UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

ECUACIÓN DE LA RECTA

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Para determinar la posición de los puntos de un plano usando coordenadas cartesianasrectangulares, se emplean dos rectas perpendiculares y el punto de intersección se consideracomo origen.

OBSERVACIONES

Los puntos destacados en la figura son: A = (5, 6), B = (0, 0) y C = (-4, -3). Los puntos que están en el eje x, tienen ordenada igual a cero. Su forma es (x, 0). Los puntos que están en el eje y, tienen abscisa igual a cero. Su forma es (0, y).

EJEMPLOS

1. El punto (-5, 8) pertenece a

A) el primer cuadrante.B) el segundo cuadrante.C) el tercer cuadrante.D) el cuarto cuadrante.E) el origen.

A

B

C

IICuadrante

IIICuadrante

1 2 3 4 5 6

1

23

45

6

-1-2-3-4-5-6-1-2

-3

-4

-5-6

ICuadrante

IVCuadrante

Y (Ordenadas)

X (Abscisas)

C u r s o : Matemática

Material N° MT-07

2

2. El punto (2, 0) pertenece a

A) el primer cuadrante.B) el segundo cuadrante.C) el eje X.D) el eje Y.E) el cuarto cuadrante.

3. Sean a y b números enteros, de modo que b < a. Entonces, el punto P cuyascoordenadas son (a – b, b – a) siempre se ubica en

A) el primer cuadrante.B) el segundo cuadrante.C) el tercer cuadrante.D) el cuarto cuadrante.E) el segundo o cuarto cuadrante.

4. Al unir los puntos del plano (-2, 2), (5, -2), (3, 2) y (-4, -2), el cuadrilátero que se formaes un

A) trapecio.B) romboide.C) rectángulo.D) rombo.E) romboide.

5. Se unen los puntos A (2,1), B (5,k) y C (5,7) mediante trazos. Entonces, ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si k = 1, se forma un triángulo rectángulo.II) Si k = -5, se forma un triángulo isósceles.

III) Si k = 5, se forma un triángulo acutángulo.

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

3

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1)y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento ABson

EJEMPLOS

1. La distancia entre los puntos A(-2, 4) y B(-5, 1) es

A) 2

B) 2 2

C) 3 2

D) 4 2E) 18

2. Las coordenadas del punto medio de un segmento AB, en donde A(2, 3) y B(8, 5), son

A) (10, 8)B) (5, 4)C) (-5, -4)D) (-5, 4)E) (5, -4)

xm = 1 2x + x2

, ym = 1 2y + y2

dAB = 2 22 1 2 1(x x ) + (y y )

0 x1 x2

y1

y2

A

B

y

x

x2 x1

y2 y1

0 x1 x2

y1

y2

A

B

y

x

ym

xm

M

4

PENDIENTE DE UNA RECTA

Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x,en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)

RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA

Sea el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:

Si = 0º, entonces m = 0 Si 0º 90º, entonces m 0

Si = 90º, entonces m no está definida Si 90º 180º, entonces m 0

EJEMPLOS

1. La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(-1, -2) y B(5, 2) es

A) -1

B) -23

C) 0D) 1

E)23

m = tg = BP

AP= 2 1

2 1

y yx x

y

x0

L

L tiene pendiente positiva

y

x0

L

No existe pendiente. L es paralela al eje y

y

x0

L

L tiene pendiente negativa

y

x0

L tiene pendiente nula. L es paralela al eje x

L

y2

y1A

B

P

x1 x2

L

x

y

y2 – y1

x2 – x1

5

2. ¿Cuál de los siguientes gráficos muestra una recta de pendiente negativa?

A) B) C) D) E)

3. ¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente igual a32

?

A) B) C) D) E)

4. ¿Qué condición debe cumplir x para que los puntos A(-3, 1), B(x, 2) y C(-3, -1) sean losvértices de un triángulo?

A) x = 3B) x 3C) x = -3D) x -3E) x = 0

5. Dados los puntos A(2, 5), B(-1, -4), C(3, -1) y D(k, -3), ¿cuál debe ser el valor de k

para que las pendientes de AB y CD sean iguales?

A) -73

B) -53

C)53

D)73

E) Ninguno de los valores anteriores

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

2

-3x

y

2

3

x

y

-2

3x

y

2

3x

y

-2

3

6

ECUACIÓN DE LA RECTA

La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y tiene pendiente igual m es

Su forma general está dada por

y su forma principal por

y = -AB

x –CB

o bien

donde m es la pendiente y n el coeficiente de posición de la recta.

