MATEMATICAS GRADO DECIMO

SEGUNDO PERIODO TEMAS

• Parábola

• Elipse

• Hipérbola Parábola Es una sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo a la directriz. Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.

Propiedades geométricas

Diferentes elementos de una parábola.

Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la sección de un cono recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente es más común definir la parábola como un lugar geométrico:

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo que se denomina foco.

De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por foco y directriz de acuerdo a la siguiente construcción. Sea T un punto cualquiera de la recta directriz. Se une con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la directriz da como resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se puede aproximar tantos puntos de la parábola como sea necesario.

De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal línea (conocida como eje de la parábola) se le conoce como vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como Distancia focal o Radio focal.

Los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco F y de la recta directriz.

Construcción de puntos en una parábola.

Lado recto

El lado recto mide 4 veces la distancia focal

Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.

La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las respectivas proyecciones sobre la directriz, denotando por W la proyección del foco F sobre la directriz, se observa que FEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden FW=2FV. Por tanto el segmento DE es igual a 4 veces el segmento FV (la distancia focal).

Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman ángulos de 45° con el mismo, consecuencia de que FEUW y DFWT sean cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior. Además, tales tangentes se cortan en la directriz, precisamente en el punto de proyección W del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para construir una aproximación geométrica del foco y la directriz cuando éstos son desconocidos.

Semejanza de todas las parábolas

Todas las parábolas son similares, es únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.

Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad e = 1. La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.

Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes.

Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz.

Tangentes a la parábola

La tangente bisecta el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece:

La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

En lo sucesivo, F denotará el foco de una parábola, P un punto de la misma y T su proyección sobre la directriz. Retomando la construcción dada para encontrar puntos de una parábola, sea MP la mediatriz del triángulo FPT, el cual es isósceles y por tanto biseca al ángulo FPT. Lo único que hay que verificar ahora es que MP también es la tangente en el punto P. Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz.

Puesto que FQ=QU y QU<QT, entonces FQ<QT. Dado que esto es cierto para cualquier otro punto de la parábola, se concluye que toda la parábola está de un mismo lado de MP, y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la parábola que toque a la recta MP, esto quiere decir que MP es la tangente de la parábola en P.

Aplicaciones prácticas

Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.

La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.

Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.

Ecuaciones de la parábola

Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.

Prueba geométrica de la relación y=ax2.

Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio, y se bosquejará a continuación usando notación moderna.

Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.

Por el teorema de potencia de un punto:

.

Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:

.

Usando nuevamente los paralelismos:

.

Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en

.

Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo

arroja la expresión moderna y=ax².

Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.

Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,

agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma

.

Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:

La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma

.

Ecuación involucrando la distancia focal

Ecuación de una parábola vertical.

Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último.

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en

(``p´´,0) es .

De forma alterna:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es

.

Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.

Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,-p)

es .

Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x, y:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es

,

obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.

Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h,

k+p) es ,

mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y.

Ejercicios.

1. Usando la definición, hallar la ecuación de la parábola que tiene su foco en F(2,0) y su dirección DD es la recta de ecuación x = -2.

Solución:

Trácese la gráfica con los elementos dados.

De acuerdo a la definición, un punto

Pero,

Luego,

Elevando ambos miembros al cuadrado, se tiene:

fig. 6.5.1.

De donde y2 = 8x es la ecuación de la parábola pedida.

2. Dada la parábola que tiene por ecuación

x2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica.

Solución:

la ecuación x2 = -6y tiene la forma de la ecuación (4) del teorema 1. Entonces, 2p = -6, de donde p= -3 < 0.

Como p < 0, la parábola se abre hacia abajo. El foco se encuentra sobre el eje y en el punto F (0, -p/2). La ecuación de la directriz es la

recta ,

es decir,

Fig 6.5.2 3. Dado el punto del plano B(a, b) con a, b > 0. Demostrar que por el punto B pasa

la parábola (1).

Determine el foco y la ecuación de la directriz

Solución:

Como se sigue que el punto B(a, b) satisface la ecuación (1) y por lo tanto B pertenece a la parábola.

