1)Pendiente de una rectaDada una recta, gráficamente su pediente nos da su grado de inclinación.

Pendiente positiva Pendiente negativa Pendiente nula

Cuando la recta es creciente (al aumentar los valores de x aumentan los de y), su pendiente es positiva, en la expresión analítica m>0

Cuando la recta es decreciente (al aumentar los valores de x disminuyen los de y), su pendiente es negativa, en la expresión analítica m<0

Cuando la recta es constante se dice que tien pendiente nula, en la expresión analítica m=0

2)Definición diversas de formas de la ec de la recta

2.1)ECUACIÓN VECTORIALPara determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tuviesemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición.

La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificar todos los puntos de la recta. 

Dados un punto   de la recta y un vector de dirección   , un punto genérico de la recta  tendrá como vector de posición  .

Es claro que   , como el vector   y   están en la misma dirección exite un número   tal que  , por tanto   esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta.

2.2)ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTEEcuación de la recta a partir de un punto y su pendiente.Su fórmula la vamos a deducir a partir de la ecuación continua.

 

donde   son las coordenadas de un punto de la recta y   la pendiente, si llamamos   al punto de la recta, es decir, hacemos   la ecuación queda   

2.3)PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN

Ecuación de la línea recta con pendiente y ordenada en el origen.

Sea una recta con pendiente m que intersecta al eje y en el punto (O,b), siendo b la ordenada al origen y sea P(X,Y) otro punto de la recta como se indica en la figura:

Aplicamos la fórmula de la pendiente: 

Despejando y tendremos la ecuación de la recta de pendiente-ordenada en el origen (intersección).

y = mx + b 

Ejemplo:  Determina la ecuación de la recta cuya pendiente es m=2 y corta al eje de las ordenadas en el punto    (0,3), en este ejemplo debemos de considerar a b=3

2.4)ecuación simétrica de la recta.- Una recta pasa por los dos puntos A(-3,-1) y B(2,-6). Hallar la ecuación en la forma simétrica.Solución-Juan Beltrán:

Teorema: La recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2,y2) tiene por ecuación:

Teorema: La recta cuyas intercepciones con los ejes X y Y son a y b respectivamente, a y bdiferentes de 0,  tiene por

ecuación:

2.6)ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITADeduciremos la ecuación general de la recta a partir de la ecuación continua

 

 

 

Ecuación general o implicita de la recta

Teniendo en cuenta el cambio de variable que se ha hecho para llegar a la fórmula de la ecuación general se cumple que un vector de dirección de la recta es 

Asímismo un vector normal a la recta es 

2.5)Forma polar de la ecuación de la recta.Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares.

Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar . Si(−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si (180°−θ) = (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) = (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.

Representación

2.7)Pendiente de la recta normal

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta normal

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La bisectriz del primer cuadrante tiene dce ecuación y = x, por tanto m = 1.

f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Recta tangente:

y − 1 = x y = x +1

Recta normal:

m= 1P(0, 1)

y − 1 = −x y = −x + 1

2.9)Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.

Rectas perpendiculares

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

Ejemplos1  Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por

el punto A(3,5).

2  Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, seanparalelas y perpendiculares.

3)Segmento de recta Recta: es una línea continua que esta formada por infinitos puntos en la misma direccion, la recta no tiene inicio ni fin

Semirrecta: es parte de una recta. En una recta si ubicamos un punto, esta delimitara dos semirrectasse caracteriza por que tiene un inicio pero no un final.

Segmento de recta: si tomamos 2 puntos en una recta (T y S), el segmento de recta sera el conjunto de puntos comprendidos entre T y S..

.

se caracteriza por que :Es una porcion o parte de una recta.es la menor distancia posible entre dos puntos.y por que tiene un principio y un final, por ende es suceptible de ser medido.

Segmentos consecutivos colineales: son los que tienen un extremo en comun, y si pertenecen a la misma recta

Segmentos consecutivos no colineales: son los que tienen un extremo en comun, pero, no pertenecen a la misma recta. (un ejemplo se puede ver en estos vectores).

.Propiedad de la suma de segmentos: cumple con la propiedad asociativa y conmutativa.

Suma de Segmentos: para sumar dos o más segmentos hay que llevar sobre una recta y unirlos por un extremo. El resultado de la suma es la longitud que se obtenga.

Diferencia de segmentos: Para restar dos segmentos hay que superponerla para que coincidan en un extremo. La parte que sobra del mayor segmento es el resultado.

