Partícula en una caja af
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La ecuación de Schrödinger describe las propiedades de onda del
electrón en términos de su posición, su masa, su energía total y su
energía potencial. En su forma más simple se representa como:
Ĥ = E
donde Ĥ es el operador hamiltoniano, representa la función de onda u
orbital y E es una constante que describe el contenido de energía de ese
orbital .
La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial, por lo que la
función de onda viene a ser la solución de ésta (de hecho, como
veremos más adelante, el número de soluciones u orbitales es infinito),
El cuadrado de esta función, 2, si se grafica, nos da la probabilidad de
encontrar al electrón a una cierta distancia del núcleo cuando se halla
inmerso en ese orbital .
2
Ĥ =
h = constante de Planck
m = masa del la partícula (electrón
Z = carga del núcleo
= permitividad del vacío
= término que indica el contenido de energía
potencial (V)
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Para que una función sea una solución de la ecuación de Schrödinger
(y por lo tanto alcance también el estatus de orbital), debe cumplirse
matemáticamente que al aplicar sobre ella al operador hamiltoniano lo
que se obtiene como resultado debe ser igual a esa misma función
multiplicada por una constante E. En adición, debe cumplir con la serie
de características que se enumeran a continuación:
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Características que debe cumplir :
- Un solo valor conforme se grafica (de lo contrario, al elevar al
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cuadrado , habría dos o más posibilidades diferentes de
encontrar al electrón en el espacio).
r
Distancia r quesepara al electrón del núcleo.
r
Función no permitida
En el punto r la función posee dos valores: y . Cuando se eleve al cuadrado, estorepresentará que a la distanciar = habrían dos posibilidadesdiferentes de encontrar alelectrón.
Función permitida
- Ella misma y su primera derivada deben ser continuas (esto es,
no puede pasar de un estado con una cierta probabilidad de
encontrar al electrón a un punto donde ésta crezca o se abata
abruptamente).
r
Función no permitida
No se permiten las variacionesbruscas
- Debe aproximarse a cero conforme r se acerca a (la
probabilidad de hallar al electrón debe volverse cada vez más
pequeña al considerar una distancia para el sistema electrón-
protón cada vez más grande y no al revés).
r
tiende a cero
r
Función no permitida
Función permitida
se aleja del cero
- Condición de normalización: la probabilidad estadística de hallar
al electrón en todo el espacio es igual a 1.
- Condición de ortogonalidad. Todas las soluciones de la ecuación
de onda deben ser ortogonales entre sí.
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¿Cómo se utiliza y qué información puede extraerse de la ecuación de
Schrödinger?
Imagina que todos los datos experimentales y teóricos proporcionados
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por los físicos y matemáticos indican que el átomo de hidrógeno posee
una forma lineal. y que el electrón sólo puede moverse a través de un
eje desde un punto inmediatamente al lado del núcleo y hasta antes de
una distancia L de éste (algo así como una especie de “pasarela”)..
Considera que la coordenada sobre la que puede desplazarse es la del
eje de las “x” y que, en este intervalo, la energía potencial para el
electrón vale 0, o lo que es lo mismo, que el electrón puede desplazarse
sobre una superficie de potencial totalmente plana y que, a menos de
que se le proporcione energía de alguna manera, nunca la abandona. El
ambiente al que estaría sujeto el electrón sería algo similar a lo
siguiente:
El electrón se puede mover entre la región x > 0 y x < L. No puede
ocupar la posición x = 0 porque allí se encuentra el núcleo, y no puede
ocupar la posición x = L porque así lo hemos concluido a partir de datos
experimentales,
Para asegurar que el electrón no pueda escapar del intervalo que le
hemos definido, definiremos que la energía potencial será infinita fuera
de éste (esto es, para valores de x ≤ 0 y también para x ≥ L). Así pues,
sobre x = 0 y x = L se “levantan” dos paredes cuya coordenada no puede
ocupar el electrón. A este sistema se le llama partícula en una caja:
Desde la perspectiva de Newton y la mecánica clásica, no hay
restricciones para la circulación, por lo que la probabilidad de encontrar
al electrón a lo largo de la trayectoria en la que le está permitido
moverse es la misma en cualquier punto .Si esta tendencia se graficase
ésta llegaríamos a lo siguiente:
probabilidad = 2
0 L
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El modelo clásico nos indica que es igualmente probable hallar al
electrón en cualquier sitio comprendido entre x > 0 y x < L.
