PDF Material En Erresistentzia

197

Transcript of PDF Material En Erresistentzia

Page 1: PDF Material En Erresistentzia
Page 2: PDF Material En Erresistentzia

Proiektuaren bultzatzaileak

Laguntzaileak

Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA

Page 3: PDF Material En Erresistentzia

Egilea(k):

IMH Makina Erramintaren institutua. ELGOIBAR

Itzultzailea(k): Eli Asurmendi

Zuzenketak: ELHUYAR Hizkuntz zerbitzuak

Maketa: Ranjana Priya

Azalaren diseinua: Naiara Beasain

2003an itzulia eta prestatua

MAKINA ERREMINTAREN INSTITUTUA

INSTITUTO DE MAQUINA HERRAMIENTA

Page 4: PDF Material En Erresistentzia

Materialen erresistentzia

LANBIDE EKIMENA I

Aurkibidea

11.. SSAARRRREERRAA.......................................................................................................................................................................................................................................................................................... 11

11..11.. MMaatteerriiaalleenn eerrrreessiitteennttzziiaarreenn hheellbbuurruuaakk ................................................................................................................................................................................ 22

11..22.. MMaatteerriiaalleenn eerrrreessiisstteennttzziiaarreenn hhiippootteessiiaa................................................................................................................................................................................ 33

11..33.. OOrreekkaarreenn pprriinnttzziioo oorrookkoorrrraa.................................................................................................................................................................................................................... 55

11..44.. EEbbaakkeettaarreenn pprriinnttzziippiiooaa ................................................................................................................................................................................................................................ 55

11..55.. TTeennttssiioo--kkoonnttzzeeppttuuaa .......................................................................................................................................................................................................................................... 66

11..66.. HHaabbee--kkoonnttzzeeppttuuaa ................................................................................................................................................................................................................................................ 77

11..77.. EEsskkaaeerraakk .......................................................................................................................................................................................................................................................................... 88

11..88.. EEuusskkaarrrriiaakk,, lloottuurraa--eerrrreeaakkzziiooaakk........................................................................................................................................................................................................ 99

11..99.. SSiisstteemmaa iissoossttaattiikkooaakk eettaa hhiippeerreessttaattiikkooaakk .................................................................................................................................................................. 1100

11..1100.. MMaatteerriiaalleenn eerrrreessiisstteennttzziiaa--aarraazzooaakk aazztteerrttzzeekkoo pprroozzeessuu oorrookkoorrrraa ............................................................................................ 1133

22.. MMAATTEERRIIAALLEENN PPRROOPPIIEETTAATTEE MMEEKKAANNIIKKOOAAKK ........................................................................................................................................................................ 1177

22..11.. EEllaassttiikkoottaassuunnaa .................................................................................................................................................................................................................................................... 1177

HHaaiinnbbaatt jjookkaaeerraa eellaassttiikkoo .................................................................................................................................................................................................. 1177

22..22.. PPllaassttiikkoottaassuunnaa .................................................................................................................................................................................................................................................... 1188

HHaaiinnbbaatt jjookkaaeerraa eellaassttiikkoo .................................................................................................................................................................................................. 1188

22..33.. HHOOOOKKEE--rreenn lleeggeeaa.......................................................................................................................................................................................................................................... 2200

22..44.. TTrraakkzziioo--ssaaiiaakkuunnttzzaa........................................................................................................................................................................................................................................ 2200

MMaatteerriiaall hhaarriikkoorrrraakk .................................................................................................................................................................................................................... 2233

22..55.. LLaanneekkoo eessffoorrttzzuu oonnaarrggaarrrriiaa sseegguurrttaassuunn--ffaakkttoorreeaa .................................................................................................................................. 2244

MMaatteerriiaall hhaauusskkoorrrraakk ................................................................................................................................................................................................................ 2244

22..66.. EEssffoorrttzzuu eettaa ddeeffoorrmmaazziioo ssiinnpplleeaakk .......................................................................................................................................................................................... 2255

TTrraakkzziiooaa –– kkoonnpprreessiiooaa ........................................................................................................................................................................................................ 2255

AAllbbookkoo kkoonnttrraakkzziiooaa.. PPooiissssoonn--eenn mmoodduulluuaa ............................................................................................................................................ 2266

TTrraakkzziiooaa eeddoo kkoonnpprreessiiooaa jjaassaatteenn dduueenn bbaarrrraann nneeuurrrrii-- eettaa bboolluummeenn--aallddaakkeettaakk............................ 2277

KKoonnttuuaann hhaarrttzzeekkoo mmoodduukkoo ppiissuuaa dduutteenn ppiieezzaakk ............................................................................................................................ 3300

EEbbaakkiidduurraa aallddaakkoorrrreekkoo ppiieezzeenn aauurrrreekkoo eemmaaiittzzeenn hheeddaakkuunnttzzaa.. EErrrreessiisstteennttzziiaa bbeerreekkoo

ppiieezzaakk .......................................................................................................................................................................................................................................................... 3311

AAllddaakkeettaa tteerrmmiikkooeekk eerraaggiinnddaakkoo eessffoorrttzzuuaakk ........................................................................................................................................ 3333

EEssttaattiikkookkii zzeehhaazzttuu ggaabbeekkoo aarraazzooaakk.. HHiippeerreessttaattiikkooaakk .......................................................................................................... 3333

AAuurrrreeaatteezzaattuuttaakkoo ppiieezzaakk.................................................................................................................................................................................................. 4422

TTrraakkzziioo // kkoonnpprreessiiooaann ddeeffoorrmmaazziioo--eenneerrggiiaa .......................................................................................................................................... 4433

EEssffoorrttzzuueenn bbaannaakkeettaa eettaa aarrddaattzz--ddeeffoorrmmaazziiooaa ................................................................................................................................ 4455

TTrraakkzziioo // kkoonnpprreessiiooaann eessffoorrttzzuu--kkoonnttzzeennttrraazziiooaa.............................................................................................................................. 4477

Page 5: PDF Material En Erresistentzia

Materialen erresistentzia

LANBIDE EKIMENA

II

33.. EEBBAAKKIIDDUURRAA .............................................................................................................................................................................................................................................................................. 5511

33..11.. EErrrreemmaattxxaattuuttaakkoo eettaa ssoollddaattuuttaakkoo lloottuurraakk .................................................................................................................................................................... 5511

EEbbaakkeettaarreenn ooiinnaarrrriizzkkoo tteeoorriiaa...................................................................................................................................................................................... 5511

EEbbaakkeettaa hhuuttssaa jjaassaann dduutteenn eebbaakkiidduurreettaann ssoorrttuuttaakkoo ddeeffoorrmmaazziiooaakk ................................................................ 5533

EErrrreemmaattxxaattuuttaakkoo lloottuurreenn eettaa ttoorrlloojjaattuuttaakkoo lloottuurreenn kkaallkkuulluuaa ........................................................................................ 5544

SSoollddaattuuttaakkoo lloottuurraakk.................................................................................................................................................................................................................. 6677

44.. FFLLEEXXIIOOAA .......................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7755

44..11.. FFlleexxiiooaarreenn hhaassttaappeennaakk .......................................................................................................................................................................................................................... 7755

44..22.. IInnddaarr eebbaakkiittzzaaiilleeaa eettaa fflleexxiioo--mmoommeennttuuaa........................................................................................................................................................................ 7788

44..33.. EEbbaakkeettaa--eessffoorrttzzuuaarreenn,, fflleexxiioo--mmoommeennttuuaarreenn eettaa kkaarrggaarreenn aarrtteekkoo eerrllaazziiooaakk .......................................................... 8844

44..44.. FFlleexxiioo ppuurruuaarreenn hhaassttaappeennaakk .......................................................................................................................................................................................................... 8877

44..55.. FFlleexxiioo hhuuttssaa.. NNaavviieerr--eenn lleeggeeaa...................................................................................................................................................................................................... 8888

44..66.. FFlleexxiiooaa jjaassaatteenn dduueenn hhaabbeeaarreenn eebbaakkiidduurraa zzuuzzeennaarreenn ffoorrmmaarriikk eeggookkiieennaarreenn kkaallkkuulluuaa ............................ 112244

44..77.. EEssffoorrttzzuu--kkoonnttzzeennttrraazziiooaa fflleexxiiooaann ........................................................................................................................................................................................ 112299

55.. TTOORRTTSSIIOOAA................................................................................................................................................................................................................................................................................ 113311

55..11.. SSaarrrreerraa ........................................................................................................................................................................................................................................................................ 113311

55..22.. EEbbaakkiidduurraa zziirrkkuullaarrrreekkoo hhaabbeeeenn ttoorrttssiiooaa .................................................................................................................................................................... 113333

55..33.. AArrddaattzz zziirrkkuullaarr hhuuttsseenn ttoorrttssiiooaa ................................................................................................................................................................................................ 114433

55..44.. EEddoozzeeiinn eebbaakkiidduurraattaakkoo hhaabbeeeenn ttoorrttssiiooaa .................................................................................................................................................................. 115522

55..55.. EEbbaakkiidduurraa iirreekkiiaa eettaa hhoorrmmaa mmeehheeaa dduutteenn ttuuttuu--ffoorrmmaakkoo hhaabbeeeenn ttoorrttssiiooaa .............................................................. 115599

55..66.. HHoorrmmaa mmeehheekkoo ttuuttuu--ffoorrmmaakkoo hhaabbeeeenn ttoorrttssiiooaa.. BBrreeddtt .......................................................................................................................... 116611

55..77.. TTeennttssiioo--kkoonnttzzeennttrraazziiooaa ttoorrttssiiooaann ........................................................................................................................................................................................ 116699

55..88.. OOnnddoorriiooaakk .............................................................................................................................................................................................................................................................. 117766

66.. TTOORRTTSSIIOO EETTAA FFLLEEXXIIOO KKOONNBBIINNAATTUUEENN AARRDDAATTZZEENN KKAALLKKUULLUUAA.................................................................................................. 117777

66..11.. SSaarrrreerraa ........................................................................................................................................................................................................................................................................ 117777 » Trescaren irizpidea................................................................................................ 178

** AARRIIKKEETTAAKK ................................................................................................................................................................................................................................................................................ 117799

Page 6: PDF Material En Erresistentzia

LANBIDE EKIMENA

1

MMAATTEERRIIAALLEENN EERRRREESSIISSTTEENNTTZZIIAA

Solidoa

orekan

MEKANIKA

Luzapenak

Deformazioak

Solido

Zurruna

Solido deformagarria

Indarrak

Loturak

(euskarriak)

Solidoa

mugimenduan

ESTATIKA

DINAMIKA

Indarrak

Loturak

(euskarriak)

Barneko indarrak

MATERIALEN

ERRESISTENTZIA

11 SSAARRRREERRAA

Solido zurrunaren mekanikaren ikuspegitik, gorputz guztiak, indar handiak jasaten badituzte ere,

deformaezinak dira, indar horiek ezin baitituzte gorputzak suntsitu, ezta gorputzaren konfigurazioa aldatu ere.

Ikuspegi horri esker, gorputza mugimenduan ala orekan ote dagoen zehaztu ahal izango dugu.

Errealitatean kanpoko kargak aplikatzean egituren formetan aldaketak sortzen dira eta, batzuetan,

egitura horiek ezin izango dira gehiago erabili. Hortaz, jakineko indarrak jasaten dituzten eta jakineko

forma eta materialezko gorputzetan sortzen diren barne-desplazamendu eta indarrak konpontzean

datza arazoa.

Page 7: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

2

- Solido errealak - Deformazioa

- Haustura ( deformazio iraunkorra eta onartezina)

- Materialen erresistentzia - Deformazio Onargarriak

- Haustura mugara sekula iritsi gabe

Demagun indar ezagunak jasaten dituen jakineko forma eta materialeko puntua dugula. M.E.

delakoak zehaztuko ditu puntu horretan agertuko diren barne-indarrak eta puntuen desplazamenduak.

1.1 Materialen erresitentziaren helburuak

Materialen erresistentziari buruzko teoriak dira eraikuntzen orekaren eta makina-elementuen

kalkuluaren oinarria.

Helburua: eraikinaren elementuen forma eta neurri egokienak bilatzea elementu horrek jasan behar

dituen indarren eraginari aurre egin ahal izateko.

Demagun solido bat kanpo-indar batzuen eraginpean dagoela. Materialen erresistentziari esker,

honako hau zehaztu ahal izango dugu:

a) Indar horiek eraginda solidoaren barnean sortutako esfortzuak

b) Ondorioz gertatutako deformazioak

Praktikan, azterketa honek bi alderdi nagusi hartzen ditu kontuan:

a) Eragiten duten kanpo-indarrak ezagututa, barne-esfortzuek halako muga jakin batzuk gaindi ez

ditzaten gorputzak izan behar dituen neurriak zehaztu. neurriak zehazteko arazoa.

b) Gorputzaren neurriak eta kanpo-indarrak zehaztuta, barne-esfortzuak edo deformazioak zehaztu

eta aldez aurretik ezarritako muga baino handiagoak ez direla egiaztatu. egonkortasuna

egiaztatzeko arazoa.

Page 8: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 3

1.2 Materialen erresistentziaren hipotesia

Gorputz elastikoaren isotropia eta homogeneotasuna

Materiala isotropoa eta homogeneoa da ezaugarri jakin bat aztertzen denean noranzko aldatu eta

materialaren ezaugarriak aldatzen ez direnean.

ε = 0

δ

Materialaren atal guztiek konposizio eta ezaugarri fisiko berberak dituztenean esaten da materiala

homogeneoa dela.

Homogeneoak: metalak...

Heterogeneoak: hormigoia, zura...

Gorputz elastikoaren jarraitasuna

Partikulen artean ez dagoela ez hutsunerik ez eta zirrikitu-hutsunerik, esan nahi du jarraitasunak.

Piezaren benetako neurriak kristalen arteko distantziak, barruko hutsuneak, etab. baino askoz ere

handiagoak direlako gertatzen da hori.

Jarraitasuna kontuan hartzen badugu, materialaren molekula guztiek deformazioa xurgatzen

laguntzen dutela esango genuke.

Saint – Venant-en printzipioa

Kargek eragiten duten puntutik urruti dauden solidoaren puntuen barne-indarren balioak ez du

kargak aplikatzen den moduan eraginik izaten.

Page 9: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

4

Bernoulli-ren edo ebakidura lauen hipotesia

Deformazioa baino lehen habearen ardatzarekiko zut dauden ebakidura lauek deformazioa eta gero

ere lauak izaten jarraituko dute. flexioaren eta tortsioaren azterketa.

Efektuak gainjartzearen printzipioa

Indarrak aplikatzen diren ordenak ez dio gorputzaren amaierako egoerari eragiten. Indarren eta

deformazioen artean erlazio lineala dagoenean soilik aplikatu ahal izango dugu printzipio hori.

Indarrak Erreakzioak Ez dira aplikazio-ordenaren baitakoak

Deformazioak C = C1 + C2 + C3

Ra1 + Ra2 + Ra3 = Ra

Page 10: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 5

1.3 Orekaren printzio orokorra

Demagun gorputza geldirik dagoela. Parte hartzen duten indar guztiak behar ditugu:

Zuzenean eragiten duten kargak

Euskarrien – loturen – erreakzioak

Orekaren printzipio orokorra

Gorputzaren barne-esfortzuak eta deformazioak aztertzen ditugunean, gorputza kanpo-indarren

eraginpean (zuzenean aplikatutako kargak eta euskarrien erreakzioak barne) orekan dagoela esaten dugu.

Orekaren printzipio orokorrak mugitzen ari diren gorputzetan ere balio du inertzia-momentuak

kontuan hartzen baditugu.

indarrakinertziaamFamF →=⋅=→⋅=∑ ∑ 0

1.4 Ebaketaren printzipioa

Kanpo-indarren eraginpean orekan dauden solido guztietan honako baldintza hauek betetzen dira:

11.. Edozein ebaketa idealen bi aldeetan eragiten duten barne-indarrak berdinak dira (orekan

daude).

22.. Ebakitako gorputzaren atal bat kontuan hartzen badugu, atal horretan eragiten duten kontuan

hartu ez dugun ataleko barne-indarrek kontuan hartu dugun ataleko kanpo-indarren eragina

berdintzen dute.

Page 11: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

6

33.. Atal baten barne-indarrak atal horretako kanpo-indarren multzoaren baliokideak dira.

DIID FF →→

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

=+→=

=+→=

=+→=

=+→=

00

00

00

00

0

0

DFiPi

DIID

IFDPi

IDiI

MMM

FPF

MMM

FPF

1.5 Tentsio-kontzeptua

Hipotesia

Gorputz solidoak jarraituak dira

Demagun materiala homogeneoa eta isotropoa dela

σ Tentsio normala (ebakidurarekiko zuta) –

trakzioa edo konpresioa–

τ Tentsio tangentziala; ebakiduraren planoan

dago (ebaketa-tentsioa)

∆Ω∆= Fmt tentsioabestekobatez=mt

tFt =∆Ω∆= →∆Ω 0lim ⇒ muga konbergentea da

Page 12: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 7

1.6 Habe-kontzeptua

Edozein ibilbide duen edozein gainazalek sorturiko solidoa da habea.

Ebakiduraren grabitate-zentroak habeak izango duen ibilbidea jarraituko du.

L ardatza edo batez besteko zuntza Ebakidurak ezin du puntu berezirik izan.

Kanpo-indarrak txikiagotzeko elementuak habearen ebakidura zuzenean

Oreka Σ F = 0

Σ M = 0

G = Ebakiduraren grabitate-zentroa

X ardatza = ebakidurarekiko zuta; ondorioz, batez besteko zuntzarekiko ukitzailea

Y, Z ardatzak = ebakidura zuzenaren planoan daude eta inertzia-ardatz nagusiekin bat datoz.

Page 13: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

8

∑∑∑∑

→=

→=

→=

=

0

0

0

0

Fx

Fy

Fz

F

∑∑∑∑

→=

→=

→=

=

0

0

0

0

Mx

My

Mz

M

1.7 Eskaerak

SIMPLEAK

Trakzioa / konpresioa Fx0N ≠≠

Ebaketa 0Fzy0Fyedo0FzedoFy0V ≠≠≠≠≠

Flexio purua 0Myy0Mzedo0Myedo0Mz ≠≠≠≠

Tortsio purua 0MtMx ≠=

KONPOSATUAK

Trakzioa eta tortsioa 0MxFzy ≠

Flexioa eta tortsioa 0MxMzy ≠

Flexio sinplea 0FyMzy ≠

Flexio konposatua Fy,MzFxy 0≠

Flexio purua

=≠

≠simetrikoa edo zuzena Flexio0

oa)(asimetrik zeiharra Flexio00

MyMy

Mz

Flexio konposatua

=≠

zuzenaFlexio0zeiharraFlexio0

MyMy

esfortzu ebakitzaileak

esfortzu ebakitzaileak

trakzio- edo konpresio-esfortzuak

flexio-momentua

flexio-momentua

tortsio-momentua

Page 14: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 9

1.8 Euskarriak, lotura-erreakzioak

Espazioan dagoen puntuak sei askatasun-maila ditu.

- desplazamendua saihesten badugu, noranzko bereko erreakzioa agertuko zaigu.

- Loturak: - biraketa saihesten badugu, biraketa saihesten dugun ardatzaren noranzkoan

momentua agertuko zaigu.

- Euskarri-motak euskarriak perfektuak direla jartzen dugu.

Euskarri mugikorra (euskarri sinplea)

Baliteke translazioa gertatzea; ondorioz, agertzen den erreakzio bakarra indar bertikala da, baina ez

dakigu zein noranzkotan.

Artikulazio finkoko euskarria

Ry

Page 15: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

10

Translazioa noranzko guztietan saihesten da. Bi erreakzio agertuko dira.

Horman sartutako euskarriak

Mota honetako euskarrien bidez bi translazio eta biraketa bat saihesten dira.

Euskarri landatu labainkorra

Biraketa saihesten da eta agertzen den erreakzioa momentua da.

1.9 Sistema isostatikoak eta hiperestatikoak

Oreka-ekuazioak gehienez 6 ekuazio

Sistema isostatikoa ezezagun-kopurua = ekuazio-kopurua

Sistema hiperestatikoa ezezagun-kopurua > ekuazio-kopurua

Rx

Mz

Ry

Page 16: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 11

Hiperestatikotasun-maila (n)

“n” beharrezkoa da problema hiperestatikoak, oreka-ekuazioak + bateragarritasun geometrikoko

ekuazioak ebazteko.

Honela definitzen da “n”: n = ezezagun-kopurua – ekuazio-kopurua

n > 0 n mailako egitura hiperestatikoa

n = 0 egitura isostatikoa

n < 0 n askatasun-maila dituen mekanismoa

⋅+−

⋅= ∑∑

==

333

iiii

NiibLiin

Adib.: ebakidurak (euskarriaren mailan ebaki behar dugu)

Sistema lehen bezala egon dadin, bi erreakzio eta momentu bat sartu behar ditugu.

Li → lotura-kopurua

b → barra-kopurua

Ni → korapilo-kopurua

Page 17: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

12

Adibidea:

Asmatu zein problema-mota daukagun hemen.

=

=

==

=

∑∑∑

0

0Ma

la)(horizontaFh

00 )(bertikalaFv

oreka

0Merrotulan

Habea bere euskarrietan eta errotulan ebaki behar dugu.

L3 L2 N2 L2 L1

Garrantzirik gabekoak ez diren ekuazioak ematen dizkigu errotulak.

Ezezagun-kopurua 3 x 1 + 2 x 2 + 1 = 8

Ekuazio-kopurua 3 x 2 + 3 x 0 + 2 x 1 + 1 x 0= 8

Ezezagun-kopurua – ekuazio-kopurua = 0

Ezezagun-kopurua = 4

Ekuazio-kopurua = orekako 3

Errotula batean Σ M = 0

4 ekuazio n = 4 – 4 = 0 sistema isostatikoa

=

=

∑∑

0

0

Fv

Fh

Page 18: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 13

1.10 Materialen erresistentzia-arazoak aztertzeko prozesu orokorra

Diseinua aldez aurretiko prozesua

Aztertu behar den sistema hautatu aztertu behar den elementua edo elementuak isolatu

Arazoa idealizatu eta sinplifikatu laneko hipotesia:

Gehiegi sinplifikatu eredua ez dator bat errealitatearekin

Gutxiegi sinplifikatu problema ebaztea zaila izango da

Mekanikaren eta materialen erresistentziaren printzipioak aplikatu

Oreka

Bateragarritasun geometrikoa

Indarra eta deformazioaren arteko erlazioak

Sistemaren portaera errealarekin alderatu

Egiaztatutako emaitza kalkulatuarekin bat ez baldin badator azterketa berriz egin

behar dugu.

Hipotesi-erroreak

Kalkulu-erroreak

ARIKETA – 1. ADIBIDEA

F indarra jasaten duen makina-elementu batek hutsunean doitzen den pistoia du amaieran (ikus irudia).

Hutsunearen barnean Ka eta Kb konstateak dituzten bi malguki ardazkide daude. Kargatu baino lehen, L

luzera dute malgukiek. Malguki bakoitzak F indarraren zenbateko karga jasaten duten jakin nahi dugu.