Ahora, de acuerdo a la parte ii del teorema 1.

con lo

cual

En consecuencia, el foco se encuentra localizado

en el punto y la ecuación de la directriz

es la recta

fig 6.5.3 4. Dada la ecuación (y�)2 = 4x�, referida al sistema x�-y� en donde el nuevo

origen es el punto (2, 3). Hallar la ecuación de la gráfica en términos de x e y.

Solución: La ecuación (y�)2 = 4x� representa en el sistema x�-y� una parábola con vértice

en O�(2, 3). La parábola se abre hacia la derecha y además 2p = 4, de donde p = 2. Con lo cual

= distancia del vértice al foco.

Fig. 6.5.4. Dado que O� (2, 3) se deduce de las relaciones (1) y (2) de la sección 6.1.2. que:

de donde

Sustituyendo los valores de x� e y� en la ecuación inicial, se obtiene:

Esta última ecuación, representa una parábola cuyo vértice es el punto V (2, 3), abierta hacia la derecha y cuya distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz es 1.

5. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F(4, 2).

Solución:

Como la directriz es la recta de ecuación x = 2, paralela al eje y, se sigue que el eje focal es paralelo al eje x y como el foco es el punto F(4, 2), entonces el eje focal tiene como ecua- ción y = 2.

El vértice V de la parábola está sobre la recta y = 2 y localizado en el punto medio entre la directriz y el foco.

Como QF = p = 2, se sigue que QV = VF = 1, y por lo tanto las coordenadas del vértice son V(3, 2).

fig. 6.5.5. Ahora, la ecuación de la parábola viene dada por:

ó

6. Determine el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz, el eje focal y dibujar la gráfica de la parábola cuya ecuación es:

Solución:

Se debe expresar la ecuación en la forma:

(1)

Así,

(Completación de cuadrados)

(2) (Factorizando)

Comparando (1) y (2) se deduce q ue:

Así que las coordenadas del vértice

son . Como p = 4 > 0 y la variable lineal es y, se deduce entonces que la parábola se abre hacia arriba. El eje focal es la recta paralela al eje y de

ecuación y el foco se encuentra localizado en el punto

,

esto es, fig. 6.5.6.

La directriz es la recta paralela al eje x, de ecuación ; esto

es,

En la figura 6.5.6. aparece la gráfica de la parábola con todos sus elementos.

7. Para la parábola demostrar que el vértice está

en el punto y que corresponde a un máximo o un mínimo de acuerdo al signo de a.

Solución.

La ecuación: , puede escribirse en la

forma: .

Completando un cuadrado perfecto en el primer miembro de la última igualdad, se tiene:

Con lo cual,

Al comparar esta última ecuación, con la igualdad (1) del teorema 2 (sección

6.1.3.), se deduce que el punto son las coordenadas del

vértice de la parábola y además,

Ahora, si a > 0, entonces p > 0 y la parábola se abre hacia arriba. En este caso, el punto V corresponde a un punto mínimo de la parábola.

Si a < 0, entonces p < 0 y la parábola se abre hacia abajo. En este caso, el punto V corres- ponde a un punto máximo de la parábola.

8. (Propiedad óptica (o focal) de la parábola)

Demostrar que la normal a la parábola en un punto Q, hace ángulos iguales con la recta que pasa por Q y F y con la paralela al eje focal trazada por el punto.

Solución.

Considere la parábola y2 = 2px que aparece en la figura 6.5.7., la normal nn y la tangente tt a la curva en el punto Q(x1, y1). Al trazar las rectas que pasan por Q y F y la paralela al eje focal, se forman los ángulos θ y β .

fig. 6.5.7. Se debe probar que θ =β .

La ecuación de la tangente tt a la curva en el punto Q(x1, y1) viene dada

por: .

De aquí se deduce que y por lo tanto .

Ahora, .

Asi que (1).

En el triángulo QFN, se tiene, , de donde .

