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MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE UN PNDULO INVERTIDO USANDO COMPONENTES ANLOGOS SIMPLES Roberth Tinoco Romero 1, Eduardo Orces21 Ingeniero 2 Director

Mecnico 2004 de Tesis, Ingeniero Mecnico, Escuela Superior Politcnica del Litoral, 1985, Master en Ciencias de Ingeniera Mecnica, California Institute of Technology USA, Bsc. California Institute of Technology USA. RESUMEN Un pndulo invertido es un dispositivo fsico que consiste en una barra cilndrica con libertad de oscilar alrededor de un pivote fijo. Este pivote es montado sobre un carro el cual en su giro puede seguir una trayectoria horizontal, Nuestro propsito final es conservar el pndulo perpendicular ante la presencia de perturbaciones, donde el pndulo inclinado regresa a la posicin vertical cuando se aplica al carro una fuerza de control apropiada y al final de cada proceso de control, se pretende regresar el carro a la posicin de referencia. La fuerza correcta es establecida a travs de las mediciones de los valores instantneos de la posicin horizontal y el ngulo de inclinacin del pndulo, por lo que hacemos uso del diseo de un observador de orden mnimo. El diseo es solventado bajo el uso de Matlab y Simulink, cuyo anlisis, modelado y simulacin nos conduce a concretar los objetivos planteados, sin embargo al ser la simulacin un aspecto importante pero bajo ningn aspecto un sustituto de un hardware real, proponemos la construccin de nuestro controlador como propsito final con uso de componentes anlogos simples, el cual nos suministra claras diferencias en nuestro modelo analizado y el real, especialmente por factores tomados bajo asunciones, tales como friccin, ruido y no linealidades del sistema. ABSTRACT An inverted pendulum is a physical device consisting in a cylinrical bar, free to oscillate around a fixed pivot. The pivot is mounted on a carriage, which in its turn can move on a horizontal direction. The carriage is driven by a actuator, which can exert on it a variable force. The bar would naturally tend to fall down from the top vertical position, which is a position of unsteady equilibrium. The goal of the experiment is to stabilize the pendulum (bar) on the top vertical position. This is possible by exerting on the carriage through the actuator a force which tends to contrast the 'free' pendulum dynamics. The correct force has to be calculated measuring the instant values of the horizontal position and the pendulum angle (obtained e.g. through two potentiometers). The system pendulum+cart+actuator can be modeled as a linear system if all the parameters are known (masses, lengths, etc.), in order to find a controller to stabilize it. If not all the parameters are known, one can however try to 'reconstruct' the system parameters using measured data on the dynamics of the pendulum.

INTRODUCCIN El pndulo invertido es un problema de control clsico, normalmente cubierto en clases introductorias de controles y dinmica, adems es muy conocido por su excelente analoga para el diseo de un controlador de vibraciones en las plataformas para el lanzamiento de un cohete, como tambin para la estabilizacin de gras, edificaciones, robtica y sobre todo para aplicaciones didcticas, por ser un excelente medio de comprobacin y evaluacin de las diferentes metodologas de control. Muchos pndulos invertidos modernos usan sensores giroscpicos, encoders pticos de precios exorbitantes con microprocesadores o computadoras completas para implementar sus algoritmos de control. Mientras la sofisticacin de esos sensores y poder de estimacin de estos dispositivos tiene sus ventajas, estos generan un problema de control intangible para el estudiante con solo conocimientos rudimentarios de esos sensores y de tcnicas de controles avanzadas. De esta manera, al ser no nuevo el desafo de estabilizar el problema de un pndulo invertido sobre un carro, procuraremos controlarlo mediante el uso de simples componentes anlogos tales como potencimetros y amplificadores operacionales, en consecuencia la demostracin de la solucin a estableces ser mas accesible a estudiantes de control introductorias. El propsito de este proyecto, es el de comparar tres diferentes tcnicas para disear el controlador que permite la estabilizacin del pndulo en una posicin vertical bajo el control del posicionamiento del carro, en donde una vez demostrado su inestabilidad en lazo abierto, se recurre a modelar nuestro sistema a lazo, cuyo primer paso a iniciar es el de describir al sistema mediante modelos matemticos fundamentados en las leyes fsicas para as proceder a su anlisis.

CONTENIDO1. Modelo Dinmico del Pndulo Invertido. Con la finalidad de entender el comportamiento de los sistemas dinmicos y controlar los sistemas complejos, es necesario obtener modelos matemticos que los representan.

M m bx m u x 2 mg I m B m x

Finalmente, utilizando herramientas matemticas, tales como la Transformada de Laplace, obtendremos la funcin de transferencia de nuestro sistema:s Us m S q S3 BM m q b I m 2 S2 Bb M m mg S q bmg q

donde: 1.1.

q

M m I m 2

m

2

Modelado del Sistema Pndulo Invertido en el Espacio de Estados.

