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Soluciones a “Ejercicios y problemas” 13 Unidad 13. Áreas y perímetros PÁGINA 258 Áreas y perímetros utilizando el teorema de Pitágoras En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo…). Si no es exacto, halla una cifra decimal. 24 a) b) 5 m 6 m 7 m 25 m a) a = 6 2 – 2,5 2 = 29,75 = 5,5 m A = 6 · 5,5 2 = 13,8 m 2 2,5 m 6 m a P = 2 · 6 + 5 = 17 m b) x = 25 2 – 7 2 = 576 = 24 m 7 m 25 m x A = 24 · 7 2 = 84 m 2 P = 24 + 7 + 25 = 56 m 25 a) b) 5 cm 13 cm 90 m 53 m a) a = 13 2 – 5 2 = 144 = 12 m A = 12 · 5 = 60 cm 2 13 cm 5 cm x P = 12 · 2 + 5 · 2 = 34 cm b) x = 53 2 – 45 2 = 784 = 28 m A = 2 · 28 · 90 2 = 2 520 m 2 53 m x 45 m P = 53 · 4 = 212 m 26 a) b) 99 m 15 cm Pág. 1

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Unidad 13. Áreas y perímetros

PÁGINA 258

■ Áreas y perímetros utilizando el teorema de Pitágoras

En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que calcu lar el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo…). Si no es exacto, halla una cifra decimal.

24 a) b)

5 m

6 m

7 m 25 m

a) a = √62 – 2,52 = √29,75 = 5,5 m

A = 6 · 5,52

= 13,8 m2

2,5 m

6 ma

P = 2 · 6 + 5 = 17 m

b) x = √252 – 72 = √576 = 24 m

7 m 25 m

x A = 24 · 7

2 = 84 m2

P = 24 + 7 + 25 = 56 m

25 a) b)

5 cm 13 cm

90 m

53 m

a) a = √132 – 52 = √144 = 12 m

A = 12 · 5 = 60 cm2

13 cm 5 cm

x P = 12 · 2 + 5 · 2 = 34 cm

b) x = √532 – 452 = √784 = 28 m

A = 2 · 28 · 902

= 2 520 m2

53 m

x

45 m

P = 53 · 4 = 212 m

26 a) b)

99 m

15 cm

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Unidad 13. Áreas y perímetros

a) x 2 + x 2 = 992 8 2x2 = 9 801 8 x2 = 4 900,5 8

8 x = √4 900,5 ≈ 70 m

A = 702 = 4 900 m2

99 m

x

x

P = 70 · 4 = 280 m

b) x = √152 + 152 = √450 ≈ 21,2 cm

A = π · 21,22 – π · 152 ≈ 704,7 cm2

P = 2π · 21,2 + 2π · 15 ≈ 227,3 cm

15 cm

15 cmx

27 a) b)

73 cm

110 cm

98 cm

89 cm

18 cm

a) x = √732 + 552 = √2 304 = 48 cm

A = 110 · 48 · 22

= 5 280 cm2

73 cm

55 cm x

P = 4 · 73 = 292 cm

b) x = √892 + 802 = √1 521 = 39

A = 18 + 982

· 39 = 2 262 cm2

98 cm

89 cm

80 cm

18 cm

x

P = 98 + 89 + 18 + 39 = 244 cm

28 a) b)

71 dam

41 dam

41 d

am

53 dam

8 dm5,6 dm

4 dm

a) x = √412 – 92 = √1 600 = 40 dam

A = 53 + 712

· 40 = 2 480 dam2

71 dam

41 dam

53 dam

9 damx

P = 71 + 41 · 2 + 53 = 206 dam

b) x = √42 – 2,42 = √10,24 = 3,2 dm

A = 8 + 5,62

· 3,2 ≈ 21,8 dm2

2,4 dm

5,6 dm

4 dm

x

P = 5,6 + 4 + 8 + 3,2 = 20,8 dm

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Unidad 13. Áreas y perímetros

