FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 1 ALUMNO: UGARTE GALICIA CHRISTIAN JOSEF SALAZARAROTOMADANN STEVEN FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 2 INDICE PROLOGO 2 PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER3 REPRESENTACION ESQUEMATICA4 FUNDAMENTO TEORICO..5 HOJA DE DATOS..7 REFERENCIAS DEL OBJETO A ANALIZAR.8 CALCULOS, GRAFICOS, Y ANALIZIS DE RESULTADOS9 CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA10 CALCULO DEL PERIODO MINIMO...12 COMPARACION DE LOS VALORES TEORICO Y EXPERIMENTAL DE L PARA T MINIMO .13 PUNTOS DE OSCILACION CON EL MISMO PERIODO.15 FRMULA DE MINIMOS CUADRADOS(I VSL2)..16 PENDULO SIMPLE EQUIVALENTE AL HUECO N518 OBSERVACIONES.18 CONCLUSIONES.18 RECOMENDACIONES18 BIBLIOGRAFIA.19 FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 3 PROLOGO. Elestudioyentendimientodefenmenosfsicosporelcualsenospermitepredecirciertos comportamientosse ven reflejadosen diversos teoras fsicas las cuales son analizadas y puestas apruebaendiversosexperimentosquesonmetdicamenteexpuestosparasuapreciacin intelectual. Una de estos fenmenoscuyo estudio y corroboracin se exponen en este informe es elestudiodelPENDULOFISICOcuyasrelacionestericasyexperimentalesseponenen comparacin y anlisis. Este laboratorio titulado PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER es de gran importancia debido a sus relaciones entre momentos de inercia, periodo, masa , etc. Que nos facilitan ciertos clculos que de otra forma serian mucho ms complicados. FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 4 PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER OBJETIVOS: -Determinar experimentalmente los periodos de oscilacin de un pndulo fsico y a partir de estos calcular los momentos de inercia. -Compararlos momentos deinercia experimentales y los momentos de inercia hallados tericamente, con un previo anlisis de las variables que determinan el ensayo. -Analizar el comportamiento del pndulo simple mediante variaciones de longitud entre su c.g y su eje de giro. -Relacin entre un pndulo fsico y un pendulo simple . FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 5 REPRESENTACION ESQUEMATICA Materiales: -barra metlica con agujeros. -cronometro. -regla milimetrada. -soporte de madera con cuchilla. Procedimiento: 1.sujetar sobre la mesa el soporte, y sobre l, suspender la barra de la siguiente manera, con el fin de hallar el centro de gravedad de labarra. 2.Suspender la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y procedemos ahacerlaoscilarseparandosuposicindeequilibrionomsde15.tomamosnotalos tiemposcada18oscilacionesylostresltimosagujerosadyacentesalC.Gslo9 oscilaciones; tomamos nota tambin la distancia del C.G a cada agujero del que hacemos oscilar la barra. Centro de giro Centro de gravedad L Centro de gravedad L Centro de giro MESA BARRA SOPORTE CENTRO DE GRAVEDAD FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 6 FUNDAMENTO TEORICO PENDULO FISICO. Un pndulo fsico es cualquier pndulo real que usa un cuerpo de tamao finito, en contraste con elmodeloidealizadodelpndulosimpleenelquetodamasaseconcentraenunpunto.silas oscilacionessonpequeas,elanlisisdel movimientodeunpndulorealestansencillocomoel de uno simple.la figura de abajomuestra un cuerpo de forma irregular que puede girar sin friccion alrededor de un eje que pasa por el punto O. en la figura el cuerpo esta desplazado un angulo . Cuandoelcuerposedesplazacomosemuestra,elpesomgcausaunatorcade restitucin. u MgLsen Me =Si es el momento de inercia del pndulo respecto alejedesuspensinZZyllamamos ala aceleracinangulardelmismo,elteoremadel momentoangularnospermiteescribirlaecuacin diferencial del movimiento de rotacin del pndulo. u u 0I MgLsen = que podemos escribir en la forma 00= + u u senIMgL .