Parámetros de agujeros negros de observaciones · Métrica, campos de Killing y geodésicas 3 El...

Breve motivación general Espacio-tiempos axisimétricos estacionarios El agujero negro de Kerr

Parámetros de agujeros negros deobservaciones

Alfredo Herrera Aguilar

en colaboración con Ulises Nucamendi

Instituto de FísicaBenemérita Universidad Autónoma de Puebla

III Taller de Física de Altas Energías, Gravitación y Cosmología

ICF, Universidad Nacional Autónoma de México

29 de julio del 2015

Parámetros de agujeros negros de observaciones


Contenido

1 Breve motivación general

2 Espacio-tiempos axisimétricos estacionariosMétrica, campos de Killing y geodésicas

3 El agujero negro de KerrFamilia de agujeros negros de KerrGeodésicas en el agujero negro de KerrCorrimiento al rojo y al azul de fotones emitidos por partículasmasivas.Conclusiones.



Breve motivación general

Se tiene evidencia dinámica de que en el centro de muchasgalaxias espirales (incluyendo la nuestra) ’existen’ agujerosnegros supermasivos (SgrA* en la Vía Láctea). Véanse, porejemplo: M. B. Begelman,Science 300, 1898 (2003); Z. Q. Shenet al., Nature (London) 438, 62 (2005); A. M. Ghez et al.,Astrophys. J. 689, 1044 (2008).En Relatividad General en 4 dimensiones, los agujeros negrosneutros se describen por la solución de Kerr y estáncompletamente caracterizados por solamente dos cantidadesfísicas: la masa M y el parámetro angular de rotacióna = J/M , donde J es el momento angular del agujero negro.Para SgrA*, M ∼ 3.6× 106M⊙ y 0.70± 0.11M ≤ a ≤M .Objetivo de esta plática: Primeros pasos hacia un método quedetermine los parámetros M y a del agujero negro de Kerr entérminos de los corrimientos al rojo y al azul de fotones emitidospor partículas masivas moviéndose en geodésicas alrededor delagujero negro y viajan a través de geodésicas nulas.


Breve motivación general Espacio-tiempos axisimétricos estacionarios El agujero negro de KerrMétrica, campos de Killing y geodésicas

Contenido






Métrica y campos de Killing

Escogemos la métrica más general axisimétrica estacionaria condos planos ortogonales en 3+1 dimensiones: (escogemoscoordenadas esféricas xµ(t, r, θ, ϕ) y la norma grθ = 0)

ds2 = gttdt2 + 2gtϕdtdϕ+ gϕϕdϕ

2 + grrdr2 + gθθdθ

2 (1)

con la siguiente dependencia funcional,

gµν(r, θ) para µ, ν = t, r, θ, ϕ (2)

La métrica (1) tiene dos campos vectoriales de Killing que conmutan[ξ, ψ] = 0:

ξµ = (1, 0, 0, 0) Campo vectorial de Killing temporal (3)ψµ = (0, 0, 0, 1) Campo vectorial de Killing rotacional (4)



Geodésicas y cantidades conservadas.Carter, Phys. Rev. 174, 1559 (1968)

El emisor de fotones es una partícula masiva de prueba que sigueuna geodésica sobre el espacio-tiempo con métrica (1) y convelocidad:

Uµe = (U t, Ur, Uθ, Uϕ)e (5)

Debido a la existencia de los campos vectoriales de Killing (3)-(4),existen cantidades conservadas para la partícula masiva a lo largo desu geodésica: Energía total E y la componente del momento angulartotal L alrededor del eje de simetría (ambos por unidad de masa):

E =E

m= −gµνξµUν = −gttU t − gtϕUϕ (6)

L =L

m= gµνψ

µUν = gϕtUt + gϕϕU

ϕ (7)



Geodésicas y cantidades conservadasDe (7) y (8), despejamos U t y Uϕ en términos de E y L,

U t =(Egϕϕ + Lgtϕ)

(g2tϕ − gttgϕϕ)(8)

Uϕ = − (Egtϕ + Lgtt)