Page 19: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

14

Eredua hautatu

Idealizazioa eta sinplifikazioa; laneko hipotesia

A eta B malgukiak ardatzarekiko zentratuta daude

Ez dago marruskadurarik

Pistoiaren pisua ez dugu kontuan hartu behar

Indarra eta deformazioaren arteko erlazioa egonkorra da

F >> pistoiaren pisua

Mekanikaren printzipioak aplikatu

Oreka: Σ F = 0 Fa + Fb = F

Bateragarritasun geometrikoa: δ = δa = δb

Indarra eta deformazioaren arteko erlazioak:

bKbFbaKaFa

δδ

··

== )·(·· KbKabKbaKaFbFaF +=+=+= δδδ

KbKa

F+

=δ → KbKaFKaFa

+= · →

KbKaFKbFb

+= ·

Page 20: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 15

ARIKETA – 2. ADIBIDEA

2L luze den zurezko ohol mehe eta zurruna K konstantea duten bi malgukien gainean dago (ikusi

irudia). Oholaren gainean kargarik ez dagoenean h luzera dute malgukiek.

Demagun pertsona bat oholaren gainean jartzen dela, erdi-erdian, eta mutur baterantz ibiltzen

hasten dela, poliki.

Kalkulatu:

Ohola zenbat makurtuko den pertsonak ibili duen “b” distantziarekiko.

Oholak lurra ukitu bitartean pertsonak ibili duen “b” distantzia zehaztu.

1. Elementua edo elementuak isolatu

aδ bδcδ

Fa

Fa

Fb

Fb

α

Page 21: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

16

2. Idealizazioa eta sinplifikazioa

Laneko hipotesia

Oholaren pisua ez dugu kontuan hartu behar

Malgukiak lurrarekiko zut daude

Ez dago marruskadurarik

Indarra eta deformazioaren arteko erlazioa egonkorra da

Mekanikaren printzipioak aplikatu

Oreka:

Bateragarritasun geometrikoa:

( ) ( )a

aba

bhahitag

22δδδδ

α −=−−−

==

Indarraren eta deformazioaren arteko erlazioak:

bKbKbFbaKaKaFa

δδδδ

····

====

+=

−=

ab

KWb

ab

KWa

12

12

δ

δ

Oholak lurra ukitzen duenean:

L

bah

Lchi 2

δδδ

+−=−=

2bac δδδ +=⇒

LKWhK

LK

Wh

Lab

KW

ab

KWh

i··2

··221

21

221

−=−

=

++

−−

=

LKWhK

KabW

··2··2

·2·

2−=

−= 1··22

WhK

Lab

aFbbWaFaMc ···0 =+→=∑

+=

−=

abWFb

abWFa

12

12∑ =+→= WFbFaF 0

2··2·aKbWi =⇒

aab

KW

ab

KW

aabi

2

12

12

2

−−

+

=−=⇒ δδ

Page 22: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 17

22 MMAATTEERRIIAALLEENN PPRROOPPIIEETTAATTEE MMEEKKAANNIIKKOOAAKK

2.1 Elastikotasuna

Materialak (kanpo-indarrak jasan arren) bere jatorrizko forma berreskuratzeko duen joera da

elastikotasuna.

Guztiz elastikoa den materialak eman zaion energia guztia itzultzen du.

Hainbat jokaera elastiko

Material bateko ereduen jokaerak onargarriak izango dira material erreal batzuentzat, jakineko muga

gainditzen ez badute ezarritako kargak elastikotasun-mugatik beherakoak direnean, alegia.

Elastiko lineala

F indarra etetean deformazioa 0 bihurtzen da. Halaber, indarraren eta

deformazioaren arteko erlazioa lineala da. δ·KF =

δ

Page 23: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

18

Elastiko ez lineala

Barne-marruskadura duen elastikoa

2.2 Plastikotasuna

Karga-sistema jasaten duen gorputza erregimen plastikoan dagoela esaten dugu karga-sistema

kentzean gorputza iraunkorki deformatzen bada.

Hainbat jokaera plastiko

Eraikuntzak luze irautea nahi badugu, lanean erabilitako materialak iraunkorki deformatzea saihestu

behar dugu. Alabaina, aplikazio jakin batzuetan neurri bateko plastikotasuna onartu egiten da. Hortaz,

teoria batzuk jokaera elastiko eta plastiko perfektuak definitzeko garatu dira.

Aipatutako indarraren eta deformazioaren arteko erlazioa ez da lineala.

F indarra etetean deformazioa ez da bide beretik itzultzen, marruskadura dela-

-eta energia apur bat galdu egiten baita.

δ

Page 24: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 19

Plastiko perfektua edo zurrun plastiko perfektua

Elastiko plastiko perfektua

Elastiko plastikoa

Kargak etetean, materiala ez da bere jatorrizko formara itzultzen.

Karga etetean, materiala iraunkorki deformatzen da.

Page 25: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

20

2.3 HOOKE-ren legea

Deformazioen eta jasandako indarren artean proportzionaltasuna dago. Indar-efektuak gainjartzearen printzipioa.

Hipotesia: materialak Hooke-ren legea bete behar du. Indarren eraginean eragiten ez duten

deformazio txikiak gertatzen dira.

Printzipioa: Aldi berean eragiten duten indarrek sortutako efektua eta indar bakoitzak, jo

dezagun bereiz eragiten dutela, sortutako efektua batuta lortzen dena emaitza bera da.

Adibidez:

2.4 Trakzio-saiakuntza

Demagun N trakzio-indarra jasaten duen barra dugula.

Hasieran zuzena den erdialdeko m-n ebakidura hartuko dugu. Materiala jarraitua, isotropoa eta

homogeneoa dela dioen hipotesiaren arabera, m-n ebakidura deformatzen denean gainazal jarraituaren

forma hartuko du.

''' ccc δδδ +=

''' RaRaRa +=

''' RbRbRb +=

cδ 'cδ ''cδ

δ+L

Page 26: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 21

Horretaz gainera, arazoaren simetria dela-eta deformazioa guztiz berdina izango da:

Ondorioak: Bi baldintza hauek aldi berean bete ahal izateko, deformazioaren aurretik zuzenak ziren

ebakidurek deformazioaren ondoren ere zuzenak izaten jarraitu behar dute. Hortaz, zuntz guztiek

luzamendu bera eta ebakiduraren diferentzial guztiek deformazio bera jasaten dutenez, Hooke-ren legea

aplikatuz m-n ebakiduran barne-tentsioen banaketa uniformea da.

Ondorioz, tentsioa uniformea izango da ebakidura osoan.

Ω

= Nσ

Ω probetaren sekzioa

δ L luzera duen barraren luzamendua

Gainera, deformazioa ebakidura osoan uniformea baldin bada, δ = kte.

Luzera-unitate bakoitzaren luzamendua honako hau da:

Lδε = unitate-luzamendua

Datu hauei guztiei Hookeren legea aplikatzen badiegu:

εσ ⋅= E Hookeren legea unitate-tentsio eta luzamenduetako.

E elastikotasun-modulua edo Youngen modulua

ε-k neurri jakinik ez duenez, honako neurri hauek izango ditu: E = FL-2

Page 27: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

22

910G = 610M = 310K =

Unitate-tentsio eta –deformazioak grafiko batean biltzen baditugu, hona emaitza: tentsio-

-luzamenduaren kurbak osatzen duen angeluaren tangentearen bidez adierazita dago E grafikoki.

Diagrama horri trakziozko ohiko diagrama deritzo eta materialen bereizgarri izan ohi da.

Portaeraren arabera bereizten dira materialak: material hauskorrak eta harikorrak.

E zenbat eta handiagoa izan, hainbat eta zurrunagoa

izango da materiala eta nekezago deformatuko dugu.

Adib:

1 materiala 2 materiala baino zurrunagoa da.

Aluminioa → E = 7000 kg/mm2

Altzairua → 21000 kg/mm2

G = 109 M = 106 K = 103

1 materiala

2 materiala

1arctgE=α

Ω= Nσ

αtgE =

Lδε =

Page 28: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 23

Material harikorrak

Deformatzeko ahalmen handia duten materialak dira material harikorrak. Ez dira erraz hozkatzen eta

nekea agertuko den aplikazioetan erabiltzeko oso material egokiak dira. Materialaren harikortasuna,

kuantitatiboki, parametro hauen bitartez neurtzen da:

Unitate-luzamendua ; A % L0 –ren balioaren araberakoa da.

Estrikzioa % Z = (ΩF – Ω0 )/ Ω x 100

Ondoren, material harikorraren ohiko diagrama konbentzionala – trakzio-saiakuntza, alegia –

ikusiko dugu.

OHARRA: Askotan A, B, eta C oso hurbil daude eta ez da erraza horiek bereiztea; horretarako,

deformazio iraunkorreko muga proportzionala Rp% definitzen da. Jakineko ehuneko batean

deformazio iraunkorra sortzen duen tentsioaren balioa ematen du muga horrek. Adibidez:

Rp 0,2 % 0,2ko deformazio iraunkorra sortzen duen tentsioa

OHARRA: Guk diogun tentsioa tentsio errealetik hurbil dago, saiakuntzan erabilitako materialaren

ebakiduran gertatutako murrizketa ez baitugu kontuan hartu.

Tentsioa kalkulatzean hasierako Ω0 sekzioa hartu behar da kontuan eta konstante mantendu.

0

00 Ω

=N

σ 0

11 Ω

=N

σ

Deformazioarekin gauza bera gertatzen da hemen, hasierako luzera konstante mantendu.

OA Eremu elastikoa A Muga elastiko proportzionala

B Itxurazko muga elastikoa

C Goiko isurpen-muga (eremu

elastikoa)

D Beheko isurpen-muga

(tentsioa handiagotu gabe

materiala deformatzen

jarraitzen du)

E Haustura-muga edo

trakzioarekiko erresistentzia

EF Estrikzio-eremua

F Haustura

Rp

Rm

Re

A

B C

D

E

F

σ

ε

100%0

0 ⋅−

= F

LLL

A

Page 29: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

24

Material hauskorrak

Material hauskorretan deformazio plastiko txikiarekin edo deformazio plastikorik gabe agertzen da

haustura. Material hauskorrak dira adibidez honako hauek: hormigoia, zeramika, burdinurtu grisa,...

OHARRA: Badira material ERDIHAUSKORRAK ere, baina ez ditugu hemen aztertuko.

Material hauskorren eta harikorren arteko bereizketa

Material hauskorrak haustura gertatu bitartean ia elastikoak diren materialak dira. Laneko

tentsioak haustura-mugatik beherakoak izan behar dira: < Rm

Material harikorrak material hauetan deformazio handiak gertatzen dira. Laneko tentsioa < Re

izan behar da.

2.5 Laneko esfortzu onargarria segurtasun-faktorea

Eraikuntza guztietan, egindako kalkuluei buruzko zalantzak sorrarazten dizkigute faktore batzuek.

Faktore horiek honako ondorio hauek izan ditzakete:

Gehienezko esfortzuak aurreikustea. Haizeak eraikuntza batean eragin ditzakeen

esfortzuak nolakoak izango diren ezin da aurreikusi.

Propietateen dispertsio estatistikoa. Material berekoak izan arren, ez dago guztiz berdinak

diren bi gorputz.

RpRm

Material horiek erraz hozkatzen dira; beraz,

nekea dagoenean ez dira kasik erabiltzen.

Page 30: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 25

Gauzatze-akatsak o Mekanizazio-akatsak

o Muntaketa-akatsak

Denboraren poderioz gertatutako propietate-aldaketak o Korrosioa

o Higadura

o Zahartzea

o Erlaxazioa

o Isurpena

o ....

Zalantza ugari dagoenez, segurtasun-faktorea honela definituko dugu:

segurtasun-faktorea esfortzualaneko

esfortzuagehienezko=

Horrela, gehiegi kargatuz gero, materiala ez da haustura-mugara iritsiko eta hura haustea saihestuko

dugu. Hala eta guztiz ere, deformazio iraunkorrik gertatzea nahi ez badugu, erlazioa eraldatu eta honela

geratuko da:

Aplikazio batzuetan, gilborduran kasu, Rp-k eta Rm-k ez dute irizpide errealik ematen; ondorioz,

karga-esfortzuetan oinarritutako segurtasun-faktorearekin ordezkatu behar ditugu.

akats-karga haustura edo deformazio iraunkorra

2.6 Esfortzu eta deformazio sinpleak

Trakzioa – konpresioa

Sekzio konstanteko habea – berdin banatutako - bi kanpo-indarren eraginpean jarri behar dugu.

Kasu hau trakzio-saiakuntzan erabilitako adibidekoa bezalakoa da.

isurpen-esfortzua

laneko esfortzua segurtasun-faktorea =

akats-karga

laneko karga onargarria segurtasun-faktorea =

Page 31: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

26

Alboko kontrakzioa. Poisson-en modulua

Esperientziaren poderioz badakigu trakzioa gertatzen den bitartean luzerako deformazioarekin batera

alboko kontrakzioa gertatzen dela. Horretaz gainera, unitate-luzapenaren eta alboko unitate-kontrakzioaren

arteko erlazioa konstante bat da, Poissonen modulua edo koefizientea delako konstantea hain zuzen.

OHARRA: elementu zirkularrak baldin badira: D

yy

δε =

Dx

ε =

Honako taula honetan v-ren ohiko balioak ditugu.

MATERIALA V

Material isotropoak 0.25

Altzairuak 0.30

Burdinurtua 0.25

Harriak 0.20

Hormigoia 0.15

Kortxoa 0

Ω= Nσ → tentsioa

Lδε = → unitate-deformazioa

σ = ε x E → Hookeren legea

Material batzuetan trakzioaren haustura-muga eta

konpresioaren haustura-muga ez dira berdinak.

σ < R trakzioa

|σ| < R´ konpresioa

Poissonen modulua → x

y

ε

εν

−= ; =ε

−DDD F

- Trakzioan - alboko unitate-kontrakzioa εy

- ardatz-luzapen unitarioa εx

- Konpresioan - alboko unitate-luzapena εy

- ardatz-kontrakzio unitarioa εx

Page 32: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 27

Trakzioa edo konpresioa jasaten duen barran neurri- eta bolumen-aldaketak

Demagun zirkulu-formako sekzio konstanteko habea dugula eta habearen area eta luzera L direla.

N indarraren bidez trakzioa kargatzen badugu, hona emaitza:

N karga aplikatu baino lehen L, Ω V = L x Ω

N karga aplikatu eta gero:

Amaierako luzera: ( )XLL

LLL εδδ +⋅=

+⋅=⋅= 111

Amaierako diametroa: D

DDy

−=

1ε ; ( ) ( )XY DDD νεε −⋅=+⋅= 111

Amaierako area: ( ) ( )2222

11 11

44 XXDD

νενεππ−⋅Ω=−⋅⋅=

⋅=Ω

Amaierako bolumena:

( ) ( ) ( )232222111 22111 XXXXXXX VLLV νεενενεενενε −++−+⋅=+⋅−⋅Ω=⋅Ω=

Deformazioak txikiak baldin badira, εX eta εX dituzten terminoak baztergarriak dira –2º mailako

infinitesimoak-. Kasu horietan gure ekuazioa honela geratuko da:

V1 = V + V εx (1 – 2v)

∆V = V1 – V = V εx (1 – 2v)

Materiala luzatzen denean bolumena ezin dela txikiagotu kontuan hartzen badugu:

( ) 5.00210 ≤→≥−→≥∆ ννε XVV

Beraz, Poissonen koefizientea 0 eta 0,5 bitartekoa izango da beti 5.00 ≤≤→ ν . Horrenbestez,

kautxuaren 5.0≈ν da eta bolumena ez da kasik aldatuko deformazioan zehar.

05.0

05.0

≥∆→≤

=∆→=

VV

VV

ν

ν

Konpresioan, berdintsu (baina alderantziz) gertatzen dira gauzak, alboko konpresioa izan beharrean

alboko ZABALKUNTZA gertatzen baita.

( )νε 21 −=∆XV

V

Page 33: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

28

OHARRA: Hookeren legea kontuan hartuz, barraren δ luzapena lor dezakegu.

L

EN δ⋅=Ω

ELN

⋅Ω⋅=→ δ

ERREPASATZEKO ARIKETAK

11 P = 2300 kg-ko karga bertikalari altzairuzko bi burdin harik eusten diote, irudian ikusten den

moduan. Zehaztu burdin hari bakoitzaren zeharkako sekzioa, trakzioarekiko tentsio

onargarria honako hau baldin bada:

σonar = 700 kp/cm2 eta θ = 30º

22 Prentsa hidraulikoaren zutabeen diametroa zehaztu, gehienezko konpresio-indarra 50

tonakoa eta altzairuaren tentsio onargarria 8 kg / mm2-koa dela jakinik. Kalkulatu gehienezko

luzapena, buruen arteko distantzia 2 m-koa dela kontuan izanik.

E = 21.000 kp/mm2

Ω= Nσ

Lδε =

εσ ⋅= E

Page 34: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 29

33 Irudian ikusten ditugun altzairuzko bi barra horien diametroa 20 mm-koa da, 3,5 m-ko luzera

dute eta 500 kg-ko pisuari eusten diote. Kalkulatu C puntuaren desplazamendu bertikala.

E = 21.000 kp/mm2

θ = 20º

44 Kalkulatu barraren ebakidura bakoitzaren esfortzua, baita barraren guztizko deformazioa ere.

55 Bilatu irudian dagoen altzairuzko barraren deformazioa, aipatutako kargak kontuan izanik.

E = 200 GPa

θ

4108.5 −⋅41093.1 −⋅

Kn133

Page 35: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

30

Kontuan hartzeko moduko pisua duten piezak

Kasu batzuetan barne-tentsioak egituraren beraren pisuak eragiten ditu. Demagun P indarra jasaten

ari den habe zuzena dugula:

OHARRA: Unitate-pisua bera kontuan hartzeko modukoa baldin bada P-rekin erlazionatzean,

esfortzu normala ebakidura batetik bestera aldatu egingo da. Muturreko X distantziara, berriz, honako

balio hau izango du:

Σ Fy = 0

P + γ Ω x = N

σ = (P + γ Ω x) Ω

γ Ω = p (luzera-unitate bakoitzaren pisua) esaten badiogu, σmax =(P + p L) / Ω

R laneko tentsio onargarria baldin bada σONAR ), segurtasun-sekzioa (gainditu behar ez dugun

tentsioaren balioa) honako hau izango da:

Orain probeta X distantziatik ebaki

egingo dugu.

γ = pisu espezifikoa

P = ardatz-indarra

LRPLPLpP

R⋅−

=Ω→Ω

⋅Ω⋅+=

Ω

⋅+=

γ

γ

???=Ω=

Ω

⋅+=

⋅+=

R

LpPLpPN

MAX

MAX

MAX

σ

σ

MAXADM σσ =⇒Ω

Page 36: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 31

OHARRA: deformazioei dagokienez, Ω

=ENIδ formula ezin da aplikatu, N sekzio batetik bestera

aldatu egiten baita, eta, horren ondorioz:

( )E

dxxpPEdxNd

⋅Ω

⋅⋅+=

⋅Ω⋅=δ

Horren arabera, guztizko deformazioa honako hau izango da:

Ebakidura aldakorreko piezen aurreko emaitzen hedakuntza. Erresistentzia bereko

piezak

Aurreko kasuan habearen erresistentziak mutur bat baino ez zuen erabiltzen; gainerako ebakidurek

gehiegizko neurriak zituzten, eta, ondorioz, materiala alferrik galtzen zen. Ahalik eta gehien ekonomizatu

nahi badugu, σ-k eta R-k berdinak izan behar dute piezaren ebakidura guztietan. Ezaugarri hori duten

piezei ERRESISTENTZIA BEREKO PIEZAK deitzen zaie.

( )δ

γγδ =

⋅Ω⋅+⋅

⋅Ω=

⋅Ω

⋅⋅+=⋅

⋅Ω

+= ∫∫ 200

LP

ELdx

ExRP

dxEpxP LL

Ω=

==

PRMAX

σ

σσ

Page 37: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

32

ADIBIDEA

Zehaztu zutabeak izan behar duen forma, ebakidura guztiek erresistentzia bera izan dezaten beren

pisuaren eta P ardatz-indarraren eraginpean.

dΩ nahikoa handiagotu behar da RdΩ erresistentzia handiagotzean dx tartearen γΩ dx jasango badu.

Ondorioz:

Baldintzek honakoa diote:

00 Ω=Ω→=x

Eta hortik:

Ω-ren balioa aurkitzeko honako hau egin dezakegu:

Ω

CxR

LnRdxd

dxRd

+=Ω→=ΩΩ

Ω=Ωγγ

γ

Rx

LnRx

Lnc⋅

Ω=Ω→Ω+=Ω

Ω=

γγ expln 00

0

Page 38: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 33

Aldaketa termikoek eragindako esfortzuak

Deformazioak (kontrakzioak zein hedakuntzak eragindakoak) eta tenperatura lotzen dituen legea

lineala da. Lege horrek honako forma hau dauka:

( )L;TfLLLL

LTL

ªF

F

=∆⇒∆=−

→∆+

0

0

∆L = Gorputzaren luzera-aldaketa

α = Hedakuntza termikoaren koefizientea; material bakoitzaren konstante bereizgarria

∆T = Tenperatura-aldaketa

OHARRA: ∆T tenperatura-aldaketak eragindako tentsioak kalkulatzeko nahikoa da Hookeren legea

erabiltzea:

TL

TLLL

TLL

∆⋅=∆⋅⋅=∆=

∆⋅⋅=∆

ααε

α

Hookeren legea εσ ⋅=→ E

Estatikoki zehaztu gabeko arazoak. Hiperestatikoak

Arazo hauek gertatzen direnean barne-indarrak ezin dira estatika soilik erabiliz zehaztu.

Ezezagun-kopurua > lotura-ekuazioen kopurua

Beste ekuazio osagarri batzuk bilatu beharko ditugu ezezagun-kopurua ekuazio-kopuruaren berdina

izan dadin. Hori lortzeko, eskuarki bateragarritasun geometrikoko ekuazioak eta indarraren eta

deformazioaren arteko erlazioak erabili ohi dira.

→⟨∆→⟩∆

∆+aKontrakzio0

Hedakuntza0TT

TT

tLL ∆⋅⋅=∆ α

T∆

L∆

( )TE ∆⋅⋅= ασ

Page 39: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

34

Gainjartze-metodoa

Egitura estatikoki zehaztugabea: orekan egoteko behar dituen euskarriak baino gehiagok eusten

diotenean. Egoera horren ondorioz, oreka-ekuazio eskuragarriak baino erreakzio ezezagun gehiago

sortzen dira.

Kasu horietan honakoa egin daiteke: erreakzio horietako bat erredundantetzat jo eta erreakzio

horri dagokion euskarria ezabatu. Erreakzio erredundante hori irtenbidean aurkituko dugu, baina

jatorrizko murrizketekin bateragarriak diren deformazioak sortzen dituen karga ezezaguna bailitzan

jardungo du.

Arazoaren benetako irtenbidea honela egiaztatu ahal izango dugu: kargek eragindako

deformazioak eta erreakzio erredundanteak eragindakoak bereizita aztertuz eta lortutako emaitzak

elkarren gainean jarriz.

Zergatik sistema hiperestatikoak?

Sistema isostatikoak baino merkeagoak direlako

Eragozpenak:

» Muntaketa-akatsik baldin badago, erraz nabaritzen dute. » Haren elementuetan tenperatura desberdin banatzen bada, erraz nabaritzen dute.

