una característica del programa de geometría dinámica Cabri, el cual ofrece la posibilidad de animar un número. De esta manera, si se escribe un número cualquiera utilizando Edición Numérica (Numerical Edit) y luego se le anima, éste comenzará a aumentar o a disminuir su valor. Teniendo en cuenta que además podemos efectuar cálculos utilizando este número y transferir esas medidas a objetos geométricos de la pantalla, podemos hacer la simulación del movimiento de tres puntos que representan el movimiento de los aviones.

La simulación consiste en definir un número t que representará el tiempo en horas, y con base en él se calcularán las distancias recorridas por



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cada avión. Estas distancias son: para el avión A, t*400; para el avión B, t*750 y para el avión C, 0.5*t2. Sin embargo, como tenemos una restricción de tamaño en la pantalla, y teniendo en cuenta que las medidas se hacen en centíme-tros, debemos hacer un ajuste de escalas para representar las distancias. Consideremos por ejemplo la equivalencia de 2cm con 1000km. Esto quiere decir que 1km equivale a 0,002cm. De esta manera las ecuaciones para calcular las distancias de cada avión, se convierten respecti-vamente en: t*0.8, t*1.5 y 0.5*t2.

Para construir la simulación se pueden seguir los siguientes pasos: 1. Con la herramienta Edición Numérica,

escriba el número 0.0 (la cifra decimal deter-mina la rapidez de variación del número).

2. Con la herramienta Calcular, obtenga el número que representa la distancia recorrida por el avión A, es decir t*0.8.

3. Use el mismo procedimiento para las distan-cias recorridas por el avión B( t*1.5) y por el avión C (0.5*t2)

4. Construya la ruta de los aviones: dibuje tres semirrectas paralelas (de manera que ocupen la pantalla a lo ancho)

5. Transfiera la distancia calculada de cada uno de los aviones en la semirrecta respectiva.

6. Marque cada punto que representa los aviones con las etiquetas correspondientes A, B y C.

7. Oculte los resultados obtenidos en los puntos 2 y 3.

8. Para que la simulación funcione, anime el valor de t



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Fig 15. Simulación del Movimiento de los Aviones

Nota: Es importante dominar el procedimiento de animación de un número; de lo contrario puede dañarse la construcción y detener el desa-rrollo de la actividad. Por lo tanto debe tenerse en cuenta lo siguiente:

� El número puede editarse de dos maneras: haciendo doble clic sobre él, o seleccio-nando Edición Numérica y luego clic sobre el número. Al editar el número usted puede cambiarlo, añadirle o eliminarle cifras deci-males.

� El número animado variará a una velocidad constante en las unidades, decenas, décimas, centésimas, etc. dependiendo de dónde esté el cursor de edición. Si el número está variando en unidades y desea que varíe en centésimas, edítelo y luego oprima ♦y mueva el cursor hasta las centésimas.

� Para animar el número seleccione Animación (menú F7) y luego haga clic sobre el número. Luego desplace el cursor hacia abajo si quiere que el número aumente, o hacia arriba si quiere que el número disminuya.

� Para detener la animación oprima ENTER. Un segundo ENTER reanuda la animación. Si desea salir de la animación oprima ESC.

� Para recomenzar la animación edite el número colocándolo en 0.00 y luego aplí-quele animación.

� A los estudiantes se les entregará el archivo con la simulación considerando el tiempo t = 0.0 y a partir de la exploración y la mani-pulación de los objetos se desarrollarán los diferentes momentos.

5.4.3 La función seno y su gráfica.

Profesor: Alcides Fernández Guerrero

Institución Educativa: Colegio Nacional Lope-

rena de Valledupar Cesar. Grado: Décimo Asesoría y acompañamiento: Álvaro Solano Solano,

Prof. Univ. Popular del Cesar.


Establecer e interpretar en forma clara y precisa la relación que existe entre el ángulo que se encuentra en posición normal y el cociente de la longitud del lado opuesto al ángulo del trián-gulo rectángulo correspondiente y su hipote-nusa (radio de la circunferencia). Se trabajará con la simulación propuesta en la calculadora TI92 plus.



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A) Actividades.

Primera parte

En la simulación que se presenta en la calcula-dora, el punto P se mueve libremente sobre la circunferencia.

c) Detenga en cualquier momento el punto P en cada cuadrante y observe los valores de la ordenada.

d) Calcule el cociente entre la ordenada y la longitud del radio. Anime otra vez el punto P, observe y escriba en su cuaderno el compor-tamiento del cociente.

e) Duplique el radio de la circunferencia y detenga el punto P en cada cuadrante

1. ¿Qué relación hay entre estas razones obtenidas y las del inciso anterior?

