7/23/2019 pd9geoy calculoII2015-2

http://slidepdf.com/reader/full/pd9geoy-calculoii2015-2 1/2

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

(   Universidad del Per´ u, DECANA DE AM   ERICA)FACULTAD DE QUIMICA E INGENIERIA QUIMICA

Curso  : Geometrıa Anal ıtica y Calculo II   Prof.: Teodoro Sulca P.Practica Dirigida #9

1. Sea   z   =   f (x, y) donde   x   =   s4 + r4 , y   = 2rs2. Calcula  ∂z

∂x(2, 2) y

  ∂z

∂y(2, 2), siendo

  ∂z

∂r(1, 1) = −2 y

∂z

∂s(1, 1) = 3.

2. Sea   u   =   x4

y  +  y2

z3

+ ϕ(x/y), donde   x   = 1 + rser

,   y   =   rs2

e−t

,   z   =   r2

s  sen t   . Calcular

  ∂u

∂s   cuandor  = 2, s = 1, t = 0, sabiendo que  ϕ′(3/2) = −1.

3. Sea  z  = f (x, y) y consideremos  x  =  u2 + v2 , y  = u/v . Calcular las derivadas parciales de  z  respecto delas nuevas variables u  y  v  en funcion de las derivadas parciales de  z  respecto de  x  e  y .

4. ¿En que puntos de la superficie −2x2 + 64x− 4y2 + 64y + z2− 768 = 0 no esta definido el plano tangente?

5. Supongamos que la igualdad F (x,y,z) = 0 determina implicitamente funciones diferenciables x =  x(y, z) ;   y =

y(x, z) ;   z =  z(x, y). Probar que  ∂x

∂y

∂y

∂z

∂z

∂x = −1.

6. Se supone que las igualdades  x2 + y2 + z3 = 3 y   x2 + 3xy − 2z  = 0, definen funciones implicitas  y   =y(x), z =  z(x) tales que y(1) = −1, z (1) = 1. Calcular el limite

lımx→1

y(x) + z(x)

x − 1  .

7. Demostrar que en  xy  +  z + 3xz5 = 4 se puede despejar  z   en funcion de  x  e  y  cerca de (1, 0, 1). Calcular∂z/∂x  y  ∂z/∂y  en (1, 0).

8. Determine los puntos crıticos de  f  mediante el metodo de multiplicadores de Lagrange (Optimizacion conrestricciones de igualdad). Hallar los valores extremos de f 

a )   f (x, y) = x2 + y2 − 3xy ; 2x + 3y = 31

b)   f (x, y) = 3x + 2y ;   x2 + y2 = 13

c )   f (x, y) = x2 + 12xy + 2y2 ; 4x2 + y2 = 25

d )   f (x, y) = x + y  ;   x2 + y2 − 2 = 0

e )   f (x,y,z) =  x2 + y2 + z2 ; 2x + 3y + 4z  = 29

 f  )   f (x,y,z) = ln(xyz) ;   x2 + y2 + z2 = 4

g )   f (x,y,z) = 2−3x2−y2−z2−7y ; 5x−y+z  = 8

h )   f (x, y) =  x2 + 2y2 − xy; 2x + y = 2

i )   f (x, y) =  xy   ;  x2 + y2 = 1

 j )   f (x, y) = ln(xy2); 2x2 + 3y2 = 8

k )   f (x, y) = 2x2 + 4y2 −  3xy −  2x −  23y  + 3;x + y = 15

9. Una companıa planea gastar $ 1000 en publicidad. Un minuto de publicidad en la T.V. cuesta $300 y unminuto de publicidad en la radio cuesta $100 . Si la empresa compra  x  minutos de TV e  y  minutos en laradio, estima que su ingreso en miles de dolares esta dado por la siguiente funcion  f (x, y) = −2x2 − y2 +xy + 8x + 3y  ¿Como puede la empresa maximizar su ingreso?

10. Una persona gasta $ 20 en la compra de una hora de trabajo y $ 10 por la compra de una unidad de capital.Si dispone de  L  horas de trabajo y de  K  unidades de capital se podran producir  L2/3K 1/3 maquinas. Sidispone de $ 1000 para invertir en la compra de trabajo y capital ¿cual es el numero maximo de maquinas

que se podran producir? ¿Cual es la estrategia de costo mınimo para producir 6 maquinas?

11. Hallar la distancia mas corta del punto (0, b) a la parabola x2 − 4y   = 0. Resolver este problema por elmetodo de Lagrange y tambien sin usar este metodo.

12. Demostrar que el volumen del mayor paralelepipedo rectangular que se puede inscribir en el elipsoidex2

a2 +

 y2

b2  +

 z2

c2 = 1 es

  8abc

3√ 

3.