(g2tϕ − gttgϕϕ)(9)

La normalización de la velocidad de la partícula implica la ecuación:

−1 = UµUµ = gtt(Ut)2 + 2gtϕU

tUϕ + gϕϕ(Uϕ)2 + grr(Ur)2 + gθθ(U

θ)2

Introduciendo las velocidades U t y Uϕ en la espresión anterior:

grr(Ur)2 + gθθ(U

θ)2 =E2gϕϕ + 2E · Lgtϕ + L2gtt

(g2tϕ − gttgϕϕ)− 1 (10)


Breve motivación general Espacio-tiempos axisimétricos estacionarios El agujero negro de KerrFamilia de agujeros negros de Kerr Geodésicas en el agujero negro de Kerr Corrimiento al rojo y al azul de fotones emitidos por partículas masivas. Conclusiones.

Contenido






Familia de agujeros negros de Kerr en coordenadasBoyer-Lindquist: M 2 ≥ a2

ds2 = gttdt2 + 2gtϕdtdϕ+ gϕϕdϕ

2 + grrdr2 + gθθdθ

2

con las componentes métricas,

gtt = −[1− 2Mr

Σ

], gtϕ = −

[2Mar sin2 θ

Σ

], grr =

Σ

∆,

gϕϕ =

[r2 + a2 +

2Ma2r sin2 θ

Σ

]sin2 θ , gθθ = Σ ,

donde tenemos:

∆ = r2 + a2 − 2Mr , Σ = r2 + a2 cos2 θ ,

g2tϕ − gϕϕgtt = ∆ sin2 θ , M2 ≥ a2 .



Contenido






Tensor de Killing de Kerr y Constante de Carter.

La métrica de Kerr posee el campo tensorial de Killing Kµν :

Kµν = 2Σ l(µnν) + r2gµν satisface ∇(αKµν) = 0 ,

donde tenemos los campos vectoriales nulos (lµ, nµ) que satisfacenlµlµ = nµnµ = 0 y la relación lµnµ = −1,

lµ =r2 + a2

∆

(∂

∂t

)µ+a

∆

(∂

∂ϕ

)µ+

(∂

∂r

)µ,

nµ =r2 + a2

2Σ

(∂

∂t

)µ+

a

2Σ

(∂

∂ϕ

)µ− ∆

2Σ

(∂

∂r

)µ,

Lo anterior implica la existencia de una constante de movimiento C:

⇒ C = KµνUµUν = 2Σ (lµU

µ)(nµUµ)− r2 = Constante



Ecuaciones de movimiento geodésico.

La constante C se escribe en términos de la constante de Carter Q:

C ≡ (L−aE)2+Q =([

(r2 + a2)E − aL]2 − Σ2(Ur)2 −∆r2

)( 1

∆

),

de lo cual despejamos la velocidad radial Ur:

Σ2(Ur)2 =[(r2 + a2)E − aL

]2 −∆[r2 + (L− aE)2 +Q

]≡ V 2(r)

Usando la ecuación previa en la ecuación (10) tenemos para Uθ:

Σ2(Uθ)2 = Q−[a2(1− E2) +

L2

sin2 θ

]cos2 θ ≡ Θ2(θ)

Para dar una interpretación física para la constante de Carter,despejamos Q de la ecuación anterior:



Ecuaciones de movimiento geodésico

La constante de Carter Q satisface:

Q = Σ2(Uθ)2 +

[a2(1− E2) +

L2

sin2 θ

]cos2 θ

Para órbitas acotadas (órbitas que no alcanzan r →∞) tenemos:

E < 1 .Q ≥ 0

Q = 0 para θ = π/2 ⇔ órbitas ecuatoriales

Para órbitas no acotadas (órbitas que alcanzan r →∞) tenemos:

E ≥ 1



Ecuaciones geodésicas para Uµ con parámetrosdados (E, L, Q, xµo )

U t =1

∆Σ

[(r2 + a2)2 −∆a2 sin2 θ

]E − (2Mar)L

Uϕ =1

∆Σ sin2 θ

[(2Mar sin2 θ)E + (∆− a2 sin2 θ)L

]

