1( ) ln

1

xf x

x

+=−

( )2 2

1( ) 1

x tf x e t dt−= +∫

PAU. CASTILLA Y LEON - 1998

PROBLEMAS

a x ++++ y −−−− z ==== z

PR-1. Dado el sistema −−−− x ++++ ay ++++ z ==== x

−−−− 3x ++++ 3y ++++ z ==== y

Se pide: estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea compatible.(3 puntos). PR-2. Se desea construir un jardín limitado, en dos de sus lados, por un río que forma un codo de 135º y en los otros dos por una valla ABC de 1,2 km de longitud (ver figura). Hallar las dimensiones del jardín de área máxima.

CUESTIONES ( 1 punto) C.1. Resolver la ecuación matricial AX = B, siendo,

1 2

0 1A

= −

1 2 3

0 1 1B

= −

(1 punto).C.2. Hallar el volumen del tetraedro cuyo s vértices son el punto (1, 1, 1) y los puntos en los que el plano 2x + y + z = 2 corta a los ejes d e coordenadas.

C.3. Calcular, simplificando todo lo posible el res ultado, la derivada de las siguientes funciones:

(0,5 puntos) a) (0,5 puntos) b)

(1 punto).C.4. Determinar m, si es posible, para que el plano de ecuación

2mx - 3(m - 1)y - (m + 3)z + 2m + 4 = 0 sea ortogonal a la recta de ecuación 2

yx z= = −

( )1 1,ttA B A y A B− −⋅ ⋅

1 1 11

2 3 3 2

x z x zr y y s y

+ − −≡ = − = ≡ = =

2 1

2

+=−

xy

x

PAU. CASTILLA Y LEON - SEPTIEMBRE 1999.

PRUEBA A PROBLEMAS

PR-1. a) De las siguientes operaciones con determinantes de orden 2 x 2 señalar las que son correctas y, en su caso, enunciar las propiedades que se utilizan:

(1,5 p) b) Dadas las matrices A y B de orden 4 x 4 con calcular , justificando la respuesta.

PR-2. Una partícula se mueve por la curva , x > 2. En el punto P de

abscisa x = 3, abandona la curva y se desplaza a lo largo de la recta tangente a la curva en dicho punto.

a) Calcular la ecuación de la recta tangente en P. b) Hallar el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota horizontal a la

curva. c) Hallar el área encerrada por la curva, la recta tangente y las rectas cuyas ecuaciones son x = 3 y x = 4. CUESTIONES C.1. Si A es una matriz de orden n tal que A2 = A y B = 2A – I, siendo I la matriz identidad de orden n, calcular B2.

C.2. Calcular lím(1 + 2x)4 / x . x→0

C.3. Dadas las rectas ,

estudiar la posición relativa . (1 p). C.4. Siendo f(x) = (x + 1)2 y g(x) = 3x, calcular la derivada de la función compuesta g(f(x)).

2 2 1 1 2 2 1 10, 4 2

2 6 1 3 2 6 1 3

a ay

b b= = ⋅ = ⋅

3, 2A y B= =

1 1

1 1

+ = −

mB

m

PAU. CASTILLA Y LEON - JUNIO 2000. PRUEBA A PROBLEMAS PR-1. Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A2

= 2A + I, donde matriz unidad. a) Demostrar que A admite matriz inversa, y obtenerla en función de A. b) Dada la matriz , hallar para qué valores de m se verifica que B2 = 2B + I, y para esos valores escribir la matriz inversa de B. PR-2. a) Enunciar el teorema fundamental del cálculo integral. b) Calcular una primitiva de la función x ln(1+ x 2 ) . c) Determinar el área encerrada por la gráfica de la función anterior, el eje OX y la recta x = 1.

CUESTIONES C.1. ¿Qué relación debe existir entre a y b para que los tres vectores (a, b, 1), (–b, –1, a) y (–a, b, a) estén sobre un mismo plano?

C.2. Dados los planos 1π : 3x + 4y + 5z = 0, 2π : 2x + y + z = 0 y el punto A(–1, 2, 1),

hallar el plano que pasa por el punto A y por la recta intersección de los planos 1 2yπ π C.3. Calcular, simplificando el resultado todo lo posible, la derivada de la función:

C.4. Hallar razonadamente la excentricidad de una elipse, sabiendo que los segmentos que unen los extremos de su eje menor con cada uno de los focos forman un cuadrado.

( ) 1 cosln

1 cos

xf x

x

−=+

1= −y x

PAU. CASTILLA Y LEON - JUNIO 2001. PRUEBA A PROBLEMAS PR-1. a) Enunciar el Teorema de Rouché-Fröbenius. b) Analizar en función del parámetro a el sistema de ecuaciones:

c) Resolver el sistema cuando a = 3, a = 0.

PR-2. Dos hermanos heredan una parcela que han de repartirse. La parcela es la

región plana limitada por la curva y la recta

a) Calcular el área de la parcela.

b) Deciden dividir la parcela, en partes iguales, mediante una recta de la forma y = a,

(a > 0). Hallar el valor de a.

CUESTIONES

C.1. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 verificando que 2 · A2 = A. Calcular

razonadamente los posibles valores del determinante de A.

C.2. Si son vectores ortogonales y de módulo 1, hallar los posibles valores del

parámetro real a para que los vectores formen un ángulo de 60º.