Luego, .

Pero, .

De esta forma:

(puesto que y12=2Px1)

Es decir, .

Luego, y por tanto θ = β. La propiedad demostrada anteriormente, significa que si se supone un espejo parabólico per- fectamente liso, como el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, todo rayo para- lelo al eje de simetría de la parábola, se refleja pasando por el foco.

Esta propiedad conocida como la propiedad óptica (o focal) de la parábola es utilizada en la construcción de reflectores y de antenas parabólicas.

. .. Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los vértices.

Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución

Elementos de una elipse

Elementos de una elipse.

La elipse posee un «eje mayor», trazo AB, y un «eje menor», trazo CD; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.

Sobre el «eje mayor» existen dos puntos y que se llaman «focos».

El punto puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse».

Puntos de una elipse

Si F y F' son dos puntos del plano y d es una constante mayor que la distancia FF', un punto M pertenecerá a la elipse, si:

donde es el semieje mayor de la elipse.

Excentricidad de una elipse

La excentricidad de una elipse es la razon entre su semidistancia focal y su semieje mayor; se encuentra entre cero y uno.

• e = c/a (0 < e < 1)

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.

Constante de la elipse

Para la elipse de la figura de la izquierda la constante es 10, dado que la longitud

medida desde el foco al punto (ubicado en cualquier lugar del perímetro de la elipse), es la recta color azul, la que sumada a la longitud desde el foco a ese mismo

punto , es la recta color rojo. El resultado de la suma de la longitud de ambas rectas (azul + roja), constituye para la elipse una cantidad constante, la cual siempre será igual a la longitud del «eje mayor», trazo AB de la elipse en estudio.

La recta correspondiente, tanto trazo (recta color azul), como al (recta color rojo), se las llama «radio vector». Los dos «focos» equidistan del centro .

En la animación, el punto viaja por el perímetro de la elipse.Punto al cual convergen ambas rectas (azul y roja).

Ecuación de la elipse

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x', y'), la ecuación es:

En coordenadas polares una elipse viene definida por la ecuación:

La ecuación paramétrica de una elipse es:

con , y donde el ángulo θ se puede interpretar como el ángulo polar.

Recta tangente a una elipse

La recta tangente a una elipse, con centro en (h, k), en el punto M (X1,Y1) tiene como

ecuación:

Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:

Siendo a y b los semiejes.

Longitud de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie

Sin embargo, el matemático Ramanujan entrega una formula más simple que solamente se aproxima al valor real que tiene el perímetro de la elipse, pero con un grado no tan satisfactorio como lo hace la integrales elípticas de segunda especie. Para su formula, Ramanujan, entre otros valores, utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”.

Fórmula para calcular el perímetro de una elipse:

Propiedades notables

La elipse goza de cierta propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y Morley.

La elipse como cónica

La elipse surge de la intercessión de un cono con un plano de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así una que la intersección sea una curva cerrada. En otro caso el corte podría ser una hipérbola o una parábola, es por ello que a todas estas figuras bidimencionales se las llaman secciones cónicas o simplente cónicas.

la elipse como conica

La elipse como hipotrocoide

La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz.

En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.

La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d = 1.

Anamorfosis de un círculo en una elipse

Esta es una circunferencia, en donde el plano cartesiano no se encuentra deformado.

Esta circunferencia por la anamorfosis queda aplastada y se transforma en una elipse, el eje de las Y se ha contraído y el de las X se ha dilatado.

Las propiedades de la elipse como herramienta para la anamorfosis

anamorfosis de un cuadrado en un rectángulo.

La desfiguración de la circunferencia (con su aplastamiento distorsiona el plano cartesiano asociado a ella), se denomina anamorfosis, que corresponde a una perspectiva muy especial. El término anamorfosis se toma del griego que significa "trasformar".

En el caso del círculo, el plano cartesiano está compuesto por varios cuadraditos, en cambio, cuando el círculo se aplasta –transformándolo en una elipse– esos cuadrados se deforman quedando más contraídos por el eje Y, y dilatados simultáneamente por el eje X, según se visualiza en la imagen.

