En este documento se examinan los efectos de incertidumbre en el precio en el óptimo de corte política de las minas. Contamos con una nueva opciones reales para determinar el modelo óptimo de corte grado de mineral en estocástico los precios. Las ideas económicas y las consecuencias de incorporar incertidumbre en la corte de proceso de toma de decisiones se ha demostrado que en oposición a la de los tradicionales de corte determinista teoría. Entre los nuevos descubrimientos es que cuando los precios son estocásticos, de corte óptimos grados son mucho más bajos que los obtenidos mediante modelos deterministas tradicionales que se utilizan actualmente en la práctica. Esto implica que las técnicas tradicionales puede conducir a una mayor despilfarro de recursos que es óptimo. Este efecto es más pronunciado en el caso de mayor volatilidad metales, minas marginales, mayores tasas de descuento más valoración y horizontes de tiempo. Además de las ideas importantes, el nuevo modelo produce las valoraciones, sensibilidades y óptimo de corte las estrategias que se pueden utilizar para mejorar proyecto valoración, operación de la mina, estrategia de cobertura determinación, diseño de mina y las decisiones de gestión de riesgos.

Introducción

Mineral se define como una concentración de un mineral o agregado de minerales de un constituyente valioso como un metal puede ser económicamente extraídos de la ganancia. Debajo de este aparentemente simple definición, está el problema de determinar con exactitud el significado de "económicamente extraído" significa. La optimización de la definición de mineral tiene consecuencias importantes para la valoración, financiamiento, diseño, operación, y las decisiones en materia de gestión de riesgos de las empresas mineras y también tiene implicaciones para la política pública. A fin de comprender las implicaciones de la definición de mineral es importante para comprender los fundamentos del diseño y la operación de una mina. Los ingenieros de minas utilizan el término de grado, para describir la fracción de metal que se encuentra en una masa de roca. La ley de corte es la calificación mínima que se requiere en una determinada masa de roca al que es mineral. Cualquier material que no pasa este criterios mínimos se define como los residuos y, en la mayor parte, irreversible. Por lo tanto, la parte inferior la opción de cortar la menor cantidad de material es un desperdicio, sin embargo, una corte inferior resultados en un menor cantidad media de metal utilizable en la misma cantidad de mineral que se está procesando. Desde un máximo de mineral capacidad de procesamiento es generalmente inferior fijo valores de corte mã¡s lento de metal (desde menos metal se produce en la misma cantidad de mineral procesado). Elevar el corte de tiene un efecto contrario, aumentar la cantidad de los desechos y también aumentar la tasa de producción de metales. La definición económica de mineral requiere que uno debe buscar el equilibrio entre los beneficios de un aumento de los índices de la producción, frente a los costes de desgaste material y un aumento de la tasa de agotamiento de los recursos. Corte de decisiones se ven influidas por el valor actual de los futuros precios de los metales, y (Lane, 1964) es considerado el trabajo seminal de comprender y optimizar el resultado de compensación. La idea importante utilizado en este trabajo es que el aumento de tasas de producción más rápida. Dado el valor del dinero en el tiempo actual de la producción, es más valioso que producción futura, todo lo demás sigue igual. Por lo tanto, de corte tradicional teoría sostiene que algunos desechos se pueden justificar en maximizar el beneficio si cambia más producción en el tiempo. En consecuencia, mayor tasa de descuento ajustada al riesgo más alto de valores de corte y más desechos. Desde la publicación de esta importante obra, corte de determinación de flujo de caja descontado maximización se ha convertido en la

norma de la industria y los círculos académicos. Trabajos posteriores han ampliado este hito inicial trabajos, entre ellos (Lane, 1988; Ataci, 2014; Bascetin y Nieto, 2014; Rendu, 2008; Gholamnejad, 2014) sin embargo, todos han seguido para utilizar el descuento de liquidez al marco. El flujo de caja descontado (FCD) planteamiento se basa en el hecho de que si matemáticas todos flujos de caja son una función lineal de los precios, a continuación, el valor esperado del flujo de efectivo de la función aleatoria es variable de precio justo la función lineal evaluados en el valor esperado de la variable. De ahí que, en el caso lineal, la distribución de precios es irrelevante, sólo los precios futuros (y sus valores actualizados) de la materia. Opciones reales teoría sostiene (entre otras cosas) que flexibilidad de gestión, como la capacidad de ajustar las tasas de producción con los cambios en los precios (cut-off optimización), o suspender temporalmente o abandonar la producción o cualquier otro no-linealidades, cambia la matemática de una manera que invalida el argumento de valor en el que el descuento de flujos de caja se basa. Jensen la desigualdad nos dice que el valor esperado de una función no lineal de una variable aleatoria no es el mismo que el evaluado no lineal en el valor esperado de la variable. Distribución, por lo tanto, el precio no importa en el caso no lineal. El primer documento de incorporar opciones reales teoría de los recursos naturales valoración proyecto Brennan y Schwartz (1985). Otros autores siguiendo este ejemplo ha escrito extensamente sobre el uso de las opciones reales en el sector de la minería incluyendo: Sabour y Poulin (2006), Sami y Poulin (2001)), Trigeorgis y Schwartz (2004), Dessureault et al. (2007), Dogbe et al. (2007), Guj y Garzón (2007), y Shafiee y Topal (2007). Ninguna de estas citas sin embargo consideramos que la cesación de optimización. La mayoría de las opciones reales literatura minera hasta la fecha ha considerado finito modelos de selección. Los ejemplos incluyen opciones en el momento de la apertura de la mina, las opciones si o no para ampliar la mina, o las opciones que abandonar de manera temporal o permanente la mina. Todos estos tipos de opciones sí/no tipo decisiones de todo el horizonte de tiempo. En contraste con estos modelos de selección finita, corte de optimización bajo incertidumbre es un problema de control óptimo en el que el nivel de corte (o niveles en el caso de múltiples procesos) pueden tomar cualquier valor continuo. Por lo tanto, técnicas numéricas , como los menos-plaza Monte-Carlo enfoque que se utiliza con éxito en Sabour y Poulin (2006) y que se basan en la hipótesis alternativa finito puede ser engorroso y posiblemente difíciles ajustes en matemáticas para que el conjunto de decisiones posibles es muy grande. Por lo tanto, métodos numéricos diseñado específicamente para incorporar tanto finito elección y control óptimo . El primer documento para incorporar incertidumbre en el precio de corte de optimización Krautkraemer grado (1988). En este documento, el yacimiento de mineral estaba representado por un cilindro con el grado más alto de su eje, y disminuyendo los grados hacia la circunferencia del cilindro. Esta sencilla geometría y distribución permitió el desarrollo de una solución conveniente desde el punto de vista analítico. Por desgracia, el método no se puede aplicar a la más compleja geometría y distribución de las calificaciones reales en las minas. Mardones (1993), adoptó un enfoque diferente y trató de ampliar la labor en el marco de derechos, sin embargo, en este trabajo la ley de corte no estaba optimizado simultáneamente con la función de valor. En el innovador trabajo de Johnson et al. (2010), tanto estocásticos precio y una descripción más detallada modelo geológico se incorporaron. La mina fue dividido en miles los diferentes bloques, el orden de extracción de las cuales se supone que es secuencial y necesaria para ser conocido a priori. Una ecuación diferencial parcial (PDE) fue derivado para el valor óptimo de la mina de la que la estrategia óptima para el procesamiento de los bloques se determina. Este bloque