2. Haga un bosquejo de la gráfica que rela-ciona el cociente con la amplitud del ángulo.

Segunda parte

Animar el punto P y registrar datos.

a) Agrupe datos para una circunferencia de radio unidad y deje que el punto P de una vuelta completa.

b) Abra el archivo Sysdata, cambie el nombre del archivo por Sysdata1 y pídale a la calcu-ladora hacer la gráfica.

c) Repita los pasos anteriores para una circun-ferencia de radio 2.

1. Abra el archivo Sysdata y compare los datos con los del archivo anterior

2. ¿Cómo son las gráficas?

3. Analice el comportamiento de la gráfica en cada cuadrante.

4. ¿Observe la tabla y la gráfica y deter-mine en ambos casos cual es el mayor

Fig. 16

a) Mueva el punto P sobre la circunferencia. Observe y escriba en su cuaderno lo que pasa con el ángulo t y el segmento (dirigido) QP. Describa las relaciones que encuentra en los casos que usted crea más representativos.

b) Si x representa la magnitud del ángulo t y s la magnitud del segmento QP, haga un bosquejo en su cuaderno de lo que usted cree que puede ser la gráfica que representa la relación entre s y t.

c) Pida a la calculadora que presente las coor-denadas del punto P. Anime el punto P, observe y escriba lo que observa en relación con:

� Las coordenadas del punto P en los 4 cuadrantes y sus signos.

� Valor de la ordenada en las distintas posiciones del punto P.



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valor de la ordenada y el menor valor de la ordenada?

B) Conclusiones

Escriba un reporte completo en el que compara los resultados obtenidos en la primera parte de la actividad y en la segunda. No olvide incluir tanto los bosquejos que propuso inicialmente como las gráficas producidas por la calculadora. Presente una tabla representativa con valores de la amplitud del ángulo y los valores correspon-dientes de la ordenada de P para una circunfe-rencia de radio 1.

C) Actividades complementarias

Repetir todo el estudio anterior con la abscisa del punto P en lugar de la ordenada. Haga una comparación de los dos casos estableciendo las diferencias y las semejanzas.

II. Guía para los profesores

A) Actividades.

� Se presenta un archivo construido en Cabri, el cual debe ser elaborado previamente por el profesor y grabado en las calculadoras de los estudiantes. En dicho archivo está construida la simulación del movimiento de un punto P sobre una circunferencia. Se pretende que a través de la observación, la explora-ción y la sistematización de los resultados, los estudiantes modelen las situaciones de variación cambio presentes en la simulación y expresen el modelo en palabras y simbóli-camente, representándolo en forma tabular, gráfica y mediante expresiones algebraicas.

� Es importante que el profesor esté familiari-zado tanto con el manejo técnico de la calcu-ladora requerido para la actividad, como con el desarrollo de la misma. Por tal razón es

aconsejable que desarrolle previamente toda la actividad y dimensione su potencial, para que pueda hacer adaptaciones, cambios y extensiones de la misma, teniendo en cuenta las características de sus estudiantes y lo que quiere desarrollar en ellos.

B) Análisis de datos y gráficas

En esta parte es importante socializar los resul-tados obtenidos por cada uno de los equipos de estudiantes mediante la presentación al grupo completo de estudiantes de las gráficas y expre-siones algebraicas producidas.

C) Conclusiones

Algo que es muy ilustrativo es el comparar los resultados obtenidos en el estudio y los que se esperaban inicialmente. Se puede pedir a los estudiantes que vayan registrando sus conje-turas con respecto a la forma de las gráficas, expresiones algebraicas y al comportamiento de las tablas, para poder hacer las comparaciones en el informe.

En la parte de conclusiones es donde se propone el modelo matemático definitivo para describir el comportamiento de las magnitudes involu-cradas en el movimiento. Para los estudiantes más avanzados se puede recurrir a las herra-mientas de regresión que provee la calculadora TI92. El profesor puede preguntar acerca de la relación existente entre otras magnitudes invo-lucradas y las que se estudiaron en la actividad.


Se puede pedir a los estudiantes diseñar situa-ciones similares a la planteada, por ejemplo, cambiando la circunferencia por un polígono (triángulo, cuadrado, etc.), construir las simu-laciones, obtener las conclusiones correspon-dientes y hacer las comparaciones entre las diferentes situaciones.



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Para construir la simulación se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Abrir un nuevo archivo de Cabri en la calcu-ladora y nombrarlo Fseno.

2. Pedir al programa que muestre los ejes.

3. Con centro en el origen de coordenadas trazar una circunferencia de radio arbitrario.

4. Representar un punto P sobre la circunfe-rencia.

5. Trazar una recta perpendicular al eje x que pasa por el punto P y llamar Q su intersec-ción con el eje x.

6. Nombrar O el origen de coordenadas y trazar el segmento OP.

7. Trazar el vector QP.

8. Ocultar los ejes de coordenadas y la recta perpendicular al eje x.

9. Transferir el archivo Fseno a las calculadoras de los estudiantes.

5.4.4 Estudio de la simulación del lanza-miento de un cuerpo

Profesores: Luis Ortiz Padilla y Pedro Juan Torres Flórez

Institución Educativa: Colegio Técnico la Espe-

ranza Valledupar Cesar. Grado: Noveno Asesoría y Acompañamiento: Álvaro Solano Solano, Prof.

