PATCHWORD FIGURES PLANES

La Jèssica i la Yasmina eren dues noies de 14 anys que feien 3r d’ESO i eren molt afeccionades a cosir; també els agradaven els jocs d’ordinador i llegir.A la Jèssica i la Yasmina també els agradava força el futbol i quan jugava l’equip de la seva ciutat no es perdien un partit.

La Jèssica i la Yasmina es van apuntar a un taller de Patchword i en poc temps van aprendre la tècnica, ja que eren dues noies prou espavilades.El taller de patchword el feien a la merceria “ Fils d’Or”, una botiga que organitza una pila d’activitats que donen molta vida a la ciutat.

Una tarda, la Jèssica i la Yasmina estaven mirant uns cobrellits fantàstics que havia fet la senyora Maria del Miracle, una modista ja retirada que tenia unes mans que feien “birgueries”.A la merceria les tenien exposades perquè tothom les pogués veure.

-A tu, quin cobrellit t’agrada més, Yasmina? -va preguntar la Jèssica.-Trobo que aquest que té més vermell és més alegre.-Però si tots tenen, si fa no fa, el mateix tros vermell !!!-De cap de les maneres! Per exemple, aquest -i n’assenyalava un amb el dit- té mes vermell que l’altre.-Molt bé! -va dir la Jèssica- Només hi ha una manera de saber-ho. Calcularem l’àrea de tots els trossos vermells de cadascun dels cobrellits i després les sumarem totes.

-I com ho farem? -es va espantar la Yasmina.-Noia! Que per alguna cosa hem estudiat àrees de figures planes a l’I.E.S.!-Tu t’en recordes, Jessica?

-No de totes, però ho podrem deduir.

TEORIA

L’EXPRESSIÓ “Superfície” designa la part externa o la part visible d’un cos o d’una extensió. La mida de la seva superfície s’anomena “àrea”.Un quadrat de costat una unitat diem que mesura 1u2

*Si la unitat és el metre: 1m2

*Si la unitat és el cm: 1cm2

-Mira, Yasmina. -va dir la Jessica -La del rectangle és molt fàcil!

Podem deduir, de la figura, que l’àrea d’un rectangle és igual al nombre de vegades que la base conté la unitat pel nombre de vegades que l’altura conté la unitat.

Àrea rectangle = Base Altura

Ah! -va dir la Yasmina. Aleshores la del quadrat és costat per costat, ja que un quadrat és un rectangle de costats iguals.

Àrea del quadrat = Costat Costat

-I un parallelogram què era?-va preguntar la Yasmina. Un parallelogram és un quadrilater ( polígon de quatre costats ) que té els costats oposats parallels.-Ah! Es clar! Per això es diu parallelogram. Ah! un rectangle i un quadrat també són parallelograms oi?La Jessica va explicar a la Yasmina que els quadrilàters que no són rectangles( no tenen els quatre angles rectes) són o bé rombes o bé romboides.-I quina diferència hi ha entre un rombe i un romboide?

-Els rombes tenen els quatre costats iguals.

Observa que les diagonals són perpendiculars en els punts mitjans i que els angles oposats són iguals.

Observa que l’àrea de la part vermella és la mateixa que la de la part blava i que per tant podem deduir que:

Àrea del rombe= (Diagonal granDiagonal petita)/2

Ara deduirem l’àrea del romboide- va dir la Jessica.

Ara farem un moviment i re situarem la part rosa.

Hem convertit el romboide en un rectangle.

Per tant podem deduir que l’àrea del romboide és:

Àrea del romboide= Base x Altura

-Fixa’t-hi! Les diagonals es tallen en els punts mitjans i els angles oposats són iguals.

-I de l’àrea d’un triangle no me’n parles, Jessica?-I tant! Tu mateixa la pots deduir.

Observa el següent triangle:

Ara observa la següent figura: Què és?

Si et fixes be són dos triangles iguals enganxats. Això et porta a deduir que l’àrea del triangle és:

Àrea del triangle = (Base x Altura)/2

I què passa amb els trapezis?- Va preguntar la Yasmina?-Els trapezis són quadrilàters amb dos costats paral·lels i dos costats no paral·lels.* Un trapezi amb dos angles rectes s’anomena rectangle ( figura a)* Un trapezi amb els dos costats no paral·lels iguals s’anomena isòsceles (figura b)

Construïm les següents figures. Què són?

