Parte I. 2.1 Guías de Ondas Rectangulares. a b x z y xz y z Guías de Ondas Capítulo II.

Parte I

2.1 Guías de Ondas Rectangulares.

a

b

x

z

y

x z

y

zE

H

Guías de OndasCapítulo

II

CapítuloII

Con el objeto de determinar las configuraciones de campo electromagnético en el interior de una GG.OO. rectangular.

Se debe:

Resolver las ecuaciones de Maxwell, con las condiciones de borde apropiadas.

0 nt HE

Guías de Ondas Rectangulares

CapítuloII

EjHx

HjEx

EE

22 HH

22

Las ecuaciones de Maxwell que interesan son:

Las ecuaciones de onda:

donde: jjwjw

Constante de propagación


CapítuloII

Para una región conductora, estas ecuaciones llegan a ser, en coordenadas rectangulares:

a) Interior de la GG.OO. (dieléctrico):

yzx Ej

xH

z

H

zxy Ej

y

H

x

H

xyz Ej

z

H

yH

yzx Hj

xE

z

E

zxy Hj

yE

x

E

xyz Hj

z

E

yE


CapítuloII

EzE

yE

xE

22

2

2

2

2

2

HzH

yH

xH

22

2

2

2

2

2

Mientras tanto las ecuaciones de onda quedan:

Obs: Estas ecuaciones, escritas para cada una de las componentes rectangulares de , deben satisfacer la ecuación general de Helmholtz:

Obs: Estas ecuaciones, escritas para cada una de las componentes rectangulares de , deben satisfacer la ecuación general de Helmholtz:

HyE

22


CapítuloII

: escalar

esto es:

22

2

2

2

2

2

zyx

donde:

= X(x) Y(y) Z(z)

La solución a esta ecuación puede alcanzarse usando la técnica de separación de variables (S.V):


CapítuloII

Z(z)X(x) Y(y)

222222cyxg kkk

222yxc kkk

donde: : Número de onda

de corte.

Se define la cte. de propagación por la GG.OO., para la onda que se propaga en la dirección z como:

=(Asen kxx+Bcos kxx)(Csen kyy+Dcos kyy)(Esen kzz+Fcos kzz)=(Asen kxx+Bcos kxx)(Csen kyy+Dcos kyy)(Esen kzz+Fcos kzz)


CapítuloII

Además se sabe que: 22

22cg k

22cg k

22cg kj


CapítuloII

1° No hay Propagación:

022 ck 0g

cc

c fk

22

22yx

c

kkf

Frecuencia de corte

g De acuerdo a la expresión anterior existirán tres casos de interés para .


CapítuloII

2° Hay Propagación (sin aten., sólo cambio de fase):

022 ck gg j Así,

22cg kj

2

22 1 c

g

kj

2

1

f

fj c

g cff ;


CapítuloII

3° No hay Propagación (sólo existe atenuación):

022 ck gg

12

f

fcg

La onda será atenuada para f <fc .

No hay Propagación ( )cteg


CapítuloII

Para condición , la ecuación de Helmholtz queda:

= (Asen kxx+Bcos kxx)(Csen kyy+Dcos kyy) e-jgZ


CapítuloII

a) Modo TEm n

Los subíndices m y n, representan el número de medios ciclos de la magnitud del campo en la dirección x e y, respectivamente.

Estos modos se caracterizan por Ez = 0 ( sólo E transversal), esto implica que existe Hz .

