PautaTaller-3-fmm112(7-8)

7/23/2019 PautaTaller-3-fmm112(7-8)

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Taller Sumativo Grupal No3

Cálculo Diferencial. FMM112

Integrante 1: Rut:Integrante 2: Rut:Integrante 3: Rut:Integrante 4: Rut:

IndicacionesΨ Debe desarrollar cada pregunta en la hoja correspondiente, no se aceptan hojas anexas.Ψ Preguntas incompletas y/o con desarrollo incoherente serán evaluadas con menor puntaje.Ψ Debe resolver los ejercicios utilizando los contenidos vistos en clases.Ψ El uso de cualquier aparato tecnológico durante el desarrollo del control será sancionado con la nota mínima.

ÍTEM I ÍTEM II ÍTEM III NOTA

Puntaje

Puntaje

recorregido

DECLARO HABER REVISADO LA EVALUACIÓN Y ESTAR DE ACUERDO

CON LA CALIFICACIÓN

Día Mes Año NOTA

Firma del alumno

Miguel Ángel Muñoz JaraCoordinanor FMM112.

1 Módulo 7-8



Determinar, en cada caso, la alternativa correcta. Justificar la respuesta.

1. Si f (x) = sin(ln(x)) + cos(ln(x)) , entonces f (1) =

(a) −2 (b) 0 (c) −1 (d) N.A.

Solución.

Tenemos que: f (x) = cos

ln(x)1

x − sin

ln(x)

1

x =

1

x

cos

ln(x)

− sin

ln(x)

Luego, f (x) = −1

x2

cos

ln(x)

− sin

ln(x)

+

1

x

− sin

ln(x)

1

x − cos

ln(x)

1

x

f (x) = −1

x2 cos(ln(x)) +

1

x2 sin(ln(x)) −

1

x2 sin(ln(x)) −

1

x2 cos(ln(x)) =

−2

x2 cos(ln(x))

Entonces, f

(1) = −2

12 cos(ln(1)) = −2cos(0) = −2

Por tanto, la alternativa correcta es (a)

2. Si y está definida implicitamente como función de x en: exy − cos(x − y) = sin(xy2) , entoncesdy

dx(0, 0) =

(a) 1 (b) 0 (c) −1 (d)

Solución.Derivando implícitamente tenemos:

exy(y + xy) + sin(x− y)(1 − y) = cos(xy2)(y2 + 2xyy)

yexy + xyexy + sin(x− y) − y sin(x− y) = y2 cos(xy2) + 2xyy cos(xy2)

Luego, dy

dx = y =

y2 cos(xy2) − sin(x− y) − yexy

xexy − sin(x− y) − 2xy cos(xy2)

Entonces, dy

dx

(0, 0) = 02 cos(0) − sin(0) − 0e0

0e0

− sin(0) − 2(0) cos(0)

=

Por lo tanto, la alternativa correcta es (d)

Actividad 1 (Selección Múltiple (20 puntos)).

Miguel Ángel Muñoz Jara

Coordinanor FMM112.

2 Módulo 7-8



Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones, justificando cada una de susafirmaciones:

(a) Si f (x) =

sin4(2x) − 1, entonces f (x) = 4sin3

(2x) sin4(2x) − 1

Verdadero Falso

Solución.

f (x) = 1

2

sin4(2x) − 1

sin4(2x) − 1

= 1

2

sin4(2x) − 1

4sin3(2x) cos(2x) · 2

= 8sin3(2x) cos(2x)

2

sin4(2x) − 1

= 4sin3(2x) cos(2x)

sin4(2x) − 1

Por tanto, la afirmación es falsa.

(b) Si y está definida implicitamente por: xy = ln(y) + 1, satisface la ecuación: y2 + (xy − 1)y = 0Verdadero Falso

Solución.Derivando implícitamente, se tiene:

y + xy

=

1

yy

+ 0

Entonces, xy−

1

yy = −y

Luego, y = −y

x− 1

y

= −y2

xy − 1

Reemplazando en la ecuación:

y2 + (xy − 1)y = y2 + (xy − 1) ·−y2

xy − 1

= y2− y2

= 0

Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

Actividad 2 (Verdadero o Falso (20 puntos)).


Coordinanor FMM112.

3 Módulo 7-8



Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva: sin(x + y) = x sin(y) en el punto (0, 0)

Solución.

Para encontrar la pendiente de la recta tangente, derivamos implícitamente la curva y la evaluamos en elpunto (0, 0)

sin(x + y) = x sin(y) / d

dx

cos(x + y)(1 + y) = sin(y) + x cos(y)y

cos(x + y) + y cos(x + y) = sin(y) + x cos(y)y

y cos(x + y) − x cos(y)y = sin(y) − cos(x + y)

y = sin(y) − cos(x + y)

cos(x + y) − x cos(y)

Luego:

y(0, 0) = sin(0) − cos(0 + 0)

cos(0 + 0) − 0 cos(0)

y(0, 0) = 0 − 1

1 − 0 = −1

Por lo tanto, la pendiente de la recta pedida es m = −1

Luego, la ecuación de la recta tangente a la curva es:

T : y = −1(x− 0) + 0

T : y = −x

Actividad 3 (Aplicación (10 puntos)).


Coordinanor FMM112.

4 Módulo 7-8



Determinar un punto del intervalo [1, 4] en el que la recta tangente a la curva f (x) = 5 −4

x sea paralela

a la recta determinada por los puntos A(1, 1) y B(4, 4)

Solución.

La recta determinada por los puntos A y B tiene pendiente igual a:

f (4) − f (1)

4 − 1 =

4 − 1

3 = 1

Luego, por el teorema del valor medio, existe c ∈ (1, 4) tal que f (c) = 1

Derivando f (x) se tiene:

f (x) = 0 −−4

x

2 f (x) =

4

x2

Entonces,4

x2 = 1

4 = x2

x = ±2

Como x = 2 ∈ (1, 4) , entonces c = 2

Actividad 4 (Aplicación (10 puntos)).


Coordinanor FMM112.

5 Módulo 7-8

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