PENDULO DE TORSION

Carlos Wilfredo Camargo Murillo,♦ Andrés Felipe Ordoñez Jiménez, Eddy Alexander Gálviz Giraldo Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá Colombia

RESUMEN En este documento, el propósito es hacer un análisis metodológico del procedimiento experimental que se realiza para medir el momento de inercia asociado al péndulo de torsión, enfatizando en el tratamiento de errores y en el manejo apropiado de los datos.

Por péndulo de torsión, se refiere a un objeto que sale de su posición de equilibrio y que debido a la acción de un restauración de un resorte, hace que el objeto describa un movimiento de vaivén en un plano perpendicular al plano en que se encuentra el resorte que lo regresa a su posición de equilibrio una y otra vez.

Palabras claves: Péndulo de torsión, Inercia, Constante de elasticidad, Ecuación diferencial, Leyes de Newton.

ABSTRACT The purpose of this document is to make a methodological analysis of experimental procedure in order to measure the inertia moment associated to torsion pendulum, emphasizing on mistakes treatment and the proper fact handle.

About torsion pendulum, we mean an object out of its equilibrium position and because of the restoration action in a spring, makes the object describes a go-and-back movement on a perpendicular plane in which the spring that bring it back to its equilibrium position once and once again.

Key Words: Torsion pendulum, Inertia, elasticity constant, Differential equation, Newton´s laws.

1. Introducción En el ámbito de la física, la actividad experimental juega un papel primordial en el desarrollo de teorías y explicaciones de los eventos observados, por esta razón, es necesario afinar las habilidades que se tienen en este sentido, desde el uso de los implementos de laboratorio, como el análisis de los resultados obtenidos, por esta razón, se hace necesario entrenar dichas actividades, con esto como pretexto se desarrolla una actividad en la que el tratamiento de los resultados obtenidos al montar un experimento, se hacen de primordial importancia. En este caso, el montaje realizado es el péndulo de torsión, un montaje desarrollado para medir fuerzas débiles, en el que un una barra se pone a oscilar de tal forma que se mantenga perpendicular a el objeto del que está sostenida describiendo un movimiento de vaivén sobre un plano describiendo un ángulo de barrido en su movimiento.

2. Fundamento Teórico Todos los movimientos, se pueden describir en términos de desplazamientos lineales y de rotación. Durante un desplazamiento lineal, se puede describir el evento en términos del momento lineal (p), cómo � = �� donde � es la masa del cuerpo que se encuentra en movimiento y � es la velocidad con que se encuentra realizando el movimiento, en el caso de las rotaciones, existen análogos a estas cantidades, y el movimiento de rotación, entonces se puede escribir en términos de magnitudes parecidas, como: � = �� donde � representa una cantidad vectorial conocida como momento angular de un cuerpo en rotación, � es la inercia del cuerpo que se encuentra rotando (y se hace análogo a la masa ya que es una cantidad que hace que los cuerpos tengan una

♦ Email: carloscamargo70@hotmail.com

oposición al movimiento, como en el desplazamiento lineal lo hace la masa) y finalmente, � es la velocidad angular del cuerpo. Se puede afirmar, que las magnitudes � y � dependen de la distancia a la que se encuentren del eje de rotación, en general, el momento de inercia de un cuerpo puntual masivo que rota alrededor de un eje se puede definir a partir de la ecuación: � = �, donde R es la distancia radial hasta el punto de giro. Y en un cuerpo extendido, el momento de inercia se obtiene a partir de esta misma ecuación, e integrando sobre los diferenciales de masa y su distancia al eje de rotación. El momento de inercia �, cuando se define alrededor de un eje de rotación es el equivalente de la masa en el movimiento lineal, en este caso, el péndulo de torsión es bastante útil para calcular el momento de inercia de objetos con una geometría complicada, la configuración de este se define por un alambre (o en este caso un resorte) que en uno de sus extremos lleva suspendido una regla rectangular con ganchos para ubicar masas a diferentes distancias del eje de rotación (ver fig. 1)

Fig. 1 fotografía del montaje utilizado.

3. Planteamiento del Sistema El péndulo de torsión está formado por un resorte del que está suspendida una regla aritmética en la que se ubican dos masas de forma equidistante del eje de rotación, cuando se tiene este montaje listo, se le aplica un torque que retuerce el resorte, haciendo que este, ejerza un torque recuperador para repetir el movimiento una y otra vez, gastando en cada movimiento de ida y regreso un tiempo, que se repite en cada movimiento, y que define una unidad conocida como periodo, y al igual que un movimiento lineal, logra mostrar una velocidad.