ARAZO ESTATIKOKI ZEHAZTUGABEAK

44.. Hagatxoan eta tutuan erreakzioak aurkitu

tutua a2, e2

hegatxoa a1, e1

Page 40: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 35

55.. Barra zurruna bi burdin haritik, L1 eta L2, zintzilik dago. Kalkulatu P-ren kokapena barrak

horizontaltasuna gal ez dezan.

66.. Erreakzioak A-n eta B-n kalkulatu.

77.. AB gorputz zurruna gorputzaren grabitate-zentroarekiko simetrikoki jarrita dauden hiru burdin

harietatik zintzilik dago. AB barraren pisua Q dela kontuan harturik, zehaztu burdin harien

luzapen-esfortzua erdiko burdin haria altzairuzkoa eta beste biak kobrezkoak direla jakinik.

Sekzioak berdinak dira.

Altzairua

δ

Page 41: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

36

88.. Mahai karratuaren lau hanken diagonalean eragiten duen P indarrak sortutako erreakzioak

kalkulatu. Demagun mahaiak lurrean euskarri guztiz zurruna duela eta hankak mahaiari

hedatzeko zein konprimitzeko ahalmena dutela lotuta daudela.

TRAKZIO-ARIKETAK. KONPRESIOA

11 10 mm-ko CE hagatxoa eta 15 mm-ko DF hagatxoa ABCD barra zurrunari lotuta daude.

Hagatxoak aluminiozkoak dira (E = 70 Gpa).

Guzti hori jakinik, kalkulatu:

Hagatxo bakoitzaren tentsioa

A puntuaren deflexioa

e

a

Page 42: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 37

22 BDE barra zurrunak AB eta CD konektoreak ditu oinarri. AB konektorea aluminiozkoa da (E = 70

Gpa) eta 500 mm2-ko zeharkako sekzioa dauka. CD konektorea altzairuzkoa da (E = 200 Gpa)

eta 600 mm2-ko zeharkako sekzioa dauka. 30 Kn-ko indarra dugula jakinik, honako deflexio

hauek aurkitu:

33 15 mm-ko diametroa duten BE eta CD barren muturrek (altzairuzkoak, E = 200 Gpa) 2,25 mm-

-ko hari-neurri sinplea dute. C-n azkoina buelta batean doitu dela jakinik, kalkulatu honako

datu hauek:

a) Tentsioa CD barran

b) ABC elementuko C puntuaren deflexioa

B-ren deflexioa

D-ren deflexioa

E-ren deflexioa

Page 43: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

38

44 Barra batek AB eta BC ebakidura zirkularrak ditu eta bi muturretan mugatuta dago. AB atala

altzairuzkoa da (E = 200 Gpa), α = 11,7 10-6 / Cº. BC atala, berriz, letoizkoa da (E = 105 Gpa),

α = 20,9 10-6 / Cº, barra hasiera batean behartuta ez baldin badago.

Kalkulatu: a) 50 ºC handiagotzean AB-n eta BC-n eragindako esfortzu normalak

b) B puntuari dagokion deflexioa

55 C puntuan elkarri lotuta dauden bi barra ditugu: bata altzairuzkoa da (E = 200 Gpa) eta bestea

letoizkoa (E = 105 Gpa). A muturra finko dago eta E muturraren eta horma bertikalaren artean

0,12 mm-ko tartea dago. B puntuak 60 KN-ko indarra eta D puntuak 40 KN-ko indarra jasan

behar dute. Indar biak horizontalak eta ezkerretik eskuinerako noranzkokoak dira.

Kalkulatu honako datu hauek:

a) A eta E puntuetako erreakzioak

b) C puntuko deflexioa

30 mm-ko diametroa

50 mm-ko diametroa

altzairua, 40 mm-ko diametroa

letoia, 30 mm-ko diametroa

Page 44: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 39

66 CDE barra zurruna E ziria duen euskarrian giltzatuta dago eta 30 mm-ko diametroa duen

letoizko zilindroa du euskarri. 22 mm-ko altzairuzko AC hagatxoa barrak duen zulotik igaro eta

sistemako tenperatura 20 ºC-koa denean estutu gabe dagoen azkoin finkoaren bidez finkatuta

dago. Letoizko zilindroaren tenperatura 50 ºC-raino igo behar dugu eta altzairuzko barra, aldiz,

20 ºC-tan mantendu. Tenperatura-aldaketa baino lehen tentsiorik ez zegoela jorik, aurkitu BD

zilindroaren tentsioa.

77 A eta B burdinurtu zurrunak CD eta GH buloien bidez konektatuta daude. Buloi horiek

altzairuzkoak, 20 mm-koak, dira eta 38 mm-koa den aluminiozko EF barraren muturrak ukitzen

dituzte. Buloi bakoitzak hari sinplea du eta hari-neurria 2,54 mm-koa da. Jarri eta gero D eta H

puntuetan dauden azkoinak bira-laurdena estutu behar ditugu. Altzairuaren E = 200 Gpa dela

eta aluminioaren E = 70 Gpa dela jakinik, kalkulatu barraren esfortzu normala zein den.

AC barra: altzairua

E = 200 Gpa

α = 12 10-6 / Cº

BD zilindroa: letoia

E = 105 Gpa

α = 18,8 10-6 / Cº

Page 45: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

40

88 300 mm luze, 30 mm-ko kanpo-diametroa eta 3 mm-ko lodiera duen letoizko tutua prentsa

batean jarri behar dugu. Prentsa doituta dago, barailek tutuaren muturrak kasik presionatu gabe

uki ditzaten. Ondoren P eta Q indarrak jasan beharko ditu. Indar horiek honako balioak dituzte:

P = 186 KN eta Q = 160 KN. Letoiaren E = 105 Pga dela jakinik, honako datu hauek kalkulatu:

a) A eta D puntuetan prentsak tutuari eragiten dion indarra

b) Tutuaren BC zatia zenbat luzatuko den

99 AD eta CE altzairuzko barrek (E = 200 Gpa) 8 mm-ko diametroa dute eta goiko muturrean 2 mm-

-ko hari-neurriko hari sinplea dute. C puntuan azkoina eskuz estutu eta gero bi bira osoak

estutuko ditugula jakinik, kalkulatu honako datu hauek:

a) Barra bakoitzaren tentsioa

b) ABC elementu zurrunaren C puntuaren deflexioa

Page 46: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 41

1100 Hotzean ijetzitako altzairuzko buloiak hotzeko kobrezkoa den tutuan zehar igaro behar du. Biak,

buloia eta tutua alegia, 30,5 cm luze dira. Muturreko azkoina lasaierarik gabe ukitu arte estutu

behar da 21 ºC-tan. Ondoren, azkoina bira-laurdena emanez estutu eta tenperatura 60 ºC-

-taraino igo behar dugu. Datu hauekin guztiekin, kalkulatu buloiaren eta tutuaren tentsioak.

Hari-neurria: 0,32 cm

1111 Lau burdin harrien bitartez finkatutako platinatik zintzilik barra zurruna daukagu. B eta C ziriei

lotutako burdin hariak altzairuzkoak dira (E = 200 Gpa) eta 2 mm-ko diametroa dute. A eta D

ziriei lotutako biak, berriz, aluminiozkoak dira (E = 70 Gpa) eta 2,5 mm-ko diametroa dute.

Hasiera batean burdin hari guztiak tenkatuta daudela jakinik, kalkulatu honako datu hauek:

a) Barraren erdian 2 KN-ko indarra eragitean burdin hari bakoitzaren tentsio osagarria

zenbatekoa den

b) Burdin harien luzapena zenbatekoa izango den

30,5

Buloia A = 3,23 cm2

α = 125 10-7 / Cº

E = 2,1 106 kg / cm2

Tutua A = 4,84 cm2

α = 170 10-7 / Cº

E = 1,1 106 kg / cm2

30,5

Page 47: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

42

Aurreatezatutako piezak

Bi material edo gehiagoko barra batek handituz doan trakzio- edo konpresio-indarra jasaten

duenean argi dago barraren materialetako bat laneko tentsio onargarrira bestea baino lehenago iritsiko

dela. Ondorioz, gaizki ari gara erabiltzen.

Pieza konposatuak AURREATEZATZEA izan daiteke eragozpen hori gainditzeko irtenbidea. Horrela,

bere gehienezko baliabideak kontuan hartuz erabili ahal izango ditugu material guztiak. Adibidez:

Hormigoizko habeak honela fabrikatzen dira: altzairuzko burdin hari mutur zurruneko plaken artean

tenkatzen dira, trakzio-tentsioa σ = 0 izan dadin. Ondoren hormigoia bota behar da inguruan, habea

eraikitzeko irudian ageri den bezala. Gero hormigoia forjatu, kanpo-indarrak deuseztatu eta habea

aurreatezatuta geratuko da. Altzairuaren elastikotasun-moduluaren eta zementuaren artean 12:1

proportzioa baldin badago, eta ebakidura zuzeneko eremuek 1:15 proportzioa baldin badute, zein dira bi

material horien hondar-tentsioak?

112

EE

H

A = 151

H

A =Ω

Ω

Altzairuak trakzio-indarra jasango du eta hormigoiak, berriz, konpresio-indarra. Orekaren printzipioa

aplikatzen badugu, honako hau lortuko dugu:

σ−=σ

−=Ω

Ω−=

σ

σ=Ωσ+Ωσ

hA

A

H

H

A

HHAA

OREKA

151

15

0

Tentsioen arteko erlazioa badaukagu, baina beste ekuazio bat falta da. Bateragarritasun geometrikoa

aplikatuko dugu:

Hormigoia

Altzairuzko burdin hariak

lehenengo ekuazioa

Page 48: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 43

Altzairuaren laburpena = Hormigoiaren laburpena

Erlazioak: F altzairua + F hormigoia = 0

⋅=

⋅−

=

⋅=

Ω=→

⋅=

H

HH

A

A0A

A

AAF

A0

A

00A

EL

LE

EL

PE

L

σδ

σσδ

σδ

σσ

δ

INDARRA - DEFORMAZIOA

Aurreko erlazio horiek aurkitu ondoren bateragarritasun geometrikoaren erlaziora irits gintezke.

( )

→=⋅

+⋅−

=+

ekuazioa Bigarren0E

LE

L0

H

H

A

A0

HA

σσσδδ

Lehenengo ekuazioa bigarren ekuazioarekin erlazionatuz arazoaren irtenbidea aurkituko dugu.

Trakzio / konpresioan deformazio-energia

Demagun trakzioa jasaten ari den barra daukagula betiere eremu elastikoaren eta karga elastikoa

aplikatzearen hipotesia kontuan harturik. Kasu horretan lortuko dugun indarra/deformazioa diagrama

lineala izango da.

0Aδ

AFδ

Altzairuaren hasierako luzapena

Altzairuaren amaierako

Hormigoiaren laburpena

Altzairuaren laburpena

270

σ−

=9

5 0A

σσ =

Page 49: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

44

δ'-tik s + dδ'-ra iragatean N’indarrak honako lan hau egingo du:

dU = N’ dδ'

0-tik N-ra iragatean egindako lana N’ dδ' arearen batuketa da, hau da:

2N

L2E'd'

LE'd'NU

2

0 0

δδδδδδ δ

=Ω=⋅Ω=⋅= ∫ ∫ δN21U =→

Horretaz gainera; δ = (N L) / ( E Ω) ; beraz, horrela geldituko da U:

Batzuetan BOLUMEN-UNITATEKO DEFORMAZIO-ENERGIA beharrezkoa izan daiteke.

u = U / Ω L eta honako forma hauek hartuko ditu:

σεµεδ

σ

21

2E

L1

L2eu

E2L1

E2LNu

22

22

=→

⋅=Ω

⋅⋅⋅Ω=

⋅Ω

⋅=

Azkenik, materialaren unitate-bolumenak bere proportzionaltasun-muga gainditu gabe jasan

dezakeen deformazio-energiarik handienari esaten zaio ERRESISTENTZIA-MODULUA.

L2E

E2LNU

22

⋅⋅Ω⋅=

Ω⋅⋅⋅= δ

Page 50: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 45

Esfortzuen banaketa eta ardatz-deformazioa

Orain arte, ardatz-kargak ebakidura osoan uniformeki banatzen direla jo dugu beti. Hortaz, demagun

kargaren eta ebakiduraren artean plaka zurruna dugula, eta, horrela, ebakidura uniformeki deformatzea

lortuko dugu.

Bestalde, plaka horiek ez daude piezari zurrun lotuta, alboko zabalkuntza gertatzen denerako

tartea utzi behar baita. Kargak kontzentratuak baldin badira, honako hau egiaztatu beharko dugu

esperimentuen bidez:

Esfortzu handiak aplikazio-puntutik hurbil kokatuta daudela

Esfortzu txikiak aplikazio-puntutik urrun kokatuta daudela

Page 51: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

46

Demagun plaka angeluzuzena dugula, b zabalera duena. Elastikotasun-teoriak honako emaitza

hauek ekarriko dizkigu:

Horrenbestez, bi tentsio-kategoria daudela esango genuke:

Tentsioen tokiko banaketa

Aplikazio-unetik distantzia jakin batera, tentsioen banaketa orokorra

Hori guztia jakinik, SAINT VENANT-EN PRINTZIPIOA azaltzeko moduan gaude. Honela dio

printzipio horrek:

Mutur batean aplikatutako indar-sistema batek habean eragindako tentsio orokorrak ez dira aldatuko

indar horiek murrizteko M, Mt, T, N elementu berak dituen beste sistema batez ordezkatzen baditugu.

Aldatu egingo dira, aldiz, habearen muturrean, zabaleraren berdina den luzera duen eremuan, eragindako

tokiko tentsioak.

Hau da:

Karga puntuala aplikatzen da

Infiniturako joera duen tentsio-banaketa dago

Zenbat eta beherago, hainbat eta tentsio-banaketa homogeneoagoa (guztiz laua den tentsio-

-banaketa lortu arte)

σ = N / Ω Oso behean horrela izango da, baina hasieran tokiko tentsio-banaketa dago.

Distantzia jakin batetik aurrera tentsioak uniformeki banatuta daude

Mutur batean aplikatutako indar-sistema batek habean eragindako tentsio orokorrak ez dira

aldatuko indar horiek murrizteko elementu berak dituen beste sistema batez ordezkatzen

baditugu. Murrizketa elementu horiek honako hauek dira:

Page 52: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 47

M, Mt, T, N Habearen muturrean eragindako tentsio orokorrak, soilik, habearen zabalera bereko

luzera duen eremuan soilik aldatuko dira.

Trakzio / konpresioan esfortzu-kontzentrazioa

Orain arteko hipotesiak honako hauek dira:

Sekzio konstanteko barrak ditugu.

Honako baldintza hauek betetzen direnean soilik egongo da esfortzua uniformeki banatuta:

σ = N / Ω

Baldintzaren bat betetzen ez bada, σ = N / Ω ez da beteko.

Tentsio-kontzentrazioa egongo da bat-bateko sekzio-aldaketarik badago edo bat-bateko esfortzuen

aplikaziorik badago.

Honako iruditan ageri diren emaitzak esperimentuen bidez lortu ditugu, eta ez dute zerikusirik

elementuaren tamainarekin edo materialarekin: parametro geometrikoen arrazoien baitan daude soilik.

Eskuarki, ebakidura batean sortzen den gehienezko esfortzua jakin nahi izaten dugu. Eta,

horretarako, karga-motaren eta piezaren geometriaren arabera K-ren balioa (tentsio-kontzentrazioaren

koefiziente teorikoaren balioa, hain zuzen) aurkitzen lagunduko diguten taulak erabili ohi dira.

K balio hori honela definitzen da:

K = σMAX / σBATEZ BESTEKOA σBATEZ BESTEKOA = P / Ω

Page 53: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

48

K handiagotu egiten da akordio-erradioa txikiagotzen denean edo D / d erlazioa

handiagotzen denean.

K onargarria da σMAX < Rp eremu elastikoan gauden bitartean.

σMAX > Rp kasura iristean tokiko deformazio plastikoak gertatzen dira eta, ondorioz, tentsioak

erlaxatu egiten dira.

Material hauskorretan hozka txikiena ere larria izan daiteke. Tokiren batean muga-plastikora

iritsiko bagina, materiala pitzatu egingo litzateke eta, horren ondorioz, zorigaiztoko haustura

gertatuko litzateke.

Kargak aldakorrak (nekea) badira, material GUZTIEK (bai hauskorrek bai harikorrek),

hozkatzearekiko sentiberak izan behar dute.

1. adibidea

Aurkitu altzairuzko barra lauak segurtasunez jasan dezakeen P ardatz-indarraren gehienezko balioa.

Kontuan izan barrak bi atal dituela, biak 10 mm-ko lodierakoak, 40 mm eta 60 mm zabal direnak. Bi atal

horiek elkarri lotuta daude 8 mm-ko erradioko hari-soldaduraren bidez. Demagun onargarria eta arrunta

den 165 MPa esfortzua jasan behar dutela.

Erlazioak kalkulatu behar ditugu:

5.14060

dD == 2.0

408

dr ==

Balio hauentzat irudiko kurba erabiliz honakoa lortuko dugu:

72.1K ≈

Balio hori tentsio-kontzentrazioen formulan erabiltzen badugu, honako hau lortuko dugu:

( )MPa96

72.1165

Kmaterialdeladmisible

K MAXMEDMEDMAX ===⇒⋅=

σσσσσ

Honako hau gogoan izanik:

AP

MED =σ

( ) N104.38104096AP 3MED ⋅=⋅⋅=⋅= σ KN4.38P =

Page 54: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 49

Marraztu irudian tentsio-lerroak

ARIKETAK

1. ariketa

Irudiko altzairuzko barraren tentsio onargarria 150 MPa dela jakinik, P ardatz-indar onargarri

maximoa bilatu.

Page 55: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

50

2. ariketa 150 MPa σBATEZ BESTEKOA-rentzat ardatz-indar maximoa bilatu eta ebakidura garrantzitsuenetan

gertatzen diren tentsioak marraztu.

3. ariketa 500 mm-ko luzera eta 16 mm-ko diametroa duen barra dugu. Barraren luzera 0,3 mm luzatzen da

eta diametroa, berriz, 0,024 mm txikiagotzen da 12 Kn-ko ardatz-indarra jasaten duenean. Hori guztia

jakinik, aurkitu elastikotasun-modulua eta Poissonen koefizientea.

δx = 0,3 mm

δy= 2,4 10-3 mm

4. ariketa

Kalkula ezazu burdin harien indarra eta A euskarriaren erreakzioa (burdin hariek area berdina eta E

modulua dute).

Page 56: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 51

33 EEBBAAKKIIDDUURRAA

3.1 Errematxatutako eta soldatutako loturak

Ebaketaren oinarrizko teoria

Prisma mekanikoaren ebakidura zuzenak ebaketa zuzena jasango duela honelakoetan esaten da:

ebakidura horrek berak zehazten duen prismaren alde batean eragindako indar-sistema murriztean

ordezkaria laburtzen denean eta ordezkari hori ebakidura horretan bertan dagoenean.

Esfortzu-kasu hau ezingo da prismaren ebakidura guztietan gertatu, aurrerago ikusiko dugunez,

esfortzu ebakitzailea flexio-momentuaren deribatua baita. Hortaz, nulua ez den esfortzu ebakitzailea

baldin badago, flexio-momentu aldakorra egongo da eta momentu hori ebakiduraren zati jakin bat edo

batzuetan bakarrik baliogabetuko da.

Simetriako batez besteko planoa onartzen duten eta plano horretan karga bertikalak dauden prisma

mekaniko zuzenetan, Q esfortzu ebakitzailearentzat 1. irudian adierazitako ikur-hitzarmena hartuko dugu

(positiboa erloju-orratzen noranzkoan biratzen baldin bada, hain zuzen ere).

Ebaketa purua (sistema laua) σx = σy = 0

Ordezkaria τ da, planoarekiko ukitzailea

Ebaketa-teoria orokorrean honako hipotesi hauek onartzen dira:

Bernoulliren hipotesia: hipotesi honen bidez ebakidura zuzenek deformazioa izan eta gero ere

zuzenak izaten jarraituko dute.

Ikur-

-hitzarmena

Hausteko joera

T positiborako

Page 57: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

52

Tentsio-matrizearen osagai ukitzaileak ebakidura zuzeneko puntuetan honako hauek dira:

τXZ = 0 τXY = τ = konstantea

Hau da, Q esfortzu ebakitzaileak konstantea izan behar du plano osoan zehar.

Tentsio ukitzailea konstantea da ebakidura osoan zehar eta Y ardatzarekiko paraleloa. Oinarrizko

teoria horri onartezina bihurtuko duen ohar zorrotza egin dakioke, solidoaren oreka-baldintzak hausten

baititu, eta, zehazkiago esanda, tentsio ukitzaileen elkarrekikotasun-teorema.

Hain zuzen ere, ebakidura zuzenaren ertzaren ondoko gainazal-elementuan tentsioak ardatz

bertikalaren noranzkoa izango du. Noranzko normalean eta ertzaren tangentean deskonposa daiteke.

Tentsio ukitzaileen elkarrekikotasun-teoremaren arabera, gainazalean ukitze-tentsio berdina egongo

da. Gainazalean ebaketa-indarrak egotea dakar horrek.

T indarra homogeneotasunez banatu behar da

ebakiko dugun plano osoan zehar. Ω= /QXYτ

γττ

⋅=→

Gebaketa-tentsioa

σ

τ

Ω

Page 58: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 53

Matematika eta fisikaren ikuspegitik guztiz okerra da hipotesi hori; alabaina, oinarrizko teoria piezak

errematxeen bidez eta soldadura-kordoien bidezko loturak kalkulatzeko onartu egiten da. Hala eta guztiz

ere, fisikaren ikuspegitik ezinezkoa da, oreka-baldintzak ez baititu betetzen.

Ebaketa hutsa jasan duten ebakiduretan sortutako deformazioak

Demagun 3. irudian ikusten den mekanismoa dugula. Larakoaren ebakidura zuzenean, F indarraren

momentua ebakiduraren grabitatze-zentroarekikoa nulua dela jorik, T = F den esfortzu ebakitzailea izango

dugu. Esperimentuen bitartez, CD eta AB ebakidura (zehaztu gabe bata bestetik hurbil daudenak) larakoak

lotzen dituen bi piezen arteko tartean daude eta ebakidura bat bestearekiko labaindu egiten da. Deformazio

hori γ labainketa-angeluak ematen du. Haren balioa, Hookeren legearen arabera, honako hau da:

Ω⋅==

GT

Gτγ

Kontuan izanik G zeharkako elastikotasun-modulua dela, eta luzetarako elastikotasunarekin edo E

Youngen moduluarekin eta Poissonen v koefizientearekin honako erlazio honen bitartez lotuta

dagoela jakinik:

( ) ( )eakoefizient Poissonen12 modulua Youngen

12 +⋅=

+⋅=

νEG

dxdy

dxdy

GT

T

G=

Ω⋅=→

Ω=

⋅=γ

τ

γτ

Page 59: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

54

Lege hori esperimentu honen bitartez egiazta dezakegu, material harikor baten (adibidez,

eraikuntza-altzairuaren) tentsio ebakitzailearekin eta labainketa-angeluarekin diagrama marraztuta

honako grafiko hau aterako zaigu:

Hortaz, tentsio ukitzailea τe baino txikiagoa den

bitartean, τ eta γ proportzionalak izango dira; deformazioa,

berriz, desagertu egingo da deformazio hori eragin duen

indarra eteten denean. OA segmentuak adierazten duen

eremua deformazio elastikoaren eremua da. F indarraren

tentsio ukitzailea τe da. Indar hori deformazio iraunkorren

eremuan dago.

dx lodiera duen zerrendan metatu den oinarrizko lana honako hau izango da:

W = U = Lana

dxGTdUdyTdU ⋅

Ω⋅⋅=⇒⋅⋅=

2

21

21

kasurako oinarrizko Ebaketaren2

1

0

2⇒

Ω⋅⋅⋅= ∫ GdxTU

Errematxatutako loturen eta torlojatutako loturen kalkulua

Errematxatutako loturen sarrera

Lotura-baliabide horietan tentsioen banaketa nahikoa konplexua da, lotura osatzen duten

elementuen euren deformazioen arabera nagusiki. Ondorioz, lotura horien kalkulu zehatza zaila (eta,

batzuetan, ezinezkoa) da. Hain zuzen ere, horregatik ezinbestekoa da praktikan baliabide

sinplifikatuen bidez lortutako emaitzak eta loturetan materialen benetako portaera desberdinak ote

diren egiaztatu beharra dago.