Mediatriz de un segmento: Es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio y lo divide en dos partes iguales.

Segmentos Concatenados: Son segmentos que tienen un punto en común, pero pertenecen a distintas rectas..s+r

5)División de un segmento en una relación dada

Dividir un segmento AB en una relación dada r  es determinar un punto P  de la recta  que contiene al  segmento AB , de modo que las dos partes,  PA  y PB , están en la relación r:

Ejemplo:

¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?

 

5)Puntos alineados sobre una rectaPuntos linealmente dependientes o alineados

Para comprobar si 3 puntos ABC están alineados y por tanto están sobre una recta, podemos calcular la distancia entre dos próximos, por ejemplo entre los puntos A y B. A continuación calculamos la distancia entre B y C, si ambas distancias sumadas  determinan un número igual a la distancia entre los extremos A y C, ello quiere decir que los tres puntos están alineados.

Si las dos distancias no fueran iguales  los 3 puntos formarían un triángulo, figura en la que siempre la suma de las longitudes de dos lados es mayor que la longitud del otro lado.

Para calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera, hacemos uso del teorema de Pitágoras, en el que la hipotenusa  al cuadrado es igual al cateto al cuadrado mas el cateto al cuadrado.

http://geometria-analitica-y-algebra.blogspot.com.es/2012/11/distancia-entre-dos-puntos.html

Otro método para comprobar si tres puntos están alineados

3 puntos están alineados o están sobre una recta si sus vectores tienen la misma pendiente.

Se podría aducir que tienen igual pendiente pero no están sobre la misma línea, pero éste no va a ser el caso ya que los dos vectores van a involucrar a un mismo punto, por ejemplo el del medio. Por tanto si los dos vectores pasan por un mismo punto, sólo deben tener la misma pendiente para que efectivamente los tres puntos que generan esos dos vectores estén alineados.

En el dibujo podemos ver tres puntos ABC, construimos el vector BA, y el vector  CB. 

como todo vector se construye por la diferencia de las coordenadas de sus puntos, restamos la coordenada en x y en y de ambos puntos.

Observamos que la diferencia entre A y B y la diferencia entre B y C determinan los componentes de ambos vectores que son proporcionales, y como la pendiente de ambos es el cociente entre la coordenada  en y entre la coordenada en x, tenemos que el cociente es el mismo para los dos, por lo que ambos tienen igual pendiente y por tanto los tres puntos son colineales, esto es, están sobre una misma línea.

6)Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

Ejemplo:

Calcula la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuación 3 x + 4 y = 0.

Distancia al origen de coordenadas

Ejemplo:

Hallar la distancia al origen de la recta r ≡ 3x - 4y - 25 = 0.

Distancia entre rectas

Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

Ejemplos:

1  Hallar la distancia entre r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.

Hallar la distancia entre r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.

2  Hallar la distancia entre las rectas:

7)ANGULO ENTRE DOS RECTAS

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:

1  Sus vectores directores

2 Rectas paralelas al eje OY

Ejemplos:1  Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus

vectores directores son:   = (-2, 1) y  =(2, -3).

2  Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my - 8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.

Ejemplo

Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones

y

La recta   viene dada como la intersección de dos planos ( el plano   de ecuación       y el

plano   de ecuació n    ).

Un vector director   de la recta   es el vector que multiplica al parametro   en su ecuación, es decir:

Podemos obtener un vector director   de la recta   multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano   por un vector perpendicular al plano  .

Un vector   perpendicular al plano   lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano  :

De la misma forma obtenemos un vector   perpendicular al plano  :

El producto vectorial de ambos vectores,   y   es

El ángulo que forman las rectas   y   es, por tanto

8.proponga 5 problemas de los temas 4 5 6 7

Tema 4

 

Tema 5

1)Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vértices C y D.

2)Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 4) y B(8, −2, 3). Estudiar si el punto C(2, 1, 3) está al ineado con A y B.

Para que el punto C este al ineado con A y B, debe pertenecer a la recta que pasa por A y B.

Como C no satisface las ecuaciones de la recta, no está al ineado con A y B.

3)Determinar los valores de m para que los puntos A(m, 2, −3), B(2, m, 1) y C(5, 3, −2) estén alineados y hallar las ecuaciones de la recta que los contiene.

·

4)¿Qué en relación se ha de verif icar entre los parámetros a, b y c para que los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(0, 1, 1) y D(a, b, c) sean coplanarios?

