Pantallas Con Aberturas - Hernan Cainzo

METODO ITERATIVO PARA EL METODO ITERATIVO PARA EL METODO ITERATIVO PARA EL METODO ITERATIVO PARA EL CALCULOCALCULOCALCULOCALCULO

DE DE DE DE PANTALLAS CON ABERTURASPANTALLAS CON ABERTURASPANTALLAS CON ABERTURASPANTALLAS CON ABERTURAS

Ing. HERNAN CAINZO

MAITY PUBLISHING Co. New York - USA

A mi esposa Susana

Cálculo de Pantallas con Aberturas Ing. Hernán Cainzo

2

INDICE I.- PROLOGO 3 II.- PANTALLA SIMETRICA 4 a.- Hipótesis de Cálculo 4 b.- Determinación de las Rotaciones 6 III.- ESTUDIO DE LA FLEXION CONJUNTA 12 IV.- PANTALLA ASIMETRICA 16 V.- PANTALLA CON MULTIPLE HILERAS 19 VI.- SOBRE LOS COEFICIENTES Um,n 22 VII.- SINTESIS DEL PROCESO DE CALCULO 24 VIII.- EJEMPLO RESUELTO (Pantalla Simétrica) 30 IX.- PANTALLA CON DIFERENTE ALTURA EN PLANTA BAJA 38 a.- Pantalla Simétrica 38 b.- Pantalla Asimétrica 42 c.- Pantalla con Múltiple Hileras 44 X.- PANTALLA CON DIFERENTE ALTURA EN TODOS LOS PISOS 46 a.- Pantalla Simétrica 47 b.- Pantalla Asimétrica 51 c.- Pantalla con Múltiple Hileras 53


3

METODO ITERATIVO PARA EL CALCULO DE PANTALLAS

I.- PROLOGO

Hablar de la importancia que el cálculo de pantallas (Shear Walls) ha adquirido desde que se generalizó la utilización de edificios medianos y rascacielos, es hoy redundante, cuando en base a la experiencia acumulada, se comienza a alentar su utilización para rigidizar y equilibrar las acciones horizontales en este tipo de edificios (*1.

Para la determinación de los esfuerzos internos en las Pantallas con Aberturas (Shear Walls with Openings) se han desarrollado numerosas metodologías, desde la asimilación al Medio Continuo de ALBIGUES-GOULET (*2) en el estado elástico, o GLUCK (*3) en el estado plástico, pasando por la analogía al Pórtico Equivalente (*4) (*5), la interesante metodología de FUENTES (*6), desafortunada por su metodología algebraica laboriosa, hasta la aplicación de Elementos Finitos (*7).

Por otra parte, cuando aquel capítulo iniciado por HARDY CROSS (*8) en la década del '30 tan magistralmente completada por G. KANI (*9) y F. TAKABEYA (*10) entre otros, mas conocido como la Hiperestática Iterativa, pareciera cerrado por el advenimiento de los Métodos Matriciales, se desarrolla aquí una solución iterativa para esta importante estructura, en el convencimiento de que la Hiperestática Iterativa aún tiene mucho que brindar en el marco de la Ingeniería Estructural.

Ing. HERNAN E. CAINZO New York - Enero 1992


4

II.- PANTALLA SIMETRICA II.a.- HIPOTESIS DE CALCULO

El presente Método constituye un método general, que puede ser aplicado a cualquier tamaño de abertura, siempre y cuando la pantalla sea plana y los dinteles horizontales.

Consideremos a la pantalla de la figura 1 como formada por dos semipantallas unidas entre si por una serie de vigas de acoplamiento (dinteles).

Figura 1: Pantalla con simple hilera de Aberturas

Las hipótesis a establecer son las siguientes:

1. Los baricentros de las secciones A-A1 y B-B1 situados sobre un mismo plano antes de la deformación, se mantienen sobre el mismo plano después de la deformación.

2. Toda sección, perpendicular al eje baricentrico de las semipantallas antes de la deformación, siguen siendo perpendiculares al eje baricentrico después de la deformación.

3. Las secciones planas antes de la deformación, siguen siendo planas después de la deformación.

A

F

FA1

1B B

y'

y

h

l

a

l

h


5

4. Las vigas de acoplamiento (dinteles) se encuentran perfectamente empotradas en las semipantallas.

5. Todos los puntos de la pantalla se encuentran solicitados en régimen elástico.

6. La inercia de las vigas de acoplamiento no cambia en toda la altura y las alturas de piso se mantienen constantes.

Bajo estos considerandos, esquematizados en la figura 1, podemos decir que:

Donde:

Ed = Modulo de Elasticidad del dintel i = Momento de Inercia del dintel a = Luz del dintel

de aquí podemos deducir, que el momento flector sobre el baricentro de la pantalla será:

por otra parte, si los desplazamientos y las deformaciones son pequeñas, entonces los ángulos se confunden con las tangentes, por lo tanto:

ha

.iE6=M 2

dA1 ∆ 1

ha

.iE12.=

a

M+M=F

3

dB1A1 ∆ 2

l)+.(a2

F=M A 3

hl).+.(aa

.iE6.=M 3

dA ∆ 4

l+a

h=y

∆′ 5


6

reemplazando [6] en [4] se tiene:

de donde, si hacemos:

se tiene que:

la ecuación [9] es absolutamente general, y si logramos determinar los valores de las rotaciones angulares y'i habremos encontrado la magnitud de los momentos de acoplamiento de los dinteles

II.b.- DETERMINACION DE LAS ROTACIONES ANGULARES

Para determinar la magnitud de las rotaciones angulares, apelaremos al Teorema de MOHR, según se muestra en la figura 2. En ella se han separado las solicitaciones de flexión libre de una semipantalla, de la acción de los momentos de acoplamiento.

Así, podemos calcular la rotación angular en el punto 1 como:

donde:

y'1 = Rotación angular en el punto 1 U = Area del diagrama de momentos (flexión

libre) de una de las semipantallas

yl).+(a=h ′∆ 6

y.)l+.(aa

.iE6.=M A

2

3

dA ′ 7

)l+.(aa

.iE6.=K

2

3

d 8

yK.=M AA ′ 9

E.I

.hM-

E.I

U+y=y

11,2

21′′ 10


7

M = Momento de acoplamiento en el punto 1 h = Altura del piso E = Modulo de Elasticidad de la semipantalla I = Momento de Inercia de la semipantalla

Figura 2: Diagramas

reemplazando la expresión [9] en la [10], se tiene:

si aplicamos este procedimiento al piso 3 se tiene:

y en general:

La ecuación [13] representa la ecuación general para la determinación de las rotaciones angulares, y ella vincula genéricamente la rotación de un piso

y.E.I

K.h-

E.I

U+y=y 1

1,2

21′′′ 11

)y+y+y.(E.I

K.h-

E.I

U+y=y

321

3,4

43′′′′′ 12

)y........++y+y+y(E.I

K.h-

E.I

U+y=y

i321

1+ii,

1+ii′′′′′′ 13

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

M

M

M

M

M

M

M


8

general con la del piso inferior, y todas las rotaciones de los pisos superiores. Dicha ecuación, al ser aplicada a una pantalla de "n" pisos, generará un sistema de "n" ecuaciones (una por cada piso) con "n+1" incógnitas; pero si agregamos a este sistema la condición de empotramiento de la semipantalla en la base, entonces la ecuación

constituirá la "n+1" ecuación y el sistema se transformara de "n+1" ecuaciones con "n+1" incógnitas, es decir, compatible y determinado.