Σ2(Ur)2 =[(r2 + a2)E − aL

]2 −∆[r2 + (L− aE)2 +Q

]≡ V 2(r)

Σ2(Uθ)2 = Q−[a2(1− E2) +

L2

sin2 θ

]cos2 θ ≡ Θ2(θ)



Detección y emisión de fotones con momento kµ.Un fotón con cuadrimomento kµ parametrizado por:

kµ = (kt, kr, kθ, kϕ) ,

se mueve sobre una geodésica nula fuera del horizonte de eventosdel agujero negro de Kerr,

0 = kµkµ = gtt(kt)2 + 2gtϕ(ktkϕ) + gϕϕ(kϕ)2 + grr(k

r)2 + gθθ(kθ)2 ,

y tiene las constantes de movimiento (Qγ es la constante de Carter):

Eγ = −gµνξµkν = −gttkt − gtϕkϕ ,

Lγ = gµνψµkν = gϕtk

t + gϕϕkϕ ,

Cγ ≡ (Lγ − aEγ)2 +Qγ = Kµνkµkν = 2Σ (lµk

µ)(nµkµ)



Ecuaciones geodésicas para kµ con parámetrosdados (Eγ, Lγ, Qγ, yµo )

kt =1

∆Σ

[(r2 + a2)2 −∆a2 sin2 θ

]Eγ − (2Mar)Lγ

kϕ =1

∆Σ sin2 θ

[(2Mar sin2 θ)Eγ + (∆− a2 sin2 θ)Lγ

]

Σ2(kr)2 =[(r2 + a2)Eγ − aLγ

]2 −∆[(Lγ − aEγ)2 +Qγ

]

Σ2(kθ)2 = Qγ −

[−a2E2

γ +L2γ

sin2 θ

]cos2 θ



Contenido






Corrimiento al rojo y al azul de fotones emitidos.La frecuencia de un fotón medido por la partícula con velocidad Uµ

en el punto de emisión (e) es: [Herrera-Aguilar, Nucamendi et al.,MNRAS 432, 301 (2013)].

ωe = −(kµUµ) |e

La frecuencia detectada por un observador en infinito (r →∞) convelocidad Uµ |d es:

ωd = −(kµUµ) |d

donde las velocidades del emisor (e) y del detector (d) son:

Uµe = (U t, Ur, Uθ, Uϕ) |e, Uµd = (U t, Ur, Uθ, Uϕ) |d

Para órbitas circulares ecuatoriales: Uµd = (U t, 0, 0, Uϕ) |dParámetros de agujeros negros de observaciones


Corrimiento al rojo y al azul de fotones emitidos.

Los corrimientos (al rojo y al azul) observados se definen por:

1 + z =ωeωd

=(EγU

t − LγUϕ − grrUrkr − gθθUθkθ) |e(EγU t − LγUϕ) |d

En general, tenemos una función F de la forma:

1 + z =ωeωd

= F (r, θ, b, B, q, s)

donde los parámetros (b, B, q, s) son los cocientes:

b ≡ LγEγ

, B ≡ L

E, q ≡ Qγ

Eγ, s ≡ Q

E



Ejemplo: Órbitas circulares ecuatoriales (θ = π/2).

Para órbitas circulares ecuatoriales tenemos Ur = Uθ = 0 (recuerdeque b = Lγ/Eγ) y por lo tanto:

1 + z =(EγU

t − LγUϕ) |e(EγU t − LγUϕ) |d

=(U t − b Uϕ) |e(U t − b Uϕ) |d

Introduciendo,

b = ε | b | donde ε ≡ ±1

tenemos para los corrimientos al rojo y al azul:

1 + zε =(U t − ε | b | Uϕ) |e(U t − ε | b | Uϕ) |d



Corrimientos gravitacional y cinemáticos.