Univ. Popular del Cesar.


Un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial en las proximi-dades de la tierra. Debemos establecer la rela-ción entre las distintas velocidades que adquiere el cuerpo y el tiempo empleado para adquirir cada una de ellas, lo mismo que la relación entre el desplazamiento del objeto y el tiempo transcurrido. Modelaremos las situaciones de cambio presentadas y hallaremos una expre-sión algebraica que relaciona estas variables. Usaremos para esto los diferentes sistemas de representación que ofrece la TI-92 Plus. La situación se presenta en una simulación dise-ñada para que podamos observar, conjeturar, tomar datos, graficar etc.

A) Actividades.

Primera parte

a) Anime el número que representa el tiempo.

b) Observe la variación del movimiento del objeto a medida que transcurre el tiempo y describa lo sucedido.

c) ¿Cómo cree que varía la velocidad al trans-currir el tiempo en el movimiento de subida y de bajada?

d) ¿Cómo cree que varía la distancia desde el punto de lanzamiento al transcurrir el tiempo?

e) ¿Qué tipo de grafica se producirá al rela-cionar la variable velocidad y la variable tiempo?

f) ¿Qué tipo de grafica se producirá al rela-cionar la variable distancia y la variable tiempo?



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Segunda parte

a) Registre en la siguiente tabla las veloci-dades y los desplazamientos del objeto para cada uno de los intervalos de tiempo que se indican en la tabla:

Tiempo en segundos

Velocidad en metros por

segundo

Distancia en metros

0.000 7.5 0.0000.1110.2220.3330.4440.5550.6660.7650.8880.9991.1111.2221.3331.531

b) Calcule los cocientes (V2 – V1)/ (t2 – t1)

Intervalos (V2 – V1)/ (t2 – t1)

0.000-0.111

0.111-0.222

0.333-0.444

0.444-0.555

0.555-0.666

0.666-0.765

c) ¿Son significativamente iguales estos cocientes?

d) Escriba una ecuación que relacione las varia-bles V y t.

e) ¿Qué tipo de función representa la expresión algebraica obtenida?

f) ¿Qué representan cada uno de los términos de la ecuación?

g) Elabore la grafica en el plano v t.

h) Verifique y constate que tipo de gráfica representa la velocidad contra el tiempo, agrupando datos y almacenándolos.

i) Compara esta gráfica con la que obtuviste anteriormente (v t).

j) Calcule la regresión que mejor modela la situación problema con ayuda de la TI-92+ y compara con la obtenida en la pregunta 2 b.

k) ¿Qué significado tienen los términos que aparecen en esta regresión?

l) Observación: con este mismo procedimiento se puede abordar la función cuadrática, pero tomando desplazamiento - tiempo.

II. Guía para los profesores

A) Actividades.

� El poder utilizar los diferentes sistemas de representación: geométrico, tabular, grafico, algebraico y la misma ejecución de la simu-lación construida, ayudará a los estudiantes a interpretar la variación que se evidencia entre las magnitudes presentes en la simula-ción. Se busca que los estudiantes a través de la manipulación, observación, exploración y análisis de resultados de la situación plan-teada, modelen las situaciones de cambios presentes en esta y logren establecer rela-ciones entre los elementos que intervienen, elaborando un modelo simbólico cuya estruc-tura esté basada en tabulaciones, graficas y expresiones algebraicas.



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� Es importante que el profesor esté familiari-zado tanto con el manejo técnico de la calcu-ladora requerido para la actividad, como con el desarrollo de la misma. Por tal razón es aconsejable que desarrolle previamente toda la actividad y dimensione su potencial, para que pueda hacer adaptaciones, cambios y extensiones de la misma, teniendo en cuenta las características de sus estudiantes y lo que quiere desarrollar en ellos.


a) En la segunda parte, donde se toman medidas, puede desarrollarse con distintos matices dependiendo del grado en el que se desa-rrolle. Por ejemplo, puede aprovecharse para analizar la información obtenida en la tabla en términos de la variación de las distancias a medida que varía el tiempo, para introducir el significado de pendiente de una recta como cociente entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, o puede aprovecharse para reforzar el concepto de velocidad media.

b) Antes de registrar los datos se sugiere re-editar el valor numérico del tiempo t y asig-narle 0.00. De esta manera los intervalos de tiempo que se consideran serán más pequeños y facilitará el análisis posterior de la velocidad media, aunque la simulación del movimiento se haga más lenta.

c) Una variación a la estrategia aquí presentada consiste en hacer primero la construcción de la gráfica directamente en Cabri y a partir de allí orientar la reflexión. Es decir se puede aprovechar para hacer un análisis eminente-mente geométrico.