(1) queesunaecuacindiferencialdesegundoorden,delmismotipoquelaqueseencuentrapara el pndulo simple. Enelcasodequelaamplitudangulardelasoscilacionesseapequea,podemosconsiderar sen y la ecuacin [1] adopta la forma 00= + u uIMgL .(2) que corresponde a un movimiento armnico simple. El periodo de las oscilaciones es MgLIT02t =A L Mg FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 7 Enelexperimento,elcuerposolidoesunabarrahomogneaconhuecosylosmomentosde inercia de esta respecto a ejes perpendiculares a la barra que pasa por cada uno de los huecos se pueden determinar experimentalmente mediante la ecuacin

MgLIT02t =DondeLeslalongitudqueseparaelcentrode gravedad del centro de giro o Sinembargonoesposiblecalcularexperimentalmenteelmomentodeinerciadelabarra alrededor de un eje que pase por el centro de gravedad; para ello usaremos un mtodo indirecto El cual es conocido como el TEOREMA DE STEINER que se expresa por la siguiente igualdad: 2ML I IG + = . Demostracion del teorema de steiner Se asumir, sin prdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicularentrelosejesseencuentraalolargodeleje x yqueelcentrodemasasse encuentraenelorigen.Elmomentodeinerciarelativoaleje z,quepasaatravsdelcentrode masas, es: centro de masas, es: Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene: El primer trmino es Icm, el segundo trmino queda como mr2, y el ltimo trmino se anula, puesto que el origen est en el centro de masas. As, esta expresin queda como: FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 8 HOJA DE DATOS TABLA N1 # de huecol(cm)t1 (s)t2 (s)t3 (s)#de oscilaciones PeriodoT (promedio) 1 50.530.2030.1230.28181.68 245.729.7329.8129.52181.65 340.529.0828.8628.95181.61 435.528.9529.0828.96181.61 530.528.9228.3928.94181.60 625.529.3229.4629.00181.63 720.530.0930.5030.12181.68 815.516.4315.9616.0591.79 910.518.7018.418.5292.06 105.524.8224.6424.8692.75 FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 9 REFERENCIAS DEL OBJETO A ANALIZAR La siguiente figura muestra la barra usada para el experimento: Losclculosyanlisisqueacontinuacinseharn,sebasaranconsiderandoalabarraconlos agujeros que esta presenta, cuyo numero es de 21. La barra es homognea y tienelas siguientes dimensiones y medidas. VOLUMEN V1=VOLUMEN DE LA BARRA CON AGUJEROS A r C B A V221 . .1t = Reemplazando los datos: V1=(0.7)(4.8)(110)-21(3.14)(0.752)(0.7) V1=343.54cm3 DENSIDAD(o ) 33141 . 554 . 3431858cmgrcmgrVM= = = o-M=masa de la barracon agujeros -m=masadeuncilindrosolido,cuyovolumenesigualalvolumendeunagujerodela barra y cuya densdidad es la misma que la de la barra. -M+21m=masa de una barra solida sin agujeros. -Z= distancia entre los centros de dos agujeros consecutivos. -L=distancia entre el c.g de la barra y el eje de giro o. C AB cm zcm rgr Mcm Ccm Bcm Aagujeros575 . 018581108 . 47 . 021 #=======FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 10 CALCULOS, GRAFICOS, Y ANALIZIS DE RESULTADOS Grafico T vs L. 0.000.501.001.502.002.503.000 10 20 30 40 50 60T vs L T vs LFACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 11 CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA ElmomentodeinerciadelabarramostradarespectoalejequepasaporOser(0I )igualal Momento de inercia de la barra solida ( sin agujeros 1I ) respecto al eje que pasa por O menos el Momento de inercia del conjunto de cilindros solidos (agujeros de la barra 2I )respecto al eje que pasa por O. Entonces la ecuacin sera: 2 1 0I I I = ..