Horregatik hemen aztertuko dugun errematxatutako eta soldatutako loturen kalkulua ebaketaren oinarrizko teorian dago oinarrituta.

Page 60: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 55

Errematxatutako loturak errematxe izeneko piezen bitartez egiten dira. Errematxe hori zilindro-

-formako ziriak (kanaberak) osatzen du; ziri horrek muturretan oinarri-burua (sabeldua zein laua) izan ohi

du. Errematxea aldez aurretik berotu (1050 eta 950º bitartean) eta lotuko diren piezen artean egindako

zuloan sartu behar da; ondoren, piezak itxi eta beste muturrean ixteko burua egin behar da mailu

pneumatikoa edo errematxatzeko makina erabiliz.

Errematxearen ziriaren d1 diametroak zuloaren d diametroa baino apur bat txikiagoa izan behar du

errazago sartu ahal izateko; baina, gure kalkuluak egiteko d diametroa erabili behar dugu, kanabera

errematxatu eta hoztu ondoren zuloa erabat beteta dagoela joko baitugu.

Ixteko burua osatzeko kanpora irteten den kanaberaren zatiak zulatzeko makinaren diametroaren ¾

neurtu behar du:

OHARRA: torlojuei dagokienez, ohikoak eta kalibratuak izan daitezke. Ohiko torlojuetan,

kanaberaren diametroaren eta zuloaren diametroaren artean mm bateko lasaiera egon daiteke.

Kalibratutako torlojuetan, berriz, bi diametroek erabat berdinak izan behar dute.

OHARRA: erresistentzia handiko torlojuen bidez egiten diren loturak ez ditugu kontuan hartu behar,

lotura horien kalkuluan estutze-esfortuzaren eragina kontuan hartzen baita, baita ondorioz gertatzen den

xaflen konpresioa ere (ondorioz, esfortzuak marruskaduraren bidez bakarrik transmitituko dira).

OHARRA: lotu behar diren elementuen d diametroa hautatzean elkartuko diren xaflen lodiera

minimoak kontuan hartu behar dira. Honako kalkulu hau egin:

2.05 −⋅= ed

Kontuan izan kalkulu horietan d (zuloarena) eta e (txikiena) cm-tan daudela.

Lotutako piezen lodieren baturak 4,5d baino txikiagoa izan behar du da ohiko errematxe eta

torlojuentzat, eta 6,5 baino txikiagoa torloju kalibratuak erabiliz gero.

Page 61: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

56

Errematxatutako loturen kalkulua:

Lotura hauek ebaketaren bidez lan egiten dute

Bi errematxe-mota daude:

» GAINEZARRIZ egindako lotura: errematxe honek ebaketa sinplez egiten du lan,

zizailadura-ebakidura bat baitu.

» TOPE bidez eginiko lotura: errematxe honek ebaketa bikoitzaren bidez egiten du

lan, bi zizailadura-ebakidura baititu.

Ondo egindako errematxeak indarrak xaflen artean sortzen diren marruskadura-indarrei

esker transmititu behar ditu eta ez errematxeen ebaketei esker.

Errematxeen ebaketa kalkulatzeko marruskadurarik ez dagoela joko dugu, hau da,

karga guztia errematxeek jasan behar dutela.

Zizailaduraz lan egiten dute indarra honela transmititzen denean: lotu beharreko xaflen

eta kainaren errematxeen arteko ukipenaren bidez.

Kanabera

Page 62: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 57

Honako hauek izan daitezke hausturaren eragile:

11 Xaflaren trakzioak eragindako haustura

22 Lotura-elementua ebakitzean eragindako haustura

Zulo handiegien ondorioz ahuldutako eremua; gehienezko tentsiora askoz azkarrago iritsiko gara. Xaflaren inguruan egiten du lan.

Errematxearen inguruan egiten du lan

Page 63: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

58

33 Xafla zanpatzean eragindako haustura

44 Xafla ebakitzean eragindako haustura

OHARRA: Kalkuluak arauen arabera egiten baditugu, 2 eta 3 kasuez bakarrik arduratu behar dugu

(gainerakoak ez baitira gertatuko). Arauak kontuan hartu gabe kalkuluak egiten baditugu, berriz, kasu

guztiak kalkulatu behar ditugu.

Xafla meheegia izateagatik gertatu da haustura

Page 64: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 59

55 Lotura-elementua ebakitzean eragindako haustura

Ebaketaren kalkulua. Hipotesia P indarra ebakidura osoan zehar uniformeki banatuko da.

Flexio-momentua baztergarria da.

Gainazalen arteko marruskadura nulua da.

Errematxeak baldin badaude, P indarra uniformeki banatuko da (errematxe guztiak

indar bera jasango dute).

Ebakidura zuzenean tentsioen banaketa uniformea dela joko dugu. Ebaketa-tentsio

onargarria τonar baldin bada, tentsio hori ez gainditzearren erabili beharko dugun

errematxe-kopuru minimoak oreka-baldintza egiaztatuko du:

4

4

4

2

22

dnP

dnP

dnP

tADMADM

⋅⋅⋅=⇒

⋅⋅

⋅→⋅

→πτ

ππτ

Gainezarriz egindako lotura baldin bada:

ADMtdnP τπ ⋅⋅⋅=4

2

ADMt

dPnτπ 2

4⋅

⋅=

Tope bidez eginiko lotura baldin bada:

ADMtdnP τπ ⋅⋅⋅=4

22

ADM

td

Pnτπ 2

2⋅

⋅=

errematxe-kopurua (n) P =

P

Page 65: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

60

66 Xafla zanpatzeak eragindako haustura

Hipotesia

Presioa ukipen-gainazalaren eta ziriaren artean uniformeki banatuta dago.

Flexi-momentua baztergarria da, marruskadura nulua da,...

ADMc ed

Pnσ⋅⋅

= → topean ADM

c edPnσ⋅⋅

= → gainjarrita

OHARRA: Balio onargarriak, ebaketa eta konpresiorako Espainiako MV 103-1968ko arauak emanak.

ronar σβσ ⋅=

→=→=

65.080.0

ββ

==

r

r

σσ

=rσ

Uonar σασ ⋅=

→=→=5.2

2αα

=Uσ 2.400 kg /cm2 A – 37rako, eta 3.600 kg /cm2 A – 52rako

σu = xaflaren altzairuaren kalkulu-erresistentzia

OHARRA: Errematxe-zerrendaren kopurua handiagotzen bada, arazoa hiperestatiko bihurtuko da

eta tentsio-banaketa ez da berdina izango errematxe guztietan.

σONAR Xaflaren konprimitze-tentsio onargarria

e Xaflarik meheenaren lodiera minimoa

P = Ωa σonar

Ωa Zanpatutako eremua

Ωa = nc d e gainjarrita

Ωa = nc d e topean

2.400 kg /cm2 errematxeetarako

2.400 eta 3.000 kg /cm2 bitartean torlojuetarako

Errematxe eta torloju kalibratuen koefizientea

ohiko errematxe eta torlojuen koefizientea

lotura-elementuaren altzairuaren kalkulu-erresistentzia

ohiko torlojuen bidez eginiko loturen koefizientea torloju kalibratuen bidez eginiko loturen koefizientea

Page 66: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 61

77 Eszentrikoki aplikatutako karga

Errematxe-egituraren grabitate-zentroa zein den zehaztu behar dugu (G).

P indarra grabitate-zentro horretara aldatu behar dugu eta P.e. momentua aplikatu.

* Errematxe bakoitzak P/h karga jasango du, baita grabitate-zentroarekiko proportzionala den indarra ere.

k. momentuak errematxe bakoitzean duen eragina F indarraren bidez adierazi behar dugu. F indar

hori grabitate-zentroa errematxearen zentroarekin elkartzen duen lerroarekiko zuta da.

P uniformeki banatzen da

P.e. grabitate-zentrotik dagoen distantziaren arabera banatzen da

Errematxe bakoitzaren indarrak sortzen dituen momentu guztien baturak P.e.-ren berdina izan behar du:

∑ ∑ ∑=

⋅=⋅=⋅=⋅n

iiii irkrkrFeP

1

22

∑ ⋅

⋅=2ir

ePk

→⋅⋅=∑ i

ii r

rePF2

i errematxean indarra

Errematxe bakoitzaren indar ebakitzaileak honako bektore-batura hau izan behar du:

e

P

nPFR ii +=

Page 67: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

62

AARRIIKKEETTAAKK

1. ARIKETA

1 cm lodi eta 10 cm zabal diren bi plaka metaliko elkarren gainean jarriz lotu behar ditugu, 20 mm-ko

diametroa duten 4 errematxe erabiliz. 10.000 kg-ko trakzioa jasaten ari direla jakinik, honako hau

kalkulatu:

Errematxeen ebaketa-tentsioa. τ

Konpresio-tentsioa. σc plaken hormetan

Plaken gehienezko tentsio normala. σn

Page 68: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 63

2. ARIKETA

125 mm zabal eta 15 mm lodi diren bi plaka metaliko tope bidez elkarri lotuta daude, 10 mm lodi

diren zabalera bereko bi juntura-estalkien bitartez. 24 mm-ko diametroa duten torlojuen bidez egin da

lotura hori. Zuloen diametroa 27 mm-koa dela eta plakak 10.000 kg-ko trakzio-esfortzua jasaten ari direla

jakinik, honako hau kalkulatu:

Torlojuen ebaketa-tentsioa. τ

Plaketan dauden zuloen hormetako konpresio-tentsioa. σc

Plaketan dauden zuloen hormetako konpresio-tentsioa. σc

Tentsio normala plaken n1 – m1 ebakiduran.

Tentsio normala plaken n2 – m2 ebakiduran.

Tentsio normala juntura-estalkien n1 – m1 ebakiduran.

Tentsio normala juntura-estalkien n2 – m2 ebakiduran.

Page 69: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

64

3. ARIKETA

Irudian ikusten den oinpekoaren C konexioan 5 mm-ko diametroa duen larakoa erabiltzen da. Jakinik

P presioa = 600 N dela, kalkulatu honako hau:

Batez besteko esfortzu ebakitzailea larakoan

Oinpekoaren C puntuaren zanpatze-esfortzu nominala

C puntuaren euskarri bakoitzaren zanpatze-esfortzu nominala

4. ARIKETA

Beheko irudian ikusten denez, juntura-estalki bikoitzeko errematxatutako loturan 19 mm-ko

diametroa duten errematxeak daude. Errematxe horiek beroan sartu dira 20 mm-ko diametroa duten

zuloetara eta hiruzuloka muntatu dira. Errematxeetan eta xafletan tentsio onargarriak σ1= 1.900 kg / cm2,

τ1 = 1.600 kg / cm2, σ2= 1.600 kg / cm2, τ2 = 800 kg / cm2 dira hurrenez hurren.

Kalkulatu loturak jasan dezakeen F indarra:

Errematxe-elementua ebakiz

Xaflaren trakzioaz

Juntura-estalkiaren trakzioaz

Xafla zanpatuz

Juntura-estalkia zanpatuz

Page 70: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 65

5. ARIKETA

Irudian ikusten den egiturarentzat honako hau kalkulatu:

Esfortzu normala AB eta CB barretan

Esfortzu ebakitzaileak larakoetan

BC HAGATXOAREN AURREKO BISTA

Mutur laua

AURREKO BISTA

ATZEKO BISTA

AB GOIKO BISTA

Mutur laua

Page 71: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

66

6. ARIKETA

Zehaztu ondoko irudi honetako errematxeetan eragiten duen indar ebakitzaile handiena zein den,

honako datu hauek kontuan izanik:

P = 5.000 kg

A = 7 cm

B = 12 cm

E = 40 cm

Zehaztu indar handienari zein errematxe dagokion.

e

P

b

b

Page 72: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 67

Soldatutako loturak

Prozedura honetan metalak fusio bitartez lotzen dira. Hainbat metodo dago prozedura hau egiteko:

Soldagailu oxiazetilenikoaren bitartez.

Arku elektrikoaren bidez.

Beste baliabide batzuk erabiliz, hala nola etzanda, EB, laserra,...

Soldadura bidezko bi lotura-mota hauek bereiz ditzakegu:

Tope bidez eginiko lotura

Lotura hauek jasan dezaketen gehienezko karga soldaduraren sekzio erabilgarria bider tentsio

onargarriaren bidez lortzen dena da.

admbeP σ⋅⋅=max

Gainezarriz egindako lotura

Lotura-mota honek beste bi modu hauek ere baditu:

be

Alboko kordoiduna Aurreko kordoiduna

Page 73: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

68

Karga maximotzat honako hau hartu ohi da:

Pmax = a b σonar

Kontuan izanik a → Lepoa eta b → Kordoi-luzera direla.

OHARRA: Tentsio onargarriari buruz kontuan hartu beharrekoak:

Esperimentuen bitartez kalkulatzen da tentsioa.

Alboko kordoidunen eta aurreko kordoidunen kasuetan ez da tentsio bera izaten, alboko

soldadurak ebaketaren bidez lan egiten baitu.

Eskuarki taulen bidez kalkulatu ohi da.

OHARRA: Kordoiaren erresistentziak ez da sekula oinarrizko materialaren erresistentzia baino

handiagoa izan behar.

45º

t

a

t → Aldea

a → Lepoa

Page 74: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 69

AARRIIKKEETTAAKK

1. ARIKETA

150 x 150 x 14 mm-koa den ebakidura angeluarreko tenkagailua xafla handi batera soldatuta dago,

irudian ikusten den bezala. Guztizko trakzio-esfortzua P = 47.000 kg-koa da; lepoa, a = 9 mm-koa.

Soldadura-metalaren laneko tentsioa τ = 950 kg/cm2 baldin bada ebaketan, zein L1 eta L2 luzera

izango dituzte soldadura-kordoiek?

Kargak eragiten duen lerroan profil angeluarraren grabitate-zentroarekin bat dator.

a1 = 4,21 cm

a2 = 10,79 cm

Page 75: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

70

6. ERANSKINA: MV – 103 Oinarrizko arauaren formula orokorrak

LOTURA

Kasua ESKAERA LOTURA ADIERAZPEN PRAKTIKOA

TRAKZIOA

TRAKZIOA

TRAKZIOA

TRAKZIOA

Alboko soldadurak soilik

Aurreko soldadurak soilik

Soldadura zeiharrak soilik

Aurreko eta alboko soldadurak konbinatuta L2 ≥ 1,5 h denean

Alboko kordoiak soilik hartu behar dira

k t

6. kasuko L3 kordoia saihestu egin

behar dugu

Page 76: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 71

Aurreko eta alboko soldadurak konbinatuta

β-ren balioak 3. kasuaren arabera

Honako hau bete behar da:

KASUA

TRAKZIOA

TRAKZIOA

TRAKZIOA

Aurreko eta alboko soldadurak konbinatuta

ESKAERA LOTURA ADIERAZPEN PRAKTIKOA

0,5 h < L2 ≤ 1,5 h denean Loturak transmiti dezakeen gehienezko esfortzua

Adierazpen hauetan:

β-ren balioak 3. kasuaren arabera Honako hau bete behar da:

0,5 h < L2 ≤ 1,5 h denean Loturak transmiti dezakeen gehienezko esfortzua

β-ren balioak 3. kasuaren arabera Honako hau bete behar da:

L2 ≥ 1,5 h denean Loturak transmiti dezakeen gehienezko esfortzua

β-ren balioak 3. kasuaren arabera Honako hau bete behar da:

Aurreko eta alboko soldadurak konbinatuta

Aurreko eta alboko soldadurak konbinatuta

Page 77: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

72

KASUA ESKAERA LOTURA ADIERAZPEN PRAKTIKOA

Honako hau bete behar da:

Adierazpen hauetan:

Aurreko luzetarako soldadurak soilik

Flexio--sinplea

Flexio--sinplea

Flexio--sinplea

Aurreko zeharkako soldadurak soilik

Aurreko, luzetarako eta zeharkako soldadurak

e >> L denean

W soldaduren modulu erresistentea izanik

e >> L denean

A1 soldadurak

A2 soldadurak

A3 soldadurak

W soldaduren modulu-erresistentea izanik Momentua a1 eta a2 soldadurek xurgatu dutela eta ebaketa--esfortzua a3 soldadurak jo daiteke.

Page 78: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 73

Page 79: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

74

Flexioa, tortsioa eta

ebaketa--esfortzua

konbinatuta

Tortsioa eta ebaketa-

-esfortzua konbinatuta

KASUA ESKAERA LOTURA ADIERAZPEN PRAKTIKOA

Alboko eta aurreko bina soldadura 0,5 h < L2 < 2 h denean 1 soldaduretarako gehienezko tortsio-momentu onargarria.

2 soldaduretarako gehienezko tortsio-momentu onargarria.

F* e momentua deskonposatzen da M1 eta M2-rekiko proportzionalki.

Ebaketa-esfortzua (juntura-planoan baldin badago edo eszentrikotasu-na txikia bada) 2 soldadurek xurga-tu dutela jo daiteke. 1 soldadura makurdura soilarekin kalkulatzen da. 2 soldadura 11. kasukoa bezala kalkulatzen da.

0,5 < L < 2h denean, a kasua:

M1 eta F*-gatik lortutako σ, tn eta tm balioak 13. kasuan bezala lortzen dira M*-gatik lortutako σ eta tm balioak 10. kasuan bezala lortzen dira

( 0=τ fMa )

b kasua: M*-gatik, tentsioak lortzen ditugu:

Non: A, soldaduren lepo--ebakiduraren erdiko lerroak hesitako lerroa, loturaren plano gainera eraitsia den; a, aipatu gunean soldadurak daukan lepo--dimentsioa den.

Gainerako tentsioak eta solda-duren egiaztatzea a kasuan bezalakoak dira.

Kasu guztietan honakoa bete behar da:

Oro har, lotura horietan tortsioaren eraginez sortutako tentsioen kalkuluak alde batera utz daitezke.

Tortsioa eta ebaketa-

-esfortzua konbinatuta

Page 80: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 75

44 FFLLEEXXIIOOAA

4.1 Flexioaren hastapenak

Euskarriak habeak egituraren gainerakoarekin dituen loturak dira. (Izan ere, habearen askatasun-

-mailaren murrizketak dira euskarriak).

Habeak sei askatasun-maila ditu.

Euskarri bat jartzen dugunean, askatasun-maila bat murrizten dugu eta erreakzioa

sorrarazten dugu.

Ikusiko ditugun euskarri-motak euskarri idealak dira, eta askatasun-mailak modu ideal eta

teorikoan murrizten dituzte.

Habe gehienek edonolako ebakidura izango dute, baina guk simetria-planoa dutela (baita

indar eta kanpoko ekintza guztiak bertan daudela ere) joko dugu.

Euskarri-mota ohikoenak honako hauek dira:

Euskarri finko giltzatua

» Murrizten diren bi mugimenduen ondorioz bi erreakzio-mota izango ditugu kasu

honetan.

» Biraketa-mugimendua ez dago murriztuta.

Rx

Page 81: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

76

Euskarri finko labaingarria

» Ez du momenturik transmititzen.

Horman sartutako euskarria

» Euskarri-mota honek planoan egon daitezkeen murrizketa guztiak ditu.

OHARRA: Habean dugun ezezagun-kopuruaren arabera, habeak isostatikoak edo hiperestatikoak

direla esango dugu.

Ry

Rx

Mz

Ry

Page 82: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 77

Isostatikoak

1. adib.: Habeak estatikoki zehaztuta daudenean (estatikaren oreka-ekuazioen bidez erreakzioak

kalkula daitezke).

∑∑

==

=+=

0;0

;0

RaxFx

PRbyRayFy

2. adib.: Hegala (edo mentsula) duen habean.

L

a b

BAP

RbyRay

( )allP

laPPRay

laPRby

aPlRbyMa

−⋅=⋅−=⋅=

=⋅−⋅=∑;

0

P

L

a

RaxMa

Ray

Rax = 0

Ray = P

Ma = P . a

Page 83: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

78

Hiperestatikoak

Estatikoki zehaztu gabeak diren habeak: ezezagun-kopurua proposa daitezkeen estatika-ekuazioak

baino handiagoa da.

n → hiperestatikotasunaren maila-kopurua

4.2 Indar ebakitzailea eta flexio-momentua

Habe jakin bat diseinatzean edota aztertzean habearen ebakidura bakoitzean eragiten duen flexio-

-momentua ezagutzea interesgarria da.

Ebakidura kritikoa flexio-momentu maximoa edo indar ebakitzaile maximoaren eragina jasaten duen

ebakidura da.

Indar ebakitzailearen eta flexio-momentuaren diagrametan habean zehar bi balio hauek nola

aldatzen diren ikus daiteke.

n = 2

n = 1

n = 3

Page 84: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 79

Honako urrats hauek eman behar ditugu:

Aztertu behar dugun habea isolatu. (Euskarrietako erreakzioak kalkulatu)

Indar ebakitzaileak eta flexio-momentuak lege bati jarraitzen diotela ikusten dugunean habe-

-zati horiexek aukeratu.

Euskarri batetik hautatutako habe-zati horietako bakoitzera ebaketa egin.

Ebaketa-esfortzuen legea aztertu.

Flexio-esfortzuen legea aztertu.

Ebaketaren printzipioak dioenez, piezaren irudimenezko ezkerreko aldean eragiten duten barne-

-esfortzuak eta ebakidura horren eskuineko aldean eragiten duten kanpo-esfortzuak berdinak dira.

Esfortzu horiek habean zehar modu sinple eta trinkoan adierazi ahal izateko esfortzu-diagramak erabiliko

ditugu. Esfortzu-diagrama horiek ondoren adieraziko ditugun motakoak izan daitezke:

Esfortzu normalen diagrama (ebakidurarekiko indar normalak).

Esfortzu ebakitzaileen diagrama (indarrak ebakidura-planoan kokatuta).

Flexio-momentuen diagrama (momentuak ebakidura-planoan kokatuta).

Tortsio-momentuen diagrama (ebakidurarekiko momentu normalak).

Eskuarki hitzartutako honako ikur hauek erabili ohi dira:

» Esfortzu normalak positiboak dira habea trakzioaren eraginpean dagoenean.

» Flexio-momentuak positiboak dira goiko zuntzak konprimitzen direnean eta beheko zuntzak, aldiz,

tenkatzen direnean.