4. Solución Analítica del Sistema

En este caso, cuando tenemos la regla suspendida, se le ejerce una fuerza que la saque de su posición de equilibrio, retorciendo el resorte hasta que la regla se ha desplazado un ángulo � haciendo entonces que el resorte ejerce una fuerza recuperadora sobre la regla que es proporcional al desplazamiento angular �. � = −��, analogo a la deformacion lineal de un resorte que se comprime y su fuerza recuperadora está descrita por: � = −�� donde � es la constante elástica del resorte usado. Si en este caso, se desprecia el rozamiento con el aire, (que es proporcional a la velocidad del péndulo), entonces, el movimiento del péndulo se puede describir a través de la segunda ley de Newton para el movimiento rotacional, desde la ecuación: � = −�� = � ������ �1�

Teniendo en cuenta que � representa el momento de inercia total del cuerpo, incluyendo las masas añadidas. Esta misma expresión puede ser mostrada: ������ + �� � = 0 �2�

De esta forma, se puede notar que la ecuación corresponde a un movimiento armónico simple de frecuencia:

� = � /�� �3�1

Ahora bien, desde la ecuación �3�, se concluye que el periodo de oscilación de este sistema se expresa como: # = 2$% �� �4�

Debido a la relación existente entre el periodo y la velocidad angular (# = '() ), pero se debe

tener en cuenta que �, expresa el momento de inercia del sistema total, y como la inercia es una cantidad que es aditiva, en realidad, esta inercia se debe escribir como: � = �* + �+, donde Ib hace referencia a la inercia de la barra utilizada, e Im a las masas utilizadas, entonces la forma correcta de expresar el periodo en términos de la inercia de los cuerpos que se utilizaron seria:

#´ = 2$%�-.�/0 �5�

Ahora bien, como se utilizaron dos masas, el momento de inercia Im seria expresado como la inercia de los dos cuerpos utilizados en este experimento, como los dos cuerpos que se utilizaron son cilíndricos, su momento de inercia está definido por: � = /2�' �6� Por lo tanto, �+ = 2�.

En este punto, es necesario decir que esta inercia está definida cuando el cilindro rota sobre su propio eje central, pero en nuestro caso, estos cilindros no se encuentran rotando en un eje propio sino están sobre un eje común con la regla aritmética, problema que se soluciona mediante el teorema de Steiner, que permite expresar el momento de inercia sobre el eje en común, en términos del propio de cada cuerpo y la distancia a la que se encuentran las masas del eje de rotación común, así: �4 = �+ + +�' �7�

Con esto en mente, entonces se procede a realizar el montaje, en el que se calculará el periodo de oscilación del péndulo de torsión en función del momento de inercia de la barra suspendida, y las dos masas que la acompañan. Se dice entonces, que el periodo #, en función de la inercia estará dado por: # = 2$%�-.'�6� �8�

1 Para llegar a esta expresión, se parte de la ecuación general de un movimiento armónico simple � ������ + � = 0 y sabiendo que

�� = �'

5. Descripción de la Metodología experimental

Se realizó el montaje en un protoboard de un par emisor-receptor infrarrojo, que permitiera realizar registros a través de la tarjeta de sonido del PC, ya que cuando se interrumpe el rayo que va del emisor al receptor, este ultimo reduce su resistencia al paso de corriente eléctrica, produciendo una variación en la diferencia de potencial entre sus terminales, mostrando un aumento de esta magnitud, que se registra en el PC por medio de la herramienta Goldwave, un programa de edición de sonido profesional, que convierte señales eléctricas en sonoras, permitiendo así que el computador se comporte como si fuese un osciloscopio, que permite el análisis de estas señales. Luego de esto, se realizó el montaje del péndulo de torsión, consistente en una barra suspendida de un resorte, que gracias a la acción recuperadora del muelle utilizado le permitía oscilar en un plano, describiendo un movimiento de vaivén, que con un dispositivo adaptado, interrumpía el rayo entre el par emisor-receptor de infrarrojo. De esta forma se realizaron los registros de tiempo que tardaba el péndulo en realizar una oscilación completa, teniendo en cuenta que los picos se presentaban cuando el péndulo pasaba por el punto central de su recorrido, entonces se analizaban los tiempos tomando la distancia entre dos picos intermedios. El procedimiento a seguir entonces es:

5.1 Calculo Del Momento De Inercia De Los Cilindros Respecto Al Eje De Rotación (Ie)

a. Conocer las masas utilizadas junto con su error. En este montaje, se utilizaron masas de 20.0 gr, que medidas con la balanza del laboratorio, tendrían un error de 0.5 gr.

b. Medir con el calibrador el diámetro de los cilindros junto con su error, para así conocer el radio de los mismos. Al medir con el calibrador, este muestra que las masas utilizadas, tienen un diámetro de 12.85 mm, con un error de 0.01mm, lo que nos da un radio de 6.43 mm con un error de 0.01mm.

c. Medir las distancias x1, x2,…desde el centro de las masas hasta el eje de rotación. Para cada uno de los ganchos, la distancia entre ellos y el eje de giro total es: X1: 22.45 mm ±0.01mm X2: 44.90 mm ±0.01mm X3: 67.35 mm ±0.01mm X4: 89.80 mm ±0.01mm X5: 112.25 mm ±0.01mm X6: 134.70 mm ±0.01mm X7: 157.15 mm ±0.01mm X8: 179.60 mm ±0.01mm X9: 202.05 mm ±0.01mm X10: 224.50 mm ±0.01mm Para este caso, la incertidumbre, se calculó a partir de la cantidad de cifras que se pueden medir, es decir, como para esta medición, se usó un calibrador, se tiene incertidumbre después de la segunda cifra decimal, por esto, se usa esta incertidumbre.

d. Por medio de las expresiones �6� y �7� las expresiones que dan cuenta del momento de inercia para las masas en cada una de sus posiciones.

� = '9:2∗<=.?@//A�' = 413,45 CD ∗ ++' = 4.1345 ∗ 10EF C ∗ +'

Ahora bien, esta es la inercia de la masa colocada, calculemos ahora el valor de la inercia con respecto al eje de rotación que depende de la distancia al eje de rotación, por medio del teorema de Steiner �7�:

X1:�4 = 413.45CD ∗ ++' + 20CD ∗ <22.45++A' = 10493,5CD ∗ ++' = 1.049 ∗ 10E= C ∗ +'

X2: �4 = 413.45CD ∗ ++' + 20CD ∗ <44.90++A' = 40750,65CD ∗ ++' = 4.075 ∗ 10E= C ∗ +' X3:�4 = 413.45CD ∗ ++' + 20CD ∗ <67.35 mm A' = 91133,9CD ∗ ++' = 9.113 ∗ 10E= C ∗ +' X4:�4 = 413.45CD ∗ ++' + 20CD ∗ <89.80 mm A' = 161694,25CD ∗ ++' = 1.62 ∗ 10EI C ∗ +' X5:�4 = 413.45CD ∗ ++' + 20CD ∗ <112.25 mm A' = 252414,7CD ∗ ++' = 2.52 ∗ 10EI C ∗ +' X6:�4 = 413.45CD ∗ ++' + 20CD ∗ <134.70 mm A' = 363295,25CD ∗ ++' = 3.63 ∗ 10EI C ∗ +' X7:�4 = 413.45CD ∗ ++' + 20CD ∗ <157.15 mmA' = 494335,9CD ∗ ++' = 4.94 ∗ 10EI C ∗ +' X8:�4 = 413.45CD ∗ ++' + 20CD ∗ <179.60 mmA' = 645536,65CD ∗ ++' = 6.45 ∗ 10EI C ∗ +' X9:�4 = 413.45CD ∗ ++' + 20CD ∗ <202.05 mmA' = 816897,5CD ∗ ++' = 8.169 ∗ 10EI C ∗ +' X10: �4 = 413.45CD ∗ ++' + 20CD ∗ <224.50 mmA' = 1008418,45CD ∗ ++' = 1.01 ∗ 10E? C ∗+'

5.2 Cálculo Del Periodo De Oscilación

a. Para calcular el periodo de oscilación del sistema, se sitúan las masas de forma simétrica al centro de la regla aritmética, y se desplaza ésta última de su posición de equilibrio permitiéndole oscilar e interrumpir el circuito del par emisor-receptor infrarrojo, registrando en Goldwave cada oscilación, y tomando el periodo registrado, por medio de histogramas de frecuencia en los cuales se registra el rangos de periodo, y la cantidad de datos que caen dentro de éste2. El cálculo que se realiza para reportar el valor más apropiado es promediar los datos, para hallar el valor central de estos, y organizar en histogramas para poder hallar la incertidumbre estadística de la medida. Para este caso, reportaremos el valor medio de la medida utilizando:

#J = 1K L #MN

MOP �9� Y la incertidumbre estadística por medio de: Δ#4RS = %<TJETPA�.<TJET'A�.⋯.<TJETNA�NEP �10� Entonces, los datos serán reportados como # = # V ± Δ#4RS. 3 X1: 2,32±0,033s X2: 2,42±0,033s X3: 2,48±0,035s X4: 2,57±0,039s X5: 2,72±0,038s X6: 2,84±0,051s X7: 2,97±0,028s X8: 3,21±0,106s X9: 3,34±0,071s X10: 3,59±0,085s

5.3 Cálculo de la Constante de Torsión k y el Momento de Inercia de la Regla Soporte

2 Al final de este trabajo se encuentran los histogramas que se nombran aquí. 3 Al final de este trabajo se encuentran los cálculos de los Δ#4RS

a. A partir de la ecuación �8� obtener la expresión que relaciona el periodo al cuadrado con el momento de inercia de los cilindros respecto al eje Ie. Al tomar la ecuación dicha, y elevar ambos términos al cuadrado, obtenemos la relación existente entre el periodo T los momentos de inercia tanto de la regla como de las masas. #' = 4$'<�* + 2�4A� Que si distribuimos el término constante, obtenemos: #' = 8$'� ∗ �4 + 4$'� ∗ �* �9� Donde, si notamos, se trata de la ecuación de una recta, que responde a la relación X = +Y + * Donde b es el punto de corte, y m la pendiente. Y en este caso particular, * = ?(�0 ∗ �* Y + = 8$'/�

Siendo así, se grafican estos datos con el objeto de confirmar la dependencia de esta forma:

Z CD[\]^_ 1 `4a4K`4K^][ `4b a4D]_`_ `4 _R^]b[^]_K ^_K D4Ra4^S_ [ b[ ]K4D^][ `4 b[R +[R[R RcRa4K`]`[Rd

y = 7E-06x + 5,437

0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

0 500000 1000000 1500000

Pe

rio

do

de

Osc

ila

cio

n (

s)

Inercia de las barras con respecto al eje central (gr/mm^2)

Dependencia del Periodo al

cuadrado con Respecto a la Inercia

dependencia del

periodo con respecto

a la inercia

Lineal (dependencia

del periodo con

respecto a la inercia)

Si notamos la ecuación de la línea de tendencia que se muestra en el grafico,

notaremos lo que previamente se había dicho acerca de la dependencia del periodo al cuadrado con respecto a la inercia de las masas suspendidas, entonces, de lo que previamente se comentó, podemos encontrar tanto la constante de torsión del resorte como la inercia de la barra, variables desconocidas hasta este momento.

Como se había dicho: + = 8$'/� Entonces se puede concluir que: � = 8$'/+ � = 8$'/<7 ∗ 10E=A � = 11279547.89 ¿ ?∗ ++' Y a partir de la segunda parte de la ecuación: * = 4$'� ∗ �*

Se puede concluir que: �* = * ∗ �4$'

�* = 5.437 ∗ 11279547.894$'

�* = <1553428.572AC ∗ ++' �* = 1.553428572 ∗ 10E? C ∗ +'

6. Manejo de Errores: 6.1 Error estadístico:

Cuando se miden varias veces la misma cantidad, varias veces con un aparato de precisión suficiente, no se obtiene el mismo valor todas las veces. Por tanto, al realizar una medición con estas condiciones, ¿Cuál es el valor que se debe reportar?. Para obtener un valor representativo, se toman varias medidas y finalmente el dato buscado seria el promedio de dichas medidas.