C.3. Calcular

2

0

1lim

cos 1

x

x

e

x→

−−

C.4. Dados los puntos A(-5, -1), B(2, 4), C(0, 2), sea M el punto medio del segmento

BC. Calcular la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AM.

2 1

2 2

2 3

x y z

ax y z

x y az

− − = − − + = + + =

( )11

2= −y x

� � �

u y v y v

+ −� � � �

u av y u av

2 3 1

2

− = −≡ + − =

x yr

x y z

5π ≡ − + =az y z

PAU. CASTILLA Y LEON - SEPTIEMBRE 2001. PRUEBA A PROBLEMAS PR-1. a) Calcular el valor de a para que la recta y el plano

sean paralelos.

b) ¿Existe algún valor de a para el que r y π sean perpendiculares?

c) Hallar el valor de a para que el ángulo formado por la recta r y el planoπ sea de

30º.

PR-2. Dada la curva2y x a= +

a) Calcular algún valor de a para que las tangentes a la curva en los puntos de

abscisa de valor absoluto uno, pasen por el origen de coordenadas.

b) Para a = 1, hallar el área del recinto limitado por la curva y las tangentes a la

curva en los puntos (1, 2) y (-1, 2).

CUESTIONES

C.1. Sea A una matriz cuadrada tal que A2 = A + I, donde I es la matriz identidad. ¿Se

pude asegurar que A admite inversa? Razonar la respuesta.

C.2. Determinar a y b para que los planos 1 6 4 9 0x y zπ α≡ − + + = y

2 9 3 0x y zπ β β≡ − + − = sean paralelos. Calcular la distancia entre dichos planos.

C.3. Determinar un punto P sobre la curva y = 12 − x2 situado en el primer

cuadrante, de forma que el área del rectángulo determinado por los dos ejes y las

rectas paralelas a los ejes que pasan por P, sea máxima.

C.4. Calcular( )

20

1lim

x

x

x e

sen x→

− ⋅

PAU. CASTILLA Y LEON - JUNIO 2002.

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1. Sean A, B y X tres matrices cuadradas del mismo orden que verifican la

relación A · X · B = I, siendo I la matriz unidad.

a) Si el determinante de A vale -1 y el de B vale 1, calcular razonadamente el

determinante de X. (1,5 puntos)

b) Calcular de forma razonada la matriz X si

PR-2. Dada la función , definida para todo x R∈ ,

a) Calcular F´(x), estudiar el crecimiento de F(x) y hallar las abscisas de sus máximos

y mínimos relativos. (1,5 puntos)

b) Calcular F´´(x), estudiar la concavidad y convexidad de F(x) y hallar las abscisas

de sus puntos de inflexión. (1,5 punto)

CUESTIONES

C.1. Si son vectores del plano con , probar que los vectores

son ortogonales.

C.2. Calcular la distancia ente el plano y el plano , que es

paralelo a y pasa por el punto (4, 3, 7).

C.3. Calcular

C.4. Calcular la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen de

coordenadas y pasa por los focos de la elipse

2 3 1 2

3 4 2 3

− = = −

A y B

( ) ( ) 22

01 −= −∫

x tF x t e dt

� �

u y v =� �

u v ( ) ( )+ −� � � �

u v y u v

1 1 0π ≡ + − − =x y z 2π

1π

3

cos∫

xdx

sen x

2 2

125 9

+ =x y

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1. a) Hallar la recta que corta a las rectas y

y pasa por el punto A(-2, 0, -7).

b) Calcular la distancia del punto A a la recta r.

PR-2. a) Enunciar la regla de Barrow. (1 punto)

y la recta y = 2x . b) Hallar el área del recinto limitado por las parábolas

CUESTIONES

C.1. Calcular razonadamente la matriz A sabiendo que verifica la igualdad

1 2 3 2 0 0

0 2 3 0 2 0

0 0 3 0 0 2

A

=

C.2. Calcular el ángulo que forma la recta

3 1 1

2 5 1

x y z− + −= =− con el plano

2x - 5y + 7z - 11 = 0

C.3. Dadas las funciones ( ) ( )3 2( ) 1 ln 8f x x x y g x x= + + = +, escribir la función g o f y

calcular su derivada.

C.4. Calcular

1lim

xx

x

e→∞

−

2 1

2 3 3

− −≡ = =−

x y zr

2 2 0

2 5 0

+ + =≡ + − =

x ys

y z

22,

2= = x

y x y

PAU. CASTILLA Y LEON - SEPTIEMBRE 02

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1. Se consideran los planos ΠΠΠΠ1≡≡≡≡ x + y + z = 0 y ΠΠΠΠ2 ≡≡≡≡ x - y + z = 1. Se pide:

a) Hallar un plano perpendicular a ambos pasando por el punto (1, 2, -1).

b) Determinar una recta paralela a ambos pasando por el punto (2, 1, 1).

(1 punto)

c) Calcular el ángulo que forman ΠΠΠΠ1 y ΠΠΠΠ1

PR-2. a) Enunciar el teorema de los incrementos finitos.

b) Una función f(x), derivable en toda la recta, verifica: f(0) = -2, f(2) = 6

b1) Aplicando el teorema anterior, probar que existe un punto c en el intervalo (0, 2)

tal que f ´(c) = 4.

b2) Si además f(x) tiene derivada continua y f ´(0) = 0, probar que hay un punto en el

intervalo (0, 2) en el que la derivada de f toma el valor 3.

