RELACION TENSION DEFORMACION.

TENSION PLANA

Supóngase que existe una relación lineal entre la deformación de un material y la tensión a la que está sometido. La expresión más sencilla es la Ley de Hooke que relaciona tensión y deformación mediante el módulo de Young (E).

Si consideramos el caso del esfuerzo plano Fig.8, la deformación unitaria según la dirección X –x es provocada por σx en una cantidad σx/E y por σy en una cantidad - ν σy/E (Efecto Poisson).

Fig. 8

Luego:

Y = 1 (σx + σy) E

Y = 1 (σx + σy) E

Y = 1 (σx + σy) EO bien:

σX = E (ϵx + νϵy) 1-ν2

σY = E (ϵY + νϵX) 1-ν2

σX = E (ϵY + νϵ) 1-ν2

txy = G.γxy

Aplicación.

La utilidad del desarrollo anterior puede verse en el ejemplo que sigue. Supongamos que fuéramos capaces de determinar las deformaciones unitarias con algún elemento de medida y quisiéramos determinar las tensiones a las que está sometido el material en un punto

determinado, así como las direcciones principales y las tensiones en cualquier otra dirección. La pregunta es ¿cuántos elementos de medida harían falta?

Fig. 9 (Situación de los ejes de referencia)

Supóngase que se colocan tres elementos (A, B, C) alrededor de un punto O tal y como se indica en la Figura 9 y según unas referencias (x, y) que elegimos arbitrariamente.

Si ahora se toman los ejes (x1, y1), utilizando las ecuaciones de transformación para deformación plana particularizadas para 45°.

x1b= a+ c+a- c cos90°+xysen90°

2 2

Despejando se obtiene:

b-a-c

De esta manera, obtenidos x, y,xy se pueden hallar σx, σy, σxy y, posteriormente - con la ayuda del círculo de Mohr - las tensiones principales, las direcciones principales y las tensiones según cualquier otro eje.

PUENTE WHEASTONE

El puente de Wheatstone es el montaje más utilizado para la medida de la variación de la resistencia relativa R/R, producida en la medición con bandas extensométricas.

En una de las ramas del puente de Wheatstone se coloca la banda de medida (Figura. 1), mientras que el resto de las ramas se completan con resistencias pasivas de valor nominal idéntico al de la banda de medida no deformada.

Fig.1 (Puente Wheastone)

Fig.2 Configuraciones Puente Wheastone

Esta configuración se conoce como cuarto de puente. En la figura 18, puede observarse otros dos tipos de configuración:

- Completando el puente con 4 bandas extensométricas de análogas características (caso 4). Lo que se conoce como operación en puente completo.

- Utilizando sólo dos bandas situadas en ramas contiguas: operación en medio puente (casos 2 y 3).

CONDICION DE EQUILIBRIO:

Tomando de referencia la figura. 3, se deducirán a continuación las relaciones que deben existir entre las resistencias de las cuatro ramas para que exista equilibrio en el puente, es decir la tensión “e” sea nula.

Está condición se cumplirá si:

I1.R1 = I4.R4 ….(a)

Fig.3

Siendo:

I1 = E I4 = E . ……………….(b) R1 + R2 R3 + R4

De donde la condición de equilibrio resulta, sustituyendo la Ec. (b) en (a):

R1 = R4 . …………………………………….(c) R1 + R2 R3 + R4

Y operando con esta expresión (c), resulta:

R2 = R3 ………………………………………………………(d)R1 R4

Tensión de salida:En el aparato anterior se ha hallado la condición de equilibrio. Si suponemos ahora conocidos los valores de las resistencias, la relación del desequilibrio e del puente con la tensión de alimentación E, tiene la siguiente expresión

E= (I1.R1 – I4.R4) = ( R1 – R4 ). E ……………………(e) R1+R2 R3+R4

Diferenciando la ecuación (63) se pueden estudiar las variaciones de e cuando varía únicamente la resistencia R1 (una sola rama activa

de= (dR1.(R1+R2)-R1.dR1)).E = R2.dR1 . E …………………….(f) (R1+R2)2 (R1+R2)

y por lo tanto, si en la rama 1 hay colocada una banda extensométrica con un factor de galga K (Figura 17), la ecuación anterior se puede transformar como sigue:

de= R2+R1).E .dR1= R2.R1 . E.K..…………………….(g) (R1+R2)2 R1 (R1+R2)2

La ecuación (g) se simplifica si consideramos las resistencias utilizadas en el puente de igual valor R1=R2=R3=R4=R