22

es solución para:zz HH 22

2.1.1 Modos de Transmisión.

Por tanto,


CapítuloII

cuya solución es de la forma:

Donde fue sustituido

a

mxk

b

nky

znnmmZ ey

bn

Dyb

nCxBxAH

cossen

am

cosa

msen z

nnmmZ eyb

nDy

bn

CxBxAH

cossen

am

cosa

msen


CapítuloII

Volviendo a las ecuaciones de Maxwell:

EjHx

HjEx

0zE

gjz

y considerando

Las ecuaciones para cada una de las componentes quedan:


CapítuloII

XYg HwE YXg HwE

XYgZ EjwHj

y

H

0

y

H

x

H XY

ZXY Hjw

y

E

x

E

yZ

Xg Ejwx

HHj


CapítuloII

Las ecuaciones anteriores se resuelven en función de HZ , quedando:

y

H

k

jwE Z

cX

2

x

H

kH Z

c

gX

2

x

H

k

jwE Z

cY

2

y

H

kjH Z

c

gY

2

0ZE conocidoHZ


CapítuloII

donde222

gck

Ahora derivando la solución para HZ (respecto de x e y) y reeplazando en las ecuaciones anteriores se obtiene:

Hn = 0 ( normal)

Et = 0 ( tangencial)En la superficie de los conductores.

A estas ecuaciones se les aplica las condiciones de borde:

Un nuevo conjunto de ecuaciones. de campo.


CapítuloII

Obs: suponiendo conductor perfecto.

x

y

i) Et = 0

a) Ex = 0 en y = 0,b by

yHZ

,0

= 0

Cn= 0

Ey Ey

Ex

Ex

a

b

0


CapítuloII

b) Ey = 0 en x = 0,a ax

xHZ

,0 = 0

Además la derivada normal de Hz debe ser nula en las superficies conductoras:

0

n

HZ

Am=0


CapítuloII

Las Ecuaciones de Campo para todo modo TEmn quedan:

zjXX

geb

yn

a

xmEE

sencos0

zjYY

geb

yn

a

xmEE

cossen0

0ZE


CapítuloII

donde: m= 0, 1, 2,........n = 0, 1, 2,.......

Obs: m y n no pueden ser cero simultáneamente.

zjXX

geb

yn

a

xmHH

cossen0

zjYY

geb

yn

a

xmHH

sencos0

zjZZ

geb

yn

a

xmHH

coscos0


CapítuloII

Entonces,

; a,b en [m]

22yxc kkk

22

b

n

a

mkc

cc wk

Se definen diversos parámetros de las GG.OO para los modos TEm,n.


CapítuloII

22

2

1

b

n

a

mfc

22

2

1

b

n

a

mfc

Constante de propagación (o cte. de fase):

2

1

f

fw c

g 2

1

f

fw c

g

Frecuencia de corte:


CapítuloII

Velocidad de fase en la guía, en dirección del eje z es:

2

1

ff

vwV

c

pd

gpg 2

1

ff

vwV

c

pd

gpg

1pdv

donde

Velocidad de fase en un dieléctrico abierto


CapítuloII

Impedancia de onda característica

20

1 ff

w

H

E

H

EZ

cgx

y

y

xg

20

1 ff

w

H

E

H

EZ

cgx

y

y

xg

donde

0

00

Impedancia intrínseca del medio abierto.

Obs.:Sólo en caso en que el dieléctrico sea vacío


CapítuloII

Longitud de onda en la guía

20

1 ffc

g

20

1 ffc

g

donde

f

v pd0 Longitud de onda en el medio abierto


CapítuloII

Estos modos se caracterizan por tener Hz = 0 (H es transversal ) debe existir Ez para Tx. de energía en la guía.

zz EE 22

cuya solución es de la forma:

b) Modo TMm n

zjnnmmz

geyb

nDy

b

nCxBxAE

cossen

a

mcos

a

msen


CapítuloII

A la cual se le aplican las condiciones de borde, de manera similar al modo TE

0tEEn x = (0,a)0zE

0zE En y = (0,b)

Bm = 0

Dn = 0

zjozz

geb

yn

a

xmEE

sensen

donde: m= 1, 2, 3,........ n = 1, 2, 3,.......

Obs: m,n 0 para que exista campo propagándose en el interior de la guía.

Obs: m,n 0 para que exista campo propagándose en el interior de la guía.