El primer paso a seguir, para la obtencin matricial de las ecuaciones del sistema pndulo invertido en el espacio de estado,1 2 3 4

X X

y

y1 y2

1

X

3

Considerando que el ngulo indica la rotacin de la barra del pndulo con respecto al punto P, y que X es la ubicacin del carro. Consideramos y X como salidas del sistema. (Observe que tanto como X son cantidades que se miden fcilmente).1 2 3 4 0 M m m g q 0 m 2 g q 1 BM m q 0 Bm q 0 0 0 0 0 mb q 1 b I m 2 q1 2 3 41

y1 y2

1 0 0 0 . 0 0 1 0

2 3 4

0 . 0

0 m q 0 I m 2 q

1.2.

MODELADO DEL SISTEMA PNDULO INVERTIDO A TRAVS DE SIMULINK.

De las ecuaciones diferenciales, resultantes del diagrama de cuerpo libre antes ilustrado tenemos:d2 x dt d2 dt2 2

1 Fx M Cart 1 I Pend

1 M

H b

dx dt d dt

1 H cos I

V sin

para la obtencin de las reacciones internas en funciones de parmetros relativamente accesibles de conocer, tenemos que:m d 2 x cg dt 2 d 2 y cg dt 2Pend

Fx

H c

dx cg dt dy cg dt

H m

d2 x cg dt 2

c 0 d2y cg dt 2

m

Pend

Fy

V

mg

V mg m

0

No obstante, cg y ycg son funciones de theta, por consiguiente, nosotros podemos representar sus derivaciones en trminos de la derivada de theta.

x cg dx cg dt d2 x cg dt 2

x sin dx dt d2 x dt 2 cos d dt d2 dt 2 sin d dt2

y cg dy cg dt d2 y cg dt 2

y

cos dy d - sin dt dt - sin d2 dt 2 - cos d dt2

;

dy dt

0

cos

A

continuacin

presentaremos

la

construccin

del

modelado:

La aplicacin de un subsistema, facilita enormemente el anlisis en Simulink de la ilustracin antes descrita, tal como detallamos a continuacin.

Cuya ejecucin, suministra los siguientes resultados:

El software usado, opera sin necesidad de linealizar el sistema, de ah el hecho de que sus resultados de inestabilidad en su comportamiento sean fidedignos, ya que no viola ninguna infraccin.

2.

Simulacin del sistema de control en base al mtodo del lugar geomtrico de las races.

El trazo del lugar geomtrico de las races, con ayuda de Matlab proporciona la siguiente ilustracin:

Claramente podemos denotar que, sin importar que ganancia elijamos nosotros siempre tendremos un polo positivo provocando inestabilidad al sistema, por ende la inclusin de un compensador es de vital importancia. No obstante la consideracin de una ganancia derivativa adicional suministra estabilidad en amplio rango pero no siempre especialmente cuando los efectos de amortiguacin son significantes, por lo cual una solucin por medio del control PID es una excelente alternativa a considerar, cuya funcin de transferencia fue determinada a partir de prueba y error, siendo con su respectivo comportamiento del sistema a lazo cerrado.

PID S

20 S 100

50 S

2.1. Anlisis de la variable no controlada. El anlisis realizado ignoro las incidencias que genera la implementacin de un controlador adecuado para la estabilizacin del pndulo, no obstante es interesante

conocer el comportamiento del desplazamiento lineal del carro, para ello debemos remitirnos a la funcin de transferencia en trminos de esta variable, cuyo resultado es:I m 2 2 s q s4 b I m 2 qq I m 2 M m

Xs Us

B s q Bb

mgl q M m mgl 2 .s q bmgl s q

BM m

.s32

Donde:

m

Por medio del uso de Matlab, se logra establecer lo sucedido con la variable no controlada, tal como lo exponemos a continuacin:

La inestabilidad es irrelevante por parte del desplazamiento del carro ya que la determinacin del compensador ignora la incidencia de este factor, 3. 3.1. Simulacin del Sistema de control en base al Espacio de Estados. Diseo del Sistema de Control mediante Ubicacin de Polos.

De acuerdo al cumplimiento de las especificaciones de desempeo, los polos de la funcin de transferencia a lazo cerrado, deben ser de 2 3i y -20. Este ltimo valor debe ser aproximadamente cinco veces el primer polo para considerarse a est e como polo dominante. La aplicacin de la frmula de Ackermann con el uso de Matlab, establece la siguiente matriz de realimentacin de estados que proporciona los polos deseados; siendo verificado de antemano que se trata de un problema de estado completamente controlable. K = [ 135.3076 12.6423 -72.1959 -38.8514]; 3.2. Diseo del observador de estado de orden completo para el sistema Pndulo invertido.

Considerando que todas las variables de estado no est disponibles para su medicin directa, s