C) Conclusiones.

Algo que es muy ilustrativo es el comparar los resultados obtenidos en el estudio y los que se

esperaban inicialmente. Se puede pedir a los estudiantes que vayan registrando sus conje-turas con respecto a la forma de las gráficas, expresiones algebraicas y al comportamiento de las tablas, para poder hacer las comparaciones en el informe.

D) Actividades complementarias.

Dentro de los problemas se pueden incluir los que planteen los estudiantes. Frecuentemente se presentan problemas muy interesantes cuya solución pone a prueba lo aprendido en la acti-vidad. A los estudiantes más avanzados se les puede pedir que construyan la simulación y simulaciones similares.


La construcción propuesta se logra a través del siguiente procedimiento:

1. Ingrese a la edición Numérica- Enter y se edita 0.000 (tiempo)

2. Se hace otra edición Numérica : 7.5 (Velo-cidad inicial)

Se construye un punto A que representará el cuerpo.

3. Se construye una semirrecta que tenga como punto inicial A, en forma vertical hacia arriba.

4. Para introducir la ecuación del movimiento del cuerpo A (movimiento rectilíneo unifor-memente acelerado):

a) Calcular

b) Introduzca la ecuación V

i xt – 9.8xt2 /2 de la siguiente forma:

7.5x0.000-(9.8x0.0002)/2, Enter; esto representará la distancia “Y” recorrida



51

por el punto (cuerpo) . Observación: Seleccione las variables V

i y t con el

mouse, no las escriba directamente.

c) Introduzca la ecuación Vi –

gt, de la siguiente forma: 7.5 – 9.8x0.000, enter (esto representará la velocidad del cuerpo A en cada instante)

d) Luego Escape(Esc)

5. Transfiera la medida R: 0.00 a la semirrecta.

6. a) Colóquele las letras y signos que aparecen en la gráfica de la guía

b) oculte la edición numérica 7.5 c) coloque la semirrecta punteada.

7. Anime el tiempo

8. Para detener la animación utilice Enter

9. Para volver el tiempo a 0.000 coloque el puntero sobre el número que representa el tiempo, oprima 2 veces enter, borre cada digito con “Del” y escriba de nuevo 0.000.

5.4.5 Simulaciones en Cabri para diseñar

otras actividades

5.4.5.1 Variación del radio y la circunferencia.

Trace una semirrecta vertical de origen A hacia arriba. Trace una recta perpendicular a la semi-rrecta que pase por A. Tome un punto B sobre la recta y trace una circunferencia con centro en B y radio BA. Mida la longitud de la circunfe-rencia y transfiera la medida sobre la semirrecta. Se obtiene un punto C sobre la semirrecta (AC representa la longitud de la circunferencia) Trace una recta perpendicular a AB que pasa por B y una recta perpendicular a AC que pasa por C. El punto D de intersección de estas dos últimas

rectas representará la dependencia del radio de la circunferencia y su longitud. Esconda las dos últimas rectas. Al marcar la traza al punto D y desplazar B sobre la recta AB observaremos el cambio de posición de D.

Fig. 17

5.4.5.2 Variación del ancho y la altura de un rectángulo con perímetro fijo

Trace un segmento horizontal AB. Tome un punto C sobre el segmento. Trace dos rectas perpendiculares (horizontal y vertical). Con el compás traslade la longitud de AC sobre la recta horizontal a partir del punto de intersec-ción. Determine el punto de intersección de la circunferencia con el eje horizontal. Oculte la circunferencia.

Haga lo mismo con la longitud de CB pero sobre la recta vertical. Usando perpendiculares cons-truya un rectángulo con la información transfe-rida a las rectas vertical y horizontal. (Recuerde



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que debe usar la opción polígono y ocultar las rectas). Al mover el punto C en el segmento AB se observa la variación del ancho y la altura de un rectángulo con perímetro fijo.

5.4.5.5 Variación del ancho (o el largo) del rectángulo inscrito en una circunfe-rencia y su área

Trace una circunferencia y construya su diámetro (trace una recta que pase por el centro de la circunferencia y construya el segmento que pasa por los puntos de intersección. Oculte la recta). Ubique un punto sobre la circunferencia y llámelo A. Una los vértices del segmento con este punto y trace las paralelas respectivas para construir el rectángulo. Construya el rectángulo (con la opción polígono) sobre estos vértices. Oculte las rectas. Varíe la posición del punto y relacione la longitud de uno de los lados del rectángulo con el área del mismo.

