0

1

2

3 2

1

0

0X1 = 2

X1 = 3

X2 = 2

X2 = 3X2 = 3

X1 = 1X2 = 1

X2 = 2

X2 = 3

X2 = 0

X2 = 1

X2 = 2

X3 = 2

X3 = 1

X3 = 0

PARCIAL 4. PROGRAMACIÓN DINÁMICA Y PLANEACIÓN DETERMINÍSTICA DE PROYECTOS (PERT). INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1. SEMESTRE 02-2012 - SOLUCIÓN

TEMA A

I. (60%) Una compañía sabe que la demanda de su producto durante cada uno de los próximos 3 meses es como se indica: en el mes 1, 1 unidad; en el mes 2, 3 unidades; en el mes 3, 2 unidades. La compañía debe determinar cuántas unidades tiene que fabricar en cada mes. Durante un mes en el cual se produzca al menos una unidad, se incurre en un costo fijo de 3 dólares. Además, hay un costo variable de 1 dólar por cada unidad que se fabrique. Al final de cada mes, se genera un costo de almacenamiento de 0.5 dólares por cada unidad que quede en inventario. Las limitaciones de la maquinaria permiten producir durante cada mes un máximo de 4 unidades. Las dimensiones de la bodega de la compañía restringen el inventario final de cada mes a 3 unidades cuanto mucho. La empresa desea determinar un plan de producción que cumpla con toda la demanda a tiempo y minimice los costos durante los 3 meses. Suponga que se dispone de 0 unidades al principio del primer mes, que no se desea que queden unidades en inventario al final del tercer mes y que al principio del segundo mes llega 1 unidad desde otra compañía filial que se está liquidando(considere este nuevo aporte como parte del estado inicial de esta etapa). Se desea resolver este problema usando programación dinámica, donde X i es la cantidad de unidades que se producirán en el mes i, con i=1, 2, 3.

Solución

Etapas: los meses (1, 2 y 3)Estados: unidades en inventario al inicio (o al final) del mes i

Diagrama

Se inicia con 0 unidades. Como la demanda del mes 1 es de 1 unidad, pueden producirse 1, 2 o 3 unidades, quedando en inventario 0, 1, o 2 unidades. No se pueden producir 4 unidades porque al principio del segundo mes llega la unidad adicional, y no es posible guardar más de 3 unidades.

Como se pidió considerar la unidad adicional como parte del estado inicial de la segunda etapa, los estados son 1, 2 y 3 y no 0, 1 y 2. No importa cómo consideran los estados (al inicio o al final del mes), debían incluir la unidad adicional en la segunda etapa, en el estado inicial.

En el segundo mes únicamente pueden hacerse producciones que garanticen un nivel de inventario menor o igual a 2 unidades, ya que en el mes 3 la demanda es de 2 unidades y se debe terminar el mes 3 con 0 unidades en la bodega.

Cálculos

El valor del costo total en cada etapa se calculará así:

C = Costo fijo + Costo variable + Costo de inventario + Costo de etapas futuras

Etapa n = 4

f4* = 0

Etapa n = 3

S3 f3*(S) X3*0 3+2+0+0 = 5 21 3+1+0+0 = 4 12 0+0+0+0 = 0 0

Etapa n = 2

S2 0 1 2 3 4 f2*(S) X2*1 NO NO 3+2+0+5 = 10 3+3+0.5+4 = 10.5 3+4+1+0 = 8 8 42 NO 3+1+0+5 = 9 3+2+0.5+4 = 9.5 3+3+1+0 = 7 NO 7 33 0+0+0+5 = 5 3+1+0.5+4 = 8.5 3+2+1+0 = 6 NO NO 5 0

Etapa n = 1

S1 1 2 3 f1*(S) X1*0 3+1+0+8 =

123+2+0.5+7 = 12.5 3+3+1+5 = 12 12 1 ó 3

Hay dos políticas óptimas, ambas con f = 12

X1 = 1 X1 = 3X2 = 4 X2 = 0

X3 = 0 X3 = 2

1. (10%) Complete los espacios en blanco: Las etapas de este problema son los meses Los estados de este problema son las unidades en inventario

2. (10%) Las decisiones que pueden tomarse en el estado 1 de la etapa 2 son 2, 3, 4

3. (10%) Cuando en la etapa 1, en el estado 0, se toma la decisión 3, se llega al estado 3 de la etapa 2.

4. (10%) Cuando en la etapa 2, en el estado 1, se toma la decisión 2, se incurre en un costo total de 10 .

5. (10%) El mínimo costo total en el que se incurre cuando se está en la etapa 2 en el estado 3 es 5.

6. (10%) La política óptima de este problema indica que en el mes 1 se producirán 1 o 3 unidades; en el mes 2, 4 o 0 unidades, y en el mes 3, 0 o 2 unidades, con un costo total de 12 (Si hay más de una política óptima, escriba una de ellas).