inicial de pedidos, el modelo, y luego decidir si en el proceso o los residuos cada bloque dado, en un momento dado, en un sí/no patrón binario. Es un enfoque efectivo si un bloque se encuentra dada a priori sin embargo, es altamente dependiente de este pedido. Si el bloque se cambia el orden de corte diferentes estrategia puede resultar. Otra de las dificultades de este enfoque es que, en la práctica, el contenido mineral exacta de cualquier bloque dado es muy incierto hasta que el bloque ha sido expuesta, y sin este conocimiento exacto de esta información, el bloque viable no se pueden hacer pedidos. Además, varios bloques de mineral y los residuos son rutinariamente procesadas de manera simultánea con el fin de mantener un flujo constante de mineral a la planta de procesamiento. Estos hechos hacen que el fijo, secuencial, a-priori pedidos bloque difícil de emplear en la práctica. Johnson et al. (2010) no permite también temporal de cierre de la mina. En este artículo desarrollamos un modelo dinámico estocástico de ley de corte optimización para uso en la minería valoración y funcionamiento óptimo, que se describen con precisión las realidades ingeniería. El modelo no requiere de un a-priori pedidos bloque pero puede incorporar cualquier posible explotación minera lista.1 sólo aquellas entradas que ya son producidas por la industria de la minería y el software están familiarizados con la minería se necesitan profesionales. El problema de optimización se formula y resuelve como un sistema no lineal de PDE que se pueden resolver con un diseñado especialmente implementación numérica. El PDE resuelve simultáneamente el valor, de corte óptimos estrategia, y la cobertura estadística para cada posible escenario futuro de los precios. Esta información puede utilizarse posteriormente para simular una óptima operación de la mina a través del tiempo con el fin de evaluar y medir los operativos, de mercado y el margen de las empresas mineras. El modelo no se basa en supuestos arbitraje y, como tal, puede ser utilizado con fines especulativos. Sin embargo, cuando se combinan con las modernas precios de los activos financieros y la teoría de los parámetros determinados de los precios de mercado observados derivados, el modelo se puede calibrar fácilmente y produce ambigüedades las valoraciones dinámicas y estrategias de corte. Además, varios de los nuevos conocimientos en la definición económica de mineral son explorados. Entre estas percepciones es la observación de que en la presencia de la incertidumbre en el mercado, las leyes de corte de son muy inferiores a los previstos con el tradicional determinista modelos que son implementadas por las empresas mineras. Este efecto es más pronunciado en el caso de minas marginales y es mayor cuando las tasas de descuento son mayores. Otra idea es que cuando la valoración horizontes de tiempo más largos, valores de corte están considerablemente más bajos. A menudo los gobiernos consideran horizontes temporales más largos que lo que sugiere que las empresas mineras sin corregir las políticas públicas de estos dos intereses de las partes no puede ser alineado correctamente.

Los recientes trabajos relacionados Evatt et al. (2013) se describe un método general para cuantificar el efecto de incertidumbre en el precio de las estimaciones sobre las reservas, a fin de proporcionar las dimensiones de la reserva y espera la distribución asociada. (Evatt et al., 2013) de papel hace uso de un modelo PDE similar al desarrollado en este documento, pero requiere de una estrategia de corte como una entrada. Por lo tanto, el método numérico para el cálculo de las estrategias presentadas en este documento se ofrece una herramienta gratuita para uso con dicho trabajo. En la siguiente sección se describe el modelo de ingeniería, en la sección "Modelación dinámica de precios" que desarrollamos el modelo financiero, en la sección "PDE Derivación" podemos derivar el PDE y describir la solución numérica método y en la sección "Resultados" que ilustran la solución con datos Grum Hol Co

inspirado en el depósito del Faro complejo minero ubicado en el Territorio del Yukón. En la sección "Discusión y explicación de los resultados" nos ofrecen una explicación de los resultados observados y proporcionar una explicación de por qué las políticas de corte que dan cuenta de las incertidumbres en materia de precios están en contradicción con la tradicional teoría de corte.