Fig. 18

5.4.5.3 Variación del ancho (o el largo) y el área de un rectángulo con perímetro fijo.

En la construcción anterior mida los segmentos AC y CB y calcule el producto con la calcula-dora. Transfiera el resultado a la recta vertical desde el punto de intersección. Construya el punto que representa la variación del lado hori-zontal del rectángulo y de su área con rectas perpendiculares. Al mover C sobre AB se observa la variación del área con respecto al lado horizontal.

5.4.5.4 Variación del radio y el área del círculo

Haga lo mismo que en la construcción 1 pero en lugar de transferir la longitud de la circunfe-rencia, transfiera el área.

Fig. 19 5.4.5.6 Variación de un ángulo de un trapecio

inscrito en una semicircunferencia y la altura del trapecio

Trace una circunferencia de centro O y cual-quier radio OB. Coloque un punto A sobre la



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circunferencia. Trace la paralela al radio que pase por el punto A. Determine el otro punto de corte de dicha paralela con la circunfe-rencia y llámelo C. Trace el polígono deter-minado por estos cuatro puntos. Para trazar la altura de éste trapecio, trace la perpendicular a OB por A y construya el segmento que une a A con el pie de la perpendicular. Oculte la recta.

Calcule la medida del ángulo AOB y la longitud de la altura del trapecio. Mueva el punto A y analice la variación de la medida del ángulo y la longitud de la altura.

5.4.6 La derivada como razón de cambio5

Profesor: Jorge Enrique Fiallo LealInstitución Educativa: Universidad Industrial de

SantanderGrado: 11 y Cálculo a Nivel Universi-

tario.

I. Guía para los estudiantes.

Objetivos

- Utilizar la simulación en Cabri como un modelo de representación visual que permita comprender el concepto de derivada como razón de cambio.

- Utilizar otras aplicaciones de la TI-92 Plus para el análisis y la comprensión de los conceptos del problema planteado

El problema

Una alberca de 4mts de largo, 1.10 mts de ancho, 2mts de profundidad en un extremo y 0.5 mts en el otro; se está llenando de agua como se observa en la siguiente simulación. (Por convención en la calculadora se ha tomado 1cm por cada metro y una unidad de tiempo la consideramos como un minuto).

A) Actividades

Abra el archivo ALBERCA y responda las siguientes preguntas:

Fig. 20

5 Actividad resultado de un proceso de construcción de la simulación del problema de razones afines “Una alberca de 4mts de largo, 1.10 mts de ancho, 2mts de profundidad en un extremo y 0.5 mts en el otro; se está llenando de agua con una rapidez constante de 3.3 mts3 por minuto”, presentado en el libro de Cálculo con Geometría Analítica de Edwin. J. Purcell y adaptado por el autor de esta propuesta, con el objetivo de tener una ayuda de visualización en este tipo de problemas, que generalmente involucran dos o más variables con la variable tiempo de una manera indirecta y que no necesariamente necesitan ser expre-sadas cada una de ellas en función del tiempo



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1. Asegúrese que el tiempo está es 0.0

2. Anime el tiempo durante 17 minutos (recuerde que cada unidad del número que representa el tiempo lo consideramos como un minuto) y describa lo que observa.

3. ¿Cuáles son las magnitudes variables en el problema? ¿Estas magnitudes siempre varían hasta llenarse la alberca?

4. Halle el valor de la altura (h), el largo (l) y el volumen (V) cuando el tiempo es igual a: 1min, 5min, 10min, 12min, 15min, 17min, 18min.

5. Utilizando la opción agrupar datos cons-truya una tabla con los valores de t, h, l y V en las columnas C1, C2, C3, C4 respectiva-mente para 0 ≤ t < 10

a) ¿Qué relación existe entre la altura y el largo de la alberca?

b) ¿Esta relación se mantiene durante todo el tiempo en que dura llenándose la alberca?

c) ¿Cuál es el valor de h, l, y V en la tabla cuando t = 1, 2, 5, 7, 10 minutos?

d) ¿Qué sucede con el largo y el volumen cuando t ≥ 10?, ¿Cómo interpreta este hecho?

6. En la calculadora defina (F2-F1) la rela-ción entre el largo y la altura y cópiela en plot 1. Visualice los datos en el editor gráfico.

7. Exprese algebraicamente el largo en función de la altura. Según esta expresión, ¿Cuál es el largo cuando h = 1.6?


8. Represente gráficamente esta función. ¿Cuál es el dominio y el rango?

9. Exprese algebraicamente el volumen en función de la altura. Represente gráfica-mente esta función y determine su dominio y rango.

10.Exprese algebraicamente el volumen en

función del tiempo. Represente gráfica-mente esta función y determine su dominio y rango.

11.Cambie el tiempo a 0.90 y almacene los datos del tiempo y la altura hasta un tiempo igual a 1.10.

12.Para los datos anteriores calcule

13.¿Aproximadamente cuál es la razón de cambio de la altura con respecto al tiempo alrededor de 1 minuto?

