PDV: Matemáticas Guía N°1 [3° Medio] (2012)

UNIDAD: CONJUNTOS NUMÉRICOSNÚMEROS NATURALES y ENTEROS

NÚMEROS NATURALES

Los elementos del conjunto N = {1,2,3,4,5,7,…} se denominan “números naturales”.

NÚMEROS ENTEROS

Los elementos del conjunto = {…, -3,-2,-1,0,1,2,…} se denominan “números enteros”.

OPERATORIA EN

ADICIÓN

Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando elsigno común.

Al sumar dos números de distintos signos, al de mayor valor absoluto se le resta el demenor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor en valor absoluto.

OBSERVACIÓN: El valor absoluto de un número es el valor numérico cuando se omite el signo.El valor absoluto de +5 o de -5 es 5.

MULTIPLICACIÓN

Si se multiplican dos números de igual signo el resultado es siempre positivo. Si se multiplican dos números de distintos signo el resultado siempre es negativo.

OBSERVACION: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación.

EJEMPLOS

1. Al calcular -32 – 2 · -32 se obtiene

A) -56B) -9C) 16D) 99E) 9

2. Al calcular 27 · 15 – 26 · 15 se obtiene

A) 1B) 15C) 379D) 390E) 795

Curso: Matemática 3º Medio

Material Nº MT-01

2

3. Si a = -2 ; b = 3 y c = -1, entonces ¿en cuál de las siguientes opciones el resultadoes 1?

A) a + b – cB) a . c – bC) b . c – aD) b – a . cE) b + a . c

4. Al calcular 18 : 9 · -22 + (-1)0 se obtiene

A) 9B) 7C) 6D) 6E) -7

5. Si u = 3, t = 2 y n = -2, entonces ut2 : n – n3 : t =

A) -12B) -8C) -2D) 2E) 8

6. Si a y b , a < b y b = -1, entonces ¿cuál(es) de los siguientes números es (son)

siempre positivo(s)?

I) a + bII) b – a

III) ab

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y III

3

Definición: sea n un número entero, entonces:

El sucesor de n es (n + 1).

El antecesor de n es (n – 1).

El entero 2n es siempre par.

El entero (2n – 1) es siempre impar.

El entero (2n + 1) es siempre impar.

Son pares consecutivos 2n y 2n + 2.

Son impares consecutivos 2n + 1 y 2n + 3.

El cuadrado perfecto de n es n2.

OBSERVACIÓN: Son cuadrados perfectos los enteros:1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,…

EJEMPLOS

1. El inverso aditivo del antecesor de n es

A) n – 1B) 1 – nC) 1 + nD) -1 – n

E)1

n 1

2. Si t = 4a + 7, ¿cuál es el antecesor de -t?

A) -5a – 7B) -5a – 8C) -4a – 8D) -4a – 6E) -4a + 6

3. Si tres números impares consecutivos suman 453, entonces el número central es

A) 75B) 149C) 151D) 153E) 155

4

4. Si p es un entero impar, entonces el promedio de dos impares consecutivos que estána continuación de él es

A) 2p + 3B) p + 3C) p + 2D) p – 2E) p – 3

5. Si m es un número entero impar, el número impar antecesor de 3m + 6 es

A) 3m – 2B) 3mC) m + 2D) 3m + 3E) 3m + 4

6. Si n es un número impar, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son)número(s) impar(es)?

I) n + 1II) 2n – 1

III) 3n + 1

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) Solo I, II y III

7. Si n es un número natural, entonces n un número par si :

(1) n2 + n, es par.

(2) n + 3n, es par.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1 ó (2)E) Se requiere información adicional

5

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES

Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:

Resolver los paréntesis.

Realizar las potencias.

Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.

Realizar adiciones y/o sustracciones.

EJEMPLOS

1. 5 – {-22 – [16 : (33 – 52 )]} =

A) -7B) -3C) -1D) 1E) 17

2. Si t = -2 y s = t3 – 2, entonces el valor det s

t

es

A) -6B) -4C) -2D) 4E) 6

3. (-23)2 – (-22)3 – 32 + 8 : 2 · 2 =

A) -1B) 1C) -11D) 121E) 127

6

4. 2[3 – {5 – 2(7 – 10) – 1} + 5] =

A) 36B) 21C) 18D) 0E) -4

5. -10 + 2{-7 – 4[11 – (-20) – 18]} + 3 =

A) -72B) -13C) -93D) -125E) 93

6. 9{5 – [6 – (-1)]} : 3[1 – 3 – (-3 + 7)] =

A) -36B) -18C) 0D) 18E) 36

7. Al calcular [(-2) – (-1)2]3 se obtiene

A) 0B) 1C) -1D) 27E) -27

7

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

En la expresión a = b · c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c o bien b y cson divisores o factores de a.

ALGUNAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Un número entero es divisible:

POR CUANDO2 Termina en cifra par.3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres.4 Las dos últimas cifras sean ceros o múltiplos de 4.6 Es divisible por dos y por tres a la vez.8 Las tres últimas cifras sean ceros o múltiplo de 8.9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.

EJEMPLOS

1. Al sumar el primer y el sexto término de la serie de números naturales: a, 9, 28, 65, 126, b, …,se obtiene un número divisible por:

I) 3II) 7

III) 21

Es (son) verdadera(s)

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

2. Si u – 3 es múltiplo de 5, ¿cuál de las siguientes expresiones representa un múltiplo de 5?

A) u – 5B) u – 2C) uD) u + 2E) u + 5

3. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) divisor(es) de 24 · 33 + 25 · 3?

I) 8II) 33

III) 44

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

8

4. El menor número por el que hay que hay que multiplicar 23 · 32 · 5, para que seconvierta en un cuadrado perfecto es

A) 2B) 5C) 6D) 10E) 12

5. Si n es múltiplo de 5 (positivo) y m = n2 – n, entonces ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) m es múltiplo de 5.II) m es divisible por 4.

III) m es el producto de dos enteros consecutivos.


A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) I, II y III

6. Se tienen dos números y de dos dígitos cada uno, es divisible

por 2 y por es divisible por 3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) x · y puede ser impar.II) x : y puede ser un número entero.

III) x – y puede ser cero.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo II y III

7. La expresión 3n – 9 es divisible por 6 si :

(1) n es un número primo.

(2) n es impar.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1 ó (2)E) Se requiere información adicional

6 x 7 y

7 y

6 x

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NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen solo dos divisores distintos.Los primeros números primos son: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,…

Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no sonprimos. Los primeros números compuestos son: 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,…

TEOREMA FUNDAMENTAL

Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factoresde números primos.

EJEMPLOS

1. Si p es primo y q lN, entonces es siempre verdadero

I) p · q es par.II) p · q es impar.

III) p + q es impar.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) Ninguna de ellas

2. Al expresar 360 en factores primos, se obtiene

A) 2 · 32 · 5 · 4B) 22 · 3 · 5 · 6C) 36 · 2 · 5D) 23 · 32 · 5E) 23 · 9 . 5

3. 23 . 5 . 7 y 2 . 52 . 3 . 7 son múltiplos de

I) 24 · 5II) 2 · 5 · 7

III) 5 · 3


A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

10

4. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor número primo de dos cifras, y el menor númeroprimo de dos cifras?

A) 82B) 83C) 86D) 88E) 89

5. Si a = -4, b = 2, entonces 3a : b – [-a – 2(b – a)], el resultado es un número

I) par.II) compuesto.

III) primo.


A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y III

6. Si se suman cinco impares, el resultado es siempre

A) primo.B) impar.C) par.D) un múltiplo de 5.E) un múltiplo de 6.

7. Al descomponer M en factores primos resulta 52 . 33 . 2, entonces se puede afirmarque:

I) M es divisible por 5 . 32

II) M es un cuadrado perfecto si se multiplica por 6.III) M es divisible por 18.


A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

11

-3 = 3 3 = 3

VALOR ABSOLUTO

Es la distancia que existe entre un número y el 0.

DEFINICIÓN:

EJEMPLOS

1. Si p = -3, entonces

2 p 7 p 4

2 p

es igual a

A) -1B) -2C) -3D) 1E) 2

2. El valor de -2 · |-5 – 1| – |-3| es

A) 15B) 9C) -6D) -9E) -15

3. El valor de -3 – 32 – -4 – -1 es

A) 12B) 9C) 7D) 6E) 4

|n| =

n, si n 0 -n, si n < 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

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4. Si a y b son dos números enteros tales que a < b, entonces la expresión2a – b – 3 |b – a| es equivale a