Modelo de Minería

En esta sección se ofrece una descripción general del componente físico del modelo antes de elaborar la representación matemática. El modelo aspira a igualar estándar práctica ingeniería de minas en la medida de lo posible a fin de lograr el más realista descripción del problema. Mina a cielo abierto diseño es un proceso de múltiples pasos que comprende la determinación de una serie de parámetros técnicos y el diseño de una serie de aspectos de la operación. La entrada inicial en el proceso de diseño es un modelo de recurso. El modelo de recurso es una representación espacial del mineral y el cuerpo como interpretada por los geólogos. Aunque hay un gran número de formatos el modelo de recurso puede adoptar, por mucho, el más común de ellos es una matriz bidimensional de los bloques, que se conoce como un modelo de bloque. UN geólogo de recursos asigna las propiedades de cada uno de los bloques de la matriz, como su metal categoría(s), la densidad y características geológicas de la zona geográfica mediante diversos métodos estadísticos. Basado en el modelo de recursos, planificación de minas ingenieros calcular la capacidad de extracción de minerales del depósito podría apoyar. Los gastos de funcionamiento irregular puede determinarse a partir de estas capacidades. Con esta información y algunos otros parámetros técnicos, los ingenieros de planificación pueden desarrollar el último pozo. El último pozo es la excavación, por lo que ninguna combinación de bloques se resta o se suma a los lineamientos que incrementar el valor (Whittle, 1990). Varios paquetes de software comercial, incluyendo Whittle TM, se han convertido en herramientas estándar del sector para determinar el último pozo basado en todos los parámetros técnicos. Una vez que el último pozo se ha esbozado los ingenieros de diseño comienzan a programar la extracción del material en esta excavación límite. Este largo plazo, vida útil de la mina, la programación se realiza generalmente en una serie de sucesivas etapas más detallada. La primera etapa es el desarrollo de las excavaciones límites intermedios denominados "de espaldas. Una serie de espaldas están anidados en el último hoyo previamente determinado. Push-espalda están diseñados para ayudar a garantizar una alimentación suficiente mineral en todo momento para cumplir con la planta capacidad , así como adelantar flujos de efectivo y demora en la medida de lo posible. El empuje de espalda puede dar lugar a un nuevo fraccionamiento. El resultado del proceso de programación es una secuencia de las excavaciones en el último hoyo que se van a explotar en orden. Cada una de estas etapas las excavaciones se designarán en adelante como una fase. La distribución de categorías dentro de la etapa se puede determinarse consultando el modelo de recurso. Cada una de las fases puede consistir en cientos o incluso miles de los distintos bloques que han sido elegidos para alcanzar una posible explotación minera. El contenido mineral de cada bloque tiene un muy alto grado de incertidumbre antes de la excavación, en el que se combinan muchos de esos bloques en una fase la calificación global de la fase es conocer con un alto grado de precisión. Una vez que las minas a largo plazo de las excavaciones y se han definido, la ley de corte estrategia determinada. Si bien el diseño de mina y etapas, en general, se fijan una vez en funcionamiento, la estrategia de corte se utiliza para planificar producción de la mina es flexible y puede ajustarse en respuesta a las fuerzas del mercado.

Durante la explotación de las minas, corto plazo, la planificación de las extracciones múltiples bloques de forma simultánea, que el material global se extrae lo más cerca posible de los de desechos de mineral, conocido como el margen de, dictada por la ley de corte y la distribución de los materiales accesibles. Esto asegura un flujo constante de mineral a la planta de procesamiento y evita oscilaciones entre utilización por encima y por debajo de las capacidades de procesamiento. Extracción del bloque individual no está programado una vez que la corte de la definición y el grado de cada bloque se conoce con un mayor grado de certeza. De la tasa de desmonte dada por la corte de la definición, la tasa de agotamiento de los recursos depende entonces de que el procesamiento o la minería restricción es vinculante. La limitación es la capacidad máxima de la unidad de procesamiento, mientras que la minería limitación es la cantidad máxima de la roca que se puede excavar en un momento dado. Mineral y de los desechos se extraen a continuación en la proporción de la tasa de desmonte hasta que uno de estos dos limitaciones limitar la velocidad de extracción. Es de esta manera que la distribución y la fase de corte dictar decisión la tasa de producción de metales, el agotamiento de los recursos y todos los costes asociados. Con esta técnica de antecedentes en la mano podemos comenzar la descripción matemática del modelo. En primer lugar, debemos definir las variables clave del problema. Que he de ser el tamaño del depósito restante y n el número total de fases en el diseño de mina. A continuación, deje que j(I) es una función de mapeo 0; Imax R-1; 2; ... ; n N que determina el actual número de fases dado un valor de I en Imax es la cantidad total de material que contiene en el último hoyo. Cualquier volumen de roca en una de las fases se pueden clasificar por su fracción de contenido metálico recuperable. Esta fracción se conoce como recuperable grado de la roca. Deje que el importe recuperable se g grado de una parte determinada de la roca (es decir, si g 0,05 5% de la roca, si se procesa, podría convertirse en metal). Por otra parte, la fase .. distribución: la cantidad total de roca en la fase j(I) con r.