De = E.k. …………………………………………………….…(h) 4

En todo el desarrollo anterior, hemos supuesto que inicamente existía una rama activa. Si suponemos ahora que hay cuatro ramas activas fig.2, caso 4 y diferenciamos la ecuación (e) :

de=( (R1+R2)dR1-R1(dR1+DR2) – dR4(R3+R4)-R4(dR3+dR4) ). E = (R1+R2)2 (R3+R4)2

(R1.R2). (dR1-dR2) – R3.R4 . (dR4 – dR3) E …………………….(i) (R1+R2)2 R1 R2 (R3+R4)2 R4 R3

La expresión (f) puede simplificarse si se supone que inicialmente el puente wheastone estaba equilibrado, es decir que, recordando la ecuación (c) se cumple que:

R1 = R4 R2 = R3 ……………….(j) R1 + R2 R3 + R4 R1+R2 R3 + R4

Lo que equivale multiplicando miembro a miembro ambas expresiones a:

R1.R2 = R3.R4 ……………….(k) ( R1 + R2)2 (R3 + R4)2

La expresión anterior sustituida en la ecuación (i ) queda en la forma:

de= R1.R2). ( dR1- dR2 + dR3 – dR4). E.…………………….(l) (R1+R2)2 R1 R2 R3 R4La ecuación (l) queda en la forma:

de= R1.R2. K (). E.…………………….(ll) (R1+R2)2

Tal como se hizo en el caso de una sola rama activa, se supone que inicialmente los valores de las cuatro resistencias coinciden (R1=R2=R3=R4), la ecuación anterior se simplifica obteniéndose:

de= E. K ().…………………….(m) 4

La expresión (72) resulta de suma importancia ya que de ella se deduce que para el puente completo (cuatro ramas activas

Las deformaciones unitarias correspondientes a ramas del puente opuestas se suman (1 y 3; o bien 2 y 4).Las deformaciones unitarias correspondientes a ramas del puente adyacentes se restan (1 y 2; o bien 3 y 4

Fig.4

Compensación del Efecto térmico:

El montaje eléctrico en puente de Wheatstone permite la compensación del efecto térmico. Supongamos que R1 es la banda activa. Si se completa el puente de Wheatstone, con dos resistencias pasivas R3 y R4 y una banda extensométrica R2 pegada al mismo material de ensayo y soportando las mismas variaciones térmicas (Figura 5a), recordando la ecuación (70):

de= R1.R2). ( dR1- dR2 + dR3 – dR4). E.…………………….(n) (R1+R2)2 R1 R2 R3 R4

De donde se deduce que el desequilibrio del puente de Wheatstone debido a variaciones térmicas se anula ya que las variaciones de resistencia en R1 y R2 son similares. La misma compensación se alcanza si la banda se sitúa en la rama 4 (Figura 5b).

Fig. 5ª y 5b Compensación del efecto térmico con el puente de Wheatstone

También se produce una compensación del efecto térmico si las cuatro ramas del puente de Wheatstone están formadas por bandas extensométricas. Esta característica es de gran utilidad en la construcción de transductores.

En la compensación del efecto térmico a través de su montaje en puente de Wheatstone, interesa utilizar bandas con idénticas características de sensibilidad térmica más que bandas autocompensadas. La selección de bandas y el emparejamiento adecuado de las mismas permiten alcanzar los mejores resultados.

Determinación del estado bidimensional de tensiones. Rosetas.

En realidad este punto se trató en el apartado dedicado a recordar algunos puntos de resistencia de materiales. Se hablaba de algún elemento capaz de medir deformaciones unitarias estudiando el comportamiento de las bandas extensométricas. Volvamos sobre el problema.

Los puntos situados sobre la superficie, en general están sometidos a un estado de tensiones bidimensional definido por las tensiones (x, y, xy). Utilizando lo que se ha visto sobre extensometría, se puede intentar medir (x, y, xy) para poder determinar (x, y, xy).Las bandas extensométricas permiten medir directamente x y y, pero no xy. Midiendo las deformaciones unitarias en tres direcciones distintas, se puede determinar xy ya que las Resistencia de Materiales proporciona una relación entre las deformaciones según ejes queforman un ángulo (=45°. Fig 5)

Fig.5

x= x+ y+x- y cos2+xysen2 m)

2 2

Si se conocen las deformaciones unitarias en las tres direcciones distintas, pueden establecerse tres ecuaciones con tres incógnitas para hallar (x, y, xy) de las que se obtienen su valor.

Al conjunto de tres bandas extensométricas orientadas según tres direcciones del mismo punto se le denomina roseta. Normalmente las 3 bandas de una roseta se colocan a 45º. En algunos casos, también se sitúan a 120º.