(I) Hallando 1I : Usando el momento de inercia de un paraleleppedo y el teorema de Steiner, tenemos : 2 2 21) 21 ( ) (1221L m M C Bm MI + + ++= (II) Donde L es igual a la distancia entre el centro de gravedad C.G y el eje de giro o Ahora hallamos 2I . Seael siguiente grafico la representacin detodos los cilindros solidos, faltantes en la barra con huecos. Datos: m= masa de cada cilindro cilindrov m = ogr m 69 . 6 7 . 0 ) 75 . 0 ( 14 . 3 41 . 52= =r=radio=0.75 Z=distancia entre los centros de dos cilindros consecutivos. Z=5 cm Centro de gravedaddel conjunto de cilindrosC.G El cilindro a se encuentra de color rojo para diferenciarlo por coincidir con el C.G FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 12 Elmomentodeinerciadelconjuntodecilindrosslidosrespectoalcentrodegravedaddel conjunto, ser igual a la sumade los momentos de cada uno de los cilindros respecto del centro de gravedad del conjunto de cilindros. Lassiguientesecuacionesrepresentanlosmomentosdeinerciarespectodelcentrodegravedad C.G (utilizando momento de inercia de un cilindro y el teorema de Steiner). 22222) 10 () 3 () 2 () (2z m I Iz m I Iz m I Iz m I IrmIa ka da ca ba+ =+ =+ =+ == Sea G CI.=momento de inercia del conjunto de cilindros respecto su centro de gravedad. entonces G CI. ser la sumatoria de todos los momentos de inercia de todos los cilindros respecto C.G: 2 2.2.2 2 2 2.2 2 2..770221770 21) 10 2 1 ( 2 21) ) 10 ( ) 2 ( ) ( 10 ( 2:) ( 2mz rmImz I Imz I Iz m z m z m I I IoperandoI I I I I IG Ca G Ca G Ca a G Ck d c b a G C+ =+ =+ + + + =+ + + + + =+ + + + + = Por lo tanto: 2 2.770221 mz rmIG C+ =Ahora medianteelteoremadeSteinerhallamosel momentodeinerciadelconjuntodecilindros respecto de un centro de giro o( 2I ) paralela al C.G. 2 2 2221 770221 I mL mz rm+ + =.(III) Se tendrn que duplicar, pues solo representan los cilindros slidos ubicados al lado derecho del centro de gravedad y para tener en cuenta los del lado izquierdo( por ser simtrica la barra) solo tendremos que multiplicar por dos. FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 13 Reemplazando(II) y (III) en (I) tenemos: 2 1 0I I I =0I =2 2 2) 21 ( ) (1221L m M C Bm M+ + ++-(2 2 221 770221 mL mz rm+ + ) Porlotanto 0I representaelmomentodeinerciadelabarraconagujerosrespectounejeque pasa por O. CALCULO DEL PERIODO MINIMO A partir de la ecuacin MgLIT02t =Con 0I =2 2 2) 21 ( ) (1221L m M C Bm M+ + ++-(2 2 221 770221 mL mz rm+ + ) Encontramos un valor L para el cual el periodo sea minimo. Reemplazando las ecuaciones tenemos: MgLmL mz rmL m M C Bm MT) 21 770221 ( ) 21 ( ) (122122 2 2 2 2 2+ + + + ++= tPara que el periodo sea minimo aplicamos el criterio de la primera derivada: Derivando: 3 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2) ( ) 21 770221 ( ) 21 ( ) (1221)) 21 770221 ( ) 21 ( ) (1221( ) 42 ) 21 ( 2 ( 2MgL mL mz rmL m M C Bm MmL mz rmL m M C Bm MMg MgL mL L m MLT+ + + + ++((

+ + + + ++ +=cct Si0 min =ccLTimo TDespejando L tenemosMmz rmC Bm ML) 770221 ( ) (12212 2 2 2+ ++= .() Analizandolaanteriorrelacin:Lesigualalarazcuadradadelarelacinentreelmomentode inercia ,del objeto en anlisis respecto su centro de gravedad, y su masa. FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 14 Reemplazando datos en (): cm Lteorico9 . 31185816 . 1890159= = hallamos T en MgLmL mz rmL m M C Bm MT) 21 770221 ( ) 21 ( ) (122122 2 2 2 2 2+ + + + ++= t reemplazando datos: s Tteorico6 . 1 065 . 0 2 = = t COMPARACION DE LOS VALORES TEORICO Y EXPERIMENTAL DE L PARA T MINIMO Del siguiente grafico experimental se elige L para un T minimo. 0.000.501.001.502.002.503.000 20 40 60T vs L T vs LFACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 15 Un acercamiento de la imagen nos permite visualizar de mejor manera el periodo mnimo.