Su forma canónica está dada por la medida de los segmentos que la recta intercepta concada eje, con su signo correspondiente:

y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)

EJEMPLOS

1. ¿Cuáles son, respectivamente, los valores de la pendiente y del coeficiente de posiciónde la recta 2y = 3x – 8?

A) 3 y -8

B)32

y -8

C)32

x y -4

D)32

y 4

E)32

y -4

Ax + By + C = 0

y = mx + n

y – y1 = m(x – x1)

xa

+ yb

= 1

a

b

0

y

x

fig. 1L

7

2. ¿Cuáles son, respectivamente, los valores de la pendiente y del coeficiente de posiciónde la recta x – y + 7 = 0?

A) -1 y 7B) 1 y -7C) -1 y -7D) 1 y 7E) 0 y 7

3. ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa la recta de ecuación 3y – 5x – 1 = 0?

A) (-1, 2)B) (1, 2)C) (1, -2)D) (2, 1)E) (-2, -1)

4. La ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, 4) y tiene pendiente 2 es

A) x – 2y + 6 = 0B) 2x + y – 6 = 0C) 2x – y – 6 = 0D) 2x – y + 6 = 0E) 2x + y + 6 = 0

5. En la figura 2, la ecuación de la recta L es

A)x y

+4 7

= 1

B)x y

+4 7

= -1

C)x y

+7 4

= 1

D)x y

+4 7

= -1

E) 7x + 4y = 1

6. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 6) es

A) 2x – y – 1 = 0B) x – 2y = 0C) x – 2y - 1 = 0D) 2x + y = 0E) 2x – y = 0

7

4

0

y

x

fig. 2L

8

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.

Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2, respectivamente (fig. 1). Entonces:

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2, respectivamente (fig. 2). Entonces:

EJEMPLOS

1. ¿Para qué valor de a las rectas cuyas ecuaciones son 3x + y – 15 = 0 y 4x + ay + 1 = 0son perpendiculares entre sí?

A) -12

B) -113

C) -3

D)113

E) 12

2. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta2y – 5x – 1 = 0?

A) 5x – 2y – 16 = 0B) 5x + 2y – 16 = 0C) 5x – 2y + 16 = 0D) 2x – 5y – 16 = 0E) 2x – 5y + 16 = 0

L1 L2 si y sólo si m1 = m2

L1 L2 si y sólo si m1 · m2 = -1L1

L2

0 x

y

fig. 2

L1

L2

0

x

y

fig. 1

9

EJERCICIOS

1. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación 5x – 2y + 3 = 0?

A) (1, -4)B) (4, 1)C) (1, 4)D) (-1, -4)E) (3, 6)

2. La pendiente de la recta L de la figura 1 es

A) 3B) 1

C)13

D) -13

E) -3

3. Con respecto a las rectas L1, L2 y L3 de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La pendiente de L1 no existe.II) La pendiente de L2 es positiva.

III) La pendiente de L3 es negativa.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) Ninguna de ellas

4. La recta y =32

x – 3 intersecta al eje x en el punto

A) (0, -3)B) (0, 2)C) (-3, 0)D) (2, 0)E) (2, 3)

0

L1

L2

L3

x

y

fig. 2

3

1

y

x

fig. 1

L

10

5. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (-4, 4) y (8, 10) es

A) x + y + 12 = 0B) x – y + 12 = 0C) x – y – 12 = 0D) x + 2y + 12 = 0E) x – 2y + 12 = 0

6. El gráfico que mejor representa a la recta de ecuación y =32

x – 3 es

A) B) C)

D) E)

7. Si la pendiente de una recta es -32

y su coeficiente de posición es -25

, su ecuación

general es

A) 15x – 10y + 4 = 0B) 15x – 10y – 4 = 0C) 15x + 10y – 4 = 0D) 15x + 10y + 4 = 0E) ninguna de las ecuaciones anteriores.