Establezcamos, ahora, este sistema de ecuaciones para la pantalla genérica que se muestra en la figura 3

En dicha figura se a invertido el orden de numeración de los pisos, comenzando de abajo hacia arriba como normalmente se numeran los pisos en los edificios. llamando:

0=y1+n

′ 14

0=y

)y+y..+..........+y+y(E.I

K.h-

E.I

U+y=y

)y+y..+..........+y+y(E.I

K.h-

E.I

U+y=y

.

.

.

.

)y+y+y(E.I

K.h-

E.I

U+y=y

)y+y(E.I

K.h-

E.I

U+y=y

y.E.I

K.h-

E.I

U+y=y

0

n1-n21

1,0

01

n1-n32

2,1

12

n1-n2-n

3-n2,-n

3-n2-n

n1-n

2-n1,-n

2-n1-n

n

1-nn,

1-nn

′

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′

′′′′

′′′

15

E.I

1=

E.I

K.h=

ξ

δ 16


9

Figura 3

y acomodando al sistema [15] se tiene:

realicemos, ahora, la siguiente transformación lineal al sistema [17]: multipliquemos por (-1) cada línea y sumémosla a la inferior. Con esto el sistema [17] se transforma en:

U.=y).+(1+y.+y......++y+y+y+y

U.=y-y).+(1+y......++y+2-ny+y+y

.

.

.

.

.

U.=y0.+y0.+y0......++y-y)+(1+y.+y

U.=y0.+y0.+y0......++y0.+y-y)+(1+y

U.=y0.+y0.+y0......++y0.+y0.+y-y)+(1

1,01233-n2-n1-nn

2,11233-n1-nn

3-n2,-n1233-n2-n1-nn

2-n1,-n1233-n2-n1-nn

1-nn,1233-n2-n1-nn

ξδδδδδδδ

ξδδδδδδ

ξδδδ

ξδδ

ξδ

′′′′′′′

′′′′′′′

′′′′′′′

′′′′′′′

′′′′′′′

17

n n

i i

1 1

1

2 2

3 3

y´


10

o de manera más compacta puede ser expresado como:

y haciendo los siguientes cambios de variables

Donde:

n = número total de pisos i = piso genérico

)U-U.(=y)+(2+y-.....+y0.+y0.+y0.+y0.

)U-U.(=y-y)+(2.....++y0.+y0.+y0.+y0.

.

.

.

.

.

)U-U.(=y0.+y0......++y-y)+(2+y-y0.

)U-U.(=y0.+y0......++y0.+y-y)+(2+y(-1)

)U.(=y0.+y0......++y0.+y0.+y-y)+(1

2,11,0123-n2-n1-nn

3,22,1123-n2-n1-nn

2-n1,-n3-n2,-n123-n2-n1-nn

1-nn,2-n1,-n123-n2-n1-nn

1-nn,123-n2-n1-nn

ξδ

ξδ

ξδ

ξδ

ξδ

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′′

18

y+)U-U.(=y).+(2

y+y+)U-U.(=y).+(2

.

.

.

.

.

y+y+U-U.(=y).+(2

y+y+)U-U.(=y).+(2

y+)U.(=y).+(1

22,11,01

133,22,12

3-n1-n2-n1,-n3-n2,-n2-n

2-nn1-nn,2-n1,-n1-n

1-n1-nn,n

′′

′′′

′′′

′′′

′′

ξδ

ξδ

ξδ

ξδ

ξδ

19

δ

ξδ

ξδ

µ

δµ

+2).U-U(=

+1.U=

+2

1=

+1

1=

i1,+i1-ii,i

1-nn,n

n

Υ

Υ

20


11

el sistema [19] se reduce a:

La expresión [21] constituye el núcleo del método. En ella se enlazan las rotaciones angulares de un piso genérico "i" con las rotaciones angulares de los pisos inmediatos superior e inferior (i+1 ; i-1). Los valores Yi representan las rotaciones angulares básicas de cada piso, y en esencia involucran la acción de la carga externa sobre la pantalla.

El proceso de calculo comienza considerando nulos los valores de y'i=0 con lo cual se encontrará el primer valor para los y'i , es decir:

paso seguido, se procede a la segunda iteración, tomando como valor y'= y'(0), con lo cuál obtenemos la segunda aproximación, por lo tanto:

y.+=y

)y+y.(+=y

.

.

.

.

.

)y+y.(+=y

)y+y.(+=y

y.+=y

211

1322

3-n1-n2-n2-n

2-nn1-n1-n

1-nnnn

′Υ′

′′Υ′

′′Υ′

′′Υ′

′Υ′

µ

µ

µ

µ

µ

21

Υ′

Υ′

Υ′

Υ′

Υ′

Υ′

10

1

20

2

3-n0

3-n

2-n0

2-n

1-n0

1-n

n0

n

=y

=y

.

.

.

.

.

=y

=y

=y

=y

22


12

y así se repite sucesivamente el proceso, tomando y'(0) = y'(1) para calcular la tercera aproximación y'(2), hasta lograr el grado de aproximación prefijado. Una vez concluido el proceso de iteración, la simple aplicación de la ecuación [9], nos permitirá calcular la magnitud de los momentos de acoplamiento de los dinteles; y con ellos componer el diagrama final de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales del conjunto estudiado.

III.- ESTUDIO DE LA FLEXION CONJUNTA

Antes de seguir adelante con el desarrollo de los casos mas generales, es preciso fijar algunos conceptos que se deducen de la Teoría de la Flexión Conjunta de Vigas. En los edificios en altura, los pisos se materializan a través de los forjados, a los cuales consideramos de rigidez infinita, es decir, indeformables en su plano. Esta condición provoca que al desplazarse horizontalmente los mismos, producto de una estimulación horizontal tal como sismo o viento (sin acusar acortamientos ni elongaciones), cada semipantalla registre igual deformación lineal o desplazamiento, como puede observarse en la figura 4.

)y.(+=y

)y=y.(+=y

.

.

.

.

.