Algunos autores denominan también rosetas al conjunto de varias bandas en un soporte único (no necesariamente tres).

TIPOS DE EXTENSOMETROS:

Extensómetro de barras

En el metro, estos fueron instalados con la finalidad de medir el asentamiento del suelo al

paso del escudo durante su cruce con el puente del Circuito interior y la calzada Ermita-

Iztapalapa para tener un control de los desplazamientos y poder prever alguna situación

crítica durante el paso del escudo.

Estos extensómetros miden el desplazamiento o deformación en el suelo, roca y estructuras

de concreto. Tienen que ser instalados en perforaciones con una o hasta 8 anclas

dependiendo de la profundidad necesaria a la que se quiera medir. El movimiento de las

barras se da debido a que las anclas se van asentando con el suelo y estas a su vez

asientan las barras. Este movimiento es medido en la cabeza de las barras, donde se

encuentra un anillo especial con el que se puede ver el asentamiento de las barras donde

se mide con un vernier especial en los orificios que van dejando las barras en el anillo. De

manera automática también se puede hacer mediante un sistema hidráulico de medición.

Algunas aplicaciones útiles para el uso de estos extensómetros son las siguientes:

- Movimientos del suelo alrededor del túnel- En la deformación de los cimientos de las presa

- Movimiento del suelo detrás de estructuras de retención, tales como muros

milán, tablestacas, etc.

- Movimiento del suelo en las paredes de un pozo de mina.

- Deformación en las pilas de concreto

- Subsidencia en los túneles y minas.

- Asentamiento o emersión de los cimientos en suelos blandos.

Las partes que conforman el extensómetro se explica a continuación:

Las anclas. Están son hechas de acero inoxidable perforado para las tipo anulares, al igual

que las del tipo araña. El ancla final es una varilla corrugada con adaptador para la barra del

extensómetro.

Fig,(a) (Anclas)

Barras. Estas son barras redondas de acero inoxidable de ¼”. Estas son machimbradas en

un torno de manera que se puedan conectar y alcanzar la longitud necesaria de proyecto.

Otro tipo de material usado también son las barras de fibra de vidrio y de grafito.

Fig. (b). Barras Acero Inoxidable

Cabezal del extensómetro y medidor. El cabezal es diseñado de manera que quepa en la

perforación pero tampoco se hunda con las barras sino que sirva como nivel de referencia.

Es como un ancla anillo pero ajustada para poder ponerle un medidor automático o poder

medir manualmente el desplazamiento.

Fig (c). Cabezal y Medidor

En la imagen se muestra el arreglo del cabezal del extensómetro con el transductor

o medidor de cuerda vibrante.

Este tipo de extensómetro tiene variantes de acuerdo al tipo de suelo y precisión en los

movimientos que se quieren monitorear. En la siguiente imagen se ilustran los tipos y su

vista al final de la instalación.

b).Extensómetro magnético

El extensómetro magnético fue diseñado para medir asentamientos o emersión de suelos

blandos bajo la influencia de la carga o descarga sobre este debido a la construcción de

estructuras, rellenos, túneles, entre otros. Este proporciona un medio para determinar el

desplazamiento total y el desplazamiento entre cada una de las anclas.

En el metro este sistema fue instalado junto con la tubería de inclinómetro para medir los

asentamientos del suelo durante el paso del escudo en el intertramo de la lumbrera de

Mexicaltzingo a la estación Mexicaltzingo, ya que la zona en la que fue instalada se

encontraron restos arqueológicos y los edificios colindantes son de delicada situación

estructural.

El modo de operación de este extensómetro consta en instalar las anclas magnéticas tipo

arañas, de acuerdo con el proyecto y los estratos que se quieran monitorear, en un tubo

de pvc o ya sea en un tubo telescópico de inclinómetro, a las alturas correspondientes. Al

final del tubo se pondrá un ancla magnética de tipo anillo que será el punto de referencia

para las demás.

Una vez instaladas las anclas se procederá con una sonda a medir las alturas a donde se

encuentren las arañas. Esta sonda emitirá un sonido cada vez que se encuentre con el

campo magnético de la araña, indicando su posición y de manera manual se medirá la

longitud del cable usado para llegar a las diferentes posiciones de las arañas y se

registrará cada altura para al final tener el control de los desplazamientos de las mismas.

En los siguientes esquemas se muestran las partes de un extensómetro magnético

así como su estado instalado.

Fig(e) Instalación Final.

Fig.(f). Anillo Magnetico de Referencia