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PAM en banda base Comunicaciones Digitales Luca Mar8no y Francisco J. Rodríguez Ruiz ApuntesLaboratorio no revisados (cuidado!!!)

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PAM  en  banda  base  -­‐    Comunicaciones  Digitales  

Luca  Mar8no  y  Francisco  J.  Rodríguez  Ruiz    

Apuntes-­‐Laboratorio  

no  revisados  (cuidado!!!)  

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Modulación  lineal  

•  Desde   el   punto   de   vista   teórico   se   han   estudiado   diferentes  casos   en   este   orden   (desde   Teoría   de   la   Comunicación   hasta  Com.  Digitales)        

Trasmisión  de  un  solo  símbolo,  con  N  coordenadas  de  la  constelación,  y  señales  entre  0  y  T.  

Trasmisión  indefinida  de  símbolos,  con  N  coordenadas  de  la  constelación,  y  señales  entre  0  y  T.  

Trasmisión  indefinida  de  símbolos,  con  N=1,  y  señales  que  duren  más  que  un  periodo  de  símbolo.  

….  ….  

PAM  en  banda  base  

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Señal  modulada  (caso  general)    •  Transmisión   indefinida   de   símbolos   en   un   espacio  

mul8dimensional  (N)            

•  Donde  asumimos  las  condiciones  (vamos  a  ver  luego  el  porqué)  

s(t) = A j[k]φ j (t − kT)j=0

N −1

∑k∑

S[k] = A0[k],...,AN −1[k]( )Coordenadas  del  k-­‐esimo    Símbolo  enviado    

φi(t)φ j (t)dt = δ i − j[ ]−∞

+∞

∫ Base  ortonormal  

p j (t) nT = φ j (t)∗h(t)∗ f j (t) nT = δ[n]Y  luego  nos  gustaría  (no  siempre  es  posible):   Criterio  de  Nyquist    

Canal   Filtro  en  el  receptor    

j = 0,....,N −1

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Señal  modulada  (k=0,  N  genérico)      •  Supongamos   de   querer   transmi8r   un   solo   símbolo   (paso  

temporal,   n=0)   en   un   espacio  mul8dimensional   (N)     u8lizando  una  modulación  de  este  8po  

•  En  este  caso  la  única  condición  es  

•   Este  es  el  caso  que  se  ha  estudiado  en  profundidad  en  Teoría  de  la  Comunicación.    

s(t) = A jφ j (t)j=0

N −1

φi(t)φ j (t)dt = φi(t)φ j (t)dt0

T∫ = δ i − j[ ]

−∞

+∞

∫€

S = [A0,...,AN −1]Coordenadas  del  símbolo    

Donde  estamos  considerando  solo  señales  entre  0  y  T.  

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PAM  banda  base  (k  genérico,  N=1)      •   En  este  caso  

s(t) = A0[k]φ0(t − kT)k∑ = A0[k]g(t − kT)

k∑

φ0(t − kT) = g(t − kT)

Ejemplo  constelación  con  4  símbolos    

A0[k]

0

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¿Por  que  más  de  un  periodo  de  símbolo?    

•  Las  señales  s(t)  de  duración  finita  en  el  8empo  (entre  0  y  T,  por  ejemplo)   ocupan   un   ancho   de   banda   infinito.   Este   fenómeno  empeora   a   medida   que   T0   (aumentamos   la   velocidad   de  transmisión),  dado  que  en  este  caso  s(t)  Delta(t)  y  S(w)1    (la  señal   con8ene   todas   las   frecuencias,   “excitadas”   en   igual  medida).    

•  En   las   aplicaciones   reales,   podemos   u8lizar   sólo   un   ancho   de  banda  finito.  Por  esto  hay  que  plantearse  el  uso  de  señales  que  excedan  el  intervalo  símbolo  [nT,  (n+1)T].    

Ancho  de  banda  finito    Duración  infinita    

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Esquema  general  (PAM  banda  base)  •  Diagrama  de  bloque    

g(t)

A[n]

h(t)

n(t)Canal  

……  

Modulador  

s(t)

r(t)

r(t) = s(t)∗h(t) + n(t)

f (t)

q(t)

q[n]

nTDemodulador  

q[n]Decisor  

ˆ A [n]

q(t) = r(t)∗ f (t)q(t) = s(t)∗h(t)∗ f (t) + n(t)∗ f (t) = s(t)∗h(t)∗ f (t) + z(t)

z(t)

s(t) = A0[k]φ0(t − kT)k∑ = A0[k]g(t − kT)

k∑

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Demodulación  (PAM  banda  base)  •  Volvemos  a  la  señal    

q(t) = r(t)∗ f (t)

q(t) = s(t)∗h(t)∗ f (t) + n(t)∗ f (t)

q(t) = s(t)∗h(t)∗ f (t) + z(t)

q(t) = A0[k]g(t − kT)k∑⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ ∗h(t)∗ f (t) + z(t)

q(t) = A0[k] g(t − kT)∗h(t)∗ f (t)( )k∑ + z(t)

p(t − kT)

q(t) = A0[k]p(t − kT)k∑ + z(t)