Ejemplo

Utilizando las propiedades que tiene el «semieje mayor» y, a la vez, la relación de afinidad con la Circunferencia principal, o la Excentricidad, o la Contracción de Lorentz, constataremos que para el ejemplo y los valores dados, podemos determinar el

factor asociado al ángulo y, a la vez, el factor del ángulo

, tendremos:

Si el radio "Y" del círculo es de 80 m y éste se contrajo a 20 m, dado que (80 - 60), y el radio "X" de 80 m se dilató en 140 m, dado que (80 + 60), entonces en la elipse su «semieje mayor» será de 100 m, y su «semieje menor» de 60 m, por cuanto los valores

alteradores son 80 y 60, por lo que el

El trazo será de 20 m, y el trazo , será de 80.

• Si dividimos 20/80 = 0,25 igual al factor de contracción del eje de las Y, en donde 80 x 0, 25 = 20 = (80- 60)

• Si dividimos 140/80 = 1,75 igual al factor de dilatación del eje de las X, en donde 80 x 1,75 = 140 = (80 + 60)

Dado que

• Los valores involucrados en este ejemplo son:

La elipse en mecánica celeste

En mecánica celeste, un cuerpo sometido a la atracción gravitatoria de otro y que gira a su alrededor, describe una órbita elíptica ideal. Uno de los focos de la elipse coincide con el cuerpo atractor. La excentricidad de la trayectoria depende de las condiciones iniciales. Esto está descrito en las leyes de Kepler.

Ejercicios 1. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F(3, 0) y F�(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5,

0).

Solución:

Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3

(fig. 6.5.8) se tiene que, y por tanto .

fig. 6.5.8. De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por :

2. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por:

25x2 + 4y2 = 100

Solución:

La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:

x 2 + y 2= 1 (porqué?) 4 25

La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.

De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos

se encuentran localizados en los puntos y .

Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).

La figura 6.5.9. recoge toda la información obtenida.

fig. 6.5.9. 3. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación:

4x2 + y2 �16x + 2y + 13 = 0

Solución:

La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes:

(completación de cuadrado)

(factorización y simplificación)

(dividiendo por 4)

Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes; a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2 (ver fig. 6.5.10.).

Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1).

Como , se tiene que los focos están localizados en los puntos

y .

fig. 6.5.10. 4. Propiedad Óptica de la Elipse

En geometría plana se demuestra el siguiente resultado: Si se tiene un triángulo ABC y un punto D sobre BC (ver figura 6.5.11), entonces:

es Bisectriz del ángulo

. Esta propiedad permite construir la normal y por ende la tangente en un punto cualquiera de la elipse. Al unir el punto P1 de la elipse con F� y con F, puede demostrarse que la bisectriz del ángulo F�P1F es la normal nn a la curva por P1 (fig. 6.5.12.).

fig. 6.5.11.

Esta propiedad se conoce como la propiedad óptica o focal de la elipse y tiene interesantísimas aplicaciones:

fig. 6.5.12.

1) Considérese un rayo de luz que se enfoca desde un foco hacia un punto P1 de la curva. Como nn es bisectriz del ángulo F�P1F, entonces, ángulo de incidencia = ángulo de reflexión y por tanto el rayo se reflejará pasando por el otro foco. Este hecho es utilizado en la construcción de conchas acústicas.

Supongamos que la elipse se hace rotar alrededor del eje x formando una superficie de revolución e imaginemos un salón cuyos techos y paredes son la superficie anterior. Cuando una persona habla desde un foco F, puede ser escuchada en el otro foco a pesar de estar muy lejos del anterior y puede no ser audible en otros puntos intermedios a causa de que las ondas de sonido chocan contra las paredes y son reflejadas en el segundo foco y llegan a él en el mismo tiempo ya que ellas viajan el mismo tiempo.