Si Kmine y Kproc es la máxima extracción y tratamiento respectivamente las limitaciones (medido en toneladas por año) y, después, la tasa de agotamiento de recursos o tasa de extracción ExðI; cÞ medido en años es dada por

Para comprender Eq. (4) supongamos que la tasa de desmonte SR era 3. A continuación, tres unidades de residuos se extraen para cada una de las unidades de mineral, por lo que la velocidad máxima a la que se podrían extraer material de la caja antes de meterme en el procesamiento limitación sería 4Kproc. Si este valor es mayor que la minería restricción Kmine Kmine a continuación, determinar la tasa de extracción. La tasa de cambio de I es por lo tanto dada por

En la Fig. 1, Parcela Ex como una función de corte de una sola fase del Faro complejo minero. Podemos ver en este gráfico que cuando ley de corte es cero todos rock es enviado a la transformación y molino la tasa de extracción se encuentra en su más lento. Como la cesación aumenta la tasa de extracción aumenta en forma no lineal, hasta que la máxima tasa de extracción restringe aún más. Además de la tasa de extracción sabemos que el ritmo de producción de metal mientras está en funcionamiento en fase j(I). Producción de metales es simplemente el producto de la velocidad de procesamiento multiplicado por el promedio de recuperación del mineral en la fase, en otras palabras la cantidad QðI; cÞ de metal producido es donde el primero de los dos por encima de fracciones es la cantidad de mineral.

Procesado y el segundo de los dos es el promedio de los grados del mineral que se está procesando. En la Fig. 2, Parcela Q en función de corte de una sola fase del Faro complejo minero. Nota los datos originales consistía de dos metales pero hemos consolidado en un solo metal para mayor facilidad en la exposición. La extensión a la registraría caso se discute más adelante. En este gráfico podemos ver que la tasa de salida inicialmente aumenta con c como mineral de mayor ley provoca tasas de producción en aumento. Las tasas de salida, a continuación, comienzan a disminuir una vez que la tasa de extracción máxima restricción limita la capacidad de mineral a la planta de procesamiento y algunos capacidad de procesamiento inactivo. Por último, si el costo de extracción es Cmine dólares por tonelada y el costo de procesamiento es Cproceso dólares por tonelada y los costes fijos Cfixed a continuación, el cash-flow generado en un intervalo de tiempo dt es medido en años de

Fig. 3 Representa los costos de producción como una función de corte. Este gráfico muestra que los costos de producción aumenta inicialmente con nivel de corte hasta que la tasa de extracción máxima restricción limita la cantidad de mineral a la planta de procesamiento, reduciendo los costos totales. En el caso de un poli-mina metálica la definición de corte debe ser levemente modificado. Desde mineral se convierte en dinero efectivo en el precio de contado que prevalece en el momento de la extracción si tenemos M los metales en el depósito con las categorías g1; g2; ... ; mg respectivamente, cada uno con precio de contado S1; S2; ... ; SM, a continuación, la corte de c se define por la desigualdad ∑M ∑M i 1 i 1Sigi Si Zc y las integrales en las Ecs. (1), (2) y (6) debe modificarse para la adecuada representación integral múltiple. Modelación dinámica de precios La consideración fundamental a ley de corte determinación es el trade-off entre presente y futuro los niveles de precios. Además de las actividades de cobertura dependen de los contratos de futuros. Por lo tanto, un marco natural para tener en cuenta estas dos consideraciones es una curva forward modelo de precios. Deje que Fðt; TÞ es el precio de los metales se espera para la entrega en el tiempo T dado información disponible en el momento actual en que tot y en el que se espera en algunos, como de aún no determinada, probabilidad. En este punto, estamos intencionalmente agnóstico en cuanto a la probabilidad para que el análisis posterior se aplica igualmente a la valoración o fines especulativos. En opciones reales, no el arbitraje neutrales al riesgo probabilidad y medida se utiliza Fðt; TÞ representaría la curva mercado futuros observables (por lo que no es necesario pronóstico de los precios en el marco de no arbitraje). Dado que hemos supuesto que Fðt; TÞ es la expectativa bajo la medida elegida no puede tener un desplazamiento en la misma medida (en caso contrario Fðt; TÞ no sería la expectativa, Fðt TÞ; además de la deriva). Por lo tanto, se emplea un modelo lognormal estándar del formulario dFðt; TÞ Fðt; TÞ σeηðT tÞ dX ð8Þ donde σ y η son constantes y donde dX es el estándar de movimiento Browniano incremento.