Intercambiamos  el  orden  de  los  integrales  y  de  la  suma  

p(t) = g(t)∗h(t)∗ f (t)

P(ω) =G(ω )H(ω )F(ω )

r(t)

f (t)

q(t)

q[n]

nTDemodulador  

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Canal  discreto  equivalente  

•  Muestreando  cada  nT  instantes  

q n[ ] = A0[k]p(nT − kT)k∑ + z(nT) = A0[k]p((n − k)T)

k∑ + z(nT)

q n[ ] = A0[k]p n − k[ ]k∑ + z[n] = A0 n[ ]p 0[ ] + A0[k]p n − k[ ]

k≠n∑ + z[n]

p(t) = g(t)∗h(t)∗ f (t)ISI  

p(t) nT = p(nT) = p[n]

z(t) nT = z(nT) = p[n]

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“Fuentes”  de  error  

•  Dada  la  expresión  

•   En  general,  tenemos  2  fuentes  de  error:  

   ISI     ruido  z[n]  •  nos  gustaría  que  el  ruido  fuera  blanco  (además  que  nos  exista  

ISI),  para  que  el  decisor  símbolo  a  símbolo  fuera  óp8mo  (no  necesitamos  más  información  para  decidir  de  forma  óp8ma).  

q n[ ] = A0 n[ ]p 0[ ] + A0[k]p n − k[ ]k≠n∑ + z[n]

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Criterio  de  Nyquist  para  ausencia  de  ISI  •  Hemos  visto  que  nos  gustaría  que  

•  La  condición  de  arriba,  es  equivalente  a  escribir  

•  Y  en  frecuencia  

•  el   criterio   de   Nyquist   es   también   conocido   como   forzador   de  ceros.    

p n[ ] = p(t) nT = p(nT) = δ n[ ]

p(nT)δ(t − nT)n=−∞

+∞

∑ = δ(t)

P(ω)∗ 2πT

δ ω −2πkT

⎝ ⎜

⎠ ⎟

k=−∞

+∞

∑ =1

1T

P ω −2πkT

⎝ ⎜

⎠ ⎟

k=−∞

+∞

∑ =1€

p(t) δ(t − nT)n=−∞

+∞

∑ = δ(t)

Dado  que  es  no  nulo  solo  para  t=nT  

Hay  un  factor  1/(2*pi)  porque  es  una  convolución  con  deltas  en  w  (es  decir,2*pi*  f)….  

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Ruido  z[n]  •  Vamos  a  analizar  el  ruido    

n(t)

f (t)

z(t)

z[n]

nTDemodulador  

Sz(ω) = Sn (ω )F(ω)2

Si    

Sn (ω) = N02

Sz(ω) = N02 F(ω)

2

Sz(ejω ) =

N0

2TF ωT−2πkT

⎝ ⎜

⎠ ⎟ 2

k=−∞

+∞

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Ruido  z[n]  •  El  ruido  z[n]  será  blanco  si  

•  Nota   que,   aparte   de   una   constante,   es   exactamente   igual   al  criterio  de  Nyquist  para  la  ausencia  de  ISI.  

•  Entonces  si  

•   el  ruido  z[n]  será  blanco.  

n(t)

f (t)

z(t)

z[n]

nTDemodulador  

Sz(ejω ) =

N0

2TF ωT−2πkT

⎝ ⎜

⎠ ⎟ 2

k=−∞

+∞

∑ = const.

rf (t) nT = f (t)∗ f (−t) nT ∝δ[n]Es  importante  notar  que  en  ningún  momento  estamos  haciendo  referencia  al  filtro  transmisor.  

El  hecho  de  escalar  en  frecuencia  no  afecta    a  la  condición  

Proporcional  (luego  u8lizaremos  siempre  un  =)  

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Lo  que  nos  gustaría  •   En  general  buscamos  conseguir  3  cosas:  

   ausencia  de  ISI  

   que  z[n]  sea  blanco  

   maximizar  la  SNR  

•    en   el   caso   general   (canal   con   distorsión,   ruido   etc.),   no   podemos  conseguir  que  se  cumplan  las  tres  condiciones  simultáneamente.  

Si  se  cumplen  estas  2  condiciones,  decidir  símbolo  a  símbolo  es  óp8mo.    

Es  evidente  que  a  mayor  SNR,  menor  probabilidad  de  error  en  decisión.    