II. (40%) Se tiene el siguiente diagrama de un proyecto, el cual se desea analizar desde el enfoque determinístico de PERT. El proyecto inicia en el evento 1 y termina en el evento 7.

La duración de las actividades se muestra a continuación. Recuerde que se consideran determinísticas; es decir, que no se supone que la duración de una actividad es una variable aleatoria.

Actividad Duración estimada (en días)A 4B 2C 3

D 5E 1F 8G 2

Solución

Evento Tiempo más corto

Tiempo más lejano Holgura del evento

1 0 0 02 4 4 03 6 11 54 7 7 05 16 16 06 8 8 07 18 18 0

Actividad Holgura de la actividadA 0B 0C 0D 5E 0F 0G 0

Ficticio 9

Ruta crítica: En términos de eventos: 1-2-4-6-5-7; en términos de eventos: A-C-E-F-G

7. (10%) El tiempo más corto del proyecto (es decir, del evento 7) es de 18 días.

8. (10%) El tiempo más lejano del evento 3 es de 11 días, y la holgura de este evento es de 5 días.

9. (10%) La holgura de la actividad D es de 5 días y la holgura de la actividad G es de 0 días.

10. (10%) La ruta crítica de este proyecto es términos de eventos: 1-2-4-6-5-7; en términos de eventos: A-C-E-F-G (se consideró correcta cualquiera de las dos opciones)

TEMA B

I. (60%) Una compañía sabe que la demanda de su producto durante cada uno de los próximos 3 meses es como se indica: en el mes 1, 1 unidad; en el mes 2, 3 unidades; en el mes 3, 2 unidades. La compañía debe determinar cuántas unidades tiene que fabricar en cada mes. Durante un mes en el cual se produzca al menos una unidad, se incurre en un costo fijo de 3 dólares. Además, hay un costo variable de 1 dólar por cada unidad que se fabrique. Al final de cada mes, se genera un costo de almacenamiento de 0.5 dólares por cada unidad que quede en inventario. Las limitaciones de la

11 22

77

66

33

55

44

AA

CCBB

DDEEFCFC

GG

FicticioFicticio

maquinaria permiten producir durante cada mes un máximo de 4 unidades. Las dimensiones de la bodega de la compañía restringen el inventario final de cada mes a 3 unidades cuanto mucho. La empresa desea determinar un plan de producción que cumpla con toda la demanda a tiempo y minimice los costos durante los 3 meses. Suponga que se dispone de 0 unidades al principio del primer mes, que no se desea que queden unidades en inventario al final del tercer mes y que al principio del segundo mes llega 1 unidad desde otra compañía filial que se está liquidando(considere este nuevo aporte como parte del estado inicial de esta etapa). Se desea resolver este problema usando programación dinámica, donde X i es la cantidad de unidades que se producirán en el mes i, con i=1, 2, 3.

1. (10%) Complete los espacios en blanco: Las etapas de este problema son los meses Los estados de este problema son: las unidades en inventario.

2. (10%) Las decisiones que pueden tomarse en el estado 2 de la etapa 2 son 1, 2, 3.

3. (10%) Cuando en la etapa 1, en el estado 0, se toma la decisión 1, se llega al estado 1 de la etapa 2.

4. (10%) Cuando en la etapa 2, en el estado 3, se toma la decisión 2, se incurre en un costo total de 6

5. (10%) El mínimo costo total en el que se incurre cuando se está en la etapa 2 en el estado 1 es 8 .

6. (10%) La política óptima de este problema indica que en el mes 1 se producirán 1 o 3 unidades; en el mes 2, 4 o 0 unidades, y en el mes 3, 0 o 2 unidades, con un costo total de 12 (Si hay más de una política óptima, escriba una de ellas).

II. (40%) Se tiene el siguiente diagrama de un proyecto, el cual se desea analizar desde el enfoque determinístico de PERT. El proyecto inicia en el evento 1 y termina en el evento 7.

La duración de las actividades se muestra a continuación. Recuerde que se consideran determinísticas; es decir, que no se supone que la duración de una actividad es una variable aleatoria.

Actividad Duración estimada (en días)A 4B 2C 3D 5E 1F 8G 2

7. (10%) El tiempo más corto del proyecto (es decir, del evento 7) es de 18 días.

8. (10%) El tiempo más próximo del evento 3 es de 6 días, y la holgura de este evento es de 5 días.

9. (10%) La holgura de la actividad G es de 0días y la holgura de la actividad D es de 5 días.

10. 10%) La ruta crítica de este proyecto es términos de eventos: 1-2-4-6-5-7; en términos de eventos: A-C-E-F-G (se consideró correcta cualquiera de las dos opciones)