Los puntos A, B, C y D son coplanarios si:

5)Determinar el valor de x para que los puntos A(0, 0, 1), B(0, 1, 2), C(−2, 1, 3) y D(x, x-1, 2) sean coplanarios.

Para que los puntos sean coplanarios, los vectores determinados por el los también han de ser coplanarios, es decir, que el rango de los vectores sea 2.

Para que el rango sea igual a 2, el determinante de las componentes de los vectores ha de ser igual a cero.

Tema 7

Distancia de un punto a una recta

Calcular la distancia del punto Po(2,1) a larecta L de ecuación 3 x + 4 y -2= 0

Calcula los cosenos directores, la distancia al origen y la ecuación normal de la recta

 

Ya hemos visto en el ejemplo 13 del apartado anterior que los csenos directores son:

La distancia al origen es:

Como C<0, entonces:

Así pues la ecuación normal de la recta es:

4.Halla la distancia del punto   a la recta que pasa por los

puntos   y 

SOLUCIÓN

Usaremos la fórmula 

donde   son las coordenadas del punto y   la ecuación general de la recta.

Tenemos las coordenadas del punto  , pero necesitamos la

ecuación general de la recta que pasa por los puntos   y  .Generaremos la ecuación continua y después la pasamos a ecuación general.Para la ecuación continua necesitamos un punto, por ejemplo

el   y un vector director. Tomaremos el vector formado por

ambos puntos 

La ecuación continua es 

Multiplicando "en cruz" llegamos a la ecuación

general   

Ya tenemos todos los datos para aplicar la fórmula:

Simplificando se obtendría 

2) Sin hacer uso de la fórmula vamos a resolver el problema anterior.

24.14 Halla la distancia del punto   a la recta

.

Respuesta: 

SoluciónEn el espacio tridimensional de la figura siguiente tenemos un punto P y una recta r y tenemos que calcular la distancia entre ambos.

Conclusión:

El presente trabajo es el resultado de una investigación sobre la pendiente; los temas principales tratados en este documento son: Ecuación de una pendiente. Grafica de una pendiente. Pendiente de la recta. 

Bibliografía:

https://sites.google.com/site/geometriaanalitica3o/unidad-2/ecuacion-pendiente-y-ordenada

http://geometriacentauro.blogspot.com/2013/07/pendiente-y-angulo-de-inclinacion-de.html

http://www.ematematicas.net/ecrectaplano.php?a=&pot=7

http://www.ematematicas.net/ecrectaplano.php?pot=2

http://www.ematematicas.net/pendienterecta.php?a=3

http://www.ematematicas.net/ecrectaplano.php?a=&pot=5

http://fedrafelix.blogspot.com/2012/10/forma-polar-de-la-ecuacion-de-la-recta.html

http://www.vitutor.com/fun/4/k_2.html

http://www.vitutor.com/geo/rec/d_10.html

http://profesor-matematicas.blogspot.com/2008/12/segmento-de-recta.html

http://profe-alexz.blogspot.com/2011/04/segementos-de-recta-ejercicios.html

http://www.vitutor.com/geo/vec/a_12.html

http://geometria-analitica-y-algebra.blogspot.com/2012/11/puntos-alineados-sobre-una-recta.html

http://www.vitutor.com/geo/rec/d_13.html

http://www.vitutor.com/geo/rec/d_9.html

http://www.wikillerato.org/%C3%81ngulo_entre_dos_rectas.html

http://www.competenciasmatematicas.com.mx/download/1.2%20Division%20de%20un%20segmento%20de%20recta%20en%20una%20razon%20dada.pdf

http://matematica.pe/ecuacion-general-de-la-recta-y-angulo-entre-2-rectas-ejercicios-resueltos-de-trigonometria-preuniversitaria-en-pdf/

https://matedos.wordpress.com/2009/08/18/distancia-punto-recta/

http://lasmatematicas.eu/geometria-metrica-plana/geometria/geometria-metrica-plana/7-distancia-de-un-punto-a-una-recta

http://matematicasies.com/Distancia-de-un-Punto-a-una-Recta

INTRODUCCION

Este trabajo contiene información sobre geometría analítica que nos viene sirviendo para poder calcular los ángulos de los objetos, y si son líneas paralelas, perpendiculares u oblicuas. Este documento es una parte de la teoría de la geometría analítica, contiene formulas y ejemplos para resolver problemas de pendientes y ángulos..

Conclusión:

El presente trabajo es el resultado de una investigación sobre la pendiente; los temas principales tratados en este documento son: Ecuación de una pendiente. Grafica de una pendiente. Pendiente de la recta.