A) a – bB) b – aC) 2a + bD) 5a + 5bE) 5a – 5b

5. Si a + 1 = b, entonces |a – b| + |b – a| es

A) -2B) -1C) 0D) 1E) 2

6. Si x = -6, entonces el valor de x2 – x es

A) -42B) -30C) 0D) 30E) 42

7. Si a –, b lN, tal que a = b, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) falsa(s)?

I) a es el inverso aditivo de b.II) a · b = 1

III) a · b < 0

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y III

13

EJERCICIOS

1. 3 – {2 – [1 – 12 : 4 · 3] – 32} =

A) -16B) 2C) 4D) 10E) 18

2. a es el antecesor de b y c es el sucesor de b. Si b + c = -1, entonces a · b es

A) 0B) -1C) 1D) 2E) -2

3. (23)2 : 24 – (22 – 1)0 =

A) 0B) 1C) 2D) 3E) 9

4.

3

2

-3 -2 + 9 4

-2 1 4

=

A) -1B) -2C) -3D) 3E) 1

14

5. Si a = 1, b = -2 y c = 3, entonces el valor de la expresión a – [b – c – (a + b)] es

A) 7B) 5C) 3D) -3E) -5

6. Si 999 = a3 · b, donde a y b son números primos, entonces b – a

A) 40B) 37C) 34D) 28E) 10

7. Si p y q son enteros consecutivos tales que q < p. Entonces q + pq p

es

A) -1B) 1 – 2qC) 2q – 1

D) 2q + 12q

E) -(2q + 1)

8. Si 2x · 3y · 5z = 360, con x, y, z , entonces x + y + z =

A) 6B) 5C) 4D) 3E) 2

15

9. Dos números enteros a y b son tales que a – b > a + b. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) a es un número positivo.II) b es un número negativo.

III) a es el neutro aditivo.



10. Si a = 2 y b = 5, entonces el valor de

2 2a b

a b

es

A) 7B) 3C) 1D) -3E) -7

11. El número 720 – 719 es divisible por

I) 7II) 2

III) 3

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

16

12. Un número a al dividirlo por siete, se obtiene resto 3, y un número b al dividirlo porsiete, se obtiene resto 5. ¿Qué resto resulta al dividir (a + b) por siete?

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 6

13. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es (son) verdadera(s) respecto al enunciado: “el

producto entre el sucesor de a y el antecesor de b es igual al producto de a y b”?

I) El sucesor de b es a.II) El sucesor de a es b.

III) El antecesor de b es a.



14. Si t es un entero impar, ¿cuál de las siguientes expresiones es un entero par?

A) 2t + 1B) t(t + 2)C) (t + 2) (t – 2)D) 2(t + 1)E) t + (t + 1)

15. El doble del sucesor de un número n es igual a lo que le falta al triple del número paraobtener 17, entonces el número es

A) 16B) 6C) 3D) 4E) 8

17

16. Si r, s y t son tres números naturales tales que r es el antecesor par de s, s + 4corresponde al sucesor de t y el sucesor de s es 5. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 2s = t + 1II) r + s = 6

III) (s + t) es un número primo.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

17. En una fiesta se dispone de a globos para repartir entre b niños. Si sobraron c globos,entonces el número de globos que recibió cada niño es

A)ab

+ c

B)ab

C)a c

b

D)b

a b

E)ba

+ c

18. La suma de dos números pares positivos consecutivos es cuatro veces el menor,menos 6. ¿Cuál es el producto de estos números?

A) -8B) 0C) 8D) 12E) 24

18

19. Si a y b son enteros positivos, la expresión2a + b

arepresenta un número entero si :

(1) a2 + b es un número entero.

(2)ba

representa un número entero.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

20. Se puede determinar el valor de x, si :

(1) x = 7

(2) Cuando x es dividido por un número negativo, el resultado es negativo.


21. Sean a, b y c números naturales. Se puede determinar el orden de ellos si :

(1) b no es el menor.

(2) 0 < a – b < a – c


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RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 13

DMDOMT-01

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EjemploPágs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 E B D E C E

3 y 4 B C C B E B E

5 y 6 E B E E D E E

7 y 8 A D E D D E B

9 y 10 E D B C E B E

11 y 12 A E C A E D B

1. B 7. E 13. E 19. B

2. D 8. A 14. D 20. C

3. D 9. B 15. C 21. B

4. E 10. E 16. E ----

5. B 11. E 17. C ----

6. C 12. A 18. E ----

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