�g = 1K L �]NMOP

Sin embargo, el promedio no es aún información suficiente pues a pesar de haber tomado varias medidas, no se sabe en qué rango se encuentran los valores medidos, entonces, se realiza un arreglo conocido como histograma en el que se agrupan los datos en rangos, y contar cuantos datos tomados caen en el rango especificados, de esta forma, se pueden notar tanto el valor máximo y el mínimo de la medida, y leer en qué región se encuentran la mayoría de las lecturas, en este caso, es necesario calcular lo que llamaremos incertidumbre estadística que se denota como ∆�4RS, y se calcula:

∆�4RS = iL <�g − �]A'K − 1NMOP

6.2 Error en la escala del aparato

Cualquiera que sea el medio usado para realizar una medición, el resultado final debe ser un intervalo que represente, hasta donde nuestra capacidad lo garantice, los límites dentro de los cuales se encuentra el valor de la medición. Esto se debe a que solo podemos tener certeza de la medición hasta cierto punto, y en una escala más pequeña, se encuentra una nueva medida del dato, más preciso, pero ningún aparato permite una precisión infinita, entonces, debemos garantizar que el dato reportado, cubra tanto el valor conocido como el rango que es desconocido.

6.3 Error en Cantidades Dependientes (Propagación de Errores) Al tener una variable que dependa de otras, la manera como se calcula la incertidumbre o el error, es diferente a como se hace en el caso de incertidumbres de escala, si x y y son variables con incertidumbres estadísticas ∆�est y ∆j4RS, la incertidumbre en una funcion \<�, jAse calcula de la siguiente manera: ∆\4RS = kl\l�k ∆� + kl\ljk ∆j

Y entonces, el dato de incertidumbre o error es: ∆\S_S[b = ∆\4R^[b[ + ∆\4RS

6.4 Error Porcentual Este error se obtiene al convertir un valor de incertidumbre de un intervalo de valores, a un valor porcentual de la medida central, para notar que tan confiable se hace la medida.

6.5 Tratamiento de Errores en Este Laboratorio

En la parte 5.1-c como se utilizaron valores medidos directamente, y se realizaron solo una vez, el único error que se puede reportar es el de escala, pero en el apartado siguiente, es decir en el 5.1-d, se utilizaron estas medidas para calcular los momentos de inercia de las masas acopladas a la barra, por esta razón ya comienza una propagación de errores, a continuación mostraremos el cálculo de errores en estas medidas, y reportaremos los datos con sus respectivos errores, teniendo en cuenta que la forma como se calculan dichos errores, es en este caso específico así: ∆�4 4RS = `�4`� ∆�

En estos casos, como la ecuación que da cuenta de la inercia con respecto a la distancia al centro es �7�, entonces la derivada de la que se habla es: ∆�4 4RS = 2+�<0.01++A Calculemos entonces el error estadístico de la inercia en las diferentes posiciones de las masas: X1:±8.98C ∗ ++' X2: ±17.96 C ∗ ++' X3: ±26.94 C ∗ ++' X4: ±35.92 C ∗ ++' X5: ±44.9 C ∗ ++' X6: ±53.88 C ∗ ++' X7: ±62.86 C ∗ ++' X8: ±71.84 C ∗ ++' X9: ±80.82 C ∗ ++' X10: ±89.8 C ∗ ++'

Hay que tener en cuenta que a estos valores debe sumarse el valor del error de los aparatos utilizados para hallar el error total que finalmente cubre el rango de valores tanto conocidos como de incertidumbre en la medida. De esta manera, el valor real de la incertidumbre total es de: X1:±8.99C ∗ ++' X2: ±17.97 C ∗ ++' X3: ±26.95 C ∗ ++' X4: ±35.93 C ∗ ++' X5: ±44.91 C ∗ ++' X6: ±53.89 C ∗ ++' X7: ±62.87 C ∗ ++' X8: ±71.85 C ∗ ++' X9: ±80.83 C ∗ ++' X10: ±89.81 C ∗ ++' Convirtamos esto a una medida de porcentaje con respecto a la medida central de la inercia para hallar el error porcentual en la inercia:

X1:m.nn:∗//�P9?m@,I:∗//� ∗ 100 = 0.08%

X2: PF.F:∗//�?9FI9,=I:∗//� ∗ 100 = 0.043%

X3:'=.mI:∗//�mPP@@,m:∗//� ∗ 100 = 0.03%

X4:p@I.m@:∗//�qP=P=m?,'I:∗//� ∗ 100 = 0.022%

X5:??.mP:∗//� 'I'?P?,F:∗//� ∗ 100 = 0.018%

X6:I@.nm :∗//�@=@'mI,'I:∗//� ∗ 100 = 0.015%

X7:='.nF:∗//�?m?@@I,m:∗//� ∗ 100 = 0.013%

X8: FP.nI :∗//�=?II@=,=I:∗//� ∗ 100 = 0.011%

X9:n9.n@ :∗//�nP=nmF,I:2∗//� ∗ 100 = 0.01%

X10: nm.nP :∗//�P99n?Pn,?I:2∗//� ∗ 100 = 0.008%

7. Resultados, Tablas y Gráficos.

PERIODOS MEDIDOS EN GOLDWAVE

gancho de 1 a 3 de 2 a 4 de 3 a 5 de 4 a 6 de 5 a 7 de 6 a 8 de 7 a 9 de 8 a 10 de 9 a 11