)y+y.(+=y

)y+y.(+=y

)y+y.(+=y

y.+=y

0

211

1

0

1

0

321

2

0

4-n

0

2-n3-n1

3-n

0

3-n

0

1-n2-n1

2-n

0

2-n

0

n1-n1

1-n

0

1-nnn1

n

µ

µ

µ

µ

µ

µ

Υ

Υ

Υ

Υ

Υ

Υ

23


13

Figura 4: Flexión Conjunta

vale decir que, la igualdad de deformaciones lineales o desplazamientos horizontales de cada semipantalla a igual cota, es un hecho asegurado por la sola presencia de los forjados; independientemente de la rigidez relativa de los dinteles.

Figura 5

P


14

Ahora bien, este hecho nos permite estudiar la flexión general del conjunto a la luz de la Teoría General de la Flexión Conjunta de Vigas.

Como se muestra en la figura 5, para equilibrar la fuerza P, cada viga tomará una porción de esta, de manera que:

por otra parte la deformación elástica del conjunto estará gobernada por el sistema:

quien integrado dos veces nos da:

pero la flexión conjunta exige que y1 = y2, por lo tanto igualando las expresiones [27] se tiene:

de donde:

ΡΡΡ 21+= 24

.x-=dx

yd)I(E.

.x-=dx

yd)I(E.

22

2

2

2

12

1

2

1

Ρ

Ρ

25

2

l.=

2

x.-=

dx

dy).IE.(

2

l.+

2

x.-=

dx

dy).I(E.

2

2

2

22

2

2

1

2

11

1

ΡΡ

ΡΡ 26

3

l.-

2

.xl.+

6

x.-=y).IE.(

3

l.-

2

.xl.+

6

x.-=y).IE.(

3

2

2

2

3

222

3

1

2

1

3

111

ΡΡΡ

ΡΡΡ 27

)l2-xl3+x.(-I6.E.

=)l2-xL3+x.(-I6.E.

323

2

2323

1

1 ΡΡ 28

I+I=

I+I

+=

I=

I 2121

21

2

2

1

1 ΡΡΡΡΡ 29


15

por lo tanto:

quién nos expresa la ley de repartición de la carga externa entre las semipantallas. Ahora bien, si reemplazamos esta ley de repartición [30] en la expresión de la rotación angular [26], encontramos que:

es decir, las rotaciones angulares son idénticas a igual cota, lo cual era de esperar ya que las elásticas están condicionadas a ser iguales; y dicha rotación angular puede ser expresada de tres maneras diferentes:

por lo tanto, si cambiamos la expresión de las constantes por las siguientes:

entonces podemos trabajar al sistema [21] como si se tratara de una pantalla ciega (sin considerar la abertura). Lógicamente que en este caso para la determinación de los valores Um,n deberá tomarse el área de momentos flectores causado por TODA la carga externa, sin necesidad de realizar la repartición de estas entre las semipantallas.

Existe una conclusión importante adicional: si independientemente de la inercia de cada semipantalla (lo cual significa disposición simétrica de

ΡΡ

ΡΡ

.)I+I(

I=

.)I+I(

I=

21

22

21

11

30

y=y21′′ 31

2

l.+

2

x.-=

dx

dy).I+IE.(

2

l.+

2

x.-=

dx

dy.IE.

2

l.+

2

x.-=

dx

dy.IE.

22

21

2

2

2

22

2

1

2

11

ΡΡ

ΡΡ

ΡΡ

32

)I+IE.(

1=

)I+IE.(

K).h+(K=

21

21

ξ

δ

33


16

la hilera de aberturas), las rotaciones angulares son idénticas a igual altura, entonces como puede observarse en la figura 6, el punto de inflexión seguirá estando ubicado en el centro de la viga de acoplamiento (aún cuando el dintel no sea horizontal!). Esta conclusión tiene una importancia vital en la generalización del método para pantallas asimétricas, o con múltiple hileras de aberturas, ya que el mismo sostiene la validez y vigencia de las expresiones [1],[2],........,[9] para este tipo de pantallas; y como en las expresiones [10],[11],[12], ........,[21] la geometría de la disposición de la hilera de aberturas no interviene para nada, entonces el método sigue siendo válido, siempre y cuando la pantalla sea Plana.

Figura 6: Elástica del un Dintel

IV.- PANTALLA ASIMETRICA

Como vimos en el punto anterior, cuando

la pantalla es asimétrica, la condición de igual rotación angular a igual cota, impone que el punto de inflexión del dintel siga estando en el centro de su luz aunque ya no sobre la recta que une los baricentros A y B de las semipantallas como puede observarse en la figura 7.

De dicha figura 7 podemos deducir que el esfuerzo cortante en el dintel será:

h.a

.iE12.=F

3

d ∆ 34

l/2l/2

A B


17

por lo tanto, como se desprende de la figura 8, los momentos flectores sobre los ejes baricentricos de las semipantallas serán:

Figura 7: Pantalla Asimétrica

con:

por otro lado de la figura 7 podemos deducir que:

)l+.(a2

F=

)l+.(a2

F=

2B

1A

Μ

Μ 35

h.a

.iE6.=1=1

2

dBA ∆ΜΜ 36

)2

l(+a+)

2

l(

h=y

21

∆′ 37

a

h

F

F

l

l

y'

2

1

AB

y'

Eje

Bar

icen

tric

o


18

Figura 8

por lo tanto

reemplazando las expresiones (38) y (34), en la expresión (35), se obtiene:

que pueden expresarse como:

donde:

Ahora bien, si planteamos a esta pantalla

y.2

)l+2a+l(=h 21 ′∆ 38

y).l+2a+l)(l+(aa

.iE3.=

y).l+2a+l)(l+(aa

.iE3.=

2123

dB

2113

dA

′Μ

′Μ

39

y.K=

y.K=

2B

1A

′Μ

′Μ 40

)l+2a+l)(l+(aa

.iE3.=K

)l+2a+l)(l+(aa

.iE3.=K

2123

d2

2113

d1

41

l a l

M F

FM

M

M

A

A1

B1

B

1 2


19

el sistema de ecuaciones (15), luego de idénticas transformaciones lineales, obtendremos el mismo sistema de

ecuaciones (21), con la diferencia que los coeficientes δδδδ y ξξξξ serán ahora:

y de igual forma, para la determinación de los valores Um,n habrá que tratar a la pantalla como ciega, es decir, sin tener que hacer previas reparticiones de las fuerzas exteriores.

Con esto conseguimos solucionar a la Pantalla Asimétrica conservando la metodología de procedimiento general, el cuál, una vez calculadas las rotaciones angulares y'i , con la ayuda de la expresión (40) nos dará el valor de los momentos flectores, para construir el diagrama general de esfuerzos internos en la Pantalla.