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Condición  1)  ausencia  de  ISI  •   Primero,  nos  gustaría  que  

•  Se  cumple  si  elegimos  

q n[ ] = p 0[ ]A0 n[ ] + z[n]

O  directamente    

q n[ ] = A0 n[ ] + z[n]

Esto  ocurre  si    

p n[ ] = p(t) nT = δ n[ ]

f (t) = g(−t)

G(ω) =Y (ω )H(ω )

Donde    

Y (ω) Es  cualquier  función  que  cumple  Nyquist,  es  decir    

y(t) nT = δ[n]

1)  

2)  

y  

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Condición  1)  ausencia  de  ISI  •     De  hecho  si  elegimos    

•  Tenemos    

f (t) = g(−t)

G(ω) =Y (ω )H(ω )

Donde    

Y (ω) Es  cualquier  función  que  cumple  Nyquist,  es  decir    

y(t) nT = δ[n]

1)  

2)  

y  

P(ω) =G(ω )H(ω )F(ω )

P(ω) =G(ω )H(ω )G*(ω ) = H(ω)G(ω ) 2

P(ω) = H(ω ) Y (ω)H(ω)

=Y (ω )

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Condición  2)  z[n]  blanco    •   Para  que  el  ruido  z[n]  sea  blanco  

•  Hemos  ya  visto  que  esto  se  cumple  si  

•   donde  f(t)  es  el  filtro  en  el  demodulador.  

Sz(ejω ) = const.

rf (t) nT = f (t)∗ f (−t) nT = δ[n]

n(t)

f (t)

z(t)

z[n]

nTDemodulador  

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Condición  3)  maximizar  SNR  •  Ahora  intentamos  maximizar  la  relación  señal  a  ruido.      

•  Asumimos,  ahora,  enviar  un  único  símbolo.  En  este  caso  

•   pasando  por  el  canal  y  filtrando  

s(t) = A[0]g(t)

r(t) = A[0]g(t)∗h(t) + n(t)

q(t) = A[0]g(t)∗h(t)∗ f (t) + n(t)∗ f (t)

q(t) = A[0]gr (t)∗ f (t) + z(t)

q[0] = q(t) t=0 = A[0] gr(t)∗ f (t)( )t=0

+ z[0] Variable  de  decisión  

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Condición  3)  maximizar  SNR  •  Seguimos  desarrollando  

q[0] = q(t) t=0 = A[0] gr (τ) f (t −τ)dτ−∞

+∞

∫t=0

+ n(τ) f (t −τ)dτ−∞

+∞

∫t=0

q[0] = A[0] gr (τ) f (−τ)dτ−∞

+∞

∫ + n(τ) f (−τ)dτ−∞

+∞

∫€

q(t) t=0 = A[0] gr (t)∗ f (t)( )t=0

+ z[0]

E q[0]2[ ] = Es gr(τ) f (−τ)dτ−∞

+∞

∫( )2

+N0

2f 2(−τ)dτ

−∞

+∞

Es = E A2 0[ ][ ]

N0

2= E n(t)[ ]

Valor  cuadrá8co  medio      

Determinista   Determinista  

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Condición  3)  maximizar  SNR  •  La  SNR  es  en    

•   por  la  desigualdad  de  Cauchy-­‐Schwarz  tenemos          

SN⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ q

=Es gr(τ) f (−τ)dτ−∞

+∞

∫( )2

N0

2f 2(−τ)dτ

−∞

+∞

gr (τ) f (−τ)dτ∫( )2≤ gr

2(τ)dτ∫( ) f 2(−τ)dτ∫( )

SN⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ q

=Es gr(τ) f (−τ)dτ−∞

+∞

∫( )2

N0

2f 2(−τ)dτ

−∞

+∞

∫≤Es gr

2(τ)dτ−∞

+∞

∫ f 2(−τ)dτ−∞

+∞

∫N0

2f 2(−τ)dτ

−∞

+∞

∫=Es2N0

gr2(τ)dτ

−∞

+∞

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Condición  3)  maximizar  SNR  •  Hemos  llegado  a      

•   donde  la  igualdad  se  cumple  sólo  cuando  

•   donde  K  es  una  constante.  

SN⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ q

=Es gr(τ) f (−τ)dτ−∞

+∞

∫( )2

N0

2f 2(−τ)dτ

−∞

+∞

∫≤Es2N0

gr2(τ)dτ

−∞

+∞

f (t) = Kgr (−t)

gr(t) = g(t)∗h(t)

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Condición  3)  maximizar  SNR  

•  Entonces,  cuando  f(t)  es  adaptado  a  gr(t)  (respuesta  conjunta  del  canal   h(t)   y   g(t))   se  maximiza   la   SNR   cuando   enviamos   un   sólo  símbolo.  

