Pendulo Fisico y Teorema de Steiner

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FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 1 ALUMNO: UGARTE GALICIA CHRISTIAN JOSEF SALAZARAROTOMADANN STEVEN FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 2 INDICE PROLOGO 2 PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER3 REPRESENTACION ESQUEMATICA4 FUNDAMENTO TEORICO..5 HOJA DE DATOS..7 REFERENCIAS DEL OBJETO A ANALIZAR.8 CALCULOS, GRAFICOS, Y ANALIZIS DE RESULTADOS9 CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA10 CALCULO DEL PERIODO MINIMO...12 COMPARACION DE LOS VALORES TEORICO Y EXPERIMENTAL DE L PARA T MINIMO .13 PUNTOS DE OSCILACION CON EL MISMO PERIODO.15 FRMULA DE MINIMOS CUADRADOS(I VSL2)..16 PENDULO SIMPLE EQUIVALENTE AL HUECO N518 OBSERVACIONES.18 CONCLUSIONES.18 RECOMENDACIONES18 BIBLIOGRAFIA.19 FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 3 PROLOGO. Elestudioyentendimientodefenmenosfsicosporelcualsenospermitepredecirciertos comportamientosse ven reflejadosen diversos teoras fsicas las cuales son analizadas y puestas apruebaendiversosexperimentosquesonmetdicamenteexpuestosparasuapreciacin intelectual. Una de estos fenmenoscuyo estudio y corroboracin se exponen en este informe es elestudiodelPENDULOFISICOcuyasrelacionestericasyexperimentalesseponenen comparacin y anlisis. Este laboratorio titulado PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER es de gran importancia debido a sus relaciones entre momentos de inercia, periodo, masa , etc. Que nos facilitan ciertos clculos que de otra forma serian mucho ms complicados. FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 4 PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER OBJETIVOS: -Determinar experimentalmente los periodos de oscilacin de un pndulo fsico y a partir de estos calcular los momentos de inercia. -Compararlos momentos deinercia experimentales y los momentos de inercia hallados tericamente, con un previo anlisis de las variables que determinan el ensayo. -Analizar el comportamiento del pndulo simple mediante variaciones de longitud entre su c.g y su eje de giro. -Relacin entre un pndulo fsico y un pendulo simple . FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 5 REPRESENTACION ESQUEMATICA Materiales: -barra metlica con agujeros. -cronometro. -regla milimetrada. -soporte de madera con cuchilla. Procedimiento: 1.sujetar sobre la mesa el soporte, y sobre l, suspender la barra de la siguiente manera, con el fin de hallar el centro de gravedad de labarra. 2.Suspender la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y procedemos ahacerlaoscilarseparandosuposicindeequilibrionomsde15.tomamosnotalos tiemposcada18oscilacionesylostresltimosagujerosadyacentesalC.Gslo9 oscilaciones; tomamos nota tambin la distancia del C.G a cada agujero del que hacemos oscilar la barra. Centro de giro Centro de gravedad L Centro de gravedad L Centro de giro MESA BARRA SOPORTE CENTRO DE GRAVEDAD FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 6 FUNDAMENTO TEORICO PENDULO FISICO. Un pndulo fsico es cualquier pndulo real que usa un cuerpo de tamao finito, en contraste con elmodeloidealizadodelpndulosimpleenelquetodamasaseconcentraenunpunto.silas oscilacionessonpequeas,elanlisisdel movimientodeunpndulorealestansencillocomoel de uno simple.la figura de abajomuestra un cuerpo de forma irregular que puede girar sin friccion alrededor de un eje que pasa por el punto O. en la figura el cuerpo esta desplazado un angulo . Cuandoelcuerposedesplazacomosemuestra,elpesomgcausaunatorcade restitucin. u MgLsen Me =Si es el momento de inercia del pndulo respecto alejedesuspensinZZyllamamos ala aceleracinangulardelmismo,elteoremadel momentoangularnospermiteescribirlaecuacin diferencial del movimiento de rotacin del pndulo. u u 0I MgLsen = que podemos escribir en la forma 00= + u u senIMgL .(1) queesunaecuacindiferencialdesegundoorden,delmismotipoquelaqueseencuentrapara el pndulo simple. Enelcasodequelaamplitudangulardelasoscilacionesseapequea,podemosconsiderar sen y la ecuacin [1] adopta la forma 00= + u uIMgL .(2) que corresponde a un movimiento armnico simple. El periodo de las oscilaciones es MgLIT02t =A L Mg FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 7 Enelexperimento,elcuerposolidoesunabarrahomogneaconhuecosylosmomentosde inercia de esta respecto a ejes perpendiculares a la barra que pasa por cada uno de los huecos se pueden determinar experimentalmente mediante la ecuacin