V.- PANTALLA CON MULTIPLE HILERAS DE ABERTURAS

)I+IE.(

1=

)I+IE.(

).hK+K(=

21

21

21

ξ

δ

42


20

Figura 9: Pantalla con Múltiple Hileras de Aberturas

Analicemos la pantalla con triple hilera

de aberturas mostrada en la figura 9. Luego de la deformación, se manifestara en cada dintel, un esfuerzo cortante que como vimos se puede calcular como:

con ellos podemos calcular los momentos de acoplamiento desarrollados sobre los ejes baricentricos de cada una de las semipantallas como:

h.)a(

.iE12.=F

h.)a(

.iE12.=F

h.)a(

.iE12.=F

3

3

3

d3

2

2

3

d2

1

1

3

d1

∆

∆

∆

43

A B C D


21

de igual manera de la figura numero 9, podemos establecer el valor de los desplazamientos verticales:

reemplazando las ecuaciones [43] y [45] en la ecuación [44], obtenemos la expresión de los momentos de acoplamiento como:

que pueden expresarse:

)l+a.(2

F=

)l+a.(2

F+)l+a.(

2

F=

)l+a.(2

F+)l+a.(

2

F=

)l+a.(2

F=

433

4

333

322

3

222

211

2

111

1

Μ

Μ

Μ

Μ

44

y.2

)l+a2+l(=h

y.2

)l+a2+l(=h

y.2

)l+a2+l(=h

4333

3222

2111

′∆

′∆

′∆

45

y).l+a2+l).(l+a.(a

.iE3.=

y)l+a2+l)(l+a(a

.iE3.+y)l+a2+l)(l+a(

a

.iE3.=

y)l+a2+l)(l+a(a

i,E3.+y)l+a2+l)(l+a(

a

.iE3.=

y).l+a3+l).(l+a.(a

.iE3.=

43343

3

3

d4

43333

3

3

d32232

2

3

d3

32222

2

3

d21121

1

3

d2

21111

1

3

d1

′Μ

′′Μ

′′Μ

′Μ

46

y.K=

y).K+K(=

y).K+K(=

y.K=

44

3d3i3

2d2i2

11

′Μ

′Μ

′Μ

′Μ

47


22

donde:

de igual manera, si ahora planteamos el sistema de ecuaciones [15], luego de idénticas transformaciones lineales, obtendremos el mismo sistema de ecuaciones

[21], con la diferencia que los coeficientes δδδδ y ξξξξ ahora tendrán la siguiente expresión:

como siempre para, la determinación de los valores Un,m habrá que tratar a la pantalla como ciega, es decir, sin hacer previas reparticiones de las fuerzas exteriores.

En las expresiones anteriores, n representa el número total de semipantallas. Además obsérvese que las semipantallas externas (izquierda y derecha) poseen una sola constante K.

Nuevamente hemos conseguido solucionar, ahora la Pantalla con Múltiple Hileras de Aberturas, pero conservando la metodología general del procedimiento descripto, el que una vez calculadas las rotaciones angulares y'i, con la ayuda de la expresión [47], nos dará el valor de los momentos de acoplamiento para construir los diagramas de esfuerzos internos de la Pantalla.

)l+a2+l).(l+a.(a

.iE3.=K

)l+a2+l).(l+a.(a

.iE3.=K

)l+a2+l).(l+a.(a

.iE3.=K

)l+a2+l).(l+a.(a

.iE3.=K

)l+a2+l).(l+a.(a

.iE3.=K

)l+a2+l).(l+a.(a

.iE3.=K

43343

3

3

d4

43333

3

3

d3d

32232

2

3

d3i

32222

2

3

d2d

21121

1

3

d2i

21111

1

3

d1

48

IE.

)K+K(h.

=

r

n=r

=1r

rdri

n=r

=1r

∑

∑δ 49

IE.

1=

r

n=r

=1r

∑ξ 50


23

VI.- SOBRE LOS COEFICIENTES Um,n

Los coeficientes Um,n recogen la influencia de la carga externa sobre la pantalla. En rigor representan el área del diagrama de momentos flectores que la carga externa desarrolla sobre la pantalla, considerada ésta como ciega, entre los pisos "m" y "n"; así podemos decir:

la integral [51] nos da el valor exacto del coeficiente Um,n aunque su evaluación no siempre sea enteramente necesaria.

Los casos de cargas mas comunes que en la práctica se presentan como lo son fuerzas concentradas, cargas uniformemente distribuidas y linealmente variables, no requieren dicha evaluación.

Figura 10: Diagrama para Fuerzas Horizontales Concentradas

Cuando la pantalla esta cargada con fuerzas horizontales concentradas, entonces el diagrama de momentos flectores entre dos pisos genéricos "m" y "n", será trapecial, como se muestra en la figura 10, en consecuencia, el valor de Um,n vendrá dado por la expresión:

(x)dx=U

n

m

nm, Μ∫ 51

)+.(2

h=U nmnm, ΜΜ 52

M

M


24

para los restantes casos de cargas, (salvo una particular preferencia por la expresión [51], se puede determinar el valor de Um,n a través del método de SIMPSON, para el cálculo de integrales definidas.

Figura 11: Caso General de Carga

recordemos que este método nos permite la evaluación de la integral [51] de manera aproximada a partir de las ordenadas de la función, para intervalos regulares. Así podemos decir que:

cabe destacar que para cargas uniformemente distribuidas, la expresión [53] será exacta, y en los casos de cargas linealmente variables lo suficientemente aceptable, ya que se puede demostrar que el error en la regla de SIMPSON, es proporcional a la derivada cuarta de la función integrante (*11). De todas maneras si se desea aumentar la precisión, pueden tomarse los valores intermedios entre Mn,m ; Mn y Mm , es decir para intervalos h/4.

VII.- SINTESIS DEL PROCESO DE CALCULO

Es preciso hacer dos consideraciones.

)+4.+.(3

h=(x)dx=U nnm,m

n

m

nm, ΜΜΜΜ∫ 53

M M=F(z)

M


25

Primero que el método trabaja con dos tipos de constantes,

δδδδ que es adimensional y ξξξξ que es dimensionada; lo cual obliga a trabajar desde un comienzo en un mismo sistema de unidades de lo contrario se obtendrán resultados erróneos. En segundo término, debemos hablar sobre la convergencia. En este sentido podemos considerar como suficiente cuando una iteración corrige por debajo del 10% del valor de la rotación angular básica menor (del valor inicial de esta), a la rotación angular básica anterior. Por esta razón, y para simplificar el proceso iterativo, se trabajará con las rotaciones básicas reducidas. Las rotaciones básicas reducidas se obtienen dividiendo el valor de las rotaciones angulares básicas en el valor de la menor rotación angular básica del conjunto, así:

donde: Yi,j = menor valor del conjunto de rotaciones angulares básicas. SINTESIS DEL PROCESO DE CALCULO

1. Se define completamente la pantalla colocando todos sus parámetros en un mismo sistema de unidades.

2. Se traza el diagrama de momentos flectores

producido por las cargas externas en el mismo sistema de unidades.