En Clewlow y Strickland (Preletra) fue mostrado esto bajo asunciones differentiability convenientes, un precio de contado S consecuente con este modelo es dS S lnF ð 0; tÞ ∂t þη �ð callejón ð F ð 0; tÞÞln ð S ð tÞÞÞþσ2 4 ð 1e2ηt Þ dtþσ dX: ð 9Þ De ahí el modelo en Eq. (8) es el estándar medio volver modelo de lognormal usado en las opciones más verdaderas que extraen literatura, ajustado para asegurar que los precios avanzados correspondan al valor inicial F ð 0; TÞ exactamente. El parámetro del precio del decaimiento exponencial η en Eq. (8) equivale al precio de la reversión medio de Eq. (9). En vez de usando cualquiera de estas formulaciones equivalentes, en este periódico vamos use una tercera forma equivalente, pero uno que da ocasión a mejor propiedades computacionales. Considerando las expectativas iniciales encorvan F ð 0; TÞ sabemos esto en cualquiera tiempo t F ð t; TÞ F ð 0; TÞexp 1 2 σ2e2η ð T tÞ þσ Z t 0 eη ð T sÞ dX ð sÞ ð 10Þ Si dejamos Φ Z t 0 eη ð t sÞ dX ð sÞ ð 11Þ entonces desde el precio de contado S (t) en el tiempo el t siempre simplemente es F ð t; tÞ nosotros también tenga S ð tÞ F ð 0; tÞ exp 1 2 σ2e2η ð T tÞ þσeη ð T tÞ Φ ð 12Þ Por lo tanto más bien que sacar una ecuación diferencial estocástica para S es más fácil usar Φ como la variable arbitraria y usar Eq. (12) a conviértase de acá para allá entre las dos representaciones. Diferenciación la ecuación (11) con respecto a t muestra que esta variable obedezca la ecuación diferencial estocástica dΦ ð tÞηΦ ð tÞ dtþdX ð tÞ ð 13Þ Usando Φ en vez de S conseguimos muchas ventajas. En primer lugar, la ecuación estocástica para ϕ es simple, y tiempo independiente. En segundo lugar, usando este cambio de variables no hay necesidad a mejore una producción de conveniencia dependiente del tiempo o instantáneo la función de volatilidad a fin de asegurar que las futuras expectativas del partido de S aquellos de la inicial pronostican F ð 0; TÞ, porque Eq. (12) mangos estos detalles. Además, en contraste conel precio de contado SDE de Eq. (9), en esta formulación la función F ð 0; el tÞ no tiene que ser differentiable. Ni siquiera tiene que ser continuo. Cualquier pronóstico inicial puede ser aplicado sin afectar la validez del SDEs o el procedimiento de solución numérico. Finalmente, el PDEs ese resultado de la utilización de este cambio de variables ha mejorado propiedades de estabilidad y la matriz de diferenciación que resulta se hace el tiempo independiente, de modo que su construcción computacionalmente cara necesite no sea calibrado de nuevo en cada paso de tiempo. Si cambiamos variables de S a Φ entonces el modelo del flujo de fondos de Eq. (7) debe ser modificado en consecuencia a Cflow ð Φ; yo; cÞ F ð 0; tÞe ð 1=2Þσ2e 2η ð T tÞ þσe η ð T tÞ ΦQ ð I; cÞ CmineEx ð I; cÞCproc Excepto ð I; cÞ 1þSR ð I; cÞ Cfixed dt: ð 14Þ Derivación de PDE Ahora que tenemos representaciones para los procesos dinámicos que gobiernan las variables I y Φ, podemos intentar derivarnos ecuaciones para el valor óptimo V ð Φ; yo; tÞ en un camino análogo al Ecuación negra-Scholes para derivados de la equidad. Si r es el descuento precio, dejar V ð Φ; yo; t; cÞ maxc E Z T t er ð τ tÞ Cflow ð Φ ðτÞ; yo ð τÞ; c ð τÞÞ dτ : ð 15Þ Donde E es la expectativa bajo la probabilidad elegida medida, condicionada en la información disponible en tiempo t. Esta ecuación puede ser vuelta a escribir como V maxc E Z t0 t er ð τ tÞ Cflow ð Φ; yo; cÞ dτ þ Z T t0 er ð τ tÞ Cflow ð Φ; yo; cÞ dτ maxc E Z t0 t er ð τ tÞ Cflow ð Φ; yo; cÞ dτ þer ð t0 tÞ Z T t0 er ð τ t0 Þ Cflow ð Φ; yo; cÞ dτ maxc E Z t0 t er ð τ tÞ Cflow ð Φ; yo; cÞ dτþer ð t0 tÞ V ð Φ0 ; Yo 0 ; t 0 Þ donde Φ0 y yo 0 son los valores (desconocidos) de Φ y yo en el tiempo t 0 4t. Dejando t0 ser un pequeño incremento mayor que t (es decir t0 tþdt) entonces empleando lemma de Ito ampliamos la derecha del encima de ecuación en la serie de Taylor usando (13) y (5) para ceder V maxc ECflow ð Φ; yo; cÞ dtþ ð 1r dtÞV þ ð 1r dtÞ ð Vt ηΦVΦ þ1 2 VΦΦ Excepto ð I; cÞVIÞ dtþ ð 1r dtÞ dX La eliminación de todos los términos que van al cero más rápido que dt y simplificación espectáculos esto 0 maxc E ð Vt ηΦVΦ þ1 2 VΦΦ Excepto ð I;

cÞVI rV þCflow ð Φ; yo; cÞÞÞ dtþVΦ dX: La toma de expectativas y la división a través de por dt dan maxc Vt ηΦVΦ þ1 2 VΦΦ Excepto ð I; cÞVI rV þCflow ð Φ; yo; cÞÞ 0 El en

