PARADA TEÓRICA

20 "Factor común y por gruposFacforizar un polinomio, de n cantidad de términos, es expresarlo como un producto de polinomios primos.

Factor común

Para factorizar un polinomio a través del factor común, se debe recordar la propiedad distributivo de lamultiplicación respecto de la suma o resta.

a(b = e) = a. b = a.c (el factor a se repite en ambos términos)

Para extraer el factor común, se debe proceder de manera inversa: a.b = a.c = a.(b = e)Primero se debe reconocer cuál es el factor que se encuentra repetido en cada término y luego, puro

encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término por el factor común.

El factor común puede ser la variable del polinomio, elevada a la menor potencia, y/o el DCMde todos loscoeficientes del mismo.

Factorizar los siguientes polinomios:a) P(x) = 2i - 4x.

p(x) = 2x.x - 2. 2x ~ 2x es el factor común de los dos términos.p(x) = 2x(x 2) ~ Expresión factoreada de P(x) a través del factor común.+ +

2i2x

4x2x ~ Dentro del paréntesis va lo que resulta de dividir cada término por 2x.

Para normalizar un polinomio, se debe sacar como factor común el coeficiente principal.

p(x) = 2/ _1 = 2(~- t) = 2(x2 _1)- 322 6----c

Polinomio normalizado

+Factor común por grupos

Se aplica el factor común por grupos a polinomios que no tienen un factor común en todos sus términos.

Factorizar los siguientes polinomios:a) p(x) = x5 - 2x4 - 3x + 6

p(x) = (x5 - 2x4) + (-3x + 6) ---l.~ Se forman grupos de igual cantidad de términos, de forma~~ tal que en cada uno de ellos haya un factor común.

x4 -3

p(x) = x4-(x - 2) -3(x - 2) ----l)oo~ En cada término debe aparecer el mismo factor parapoder extraerlo nuevamente como factor común.

----l.~ Al sacar nuevamente factor común, la expresión quedafactorízada a través del factor común por grupos.

b) Q(x) = 3i + 3x2 + 2x + 2 = (3x3 + 3/) + (2x + 2) = 3x2(x.+ 1) + 2(x + 1)Q(x) = (x + 1)(3x2 + 2)

PARADA TEÓRICA

21 Suma y resta de potencias de igual exponentePara un polinomio de la forma p(x) = x" ± a" existen cuatro posibilidades:

p(x) ::;::x" ± a" 1\ n es parp(x) = x" ± a" 1\ n es impar

1) P(x) = x4 - 16 = x4 - 24

Se buscan las raíces de p(x): x4- 16 = O=> Ixl = 2 => Xl = 2 1\ x2 = -2

Por el teorema del resto: P(2) = O => (x - 2) es divisor de p(x)p( -2) = O => (x + 2) es divisor de p(x)

Se aplica la regla de RuffiniV - 16):(x - 2)

1 O O O -16

2

(x3 + 2x2 + 4x + 8):(x + 2)

1 2 4 8

2 4 8 16 -2 -2 O -82 4 8 O O 4 O

p(x) = i - 16 = (i + 2i + 4x + 8)(x - 2) = (i + 4)(x + 2)(x - 2)

2) p(x) = x4 + 81, no tiene raíces reales.

3) p(x) = x3 - 27 = x3 - 33

Se buscan las raíces de p(x):x3 - 27 = O => x = 3

4) p(x) = x5 + 32 = x5 + 25

Se buscan las raíces de p(x):x5 + 32 ~ O => x = -2

Por el teorema del resto:P(3) = O => (x - 3) es divisor de p(x)

Por el teorema del resto:p( -2) = O => (x + 2) es divisor de p(x)

Se resuelve por la Regla de Ruffini p(x):(x - 3) Se resuelve por la Regla de Ruffini p(x):(x + 2)p(x) = x3 - 27 = (x - 3)(i + 3x + 9) p(x) = (x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)(x + 2)

Resumiendo:

p(x) = x" ± a" Divisor/es

n imparxn + an (x + a)

(x - a)

(x + a) 1\ (x - a)

n nX - a

n parxn + an No tiene divisores de la forma (x ± a)

a) p(x) = / - 9 = / - 32 = (x - 3) (x + 3)

b) p(x) = x4- 25 = (x2)2 - 52 = (/ - 5)(/ + 5)

e) p(x) = / - 49 = / - 72 = (x - 7)(x + 7)

p(x) = i - a2 = (x - a)(x + a)

DiferenciQ de cuadrados

Trinomio cuadrado y cuatrinomio cubo perfectos

Trinomio cuadrado perfecto

i ± 2ax + a2 = (x ± a)2 ~ Cuadrado de un binomio:f expresión factorizada del

Trinomio cuadrado perfecto: trinomio cuadrado perfecto.desarrollo del cuadrado del binomio.