8. La ecuación de la recta que pasa por el punto A(-5, 3) y es paralela al eje x es

A) x = -5B) y = -5C) y = 3D) 3x – 5y = 0E) -5x + 3y = 0

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

11

9. La ecuación de la recta que pasa por el punto P(-2, -6) y es perpendicular a la rectay = 7 es

A) x = -6B) x = -2C) x = 7D) y = 7E) y = -6

10. En la figura 3, la ecuación de la recta L es

A)x y

+3 5

= 1

B) -x y

+3 5

= -1

C)x y5 3

= 1

D) -x y

+3 5

= 1

E)x y

+5 3

= 1

11. Con respecto a las rectas de ecuaciones 2x + 3y – 5 = 0 y 4x + 5y – 1 = 0, ¿cuál(es)de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Las rectas son paralelas.II) Las rectas son perpendiculares.

III) Ambas rectas tienen pendientes negativas.

A) Sólo IIIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) Ninguna de ellas

12. Si las rectas de ecuaciones 2x + (k – 2)y – 5 = 0 y 4x + ky – 1 = 0 son paralelas,entonces el valor de k es

A) -4B) -2C) 2D) 4E) 6

-3

5

0

y

x

fig. 3

L

12

13. Si los vértices de un triángulo son los puntos (1, 2), (1, 10) y (4, 6), su perímetro es

A) 18B) 22C) 10 + 2 34

D) 12 + 2 34

E) 10 + 2 41

14. Si los vértices de un rombo son los puntos (-1, 2), (4, 4), (-1, 6) y (-6, 4), entonces elpunto de intersección de sus diagonales tiene por coordenadas

A) (0, 4)

B)1

- , 42

C) (-1, 4)D) (-1, 3)E) (1, 3)

15. ¿Qué valor debe tener k para que las rectas 2x + ky = 0 y 3x – 5y = 6 seanperpendiculares?

A) -103

B) -65

C)65

D)54

E)103

16. La recta que pasa por los puntos A y B de la figura 4, tiene pendiente m = 1.¿Cuál es la ordenada de B?

A) 0B) 3C) 5D) 8E) Faltan datos

y

B

A

5

8

x

fig. 4

13

17. El área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta de ecuación6x + 4y = 12 es

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

18. Si las rectas de ecuaciones x = 2, x + 2y – 12 = 0 e y = x determinan un triángulo,¿cuál es el área de dicho triángulo?

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

19. Con respecto a la figura 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) La pendiente del lado DC es12

.

II) ABCD es un rombo.III) El perímetro de ABCD es 4 5 .

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

20. En una panadería la relación entre el costo de fabricación del pan y su precio de venta eslineal. El costo de un kilogramo de pan blanco es de $ 320 y se vende en $ 600; unkilogramo de pan dulce tiene un costo de $ 680 y se vende en $ 1.050. Si el costo de unkilogramo de pan negro es de $ 340, ¿cuál es su precio de venta?

A) $ 637,5B) $ 625C) $ 620D) $ 616E) $ 525

-1A

1

B2

C

D1

2

3 x

y

fig. 5

14

21. En un preuniversitario se ha detectado que la matricula de alumnos va decreciendolinealmente, tal como se muestra en la figura 6. Si la matrícula decrece a razón de 100alumnos por semana, ¿a las cuántas semanas ya no habrán alumnos que se matriculen?

A) 8B) 12C) 15D) 18E) 20

22. Se puede determinar la ecuación de una recta L si :

(1) La recta L tiene pendiente igual a 1.

(2) El ángulo formado por la recta L y el eje x es 45º.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

23. Se puede determinar la pendiente de una recta si se conoce(n) :

(1) Las coordenadas donde la recta corta a los ejes ortogonales.

(2) La distancia entre dos puntos de ella.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

24. Se puede determinar la ecuación de la recta L si :

(1) L es perpendicular a la recta 2x – y + 5 = 0.

(2) L pasa por el punto (-1, 3).

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

Semanas

Nº de alumnos

1500 fig. 6

15

25. Se puede calcular el área del triángulo OAB (fig. 7) formado por la recta L y los ejescoordenados, si se conoce(n):

(1) El perímetro del triángulo OAB.

(2) Las coordenadas de los puntos A y B.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 9

DMDOMT-07

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L

y

A xO

fig. 7B

1. C 6. A 11. A 16. B 21. C

2. E 7. D 12. D 17. B 22. E

3. B 8. C 13. A 18. C 23. A

4. D 9. B 14. C 19. E 24. C

5. E 10. D 15. C 20. B 25. B

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6

1 y 2 B C D A C

3 C B

4 y 5 E E C D D

6 y 7 E D B D C E

8 A A