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1 Anlisis Matemtico II | Unidad II. INTEGRAL DEFINIDA - Prof. Guillermo Moreno

Anlisis Matemtico II | Unidad II. INTEGRAL DEFINIDA - Prof. Guillermo Moreno 1

ANLISIS MATEMTICO II UNIDAD II

INTEGRAL DEFINIDA

Realizado por: Prof. Guillermo Moreno

Febrero 2013



Contenido

UNIDAD II. Integral definida. Programa............................................................................................................... 4

Tema 1 ................................................................................................................................................................. 4

Tema 2 ................................................................................................................................................................. 4

Tema 3 ................................................................................................................................................................. 4

Tema 4. Aplicaciones de la integral definida ...................................................................................................... 4

1. Integral definida. Introduccin ............................................................................................................................ 5

2. Definicin de notacin sigma .............................................................................................................................. 5

2.1. Propiedades notacin sigma ......................................................................................................................... 5

2.2. Algunas frmulas para recordar ................................................................................................................... 7

3. Particiones ........................................................................................................................................................... 9

3.1. Definicin ..................................................................................................................................................... 9

3.2. Longitud ..................................................................................................................................................... 10

3.3. Dimetro o norma ....................................................................................................................................... 10

3.4. Particiones regulares e irregulares .............................................................................................................. 10

3.5. Afino de una particin ................................................................................................................................ 11

4. Consideraciones sobre el clculo de rea .......................................................................................................... 11

5. Calculo del rea de una regin plana ................................................................................................................. 12

5.1. Suma Inferior .............................................................................................................................................. 12

5.2. Suma Superior ............................................................................................................................................ 13

5.3. Suma de Riemann ....................................................................................................................................... 15

5.4. Mejora en la estimacin del clculo del rea .............................................................................................. 22 6. Definicin Integral de Riemann ..................................................................................................................... 24

6.1. Teorema de integrabilidad .......................................................................................................................... 24

6.2. Integral inferior y superior ......................................................................................................................... 25

6.3. Propiedades de la integral definida............................................................................................................. 26

7. Teorema fundamental del clculo ..................................................................................................................... 31

7.1. Primer teorema fundamental del clculo .................................................................................................... 31

7.2. Segundo teorema fundamental del clculo ................................................................................................. 35

8. Teorema del valor medio para integrales .......................................................................................................... 36

9. Regla de sustitucin para integrales definidas ................................................................................................... 38

10. Integracin por partes de forma definida......................................................................................................... 41

11. Integrales impropias ........................................................................................................................................ 41



12. Integracin numrica aproximada ................................................................................................................... 48

12.1. Regla del trapecio ..................................................................................................................................... 48

12.2. Regla de Simpson ..................................................................................................................................... 49

12.3. Estimacin del error al usar Simpson y Trapecio ..................................................................................... 50



UNIDAD II. Integral definida. Programa

Tema 1

1. Introduccin. Particiones de un intervalo , . Definicin de: Longitud, subintervalo del intervalo , . Dimetro de una particin del intervalo , . 2. Sumas superior, inferior y de Riemann de una funcin sobre una particin de , . Definicin de: Integral superior, inferior, de Riemann. 3. La integral definida como lmite de suma. 4. Funcin Integrable. 5. Integrabilidad de funciones continuas y de funciones montonas. 6. Propiedades de la integral definida. 7. Teorema del valor medio para integrales. 8. Teorema fundamental del clculo.

Tema 2

1. Integracin numrica aproximada: Regla del Trapecios y Regla de Simpson.

Tema 3

1. Integrales impropias.

Tema 4. Aplicaciones de la integral definida

1. Clculo de reas planas. Coordenadas cartesianas. Coordenadas polares. 2. Fuerza sobre superficies planas sumergidas en un lquido 3. Clculo de volmenes de slido de revolucin. Mtodo del disco. Mtodo de las capas cilndricas. 4. Clculo de longitud de una curva en coordenadas cartesianas. 5. Clculo de rea de superficie de slidos de revolucin. 6. Calculo de volmenes de secciones transversales conocidas. 7. Clculo de trabajo mecnico para vaciado y llenado de depsitos con secciones transversales conocidas.



1. Integral definida. Introduccin

El estudio de la integral definida basa su definicin geomtrica en el rea de una regin en un plano, estando dicha regin limitada por una curva.

El rea de una regin "" se puede obtener como la suma de muchas reas individuales, de modo que se introduce una notacin, llamada notacin SIGMA, para facilitar la escritura de estas sumas.

Smbolo: (sigma mayscula del alfabeto griego)

Ejemplo

= = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 3 + 2 = 32 + 2 + 31 + 2 + 30 + 2 + 31 + 2 + 32 + 2

2. Definicin de notacin sigma

= + + 1 + + 2 + + ! 1 + ! , ! % ! = Lmite inferior de la suma ! = Lmite superior de la suma = ndice de la suma 2.1. Propiedades notacin sigma

1 ' = !' ' () *+!),!,(

Nota: La propiedad anterior slo es vlida si el ndice inferior de la suma es 1. De no ser 1, debemos reindexar para obligar a que la serie comience en 1. Entonces: '- = '--- = '-. = ! + 1'

2 ' = '



3 0 23 =

2

4 4- = *

4.5-.5 = + *

45-5 (!6(78

5 0 134- = 1

Nota: Ms adelante, cuando trabajemos con la serie telescpica, hablaremos de la propiedad (5).

Demostracin propiedad 5:

0 134- = 4

- 14

- = 4

- 4

- 0 134- =

4- + 9 1 +

4- : =

4- + 1

4-

0 134- = 1

Ejemplo

Sobre las propiedades:

5 = 5! ;

+ 1 +

?

Nota: Ejemplo (c). Podemos verificar que la expansin de ambas sumas es la misma, en esencia ambas sumas son iguales.

6 + 1= = 0 2 + 13=.

. = 1

> ( 0 13 = @( (A

= ! 1 = ( (



2.2. Algunas frmulas para recordar

1. = !! + 12 2.

= !! + 12! + 16 3. ?

= !! + 14

4. D = !! + 12! + 13! + 3! 130

Nota: Estas frmulas sern ampliamente utilizadas cuando veamos la Integral Definida de Riemann.

Demostracin frmula 1: = .

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + ! 3 + ! 2 + ! 1 + ! = ! + ! 1 + ! 2 + ! 3 + + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 Ahora sumando ambas ecuaciones:

2 = ! + 1 + ! + 1 + ! + 1 + ! + 1 + + ! + 1 + ! + 1 + ! + 1 2 = !! + 1

= !! + 12

Ejemplo

Calcular las siguientes sumatorias:

5 + 3?EE = 5 D + 6 + 9?EE = 5 D

?EE + 30

?EE + 45

?EE = 2450566364950

Nota: Ejemplo (a). Se aplican las frmulas de la seccin 2.2. y se resuelve.

; 12 9 2 7

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