CUESTIONES

C.1. Dadas las matrices , hallar para qué valores de m la

matriz B + mA no tiene inversa.

C.2. Calcular el valor de a para que el producto vectorial de los vectores (a, -a, 2) y

(2, a, 1) sea proporcional al vector (1, 1, 0). (1 punto)

C.3. Calcular

C.4. Calcular

1 1 3 1

2 0 2 2

= =

A y B

0

1 1lim

→

+ − −x

x x

sen x

21 2+∫x

dxx

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1. La circunferencia x 2 + (y + 4)2 = 25 corta al eje OX en los puntos F1 y F2

a) Hallar las coordenadas de los puntos F1 y F2.

b) Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son F1 y F2 y cuyo eje mayor es igual al

diámetro de la circunferencia anterior.

PR-2. La gráfica de la función y = cos x en el intervalo [0, ΠΠΠΠ/2] determina con los ejes

de coordenadas un recinto que queda dividido en dos partes por la gráfica de la

función y = sen x. Determinar el área de cada una de esas partes.

CUESTIONES

C.1. Si los determinantes de las matrices cuadradas de orden tres A y 2A son iguales,

calcular el determinante de A. ¿Existe la matriz inversa de A?

C.2. Hallar el plano que contiene a la recta 5 2

2 1 4

x y z− +− +− +− += == == == =−−−−

y es paralelo a la recta 2

22

yx z

++++= = += = += = += = +

C.3. Dada la función en el intervalo [0, ΠΠΠΠ/2], demostrar,

calculando su derivada, que f(x) es constante.

C.4. Hallar a, b y c para que la función f (x) = x3 + ax 2 +bx + c tome el valor 0 para

x= 1, presente un máximo relativo en x = -1 y un mínimo relativo en x = 0.

( ) ( )( )

1

cos cos 1

+ +=

− +sen x sen x

f xx x

1 1 1

1 2 2

1 2

=

A

m

PAU. CASTILLA Y LEON - JUNIO 2003 PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1. a) Hallar el valor del parámetro a para que los planos de

ecuaciones: se corten en un a recta r. (1,5 puntos)

b) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto P(2, 1, 3) y contiene a la recta r del

apartado anterior.

PR-2. Dada la función , hallar:

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos.

b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x = −1, x = 1.

CUESTIONES

C.1. Estudiar el rango de la matriz A, según los distintos valores de m:

C.2. Hallar la distancia del punto P(2, 1, 1) a la recta

C.3. Calcular 20

coslim

x

x

e x x

sen x→

− −

C.4. Demostrar que la ecuación x5 + 4x3 +3 = 0 tiene exactamente una raíz en el intervalo

[−1, 1]. ¿En qué resultados te basas?

2 3

2

3 4

− + =− + =− + =

x y z

x y z

x y az

( ) 2 1=

+x

f xx

1

32

3λ

λ

=≡ = +

=

x

r y

z

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1. Dadas las matrices , se define la matriz

C = A + mB.

a) Hallar para qué valores de m la matriz C tiene rango menor que 3.

b) Para m = −1, resolver el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es C.

PR-2. a) Hallar a y b para que la función siguiente sea continua en x = 0:

( ) ( )3

ln 0

0

e senx si xf x

x ax b si x

+ <= + + ≥

b) Hallar a y b para que f(x) sea derivable en x = 0.

c) Calcular

CUESTIONES

C.1. Si A es una matriz cuadrada, ¿la matriz A + At es igual a su traspuesta? Razonar la

respuesta. (At es la matriz traspuesta de A) (1 punto)

C.2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 2, −1), es paralela al plano π ≡

2x + y − z − 3 = 0 y es perpendicular a la recta

C.3. Hallar el área de la región limitada por la curva y = x2 y la recta y = 2x + 3.

C.4. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (3, 2) que es tangente al eje OX?

1 0 1 1 0 1

2 1 0 1 1 1

3 2 1 2 0 0

− − = −

A y B

'2

π−

f

1 4

1 3

− −≡ = =−

y zr x

PAU. CASTILLA Y LEON - SEPTIEMBRE 2003 PRUEBA A

PR-1. a) Discutir en función de los valores de m:

2 3 0

0

2

x y

x y z

x y mz m

− = − + = + + =

b) Resolver en los casos de compatibilidad el sistema anterior.

PR-2. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función

f (x) = (x − 2) 2 . (x + 2) , el eje OX y las rectas x = −3, x = 2.

CUESTIONES

C.1. Se consideran las matrices:

donde m es un número real. Encontrar los valores de m para los que AB es inversible.

C.2. Hallar un vector de módulo uno que sea ortogonal a los vectores (2, 2, 1) y (2, 0, −1).

C.3. Calcular ( )lim ln 1 ln

xx x x

→∞+ −

C.4. Hallar los puntos de la gráfica de f (x) = x3 − 3x 2 + x en los que la tangente a la curva

es paralela a la recta y = x.

1 31 2

01 1 1

0 2

= = − −

mA y B m

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1. Dadas las rectas r y s:

a) Hallar el valor de a para que ambas rectas estén en el mismo plano.

b) Hallar la ecuación de dicho plano.