Amb aquestes figures ràpidament podràs deduir que en tots dos casos l’àrea del trapezi és:

Àrea trapezi= [( Base gran + Base petita) x altura]/2

I dels pentàgons, hexàgons... que me’n dius?

Per trobar l’àrea d’un polígon qualsevol, el descomponem en triangles i calculem l’àrea de cadascun dels triangles. Si el polígon és regular, el podem descompondre en tants triangles iguals com costats té el polígon, i això ho podem generalitzar en una fórmula, tenint en compte que:

A l’altura de cada triangle l’anomenem APOTEMA del polígon. Si coneixem el radi de la circumferència circumscrita i la longitud del

costat, podem conèixer l’apotema per Pitàgores.

Àrea polígon regular = ( Perímetre x Apotema)/2

Figura a

Figura b

Anem a parlar de les figures rodones, Jessica, què et sembla?T’explicaré l’àrea del cercle amb un exercici, però primer una pregunta: recordes quina era la longitud de la circumferència?

Molt be!!!

Ara farem l’exercici:Agafa una cartolina o un paper i fes 6 cercles iguals del radi que vulguis, talla’n un en quatre pars iguals i una de les parts talla-la per la meitat.

A continuació fes el següent:Disposa els 5 trossos retallats: verd( vèrtex avall), taronja( vèrtex a dalt), blau ( vèrtex avall), marró( vèrtex a dalt) i lila ( vèrtex avall).

Després agafa un altre cercle i talla’l en 8 parts iguals i una d’elles per la meitat i disposa-les alternades com anteriorment.Fes-ho també tallant el cercle en 16 parts i si tens molta cura també ho pots fer amb un altre cercle tallat en 32 trossets.

Veuràs que un cop col·locades les peces obtenim una figura gairebé rectangular. Si poguéssim afinar moltíssim cada vegada s’assemblaria més a un rectangle.Quina és la base d’aquests “rectangles”?

Quina és l’altura d’aquests “rectangles”?

Pots deduir l’àrea del cercle?

Àrea del cercle =π.r2

-I ara et parlaré de la corona circular, el sector circular i el segment circular- va continuar la Jèssica.Corona circular: És la porció de cercle limitada per dues circumferències que tenen el mateix centre.

Àrea corona circular = π.R2- π.r2

Perímetre corona circular=2 πR+2 πr

Sector circular: És la porció de cercle limitada per dos radis.

Tant a l’àrea com al perímetre procedim a repartir la part que correspon als graus del sector circular sobre un total de 360º

Àrea sector circular= (π. r2.nº de graus sector)/360º

Perímetre=(2.π.r.nº graus sector)/360º +2r

Segment circular: És la porció de pla limitada per una corda.(blau)

Trobem l’àrea del segment circular i li restem l’àrea del triangle.

Àrea segment circular = π . r2 . graus sector360 º -b .h2

-Crec, Yasmina, que ja tenim les eines imprescindibles per poder calcular quin dels dos cobrellits té més superfície vermella- va concloure la Jessica.

Calculeu vosaltres les àrees vermelles dels cobrellits.

EXERCICIS:

1-Calcula l’àrea i el perímetre de les següents figures:

2- Calcula l’àrea i el perímetre d’un hexàgon regular de 6cm de costat.

3- Calcula l’àrea d’un quadrat de diagonal 10cm.

4- Calcula l’àrea d’un cercle de 8cm de diàmetre.

5- Calcula l’àrea de la part vermella i de la verda:

6-

Calcula l’àrea verda i l’àrea vermella.

7-

Calcula l’àrea verda i l’àrea vermella.

8- Calcula el perímetre i l’àrea d’un sector circular de 60º si el radi de la circumferència fa 10m.

9- Calcula l’àrea de les següents figures:

a) Calcula l’àrea vermella i blava de la figura de l’esquerrab) Calcula l’àrea rosa de la figura de la dreta.

a) Calcula l’àrea verda i taronja de la figura de l’esquerrab) Calcula l’àrea blava, verda i taronja de la figura de la dreta.

Calcula l’àrea taronja i la rosa.10-Dibuixa un triangle rectangle, els catets del qual mesurin 3 i 4 cm.

a) Dibuixa els semicercles exteriors sobre els catets i la hipotenusa.b) Troba les àrees d’aquests semicercles.c) Què és més gran, la suma dels dos petits o el més gran?