CapítuloII

Evaluando las ecuaciones de Maxwell para:

EjHx

0zH

xygz HjEj

y

E

yz

xg Hjx

EEj

0

y

E

x

Exy

xyg EH

yxg EH

zxy

Ejy

H

x

H


CapítuloII

Las ecuaciones anteriores se resuelven en función de EZ

y

E

k

jwH Z

cX

2

x

E

k

jE Z

c

gX

2

x

E

k

jwH Z

cY

2

y

E

k

jE Z

c

gY

2

0ZHconocidoEZ


CapítuloII

donde222

cg k

Ahora, derivando la solución para EZ , (respecto de x e y) y reemplazando en las ecuaciones anteriores, se obtienen las ecuaciones de campo para los modos TMm n.

zjXX

geb

yn

a

xmEE

sencos0

zjYY

geb

yn

a

xmEE

cossen0


CapítuloII

zjZZ

geb

yn

a

xmEE

sensen0

zjXX

geb

yn

a

xmHH

cossen0

zjYY

geb

yn

a

xmHH

sencos0

0ZH


CapítuloII

A continuación, se pueden obtener las ecuaciones para los parámetros característicos de los modos TMmn:

22

2

1

b

n

a

mfc

Frecuencia de corte:

2

1

f

fw c

g

Constante de propagación (o cte. de fase):


CapítuloII

2

1

f

f

vV

c

pdpg

Velocidad de fase en dirección del eje z :

Impedancia de onda característica

2

0 1

f

f

wZ cg

g


Obs.: 0 sólo en caso en que el dieléctrico sea vacío

CapítuloII

2

0

1

ffc

g

Longitud de onda en la guía


CapítuloII

Frecuencias de corte de modos (TE/TM)mn: (fc)mn/fc ; a>b


Obs: modo dominante: TE10 modo con la fc más baja, para a>b.

TE10

1

1,5

2

3

1 1 1,414 2 2 2,236

1

1

1 3

2

1,5 1,803

2,236

3,162

2

2 3

4 2,828

2,500

f01/f10

a/b

2 6 3,606

TE01

ModoTE11

TM11TE20 TE02

TE21

TM21

CapítuloII

2.1.2 Tx. de Potencia en GG.OO. rectangulares.

Asumiendo que la GG.OO. está bien terminada (no existe reflexión de potencia).

Para el caso de un dieléctrico sin perdidas, el flujo de potencia está dado por:

A

g

Agtr dAH

ZdAE

ZP

22

22

1


CapítuloII

222

yx EEE 222

yx HHH

Así para los modos TEm,n y TMm,n se tiene:

donde

x

y

y

xg H

E

H

EZ


CapítuloII

TMm,n

dxdyEE

ffP

b a

yx

c

tr

0 0

22

20 12

1

TEm,n

dxdyEE

ffP

b a

yxc

tr

0 0

22

0

2

2

1


CapítuloII

2.1.3 Pérdida de Potencia en GG.OO. Rectángulares.

a) En el dieléctrico:

Obs: Para un dieléctrico de bajas pérdidas ( ) Obs: Para un dieléctrico de bajas pérdidas ( ) 1

022

d

La constante de atenuación de una OEM plana que se propaga en el dieléctrico (abierto) viene dada por:


CapítuloII

La atenuación debido al dieléctrico de baja pérdida para una GG.OO rectangular será:

20

12 ffc

gd

2

0

12 ffc

gd

TEm,n

TMm,n

20 12

ffcgd

20 12

ffcgd


CapítuloII

donde:

b) En las paredes de la GG.OO.:

dAHZ

dsHR

Ag

s Ts

g 2

2

2

222

YX HHH 222

TYTXT HHH

2m

fRs


CapítuloII

Puesto que la frecuencia de corte (fc) es una función de los modos (m,n) y de las dimensiones de la guía;

Las dimensiones físicas determinarán la propagación de los

modos.


CapítuloIIGuías de Ondas Rectangulares

2.1.4 Configuración de campos EM y métodos de excitación en GG.OO. Rectángulares.

CapítuloIIGuías de Ondas Rectangulares

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