MgLIT02t =DondeLeslalongitudqueseparaelcentrode gravedad del centro de giro o Sinembargonoesposiblecalcularexperimentalmenteelmomentodeinerciadelabarra alrededor de un eje que pase por el centro de gravedad; para ello usaremos un mtodo indirecto El cual es conocido como el TEOREMA DE STEINER que se expresa por la siguiente igualdad: 2ML I IG + = . Demostracion del teorema de steiner Se asumir, sin prdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicularentrelosejesseencuentraalolargodeleje x yqueelcentrodemasasse encuentraenelorigen.Elmomentodeinerciarelativoaleje z,quepasaatravsdelcentrode masas, es: centro de masas, es: Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene: El primer trmino es Icm, el segundo trmino queda como mr2, y el ltimo trmino se anula, puesto que el origen est en el centro de masas. As, esta expresin queda como: FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 8 HOJA DE DATOS TABLA N1 # de huecol(cm)t1 (s)t2 (s)t3 (s)#de oscilaciones PeriodoT (promedio) 1 50.530.2030.1230.28181.68 245.729.7329.8129.52181.65 340.529.0828.8628.95181.61 435.528.9529.0828.96181.61 530.528.9228.3928.94181.60 625.529.3229.4629.00181.63 720.530.0930.5030.12181.68 815.516.4315.9616.0591.79 910.518.7018.418.5292.06 105.524.8224.6424.8692.75 FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 9 REFERENCIAS DEL OBJETO A ANALIZAR La siguiente figura muestra la barra usada para el experimento: Losclculosyanlisisqueacontinuacinseharn,sebasaranconsiderandoalabarraconlos agujeros que esta presenta, cuyo numero es de 21. La barra es homognea y tienelas siguientes dimensiones y medidas. VOLUMEN V1=VOLUMEN DE LA BARRA CON AGUJEROS A r C B A V221 . .1t = Reemplazando los datos: V1=(0.7)(4.8)(110)-21(3.14)(0.752)(0.7) V1=343.54cm3 DENSIDAD(o ) 33141 . 554 . 3431858cmgrcmgrVM= = = o-M=masa de la barracon agujeros -m=masadeuncilindrosolido,cuyovolumenesigualalvolumendeunagujerodela barra y cuya densdidad es la misma que la de la barra. -M+21m=masa de una barra solida sin agujeros. -Z= distancia entre los centros de dos agujeros consecutivos. -L=distancia entre el c.g de la barra y el eje de giro o. C AB cm zcm rgr Mcm Ccm Bcm Aagujeros575 . 018581108 . 47 . 021 #=======FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 10 CALCULOS, GRAFICOS, Y ANALIZIS DE RESULTADOS Grafico T vs L. 0.000.501.001.502.002.503.000 10 20 30 40 50 60T vs L T vs LFACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 11 CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA ElmomentodeinerciadelabarramostradarespectoalejequepasaporOser(0I )igualal Momento de inercia de la barra solida ( sin agujeros 1I ) respecto al eje que pasa por O menos el Momento de inercia del conjunto de cilindros solidos (agujeros de la barra 2I )respecto al eje que pasa por O. Entonces la ecuacin sera: 2 1 0I I I = ..(I) Hallando 1I : Usando el momento de inercia de un paraleleppedo y el teorema de Steiner, tenemos : 2 2 21) 21 ( ) (1221L m M C Bm MI + + ++= (II) Donde L es igual a la distancia entre el centro de gravedad C.G y el eje de giro o Ahora hallamos 2I . Seael siguiente grafico la representacin detodos los cilindros solidos, faltantes en la barra con huecos. Datos: m= masa de cada cilindro cilindrov m = ogr m 69 . 6 7 . 0 ) 75 . 0 ( 14 . 3 41 . 52= =r=radio=0.75 Z=distancia entre los centros de dos cilindros consecutivos. Z=5 cm Centro de gravedaddel conjunto de cilindrosC.G El cilindro a se encuentra de color rojo para diferenciarlo por coincidir con el C.G FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 12 Elmomentodeinerciadelconjuntodecilindrosslidosrespectoalcentrodegravedaddel conjunto, ser igual a la sumade los momentos de cada uno de los cilindros respecto del centro de gravedad del conjunto de cilindros. Lassiguientesecuacionesrepresentanlosmomentosdeinerciarespectodelcentrodegravedad C.G (utilizando momento de inercia de un cilindro y el teorema de Steiner). 22222) 10 () 3 () 2 () (2z m I Iz m I Iz m I Iz m I IrmIa ka da ca ba+ =+ =+ =+ == Sea G CI.=momento de inercia del conjunto de cilindros respecto su centro de gravedad. entonces G CI. ser la sumatoria de todos los momentos de inercia de todos los cilindros respecto C.G: 2 2.2.2 2 2 2.2 2 2..770221770 21) 10 2 1 ( 2 21) ) 10 ( ) 2 ( ) ( 10 ( 2:) ( 2mz rmImz I Imz I Iz m z m z m I I IoperandoI I I I I IG Ca G Ca G Ca a G Ck d c b a G C+ =+ =+ + + + =+ + + + + =+ + + + + = Por lo tanto: 2 2.770221 mz rmIG C+ =Ahora medianteelteoremadeSteinerhallamosel momentodeinerciadelconjuntodecilindros respecto de un centro de giro o( 2I ) paralela al C.G. 2 2 2221 770221 I mL mz rm+ + =.(III) Se tendrn que duplicar, pues solo representan los cilindros slidos ubicados al lado derecho del centro de gravedad y para tener en cuenta los del lado izquierdo( por ser simtrica la barra) solo tendremos que multiplicar por dos. FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 13 Reemplazando(II) y (III) en (I) tenemos: 2 1 0I I I =0I =2 2 2) 21 ( ) (1221L m M C Bm M+ + ++-(2 2 221 770221 mL mz rm+ + ) Porlotanto 0I representaelmomentodeinerciadelabarraconagujerosrespectounejeque pasa por O. CALCULO DEL PERIODO MINIMO A partir de la ecuacin MgLIT02t =Con 0I =2 2 2) 21 ( ) (1221L m M C Bm M+ + ++-(2 2 221 770221 mL mz rm+ + ) Encontramos un valor L para el cual el periodo sea minimo. Reemplazando las ecuaciones tenemos: MgLmL mz rmL m M C Bm MT) 21 770221 ( ) 21 ( ) (122122 2 2 2 2 2+ + + + ++= t