14.Para ser más exacto tome más datos alre-dedor de t = 1 de la siguiente manera:

1. Borre los datos tomados anteriormente en el archivo sysdata.

2. Cambie el tiempo a 0.9903. Seleccione el tiempo, la altura, el

volumen y registre los datos en sysdata, hasta que el tiempo sea 1.010.

( = 0.001)

15.Halle la razón de cambio entre la altura y el tiempo para = 0.001 de la siguiente manera:

a) Ubíquese en C5 y escriba C5= shift(C2,1). Compare las columnas C5 y C2. ¿Qué observa?



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b) Ubíquese en C6 y escriba C5-C2

c) Halle la razón entre la variación de la altura y la variación del tiempo 0.001 ubicándose en C7 y escribiendo C7= C6 ÷ 0.001

d) ¿Aproximadamente a qué valor tiende esta razón alrededor de 1?

16.Repita el anterior proceso variando el tiempo desde 0.9990 hasta 1.0010 ( = 0.0001)

a) ¿Aproximadamente a qué valor tiende la razón de cambio entre la altura y el tiempo (rapidez) alrededor de t=1?

b) ¿Cuál es la razón de cambio entre la altura y el tiempo para t=1 cuando tiende a cero?

C) Conclusiones

17.¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando tiene 1mt de altura en el extremo más hondo? (razón de cambio de la altura con respecto al tiempo)

18.¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando tiene 1.7mt de altura en el extremo más hondo?

19.¿Con qué rapidez aumenta el volumen cuando la altura es de 1 mts, 1.7 mts?.

II. Guía para el profesor

A) Orientaciones generales

La presente actividad es el resultado de un proceso de construcción de la simulación del problema de razones afines “Una alberca de 4mts de largo, 1.10 mts de ancho, 2mts de profundidad en un extremo y 0.5 mts en el otro;

se está llenando de agua con una rapidez cons-tante de 3.3 mts3 por minuto”, presentado en el libro de Cálculo con Geometría Analítica de Edwin. J. Purcell y adaptado por el autor de esta propuesta, con el objetivo de tener una ayuda de visualización en este tipo de problemas, que generalmente involucran dos o más variables con la variable tiempo de una manera indirecta y que no necesariamente necesitan ser expre-sadas cada una de ellas en función del tiempo; éste hecho crea a veces confusión en el estu-diante y terminan por aceptar que en este tipo de problemas lo que se debe hacer es buscar una expresión algebraica que relacione las variables del problema para luego derivar (sin saber por qué) en función del tiempo.

Para llegar a esta construcción fue necesario primero iniciar con algunos otros problemas más sencillos de simular, como por ejemplo, determinar la rapidez en un tiempo determinado con que se aleja un globo que sube vertical-mente de un observador parado a una distancia dada, y otros planteados en los libros clásicos de Cálculo I, en estos problemas se entendió la relación directa que existe entre las varia-bles involucradas en el problema y la variable tiempo, puesto que para la construcción de la simulación es necesario determinar primero esta variación, por ejemplo, si queremos que la rapidez con que suba el globo sea de 1 cm (que podrían ser 10 mts) cada 10 segundos (o cual-quier otra unidad de tiempo), debemos partir de la edición de un número que represente el tiempo y realizar el cálculo del cociente entre la variable tiempo y 10, para luego transferir este resultado a una semirrecta vertical situada a la distancia dada del observador.

Estas construcciones también permitieron ver la relación existente entre la derivación y la inte-gración, puesto que para realizar la construcción debemos entender que si se quiere que la rapidez sea constante, entonces la ecuación inicial que



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involucra la variable con el tiempo debe ser el producto de esta constante por el tiempo, o en caso que se quiera que la rapidez no sea cons-tante se debe partir de otras relaciones alge-braicas como lo veremos en la construcción del problema que nos ocupa. La belleza de esta simulación radica en el esfuerzo que fue nece-sario para llegar a representar dinámicamente lo que se quería a través de una construcción geométrica teniendo en cuanta los diferentes aportes, preguntas, inquietudes y sugerencias que se recibieron en cada una de las oportuni-dades que se fue presentando alguna versión de la construcción y de las preguntas del taller que buscan llevar al estudiante a la compren-sión del concepto de derivada como razón de cambio.

El taller contribuirá a procesos más generales tales, como:

• La comprensión del concepto de derivada como razón de cambio, los proceso de análisis, de generalización y de formaliza-ción que se puede lograr con el uso de las nuevas tecnologías.

• Iniciar o continuar proceso de transforma-ción de las prácticas educativas con miras a lograr una mayor comprensión de las mate-máticas por parte de sus estudiantes.

Antes de iniciar con el taller planteado y con la construcción de la simulación, es bueno realizar los siguientes comentarios para la mejor comprensión del profesor que lleve a su aula esta propuesta:

1. Es necesario que el profesor domine en gran medida el programa Cabri de la calculadora, para la construcción de la simulación.