•  Hallar  una  expresión  parecida  (que  maximice  la  SNR)  cuando  hay  una  transmisión  indefinida  de  símbolos  es  bastante  complejo.  

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Filtro  en  el  demodulador  •   En  general:  

   ausencia  de  ISI  

   que  z[n]  sea  blanco  

   maximizar  la  SNR  

f (t) = g(−t)

G(ω) =Y (ω )H(ω )

y(t) nT = δ[n]

rf (t) nT = f (t)∗ f (−t)nT

= δ[n]

gr(t) = g(t)∗h(t)

f (t) = gr (−t)

Pero  maximiza  la  relación  señal  a  ruido  cuando  se  considera  la  transmisión  de  un  único  símbolo  (esta  hipótesis  no  se  cumple  en  un  sistema  real).      

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Resumen:  diseño  f(t)  

•  Hemos  visto  3  criterios  para  diseñar  f(t):  1)  para  eliminar  la  ISI,  2)  para   que   el   ruido   z[n]   sea   blanco,   3)   para   maximizar   la   SNR  cuando  transmi8mos  solo  un  símbolo.    

•  En   general,   cuando   hay   un   canal   con   distorsión   lineal   no   se  pueden  cumplir  las  tres  condiciones  simultáneamente.  

•  Hay  también  otros  posibles  criterios.  Por  ejemplo,  maximizar   la  relación  potencia  del  símbolo  deseado  frente  a  ISI  y  ruido:  

E A[n]p[0]( )2[ ]E A[k]p[n − k]

k≠n∑ + z[n]⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟

2⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎦ ⎥ ⎥

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Diseño  f(t)  -­‐  posibilidad  4)    •  Realmente   hay   otra   posibilidad,   que   permite   eliminar  

(teóricamente)   la   ISI  y  al  mismo  8empo  hacer  que  el   ruido  z[n]  sea  blanco  (las  dos  cosas  simultáneamente).  

   sin  ISI     z[n]  blanco  

1)  ELEGIMOS    f(t)  tal  que    

rf (t) nT = f (t)∗ f (−t)nT

= δ[n]

3)  ELEGIMOS    g(t)  tal  que    

G(ω) =Y (ω )

H(ω )F(ω )

2)  ELEGIMOS    y(t)  tal  que    

y(t) nT = δ[n]

De  este  modo  tenemos    

P(ω) =G(ω )H(ω )F(ω ) =Y (ω)

H(ω)F(ω)H(ω )F(ω ) =Y (ω) que  cumple  el  criterio  de  Nyquist  para  la  

ausencia  de  ISI    

Así  que  el  ruido  z[n]  será  blanco  

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Diseño  f(t)  -­‐  posibilidad  4)    •  Pero  de  todas  formas  este  esquema  8enes  unos  inconveniente.  

•  Aparte   de   que   se   necesita   el   conocimiento   de   la   respuesta   del  canal  H(w)  (como  en  todos   los  otros  casos),  H(w)  aparece  en  el  denominador,   así   que   la   transformada   G(w)   puede   ser   infinita  cuando  H(w)0.  Esto  significa  que  necesitaríamos  una  potencia  infinita   en   el   transmisor   (o,   más   en   general,   necesitamos   una  potencia   muy   elevada   cuando   la   respuesta   del   canal   H(w)   es  cercana  a  0).        

G(ω) =Y (ω )

H(ω )F(ω )

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Canal  sin  distorsión  •  Cuando   suponemos   un   canal   sin   distorsión,   podemos   lograr   las   3  

condiciones  simultáneamente    

   ausencia  de  ISI  

   que  z[n]  sea  blanco  

   maximizar  la  SNR  

•   esto  puede  ser  logrado  u8lizando  un  filtro  adaptado.  De  hecho,  con  

n(t)Canal  

s(t)

r(t)

f (t)

q(t)

g(t)

f (t) = g(−t)

p(t) nT = rg (t) nT = g(t)∗g(−t)nT

= δ[n]

se  cumplen  las  3  condiciones    anteriores!  

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Canal  sin  distorsión  •   En  este  caso,  con  la  elección  

n(t)Canal  

s(t)

r(t)

g(−t)

q(t)

g(t)

p(t) nT = rg (t) nT = g(t)∗g(−t)nT

= δ[n]

se  cumplen  las  3  condiciones    anteriores!  

rf (t) = rg (t)

gr(t) = g(t)€

p(t) = rg (t) = g(t)∗g(−t)

f (t) = g(−t)

rf (t) nT = rg (t) nT = δ[n]

f (t) = gr (−t) = g(−t)

y(t) = p(t)

ADEMÁS  ELEGIMOS  g(t)  tal  que      

1)  Ausencia  de  ISI      

2)  z[n]  blanco       3)  SNR  máxima