» Ebaketa-momentuak positiboak dira ezkerraldeko aldeak eskuinaldekoarekin konparatuz gorantz

joateko joera duenean.

-+M

N N+dN N

M M+dM

M+dM

Q

Q

Q+dQ

Q+dQ

Page 85: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

80

Ariketak

1. MOTA: KARGA KONTZENTRATUAK EDO PUNTUALAK

1. Ariketa

Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.

2. Ariketa

Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.

5 m

2,5 m

BA

P= 4000 Kg

B

A

2000 Kg

2000 Kg

4 m 2 m 2 m

Page 86: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 81

BA

2000 Kg

2000 Kg

3

5

0,5

3. Ariketa

Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.

4. Ariketa

Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.

BA

2,8 Tn 8 Tn 2,5 Tn

1 m 1,3 m 1,3 m 1

Page 87: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

82

2. MOTA: BANATUTAKO KARGAK

1. Ariketa

Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.

2. Ariketa

Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.

BA

1000 Kg/m

4

500 Kg/m

3000 Kg800 Kg/m

4 m4 m

Page 88: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 83

3. Ariketa

Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.

4. Ariketa

Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagrama.

BA

6 cm 3 cm 3 cm

4000 kg1000 kg/cm

BA

500 Kg/m1000 Kg

500 Kg/m

1000 Kg

2 m 2 m 2 m

2 m

2 m

Page 89: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

84

4.3 Ebaketa-esfortzuaren, flexio-momentuaren eta kargaren arteko erlazioak

Demagun Q izeneko karga-sistema aldakorraren eraginpean dagoen habe-zatia daukagula.

Karga T ebaketa-esfortzuaren X-en deribatua da.

dMMdxQdxTdxM

M

+=⋅−+

=∑

2

0

Goi-mailako elementu diferentzialak baztergarriak direla kontuan izanik, honako hau idatz dezakegu:

Q

dx

M T T+dT M+dM Aislamos el elemento

M T T+dT M+dM

dx

Elementua isolatu

egingo dugu

( )

dxdTQ

dTTQdxTF

−=

=+−−→=∑ 00

∫ ⋅−= dxQT

∫ ⋅=→=

+=+

dxTMdxdMT

dMMTdxM

Page 90: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 85

1. Ariketa

Zehaztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak. Kalkulatu, halaber, flexio-

-momentu maximoa.

3. Ariketa

Zehaztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.

AB

L

P

P

4m8m2m

5 Tn 3,5 Tn

Page 91: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

86

4. Ariketa

Zehaztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.

5. Ariketa

Eraiki arkupe honen ebaketa-esfortzuen, flexio-momentuen eta esfortzu normalen diagramak.

2,8 Tn 2,5 Tn8 Tn

1 m 1,3 m 1,3 m 1 m

D

C

B E

A

2Tn2 Tn·m

3 m

4,5 m1 m

Page 92: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 87

4.4 Flexio puruaren hastapenak

C eta D puntuen artean flexio-momentua konstantea da. Flexio-momentua konstantea denean

ebaketa-esfortzua nulua da, hau da, honako hau flexio hutsaren kasua izango litzateke.

AC D

B

P P

L

a a

P·x

P+

P-

Page 93: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

88

Ordezkari bakarra flexio-momentu positiboa da (ez dago ez, ebaketa-esfortzurik eta ez indar

normalik – trakziorik edo konpresiorik, alegia -). Horrelako karga jasaten duen habe-zatiari flexio hutsa

jasaten ari dela esaten zaio.

4.5 Flexio hutsa. Navier-en legea

Prisma mekanikoaren ebakidura zuzenean, alde batean kokaturiko indarren ordezkaria nulua

denean eta momentu ordezkaria ebakidura horretan bertan dagoenean, prisma hori FLEXIO HUTSEAN

dagoela esango dugu.

Horretaz gainera, momentu-bektorea inertziaren erdialdeko ardatz batean baldin badago, FLEXIO SIMETRIKOA dela esango dugu.

Esperientziari esker, badakigu flexio-momentuak eragiten duenean momentu beraren sortzailea

kurbatu egiten dela: zuntz batzuk laburtu egiten dira eta beste batzuk luzatu egiten dira. Laburtzen diren

zuntzak ezinbestean konpresio-indarren eraginpean daude eta luzatzen direnek, berriz, trakzio-indarrak

jasaten dituzte. Argi dago (homogeneotasunari, jarraitasunari eta isotropiari buruzko hipotesiak onartuta,

jakina) laburtuko eta luzatuko ez den zuntza ere badagoela, eta zuntz horrek ez duela inolako tentsiorik

jasaten eta horrexegatik esaten zaio ZUNTZ NEUTROA.

Aurrerago ikusiko dugunez, zuntz neutro horrek prismaren ebakidura guztien grabitate-zentroak ditu

bere baitan.

(a) Flexio hutsa (b) Flexio simetrikoa

Page 94: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 89

Flexioa aztertzean honako oinarrizko hipotesi hauek onartuko ditugu:

1. Flexioan dagoen solidoak elastikotasun proportzionalaren mugak ez ditu gainditu behar.

2. Deformazioaren aurretik lauak ziren ebakidurak deformazioaren ondoren ere lauak izango dira

(Bernoulliren hipotesia).

3. Deformazioek aski txikiak izan behar dute deformazioaren lehenengo hurbilketan kanpo-indarren

eragina alda ez dadin

Ulertzekoa da kanpoko zuntzek, gehien deformatuko diren zuntzak direnez, tentsio handiagoak

jasatzea.

Ondoren tentsio horiek nola aldatzen diren (NAVIER-EN LEGEA) eta zein balio duten ikusiko dugu.

Demagun AB zuntz neutroaren traza dela eta bere kurbadura-erradioa ρ dela.

ϕρ ddx ⋅=

dxdϕ

ρ=1

Page 95: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

90

HJ marrak eskuineko ebakidura deformatu gabe adierazten badu, marra hori eta ED marra

paraleloak direla ikus daiteke. Deformazioaren ondoren, eta BERNOULLI-ren hipotesiaren arabera,

ebakidura hori dϕ angelua biratuko da eta laua izaten jarraituko du. Beraz:

MN = ydϕ

PN = dx

MN = ∆dx

Eta hemendik honako hau lortuko dugu:

Eta horren guztiaren ondorioz:

Navier-en legea

Flexio purua jasaten ari den ebakiduran, zuntzetan eragiten dituzten tentsioak zuntz neutroarekiko

dagoen distantziarekin zuzenki proportzionalak dira.

Tentsio horien adierazpen grafikoak lineala izan behar du, eta espero zitezkeenez, konpresio- eta

trakzio-indar maximoak kanpoko zuntzei dagozkie.

ρ

ϕε

ydxdy

PNMN

dxdx

x =⋅

==∆=

ρε

yx = yEExx ⋅==

ρεσ

Ardatz neutroa

Page 96: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 91

Ebakiduraren grabitate-zentroa zuntz neutroan dagoela egiaztatuko dugu orain. Hain zuzen ere,

oreka elastikoaren baldintzak bete behar direnez, kanpoko eta barneko indarren ordezkariak nulu izan

behar du ebakidura guztietan.

Hori horrela izanik, honako hau idatz dezakegu:

Honako balio hauek kontuan izanik:

Kontuan izanik “y” horiek grabitate-zentroa duen ardatzarekiko ebaki egin behar direla, zeren:

Plano berean dagoen ardatzarekiko gainazal lauaren momentu estatikoa da eta nulua kasu horretan

soilik izango da.

Ebakiduran oreka elastikoa bermatzeko ez da nahikoa ordezkaria nulua izatea. Horrez gainera,

nulua izan beharko du ebakiduraren G grabitate-zentroarekiko kanpoko eta barneko indarren momentu

ordezkariak ere. Horrenbestez, kanpoko indarren momentuaren (flexio-momentua ere deitua) eta

barneko indarren momentuaren modulua berdinak izango dira.

Hori guztia jakinik, honako hau idatz dezakegu:

zIy

dyy

dyM ⋅=Ω⋅=Ω⋅⋅= ∫∫ΩΩ

σσσ 2

Z-rekiko inertzia-momentua honako hau izango da:

∫Ω

Ω⋅= dyI z2

0=Ω⋅=Ω⋅⋅=Ω⋅ ∫∫∫ΩΩΩ

dyy

dyy

d σσσ

ctetg =ϕyσϕ =

0=Ω⋅∫Ω

dσ ∫Ω

Ω⋅ dσ

Page 97: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

92

Aurreko formula horretan tentsioa bakanduz gero, honako hau lortuko dugu:

Gauza bera beste modu honetara ere idatz daiteke:

Eta hemendik hauxe ondorioztatuko dugu:

Ondorioz, honako hau bete egin beharko da: kokatutako ebakiduraren momentu erresistentea

kontuan hartutako ebakiduraren beharrezko momentu erresistentearen berdina edo handiagoa

izango da.

Lehen azaldu dugun teoria flexio hutsaren kasurako garatu da, hau da, habe osoan zehar flexio-

-momentua konstantea den kasurako. Kasu horretan ebakidura zuzen guztietan ebaketa-esfortzua nulua

izango da eta flexioak eragindako tentsio normalak sortuko diren tentsio bakarrak izango dira.

zIyM ⋅

yIMz

max

max

yIMz

===maxmax yI

WM zzσ

EBAKIDURAREN MOMENTU ERRESISTENTEA

Page 98: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 93

Forma geometriko arrunten inertzia-momentuak

LAUKIZUZENA

( )22

3

3

3'

3'

121

3131121121

hbbhJ

hbI

bhI

bT

bhT

C

Y

X

hY

X

+⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

TRIANGELUA

3

3'

121361

bhI

bhT

X

X

⋅=

⋅=

ZIRKULUA

40

4

21

41

rJ

rTT YX

π

π

⋅=

⋅==

ZIRKULUERDIA

40

4

41

81

rJ

rII YX

π

π

⋅=

⋅==

ZIRKULU-LAURDENA

40

4

81

161

rJ

rII YX

π

π

⋅=

⋅==

ELIPSEA

( )22

3

3

414141

baabJ

baT

abT

C

Y

X

+⋅=

⋅=

⋅=

π

π

π

y

xo

y

xo r

c

y

xo r

c

xb

x'

h/3

hx

b

x'

y y'

h

x

y

o

b

a

Page 99: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

94

Habea eta karga Kurba elastikoa Deflexio maximoa Muturrean malda Kurba elastikoaren ekuazioa

Page 100: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 95

T bikoitza profil arrunta (ipn)

Page 101: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

96

A = Ebakiduraren sekzioa

I = Inertzia-momentua

W = Modulu erresistentea

i = AI = Biraketa-erradioa

Sx = Ebakidura-erdiaren momentu estatikoa

sx = x

x

S I

= Trakzio- eta konpresio-zentroen arteko distantzia

y-y ardatzari dagokio

Page 102: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 97

T bikoitza europako profila (ipe)

Neurriak (mm) Sekzioa

A cm2

Pisua P

kg/m

x-x ardatzari dagokio

Page 103: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

98

A = Ebakiduraren azalera

I = Inertzia-momentua

W = Modulu erresistentea

i = AI = Biraketa-erradioa

Sx = Ebakidura-erdiaren momentu estatikoa

sx = x

x

S I

= Trakzio- eta konpresio-zentroen arteko distantzia

n = Errendimendua

u = Perimetroa

y-y ardatzari dagokio

Page 104: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 99

T bikoitza hegal zabala. Serie ertaina (heb)

Neurriak (mm) Sekzioa

A cm2

Pisua P

kg/m

x-x ardatzari dagokio

Page 105: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

100

y-y ardatzari dagokio

A = Ebakiduraren azalera

I = Inertzia-momentua

W = Modulu erresistentea

i = AI = Biraketa-erradioa

Sx = Ebakidura-erdiaren momentu estatikoa

sx = x

x

S I

= Trakzio- eta konpresio-zentroen arteko distantzia

n = Errendimendua

u = Perimetroa

Page 106: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 101

T bikoitza hegal zabala. Serie arina (hea)

Neurriak (mm) Sekzioa

A cm2

Pisua P

kg/m

x-x ardatzari dagokio

Page 107: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

102

y-y ardatzari dagokio

A = Ebakiduraren azalera

I = Inertzia-momentua

W = Modulu erresistentea

i = AI = Biraketa-erradioa

Sx = Ebakidura-erdiaren momentu estatikoa

sx = x

x

S I

= Trakzio- eta konpresio-zentroen arteko distantzia

n = Errendimendua

u = Perimetroa

Page 108: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 103

T bikoitza hegal zabala. Serie astuna (hem)

Neurriak (mm) Sekzioa

A cm2

Pisua P

kg/m

x-x ardatzari dagokio

Page 109: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

104

A = Ebakiduraren azalera

I = Inertzia-momentua

W = Modulu erresistentea

i = AI = Biraketa-erradioa

Sx = Ebakidura-erdiaren momentu estatikoa

sx = x

x

S I

= Trakzio- eta konpresio-zentroen arteko distantzia

n = Errendimendua

u = Perimetroa

y-y ardatzari dagokio

Page 110: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 105

Ohiko u-formako profila (upn)

Neurriak (mm) Pisua

P kg/m

x-x ardatzari dagokio Sekzioa

A cm2

y-y ardatzari dagokio

Page 111: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

106

A = Ebakiduraren azalera

I = Inertzia-momentua

W = Modulu erresistentea

i = AI = Biraketa-erradioa

Sx = Ebakidura-erdiaren momentu estatikoa

sx = x

x

S I

= Trakzio- eta konpresio-zentroen arteko distantzia

m = G barizentrotik M ebaketa-esfortzuen zentrora dagoen distantzia

n = Errendimendua

u = Metro linealeko albolko gainazala

Page 112: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 107

Alde berdineko angelua (l)

Neurriak (mm) Sekzioa

A cm2

Pisua P

kg/m

Ardatzen kokapena (cm)

* UNE 36-531-72 arauak gomendatutako profilak ** NBE 102 arauak gomendatutako profilak

Page 113: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

108

Ardatzei dagokio

A = Ebakiduraren azalera

I = Inertzia-momentua

W = Modulu erresistentea

i = AI = Biraketa-erradioa

u = Metro linealeko alboko gainazala

Page 114: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 109

Alde berdineko angelua (l)

Neurriak (mm)

Sekzioa A

cm2

Pisua P

kg/m

Ardatzen kokapena (cm)

* UNE 36-531-72 arauak gomendatutako profilak ** NBE 102 arauak gomendatutako profilak

Page 115: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

110

A = Ebakiduraren azalera

I = Inertzia-momentua

W = Modulu erresistentea

i = AI = Biraketa-erradioa

u = Metro linealeko alboko gainazala

Ardatzei dagokio

Page 116: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 111

Alde berdineko angelua (l)

Neurriak (mm)

Sekzioa A

cm2

Pisua P

kg/m

Ardatzen kokapena (cm)

* UNE 36-531-72 arauak gomendatutako profilak ** NBE 102 arauak gomendatutako profilak

Page 117: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

112

A = Ebakiduraren azalera

I = Inertzia-momentua

W = Modulu erresistentea

i = AI = Biraketa-erradioa

u = Metro linealeko alboko gainazala

Ardatzei dagokio

Page 118: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 113

Alde desberdineko angelua (ld)

Neurriak (mm) Sekzioa

A cm2

Pisua P

kg/m

Ardatzen kokapena (cm)

* UNE 36-531-72 arauak gomendatutako profilak ** NBE 102 arauak gomendatutako profilak

Page 119: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

114

A = Ebakiduraren azalera

I = Inertzia-momentua

W = Modulu erresistentea

i = AI = Biraketa-erradioa

Ardatzei dagokio

Page 120: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 115

Alde desberdineko angelua (ld)

* UNE 36-531-72 arauak gomendatutako profilak ** NBE 102 arauak gomendatutako profilak

Neurriak (mm)

Sekzioa A

cm2

Pisua P

kg/m

Ardatzen kokapena (cm)

Page 121: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

116

A = Ebakiduraren azalera

I = Inertzia-momentua

W = Modulu erresistentea

i = AI = Biraketa-erradioa

Ardatzei dagokio

Page 122: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 117

Alde desberdineko angelua (ld)

Neurriak (mm) Sekzioa

A cm2

Pisua P

kg/m

Ardatzen kokapena (cm)

* UNE 36-531-72 arauak gomendatutako profilak ** NBE 102 arauak gomendatutako profilak

Page 123: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

118

A = Ebakiduraren azalera

I = Inertzia-momentua

W = Modulu erresistentea

i = AI = Biraketa-erradioa

Ardatzei dagokio

Page 124: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 119

80 mm

120 mm

6 mm

Ariketak

1. Ariketa Irudian ikus daitezkeen habea eta kargak ditugu. Kalkulatu honako datu hauek:

a) Flexio-momentuaren balio absolutu maximoa

b) Flexioak eragindako esfortzu normal maximoa

2. Ariketa

Irudian ikus daitekeen tutu angeluzuzena aluminiozko aleazioarekin lortzen da. Aluminioari honako

datu hauek dagozkiola kontuan izanik: GPaEMPaadm 70110 ==σ

Kalkulatu honako datu hauek:

a) 3 segurtasun-faktorea duen M flexio-momentua

b) Tutuaren kurbadura-erradioa (l)

Page 125: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

120

3. Ariketa

Kalkulatu lurreko habexken h zoruaren karga 700 kg/m-koa dela eta euskarrien artean 3 m dagoela

jakinik. Kontuan izan habexkek 5 cm-ko lodiera dutela eta 70 kg/ cm2-ko laneko tentsioa dutela.

4. Ariketa

Ondoko irudia kontuan hartuta, kalkulatu honako datu hauek:

a) Tentsio maximoa

b) Erdialdeko tartearen kurbadura-erradioa (l)

c) Gezia

1000 Kg 1000 Kg

0,8 m 0,8 m3,8 m

1000 Kg 1000 Kg

0,8 m 3,8 m 0,8 m

700 Kg/m5

h

700 Kg/m 5

h

Page 126: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 121

5. Ariketa

Honako habe honen ebakidura kritikoa aurkitu, bai eta tentsio maximoa ere.

B = 20 cm

H = 30 cm

6. Ariketa

Irudi honetako ardatzak zirkulu-formako ebakiduran izan behar duen diametro txikiena zenbatekoa

den. Kalkulatu honako material hauekin eraikitzen bada:

MUGA ELASTIKOA RM HAUSTURAREKIKO ERRESISTENTZIA Altzairu ijetzia 520 Mpa 860 Mpa

Titaniozko aleazioa 825 Mpa 960 Mpa

2014-T6 aluminioa 480 Mpa 410 MPa

500 N 500 N60 Nm

120 mm 120 mm200 mm 100 mm

500 N 60 Nm 500 N

120 mm 200 mm 100 mm 120 mm

800 Kg/m

1500 Kg 2000 Kg

1,2 2 2

1500 Kg 2000 Kg

800 Kg/m

1,2 2 2

Page 127: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

122

7. Ariketa

T eta M flexio-diagramak marraztu. Kalkulatu tentsio normal maximoa eta hautatu habearen

materiala (zirkulu-formako ebakidura duen habea, Ø 60 mm-koa delarik).

8. Ariketa

Kalkulatu irudian ikus daitekeen habeak jasan ditzakeen flexio-momentuen arteko erlazioa bere

erabilpen-modua aldatzen denean. Kontuan izan habearen alde handiena h = 60 mm eta alde txikiena

b = 30 mm direla.

3 Kg/m P=10 Kg

80 30 20 30

P=10 Kg 3 Kg/m

Page 128: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 123

9. Ariketa

Ebakidura angeluzuzena duen altzairuzko barrak tenperatura-aldaketak jasaten ditu. Ondorioz, goiko

aldea AT = 40 ºC-raino berotuko da eta beheko aldea, berriz, AT = -40 ºC-taraino hoztuko da.

Tenperaturaren banaketa modu linealean aldatuz doa muga horien artean h = 80 mm-ko altueran.

Zehaztu barrak izango duen kurbadura bere muturrak oinarri dituenean.

Zehaztu flexio-momentua eta tentsio maximoa barraren muturrak horman sartuta

daudenean.

α= 12 x 10-6

10. Ariketa

Irudi honetako datuak kontuan hartuta, kalkulatu flexio-momentua.

AT =

-40

ºC

AT =

40

ºC

Page 129: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

124

4.6 Flexioa jasaten duen habearen ebakidura zuzenaren formarik egokienaren

kalkulua

σ ardatz neutrotik urrutien dauden

puntuetan ezin da R tentsio onargarria

gainditu. Hortaz, gainerako puntuetan σmax <

Rp → tentsioak kanpoaldeko zuntzetan

daudenez, barnealdeko zuntzek lan gutxi

egiten dute. Ondorioz, materiala ez dago ondo erabilita.

Beraz, honako hau egitea komeni da:

Arima txikiagotu egin behar da. Arima meheagoa izatea komeni da, tentsioek, lan gutxi

egiteaz gain, ardatz bertikalean momentuak sorrarazten baitituzte.

Masa ardatz neutrotik urruti kontzentratu behar da. Izan ere, σ dΩ esfortzuek, ardatz

neutroraino zenbat eta “y” distantzia txikiagoa izan, hainbat eta momentu txikiagoak

sortuko baitituzte. Ondorioz, ardatz neutrotik hurbil dauden dΩ elementuek ez dute kasik

lagunduko M jasaten.

Hori horrela izanik, T bikoitzaren forma duen habeak flexio-esfortzuak jasateko ebakidura ideala

dauka. Adibidez:

Horren abantaila ikusteko Ω azalera bera duen

ebakidura angeluzuzeneko habearekin konparatuko dugu.

* T bikoitzaren forma duen habearen ebakidura

hy

IW

MAX

Z Ω= 32,0

* Ebakidura zuzena

hhbh

hb

yI

WMAX

Z Ω≈⋅=⋅

== 167,06

2

12 23

s

h

Ω

Page 130: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 125

Kontuan izanik WRpMWMWM

MAX ⋅=→⋅=→= 2,0σσ dela, → W zenbat eta handiagoa izan,

hainbat eta gehiago jasan ahal izango du.

(Rp0,2 0,2ko deformazioa sortuko duen ehuneko elastikoa da)

Ondorioz, hauxe lortuko dugu: ebakidura eta altuera bera izanik, T bikoitzeko profilak flexio-momentu

bikoitza jasan ahal izango du.

Arrazonamendu hau muturrera eramaten badugu, masa guztia muturretan kontzentratuta egongo

balitz (profilaren hegaletan, alegia) eta profilaren arima izugarri mehea balitz...

Kalkulu horretatik hauxe ondoriozta dezakegu:

Arimaren lodiera ahalik eta txikiena izatea lortu behar dugu. Ebakidura ahalik eta altuena izatea lortu behar dugu, ebakidura konstantea izanik,

zenbat eta h handiagoa izan, hainbat eta W handiagoa izango baitugu.

Halaz ere, kontuan izan behar dugu habeak karga bertikalak ere jasan behar dituela, eta kasu

horretan zurruntasun bertikaleko arazoak agertuko dira. Arazo horiek gilbordura eta ezegonkortasunak

eragingo dituzte, baita ezegonkortasun elastikoko fenomenoak ere, eta horiek guztiak arima oso mehea

baldin bada, arima makurtu egingo dute.

OHARRA: Habean tentsio maximoak kanpoko zuntzetatik ardatz neutrora dagoen distantziarekiko

proportzionalak dira.