PR-2. a) Hallar las coordenadas del punto P de la gráfica de la función y = 2cos x siendo

0 ≤ x ≤ π/2 con la propiedad de que la suma de la ordenada y la abscisa es máxima.

b) Calcular el área comprendida por la curva y = 2cos x, y la recta y = 1 en el intervalo

[−π/2, π/2].

CUESTIONES

C.1. Si A y B son dos matrices cuadradas que verifican AB = B2, ¿cuándo se puede asegurar

que A = B? (1 punto)

C.2. ¿Cuál es el ángulo que forma la recta x = y = z con el eje OX?

C.3. Utilizando la definición de derivada, estudiar la derivabilidad de la función

en x = 1.

C.4. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (3, 5) y que es tangente a

la recta 4x + 3y − 2 = 0.

2 0 0

2 2

− = + = ≡ ≡ − = + =

x z x yr y s

y z x z a

( ) 1= −f x x x

PAU-CASTILLA Y LEON .JUNIO 2004

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sea la función 22 xy e−=

a) Estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas.

b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x=

1 y x= -1.

PR-2.- Sea la recta 1 0

2 3 0

x yr

x z

+ + =≡ − + =

.

a) Escríbase la recta en forma paramétrica.

b) Para cada punto P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta

perpendicularmente al eje OZ.

CUESTIONES

C-1.- De todas las primitivas de la función ( ) ( )2( ) 2 secf x tg x x= , hállese la que pasa por el

punto P(Π/4 , 1).

C-2.- Demuéstrese que las gráficas de las funciones ( ) ( ) 1xf x e y g xx

= =

se cortan en un punto x > 0.

C-3.- Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1 , C2

y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son - C2 , C3 +

C2 , 3C1. Calcúlese razonadamente el determinante de A-1 en caso de que exista esa matriz.

C-4.- Determínese si el plano π ≡ 2x + 3y -4 = 0 corta o no al segmento de extremos A(2,1,3)

y B(3,2,1)

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema 1

1

x y z

x y z

x y z

λλ

λ

+ + = + + = + + =

.

a) Discútase según los valores del parámetro λ .

b) Resuélvase para λ=− 3.

c) Resuélvase para λ = 1

PR-2.- Sea f( x)= x3+a x2 +bx +c . Determínense a, b y c de modo que tenga un extremo

relativo en x=0 , la recta tangente a la gráfica de f( x) en x=1 sea paralela a la recta

y-4x=0 , y el área comprendida por la gráfica de f( x), el eje OX y las rectas x=0,x=1 , sea

igual a 1.

CUESTIONES

C-1.- Calcúlese 0

1 1limx x sen x→

−

C-2.- Calcúlese ( )3

1xdx

x

−∫

C-3.- Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta r ≡ x=y=z y es perpendicular al

plano Π ≡ x+y-z-1=0 .

C-4.- Dada la matriz 2 11

1 23B

− = −

hállese una matriz X que verifique la ecuación

XB+B=B-1

PAU- CASTILLA Y LEON –SETIEMBRE 2004

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sea m un número real y sean r y π la recta y el plano dados respectivamente por

2 2

2 0

x my z mr

x y z

− + = −≡ + + =

, 3 2 2x z mπ ≡ + = −

a) Estúdiese la posición relativa de r y π en función del valor de m.

b) Para el valor m=1, hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de corte de r y π y

es perpendicular a la recta t ≡ x= y= z .

PR-2.- Sea f la función dada por ( ) 2 3 2,f x x x x R= − + ∈

a) Estúdiese la derivabilidad de f en x = 0 mediante la definición de derivada.

b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus extremos relativos.

c) Esbócese la gráfica de f.

CUESTIONES

C-1.- Sea A una matriz cuadrada de orden 4 cuyo determinante vale 3, y sea la matriz 4 3B A=

Calcúlese el determinante de la matriz B.

C-2.- Calcúlese la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones

1 2

0

x

y

z

λ

λ

= + = = −

,3 2

1 1 1

x y zs

− −≡ = =− −

C-3.- Calcúlese el valor de ( )( )/ 2

2lim

6x

tg x

tg xπ→

C-4.- Hállese el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas y=6x-x2 e

y= x2-2x

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales

( )

2 3 1

3 2

2 2 6 3

x y z

x ay z

x a y z

+ + = + + = + + + =

a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea incompatible ?

b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea compatible determinado ?

c) Resuélvase el sistema para a=0.

PR-2.- a) Dada la función f: [1,e ] →R definida por ( ) 1lnf x x

x= + , determínese de entre

todas las rectas tangentes a la gráfica de f la que tiene máxima pendiente. Escríbase la

ecuación de dicha recta.

b) Calcúlese una función primitiva de f(x) que pase por el punto P(e, 2) .

CUESTIONES

C-1.- Dadas las matrices

1 1 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 0 2

P y A

− = − = − −

, hállese la matriz B sabiendo

que P-1 B P=A

C-2.- Hállese la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(2,2,-1), B(4,0,2) y es

perpendicular al plano π ≡ x-5y+2z-6=0.

C-3.- Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones y=3x-x2 , y=2x-2 .

C-4.- Determínese el valor del parámetro a para que se verifique ( )2lim 1 2x

x ax x→∞

+ + − =

PAU-CASTILLA Y LEON .JUNIO 2005

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- a) Discútase el sistema

( )

2

2 0

3 1 1

x ay z

x y az

x a y z a

+ − = + + = + + − = −

, en función del valor de a.

b) Para el valor a=1 , hállese, si procede, la solución del sistema.