3. Se calculan las constantes y coeficientes de

calculo, teniendo en cuenta el tipo de pantalla:

Pantalla simétrica:

Υ

ΥΥ′

ji,

mn,mn, = 54

)l+.(aa

.iE6.=K

2

3

d 55


26

Pantalla Asimétrica:

Múltiple Hileras

)I+IE.(

1=

)I+IE.(

2.k.h=

21

21

ξ

δ

56

)l+2a+l).(l+.(aa

.iE3.=K

)l+2a+l).(l+.(aa

.iE3.=K

2123

d2

2113

d1

57

)I+IE.(

1=

)I+IE.(

).hK+K(=

21

21

21

ξ

δ

58

)l+a2+l).(l+a.()a(

.iE3.=K

.

.

.

)l+a2+l).(l+a.()a(

.iE3.=K

)l+a2+l).(l+a.()a(

.iE3.=K

.

.

.

)l+a2+l).(l+a.(a

.iE3.=K

n1-n1-nn1-n3

1-n

dn

1+rrrrr3

r

dr(der)

r1-r1-rr1-r3

1-r

dr(izq)

21111

1

3

d1

59


27

4. Teniendo en cuenta las posibles variaciones de inercia se calculan los coeficientes:

5. Con las formulas correspondientes, se calculan los valores de Um,n.

6. Se determinan los valores de las rotaciones

angulares básicas, con las expresiones:

donde: n = último piso i = piso genérico

7. Se determinan los valores de las rotaciones angulares reducidas:

donde: Ym,n = rotación angular básica del piso "m,n" Yi,j = menor valor del conjunto de todas las

rotaciones angulares básicas

8. Se llevan los valores al esquema de iteración.

I

IE.

).hK+K(

=

r

n=r

=1r

r

n=r

=1r

r[der]r[izq]

n=r

=1r

E.

1=

∑

∑

∑

ξ

δ

60

δµ

δµ

+2

1=

+1

1=

n

61

]U-U.[)+(2

=

U.)+(1

=

i1,+i1-ii,i

1-nn,n

δ

ξ

δ

ξ

Υ

Υ

62

Υ

ΥΥ′

ji,

nm,nm, = 63


28

9. Se realiza la primera iteración, tomando los y'i =

0 para aplicar

10. Se realiza la segunda iteración

11. Se repite el proceso iterativo hasta que la primera cifra decimal se mantiene constante

12. Se calculan las rotaciones angulares finales

Donde: Yi,j es el mismo valor de la ecuación [63]

13. Se calculan los momentos de acoplamiento con

Pantalla Simétrica

Υ′

Υ′

Υ′

Υ′

Υ′

1o

1

2o

2

2-no

2-n

1-no

1-n

no

n

=y

=y

.

.

.

.

=y

=y

=y

64

]y+y.[+=y1-i

(0)

1+i

(0)

ii

(1) ′′Υ′′ µ 65

y.=y i

(n)

ji,i′Υ′ 66

yK.=(A)A ′Μ 67


29

Pantalla Asimétrica

Múltiple Hileras

14.- Se calculan las fuerzas cortantes en dinteles con: Pantalla Simétrica

Pantalla Asimétrica

y.K=

y.K=

2B

1A

′Μ

′Μ 68

y.K=

.

.

.

y].K+K[=

.

.

.

y].K+K[=

y.K=

nn

i(der)i(izq)i

2(der)2(izq)2

11

′Μ

′Μ

′Μ

′Μ

69

yl).+.(aa

.iE12.=F i3

di ′ 70

y).l+2a+l.(a

.iE6.=F i213

di ′ 71


30

Múltiple Hileras

15.- Se calculan los momentos en los paramentos de las aberturas con la expresión general:

16.- Se trazan los correspondientes diagramas de esfuerzos M , Q y N.

y).l+a2+l.(a

.iE6.=F

.

.

.

.

y).l+a2+l.(a

.iE6.=F

y).l+a2+l.(a

.iE6.=F

i1+nnn

n

3

din,

i322

2

3

di2,

i211

1

3

di1,

′

′

′

72

2

a.F= r

ir,ir,Μ 73


31

VIII.- EJEMPLO RESUELTO Pantalla Simétrica Sea por ejemplo resolver la Pantalla de 12 pisos mostrada en la figura 12, proyectada en Hormigón Armado, la cual recibe una carga horizontal concentrada de P = 2,00 ton en cada piso, un espesor constante en toda su altura de 0.30 mts, dinteles de 0,50 m de altura y los siguientes valores: a = 1,80 m l = 2,90 m h = 2,90 m Ed= E = 2,0.10

6 T/m2 Cálculo de Constantes: i = 0,003125 m4 I = 0,609725 m4

Cálculo de Momentos y Coeficientes Um,n

1142039,609=)l+.(aa

.iE6.=K

2

3

d

70,33778741=E.I

K.l=δ

100,41.=2.E.I

1= 6-ξ

0,42775489=+2

1=

δµ

90,74750291=+1

1=

n δµ


32

Piso M12 011 Ph

10 3 Ph

9 6 Ph8 10 Ph

7 15 Ph

6 21 Ph5 28 Ph

4 36 Ph3 45 Ph

2 55 Ph

1 66 Ph0 78 Ph


33

CALCULO DE LAS ROTACIONES ANGULARES VERDADERAS

Piso y' iiii

y' 12121212 0,36103. 10-4

y' 11111111 0,44865. 10-4

y' 10101010 0,58472. 10-4

y' 9999 0,74629. 10-4

y' 8888 0,91870. 10-4

y' 7777 1,09135. 10-4

y' 6666 1,25345. 10-4

y' 5555 1,39054. 10-4

y' 4444 1,48022. 10-4

y' 3333 1,48357. 10-4

y' 2222 1,33333. 10-4

y' 1111 0,90942. 10-4 CALCULO DE LOS MOMENTOS DE ACOPLAMIENTO

[rad]y.100,2577.=y

y.

i

(n)5-

i

i

(n)

12

′′

′Υ′ =yi

[tm]y91.142.039,60=M

y.)l+.(aa

.iE6.=M

ii

i

2

3

di

′

′


34

Piso M' iiii

M' 12121212 5,128 [tm]

M' 11111111 6,373 [tm]

M' 10101010 8,305 [tm]

M' 9999 0,600 [tm]

M' 8888 3,049 [tm]

M' 7777 5,502 [tm]

M' 6666 7,604 [tm]

M' 5555 9,751 [tm]

M' 4444 1,025 [tm]

M' 3333 1,073 [tm]

M' 2222 8,939 [tm]

M' 1111 2,917 [tm] CALCULO DE LOS CORTES EN DINTELES

Piso F' iiii

F' 12121212 2,182 [ton]

F' 11111111 2,712 [ton]

F' 10101010 3,534 [ton]