2) Estudiando una gran cantidad de datos experimentales, Kepler (1571 � 1630) determinó empírica- mente los tres siguientes hechos sobre el movimiento de los planetas conocidos como las leyes de Kepler:

1. La órbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de los focos.

2. El radio vector trazado desde el sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

3. Los cuadrados de los períodos de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la órbita elíptica.

Newton (1642 � 1727) partiendo de estas tres leyes empíricas y utilizando elementos del cálculo diferencial e integral pudo deducir la ley de gravitación universal: "la fuerza que ejerce el sol sobre un planeta es una fuerza de atracción radial e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los dos centros

del sol y del planeta y viene dada por donde m: masa del planeta, M: masa del sol y constante de gravitación universal".

Fijadas la directriz, el foco F y la excentricidad , sabemos que si llamamos p:

distancia foco - directriz, la ecuación de la elipse es (1) donde

y donde como se puede demostrar fácilmente que a > b.

Ahora, cuando , dejando fijos los demás elementos; directriz, foco y p, la elipse se aproxima a una circunferencia y por tanto la órbita es cada vez mas cercana a una circunferencia En efecto:

.

Si y y por tanto, a y b se acercan al mismo valor y la ecuación (1) tiende a ser la ecuación de una circunferencia.

Esto puede verse también en el siguiente cuadro.

p = 1

0.5

0.4

0.2

0.1

0.01

0.002

0.001

0.6666

0.4762

0.2083

0.1010

0.0100

0.002

0.001

0.57735

0.4364

0.2041

0.1005

0.0100

0.002

0.001

Muchos de los planetas incluyendo la tierra tienen órbitas que son aproximadamente circulares:

Mercurio 0.21 Saturno 0.06

Venus

Tierra

Marte

Júpiter

0.01

0.02

0.09

0.05

Urano

Neptuno

Plutón

0.05

0.01

0.25

Uno de los objetos mas importantes del sistema solar es el cometa Halley que tiene

una excetrici- dad de y una órbita de alrededor de 7 U.A. de ancho x 35 U.A. de largo (1 U.A.: 150 millones de kilómetros = semieje mayor de la órbita de la tierra » distancia tierra � sol). El período de revolución de este cometa es de 76 años. Fue observado por el astrónomo Edmund Halley en 1682 el cual predijo que volvería a aparecer en 1758. Asi efectivamente fue pero Halley no pudo ver verificada su predicción ya que murió en 1742. Esta periodicidad de la órbita del Halley fue uno de los sucesos mas convincentes a favor de la teoría de Gravitación de Newton.

Hipérbola Es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a una constante positiva igual a la distancia entre los vértices.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas:

Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

Ecuaciones en coordenadas polares

Dos hipérbolas y sus asíntotas.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

Ecuaciones paramétricas

Imagen de sección cónica.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

Véase también

• Circunferencia • Parábola • Elipse • Sección cónica • Geometría analítica

Ejercicios

1. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F�(-5, 0), V1(4, 0) y V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.

SOLUCIÓN

Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la

forma: .

fig. 6.5.13.

En este caso: a = 4; c = 5, de donde (Ver fig. 6.5.13.) En

consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: .

Ahora,

Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , y,

2. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: . Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.

SOLUCIÓN

La ecuación: , puede escribirse en las formas equivalentes:

La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y (fig. 6.5.14.)

fig. 6.5.14.

En este caso: . Luego, .

Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F�(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).

Además de la ecuación: , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas

son las rectas de ecuación: e . ..

3. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas.

SOLUCIÓN Como la distancia entre los vértices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10, se sigue que c = 5 y por lo tanto b2 = c2 � a2 = 9. Asi que b = 3 (fig. 6.5.15.).

fig. 6.5.15.

Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma:

Las coordenadas de los focos son: y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F�(-3, 3). Igualmente, las coordenadas de los vértices son: y y = 3. Esto es, V1(6, 3) y V2(-2, 3).

Además, de la ecuación: , se deduce

que: ; y

son las ecuaciones de las asíntotas.

4. Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 � x2 + 4x � 6y � 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas.

SOLUCIÓN La ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:

Esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2 (fig. 6.5.16.)

fig. 6.5.16.

Además, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual: .

Las coordenadas de los focos son: x = 2 e . Esto es F(2, 5) y F�(2, -3).

Igualmente, las coordenadas de los vértices son: x = 2 e . Esto es V1(2, 3) y V2(2, -1).

Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , e, .

5 .En el SISTEMA DE NAVEGACIÓN DE LARGO ALCANCE (LORAN, por sus siglas en inglés), una estación principal de radio y una estación secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en el mar (ver fig. 6.5.17.). Aunque un barco recibe siempre las dos señales, por lo regular se halla mas cerca de una de las dos estaciones y, por lo tanto, hay cierta diferencia en las distancias que recorren las dos señales, lo cual se traduce en una pequeña diferencia de tiempo entre las señales registradas. Mientras la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia de las dos distancias también será constante. Si el barco sigue una ruta que mantenga fija la diferencia de tiempo, seguirá la trayectoria de una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones de radio.

fig. 6.5.17.

Asi que para cada diferencia de tiempo se tiene como resultado una trayectoria hiperbólica diferente, cada una llevando al barco a una posición distinta en la costa. Las cartas de navegación muestran las diferentes rutas hiperbólicas correspondientes a diferencias de tiempo distintas.

• Dos estaciones LORAN están separadas 250 millas a lo largo de una costa recta. a) Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00086 seg. entre las señales LORAN. Establezca un sistema de coordenadas rectangulares apropiado para determinar donde el barco alcanzará la costa si continúa sobre la trayectoria de la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo.

b) Si el barco debe entrar a un puerto localizado entre las dos estaciones a 25 millas desde la estación principal, ¿qué diferencia de tiempo debe observar?. c) Si el barco está a 80 millas de la costa cuando se obtiene la diferencia de tiempo deseada, ¿cuál es su ubicación exacta? (Nota: la velocidad de cada señal de radio es de 186.000 millas/seg.).

.. SOLUCIÓN a. Se puede establecer un sistema de coordenadas rectangulares de tal forma que las dos estaciones estén sobre el eje x y el origen de coordenadas en la mitad del camino entre ellas (Ver fig. 6.5.18.).

fig. 6.5.18.

Como la diferencia de tiempo constante de las señales desde cada estación implica una diferencia constante en la distancia del barco a cada una de las estaciones, se deduce entonces que el barco está localizado sobre una hipérbola cuyos focos son las estaciones e radio. Ahora, dif. dist. = Veloc. (dif. de tiempos)= 186.000 x 0.00086 = 160 millas.

Esto indique que 2a = 160 (recordar la definición de la hipérbola) y de aquí a = 80, lo que indica que uno de los vértices de la hipérbola está en el punto V1(80, 0). Ahora, como uno de los focos está en el punto F(125, 0) se deduce entonces que el barco siguiendo la trayectoria hiperbólica alcanzará la costa a 125 � 80 = 45 millas de la estación principal. b. Si el barco desea entrar sobre la costa a 25 millas de la estación principal, esto indica que debe seguir una trayectoria hiperbólica cuyo vértice es el punto V(100, 0). Asi que 2a = 200 (diferencia constante entre las distancias del barco a cada estación).

De esta forma: . c. Para encontrar la ubicación exacta del barco, se necesita determinar la ecuación de la hipérbola cuyo vértice es V(100, 0) y uno de sus focos es F(125, 0). Asi que a = 100, c = 125. Con lo cual, b2 = c2 � a2 = 5625.

De esta forma, la ecuación de la hipérbola viene dada por: Como el barco está a 80 millas sobre la costa, quiere decir que está en el punto (x, 80)

sobre la hipérbola. En consecuencia, , de donde x = 146. Por lo tanto, la ubicación exacta del barco es sobre la hipérbola en el punto P(146, 80).