Parte D
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MATEMATICAS 1 Unidad 4 Parte D VILETA, Erico-FRAIRE, Emiliano Parte D. Grupal. En esta instancia colaborativa de aprendizaje y junto a su compañero de grupo: Seleccione un ejercicio del Listado de ejercicios adjunto en el pizarrón de la Actividad 5. Comunique el ejercicio seleccionado en el pizarrón de la Actividad 5. Resuelva ejercicio seleccionado. Puntaje máximo: 10 puntos. Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una transformación matricial (transformación lineal –TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbología matemática): a) El vector genérico TX. b) El núcleo de esta TL. c) Los autovalores de la TL. d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor. Además: e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio generado. f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices? h) Plantee la transformación inversa. 5 5 9 8 8 9 18 2 3 7 A La dimensión de la matriz A nos indica que tanto el espacio de salida como el de llegada son de dimensión·, entonces se trata de ℝ 3 y vale la notación A: ℝ 3 →ℝ 3 . La expresión AX viene dada en términos de las componentes del vector =[ ] asi: = [ −5 8 −2 −5 9 −3 −9 18 −7 ] De esta forma sintetizamos: : ℝ 3 →ℝ 3 ↦ [ ]↦[ −5 8 −2 −5 9 −3 −9 18 −7 ] Núcleo de la trasformación:
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Unidad Nº4 Parte D GRUPAL
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MATEMATICAS 1 Unidad 4 Parte D VILETA, Erico-FRAIRE, Emiliano
Parte D. Grupal.
En esta instancia colaborativa de aprendizaje y junto a su compaero de grupo:
Seleccione un ejercicio del Listado de ejercicios adjunto en el pizarrn
de la Actividad 5.
Comunique el ejercicio seleccionado en el pizarrn de la Actividad 5. Resuelva ejercicio seleccionado.
Puntaje mximo: 10 puntos.
Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una transformacin matricial (transformacin lineal TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbologa matemtica): a) El vector genrico TX. b) El ncleo de esta TL. c) Los autovalores de la TL. d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor. Adems: e) Grafique cada vector de cada base y tambin grafique cada espacio generado. f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: Cmo y con qu informacin se construyen dichas matrices? h) Plantee la transformacin inversa.
5 5 9
8 8 9 18
2 3 7
A
La dimensin de la matriz A nos indica que tanto el espacio de salida como el de
llegada son de dimensin, entonces se trata de 3 y vale la notacin A: 3 3.
La expresin AX viene dada en trminos de las componentes del vector = [
]
asi: = [5 8
2
59
3 9187
]
De esta forma sintetizamos:
: 3 3
[
] [5 8
2
59
3 9187
]
Ncleo de la trasformacin:
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{5 8
2
59
3 9 = 018 = 07 = 0
Por lo que tenemos la siguiente matriz ampliada:
[5 5 98 9 18
2 3 7
000
]
Resolucin por el mtodo Gauss-Jordan:
Como vemos el ncleo de la transformacin; es la solucin del SELH AX = 0 y consta del vector nulo o de infinitos vectores adems del nulo.
: 3 3/(, , ) = (0,0,0)
Autovalores de la transformacin:
= ; es un nmero real, un escalar
= 0
= 0
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( ) = 0, En el desarrollo algebraico anterior debi agregarse la Identidad I para poder sacar X factor comn.
: 3 3
[
] [5 82
59
3
9187
] [
] = [
]
Planteamos AX=kX, o det( ) = 0
[5 82
59
3 9187
] [
] = [
] 5 5 9 = 8 + 9 + 18 = 2 3 7 =
(5 ) 5 9 = 0 8 + (9 ) + 18 = 02 3 + (7 ) = 0
det( ) = [(5 )
82
5
(9 )3
918
(7 )] = 0
Recordamos:
Entonces:
(5 ) |(9 ) 18
3 (7 )| 8 |
5 93 (7 )
| + (2) |5 9
(9 ) 18|=0
Desarrollando llegamos a la siguiente expresin:
3 32 3 1 = 0; ( + 1)3 = 0 Desarrollo usando WolframAlpha:
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Como conclusin el valor de k =-1. Verificacin:
[4 82
5103
9186
] = 0
4 |10 183 6
| 8 |5 93 6
| + (2) |5 910 18
|=0
4(60 + 54) 8(30 27) 2(90 + 90) = 24 24 0 = 0
Base de autovectores: Para determinar todos los autovectores de A asociados a los autovectores anteriores debemos desarrollar la siguiente igualdad AX=kX donde k es el autovalor asociado a la matriz
= 1 (1) = + = { = [
] /( + ) = 0}
([5 82
59
3 9187
] [1 0 00 1 00 0 1
]) = 1
( [5 82
59
3 9187
] [1 0 00 1 00 0 1
]) [
] [5 5 9 = 08 + 9 + 18 = 02 3 7 = 0
]
Aplicando herramientas informticas:
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Por lo tanto, el autovector asociado a ese autovalor k=-1 es: = [.
] , = {[.
]}
Todo subespacio generado por un vector no nulo se
conoce por el nombre de recta.
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Analice si A es diagonalizable:
Si A puede expresarse como el producto = 1A se dice diagonalizable, para comprobar
esto realizamos el anlisis siguiente:
P cuyas columnas son cada uno de esos autovectores LI, esto es:
= [1.5 3 1] Se expresa como D y sus entradas diagonales son los correspondientes autovalores.
= [1 0 00 1 00 0 1
]
= [1.5 3 1] [1 0 00 1 00 0 1
] = [1.5 3 1]
= [5 82
59
3 9187
] [1.531
] = [1.5
31
]
= = 1 . Y una transformacin es invertible si la matriz que la representa es invertible. Si:
= [5 5 98 9 18
2 3 7 ] 1
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Aplicando herramientas informticas:
Tenemos que 1 = [9 8 9
20 17 186 5 5
].
Conclusin: la trasformacin es invertible.