F' 9999 4,511 [ton]

F' 8888 5,553 [ton]

F' 7777 6,596 [ton]

F' 6666 7,576 [ton]

F' 5555 8,405 [ton]

F' 4444 8,967 [ton]

F' 3333 8,967 [ton]

F' 2222 8,059 [ton]

F' 1111 5,497 [ton]

CALCULO DE LOS MOMENTOS EN LOS PARAMENTOS

[ton]y83.60.442,386=F

yl).+.(aa

.iE12.=F

ii

i3

di

′

′

[tm]y15.54.398,148=M

yl)+(aa

.iE6.=M

ii

i2

di

′

′

''

''


35

Piso M'' iiii

M'' 12121212 1,964 [tm]

M'' 11111111 2,441 [tm]

M'' 10101010 3,181 [tm]

M'' 9999 4,060 [tm]

M'' 8888 4,998 [tm]

M'' 7777 5,937 [tm]

M'' 6666 6,819 [tm]

M'' 5555 7,564 [tm]

M'' 4444 8,052 [tm]

M'' 3333 8,070 [tm]

M'' 2222 7,253 [tm]

M'' 1111 4,947 [tm]

Los valores de los momentos en los paramentos y de los cortes en dinteles son importantes para el dimensionamiento de las armaduras metálicas de los dinteles.

Con los valores calculados anteriormente es fácil el trazado de los diagramas de momentos flectores, esfuerzos cortantes y normales que permitirán la verificación de secciones y dimensionamiento de armaduras. En la figura 14 se grafica el de momentos flectores para una semipantalla y en la figura 15, el diagrama de momentos correspondiente a un dintel genérico.


36


37

IX.- PANTALLA CON DIFERENTE ALTURA EN PLANTA BAJA La condición de igual altura de pisos no representa un condicionamiento importante para la superestructura, pero en lo que respecta a la subestructura si lo es, ya que en muchos casos de la práctica la planta baja precisa de una altura diferente, ya sea por condicionamientos arquitectónicos, cuando no por el enlace de la pantalla con la estructura de fundación.

Este caso también puede ser analizado a través del método propuesto. Para ello analicemos la pantalla de la figura 16; en ella como siempre se ha separado los momento flectores producidos sobre la pantalla por la carga externa, de la acción de los momentos de acoplamiento de los dinteles. Así el sistema solución será:


38

donde K1 se distingue para tener en cuenta además la posibilidad de que el dintel de primer piso posea diferente inercia. Haciendo ahora:

el sistema se transforma en:

0=y

)y+y+............+y(E.I

hK.+y.

E.I

h.K-

E.I

U+y=y

)y+y+............+y+y.(E.I

K.h-

E.I

U+y=y

.

.

.

.

)y+y+y.(E.I

K.h-

E.I

U+y=y

)y+y.(E.I

K.h-

E.I

U+y=y

y.E.I

K.h-

E.I

U

0

n1-n2

1

1

111,0

01

n1-n32

2,1

12

n1-n2-n

3-n2,-n

3-n2-n

n1-n

2-n1,-n

2-n1-n

n

1-nn,

′

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′

′′′′

′′′ +y=y1-nn

(74)

E.I

1=

E.I

h.K=

E.I

hK.=

E.I

K.h=

111

11

ξ

δ

δ

∆

(75)


39

Multiplicando por (-1) cada línea y sumándola a la inmediata inferior, excepto la ultima que se multiplicará por:

el sistema se transforma en:

donde

y en forma mas compacta

U.=y)+(1+y.+y......++y.+y.+y.

U.=y-y)+(1+y......++y.+y.+y.

.

.

.

.

.

.

.

U.=y0.+y0.+y0.....++y-y)+(1+y+y

U.=y0.+y0.+y0.....++y0.+y-y)+(1+y

U.=y0.+y0.+y0.....++y0.+y0.+y-y)+(1

1.01121313-n12-n1n1

2,11233-n2-nn

3-n2,-n1233-n2-n1-nn

2-n1,-n1233-n2-n1-nn

1-nn,1233-n2-n1-nn

ξδδδδδ

ξδδδδδ

ξδδδ

ξδδ

ξδ

′∆′′′′′

′′′′′′

′′′′′′′

′′′′′′′

′′′′′′′

(76

)(= 1

δδα (77)

)U-U.(=y+y-.....+y0.+y0.+y0.+y0.

)U-U.(=y-y)+(2.....++y0.+y0.+y0.+y0.

.

.

.

.

.

)U-U.(=y0.+y0......++y-y)+(2+y-y0.

)U-U.(=y0.+y0......++y0.+y-y)+(2+y(-1)

)U.(=y0.+y0......++y0.+y0.+y-y)+(1

1,20,1123-n2-n1-nn

3,22,1123-n2-n1-nn

2-n1,-n3-n2,-n123-n2-n1-nn

1-nn,2-n1,-n123-n2-n1-nn

1-nn,123-n2-n1-nn

αξρα

ξδ

ξδ

ξδ

ξδ

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′′

)++(1= 1∆αρ (78)


40

haciendo

el sistema vuelve a su estructura general, es decir

Así, se consigue solucionar la pantalla con diferente altura en planta baja, manteniendo invariante la metodología general con la única diferencia, que la expresión de las constantes, para una pantalla simétrica son las que se resumen a continuación:

y+]U-U[=y.

y+y+]U-U[=y)+(2

.

.

.

.

y+y+]U-U[=y)+(2

y+y+]U-U[=y)+(2

y+]U[=y)+(1

21,20,11

133,22,12

3-n1-n2-n1,-n3-n2,-n2-n

2-nn1-nn,2-n1,-n1-n

1-n1-nn,n

′′

′′′

′′′

′′′

′′

ααξρ

ξδ

ξδ

ξδ

ξδ

(79)

]U-U[=

=

=

1,20,111

1

1

αξ

ρ

αµ

ρ

ξξ

Υ

(80)

y+=y

)y+y(+=y

.

.

.

.