PR-2.- a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función( ) 21 xf x e −= ,

sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas.

b) Esbócese la gráfica de f y calcúlese ( )3

1

x f x dx⋅∫

C-1.- Sea A una matriz 2X2 de columnas C1 , C2 y determinante 4. Sea B otra matriz 2X2 de

determinante 2. Si C es la matriz de columnas C1+ C2 y 3 C2 , calcúlese el determinante de la

matriz B C-1 .

C-2.- Calcúlese la distancia del origen al plano π que pasa por y contiene a la

recta

C-3.- Calcúlese

C-4.- Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que para x>0

se verifica:

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- a) Determínese el punto simétrico de respecto de la recta

b) Hállese la distancia entre A y r.

PR-2.- Sea

a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas.

b) Pruébese que f tiene un punto de inflexión en el intervalo y esbócese la gráfica

de f.

CUESTIONES

C-1.- Dadas las matrices , hállense las matrices X que

satisfacen

C-2.- Dados el punto hállese el punto B perteneciente a r

tal que el vector de extremos A y B es paralelo al plano π de ecuación 3 x -2 y +z +5 = 0

C-3.- Estúdiese, según los valores de los números reales α y β , la continuidad de la

función f definida por

C-4.- Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones

PAU-CASTILLA Y LEON .SEPTIMBRE 2005

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas

son perpendiculares.

b) Para a=1, calcúlese la recta que pasa por (1,1,1) y se apoya en r y s.

PR-2.- a) Estúdiese la derivabilidad de .sus

intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus puntos de inflexión. Esbócese su gráfica.

b) Calcúlese el área delimitada por la gráfica de f(x) y las rectas x=-1,x=1 ,y=0

CUESTIONES

C-1.- Sea la matriz . Calcúlese el determinante de A sabiendo que

, donde I es la matriz identidad y 0 es la matriz nula.

C-2.- Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz

C-3.- Calcúlese el simétrico de P (1,1,1) respecto del plano x+y+z=0

C-4.- Calcúlense los valores de para los cuales

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales

a) Discútase según los valores de k e interprétese geométricamente el resultado.

b) Resuélvase el sistema para . k=2

c) PR-2.- Sea P(a,sen a) un punto de la gráfica de la función en el intervalo

[ 0, π]. Sea rp la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y Ap el área de la región

determinada por las rectas

d) Calcúlese el punto P para el cual el área es mínima. (Nota: Puede asumirse, sin

e) demostrar, que la recta rp se mantiene por encima del eje 0X entre 0 y π

CUESTIONES

C-1.- Calcúlese

C-2.- Sea . Determínense los valores de m para los cuales no es

invertible (donde Id denota la matriz identidad).

C-3.- Calcúlese

C-4.- Calcúlese el volumen del tetraedro de vértices , y

PAU-CASTILLA Y LEON .JUNIO 2006

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sean r y s las rectas dadas por:

a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten.

b) Para m=1 , hállese la ecuación del plano que contiene a r y s.

PR-2.- Considérense las funciones . Para cada recta r perpendicular al

eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráfica de f y g, respectivamente.

Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima.

CUESTIONES

C-1.- Hállense las matrices cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad:

C-2.- Calcúlese la distancia del punto a la recta

C-3.- Calcúlese el valor de

C-4.- Hállese el área del recinto limitado por la parábola y la recta

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales

a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a.

b) Resuélvase el sistema para a=2.

PR-2.- Dada la función , se pide:

a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y

convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica.

b) Calcúlese el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x=0 ,y=0

CUESTIONES

C-1.- Dadas las matrices ,

hállese razonadamente la matriz B sabiendo que B P = A

C-2.- Hállese la distancia entre el plano π , que pasa por los puntos

, y el plano β de ecuación

C-3.- Sea . Determínense a, b, c y d para que la recta y+1=0 sea

tangente a la gráfica de f en el punto (0,-1) , y la recta x-y-2=0 sea tangente a la gráfica de f en

el punto (1,-1)

C-4.- Determínense los valores de a y b para los cuales

PAU-CASTILLA Y LEON SEPTIEMBRE 2006

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- a) Hállese el valor de a para el que la recta y el plano

sean paralelos

b) Para a = 2, calcúlese la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a π

PR-2.- a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento , , sus

máximos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de inflexión. Demuéstrese que para

todo x se tiene que

b) Pruébese que la ecuación tiene alguna solución en

CUESTIONES

C-1.- Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones lineales

homogéneo cuya matriz de coeficientes es

C-2.- Hállense las ecuaciones de la recta que pasa por está contenida en el plano

y es perpendicular a la recta

C-3.- Calcúlese

C-4.- Calcúlese el área del recinto limitado por la curva de ecuación y por

la recta tangente a dicha curva en el punto x = 0.

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Discútase, en función del parámetro real k el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Resuélvase el sistema cuando sea posible

PR-2.- Sea

a) Determínense el dominio de f sus asíntotas, simetrías, y máximos y mínimo

relativos. Esbócese su gráfica.

b) Calcúlese

CUESTIONES

C-1.- ¿Existen máximos y mínimos absolutos de la función ?. Justifíquese su existencia

y calcúlense.

C-2.- Dadas las matriz determínense los valores del número real a

para los cuales existe la matriz inversa de P

C-3.- Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la

función en el punto x = 0

C-4.- El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo

Calcúlese el valor de z y hállese el área del triángulo.