OHARRA: Gerta daiteke W trakzioan eta konpresioan berdina ez izatea. Adibidez:

Imaginemos que todo el áreaestá concentrada (actua) en estepunto

Demagun azalera osoa puntu honetan

kontzentratuta dagoela (puntu honetan eragiten

duela, alegia).

hhh

h

yI

WhMAX

Z Ω=Ω=

Ω⋅

==⇒Ω 5,02

2

222

,

2

∫ Ω⋅= dyI Z2

Page 131: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

126

OHARRA: Material batzuek ez dute muga elastiko bera trakzioan eta konpresioan:

Materialak trakzio- eta konpresio-erresistentzia bera baldin badu, grabitate-zentroa erdibideko altueran duten ebakidurak hartzea komeni da.

Materialak trakzio-erresistentzia txikia eta konpresio-erresistentzia oso handia baldin badu

(burdinurtua eta hormigoia, kasu), kanpoaldeko zuntzen eta zuntz neutroen arteko distantzia eta trakzioarekiko eta konpresioarekiko tentsio onargarrien arteko erlazioa berdinak dituen ebakidura hautatu beharko dugu.

* Horrela trakzioan eta konpresioan erresistentzia bera izatea lortuko dugu.

* Hegalaren eta arimaren neurriak konbinatuz grabitate-zentroa (hots, ardatz neutroa) nahi dugun

tokian kokatu ahal izango dugu.

* Ardatz neutroaren kokapenaren arabera, trakzio- eta konpresio-mugetara aldi berean iristen diren

habeak lortu ahal izango ditugu.

Adibidea:

Burdinurtu grisa edo hormigoiaren kasuan.

TRAKZIOAKONPRESIOA RpRp ⟩⟩

Balio horiek berdinak dituzten habeak lortuko ditugu erlazio hauek erabiliz:

KONPRESIOA

TRAKZIOA

RpRp

yy

=21

2

1

yIzW

yIzW

TRAKZIOA

KONPRESIOA

=

=

Page 132: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 127

Honako hau kasu horren ohiko

adibidea da: T alderantzikatuaren

forma duen habea erabiliko dugu.

Arimaren eta hegalaren neurriak

konbinatuz materialaren forma

trakzioak eta konpresioak eskatzen

dituzten premietara egokituko dugu.

Habe-mota horretan “v” handiagotu egingo da “l” gehiegi

handiagotu gabe. Ondorioz, W erresistentzia-modulua (W = I/v =

I/y) angeluzuzenarena, irtengunerik gabe, baino txikiagoa izango

da. Hortaz, muga elastikora berehala iritsiko gara A puntuetan,

pitzadura sortu denean nekez geldiaraziko baitugu.

Ertzak apur bat jaten baditugu, W-ren balioa % 5 hobetzea lortuko dugu;

(W = I/ yMAX )

1. Ariketa

Ondoko irudia kontuan izanik, habearen gainean bagoitxo mugikorraren kokapen desegokiena zein

den zehaztu. Gurpil bakoitzaren karga P = 5.000 kg; L = 7,20 m eta d = 1,8 m direla eta habearen pisua

kontuan hartzekoa ez dela jakinik, kalkulatu momentu maximoa zein den.

A

A

(W; trakzioarekiko erresistentzia-modulua)

L

x d

PP

Page 133: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

128

2. Ariketa

2.000 kg-ko gurpila habean zehar ibiliko da. Habe horrek A eta B ditu euskarri eta L = 6 m. Kalkulatu

habeak jasaten duen flexio-tentsioa habearen erresistentzia-modulua W = 250 cm3 dela jakinik.

3. Ariketa

Oinarri baten gainean dagoen habe batek P1 = 500 kg eta P2 = 1.000 kg gurpil-kargak jasaten ditu,

irudian ikus daitekeen bezala. Gurpilen artean 0,5 m-ko tartea dago, baina X distantziaren bidez

zehaztutako nahi dugun kokapena jar dezakegu habearen gainean. Kalkulatu P2 gurpilaren azpiko

flexio-momentu maximoa duen X-en balioa eta momentu horri dagokion flexio-tentsio maximoa.

Erresistentzia-modulua 125 cm3-koa da.

5 m

x1

P1

P2

0,5

6 m

x1

P=2000 KgP=2000 Kg

Page 134: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 129

4.7 Esfortzu-kontzentrazioa flexioan

1⟩

=

Ki

yMK MAXσ

Page 135: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

130

1. ARIKETA

Altzairuzko barran 10 mm sakon diren bi koska egingo dira. Barra hori 60 mm zabal eta 9 mm lodi

da. Kalkulatu koken arteko zabalera minimoa zein da, barraren tentsioak 150 MPa baino handiagoa ez

duela izan behar jakinik. M = 180 Nm.

Page 136: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 131

55 TTOORRTTSSIIOOAA

5.1 Sarrera

Demagun zirkulu-formako ebakidura duen habea dugula eta habe hori Mt tortsio-momentua

jasaten ari dela.

Isolatu ondoren ikus ditzagun horman sartutako habean agertzen diren erreakzioak.

Ondoren A-B ebakiduran ebaketa egingo dugu eta ebaketa horrek ardatzaren luzera-ardatzarekiko

zuta izan behar du.

Kanpoko Mt momentuak irudian ikus daitezkeen indarrak sorrarazten ditu. Elementu batek tortsioa

jasaten duenean, luzera-ardatzarekiko zutak diren ebakidura lauek ez dute lauak izaten jarraituko.

Fenomeno horri kopadura deritzo.

Tortsioa jasaten ari den solidoak ebakidura mugitzea saihesten badu (hau da, deformatzea

saihesten badu), orduan kopadura-esfortzuak agertuko dira.

Mt Mt

dF

dF

B

A

Page 137: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

132

Zirkulu-formako ebakidura itxietan ebakidura lauak esfortzuaren ondoren lauak izango dira.

Alabaina, ez da gauza bera gertatuko ebakidura ez zirkularreko habeetan.

Habe horietako ebakidura bakoitzean kanpoko Mt esfortzuak sortu duen T indarra (Tx = Mt) dF indar

guztien batura dela egiaztatzen da (horietako bakoitza dagokion ebakiduraren puntuan aplikatzen delarik).

Gai infinitu horien batura (integrala) honako hau izango da:

∫ ∫ ⋅⋅=⇒⋅=→⋅=A A

dArMtdAdFcomodFrMt ττ (Non ∫ ≡A

azaleraren integrala)

Page 138: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 133

5.2 Ebakidura zirkularreko habeen tortsioa

Hipotesia

Akzioa

Ebakidura zuzenak deformatzen direnean beren zentroarekiko biratzen dira.

Ebakidura lauak deformazioaren ondoren zirkularrak eta lauak izango dira.

Erreakzioa

Deformazioaren ondoren erradioak lerrozuzenak izango dira.

Ebakidura zuzeneko bi erradioen arteko angelua ez da aldatuko.

* Ondorioa

Ebakidura zuzena deformatu egiten denean bere ardatzaren

inguruan biratuko da disko zurruna balitz bezala.

Hipotesi horiek guztiak onargarriak izango dira material isotropoak

erabiltzen ditugunean eta eremu elastikoaren barnean lan egiten dugun

bitartean, jakina.

Tortsiorako Hookeren legea. Deformazio-angeluen kalkulua

Demagun jakineko tortsio-momentua jasaten ari den habea dugula eta deformatuko den angelu

maximoa, bai guztira eta bai luzera-unitate bakoitzeko, kalkulatu nahi dugula.

τ = ebaketa-tentsioa

τ = G · γ G = tortsio-zurruntasunaren modulua

γ = deformazio-angelua

Kalkuluak egiteko habearen zati bat hartuko dugu (2. irudia):

dxd

dxacdcc

dxcc

accc

cdcdabab

ψργ

ψργ ⋅=⇒

=⋅=

→==

=

=

'''

''

(θ luzera-unitate bakoitzaren tortsio-angelua) θ=Ψdxd

Page 139: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

134

Kontuan izanik G eta θ konstanteak direla, luzera-unitate guztiak berdin aurreratzen dira, eta

ondorioz, honako hau esan dezakegu:

γ = ρ · θ

OHARRA: Zergatik dira konstanteak G eta θ balioak?

Tentsioak ρ erradioarekin linealki aldatu egiten direlako.

ρ⋅= dFMt

dAdF=τ

Page 140: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 135

Hortaz, eta tentsioak erradioarekin linealki aldatu egiten direla kontuan izanik:

θργτ ⋅⋅=⋅= GG

(Hookeren legea)

Ω⋅⋅⋅⋅=⋅Ω⋅ dGddF

2ρθρτ

τ→ tentsioa

G → zurruntasun-modulua

ρ → erradioa

θ → luzera-unitate bakoitzeko tortsio-angelua

Ω → azalera

→Ω⋅⋅⋅=Ω⋅⋅⋅= ∫∫=

0

022

I

rdGdGMt

ρρθρθ

→⋅⋅=→ 0IGMt θ

G → zurruntasun-modulua (Pa)

Mt → tortsio-momentua (N m)

θ → luzera-unitate bakoitzeko tortsio-angelua (Rad/m)

I0 → inertzia-momentu polarra (m4)

Ebakidura zirkulu-formakoa baldin bada: 32

4

0dI ⋅= π

G I0 → TORTSIO-ZURRUNTASUNA edo zurruntasuna esaten zaio.

(Tortsio-zurruntasuna honela definitzen da: luzera-ardatzarekiko unitatearen deformazio-angelua bider

tortsio-zurruntasunaren balioa eragiten duen kanpoko tortsio-momentuaren berdina den balioa da.

Parametro hori zenbat eta handiagoa izan, hainbat eta txikiagoa izango da habearen tortsio-deformazioa.)

Tortsio-angelua:

ψ =tortsio-angelua (Rad)

Tortsio-momentua konstantea ez bada:

0IGMt⋅

0IGLMtL

⋅⋅=⋅=Ψ θ

∫ ⋅⋅

=→⋅⋅

=⋅=L

dxIG

MtdxIG

Mtdxd0 00

ψθψ

Page 141: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

136

Ebakidura zirkularraren ebaketa-tentsioa

0

0

IMt

IGMt

τ

θ

θρτ⋅

=→

⋅=

⋅⋅=

τ→ ebaketa-tentsioa(Pa)

Mt → tortsio-momentua (Nm)

ρ → erradioa (m)

I0 → inertzia-momentu polarra (m4)

OHARRA: Tentsioaren balio maximoek muturretan egon behar dute.

admIrMt ττ ≤⋅=

0max

TORTSIOAREKIKO ERRESISTENTZIA-MODULUA (W→ m3)

W = I0 / r τx= Mt/W

Tortsio-momentuen zehaztapena

Tortsio-momentuak zehaztea habean zehar dauden ebakidura guztietan tortsio-momentuak

adierazten dituen diagrama egitean datza.

Horretarako erabiliko ditugun ikurrak hitzartuko ditugu (ikus irudia).

OHARRA: Eragindako tortsio-momentuen noranzkoa (positiboa edo negatiboa den alegia)

bereizteko M1 mantentzea aski izango da.

t

Page 142: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 137

OHARRA: tortsio-entseguen bidez G ebaketa-modulua oso zehatz kalkula daiteke.

ψπ ⋅⋅

⋅⋅=4

32d

LMtG (Mt, ψ, d eta L zehatz neur daitezkeela kontuan izanik).

OHARRA: Material harikorrekin lan egitean kontuan izan behar dugu material horiek tortsioa ebaketa

baino hobeto jasaten dutela eta pitzadura ebaketa-tentsioaren eraginez sortzen dela gehienetan.

OHARRA: Trakzio-erresistentzia txikia duen materialarekin lan egitean (gogoan izan material

hauskorrek trakzioa ebaketa baino okerrago jasaten dutela), adibidez burdinurtu, harri edo

hormigoiarekin lan egitean, trakzioak eragindako haustura habearen ardatzarekiko 45º graduz inklinatuta

dagoen helize-moduan gertatuko da, ebaketa-egoerari lotutako tentsio nagusiaren eraginez.

Ardatzak minutuko egingo dituen n biren araberako transmitituko den potentziaren

(ZP) tortsio-momentua

ω⋅= MtPot ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cmKg

nPotmKg

nPot

segRadn

mKgPot

segRadn

Watt,PotZPPotMt

⋅π⋅=

⋅π⋅=

⋅π

⋅=

⋅π

⋅⋅=

ω= 2250002250

602

75

602

8975

Ardatz trinkoa baldin bada:

⋅⋅

⋅⋅=

⋅== 232

6

3max106,316

cmKg

dnPot

dMt

WMt

ππτ

x

y

z

x

y

z

Mt -

Mt +

Hau da, tortsio-momentua positiboa izango da

X-ren noranzko berekoa denean:

Mt-

Mt+

Page 143: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

138

Adibide praktikoa

60 mm-ko diametroa eta 50 cm-ko luzera duen transmisio-ardatza 800 bira minutuko abiaduran

biratzen ari da. Ardatza ψ = 28' deformatzen dela jakinik, zein da ardatzak transmititzen duen

potentzia ZPtan?

28000cm

KgG =

Ondoren tortsio-momentuen ohiko aplikazio batzuk aztertuko ditugu:

11.. AZTERKETA: MUTUR BATEAN HORMAN SARTUTAKO ETA BESTE MUTURREAN MOMENTUA JASATEN ARI DEN ARDATZA

MMt =max

dMWadm

→=τ

= baita

rI

W 0

0IGLM

⋅⋅=ψ (Radianak)

x

Mt

Mt

Page 144: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 139

22.. AZTERKETA: BERDIN BANATUTAKO MOMENTUA JASATEN DUEN ARDATZA

( ) ∫ ⋅=⋅=x

dxmdxmxMt0

LmMt ⋅=max

dezakeguateradLmWadm

→τ

⋅≥

→⋅⋅

⋅⋅

=ψ ∫∫ dxIG

mxdxIG

Mt LL

0 00 0

0

2

0

2

000 22 IGLmx

IGmdxx

IGm

Lx

⋅⋅⋅=

⋅=⋅⋅

⋅ ∫

=ψ0

2

2 IGLm⋅⋅

xm

Mtx

m ardatz osoan zehar banatutako tortsio-

-momentua.

Page 145: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

140

33.. AZTERKETA: MOMENTU ISOLATUAK JASATEN DITUEN ARDATZA

Tortsio-momentuen diagrama, sistema orekan baldin badago, amaieran 0 egongo da.

Ebaketa-tentsio maximoa:

WtMt

IrMt maxmax

max =⋅

=τ0

Une batean τmax ≤ τonar baldin balitz, plastikoki deformatuKo litzateke, baina guk hautsi egingo

litzatekeela joko dugu.

L1 L2 L3

M1

M2

M3

L3L2L1

M3

M2

M1

Page 146: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 141

Hortaz, aurreko ekuazio horiek guztiak kontuan hartuta honako hau idatz dezakegu:

WMt maxmax ⋅τ= adm

max

max

max MtMtW

τ≥

τ=

16

2

32 30

4

0

dr

IW

dr

dI⋅π==

=

⋅π=

Eraztun-formako ebakidura baldin bada:

( )

ddd

rI

Wdr

)dd(I

−⋅π==

=

−⋅π=

16

2

32 41

40

41

4

0

Ebakidura baten beste ebakidura batekiko biraketari dagokionez:

digramaslosenobtenemosqueMtlos

LiMiIG ∑ ⋅⋅

⋅=

↓0

(ψ = kanpoko ebakiduren arteko tortsio-angelua)

Mi diagrametan lortuko ditugun Mt-ak

)MtWd(

adm

max331616

τ⋅π

⋅=

π⋅=

Page 147: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

142

44.. AZTERKETA: BI MUTURRAK HORMAN SARTUTA DITUEN ETA MOMENTUA JASATEN DUEN ARDATZA (M)

Oreka: M = Ma + Mb

M-ren bi aldeetan tortsio-angelua luzera osoan zehar nulua da.

−=

==

⋅+

MbMt

MaMt

IGlMt

IGlMt

2

1

0

22

0

11 0

→=⋅⋅

−⋅⋅

00

2

0

1

IGlMb

IGlMa

⋅=

⋅=

+=

⋅=⋅

Mll

Mb

Ml

lMa

MbMaM

lMblMa

1

2

21

( )adm

maxMtW

τ=

maximoa arteko bien

Mt

L1 L2L

Mb Ma

MbMa

Page 148: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 143

l x

Ma Mb

55.. AZTERKETA: BI MUTURRAK HORMAN SARTUTA DITUEN ETA MOMENTU UNIFORMEA JASATEN DUEN ARDATZA

2

021

mlMbMa

mlMbMa

Mt;xmxMa)x(Mt

==

=+

==→−=

dxmxmLIG

dxIG

)x(Mt ll⋅

−⋅

⋅=⋅

⋅=ψ ∫∫ 2

00

2

0 0 21

5.3 Ardatz zirkular hutsen tortsioa

Materialaren errendimendu hobea lortzearren zuhaitz hutsak erabiltzea komeni da, tortsio-momentua

jasaten nukleoak ez baitu lanik egiten.

Lehen ere ikusi dugunez, tortsio-momentuak zuhaitzean zizailadura sortzen du, baina zizailadura-

-tentsioak banatu egiten dira eta gainazalean maximoak dira eta txikiagotu egiten dira zentrora hurbiltzen

diren neurrian, eta zentroan bertan kasik nuluak dira.

11.. Lehenik ardatz hutsa eta ardatz trinkoa konparatuko ditugu

τmax = τonar denez ardatz hutsean erabilitako materiala ardatz trinkoa baino hobeto erabilita dago

eta pisua neurri handi batean txikiagotzea lortu dugu).

2LmMb ⋅

=

MtMt

tmax tmax

Page 149: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

144

22.. Ardatz hutsaren inertzia-momentu polarra kalkulatu

33.. Horma meheko ardatzaren inertzia-momentu polarra kalkulatu

Batez besteko diametroa honako hauxe da: ( )

21dd

dm+

=

Eta lodiera honako hauxe: ( )

21dd

e−

=

Ondorioz:

4dm2 = d2 + d12 + 2dd1

d2 + d1

2 = 4dm2 - 2dd1

d4 - d1

4 = (d2 + d12) · (d + d1) · (d – d1)

Oso horma meheak dituen tutua baldin bada, dm2 ≈ d · d1; eta ondorioz:

d2 + d12 = 4dm2 - 2dd1 ≈ 2 dm2

d4 - d1

4 ≈ 2 dm2 · 2 dm · 2e = 8dm3 · e (2)

(1) eta (2) formuletan balioak ordezkatzen baditugu, honako hau lortuko dugu:

4

4 2

0

3

0

dmIedm

edmI⋅Ω=→

⋅⋅=Ω

⋅⋅=

π

π

( )

( ) ( )

( )430

44

0

11

41

4

0

116

2modulua-tziaerresistenW

1132

diametroakanpokodiametroabarruko

32

mddI

mdI

dd

mdd

ddI

−⋅==

−⋅⋅=

=→

→→

−⋅=

π

π

π

W erresistentzia-modulua

Page 150: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 145

Ondoren tentsio maximoa kalkulatuko dugu:

2

0

maxmax

2dm

dMtI

Mt

⋅Ω

⋅⋅→⋅

τ

Azkenik, deformazio-angelua zein den kalkulatuko dugu:

dGdmG

MtIG

Mt⋅

⋅→

⋅Ω⋅

⋅=⋅

= max2

0

24 τθ

44.. Deformazio-lana tortsioan

Demagun habea dugula eta tortsioa eragiten diogula, lortuko dugun diagrama, betiere

linealtasunaren printzipioaren arabera, irudian ikusten den bezalakoa izango da.

Energia:

LIG

IGLMtMtu

ψ⋅⋅=

⋅⋅⋅=ψ⋅⋅=

2221

20

0

2

Ebakidura edo tortsio-momentua aldakorrak baldin badira, deformazio-lana integrazioaren bidez

lortuko dugu:

∫ ⋅⋅⋅

=L

IdxMt

Gu

0 0

2

21

Page 151: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

146

ARIKETAK

11.. ARIKETA

BC ardatza hutsik dago eta kanpoko eta barruko diametroak 120 mm eta 90 mm dira hurrenez

hurren. AB eta CD ardatzak trinkoak dira eta d diametroa dute. Ardatzek irudian ikus daitekeen karga

jasaten dutela jakinik, kalkulatu honako datu hauek:

BC ardatzaren ebaketa-esfortzu maximoa eta minimoa

AB eta CD ardatzen d diametroa zenbatekoa izango den esfortzu ebakitzaile onargarria 65

Mpa-ekoa dela jakinik

22.. ARIKETA

Irudian ikus daitezkeen momentuak A, B, C eta D poleei eragiten diete. Ardatzak trinkoak direla

jakinik, kalkulatu honako datu hauek:

Ebaketa-esfortzu maximoa jasaten duen ardatza

Esfortzu horren balioa zein den

Page 152: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 147

33.. ARIKETA

Irudian ikus dezakegun transmisio-ardatzak ebakidura konstantea eta 5 cm-ko diametroa du. Ardatz

horrek gurpil horzdunen bidez irudian azaltzen diren tortsio-momentuak jasaten ditu. Kalkulatu A eta B-

-ren artean ardatzaren deformazio-angelua gradutan, bai eta tentsio-maximoaren balioa ere. Horretarako

honako datu hauek erabil ditzakegu:

G = 8,4 · 105 kg /cm2

M1 = 6.000 kgcm

M2 = 10.000 kgcm

M3 = 9.000 kgcm

M4 = 5.000 kgcm

44.. ARIKETA

AD ardatz bertikala D puntuan oinarri finkoan finkatuta dago eta irudian ikusten diren momentuak

jasaten ari da. Ardatzaren CD zatian 44 mm-ko diametroa duen zuloa egin da. Ardatz osoa G = 80 GPa

altzairuzkoa dela jakinik, kalkulatu A muturreko tortsio-angelua.

Ø44 mm

Ø60 mm

Ø30 mm

0,4 m

0,6 m

0,2 m

A

B

C

D

250 N.m

2000 N.m

Mt1 Mt2 Mt3 Mt4

1,2 m

1 m

1,6 m

M1 M1 M3 M4

1,2 m 1 m 16 m

Page 153: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

148

55.. ARIKETA

Altzairuzko bi ardatz trinko horiek elkarri lotuta daude irudian ikus daitezkeen hortzen bidez. Ardatz

bakoitzaren G = 80 GPa dela eta ebaketa-esfortzu onargarria 380 Mpa-ekoa dela jakinik, kalkulatu

honako datu hauek:

AB ardatzaren A muturrean aplika daitekeen tortsio-momentu handiena

AB ardatzaren A muturraren biraketa-angelua

66.. ARIKETA

Altzairuzko ardatza eta aluminiozko tutua euskarri finko bati eta disko zurrunari lotuta daude irudiko

zeharkako ebakiduran ikus daitekeen bezala. Hasierako esfortzuak zero direla jakinik, kalkulatu diskoan

aplika daitekeen tortsio-momentu maximoa zein den, altzairuzko ardatzaren esfortzu onargarria 120

Mpa-ekoa dela eta aluminiozko tutuaren esfortzu onargarria 70 Mpa-ekoa dela kontuan izanik. Bestetik,

altzairuzko ardatzaren G = 80 GPa eta aluminiozko tutuaren G = 27 GPa dira.