13. Una caja rectangular sin tapa tiene una superficie de 16 m2. Hallar las dimensiones que maximizan suvolumen.

7/23/2019 pd9geoy calculoII2015-2

http://slidepdf.com/reader/full/pd9geoy-calculoii2015-2 2/2

14. Se va a adornar un espejo rectangular que tiene un area de A cm2, a lo largo de sus bordes. Si los adornosa lo largo de los lados horizontales cuestan  p  soles por centımetro y los de los lados verticales q  soles porcentımetro, hallar las dimensiones que minimizarıan el costo total.

15. Hallar los extremos absolutos de las funciones f   dadas en las regiones cerradas y acotadas siguientes

a )   f (x, y) =   x3

3 −   x2

2  + 2x + y2 − 2y + 1, en la region K  = {(x, y) ;   x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}

b)   f (x, y) = x + y, en la region K  = {(x, y) ;  −1 ≤ x ≤ 1  , −1 ≤ y ≤ 1}c )   f (x, y) = 3x2 + 5y2, en la region K  = {(x, y) ; 0 ≤ x ≤ 1  ,   0 ≤ y ≤ 1}d )   f (x, y) = x2 + x + y2 + y, en la region K  =

(x, y) ;   x2 + y2 ≤ 1

e )   f (x, y) = (x

−1)2 + (y

−1)2 + (z

 −1)2, en la region K  = (x, y) ;   x2 + y2 + z2

≤ 12

16. Calcular las siguientes integrales iteradas

a )

   10

   2xx

(2 + x2 + y2) dy dx

b)

   π/20

   1−1

x2y2 dxdy

c )

   10

   xx2

(1 − xy) dy dx

d )

   20

   x0

ex+y dydx

e )   π0

   sen x0

y dy dx

 f  )

   10

   y2+1

y

x2ydxdy

g )

   π/20

   y0

sen y

y  dxdy

h )

   π/20

   cos y0

x2 sen y dx dy

i )

   21

   2x0

xy3 dy dx

 j )   10

   yy2

 yx dxdy

k )

   10

   3x2x

ex+y dy dx

l )

   20

   3ex2√ 4−x2

x dy dx

m )

   ln 80

   ln y0

ex+y dy dx

n )   10

   2xx

xy2 x3 + y3 dy dx

17. Calcular 

D f (x, y) dA  para cada uno de los siguientes casos

a )   f (x, y) = 2x D  es la region limitada por 4y =  x2, x − 2y + 4 = 0

b)   f (x, y) = x, D =

(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 

4 − y2,  0 ≤ y ≤ 2

c )   f (x, y) =   2y−1

x2−1,  D  limitado por y  = 4 − x2, y = 0.

d )   f (x, y) = 2x − y   ,  D  es la region sobre  y  = |x − 1|  y debajo de y  = 4 − |x|  .18. Calcular las siguientes integrales cambiando el orden de integracion

a )  2

0  4

2y ex

2

dxdy

b) 10

 1y

  sen(x2) dxdy

c ) 20

 2x

  x 

1 + y3 dy dx

d ) 20

 2x

 e−y2

dy dx

e ) 10

 1y   sen x2 dy dx

 f  ) 20

 4y2

√ x  sen x dy dx

g )   1

0   2

0 dy dx

h )

   21

   42

dxdy

i )

   10

 √ 1−y2

−√ 

1−y2

dxdy

 j )

   20

   1x/2

dy dx

k )   4

0   2

√ x dy dx

l )

   10

   3√ yy2

dxdy

m )

   2−2

   4−y2

0

dxdy

n ) 10

  arc cos   x

0  esen y dy dx   considerar D  =

(x, y) / 0 ≤ x ≤ cos y ,  0 ≤ y ≤   π

2

19. Calcule el volumen del solido limitado superiormente por el paraboloide z  = 4 − x2 − 2y2 e inferiormente

por el plano X Y  .

20. Calcule el volumen del solido limitado por la parte del cilindro  x2 + y2 = 16 para x ≥ 0, y ≥ 0 los planoscoordenados y el plano 2y + 2z − x = 8 .

21. Hallar el volumen de la region limitada por el cilindro  x2 + z  = 1 y por los planos  x + y  = 1, y   = 0 yz  = 0.

22. Determine el volumen de la region localizada en el primer octante bajo la superficie  z   =  xy  y sobre elplano X Y  que se encuentra dentro de la circunferencia  x2 + y2 = 1 , y a la derecha de la recta  x + y  = 1 .

23. Mostrar que el volumen  V   del solido limitado por la grafica de la ecuacion 

xa  +

 yb   +

 zc   = 1 y los

planos coordenados esta dado por  V   =   abc90

  .