1 2,26 2,31 2,31 2,33 2,34 2,32 2,31 2,33 2,33

2 2,41 2,37 2,43 2,41 2,45 2,35 2,47 2,43 2,37

3 2,46 2,49 2,43 2,50 2,48 2,52 2,46 2,44 2,46

4 2,54 2,58 2,52 2,52 2,62 2,55 2,61 2,57 2,55

5 2,70 2,74 2,70 2,74 2,68 2,71 2,77 2,72 2,83

6 2,78 2,77 2,84 2,85 2,87 2,86 2,74 2,78 2,84

7 2,95 2,93 2,92 2,95 2,99 2,97 2,97 2,96 2,92

8 3,13 3,25 3,14 3,31 3,13 3,25 3,13 3,19 3,14

9 3,22 3,41 3,28 3,36 3,34 3,36 3,35 3,18 3,35

10 3,54 3,65 3,47 3,71 3,71 3,55 3,59 3,59 3,47

no masas 2,42 2,51 2,44 2,46 2,39 2,39 2,46 2,39 2,40

PERIODOS MEDIDOS EN GOLDWAVE

de 10 a

12

de 11 a

13

de 12 a

14

de 13 a

15

de 14 a

16

de 15 a

17

de 16 a

18

de 17 a

19

de 18 a

20

2,33 2,27 2,38 2,28 2,39 2,32 2,32 2,29 2,33

2,42 2,43 2,42 2,41 2,39 2,42 2,42 2,48 2,42

2,41 2,47 2,51 2,54 2,48 2,51 2,48 2,53 2,51

2,51 2,48 2,59 2,60 2,57 2,59 2,57 2,62 2,58

2,68 2,71 2,72 2,72 2,66 2,72 2,71 2,71 2,69

2,83 2,80 2,87 2,93 2,93 2,87 2,86 2,86 2,86

3,02 2,97 2,96 3,01 2,98 2,99 2,98 2,98 2,99

3,13 3,19 3,13 3,32 3,13 3,13 3,49 3,37 3,14

3,28 3,41 3,28 3,29 3,41 3,40 3,41 3,41 3,40

3,65 3,54 3,54 3,54 3,77 3,53 3,53 3,65 3,54

2,40 2,39 2,39 2,40 2,56 2,39 2,39 2,52 2,40

RESULTADOS

promedio t^2 inercia

2,32 5,380 10493,5

2,42 5,840 40750,65

2,48 6,161 91133,900

2,57 6,579 161694,25

2,72 7,381 252414,7

2,84 8,076 363295,25

2,97 8,804 494335,9

3,21 10,278 645536,65

3,34 11,165 816897,5

3,59 12,877 1008418,45

2,43 5,891 4

4 Este dato no se reporta porque la inercia de la barra no se calcula con las formulas utilizadas anteriormente sino, análisis matemático.