)y+y(+=y

)y+y(+=y

y+=y

2111

1322

3-n1-n2-n2-n

2-nn1-n1-n

1-nnnn

′Υ′

′′Υ′

′′Υ′

′′Υ′

′Υ′

µ

µ

µ

µ

µ

(81)


41

y, dado a la expresión que se ha dado a los coeficientes " Xi " en las ecuaciones [82], para la determinación de los coeficientes Um,n se deberá tomar el area del diagrama de momentos flectores producido por TODA la carga externa sobre la pantalla como si se tratara de una pantalla ciega. También, como se muestra en la figura 17 iguales condicionamientos, tanto técnicos como arquitectónicos hacen que frecuentemente el dintel de planta baja posea diferente inercia entonces aparecerá junto con las ecuaciones [82] la ecuación complementaria

y con ella la ecuacion

]U-U[=

)(=

)(=

)++(1=

=

2.E.I

1=

E.I

hK.=

E.I

K.h=

)l+.(aa

.iE6.=K

1,20,111

1

1

1

1

11

2

3

d

αξ

ρ

αµ

δδα

αρ

ρ

ξξ

ξ

δ

δ

Υ

∆

(82)

)l+(aa

i.E6.=K

2

3

1d1

E.I

h.K=

111∆


42

IX.a.- PANTALLA ASIMETRICA En el caso de las pantallas asimétricas, el metodo altera solo en la expresión de las constantes auxiliares de cálculo no así su operatoria, las que si para el cálculo de los coeficientes Um,n se toma el diagrama de flexión libre producido por TODA la carga externa serán:

)l+2a+l)(l+(aa

i.E3.=K

)l+2a+l)(l+(aa

i.E3.=K

)l+2a+l)(l+(aa

.iE3.=K

)l+2a+l)(l+(aa

.iE3.=K

2123

1d2,1

2113

1d1,1

2123

d2

2113

d1

(83.a)


43

y las restantes constantes igual a las de las expresiones [82] es decir:

)I+IE(

1=

)I+IE(

h)K+K(=

)I+IE(

h)K+K(=

)I+IE(

)hK+K(=

21

21

12,11,11

21

1211

21

21

ξ

δ

δ

∆

(83.b)

]U-U[=

=

)++(1=

=

=

1,20,111

1

1

1

1

αξ

ρ

αµ

αρ

ρ

ξξ

δδα

Υ

∆ (83.c)


44

en lo que respecta al proceso de cálculo este no sufre modificaciones, y una vez que termina el proceso de iteración, los momentos de acoplamiento se calculan con la formula general:

y con ellos de pueden deducir los diagramas de Momentos Flectores, Esfuerzos Cortantes y Esfuerzos Normales. IX.b.- PANTALLA CON MULTIPLE HILERAS DE ABERTURAS También el método adapta fácilmente para el caso de pantallas con múltiple hileras de aberturas. Como se indica en la figura 18 solo se requiere que en planta baja si bien los dinteles si bien pueden tener diferente inercia que en las restantes plantas, en dicha planta todos los dinteles deben tener la misma inercia

donde los coeficientes auxiliares de cálculo tendrán la expresion: para las plantas altas:

y.K=M iii ′


45

para la planta baja:

el coeficiente δδδδ para los pisos altos será:

)l+a2+l).(l+a.()a(

.iE3.=K

.

.

.

)l+a2+l).(l+a.()a(

.iE3.=K

)l+a2+l).(l+a.()a(

.iE3.=K

.

.

.

)l+a2+l).(l+a.(a

.iE3.=K

n1-n1-nn1-n3

1-n

dn

1+rrrrr3

r

dr(der)

r1-r1-rr1-r3

1-r

dr(izq)

21111

1

3

d1

(84.a)

)l+a2+l).(l+a.()a(

i.E3.=K

.

.

.

)l+a2+l).(l+a.()a(

i.E3.=K

)l+a2+l).(l+a.()a(

i.E3.=K

.

.

.

)l+a2+l).(l+a.()a(

i.E3.=K

n1-n1-nn1-n3

1-n

1dn,1

1-rrrrr3

r

1dr(der),1

r1-r1-rr1-r3

1-r

1dr(izq),1

211113

1

1d1,1

(84.b)

IE.

).hK+K(

=

r

n=r

=1r

r[der]r[izq]

n=r

=1r

∑

∑δ (84.c)


46

y para el primer piso

y los restantes coeficientes:

con estos coeficientes, el método mantiene igual su operatoria y una vez terminado el proceso iterativo con los valores y'i se calculan los momentos de acoplamiento, con las formulas ya conocidas.

X.- PANTALLA CON DIFERENTE ALTURA EN TODOS LOS PISOS Con el fin de completar la exposición del presente método, y como paso obligado hacia la resolución de las Estructuras Palanqueadas, se desarrolla a continuación este caso realmente poco frecuente en la práctica de la ingeniería. Al igual que en el apartado IX,

IE.

h).K+K(

IE.

h).K+K(

=

r

n=r

=1r

1r[der],1r[izq],1

n=r

=1r1

r

n=r

=1r

1r[derr[izq]

n=r

=1r1

=∑

∑

∑

∑

∆

δ

(84.d)

]-[=

=

=

)++(1=

=

UU

IE.

1=

1,20,111

1

1

1

1

r

n=r

=1r

α

ρ

αδ

α

αρ

ρ

ξ

ξ

µ

δ

ξ

ξ

Υ

∆

∑

(84.e)


47

comenzaremos el planteo estudiando a la Pantalla Simétrica, y luego estudiaremos la generalización para Pantallas Asimétricas y con Múltiple Hileras de Aberturas. X.a.- PANTALLA SIMETRICA En la figura 20 , se ha graficado una pantalla con diferente altura en todos los pisos. En la misma, como es costumbre, se ha separado la acción de los momentos flectores producidos sobre la pantalla por la carga externa de la acción de los momentos de acoplamiento.

de ella, a través del Teorema de Mohr, el sistema solución de las rotaciones angulares a los distintos niveles de pisos será;


48

obsérvese que el sistema plantea el condicionamiento de que los dinteles deben tener igual inercia en todas las plantas. Haciendo:

el sistema transforma en

la transformación se realizará ahora multiplicando cada línea por

0=y

)y+y.....++y+y+y(E.I

hK.-

E.I

U+y=y

)y+y......++y+y+y(E.I

hK.-

E.I

U+y=y

.

.

.

.

)y+y+y(E.I

hK.-

E.I

U+y=y

)y+y(E.I

hK.-

E.I

U+y=y

yE.I

hK.-

E.I

U+y=y

0

122-n1-nn

11,0

01

232-n1-nn

22,1

12

2-n1-nn

2-n3-n2,-n

3-n2-n

1-nn

1-n2-n1,-n

2-n1-n

n

n1-nn,

1-nn

′

′′′′′′′

′′′′′′′

′′′′′

′′′′

′′′

(85)

E.I

1=

E.I

hK.= i

i

ξ

δ (86)

U=y)+(1+y+y..+..........+y+y+y

U=y-y)+(1+y..+..........+y+y+y

.

.

.

.

U=y0+y0+yo......+-y)+(1+y+y

U=y0+y0+y0.........++y-y)+(1+y

U=y0+y0+y0..+..........+y0+y-y)+(1

1,01121312-n11-n1n1

2,1122322-n21-n2n2

3-n2,-n1232-n2-n1-n2-nn2-n

2-n1,-n1232-n1-n1-nn1-n

1-nn,1232-n1-nnn

ξδδδδδδ

ξδδδδδ

ξδδδ

ξδδ

ξδ

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′′

(87)

)(-i

1-i

δ

δ


49

y sumándola a la inmediata inferior. Así el sistema [87] se transforma en:

donde genéricamente los coeficientes son:

y en forma mas compacta

donde, si hacemos:

]U-U[=y+y-y0..+..........+y0+y0+y0

]U-U[=y-y+y-............+y0+y0+y0

.