Altz

airu

a ∅

50

mm

Alum

inio

a

8m

m

Page 154: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 149

77.. ARIKETA

AB eta BC zilindroak B puntuan elkarri lotuta daude eta A puntuan, berriz, euskarri finkoei. AB

zilindroa altzairuzkoa dela (G = 77 GPa) eta BC zilindroa letoizkoa (G = 39 GPa) dela jakinik, irudian ikus

daitekeen kargarekin honako datu hauek kalkulatu:

Euskarri bakoitzean erreakzioa

AB zilindroan ebaketa-esfortzu maximoa

BC zilindroan ebaketa-esfortzu maximoa

88.. ARIKETA

180 bira minutuko abiaduraz biratzen ari den ardatz hutsa daukagu. Estroboskopioak ardatzaren

tortsio-angelua 3º-koa dela adierazten du. Ardatzaren G = 77 GPa dela jakinik, kalkulatu honako datu

hauek:

Transmititzen ari den potentzia

Ardatzaren ebaketa-esfortzu maximoa

Ardatzaren ebaketa-esfortzu minimoa

Page 155: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

150

99.. ARIKETA

Bi ardatz zurrunen bidez eta bi hortzen bitartez 20 Hz-eko abiaduraz biratzen ari den A puntuko

motorraren 12 kW D puntuan dagoen makina-erremintara transmititzen da. Bi ardatz horien diametroa 25

mm-koa dela jakinik, kalkulatu ebaketa-esfortzu maximoaren balioa AB ardatzean eta CD ardatzean.

1100.. ARIKETA

Altzairuzko bi ardatz trinko elkarri konektatuta daude irudian ikus daitezkeen engranajeen bitartez.

Ardatzak altzairuzkoak direnez, G = 77 GPa da. 339 Nm-ko tortsio-momentua aplikatzen denean

kalkulatu A muturraren biraketa-angelua.

Page 156: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 151

1111.. ARIKETA

Irudian ikusten den ardatzaren engranajearen diseinu-zehaztapenen arabera, bi ardatz horiek

diametro bera izan behar dute eta D polea finko dagoen bitartean 226 Nm-ko momentua aplikatuta A

polearen biraketa-angeluak ez du 7,5º baino handiagoa izan behar.

Kalkulatu ardatzaren diametroa zein den, bi ardatzak altzairuzkoak direla eta:

G = 77 GPa

τ = 80 MPa direla jakinik.

1122.. ARIKETA

Irudian ikus daitezkeen altzairuzko bi ardatz trinkoak engranajeen bidez elkarri lotuta daude.

Ardatzak altzairuzkoak dira eta G = 80 GPa da.

Kalkulatu 75 Nm-ko momentua aplikatzen denean C muturraren tortsio-angelua; bai eta CD-ren

esfortzu maximoa.

Page 157: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

152

5.4 Edozein ebakiduratako habeen tortsioa

Zirkulu-formako habeen tortsioari buruzko oinarrizko teoria Navier-en bidez edozein ebakiduratako

habeetara hedatu da, egokia ez izan arren, zeharkako ebakidura laua eta aldatu gabe mantentzen zela

oinarritzat hartu baitzuen.

0IG

Mt⋅

=θ 0I

rMt ⋅=τ

Alabaina hipotesi horren baliotasuna elementuaren ardatz-simetriaren araberakoa izango da, hau

da, elementuaren itxura kokaleku finko batetik eta bere ardatzarekiko hautazko angeluan biratzen

denean berbera izango dela dioen hipotesiaren araberakoa. (Ikus goiko irudia).

Lauki-formako barra balin badugu, aldiz, itxura bera izango du 90º edo 180º biratzen baldin bada.

Kasu horretan zirkulu-formako ebakiduretan erabili dugun arrazonamendua aplikatzen badugu, lauki-

-formako ebakiduren diagonalek eta ebakidura horren aldeen erdibideko puntuak elkartzen dituen lerroek

zuzenak izaten jarraituko dutela egiazta dezakegu.

Hala eta guztiz ere, barrak ardatz-simetriarik ez duenez, bere zeharkako ebakiduran marraztutako

beste edozein lerro deformatu egingo da barrak tortsioa jasaten duenean eta zeharkako ebakidura bera

bere jatorrizko planotik kanpo deformatu egingo da.

Mt

Page 158: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 153

Horrez gainera, ez litzateke zuzena izango lauki-formako barraren zeharkako ebakiduran ebaketa-

-esfortzua linealki barraren ardatzarekiko distantziaren arabera aldatu egiten dela pentsatzea, eta

ondorioz, esfortzu hori ebakiduraren muturrean handiagoa izango dela (zirkulu-formako ebakiduran

bezala), eta gainera ebaketa-esfortzua nulua izango dela.

Ondoren horren guztiaren zergatia azalduko dugu:

Demagun tortsioa jasaten ari den ardatz karratuaren zeharkako ebakiduraren muturrean kubo-

-formako elementu txikia dugula.

Elementuaren ardatzarekiko paralelo diren koordenatu-ardatzak hautatuko ditugu.

y ardatzarekiko zuta den elementuaren aldea barraren gainazal askearen baitan dagoenez, alde

horretako esfortzu guztiak 0 izango dira.

Page 159: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

154

Ondoko irudi horri dagokionez, honako hau idatziko dugu:

τyx = 0 τyz = 0

Era berean Z ardatzarekiko zuta den aldeko esfortzu guztiak 0 izango dira, eta ondorioz honako hau

lortuko dugu:

τzx = 0 τzy = 0

Lehenengo eta bigarren ekuazioak kontuan hartuz honako hau idatziko dugu:

τxz = 0 τxy = 0

Beraz, barraren ardatzarekiko zuta den aldean ebaketa-esfortzuaren bi osagaiak nuluak dira.

Horren guztiaren ondorioz barraren zeharkako ebakiduraren erpinetan ez dagoela ebaketa-esfortzurik

esan dezakegu.

Barraren sorbatzetan ez da deformaziorik gertatuko, eta ondorioz, esfortzurik ere ez da egongo.

Alabaina, barraren alde bakoitzaren erdialdeko lerroan esfortzu maximoak sortuko dira.

Azaldu berri dugun hau guztia errazago ikusiko eta egiaztatuko dugu kautxuzko eredu honi tortsioa

eragiten badiogu.

Page 160: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 155

Ebakidura zirkularrekoak ez diren habeetan tortsioak eragiten dituen arazoen irtenbidea

elastikotasun-teoriaren esparruari dagokio.

Ikaslearen eskuliburu honetan elastikotasun-teoria horren emaitza batzuk azalduko ditugu, frogarik

zehaztu gabe.

Ebakidura zuzenaren forma edozein delarik ere, Hookeren legetik zuzenean luzera-unitate

bakoitzaren θ tortsio-angelua Mt tortsio-momentuarekiko proportzionala dela ateratzen da. Beraz,

honako hau idatz dezakegu:

CMt=θ edo

( )C

LMt ⋅=ψ

Kontuan izanik C proportzionaltasun-koefizientea dela eta honako neurri hauek dituela: F · L2 eta

F indarra da

Y L luzera da

Koefiziente horri tortsio-zurruntasuna deritzo eta zirkulu-formako ebakidura denean honako balio

hau dauka:

0IGC ⋅=

OHARRA: Ebakidura zirkularra ez baldin bada, C beti G · I0 baino txikiagoa izango da.

Page 161: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

156

Deformazio-lana

LC

CLMtMt

U⋅

⋅=

⋅⋅=

⋅=

222

22 ψψ

Tortsio-momentua konstantea baldin bada eta barraren ebakidura eta esfortzuak aldakorrak baldin

badira:

dxCC

dxMtU ⋅⋅=⋅= ∫∫1

0

21

0

2

22θ

Analogia hidrodinamikoa

Ondoren Greenhill matematikariak asmatu zuen tortsioaren eta fluido lauaren mugimendu jakin

baten arteko analogia matematikoa deskribatuko dugu.

11.. Demagun aztertzen ari garen tortsioa jasaten duen habearen formako ontzia daukagula.

22.. Ontzi horretan fluido perfektua (konprimiezina eta likatsua ez dena) sartuko dugu.

33.. Ondoren biraketa uniformeko mugimendua eragingo diogu ontziari.

Greenhillek fluidoaren mugimenduaren ekuazioak eta tortsioaren elastikotasun-ekuazioak berdinak

zirela egiaztatu zuen. Ondorioz:

11.. Bi fenomeno horiek portaera bera dute.

V velocidad en un líquido sometido a W t tensión en la viga sometida a torsión

V

V t

t

W Mt

W jasaten ari den likidoan V abiadura T tortsioa jasaten ari den habean tentsioa

Page 162: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 157

22.. Bi puntuetan fluidoaren abiadura eta tentsio tangentziala noranzko berekoak dira eta balio

proportzionalak dituzte. Ikus ditzagun adibide batzuk:

Ontziak angelu ganbilak baldin baditu, 1A eta 1C irudikoetan bezala, eremu hilak sortzen dira eta

eremu horietan abiadura nulua da; eta ondorioz, tentsio tangentziala ere bai.

Askotan gauza erraza da abiadura maximoa duten puntuak zeintzuk diren ikustea. Horrela,

ebakidura eliptiko edo angeluzuzenean puntu horiek A eta A’ puntuak izango dira. Beraz, toki horietan

tentsio maximoa izango dugu.

Teoria horrek irakaspen kualitatiboak soilik eskaintzen dizkigu; alabaina, oso erabilgarria izango da,

fenomeno hori askoz intuitiboagoa baita fenomeno elastikoa baino.

Ebakidura angeluzuzena

τ tentsio-lineek 1C irudian ikus daitekeen forma dute eta tentsio maximoa A eta A’ puntuetan

egongo da. Demagun h alde luzeena dela eta b laburrena. Tentsio maximoa honako formula honen

bidez lortuko dugu:

2maxbh

Mt⋅⋅

τ

Kontuan izan behar dugu α koefiziente bat dela, h/b erlazioaren araberako koefizientea, eta

koefiziente hori honako taula honetan ikusi ahal izango dugu:

Page 163: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

158

bhn = 1,00 1,50 2,00 3,00 4,00 ∞

21

cc=α

1c

2c

β

0,208

0,141

0,675

0,208

0,231

0,196

0,852

0,270

0,246

0,229

0,928

0,309

0,267

0,263

0,977

0,354

0,282

0,281

0,990

0,379

0,333

0,333

1,000

0,448

2

21

cc=µ 0,310 0,270 0,266 0,276 0,288 0,334

Luzera-unitate bakoitzeko tortsio-angelua honako hau izango da:

Ghbc

Mt⋅⋅

=θ31

eta hemendik C = c1 · hb3 · G

(c1-en balioa taulatik lortuko dugu)

1. n > 4 denean, → c1 eta c2 = c1/α hurbileko formulen bitartez lor daitezke:

31630,01

311 →

−⋅=n

c

11

65,0123

→+

−=n

c

B puntuetan tentsio tangentziala honako formula honen bidez kalkula daiteke:

21

hbMt⋅

β=τ β taulan jasotako balioa da

2. Ebakidura laukizuzena denean honako kasu hau izango dugu:

3max 208,01

hMt⋅=τ

GhMt

⋅⋅=

4141,01θ GhC ⋅⋅= 4141,0

Page 164: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 159

3. Bestalde, h/b oso handia baldin bada, honako hau izango dugu:

311 == cα

bGhb

Mt ⋅⋅== θτ2max

3

GhbMt

⋅=

33θ

Ghbc ⋅= 3

31

5.5 Ebakidura irekia eta horma mehea duten tutu-formako habeen tortsioa

11.. Teoria eta esperientziaren arabera badakigu tentsioak eta tortsio-angelua (ebakidura lauki-

zuzeneko barra mehean) ez direla aldatzen, tortsio-momentua aldatzen ez dugun bitartean,

ebakidura honako irudi hauetan ikusten den bezala tolestatzen badugu (A eta D bitarteko irudiak).

Ebakidura hauetan guztietan tentsio maximoaren eta C tortsio-zurruntasunaren hurbileko balioak

formula hauen bidez kalkula daitezke:

bGhb

Mt ⋅⋅== θτ2max

3 Ghb

Mt⋅

=3

3θ GhbC ⋅= 3

31

A B C D

E F G

Page 165: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

160

Baina honako hau prestatu behar dugu:

h: batez besteko ebakiduraren garapena

b: lodiera konstantea

22.. Orokorrean, burdinazko profil guztietan eta horma meheko ebakidura irekietan, errore handirik

gabe, ebakidura osatzen duten h b neurriko laukizuzenek tortsioa erabat aske jasaten dutela

onartu ahal izango dugu, eta ondorioz:

∑⋅⋅= 3

3hbGKC

Batukari hori profila osatzen duten laukizuzen guztiak kontuan hartuz osatzen da.

OHARRA: Askotan profilek, fabrikazio-prozesua dela-eta, trantsizio-erradioak dituzte eta erradio

horiei esker, habearen zurruntasuna handiagotzea lortzen da. Zurruntasuna horrela handiagotzea

kontuan hartu beharko dugu K koefizientearen bidez.

BALIOA

K 1

K 1,1

K 1,25

Angelu-formako profiletarako

U- eta T-formako profiletarako

T bikoitza formako profiletarako

Ebakidura osatzen duen laukizuzen bakoitzaren τmax tentsio maximoa honako formula honen bidez

kalkulatu ahal izango dugu beti:

bG ⋅⋅= θτ max

(unitate bakoitzaren tortsio-angeluaren balioa honako hau da: CMt=θ )

OHARRA: Trantsizio-erradioetan τmax baino handiagoak diren tentsio-muturrak daude.

Page 166: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 161

OHARRA: Hemen azaltzen diren emaitzak tortsioa uniformea denean bakarrik dira onargarriak, hau

da, tortsio-momentua barra osoan zehar konstantea denean soilik.

5.6 Horma meheko tutu-formako habeen tortsioa. Bredt

Lehen ikusi dugunez, zirkulu-formakoak ez diren ardatzetan formula matematiko konplexuak erabili

behar dira, askotan akatsa eragingo duten formulak gainera. Alabaina, horma meheko ebakidura ez

zirkular hutsak ditugunean, esfortzuen banaketaren hurbileko kalkulua lor dezakegu modu errazean.

Modu horri R. BREDT-en teoria deritzo.

(Teoria hori habeek ebakidura itxia eta hormaren lodierak “e” balio konstantea edo aldakorra, baina

nahikoa estua ebakiduraren neurriekin konparatuz, dutenean erabiltzen da).

Page 167: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

162

11.. Demagun ardatz zilindriko hutsa dugula eta ardatz horren ebakidura ez dela zirkularra eta

tortsioa jasaten ari dela. (1. irudia).

22.. Hormaren “e” lodiera zeharkako ebakiduran zehar alda badaiteke ere, lodiera hori txikia izango

da beti elementuaren gainerako neurriekin konparatzen badugu.

33.. Jakin badakigu ebakiduraren kanpoko eta barneko ertzetan, τ tentsioak ertzaren tangentearen

araberako norabidea izango duela.

44.. Erdialdeko puntuetan tentsio-lerroak ertzarekiko paraleloak dira neurri batean.

55.. τ tentsioa “e” lodiera osoan zehar konstantea dela onar dezakegu, eta zenbat eta lodiera

txikiagoa izan, hainbat eta egiatik hurbilago egongo gara τ tentsioa konstantea dela esanda.

66.. (Hori sinplifikatzeko egin behar den hipotesia da).

77.. Solidoaren oreka bertikalak zizailadura-fluxua konstantea izatea eskatzen du f = τ· e (2. irudia)

Page 168: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 163

Orain A-B ebakidurako elementua bereizi egingo dugu, distantzia batekiko zehar-planoek eta

hormarekiko zutak diren bi planoek mugatzen duten elementua hain zuzen. A-B zatia orekan dagoenez,

zati horretan eragiten duten indarren batura, x luzera-noranzkoan, zero izango da. (3. irudia).

Baina bertako indar bakarrak A-B muturretan eragiten duten FA eta FB ebaketa-indarrak dira, eta

ondorioz honako hau lortuko dugu:

0=∑ XF 0=− BA FF

1. ekuazioa

Orain FA A alde txikian τA luzerako ebaketa-esfortzuen eta alde horretako eA ∆x azaleraren

biderkadura gisa azalduko dugu:

( )xeF AAA ∆⋅⋅τ=

Page 169: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

164

Ebaketa-esfortzuan kontuan hartutako puntuaren X koordenatuak eraginik ez duen bitartean,

hormaren bidez aldatu egin daiteke; horrela, τA esfortzuak hormaren bitartez kalkulatutako esfortzuen

batez besteko balioa adierazten du. Ondoren FB modu berean adierazten badugu eta 1 ekuazioan FA eta

FB bidez ordezkatzen badugu, honako hau lortuko dugu:

( ) ( ) 0=∆⋅⋅τ−∆⋅⋅τ xexe BBAA

BBAA ee ⋅τ=⋅τ

2. ekuazioa

A eta B nolanahi hautatu zirenez, 2. ekuazioak luzerako ebaketa-esfortzuaren τ · e biderkadura

elementuan zehar konstantea dela adierazten du. Produktu horri f esaten badiogu, honako hau lortuko dugu:

kteef =⋅τ=

(ikus 2. irudia)

88.. Ebakiduraren e · ds elementuan τ · e · ds indarrak eragiten du.

99.. Indar horren momentua edozein O punturekiko honako hau izango da:

τ · e · r · ds

1100.. Inguruko elementu guztien momentuen baturak kanpoko Mt momentua orekatu behar du; beraz:

∫ =⋅⋅⋅ Mtdsreτ

Marratutako triangeluaren azalera = dsr ⋅⋅21

∫ =⋅⋅⋅τ→=⋅τ Mtdsrektee

Page 170: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 165

1111.. Integralaren bidez S azaleraren bikoitza adierazten da. S azalera hori bi inguruen arteko batez

besteko linearen barruan dago, eta ondorioz:

eSMt

⋅⋅=

2τ BREDT-en lehenengo formula

Gehienetan “e” aldatu egiten da, eta ondorioz, Gτ=γ distortsioa ez da berdina izango irudian ikus

daitezkeen elementu guztietarako, eta habearen ebakidura zuzenak ez dira zuzen mantenduko.

Tortsioaren unitate-angelua ez da, beraz, energiaren kontserbazioaren printzipioaren bidez baino

lortuko; unitate-luzera duen habearen zati baten kanpoko lana eta zati beraren barne-lana berdinduz,

alegia. Ikus honako irudi hau:

2θ⋅

= tMW

Ikus dezakegunez, alde horizontaleko τ · e · ds indarrek lana sortzen dute: γ⋅⋅τ⋅= dseU21

Page 171: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

166

Alde bertikaletan dauden τ e esfortzuak bere noranzkoarekiko zut mugitzen dira eta ez dute lanik

sortzen. Zati osoaren guztizko barne-lana honako hau izango da:

dseG

dse ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ∫∫2

21

21 ττ

Kanpoko eta barneko lanak berdintzen baditugu, eta BREDT-en lehenengo formula kontuan hartzen

badugu, honako hau lortuko dugu:

∫∫∫ ⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅=⋅eds

SGMtdse

eSMt

Gdse

GMt

2

2

22

22

8421

21

2τθ

Eta hemendik honako hau ondoriozta dezakegu:

∫⋅⋅⋅

=eds

SGMt

24θ

Beraz, tortsio-zurruntasunaren balioa honako hau izango da (BREDT-en bigarren formula):

CMt=θ

eta hemendik honako hau ondorioztatuko dugu:

∫⋅⋅=

eds

SGC24

(integral hori nahi adina doitasunekin kalkulatu ahal izango dugu ingurua ∆S zatietan zatitzen

badugu)

“e” konstantea denean formula hori sinplifikatu egingo dugu honako hau lortuz:

eSGLf

eSGLMt

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=

24 2θ

Gogoan izan f = t · e ebaketa-fluxua dela

L hormaren batez besteko linearen perimetroa da

Page 172: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 167

OHARRA: Batez besteko lerroa zirkunferentzia baldin bada, aurreko formula horiek horma meheko

zirkulu-formako ebakidura hutseko habeetan bakarrik erabili ahal izango ditugu.

OHARRA: Ebakidura zuzeneko aldeetan ez zegoela inolako tentsio normalik onartu dugu. Hau

horrela dela pentsatu ahal izango dugu lortu dugun teoria barne-orekaren eta elastikotasunaren legeekin

bat datorrelako.

OHARRA: Honako irudi honetan ikusten den bezalako piezak baldin baditugu, hau da alboetatik

ateratzen diren horma meheak, AQB eta CD kasu, dituzten piezak, horma horiek bazter utzi ditzakegu

kalkuluak egitean, horma horien tortsio-zurruntasuna piezaren tutu-formako zatiaren tortsio-zurruntasuna

baino askoz ere txikiagoa baita.

OHARRA: Habe hutsak errematxaketaren edo soldaduraren bitartez ere egin daitezke.

Page 173: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

168

Hori horrela izanik, honako hau esan dezakegu:

1122.. Hegalen kanpoaldeko aldeak, errematxe edo kordoietatik kanpoaldera daudenak alegia,

baztergarriak dira.

1133.. Lotura-elementuen tamaina lotu dugun materialak jasan ezin dituen ebaketa-esfortzuak jasan

ahal izateko neurrikoa izango da.

1144.. Soldadura-kordoi bakoitzak luzera-unitate bakoitzeko luzerako ebaketa-esfortzua jasan beharko

du.

1155.. Errematxeen arteko tartea L baldin bada, errematxe bakoitzak honako hau jasan beharko du:

SLMtLe

⋅⋅=⋅⋅

Page 174: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 169

5.7 Tentsio-kontzentrazioa tortsioan

Ebakidura zuzena bat-batean d diametroa izatetik D diametro handiagoa izatera igarotzen denean

tentsio-kontzentrazioak sortzen dira eta tentsio-kontzentrazio horiek tentsioa K koefiziente baten bidez

biderkatzen dute. Tentsio izendatua honako hau izango da:

3max 16d

Mt⋅

⋅=π

τ

Tentsio-kontzentrazioa – tokiko tentsio maximoa – maxττ ⋅= K

K r/d eta ∆/d-ren araberakoa da. Honako diagrama hau goiko irudikoa bezalako kasuei bakarrik dagokie.

Page 175: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

170

Zilindro-formako zuhaitzetik atera den zirkuluerdiko erradio txikiko lepoa baldin badugu, tokiko

tentsio maximoa oinarrizko teoriaren bitartez kalkulatu dugunaren bikoitza izango da.

Zirkulu-formakoak ez diren ebakidura duten habeak direnean, τ tentsioa handiagotu egingo da

ebakiduraren sartune batzuetatik hurbileko puntuetan, eta tentsio horiek teorian infinituak izango dira

sartuneko angeluak zorrotzak direnean.

Goiko irudian A eta B puntuetan tentsio-kontzentrazio handia dagoela ikus daiteke.

Page 176: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 171

1133.. ARIKETA

60 x 100 mm-ko ebakidura angeluzuzena duen aluminiozko egitura-tutua dugu estrusio bidez

fabrikatu dena. Kalkulatu lau hormetan ebakidura-esfortzua zenbatekoa den jakinik esfortzuak 3 kNm-ko

tortsio-momentua sortzen duela. Kontuan izan honako datu hauek:

Hormaren lodiera 4 mm-koa da eta uniformea da

AB eta AC hormak 3 mm eta BD eta CD hormak 5 mm lodi dira

1144.. ARIKETA

Irudian ikus daitezkeen letoizko barretan eta letoizko tutuan aplika daitezkeen tortsio-momentu

maximoak kalkulatu τonar = 40 MPa dela jakinik.