2. Es fundamental que tanto el profesor como el estudiante, tengan un excelente dominio

de las aplicaciones de la calculadora que se involucran en la solución del problema.

3. Por tratarse de un problema que algebrai-camente tendría que plantearse para cual-quier instante como una función definida por intervalos, la calculadora sólo toma datos de acuerdo al intervalo que se esté trabajando como lo explicaremos más adelante, por lo tanto la toma de datos debe realizarse de acuerdo al intervalo y para otro intervalo se deben eliminar los datos tomados anterior-mente.

4. Por lo extensa y cuidadosa que es la construc-ción de la simulación se recomienda que el docente la lleve ya guardada en un archivo y no pida que los estudiantes la realicen, auque sería conveniente y formativo enseñarles la simulación de otros problemas más sencillos ya que estos le permiten comprender mejor las relaciones existentes entre las variables del problema y la variable tiempo.

B) Actividades

5. Todo el taller consta de dos partes (la cons-trucción para el profesor y el taller para los estudiantes), En el taller para los estu-diantes se han agregado otras preguntas y el estudiante no sabe la rapidez del volumen, la rapidez de la altura ni la rapidez del largo de la piscina (estos cálculos los encuentra con la ayuda de la calculadora y del profesor), también debe encontrar la relación entre el largo y el alto de la piscina, realizar graficas, etc.; si el docente lo considera necesario se pueden suprimir algunas de las preguntas y dejar sólo las correspondientes al estudio de la derivada como razón de cambio.

6. Se recomienda entregar el archivo con la simulación asegurándose el docente que



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número que representa el tiempo esté en 0.0

C) Construcción de la simulación

Construcción del sólido

• Edite los números 4, 2, 1.5, 1.1 y 1.0 (Medidas de la alberca y el tiempo)

• Ubique el número 1.0 al lado inferior derecho de la pantalla y llámelo tiempo: Comentario al lado izquierdo del número.

• Represente una semirrecta vertical hacia arriba en el lado izquierdo de la pantalla.

• Transfiera sobre la semirrecta las medidas 2 y 1.5.

• Trace un segmento desde donde inicia la semirrecta hasta el punto que representa la longitud de 1.5 y otro segmento desde este punto hasta el punto que representa la longitud 2.

• Trace una perpendicular a la semirrecta o al segmento desde este último punto.

• Trace una semirrecta desde el punto que representa la longitud 2 sobre la recta perpen-dicular y oculte el punto que queda sobre la recta y la semirrecta.

• Transfiera el número 4 a la semirrecta hori-zontal y trace una perpendicular a ésta desde el punto transferido.

• Trace una perpendicular desde el punto superior del segmento de longitud 1.5 a este segmento o a la semirrecta inicial.

• Halle el punto de intersección entre estas dos perpendiculares y ocúltelas con la semirrecta horizontal.

• Trace el cuadrilátero con vértices en el inicio de la primera semirrecta vertical, el punto que representa la longitud 2, el que representa la longitud 4 y el punto de intersección de las dos perpendiculares (figura 10).

Fig. 21

• Trace una semirrecta desde el vértice superior izquierdo con una inclinación respecto a la horizontal de aproximada-mente 45 grados y transfiera sobre ella el número 1.1.

• Trace un vector desde el inicio de la anterior semirrecta hasta el punto que representa la longitud 1.1.

• Traslade el cuadrilátero en la dirección del vector y oculte la semirrecta y el vector.

• Una con segmentos cada vértice del polígono y su respectiva imagen.

• Represente a trazos el polígono imagen y el segmento que une el vértice inferior izquierdo con su imagen.

• En el polígono imagen trace un segmento desde el vértice superior izquierdo hasta el superior derecho y otro desde este punto hasta el vértice inferior derecho.



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Fig. 22

Simulando el llenado con aguaPara • Calcule la raíz cuadrada del producto de

0.225 por el número 1.0 (tiempo)

• NOTA: Este cálculo resulta del despeje de la altura en función del tiempo de la siguiente manera: Sabemos que el volumen total del sólido que se forma cuando h varía entre 0 y 1.5 es 3.3 =(1.5*4*1.1/2), si queremos que la variación del volumen con respecto al tiempo sea constante y empiece en 0 entonces el volumen en función del tiempo tendrá la ecuación de una línea recta que pasa por (0,0) y tiene pendiente constante. En este caso queremos que la variación sea 0.33 unidades cúbicas por cada unidad de tiempo, entonces V=0.33t , entonces, 0.33t= l*h*p/2 profun-didad (p) = 1.1

• largo(l) = varía en función de h, entonces,

• , por lo

tanto,

• 0.3 t = h2 entonces h = entonces

• Marque un punto en algún lado de la pantalla y transfiera el anterior resultado a este punto, luego con la opción compás, transfiera esta medida al segmento de longitud 1.5 y halle la intersección entre este segmento y la circun-ferencia formada.