repitiendo los pasos en la derivación de V encontramos que desde Excepto 0 cuando W autónomo debe obedecer el PDE Peso ηΦVΦ þ1 2 WΦΦ rW Coffline 0 ð 19Þ con W ð Φ; yo; TÞ 0 y ð 20Þ W ð Φ; 0; tÞ 0: ð 21Þ Los valores de W y V son atados el uno al otro debido al la opción de cambiar entre en y fuera de línea declara pagando el honorarios de transición apropiados. Si Φn 1 ð IÞ representa el valor de Φ para que es óptimo para cambiar a un estado autónomo de un en línea declare dado yo, entonces el valor que corresponde a la condición requiere esto V ð Φn 1 ð IÞ; yo; tÞ W ð Φn ð IÞ; yo; tÞCturnoff: ð 22Þ El valor de Φn 1 ð IÞ es determinado de “pegar liso condición”: ∂V ð Φn 1 ð IÞ; yo; tÞ ∂ Φ ∂W ð Φn 1 ð IÞ; yo; tÞ ∂ Φ ð 23Þ De manera similar si Φn 2 ð IÞ representan el valor de Φ para el cual es óptimo para cambiar a un estado en línea de un estado autónomo dado yo, entonces el valor que corresponde a la condición requiere esto W ð Φn 2 ð IÞ; yo; tÞ V ð Φn 2 ð IÞ; yo; tÞCturnon: ð 24Þ El valor de Φn 2 ð IÞ son determinados de “pegar liso condición”: ∂W ð Φn 2 ð IÞ; yo; tÞ ∂ Φ W ð Φn 2 ð IÞ; yo; tÞ ∂ Φ ð 25Þ Eqs. (22) y (23) son el respeto de condiciones de frontera libre inferior a Φ mientras Eqs. (24) y (25) proporciona un límite libre superior condición en W con respecto a Φ. Una condición de frontera final es requerido para cada uno de los PDEs V y W. Ya que el Φ se acerca al infinidad tan también hace el precio de contado de metal y las posibilidades del temporal ciérrese la decisión alguna vez ejercida va al cero, además toda la mena se considera económica y la estrategia de operaciones se hace constante. En tales regiones de precios la función V es por lo tanto lineal en S. Numéricamente es imposible solucionar para valores de Φ en 71 por tanto una condición de frontera de campaña lejana debe ser aplicada en cual la condición de frontera infinita es aplicada en valores finitos de Φ elegido para ser suficientemente lejano que la probabilidad de Φ que alguna vez alcanza estos extremos son insignificantes y como tal la ubicación aproximada de la condición de frontera no tiene impacto a la solución en el región de interés. Método de solución numérico En lo que sigue, una solución de la diferencia finita explícita del PDE es empleado. Sin embargo debido a la naturaleza del sistema de PDEs de interés, aplicación directa de métodos de la diferencia finitos estándares esto comúnmente es usado para solucionar ecuaciones del tipo Negras-Scholes son inestable para la aplicación dada. En cambio una limitación del flujo upwind el esquema debe ser empleado similar a lo que fue usado con éxito en Thompson et al. (2004) para la valoración de la central eléctrica y era perfilado en Thompson et al. (2009) para valoración de almacenaje de gas. Comenzamos por discretizing cada una de las variables independientes Φ y yo en una rejilla. Deje a Vk yo; j y Wk yo; los j equivalen al valor de V y W en la rejilla ith señalan el valor de Φ, el valor del punto de la rejilla jth de mí en paso de tiempo k para las funciones V y W respectivamente. Entonces el primer el paso debería calcular todos los derivados parciales apropiados a cada punto de la rejilla en un momento dado andan. Por ejemplo el parcial el derivado con respecto a Φ en la rejilla interior indica que sería utilización deliberada de la fórmula ∂Vk yo; j ∂ Φ Vk iþ1; j Vk i1; j ð 2δΦÞ ð 26Þ donde δΦ es la distancia entre puntos de la rejilla en el eje Φ. El el segundo derivado parcial con respecto a Φ en la rejilla interior señala i sería calculado usando la fórmula ∂2Vk yo; j ∂ Φ2 Vk iþ1; j 2Vk yo; j þVk i1; j ð δΦÞ 2 ð 27Þ Los derivados en el límite pueden ser determinados simplemente por la aplicación de la condición que los valores son lineales en el precio cuando precios deben predecir muy alto o bajo, los valores de Vk iþ1; j o Vk i1; j fuera de la rejilla vía extrapolación. El derivado parcial con respecto a mí en Eq. (17) es mucho más complicado y no puede ser calculado el mismo camino que el derivados con respecto a Φ. Desde Eq. (17) sólo depende

del primer derivado con respecto a mí, se comporta como un hiperbólico la ecuación en yo dimensiona. Desde el coeficiente delante de VI en Eq. (17) siempre es negativo los flujos de información divisorios en la esfera de solución de más pequeño A la hora de resolver el PDE, utilizamos una recursión hacia atrás. Si K es el último paso de tiempo, a continuación, en el tiempo T condiciones de frontera (18) sabemos VK i;j 0 y WK i;j 0 para todo i y j. Dado el conocimiento Vk i;j y Wk i;j en cualquier k podemos calcular ∂Vk i;j = ∂I con Eq. (28) y de ello se puede encontrar ck i;j, optimizando Eq. (16). A continuación, sustituir estos valores de c junto con la derivada aproximaciones en las Ecs. (26) - (29) en Eq. (17) y resolver los problemas de Vk1 i;j . Mediante la aplicación de las fórmulas equivalentes para W también podemos encontrar Wk1 i;j . Para aplicar las condiciones de borde (22) y (24) en el k1 de paso, comparamos los valores de Vk1 i;j con los de Wk1 i;j para todos i y j y si Vk1 i;j oWk1 i;j Cturnoff después, Vk1 i;j Wk1 i;j Cturnoff Wk1 y si me;j oVk1 i;j Cturnon después, Wk1 i;j Vk1 i;j Cturnon. Para una referencia sobre la utilización de este enfoque para resolver el problema sin límite (suave pegar) de esta forma, consulte Tavella y Randall (2000). Las condiciones de estabilidad que δtrδΦ2 y que δΦr2 =maxjηΦij. Supuestos del modelo, las limitaciones y las extensiones antes de que se proceda a los resultados numéricos del modelo propuesto describiremos brevemente algunos de los supuestos y limitaciones del modelo. Además, las ampliaciones y mejoras que hemos dejado fuera del análisis actual con el fin de evitar sobrecargar el modelo y oscurecer las principales ideas, se discuten. En la fórmula anterior se supone que la elección de ley de corte es continuado en el tiempo en lugar de ser discretos. Sin embargo, esto no implica que las decisiones de corte debe ser cambiado constantemente, como los resultados posteriores. Lo que el tiempo continuo hipótesis implica es que, en caso de que los precios cambian significativamente lo suficiente como para justificar una de corte diferentes políticas, que puede aplicarse una política sin demora. Uno podría también modelo de corte como la que ocurre en las decisiones finitos intervalos de tiempo predefinidos. En un modelo de este tipo si los precios de mercado cambio, la administración estaría impedido de cambiar la política de corte artificialmente hasta el próximo paso de tiempo definido. Gestión Dado que por lo general es libre de tomar esas decisiones cuando lo estimen conveniente, el supuesto tiempo continuo está justificada. Pese a que en la práctica de corte sólo se cambia periódicamente, cuando los precios de mercado determinan el tiempo continuo hipótesis proporciona la flexibilidad necesaria para la distribución de dichos cambios se producen cuando gestión requiere. En esta formulación se considera sólo un único modo de procesamiento. Con frecuencia las minas tendrá más de un método de transformación, como un molino y leach cama por ejemplo. Para incorporar varios tipos de procesamiento en el modelo, cada proceso tendría sus propias características y que requieren su propio nivel de corte. Estos casos se integran con facilidad en el marco anterior. El PDE sería el mismo, salvo que las funciones Ex y Cflow pueden contener más de una variable de corte y la optimización en Eq. (16) sería multi-dimensional y de ahí tomar un poco más de tiempo. Sin embargo, ninguno de los dos cambia, un impacto significativo en la complejidad computacional del modelo como la complejidad computacional de diferencias finitas soluciones para Pde se rige principalmente por el número de variables independientes (Φ y I) que no se ve afectado por el número de modos de procesamiento. Algunas minas tienen también la opción de almacenamiento debajo de corte mineral para proceso en el futuro. Esto puede ser modelada como un tipo de procesamiento independiente que en lugar de recibir el precio de contado, esos metalesrecibir el descuento precio de futuros asociados a la hora prevista de procesamiento. Esa suposición podría ser fácil de implementar sin embargo, algunos de los