Calculamos ahora el corrimiento al rojo puramente gravitacional quecorresponde al valor b = 0 (partícula estática) medido por unobservador localizado en r →∞,

1 + zc =(U t) |e(U t) |d

A fin de tener corrimientos al rojo y al azul cinemáticos respecto alobservador estático centrado en b = 0, tenemos que substraer lacantidad previa a los corrimientos zε lo que resulta en:

Zred = z+ − zc =(U te U

ϕd − U td Uϕe )

U td (U td− | b | Uϕd )| b |



Corrimientos cinemáticos.

Zblue = z− − zc = −(U te U

ϕd − U td Uϕe )

U td (U td + | b | Uϕd )| b |

En general, tenemos que Zred 6= Zblue debido al arrastre (dragging) delsistema inercial del detector debido a la rotación del espacio-tiempoy codificado por Uϕd .Cuando el detector está suficientemente lejos (r →∞), tenemos:

UϕdU td

=dϕ

dt≡ Ωd 1

En este límite, Zred = Zblue ≡ Z, y entonces tenemos:

Z2 =

(UϕeU td

)2

| b |2



E y L para órbitas circulares ecuatoriales.

Uϕ, U t, E y L para órbitas circulares ecuatoriales son:

Uϕ(r, π/2) =(2Ma)E + (r − 2M)L

r(r2 + a2 − 2Mr)

U t(r, π/2) =(r3 + a2r + 2Ma2)E − (2Ma)L

r(r2 + a2 − 2Mr)

E =r3/2 − 2Mr1/2 ± aM1/2

r3/4 (r3/2 − 3Mr1/2 ± 2aM1/2)1/2

L = (±)M1/2 (r2 ∓ 2aM1/2 r1/2 + a2)

r3/4 (r3/2 − 3Mr1/2 ± 2aM1/2)1/2



El parámetro b para fotones.

Escogemos el valor del parámetro de impacto b = Lγ/Eγ como elvalor para el cual kre = 0, que corresponde a puntos sobre el ejehorizontal perpendicular a la geodésica nula en el punto de emisióndel fotón. De la relación kµkµ|e = 0, encontramos:

b± =−gtϕ ±

√g2tϕ − gttgϕϕgtt

Usando la métrica de Kerr, tenemos:

b± =(2Ma)∓ r

√r2 + a2 − 2Mr

r − 2M



Caso general

En el caso general tenemos las siguientes relaciones:

Zred = F1 (r, θ,M, a) ,

Zblue = F2 (r, θ,M, a) ,

que en principio se pueden invertir para obtener las expresiones

M = G1 (r, θ, Zred, Zblue) ,

a = G2 (r, θ, Zred, Zblue)

y poder determinar los pará metros de un agujero negro de Kerrmediante los corrimientos al rojo y al azul de los fotones detectadospor un observador lejano.



Caso general

En el caso particular en que rd →∞ tenemos las siguientesrelaciones:

zred =±M

12

(2Ma+re

√r2e−2Mre+a2

)r

34e

(re−2M

)√r

32e −3Mr

12e ±2M

12 a

,

zblue =±M

12

(2Ma−re

√r2e−2Mre+a2

)r

34e

(re−2M

)√r

32e −3Mr

12e ±2M

12 a

.

Finalmente para un agujero negro de Schwarzschild:

M=[(

1 + 5z2)

+√

1 + 10z2 + z4] (

12z2)−1

re.



Contenido






Conclusiones

Método para determinar los parámetros M y a del agujero negrode Kerr en términos de los corrimientos al rojo y al azul defotones emitidos por partículas masivas moviéndose engeodésicas sobre el agujero negro de Kerr (curvas de rotacióndel agujero negro).Para trabajo futuro: calcular el corrimiento para órbitas másgenerales: circulares no ecuatoriales, elípticas ecuatoriales,elípticas no ecuatoriales, etc.Con muestras inventadas de datos aleatorios y sus respectivoserrores, estimar los parámetros (M , a) mediante un ajustebayesiano. Este análisis nos permitirá conocer el grado deprecisión que se requiere medir para los corrimientos en una/unobservación/experimento real.

¡Muchas gracias por su atención!


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