GANCHO 1

ΔT FRECUENCIA

2,25-2,28 2

2,28-2,31 3

2,31-2,34 9

2,34-2,37 1

2,37-2,40 3

GANCHO 2

ΔT FRECUENCIA

2,34-2,37 1

2,37-2,40 3

2,40-2,43 8

2,43-2,46 4

2,46-2,49 2

HISTOGRAMAS

GANCHO 3

ΔT FRECUENCIA

2,39-2,42 1

2,42-2,45 2

2,45-2,48 4

2,48-2,51 8

2,51-2,54 3

GANCHO 5

ΔT FRECUENCIA

2,66-2,69 2

2,69-2,72 11

2,72-2,75 3

2,75-2,78 1

2,78-2,81 0

2,81-2,84 1

GANCHO 4

ΔT FRECUENCIA

2,47-2,50 1

2,50-2,53 3

2,53-2,56 3

2,56-2,59 7

2,59-2,62 5

GANCHO 6

ΔT FRECUENCIA

2,72-2,75 1

2,75-2,78 1

2,78-2,81 3

2,81-2,84 3

2,84-2,87 7

2,87-2,90 1

2,90-2,93 2

GANCHO 7

ΔT FRECUENCIA

2,90-2,93 3

2,93-2,96 4

2,96-2,99 9

2,99-3,02 2

GANCHO 8

ΔT FRECUENCIA

3,13-3,19 10

3,19-3,25 2

3,25-3,31 2

3,31-3,37 2

3,37-3,43 1

3,43-3,49 0

3,49-3,55 1

GANCHO 9

ΔT FRECUENCIA

3,17-3,23 2

3,23-3,29 4

3,29-3,35 3

3,35-3,41 9

GANCHO 10

ΔT FRECUENCIA

3,47-3,53 2

3,53-3,59 8

3,59-3,65 2

3,65-3,71 3

3,71-3,77 2

3,77-3,83 1

GANCHO de 1 a 3 de 2 a 4

1 0,00 0,00

2 0,00 0,00

3 0,00 0,00

4 0,00062 0,00023

5 0,00022 0,00069

6 0,00359 0,00488

7 0,00045 0,0017

8 0,00548 0,00202

9 0,01 0,00

10 0,00274 0,00392

de 9 a

11

de 10 a

12

de 11 a

13

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,01

0,00023 0,003025 0,007225

0,01238 0,001137 1,39E

1,5E-05 0,000252 0,001591

0,00196 0,002578 6,05E

0,0049 0,005476 0,000196

0,00 0,00

0,01355 0,00392 0,002246

ERROR ESTADISTICO

de 2 a 4 de 3 a 5 de 4 a 6 de 5 a 7 de 6 a 8 de 7 a 9

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00023 0,00202 0,00202 0,00303 0,00023 0,00202

0,00069 0,00043 0,00069 0,00174 2,2E-05 0,00253

0,00488 3,5E-05 1,7E-05 0,00103 0,0004 0,00958

0,0017 0,00233 0,00045 0,00032 3,3E-05 6E-07

0,00202 0,0049 0,01124 0,00548 0,00202 0,00548

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00392 0,01355 0,01553 0,01553 0,00163 1,3E-05

ERROR ESTADISTICO

de 11 a

de 12 a

14

de 13 a

15

de 14 a

16

de 15 a

17

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,007225 0,000625 0,001225 2,5E-05 0,000625

1,39E-05 1,07E-05 1,63E-06 0,003217 1,63E-06

0,001591 0,000968 0,007415 0,00812 0,000968

6,05E-07 8,5E-05 0,002188 0,000281 0,000353

0,000196 0,005476 0,0121 0,005476 0,005476

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,002246 0,002246 0,002246 0,033713 0,00318

de 7 a 9 de 8 a 10

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00202 2,5E-05

0,00253 1,6E-06

0,00958 0,00359

07 0,00013

0,00548 0,0002

0,00 0,03

05 1,3E-05

de 16 a

18

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,000625 2,5E-05

06 0,000137

0,000968 0,000328

0,000353 7,7E-05

0,005476 0,081225

0,00 0,01

0,00318 0,00318

ERROR ESTADISTICO

de 17 a 19 de 18 a 20 SUMATORIA DISIVION INC

0,00 0,00 0,02 0,00 0,033

0,00 0,00 0,02 0,00 0,033

0,00 0,00 0,02 0,00 0,035

0,003025 0,000225 0,03 0,00 0,039

4,52E-05 0,000714 0,02 0,00 0,038

0,000404 0,000404 0,04 0,00 0,051

7,7E-05 0,000432 0,01 0,00 0,028

0,027225 0,0049 0,19 0,01 0,106

0,00 0,00 0,09 0,01 0,071

0,00392 0,002246 0,12 0,01 0,085

8. CONCLUSIONES

El péndulo de torsión es una herramienta útil para calcular momentos de inercia con geometría complicada o elementos de los cuales no se conozcan.

La teoría de errores es fundamental en el trabajo de laboratorio, ya que permite acercarnos y lograr un mejor uso de los datos obtenidos. La distribución de masas es una variable fundamental, al momento de calcular la inercia de cualquier cuerpo.

9. BIBLIOGRAFIA �s�Bautista Edgar, Arenas Germán, y otros. FISICA EXPERIMENTAL I, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá 2003 �2�Giamberardino Vicenzo. TEORIA DE LOS ERRORES, Universidad de Barcelona �3�http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/solido/rotacion/torsion/torsion.xhtml