PAU-CASTILLA Y LEON JUNIO 2007

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sea el plano y la recta Se pide:

a) Calcular la distancia de la recta al plano.(1 punto)

b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a π (1 punto)

c) Hallar el punto simétrico de respecto a π

PR-2.- Sea f la función dada por

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y

convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica

b) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = -4, x = -2

CUESTIONES

C-1.- Hallar para que valores de a es inversible y calcular la inversa de

A para a = 0

C-2.- Calcular

C-3.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son :

C-4.- Demostrar que la curvas se cortan en algún punto del

Intervalo

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Sean las matrices

a) Hallar la matriz ABT, donde BT indica la matriz traspuesta de B.¿ Es invertible?

b) Hallar el rango de la matriz AT D

c) Calcular que verifique la ecuación (ABT + C)M = E

PR-2.- Sea la función

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los

intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas

b) Demostrar que existe algún número real c tal que

CUESTIONES

C-1.- Hallar a y b para que la función , sea continua en

todo R

C-2.- Dadas las rectas , hallar un punto de cada una de

ellas, de tal forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas

C-3.- Discutir en función de a el sistema

C-4.- Hallare el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones

PAU .CASTILLA Y LEON .SEPTIEMBRE 2007

Opción A

Ejercicio 1. Sea f: (0,+ ∞ ) → R la función definida por ( ) 3 1xf x

x

+=

a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f

(puntos donde se obtienen y valores que alcanzan).

b) Calcula el punto de inflexión de la gráfica de f.

Ejercicio 2. Sea f: R → R la función definida por f(x) = x|x-2|.

a) Estudia la derivabilidad de f en x = 2.

b) Esboza la gráfica de f.

c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.

Ejercicio 3. Sea I la matriz identidad de orden 2 y1

1 1

mA

=

a) Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A – I)2 = O, donde O es la matriz

nula de orden 2

b) Para m = 2,halla la matriz X tal que AX – 2AT = O, donde AT denota la matriz transpuesta

de A.

Ejercicio 4.

(a) Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1,2,1) y B(-1,0,3) en tres partes

iguales.

(b) Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio

SEPTIEMBRE 07-Opción B

Ejercicio 1. Determina una función f: R → R sabiendo que su derivada viene dada por

f ‘(x) = x2 + x – 6 y que el valor que alcanza f en su punto máximo (relativo) es el triple del

valor que alcanza en su punto mínimo (relativo).

Ejercicio 2. Sea f: (-1,+ ∞ ) → R la función definida por f(x) = Ln(x+1). (Ln denota la función

logaritmo neperiano).

a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el

apartado anterior y la recta x = 1.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones

ax y z 4

x – ay z 1

x y z a 2

+ + = + = + + = +

a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado.

b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = –2.

Ejercicio 4. Considera los vectores u = (1,1,m), v = (0,m,-1) y w = (1,2m,0).

a) Determina el valor de m para que los vectores u, v y w sean linealmente dependientes.

b) Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector w como combinación

lineal de los vectores u y v.

PAU .CASTILLA Y LEON .JUNIO 2008

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el plano y la recta a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos b) Para a= 2 , calcular la recta que pasa por P(1 , 0 , -1), es paralela al plano y se apoya en la recta r. PR-2.- Sea . Se pide: a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica

b) Calcular CUESTIONES C-1.- Calcular

C-2.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función en el punto x = 0 sea perpendicular a la recta y + x = 3 C-3.- Sean las matrices Calcula la matriz A sabiendo que

C-4.- Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos

hallar el área del mismo

PRUEBA B PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema donde a es un parámetro real a) Discutir el sistema en función del valor de a b) Resolver el sistema para a = 0 c) Resolver el sistema para a = 1 PR-2.- Dada ,se pide:.

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x)

b) Calcular

CUESTIONES

C-1.- Calcular las asíntotas de la función C-2.- Calcular el rango de la matriz

C-3.- Demostrar que la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (1 , 2) C-4.- Dada la recta , calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto (1 , -1).

PAU .CASTILLA Y LEON .SETIEMBRE 2008

PRUEBA A PROBLEMAS PR-1.- Sea a un parámetro real. Se considera el sistema a) Discutir el sistema en función del valor de a b) Resolver el sistema para a = 0 c) Resolver el sistema para a = 1

PR-2.- Hallar entre los puntos de la parábola de ecuación , los que se encuentran a distancia mínima del punto CUESTIONES C-1.- Sea A una matriz 3x3 de columnas C1 , C2 y C3 (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C1+ C2, 2C1 + 3C3 y C2 (en ese orden). Calcular el determinante de B en función del de A C-2.- Halla la distancia entre el punto A(2 , 1 , 4) y la recta C-3.- Estudia la continuidad en R de la función C-4.- Calcular

PRUEBA B PROBLEMAS PRUEBA B PR-1.- Se consideran las rectas r y s de ecuaciones respectivas a) Estudiar la posición relativa de r y s b) Determinar la recta que corta perpendicularmente a r y s c) Hallar la distancia entre r y s

PR-2.- Sea a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas de f b) Probar que existe un punto CUESTIONES C-1.- Sea a un número real. Discutir el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores de a: C-2.- Hallar el seno del ángulo formado por la recta r y el plano π dados por

C-3.- Calcular los valores del número real a sabiendo que C-4 Calcular

PAU .CASTILLA Y LEON .JUNIO 2009

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- Sea r las recta que pasa por los puntos A(1 , 1 , 1) y B(3 , 1 , 2) y sea s la recta de

ecuaciones . Se pide:

a) Estudiar su posición relativa

b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección.

c) Calcular, si existe, un plano que las contenga.