11-Calcula l’àrea d’un triangle equilàter de 12 cm de costat.

12-Calcula l’àrea d’un hexàgon regular de 12cm de costat.13- Els costats d’un triangle fan 10, 12 i 14 cm. Calcula l’altura sobre el costat major.Calcula també l’àrea del triangle.14-Donada la següent figura:

Calcula l’àrea taronja, verda i blava.15-Calcula l’àrea de la part verda i de la rosa.

16-Calcula l’àrea vermella i la groga.

17-Calcula l’àrea vermella, blava i verda.

18-Calcula l’àrea d’un trapezi rectangle les bases del qual mesuren 21,5 i 12 cm si el costat perpendicular a les bases és 16cm.19-Una diagonal d’un rombe mesura 6cm i l’altre és tres vegades més gran. Quina és l’àrea del rombe?21-Calcula l’àrea d’un hexàgon regular les mesures del qual són 10cm de costat i 8,7cm d’apotema.22-alcula l’àrea d’un quadrat, la diagonal del qual mesura 12cm.23-La longitud d’una circumferència és de 31,4 dm. Quant mesura l’àrea del cercle que delimita?24-Volem pavimentar el terra d’una sala amb rajoles quadrades que mesuren 20cm de costat. Quantes rajoles necessitaran si el terra fa 10m de llargada i 8m d’amplada?25-A un fuster li han encarregat de construir una taula rodona per a vuit persones. Cada persona ha d’ocupar 0,50m. Esbrina l’àrea que tindrà aquesta taula.26-Troba l’àrea d’un trapezi en els casos següents:

a) És isòsceles; una base fa 20cm, l’altra base fa el triple que la menor i el seu perímetre és de 140cm.

b) És rectangle; les bases fan 12 i 6 cm i la diagonal menor mesura 10cm.

c) És rectangle; les bases fan 14 i 8 cm i el costat oblic mesura 10cm.d) És isòsceles; té un perímetre de 56cm, els costats oblics són iguals a

la base menor i la base major és de 26 cm.27-L’àrea d’un triangle rectangle és de 150cm2 i un catet mesura 20cm. Calcula els altres 2 costats d’aquest triangle.28-Calcula quin serà el costat del quadrat que té la mateixa àrea que un rectangle de costats 16 i 9 cm.29-Calcula l’àrea d’un sector circular d’amplitud 25º i 15 cm de radi.

Quan van arribar les vacances d’estiu, la Jèssica i la Yasmina ja havien après la tècnica del Patchword i van decidir fer un cobrellit cada una més fantàstic encara que els de la senyora Mª del Miracle.Mentre cosien anaven xerrant sobre els seus projectes per a passar l’estiu.-Yasmina, on aniràs de vacances?- va preguntar la Jessica.-Aquest any anirem a un càmping de Roses- va contestar la Yasmina- perquè als meus pares els agrada molt la Costa Brava.-Ah! Roses està a la comarca de l’Alt Empordà, oi?-Efectivament. I tu, on aniràs?-Nosaltres a Cardona, a veure els meus oncles. Cardona és una ciutat molt tranquil·la de la comarca del Baiges.-Tu quina comarca creus que és més gran, el Baiges o l’Alt Empordà? – va preguntar la Jèssica?-Jo crec que són molt similars.-Mira, farem una activitat interessant, ara que hem après moltes coses sobre les àrees de figures planes. Primer agafarem el plànol a escala de les comarques i farem una fotocòpia en paper vegetal; després posarem el paper vegetal sobre paper mil·limetrat i anirem comptant quadradets. Així calcularem l’àrea aproximada de cada una de les comarques.

Exercici:Reprodueix l’activitat que proposen la Jèssica i la Yasmina.Material:2 fulls paper mil·limetrat.2 fulls paper vegetal.Escala:??? ( Troba per internet o en un llibre el plànol d’aquestes comarques)També calcula l’àrea de la teva comarca ( Baix Llobregat)

Quan van acabar els cobrellits, la Jèssica i la Yasmina van marxar de vacances, una a l’Alt Empordà i l’altra al Baiges, desitjant que acabés l’estiu i arribés el fred per a poder provar els seus fabulosos cobrellits de Patchword.