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Según el modelo cuántico de Schrödinger, el electrón no se encuentra
distribuido de manera homogénea a lo largo de la trayectoria para él
permitida, y así será necesario resolver la ecuación Ĥ = E para en-
contrar las que definan (a partir de 2) con qué probabilidad y en qué
posición será posible hallar al electrón.
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Iniciamos con:
= E
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Como la energía potencial V en el intervalo donde se mueve el electrón
vale 0, entonces
, por lo que el hamiltoniano se reduce
entonces a:
= E
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Como el electrón no se mueve más que en el eje de las x, cualquier
variación en el eje de las “y” y en el de las “z” valdrá 0. Como esto
implica que
=
= 0, con lo que el hamiltoniano se reduce
nuevamente:
= E
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Esta ecuación solamente se aplicará sobre el eje de las “x”, por lo que
puede ser reescrita como:
= E
donde C = -h2/(82m). Si hacemos E’ = E/C, la ecuación se reduce aún
más:
= E’
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Una solución de esta ecuación diferencial sería = 3 sen 7x:
’ = 21 cos 7x
’’ = -147 sen 7x
Por tanto, para = 3 sen 7x, E = -49. Sin embargo, advierte que otra
solución también lo sería = -4 sen 5x, y también = 16 sen x. De
hecho, en principio cualquier función del tipo = A sen Bx (A y B son
constantes), sería una solución para nuestra ecuación de Schrödinger.
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Para que sea válida en nuestro sistema, una función tipo = A sen Bx
tendría que satisfacer un requisito importante: debe valer 0 tanto en
x = 0 como en x = L. Recuerda que en esos puntos la energía potencial
vale infinito, por lo que el electrón se encuentra completamente
impedido para ocupar dichas posiciones.
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La función 0 vale 0 en su origen (A sen Bx = 0 para x = 0), por lo que allí
no hay problema. Sin embargo, para que valga 0 en x = L, se requiere
que un nodo de la función sen x pase exactamente por L. Las gráficas de
las únicas funciones tipo = A sen Bx que cumplen con este requisito
son como las que a continuación se representan:
En la primera = A sen x/L; en la siguiente = A sen 2x/L; en la
tercera = A sen 3x/L; en la cuarta = A sen 4x/L; etc. En general,
nos damos cuenta de las púnicas soluciones aceptables son aquéllas en
donde = A sen nx/L, donde n es un entero.
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Lo interesante viene a continuación: según la mecánica cuántica,
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realmente quien dicta qué tan probable es encontrar a un electrón en
un cierto lugar es 2. Cuando elevamos al cuadrado las funciones con n
= 1 y n = 2, se obtienen las siguientes gráficas:
Esto quiere decir que si el electrón es descrito mediante = A sen nx/L
(con n = 1), será más probable encontrarlo a la mitad del camino entre x
= 0 y x = L; sin embargo, si la ubicación del electrón se describe a partir
de = A sen 4x/L (con n = 2), será posible encontrar al electrón en las
regiones con x = 0.25L y x = 0.75L con mayor seguridad, mientras que
no existe posibilidad alguna de encontrarlo en 0.5L. A estas regiones se
les conoce como nodales.
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El planteamiento inicial para la ecuación de Schrödinger de nuestro
sistema del átomo lineal fue:
= E’
con ella llegamos a
= E’
recordando que C = -h2/(82m) y que E’ = E/C:
= E
Resulta que E = n2h2/8mL2; esto indica que el nivel 2 tiene mayor
energía que el 1, por lo que si el electrón posee su contenido energético
mínimo, la función que nos indicará la probabilidad de donde
encontrarlo estará dada por el cuadrado de = A sen nx/L. Si al
electrón se le irradia con el fotón de la energía exacta correspondiente
tal que sea promovido al segundo nivel de energía, la función con la que
se determinará la probabilidad para encontrarlo pasará a ser ahora =
A sen 4x/L. Finalmente, al haber un solo número cuántico, en este caso
n, todos los orbitales poseerán la misma forma (de una línea), aunque
con diferente número de nodos. A mayor número de nodos, mayor
energía.
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William Rowan
Hamilton
1805-1865
Erwin Rudolf Josef
Alexander
Schrödinger
(1887 -1961)
Niels Henrik David
Bohr
(1885-1962)
Prince Louis-Victor
Pierre Raymond
de Broglie
(1892-1987)
Werner Karl
Heisenberg
(1901 -1976)