verdaderos opcionalidad asociados con la distribución de la opción de almacenamiento se había perdido. Para corregir este error de almacenamiento modelo de almacenamiento de productos, como los que se encuentran en Secomandi (2010), Lai et al. (De próxima aparición), Lai et al. (De próxima aparición), Carmona y Ludkovski (2010), Chen y Forsyth (2007), Thompson et al. (2009) habría que desarrollar y resolver simultáneamente con el corte de optimización. Esa complejidad está más allá del alcance de este documento. Hasta ahora sólo hemos considerado las minas con un solo metal. Extensiones de la polimetálica caso es hacia delante en el modelado, en que la Pde pueden contener más de una variable y asociados Φ derivadas parciales, también los parciales derivados si los metales fueron correlacionados. Diferencias finitas solución basada en este documento podría ser ampliado a un máximo de tres metales antes de la complejidad computacional resulta imposible. Para los casos en los que más de tres productos, RBF-PDE enfoques como los que se encuentran en Thompson (2013) o de la escasa densidad de técnicas como las que se encuentran en Reisinger y Wittum (2007) tendría que ser empleados. Dado que la gran mayoría de las minas tienen tres o menos metales presentes en cantidades económicamente importantes, para la mayoría de las aplicaciones las diferencias finitas fra Fig. 4 Muestra el valor de la mina, en función del precio spot inicial correspondiente a 4 diferentes niveles de volatilidad y horizonte de tiempo. La primera combinación es σ 0; T 5 que corresponde al precio caso determinista, idéntica a la de los modelos de corte, con un horizonte de 5 años. La segunda combinación σ 0; T 10 es otro ejemplo, pero determinista con un largo horizonte de planificación. Tenga en cuenta que estas dos curvas son idénticas. Debido a que el valor del dinero en el tiempo y la superficie curva del futuro, la estrategia óptima es extraer valor ahora (si los precios son rentables). En la medida en que el horizonte de tiempo largo es lo suficientemente largo como para extraer mineral rentables, ampliar el horizonte de tiempo más allá de este punto es irrelevante. La tercera combinación corresponde a σ0.4, T5 y la cuarta combinación de σ0.4, T10. En cada uno de estos casos, nos encontramos que el valor en el modelo estocástico es siempre superior al de los modelos deterministas. Por otra parte, la valoración más alta corresponde a la perspectiva a más largo plazo. La toma de conciencia de que las valoraciones son más altos en el caso estocástico es una conclusión fundamental de las opciones reales todos los modelos. La intuición detrás de este hallazgo como la volatilidad aumenta la probabilidad de muy alta o muy baja los precios. Pero la opción de cerrar temporalmente la producción tapas las pérdidas asociadas con precios bajos. Con el impacto negativo de los precios bajos con tope y el impacto positivo de los altos precios no afectados, el valor esperado aumento. Fig. 5 Muestra el óptimo de corte grado en función de precio de contado de cada uno de los mencionados cuatro casos. En cada caso lo vemos como el precio baja a niveles muy bajos el óptimo de corte estrategia se incrementa de manera espectacular. Con precios muy bajos sólo el grado más alto es considerado mineral económico. En el caso de que la volatilidad cero óptimo de corte monotónico política disminuye con el aumento de los precios hasta un valor de equilibrio constante. Sin embargo no se puede decir lo mismo de los no-cero volatilidad casos. En el precio marginal región donde la asimetría es el mayor podemos ver valores de corte mucho más bajos en el estocástico ejemplos que en el determinista, y este efecto es mayor en los plazos más largos . Además, en el caso de los precios que se encuentran dentro de la región para que la mina, el óptimo de corte curva es relativamente plana en la variable precio. Esto significa que, incluso si se controla de manera continua de corte, el óptimo de corte sólo tendrían que ser ajustado en caso de grandes fluctuaciones de los precios. Esto indica que la constante dinámica de