PR-2.- Sea la función a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica b) Demostrar que no es derivable en x = 2 c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas x= - 2 y x = 0 CUESTIONES C-1.- Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = -1 y det[(-2).A] = 32. Calcular el tamaño de la matriz A C-2.- Calcular la matriz X que verifica AX = BBt donde siendo Bt la matriz traspuesta de B C-3.- Hallar la distancia desde el punto A(1 , 3 , -2) a la recta C-4.- Calcular PRUEBA B

PROBLEMAS PR-1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales . Se pide:

a) Discutirlo en función del parámetro b) Resolverlo cuando sea compatible (1 punto) PR-2.- Un campo de atletismo de 400 m de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible

CUESTIONES C-1.- Calcular la distancia entre las rectas C-2.- Resolver la ecuación C-3.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función en su dominio de definición C-4.- Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la función y el eje OX es de unidades de superficie

PAU CASTILLA Y LEON .SEPTIEMBRE DE 2009 PRUEBA A PROBLEMAS

PR-1.- Sea la función ( )3

2 1

xf x

x=

+

a) Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica

b) Calcular el valor de ( ) ( )1

0

f x f x dx= ∫ .

PR-2.- Se considera la recta 1 2

3 2

x yr z

− −≡ = = y el punto P(1 , 8 , 2)

a) Hállese el punto A de r tal que el vector AP����

es perpendicular a r b) Determínese el plano π que es paralelo a, pasa por B(5 , 1 , 0) y por el simétrico de P respecto de r CUESTIONES

C-1.- Calcular el límite ( )

0

ln 2lim

1

senx

xx e→ −

C-2.- Hallar los puntos en donde la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x3 es paralela a la recta de ecuación y = 3x +2

C-3.- Determinar el ángulo que forman la recta 1

2 3

x yr z

+≡ = = y el plano

π ≡ x+y-z=4

C-4.- Resolver la ecuación

1 2

2 1 0

1 2 0

x x

x x x

x

− −− − − =

−

PRUEBA B PROBLEMAS PR-1.-a) Discutir, según el valor del parámetro real a, el siguiente sistema de ecuaciones

2 4

3 2 5

x y z

x ay z a

x z

+ + = − + = + =

b) Interpretar la discusión realizada en a) en términos de la posición relativa de los planos dados por cada una de las tres ecuaciones del sistema PR-2.- Sea la función f (x) = sen(x) +cos (x) en el intervalo [0, 2 π] a) Hallas los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos puntos. Esbozar su gráfica b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas de ecuaciones

x = 0, 4

xπ= e y = 2. (1 punto)

CUESTIONES

C-1.- Sea 0α ≠ un número real, y las rectas de ecuaciones 2

x zr y

α≡ = = y

1 4

2

3 2

x

r y

z

λλ

λ

= +≡ = = −

Hallar el valor de α para el que r y s son paralelas, hallar el plano que las contiene

C-2.- Estudiar, en función del parámetro λ , el rango de la matriz

2 1 1

1 1

1 1 2

A

λλ

λ

− = − − −

.

C-3.- Probar que la ecuación 2009 2 0xx e− + = tiene alguna solución

C-4.- Calcular ( )1

dx

x x+∫

PAU CASTILLA Y LEON . (Especifico) JUNIO DE 2010

OPCIÓN A

E1.- Dadas la parábola , y la recta y = 9, hallar las dimensiones y el área del

rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica

de la parábola

E2.- Dada la función , se pide

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y las

asíntotas

b) Calcular el área de la región limitado por la gráfica de la función , el eje OX y

las rectas x = 2 , x = 4

E3.- Dadas las matrices

a) Para que valores de m existe B-1. Para m = 1, calcular B-1

b) Para m = 1 hallar la matriz X tal que X.B + C = D

E4.- Se considera las rectas dadas por las ecuaciones:

, y el plano

a) Halla el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares

b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada es z = 0

OPCIÓN B E1.- Calcular b y c sabiendo que la función es derivable en el punto x = 0 E2.- Calcular la siguiente integral E3.- Discutir según los valores del parámetro a, y resolver cuando sea posible:

E4.- Dadas la rectas , se pide halla la perpendicular a s y a t y la distancia entre ambas rectas .

PAU CASTILLA Y LEON . (Especifico) SEPTIEMBRE DE 2010 OPCIÓN A

E1.- Dada la función , se pide determinar:

a) El dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas

b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos

c) La gráfica de f

E2.- Calcular

E3 Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto A(1 , 0 , - 1), es perpendicular al

plano y es paralelo a la recta

Los vectores directores de la recta r, del plano π y el formado por el punto A y el punto

genérico G, son coplanarios y por lo tanto el determinante de la matriz que forman los tres es

de valor nulo.

