PARÁMETROS DE DENAVIT-HARTENBERG

Cristina Castejón

Conceptos de robótica

• Cadena cinemática abierta formada por eslabones y articulaciones:– Rotación– Prismáticas

• Estudio cinemático• Estudio dinámico

Conceptos de geometría espacial

• Consideraremos como sistemas de referencia los formados por tres ejes rectilíneos (X,Y,Z):– Ortogonales (perpendiculares 2 a 2)– Normalizados (las longitudes de los

vectores básicos de cada eje son iguales)

– Dextrógiros (el tercer eje es producto vectorial de los otros 2)

Conceptos de geometría espacial

• Las coordenadas de un punto P(x,y,z), son las proyecciones de dicho punto perpendicular a cada eje.

• Utilización de las llamadas coordenadas generalizadas

x 'x ' x

y ' : factor de escaladonde y ' y

z ' normalmente 1z ' z

⎛ ⎞= ⋅ω⎜ ⎟ ω⎜ ⎟ = ⋅ω

⎜ ⎟ ω == ⋅ω⎜ ⎟⎜ ⎟ω⎝ ⎠

Traslaciones y Rotaciones

x

yx y z

z

1 0 0 d0 1 0 d

Tras(d ,d ,d )0 0 1 d0 0 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

cos sen 0 0sen cos 0 0

Rot(z, )0 0 1 00 0 0 1

θ − θ⎛ ⎞⎜ ⎟θ θ⎜ ⎟θ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

cos 0 sen 00 1 0 0

Rot(y, )sen 0 cos 00 0 0 1

θ θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟θ =⎜ ⎟− θ θ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 0 00 cos sen 0

Rot(x, )0 sen cos 00 0 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟θ − θ⎜ ⎟θ =⎜ ⎟θ θ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Matriz de Transformación T

• Matriz de dimensión 4X4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro.

relaciona el sistema de referencia solidario al punto terminal con un sistema de referencia fijo (mundo).

Cinemática directa.

• Encontrar la forma explícita de la función que relaciona el espacio de articulaciones del robot (dimensiones de los eslabones y giros relativos) con el espacio cartesiano de posiciones/orientaciones.

( ) ( )1 2 nx, y, z, , , f q ,q ,...,qα β γ =

Resolución cinemática directa

• Sn es el origen del sistema de referencia del extremo del robot (pinza) en coordenadas generalizadas

• S0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot.

n 0S T S= ⋅

Cinemática inversa

• Consiste en determinar la configuración que debe adoptar un robot para una posición y orientación del extremo conocidas.

– No existe solución única.

( ) ( )1 2 nq ,q ,...,q f x, y, z, , ,= α β γ

Obtención de la matriz T.

• Sencillo para cadenas cinemáticas abiertas de cualquier número de grados de libertad, pero complejo para el caso de cadenas cinemáticas cerradas.

• Parámetros de D-H.

n

.....

1

diθiaiαiarticul

algoritmo

• Elegir un sistema de coordenadas fijo (X0,Y0,Z0) asociado a la base del robot

• Localizar el eje de cada articulación Zi:– Si la articulación es

rotativa, el eje será el propio eje de giro.

– Si es prismática, el eje lleva a dirección de deslizamiento.

Z1

Z2

Z3

Z1

Z2

Z3

algoritmo

• Situar los ejes Xi el la línea normal común a Zi-1 y Zi. Si éstos son paralelos, se elige sobre la línea normal que corta a ambos ejes.

• El eje Yi debe completar el triedro dextrógiro

X1

X2

X3

Y1

Y2

Y3

algoritmo

• Parámetros de D-H:• αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano

perpendicular a Xi. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd).

• ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi a lo largo de Xi. El signo lo define el sentido de Xi.

• θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi sobre el plano perpendicular a Zi-1. El signo lo determina la rmd.

• di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi-1 con el eje Xi. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento.

algoritmo

• αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano perpendicular a Xi. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd).

03

902

-901

diθiaiαiarticul

α1=-90º

α2= 90º

α3= 0º Z1

Z2

Z3

X1

X2

X3

Y1

Y2

Y3

algoritmo

• ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi a lo largo de Xi. El signo lo define el sentido de Xi.

a1= 0a2= 0a3= 0

003

0902

0-901

diθiaiαiarticul

Z1

Z2

Z3

X1

X2

X3

Y1

Y2

Y3

algoritmo

• θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi sobre el plano perpendicular a Zi-1. El signo lo determina la rmd.

θ1= -90ºθ2= -90ºθ3= -90º

-90003

-900902

-900-901

diθiAiαiarticul

Z1

Z2

Z3

X1

X2

X3

Y1

Y2

Y3

algoritmo

• di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi-1 con el eje Xi. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento.

d1= L1

d2= L2

d3= L3

L3-90003

L2-900902

L1-900-901

diθiAiαiarticul L1

L2Z1

Z2

Z3

X1

X2

X3

Y1

Y2

Y3L3

ejemplo

Obtención de T

• Matriz de transformación desde el sistema i-1 hasta el i.

• Matriz de transformación

( ) ( ) ( ) ( )i 1i i 1 i i i i iA Rot Z , Tras 0,0,d Tras a ,0,0 Rot X ,−

−= θ ⋅ ⋅ ⋅ α

i i i

i i i ii 1i

i i i

cos sen 0 0 1 0 0 0 1 0 0 a 1 0 0 0sen cos 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 cos sen 0

A0 0 1 0 0 0 1 d 0 0 1 0 0 sen cos 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

−

θ − θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟θ θ α − α⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 0 1 i 1 n 1n 1 2 i nT A A A A A− −= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅L L

Resolución cinemática directa

• Sn es el origen del sistema de referencia de la pinza en coordenadas generalizadas

• S0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot.

n 0S T S= ⋅