.

.

.

]U-U[=y0+y0+y0.........+-y+y-y0

]U-U[=y0+y0+y0.........++y-y+y-

]U[=y0+y0+y0+..........+y0+y-y)+(1

2,111,0112132-n1-nn

3,222,1122322-n1-nn

2-n1,-n2-n3-n2,-n1232-n2-n1-n2-nn

1-nn,1-n2-n1,-n1232-n1-n1-nn1-n

1-nn,1232-n1-nnn

αξρα

αξρα

αξρα

αξρα

ξδ

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′′

′′′′′′

(88)

δ

δδδρ

δ

δα

1+i

1+i1+ii

i

i

1-ii

+)+(1=

=

(89)

y+]U-U[=y

y+y1

+]U-U[=y

.

.

.

.

y+y1

+]U-U[=y

y+y1

+]U.-U[=y

y.)+(1

1+U.

)+(1=y

2

1

12,111,0

1

1

3

2

2

1

2

3,222,1

2

2

1-n

2-n

2-n

3-n

2-n

2-n1,-n2-n3-n2,-n

2-n

2-n

n

1-n

1-n

2-n

1-n

1-nn,1-n2-n1,-n

1-n

1-n

1-n

n

1-nn,

n

n

′′

′′′

′′′

′′′

′′

ρ

αα

ρ

ξ

ρ

α

ρα

ρ

ξ

ρ

α

ρα

ρ

ξ

ρ

α

ρα

ρ

ξ

δδ

ξ

(90)


50

el sistema adopta la estructura:

El sistema [92] posee una estructura similar a la estructura general del método, a diferencia que ahora los coeficientes de influencia de las rotaciones superior e inferior poseen diferente valor. La expresión de las constantes para el sistema [92] se encuentran condensadas en las expresiones [89],[91.a] y [91.b]. Para seguir el procedimiento general, es decir, calcular los coeficientes Um,n a partir del diagrama de momentos flectores desarrollados sobre la pantalla por TODA la carga externa, entonces se deberán usar los coeficientes:

donde: I= Momento de Inercia de una de las Semipantallas

)+(1

1=

U)+(1

=

n

n.inf

1-nn,

n

n

δµ

δ

ξΥ

(91.a)

ρ

αµ

ρµ

αρ

ξ

i

i

i.sup

i

infi,

i1,+ii1-ii,

i

i

=

1=

]U-U[=Υ

(91.b)

y+=y

y+y+=y

.

.

.

.

y+y+=y

y+y+=y

y.+

21(sup)11

12(inf)32(sup)22

3-n2(inf)-n1-n2(sup)-n2-n2-n

2-n1(inf)-nn1(sup)-n1-n1-n

1-nn(inf)n

′Υ′

′′Υ′

′′Υ′

′′Υ′

′Υ′

µ

µµ

µµ

µµ

µ=yn

(92)

2.E.I

1=

E.I

hK.= i

i

ξ

δ (93)


51

El hecho de que existan dos coeficientes de influencia de las rotaciones, obliga a que el diagrama de iteración se modifique a la forma indicada en la figura 21. Recuérdese también que de la forma que se han planteado la ecuaciones [85], impone la igualdad de los momentos de inercia de todos los dinteles en la altura. Esta aparente restricción es fácilmente salvable en el caso del dintel de planta baja, y su estudio puede hacerse siguiendo la metodología seguida en el apartado IX.

X.b.- PANTALLA ASIMETRICA Al igual que siempre, el método ajusta fácilmente para pantallas asimétricas, ya que solo altera las constantes auxiliares, y en lo que respecta al proceso de cálculo, este se mantiene sin cambios. Así, para la pantalla de la figura 22 si tiene ésta todos sus dinteles con igual inercia, y para la evaluación de los coeficientes Um,n se toma el diagrama de momentos producidos sobre la pantalla por Toda la carga externa, estos coeficientes auxiliares


52

serán:

con ellos calculamos

finalmente

)l+2a+l)(l+(aa

.iE3.=K

)l+2a+l)(l+(aa

.iE3.=K

2123

d2

2113

d1

(94.a)

)I+IE(

1=

)I+IE(

h)K+K(=

21

21

i21i

ξ

δ

(94.b)

ρ

αµ

ρµ

αρ

ξ

δµ

δ

ξ

δ

δδδρ

δ

δα

i

i

i(sup)

i

i(inf)

i1,+i1-ii,

i

i

n

n(inf)

1-nn,

n

n

=

1=

]U-U[=

)+(1

1=

U)+(1

=

Υ

Υ

1+i

1+i1+ii

i

i

1-ii

+)+(1=

=

(94.c)


53

con estos coeficientes realizamos el proceso de iteración con el sistema [92]; el cuál una vez concluido nos arrojará los valores de las rotaciones angulares y'i y con ellas podremos calcular los momentos de acoplamiento para construir los diagramas finales de esfuerzos. X.c.- PANTALLA CON MULTIPLE HILERAS DE ABERTURAS El caso difiere con el caso anterior solo en la expresión de las constantes K, las que ahora tendrán la forma:

con quienes calcularemos:

y en lo referente a las restantes constantes, éstas tienen la expresión que las ecuaciones [94.c] de la página anterior. Una vez calculadas todas las magnitudes auxiliares se llevan al sistema [92] y se

)l+a2+l)(l+a.()a(

.iE3.=K

.

.

.

)l+a2+l)(l+a.()a(

.iE3.=K

)l+a2+l)(l+a.()a(

.iE3.=K

.

.

.

)l+a2+l)(l+a.()a(

.iE3.=K

n1-n1-nn1-n3

1-n

dn

1+rrrrr3

r

dr(der)

r1-r1-rr1-r3

1-r

dr(izq)

211113

1

d1

(95.a)

I

IE.

h].K+K[

=

r

n=r

=1r

r

n=r

=1r

ir(der)r(izq)

n=r

=1ri

E.

1=

.

∑

∑

∑

ξ

δ

(95.b)


54

realiza el proceso de iteración, que nos llevará a la solución de la pantalla. No está de mas recordar que para la evaluación de los coeficientes Um,n se debe tomar el diagrama de momentos flectores producido por Toda la carga externa sobre la pantalla, como si se tratara de una pantalla ciega. También es oportuno recordar que las semipantallas exteriores poseen un solo coeficiente K; como así también que la utilización del sistema [92], esta condicionado a que todas las vigas de acoplamiento posean la misma inercia. Si de deseara alterar esto, se debe pro- ceder como en el apartado IX.

Pantallas Con Aberturas - Hernan Cainzo

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