E4.- a) Sea A una matriz cuadrada tal que A2– 3A = - 2I (siendo I la matriz identidad). Probar

que A admite inversa y utilizar la igualdad dada para expresar A-1 en función de A

b) Sea la matriz de coeficientes de un sistema lineal. Hallar razonadamente

los valores de m para los que el sistema es compatible determinado

OPCIÓN B

E1.- Calcular b y c sabiendo que la función es derivable en el punto x = 0 E2.- a) Sean , hallar g[f(x)] b) Calcular E3.- a) Determinar las coordenadas del punto simétrico de A(- 2 , 1 , 6) respecto de la recta

b) Hallar la distancia de A a r. E4.- Sean las matrices

a) Calcular A-1

b) Resolver la ecuación AX + 2AB = B

PAU CASTILLA Y LEON . (General) JUNIO DE 2010

OPCIÓN A

E1.-a) Dadas las funciones , hallar el recinto plano limitado

por las rectas x = 1, x =2 y las gráficas de f(x) y g(x)

b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él

E2 .- a) Si el termino independiente de un polinomio p(x) es – 5 y el valor que toma p(x) para x

= 3 es 7, ¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0 , 3].

Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen

b) Calcular

E3.- a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3 x 3 que verifica B2 = 16.I, siendo I la matriz

unidad.

Calcular el determinante de B

b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación

E4.- Se considera la recta , y el plano

a) Halla todos los valores de a para los que r es paralela a π

b) Para a = 2 hallar la distancia de r a π

c) Para a = 1 hallar la distancia de r a π

OPCIÓN B

E1.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/ m2 y para la base un material un 50 % más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo

E2.- Hallar el valor de a para que se verifique que E3.- Consideramos el sistema de ecuaciones lineales: , a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a

b) Resolver el sistema para a = 1

E4.- Dados el punto P(1 , 1 , -1), la recta y el plano , se pide: a) Halla el punto simétrico de P respecto del plano π

b) Hallar los puntos Q de r que distan unidades de longitud de π

PAU CASTILLA Y LEON . (General) SEPTIEMBRE DE 2010 OPCIÓN A

E1.-Se divide un alambre de 100 m. de longitud en dos segmentos de longitud x y 100 – x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas. ¿Para que valores de x dicha suma es mínima?

E2.-Determinar la función f tal que y con f(1) = 2

E3.- a) Determinar las ecuaciones de los planos paralelos al plano que distan seis unidades del mismo. b) Probar que el punto P(1 , 1 , 2) pertenece a π, y calcular la recta perpendicular a π que pasa por P

E4.- Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema

OPCIÓN B

E1.- Sea la función a) Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos b) Esbozar su gráfica E2.- Determinar el área limitada por la parábola de ecuación y2 = x y la recta de ecuación y = x – 2 E3.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2 , - 1 , 1) y corta

perpendicularmente a la recta E4.-a) Si se sabe que el determinante vale 5, calcular razonadamente

b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2 x 2 para la cual se cumple que A-1 = At (At= traspuesta de la matriz A), ¿puede ser el determinante de A igual a 3?

PAU .CASTILLA Y LEÓN . JUNIO 2011

OPCIÓN A

E1.- Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función

f(x) = x 3 – x +1, el eje de ordenadas y la recta tangente a la grafica de f en

x = 1

E2.- a) Estudiar si la función dada por

, verifica la hipótesis del teorema de Rolle.

Enunciar dicho teorema

b) Calcular

E3.- a) Calcular el rango de la matriz

b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3 x 3 cuyo determinante vale 4, calcula el

determinante de 5B y el de B2

E4.- a) Determinar la posición relativa de la recta y el plano π ≡ x - y = 0

b) Hallar el plano perpendicular a π que contiene a r

OPCIÓN B

E1.- Sea

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos

relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas

b) Esbozar su gráfica

E2.- a) Hallar los parámetros reales a y b para los que la función

es continúa en R

b) Calcular

E3.- Discutir y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones

lineales según los valores del parámetro m:

E4.- a) Hallar la recta r que pasa por el punto A(1 , - 1 , 0) , esta contenida

en el plano π ≡ x + y = 0 y corta a la recta s ≡ x = y = z

b) Hallar la distancia del punto B(2 , - 2 , 2) a la recta s

1 0 1

1 1

0 2

A m

m

− = − −

PAU .CASTILLA Y LEÓN . SEPTIEMBRE 2011

OPCIÓN A

E1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1 , 2) y determina en el primer

cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área

E2.- a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función ( ) 1f x x= − en el intervalo

[ ]2,2− .Calcular la función derivada de f(x) en ese intervalo

b) Calcular el área del recinto delimitado, en el primer cuadrante, por la gráfica de la

función y = ln x y las rectas

y = 0 , y = 1 y x = 0

E3.- a) Averiguar para que valores de m la matriz no tiene inversa

b) Calcular la matriz inversa de A cuando m = 0

c) Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada A vale -1 y que el determinante

de la matriz 2. A vale -16 . ¿Cuál es el orden de la matriz?

E4.- Sean la recta .

Estudiar la posición relativa de la recta y el plano según los valores de m

OPCIÓN B

E1.- Dada la función , determinar su dominio de definición, sus asíntotas,

extremos relativos y puntos de inflexión

E2.- Halla el valor de m para que el área limitada, en el primer cuadrante,

por la función y = 4x3 y la recta y = m x sea de 9 unidades cuadradas

E3.- Discutir según los valores de m y resolver cuando sea posible, el

sistema de ecuaciones:

E4.- a) Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores

b) Calcular el plano que contiene a las rectas