-- x

(x + a)2 = i + ax + ax + a2

= i + 2ax + a2i ± 2ax + a2 = (x ± a)(x ± a) = (x ± a)2

a) p(x) = x2 + 6x + 9 = i + 2.3x + 32 = (x + 3)21 1x 3

-x - a-- a

I 2x-a(x-a)¡

b) Q(x) = i - 4x + 4 = i - 2.2x + 22 = (x - 2)21 1x 2

x

e) R(x) = i + 8x + 9 = i + 2.4x + 32I ·11t x 3*4 3

No es trinomio cuadrado perfecto

(x - a)2 = x2 - a(x - a) - a(x _ a) _ a2

= i - ax + a2 - ax + a2 - a2

= i - 2ax + a2

Cuatrinomio cubo perfecto

x3 + 3a/ + 3a2.x + a3 = (x + a)3~ Cubo de un binomio: expresión factorizada delt cuatrinomio cubo perfecto.Cuatrinomio cubo perfecto: es el desarrollo del cubo del binomio.

x3 ± 3ai + 3a2.x ± a3 = (x ± a)( x ± a)(x ± a) = (x ± a)3 ~ Expresión factorizada

(x + a)3 = (x + a) (x + a) (x + a)= (i + 2ax + a2)(x + a)= x3 + 3ai + 3a2x + a3

(x - a)3 = (x - a) (x - a) (x - a)= (i - 2ax + a2)(x - a)= x3 - 3ax2 + 3a2x _ a3

a)T(x) = x3 + 6i + 12x + 8 = x3 + 3.2j + 3.22.x + 23 = (x + 2)31 1x 2

e) M(x) = x3 - 4i + 8x - 8 * x3 - 3.2i + 3.22.x - 23~ No es cuatrinomio cubo perfecto1 6 *4 12 * 8 1x 2

Siendo a el coeficiente principal de p(x) yXl; X2; ... ; Xn SUS n raíces reales.

Teorema de Gauss

Si el polinomio p(x), de grado n, con coeficientes enterosy término independiente no nulo, admite unaraíz racional ~ (fracción ureducib!e), entonces p es divisor del término independientey q lo es del coeficienteprincipal.

,. () n n-l n-2Para hallar las ruices rucionoles de P x = ax + bx + cx + ...+ d:• se buscan los divisores del término independiente y del coeficiente principal.• se buscan las posibles raíces: p ~ Divisores del término independiente.

q ~ Divisores del coeficiente principal.

Todo polinomio p(x), de grado n, de n raíces reales, puede factorizarse como:

Para hnllor las raíces racionales de p(x) = 2x3- 3/ - 8x - 3:

Divisores del término independiente, (-3): ± 1, ± 3}Divisores del coeficiente principal, (2): ± 1, ± 2 Xl = ±

Posibles raíces ~11; X2 = ± "2 ; X3 = ± 3 ; X4 =

Se especializa el polinomio p(x) parias posibles raíces (xn es raíz si p(xn) = O).

p( -1) = O ~ xI= -1, esraíz

p( - ~) = O ~ X2 = -~, es raíz

P (3) = O ~ X3 = 3, es raíz

p(x) = 2x3 - 3/ - 8x - 3 ~ p(x) = 2(x + 1)(x + ~)(x - 3)

Un polinomio p(x) tiene una raíz múltiple si al descomponerlo en función de sus raíces hay factoresiguales; el orden de multiplicidad de la misma está dado por el exponente del factor.

Polinomio factorizado Raíces Multiplicidad

1Xl = -1 A x2 = -"2 A x3 = 3 Tres raíces simples

Xl = X2 = -1 Una raíz doble

P3(X) = (x - 2)3 = (x - 2)(x - 2)(x - 2) Una raíz triple

Xl = x2 = -2 A x3 = ~ = Xs = 1 -2, raíz doble y 1, raíz triple

ps(x) = x3(x + 3) = x.x.xíx + 3) 0, raíz triple y -3, raíz simple

·Casos combinadosEn algunos polinomios se deben aplicar varias veces los distintos casos de factorización hasta que los

factores de los mismos sean primos.

a) Si se puede sacar factor común, es el primer paso que se debe realizar, y luego analizar si a algunos delos factores se los puede seguir descomponiendo en nuevos factores.

b) Se analizan las condiciones para sacar factor común por grupos, y luego se estudia si a algunos de losfactores se los puede seguir descomponiendo en nuevos factores.

e) Se puede también aplicar el Teorema de Gauss.

Se encuentra una raíz de x3 - 5x2 + 8x - 4.S(1) = OY se aplica la Regla de Ruffini con el divisor (x - 1).

-4 4 O

x3 - 5i + 8x - 4 = (x - 1)(/ - 4x + 4)

-5 8-4

1 -4 4