(Bi barra horien azalera berdina da eta barraren eta tutu karratuaren kanpoko neurriak berdin-

-berdinak dira).

mmmm 4040 ×

mmmm 4040 ×

mmmm 2564 ×

.mme 6=

Mt

Mt

Mt

Page 177: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

172

1155.. ARIKETA

Irudian ikusten diren aluminiozko barretan T = 300 Nm momentua aplikatuko da. τonar = 60 MPa dela

kontuan izanik, kalkulatu barra bakoitzak izango duen d neurria.

1166.. ARIKETA

T tortsio-momentuak 2º-ko biraketa sortzen du altzairu herdoilgaitzezko barraren B muturrean.

G = 80 GPa dela kontuan izanik, kalkulatu barraren ebaketa-esfortzu maximoa.

MtMt

Mt

Page 178: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 173

1177.. ARIKETA

Irudian ikusten den zuhaitz mailakatuak 900 bira minutuko biratu behar du potentzia motorretik

makinara transmititzean. τonar = 55 MPa dela kontuan izanik, kalkulatu honako datu hauek:

Irudiko diseinua erabiliz transmiti daitekeen potentzia maximoa zein den.

r = 10 mm jartzen bada, transmiti daitekeen potentzia ehuneko zenbat aldatuko da?

1188.. ARIKETA

Kalkulatu honako datu hauek:

ψ = 4º/m denean aplika daitekeen tortsio-momentu maximoa

Tentsio maximoa

G = 8.000 kg/mm2

Page 179: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

174

Mt

1199.. ARIKETA

Kalkulatu honako datu hauek:

Tortsio-momentu maximoa

Tortsio-angelua

τonar = 50 MPa

G = 77 GPa

2200.. ARIKETA

Demagun τonar = 700 kg/ cm2 eta 2 segurtasun-faktorea duen tutu-giltza dugula. Kalkulatu honako

datu hauek:

Tortsio-momentu maximoa

Mt hori aplikatzean giltza biratu egingo da eta biraketa horren angelua kalkulatu

G = 8.000 kg/mm2

Page 180: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 175

1P

2P

1Q2Q

A

C

D

B

2211.. ARIKETA

Marraztu Mt-ren diagramak, A - B erreakzioak eta tentsio maximoa kalkulatu:

2222.. ARIKETA

Transmitituko den potentzia: 100 ZP

n = 500 bira minutuko

P1 = 2 P2

Q1 = 2 Q2

Rc = 20 cm

Ra = 18 cm

τonar = 420 kg/ cm2

ERAGILEA ERAGINA

Page 181: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

176

5.8 Ondorioak

11.. Horma meheko ebakidura irekiek tortsioa nekez jasango dute, eta ondorioz, ez ditugu erabiliko

Mt garrantzitsua denean.

22.. Tutu-formako ebakidurak merkeagoak dira ebakidura trinkoak baino.

33.. Metalaren errendimendu onena lortzeko, pieza tutu-formakoa izatea eta hormaren lodiera

konstantea izatea komeni da.

44.. Hormaren lodiera konstantea eta metroko pisu zehatza duten tutuen forma egokiena honela

kalkulatuko dugu:

Mt = 2 · S · e · τ → beraz, piezaren erresistentzia S-rekiko proportzionala izango da.

Hori bai, kontuan izan behar dugu zirkulua dela jakineko perimetroaren ingerada S maximoa denean.

Ondorioz, ebakidurak forma hori izan dezan lortzea komeni da.

55.. Piezaren forma hautatu eta gero L perimetroaren eta e lodieraren neurri egokienak zeintzuk

diren zehaztu behar ditugu.

Ω = L · e = kte

Mt = 2 · S · e · τ = 2 S ( )

LτΩ ·

Beraz, Mt handiagotu egingo da S/L erlazioan, eta ondorioz, piezaren neurriak mugak jartzen ez

dituenean, piezek S-ren balio maximoa izatea komeni da, hau da, altuera eta zabalera maximoa

izatea. Hala eta guztiz ere, piezaren hormak lodiera txikia duenez, toki batzuetan gilbordurak

gertatzeko arriskua dago eta hori saihesteko hormak zurrunagoak izatea lortu beharko dugu luzera-

-nerbioak erabiliz.

e → aldaezina

L → perimetroa Ω Ebakidura = L e

Page 182: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 177

66 TTOORRTTSSIIOO EETTAA FFLLEEXXIIOO KKOONNBBIINNAATTUUEENN AARRDDAATTZZEENN KKAALLKKUULLUUAA

6.1 Sarrera

11.. Kalkulu estatikoa – euskarrien erreakzioen kalkulua.

22.. Zuhaitzak jasaten dituen esfortzuak honako hauek dira:

T ebaketa-indarra

Mf flexio-momentua

Mt tortsio-momentua

33.. Esfortzuen sistema konbinatu horrek puntu batean sorraraziko dituen tentsioak honako hauek dira:

Flexio-momentuak sorrarazi duen tentsio normala ZI

My=σ

Tentsio maximoa 2dy = denean

64

4dI Z⋅π=

44.. Ebaketa-indarrak sorrarazi duen tentsio tangentziala (guretzat baztergarria dena).

bIST

⋅⋅=τ

55.. Tortsio-momentuak sorrarazi duen tentsio tangentziala.

⋅π=

=−τ

32

2

4

0dI

drmax

Ikaslearen eskuliburu honetan esfortzu konbinatuak jasaten dituzten ardatzen kalkuluak egiteko

TRESCA-ren irizpidea baino ez dugu erabiliko, metodo gehiago baldin badaude ere.

Gainera TRESCA-ren irizpidea izeneko metodo horren azalpenik ez dugu emango.

0IrMt ⋅=τ

Page 183: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

178

TRESCAREN IRIZPIDEA

3 2216 MtMfdadm

⋅⋅⋅

≥πτ

Ardatzak kalkulatzeko honako urrats hauek eman behar ditugu:

Ardatz guztiak kontuan hartuta flexio-momentuak kalkulatu

Tortsio-momentua habe osoan zehar kalkulatu

Ebakidura kritikoa hautatu, hots tortsio- eta flexio-momentu handiak jasaten dituen ebakidura

aukeratu

Ebakidura horri TRESCA-ren irizpidea aplikatu

Page 184: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 179

AARRIIKKEETTAAKK

11.. ARIKETA

Tentsio-kontzentrazioaren eragina bazter utzita, kalkulatu BC eta CD barren diametro minimo

onargarriak τonar = 60 MPa dela jakinik.

22.. ARIKETA

AB ardatz solidoa 480 bira minutuko abiaduraz biratzen ari da eta 30 kW-eko potentzia transmititzen

ari da M motorretik G eta H pinoietara lotutako tresnei; G pinoiak 20 kW hartuko ditu eta H pinoiak 10 kW.

τonar = 50 MPa dela jakinik, kalkulatu AB ardatzak izango duen diametro minimo onargarria.

N1250

N500

NEURRIAK mm-TAN

Page 185: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

180

33.. ARIKETA

Demagun honako datu hauek ditugula:

Poleatik engranajera 12 ZP-ko potentzia transmitituko da 630 bira minutuko abiaduraz.

τonar = 420 kg/mm2

Z = 28,4; m = 4

Polearen diametroa = 120 mm

T1 = 2,41 T2

Datu horiek guztiak kontuan hartuta honako kalkulu hauek egin:

a) Flexio-momentuen diagrama

b) Tortsio-momentuen diagrama

c) Ardatzaren diametro minimoa kalkulatu

2T

F

1T

AB

Page 186: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 181

44.. ARIKETA

Kalkulatu honako datu hauek:

Ardatz bakoitzean Mt-ren balioa

2. ardatzean tortsio-momentuen diagrama

2. ardatzean flexio-momentuen diagrama

2. ardatzaren diametro minimoa

Kalkulu horiek guztiak egiteko honako datu hauek erabili:

Irteera-ardatzean momentua = 15 kp.m

Irteera-ardatzean biraketak

Z1 = 50

Z2 = 80

Z3 = 40

Z4 = 120

m modulua = 2

τonar = 560 kg/cm2

MOTORRA IRTEERA-ARDATZA

Page 187: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

182

55.. ARIKETA

Kalkulatu 2. ardatz hutsean jarriko dugun diametro minimoa zein den, 1,5 ZP-ko potentzia transmi-

tituko dugula eta biraketa-abiadura 800 bira minutukoa dela jakinik.

1. Kalkuluak egiteko honako datu hauek erabili:

T1 = 1,45 T2

Polearen diametroa = 80 mm

Helize-formako engranajearen diametroa = 40 mm

Zementazio-altzairua erabiliko dugu eta material horren tentsio onargarria honako hau

da: τonar = 420 kg/cm2

Kalkulu hauek 2 segurtasun-koefizientearekin

2. Kalkulatu 34. txabeta

Page 188: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 183

Page 189: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

184

Ardatzaren matadera Zuloaren matadera

ARAUTUTAKO LUZERAK

Perd. Perd. Perd.

(1) Zuloa/ardatza doikuntza gomendatuak doitasun-ahokaduretarako. d ≤ 80 H7/j6

ARDATZEN DIAMETROAK

TXABETAK MATADERAK

PERDOIAK

ARDATZA

Perd.

ZULOA

Perd. Perd. Perd.

Perd.

(2) Ahokadura finko lasaietarako aurreikusitako perdoia (3) Ahokadura finko estuetarako aurreikusitako perdoia (*) Automobiletarako aurreikusitako txabetak

Page 190: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 185

66.. ARIKETA

Honako irudian ikus daitekeen transmisioan kalkulatu ardatzak izango duen diametro minimoa 900

bira minutuko abiaduraz bira dadin, irudiak azaltzen diren indarrak kontuan hartuta.

Kontuan izan FD engranaje konikoaren indarra honela adierazita dagoela:

FD = -0,242 FD i – 0,242 FD j + 0.940 FD k

3 Engranajea

4 Engranajea

Mutur handienean

Page 191: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

186

Zenbakizko simulazioa

Ordenagailuen garapenari esker, diseinu industrialean aurrerapen handiak izan dira eta gaur egun

honako adierazpen honek laburbiltzen duen diseinu-filosofia berria sortu dela esan dezakegu: “Lehen

saioan asmatu”. CAD sistemak gaur egun enpresa askotan laguntza ikaragarria eskaintzen duen bitartean,

CAE (Computer Aided Engineering) izeneko tresnak oraindik finkatzeko bidean dira. CAE tresna guztietan

ezagunena, beharbada, elementu finituen metodoa izango da eta CAE tresnetan ezezagunena eta

garapen txikiena izan duena, berriz, mekanismoen zenbakizko simulazioa da, dudarik gabe.

Hori guztia harrigarria da ekintza dinamikoak jasaten dituen mekanismoaren osagaia den elementu

baten egituraren kalkulua egiteko (motorraren baskulagarria, kasu), elementu horrek jasaten dituen

indarrak eta erreakzioak balioestea ezinbestekoa baita. Kalkulu horiek egiteko eskura ditugun ohiko

metodoak ez dira erabilera anitzeko metodoak, eta askotan zehaztasunik gabeko kalkuluak erabiltzen dira,

eta ondorioz, egitura-kalkulu zehatza egitearen erabilgarritasuna dudazkoa izan daiteke. Horrenbestez,

mekanismoen azterketak elementu finituen egitura-azterketa egin baino lehenagoko pauso logikoa izan

behar du eta azterketa horren bidez elementu bakoitzaren erresistentzia, iraupena eta zurruntasuna

balioztatu ahal izango ditugu, ingeniaritza mekanikoan CAE tresnen ziklo osoa itxi ahal izango dugu.

Bestalde, mekanismoen zinematika eta dinamikaren simulazioa ez da elementu finituen azterketarako

aurretiko pauso gisa erabiltzen soilik; bere kasa ere simulazioa interesgarria dela esan dezakegu.

Zenbakizko simulazioaren sistema modernoen bitartez mekanismoaren jokabidea eta ezaugarriak

egiazta ditzakegu, eta horrela, mekanismo horrek zerbitzuak bete behar dituen funtzioen arabera diseinu

hori onargarria ote den erabakiko dugu, horretarako ereduak eraiki gabe azken momentuko egiaztapen-

-fasean salbu. Horrenbestez, mekanismoen zenbakizko simulazioa mekanismoen zinematika eta

dinamika sakon aztertzeko premiaren irtenbide baliagarria izateko asmoz sortu da.

Eredua izango den adibidearen planteamendua

Motorraren simulazio dinamikoa egiteko lehen pausoa eredu mekaniko sinplifikatua zehaztea da.

Eredua konplexua izatea ala ez, kasurik gehienetan, eredua zehaztean egindako hipotesi eta

sinplifikazioen araberakoa eta lortu nahi diren emaitzen araberakoa izango da. Hori horrela izanik,

ondoren ereduen bitartez kontuan hartu behar diren alderdiak zeintzuk diren azalduko ditugu:

Esekidurak egiaztatzean sistemak izan behar duen erreakzioa

Galgatzen ari den bitartean gertatzen den aitzinapen-aldaketa

Galgatzen ari den bitartean gertatzen den jaurtiketa-aldaketa

Galgatzen ari den bitartean gertatzen den ardatzen arteko distantzia-aldaketa

Page 192: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 187

Galgatzen ari den bitartean gertatzen den pisuen banaketa-aldaketa

Galgatzen ari den bitartean gertatzen den esekidura-mugimendua

Galgatzen ari den bitartean gertatzen den grabitate-zentroaren mugimendua

Galgatzen ari den bitartean geldiarazi den ABZren(aldiuneko biraketa-zentroa) kokapena eta

mugimendua

Horrekin guztiarekin batera ereduaren bidez garrantzi handiko bestelako emaitzak ere lor ditzakegu, hala

nola denbora-une bakoitzean motorraren osagai guztien kokapena, abiadura, azelerazioa eta lotura-indarrak.

Kontuan hartu behar da eredu hori geometria-aldaketak aztertzeko soilik antolatu dugula, eta

ondorioz, ezin dugu eredu hori pneumatikoen eta zoladuraren arteko elkarrekintzak edo galga-sistema

aztertzeko erabili.

Eredua. Ezaugarriak

Zenbakizko ereduak zehaztean abiapuntu gisa eginiko hipotesiak bi sailetan bana daitezke; batetik

simulazio-programaren baitan dauden ezaugarrien araberako hipotesiak daude, eta bestetik ereduak

definitzean eginiko sinplifikazioekin erlazionatutakoak.

Simulazio-programaren baitako hipotesietan hauek aipa ditzakegu:

Solido zurrunaren hipotesia. Hipotesi horren arabera solido guztiak erabat zurrunak direla

pentsatzen da, hau da, xasisean, baskulagarrian, etab.ean ez dela inolako deformaziorik

gertatuko joko dugu. Hipotesi horrekin bat ez datozen solidoak esekiduretako elementu

elastikoak dira.

Lotura-baldintzak guztiz zurrunak dira. Hipotesi horrek dioenez, elementuen lotura guztiak

idealak dira, hots, ez dago lasaierarik eta lotura-tortsoreak unean unekoak izango dira.

Ereduak definitzean egindako sinplifikazioei lotutako hipotesietan honako hauek aipatuko ditugu:

Motozikletak plano bertikalean egongo da beti (ereduak 3D-koak izan arren).

Lotura-baldintza guztietan energia xahutzearen ondorioak bazter utzi dira (bere garrantzia-

gatik kontuan hartzeko modukoak direla uste izan den kasuetan salbu).

Gidariaren mugimendua ez da kontuan hartu.

Osagaien masak puntualtzat jo dira eta elementu bakoitzaren grabitate-zentroetan aplikatu dira.

Pneumatikoen errodadura ez da kontuan hartu, datu hori geometria-aldaketak kalkulatzeko

ez baita beharrezkoa.

Ez dago galga-sistemarik, eta pneumatiko eta zoladuraren arteko ukitze-gainazalean

jakineko indarra aplikatuz motorra galgatzen ari dela joko dugu.

Page 193: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

188

Sinplifikazio horiek guztiek ez dute eraginik izan behar ereduen jokamolde dinamikoan, lehen

aipatutako emaitza lortzeari dagokionez behintzat.

Geometria eta oinarrizko ezaugarriak (masa, inertzia-zentroa eta inertzia-tentsorea) CAD sistemaren

bidez eskuratu ditugu, kasu honetan IDEAS izeneko programa erabili dugu. Horrela, marrazketa-fasean

eginiko lan hori sistema mekanikoen simulazioan xasisaren eta xasisarekin erlazionatutako osagaien

ezaugarriak definitzeko erabili ahal izango dugu.

Elementu finituak

Kalkulatzeko metodo hori inoiz erabili baldin baduzue, beharbada, honako azalpen hau azalekoa

dela irudituko zaizue...

Ez gara une honetan azalpen matematiko konplexuak ematen hasiko elementu finituen metodoa

zertan datzan azaltzeko, baizik eta metodo horren funtsa eta erabilpena apur bat argitzen saiatuko gara

besterik gabe.

Demagun pieza bat, motorraren baskulagarria adibidez, diseinatu nahi dugula. Pieza hori

diseinatzeko lehenengo pausoa elementu horrek motorrak izango duen geometriarekin bat etor

dadin izango dituen neurri orokorrak zehaztea izango da. Bestalde, pieza horrek jasango dituen

kargak ere definituko ditugu, karga horien arabera baskulagarriaren neurriak zehaztu ahal izateko,

hau da... zein material-mota erabiliko dugu baskulagarria eraikitzeko? Xaflak edo tutuak zer lodiera

izango du? Baskulagarriak zein forma edukiko du tentsioak eta zurruntasuna kontuan hartuta guk

zehaztu ditugun mugen barnean egongo bada? Tentsio horiek ahalik eta modu uniformeenean

banatuta al daude?

Kalkulu horiek guztiak ohiko metodoak erabiliz egin nahi baditugu (hots, eskuz), posible da guztiz,

betidanik horrela egin baitira, alabaina balioztapen gehiegi eginez eta segurtasun-koefiziente altuegiak

erabiliz egin beharko genituzke. Azken finean kalkulu horiek eskuz egitean diseinatuko dugun pieza

gehiegi dimentsionatuko da.

Elementu Finituen Metodoaren bitartez (EFM euskaraz, MEF gaztelaniaz edo FEM ingelesez)

eta software-pakete on baten bidez pieza diseinatzeak honako lan hauek baino ez ditu eskatuko:

pieza 3D-n ordenagailuan marraztu, erabilitako materialen (altzairua, aluminioa, etab.) propietateak

esleitu, piezak jasango dituen kargak esleitu eta mugimendu-murriztapenak (izan ere pieza

nonbaitetik lotuta egon behar du bestela kargak jasatean hegan joango litzateke-eta) ere esleitzea

izango dira.

Page 194: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 189

Lan hori guztia amaitu dugunean, programak kalkuluak egin eta arazoaren irtenbidea emango

digu, eta gainera, piezak jakineko karga jasaten ari denean nahi dugun puntuaren tentsio-egoera zein

den, piezak izango dituen deformazioak, etab. jakin ahal izango ditugu. Horrenbestez, diseinu- eta

optimizazio-prozesua askoz bizkorragoa izango da eta neke-azterketak ere egin ahal izango ditugu.

Emaitzak intuizioaren bidez interpretatuko ditugu pantaila batean tentsio- edo deformazio-balioak

adierazten dituen kolore-kodearen bidez ikusiko baititugu.

EFM metodoa egiturari dagozkion arazoei irtenbidea bilatzeko erabil daiteke, baina baita fluidoen

dinamikari, bero-transferentziari edo elektromagnetismoari buruzko arazoei emateko ere; izan ere,

metodo hori ekuazio diferentzialak deribatu partzialen bidez adieraz daitezkeen problema matematiko

guztiak askatzeko erabil daiteke eta.

Problema erreala jarraitua da eta askatasun-maila infinituak ditu. EFM metodoa erabiliz, ordea,

funtsean problema murriztua eta askatasun-maila finitua hartzen da kontuan, kalkulatuko dugun pieza

zatikatuz (sare-modukoa eginez) jakineko “pusketen” (elementuen) kopurua lortuz. Pieza pusketa-kopuru

handian banatzen badugu, oso emaitza zehatzak lortuko ditugu, baina problemaren irtenbidea aurkitzea

nekezagoa izango da (izan ere, zenbat eta askatasun-maila handiagoa izan, hainbat eta denbora

gehiago beharko du ordenagailuak kalkuluak egiteko). Aldiz, pieza oso pusketa gutxitan zatitzen badugu,

kalkulua oso azkar egingo dugu, baina emaitzak ez dira oso fidagarriak izango, planteatuko den ekuazio-

Page 195: PDF Material En Erresistentzia

PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA

190

-sistema errealitatetik urrun samar egongo baita. Eskuarki zulo handi samarrak dituen sarea ustez

tentsio txikiagoak jasango dituen piezaren pusketan erabiliko dugu, eta zulo txikiagoak dituen sarea

(elementu-dentsitate handiagoa, alegia) tentsio-kontzentrazio handiagoa egongo dela uste dugun

eremuan erabiliko dugu. Oraintxe eman dugun azalpen hau oso garbi ikus daiteke baskulagarriaren

ondoko irudi honetan. Irudian argi ikus daitekeenez, motorraren baskulagarria lotzen den tokian

elementu-dentsitate handiagoa dago, halaber gurpilaren eta baskulagarriaren ardatzen zuloen inguruan

zulo txikiagoak dituen sarea erabili dugu pieza pusketatan zatitzeko.

Lortuko ditugun emaitzak onargarriak izan daitezen eredua doitzea ez da lan erraza. Zailtasun

handienak mugimendu-murriztapenak ezartzean aurkituko ditugu. Era berean, torloju bidezko loturen

edo soldaduren eredua egitean ere zailtasun batzuk izan ditzakegu. Horrenbestez, lan hau oso kontuz

egin beharko dugu (eta esperientzia izatea ere lagungarria gerta dakiguke) kontuan hartuko ditugun

hipotesiak errealitatetik urrun samar egongo ez badira.

Bestalde, pieza diseinatzeko EFM metodoa erabiltzean beste zailtasun batekin egingo dugu topo

(beharbada zailtasun nagusia izango dena) eta hauxe da: software-paketeak oso garestiak izatea hain

zuzen. Maizen erabiltzen diren pakete ezagunenak (garestiak izan arren pakete horiek eskura ditzaketen

enpresetan bederen) ANSYS eta ABAQUS software-paketeak dira.

Zorionez egunetik egunera gero eta FEM shareware pakete gehiago daude eta guztiak Interneten

erraz aurki ditzakegu. Pakete hauek gehienak 2D edo barren bidez eginiko egituren bidez bakarrik erabil

daitezke. Horrela izanik ere, pakete hauen bitartez oso gauza interesgarriak egin daitezke.

Page 196: PDF Material En Erresistentzia

PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA

LANBIDE EKIMENA 191

BIBLIOGRAFIA

MATERIALEN ERRESISTENTZIA

» Luis Ortiz Berrocal » Mc Graw Hill

MATERIALEN MEKANIKA

» Ferdinand P. Beer – E. Russell Johnston » Mc Graw Hill

Page 197: PDF Material En Erresistentzia