• Trace una perpendicular al segmento por este punto y halle la intersección entre la perpen-dicular y el otro lado del cuadrilátero.

• Trace paralelas al segmento que representa el ancho de la alberca (medida 1.1) que pasen por los dos últimos puntos.

• Halle las intersecciones de estas rectas con los lados del polígono imagen.

• Trace el cuadrilátero que tiene como vértices estos últimos cuatro puntos.

• Oculte las rectas, la circunferencia y los puntos transferidos.

Fig. 23

Para

• Trace una semirrecta hacia arriba, desde el vértice inferior derecho hasta el vértice supe-rior derecho.

• Cambie el número que representa el tiempo a 12 (después de t =10 sólo varía h).



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• Calcule la diferencia entre el producto de 0.075 por 12 (tiempo) y 0.75.

NOTA 1:

Para el volumen se calcula con la ecuación: V=3.3+l*p*h

1

l=4 , p=1.1 y h1=h-1.5

V=3.3+4(1.1)(h-1.5)V=4.4h-3.3Como V=0.33t (volumen en función del tiempo)0.33t=4.4h-3.3 entonces h=0.33t+3.3/4.4

luego,

• Halle la intersección entre la perpendicular y el segmento del lado izquierdo del polígono de longitud 0.5.

• Por este punto trace una paralela al segmento de longitud 1.1 y otra paralela por el punto transferido a la semirrecta vertical.

• Halle la intersección de estas paralelas y el polígono imagen. Trace el polígono que tiene como vértices estos últimos cuatro puntos.

• Oculte las rectas.

Fig.24

NOTA 2:

Por construcción para que se visualice el nuevo polígono que va a representar el agua, puesto que el anterior desaparece después de h=1.5, tomamos la diferencia de h y 1.5 para trans-ferir esta medida al sólido que se forma después de 1.5, entonces h=0.075t+0.75-1.5 luego: h=0.075t-0.75

• Transfiera este resultado hasta la última semirrecta y trace una perpendicular a ella por este punto.

Fig. 25

Calculando el volumen

Para

• Cambie el número que representa el tiempo a 1.0.

• Calcule la distancia entre los dos puntos que representan la profundidad de la alberca cuando esta es menor que 1.5 y llámelo (h=).

• Calcule la longitud entre los dos puntos del polígono que representan el largo de la alberca y llámelo (l=). (Asegúrese que sean los vértices del polígono).

• Calcule el volumen para l menor que 1.5 como el cociente entre el producto de 1.1 por h=0.47cm por l=1.26cm y 2.

75.0075.04

3

40

3 thth



60

• Mueva este resultado al lado derecho y llámelo V=

Fig. 27

Para h >2

• Cambie el número que representa el tiempo a 25.

• Muestre (si están ocultas) la primera semi-rrecta vertical del lado izquierdo y la recta perpendicular a la última semirrecta del lado derecho.

• Trace una semirrecta desde el extremo supe-rior izquierdo del polígono inicial sobre la semirrecta.

• Halle la intersección entre esta semirrecta y la perpendicular.

• Halle la distancia entre el vértice superior izquierdo del polígono y este último punto.

• Calcule el nuevo volumen como la suma entre 5.5 y la diferencia de este último resultado con él mismo: 5.5 + (0.63cm) - (0.63cm).

• Llame este resultado V= y muévalo de tal manera que la V= quede sobre la otra V= del cálculo anterior.

NOTA: Como para t>50/3 el volumen es fijo entonces necesitamos que este permanezca así para ello la última construcción y el último cálculo.

Fig. 26

Para

• Cambie el tiempo a 12

• Calcule la distancia entre los dos puntos que representan la profundidad de la alberca cuando esta es mayor que 1.5 y llámelo (h=).

• Calcule la longitud entre los dos puntos del polígono que representan el largo de la alberca y llámelo (l=). (Asegúrese que sean los vértices del polígono).

• Calcule el volumen (V=) para h mayor que 1.5 como la suma de 3.3 y el producto de 1.1 por 0.15 por l = 4.00cm.

• Llame este resultado V= y muévalo de tal manera que la V= quede sobre la otra V= del cálculo anterior.

• Oculte los números R:0.15, alto 2, largo 1.5 y R:1.64 y mueva los números editados inicialmente 4 y 1.1 al lado correspon-diente.



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• Oculte los objetos que considere necesarios para visualizar mejor la simulación.

• Engrose las líneas del polígono inicial (cara frontal) los segmentos de la cara superior y de la lateral derecha.

• Cambie el número que representa el tiempo a 0.0, anime hasta 25 o más y verifique que la simulación está correcta (se ve lo que se quiere representar).


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