seguimiento y control que no suelen tener como resultado cambios frecuentes en la corte de definición. El resultado clave parece ser que el corte depende de volatilidad de los precios de mercado. En la Fig. 6 Se mantenga constante el precio de contado de $1520 (el precio marginal) y hemos trazado las valoraciones en función de I para cada uno de los cuatro casos mencionados anteriormente. Cuando I0 la mina se ha agotado por completo y por lo tanto el valor en todos los casos es cero. El valor también es cero para todos los valores del yo en los dos casos determinista porque el precio de $1520 fue elegido para ser al margen. Para los dos casos, la relación estocástica I aumenta a medida que aumenta en la medida en que la base de recursos mayor intrínsecamente contiene mayor valor de la opción. Tenga en cuenta también que las valoraciones son más altos y mayor rapidez en la perspectiva a más largo plazo. Por último, en la Fig. Parcela 7, niveles de corte en función de I para cada uno de los cuatro escenarios considerados. Esta figura muestra dos rasgos notables: en primer lugar, de que niveles de corte (y, por ende, los residuos) es más alta en el caso determinista en comparación con el estocástico, y segundo que el corte es la más baja en la perspectiva a más largo plazo. Discusión y explicación de los resultados obtenidos hasta el momento estos ejemplos apuntan a dos observaciones cruciales para corte teoría en general. La primera observación es que una empresa que utiliza el tradicional de corte determinista y optimización incertidumbre en el precio no sería, en este ejemplo, se han perdido grandes

Cantidad de material valioso, un hecho que tiene repercusiones sociales y ambientales más allá de lo puramente económico impactos. La segunda observación demuestra que en el modelo estocástico, horizonte de tiempo tiene un gran impacto sobre la cesación. Esto implica que una empresa con un estocástico ley de corte modelo finito con una concesión minera tendrá un mayor recorte de los residuos (y, por ende, más material) de un partido con una perspectiva a más largo plazo, como un gobierno que emite concesiones mineras, encontrar la mejor. Otra observación de la Fig. 7 Es que en ambos ejemplos, el estocástico de corte aumenta con los niveles I. En otras palabras, como el recurso se vuelve más abundante los residuos son más altos que cuando el recurso es más escasa (suponiendo el mismo horizonte de tiempo). Estos conocimientos pueden ser explicados si se considera el hecho de que corte las decisiones implican un trade-off entre los precios actuales y los precios en el futuro. Si el valor actual de los precios se espera que disminuyan, a continuación, la estrategia óptima es extraer más rápidamente (mayor cut-off) con el fin de recibir el precio más elevado posible para el metal. En la ausencia de estocasticidad o real opcionalidad, y todo lo demás se mantiene igual, el valor del dinero en el tiempo sugiere que el dinero hoy en día es más valiosa dinero en el futuro, por lo que se preveía que los precios caigan lo que conduce a la alta corte de la decisión. Sin embargo, esto cambia frente a la incertidumbre y opcionalidad. Si se considera que la mina no ciegamente siguen para producir metal. si no es rentable para hacerlo, a continuación, en el cálculo de la "efectiva" se espera para el futuro precio desde el punto de vista de la mina, la porción de la distribución de precios que resulta en suspensión temporal o definitiva de la producción deben taparse en consecuencia, ya que la mina nunca materializar ninguna de estas grandes las pérdidas producidas por bajo precio. Con estos precios bajos por la opcionalidad real, y el aumento de los precios no resultan afectados, o aun más por corte de flexibilidad, el "efectivo" se espera para el futuro precio (de la perspectiva de la mina) aumenta. Además, cuanto más volátil es la distribución de precios cuanto mayor sea este "efectiva" se espera para el futuro precio . De esta manera la volatilidad y la incertidumbre en la dirección contraria como la tasa de descuento, con la antigua subida del valor actual de la "efectiva" se espera para el futuro precio (de la

perspectiva de la mina) y la segunda bajada. La medida en que la incertidumbre no-linealidades y contrarrestar el valor temporal del dinero de efecto determina la óptima el tradicional corte de la hipótesis y, por consiguiente, cómo mucho el exceso de desechos está siendo producida por las minas que tradicional, de corte determinista estrategias. En momentos de volatilidad y el flujo de efectivo no-linealidades son un aspecto importante, la determinación de la definición de mineral está íntimamente ligada con el óptimo de producción y estrategia de operaciones de la mina. Por lo tanto, eficaz, modelos prácticos y técnicas numéricas que pueden incorporar tanto de corte real y optimización de opcionalidad, como los que se presentan aquí se vuelven indispensables. Conclusiones Los ejemplos que se muestran en este documento sugieren dos nuevas pistas sobre la definición económica de mineral. La primera es que, en la presencia de incertidumbre en el mercado, las leyes de corte de son inferiores a los previstos con modelos deterministas tradicionales. Esto implica que el punto de vista tradicional puede ser que conduce a una mayor despilfarro de recursos que es óptimo. La segunda idea importante es que cuando la valoración horizontes de tiempo más largos, valores de corte son menores. Desde que los gobiernos suelen considerar horizontes temporales más largos que las empresas mineras finitos de tierra con contratos de arrendamiento, el valor extrínseco de mineral será superior a un gobierno que a una empresa minera si ambos son estocásticos utilizando un marco. Por consiguiente, los gobiernos tienen un interés en fomentar el uso de estocásticos modelos de corte en el sector de la minería de recursos para reducir los residuos y aumentar las valoraciones. También deben tener cuidado en el establecimiento extracción de minerales acuerdos con el fin de asegurar que sus intereses y los de sus socios privados alinear tanto como sea posible. La idea de que tiene una importante incertidumbre y profundos efectos en lo que respecta a la cesación definición del grado, que es uno de los más fundamentales las decisiones operativas en el sector de la minería, lo que motiva la necesidad de llevar a cabo más investigación sobre modelos de minería que cuenta para el corte en la cara las estrategias de incertidumbre en el precio.