Hallamos el periodo mnimo experimental mediante proporcionalidad Por lo tanto:Experimentalmente.Tericamente T mnimo =1.59s T mnimo = 1.6 L=30.96 cmL=31.9 cm

Periodo mnimo experimental FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 16 PUNTOS DE OSCILACION CON EL MISMO PERIODO 0.000.501.001.502.002.503.000 20 40 60T vs L T vs LLasinterseccionesdelasdos lneasrojas(verticales)conel eje L, nos representan a dos puntoscuyosperiodossonlos mismos. Hallamoslospuntosmedianteproporcionalidad. Resultando: L1=22.5cm L2=46.2cm FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 17 TABLA N 2 # de hueco eje de oscilacin L(cm) T*T(s2)Momento de inercia (gr/cm2) L*L (cm2) 150.52.816477612.732550.25 245.72.725664333.142088.49 340.52.594778172.491640.25 435.52.604197920.611260.25 530.52.553545563.38930.25 625.52.643070425.33650.25 720.52.822635915.00420.25 815.53.202263041.33240.25 910.54.242030385.32110.25 105.57.561895321.1230.25 FRMULA DE MINIMOS CUADRADOS(I VSL2) Reemplazando valoresFUNCION RESULTANTE: 1812596.55 7 . 1818 + = x y2cgI 1812596.55 7 . 1818 ML x y + + = POR COMPARACIN: M=1818.7 gr IC.G=1812596.55 gr/cm2 0 1( ) FX a a x = +0 1120 11 1 1niin n ni i i ii i iY a n a xY X a X a X== = == += + 0 1100 1100 1100 11037069927.72 10 9902.54.94 10 9902.5 16356550.363.67 10 9902.5 9805950.364.94 10 9902.5 16356550.361938.751787427.42a aa aa aa aaa= + = + = + = + = =FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 18 GRAFICA MOMENTO DE INERCIA VS (LONGITUD)2 0.001000000.002000000.003000000.004000000.005000000.006000000.007000000.008000000.00-1000 0 1000 2000 3000 4000MOMENTO DE INERCIA lONGITUD AL CUADRADO I vsL.L I vsL.LLinear (I vsL.L)FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 19 Comparando valores terico y experimental. Pndulo simple equivalente al hueco N5 OBSERVACIONES. -Losresultadospresentadosenesteensayofueronelaboradosconelmayorcuidado posiblepues se intentoreducir la mayor cantidad de variaciones en el laboratorio, como puedenser : -Tener distintos ngulos iniciales de oscilacin, para evitar ello se uso un transportador,de modo quesepuede tener un mayor control sobre losngulos iniciales antes deiniciar la oscilacin.ennuestraexperienciasetratodetener,paratodasnuestraspruebas,un Angulo aproximado de 15. -Considerar a la barra tal y como se est usando en el laboratorio, en nuestro caso la barra contabacon21agujeros.Estonospermititenervalorestericosmuycercanosalos experimentales. -Existenciertasvariablesquedifcilmentesepuedencontrolar,comoporejemplola friccinentreelejederotacinylabarra,resistenciadelaire,temperatura,malas mediciones, aparatos deficientes, etc. CONCLUSIONES. -esteensayonosmuestraelcomportamientodelpndulofsicocadavesquevariala distancia del C.G al eje de giro. Podemos versegn las graficas que mientras el centro de giroseacerquealC.Gelperiodotiendeaaumentar,sinembargotambinmientrasla distanciasuperaciertoperiodomnimoelperiodoaumentaramientrastambinla longitud de c.g a eje de giro aumente. -La facilidad de poder hallar momentos de inercia usando la teora del pndulo fsico es de gran importancia puesya no es necesario tener en cuenta la geometra exacta del objeto. -Un pndulo fsico puede ser equivalente a un pndulo simple con una cierta longitud y un cierto periodo experimental RECOMENDACIONES -Tenerpresentela mayor cantidadposibledevariacionesquepuedanafectar el ensayoe intentar homogenizar las pruebas para tener menos error. -Probarelfuncionamientocorrectodelosinstrumentosautilizarantesdeempezarel laboratorio. 2 1.6 2 0.6369.81L lT l mG= H = H =FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 20 BIBLIOGRAFIA -Manual de laboratorio de fsica general (UNI- FACULTAD DE CIENCIAS) /2004 ; pag81 -Fisica universitaria- Young Freedman- sears zemanskypag303; pag438. FACULTAD DE MECNICA-UNI LABORATORIO DE FSICA II UNI-2011Pgina 21 APENDICE Momento de inercia de un paralelopipedo Dividimoselparaleppedoenplacas rectangulares de lados a y b y de espesor dx. El momentodeinerciadecadaunadelas placas respecto de su eje de simetra es Aplicandoel teoremadeSteiner, calculamosel momentodeinerciadeestaplacarespectodeun eje paralelo situado a una distancia x es El momento de inercia del slido en forma de paraleppedo es Momento de inercia de un cilindro Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindrodemasa M,radio R1 y longitud L respecto de su eje. Tomamos un elemento de masa que dista x del ejederotacin.Elelementoesunacapa cilndricacuyoradiointeriores x, exterior x+dx,ydelongitud L,talcomose muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es El momento de inercia del cilindro e