29 a) b)

12 m

10,2 m

25 cm

25 cm48 cm

a) x = √10,22 – 62 = √68,04 ≈ 8,2 m

A = 12 · 8,22

· 5 = 246 m2

12 m

6 m

10,2 mx

P = 12 · 5 = 60 m

b) x = √252 – 242 = √49 = 7 cm

A = 48 · 7 · 22

= 336 cm2

25 cm

25 cm24 cm

x

P = 4 · 25 = 100 cm

■ Resuelve problemas

30 Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlo con losetas cuadradas de 25 cm de lado (se llaman losetas de 25 Ò 25). ¿Cuántas lo-setas son necesarias?

A = 25 · 25 = 625 cm2

A = 50 m2 = 500 000 cm2

Para cubrir el salón se necesitan 500 000625

= 800 losetas.

31 Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2 cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, idéntico, de la casa vecina?

El patio tiene un área de 540 · 600 = 324 000 cm2 = 32,4 m2.

La superficie de una baldosa de 20 cm de lado es 20 · 20 = 400 cm2.

Por tanto, se necesitan 324 000400

= 810 baldosas de 20 cm de lado para cubrir el patio.

32 En una circunferencia de 24 cm de radio trazamos una cuer-da de 34 cm. Halla el área del segmento circular sabiendo que el ángulo central correspondiente es de 90°.

A = 24 · 242

= 288 cm2

A = π · 242 ≈ 1 808,64 cm2

24 cm90° O34

cm

A = 14

A – A = 1 808,644

– 288 = 164,16 cm2

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Unidad 13. Áreas y perímetros

33 Las medidas de los lados de un trapecio rectángulo son a = 9 m, b = 5 m, c = 12 m y d = 4 m. Los lados paralelos son a y c. Halla su área.

Área = 12 + 92

· 4 = 42 m2

El área del trapecio es 42 m2.12 m

9 m

5 m4 m

34 El área de un triángulo es de 66 cm2; sus lados miden a = 20 cm, b = 11 cm y c = 13 cm. Calcula sus tres alturas y su perímetro.

20 m

a20

a11a13 13 m11 m

P = 20 + 11 + 13 = 44 cm 6666 = 20 · a20 8 a20 = — = 3,3 cm 20 6666 = 13 · a13 8 a13 = — ≈ 5,08 cm 13 6666 = 11 · a11 8 a11 = — = 6 cm 11

35 Observa el triángulo equilátero rojo y el triángulo azul:

12 c

m

a) ¿Cuál es la relación entre sus áreas?

b) Basándote en la respuesta anterior, y teniendo en cuenta que tienen bases igua-les, ¿cuál es la altura del triángulo azul?

c) ¿Cuál es la distancia del centro del triángulo a cada vértice?

a) El área del triángulo rojo es el triple que la del azul.

b) Como las bases de los dos triángulos son iguales y el rojo tiene un área tres veces ma-yor que el azul, por la fórmula del área, la altura del triángulo azul es un tercio de la altura del rojo; luego la altura del triángulo azul es 12 : 3 = 4 cm.

c) Primero hallamos la medida del lado del triángulo equilátero:

l 2 = l 2

4 + 144 8 3l

2

4 = 144 8 l 2 = 192 8

8 l ≈ 13,86 8 l 2

≈ 6,63 cm

12 c

m l

l—2

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Unidad 13. Áreas y perímetros

d = √6,632 + 42 = √59,96 ≈ 7,74 cm

4 cm

6,63 cm

d

La distancia del centro del triángulo a cada vértice es 7,74 cm, aproximadamente.

36 La valla de esta parcela tiene una longitud de 100 metros. ¿Cuál es el área de la parcela?

Si llamamos x al lado del cuadrado que está encima del rectángulo, el perímetro de la parcela es de 10x. Al igualarlo a la longitud de la parcela, obtenemos:

10x = 100 m 8 x = 10 m

Por tanto, el área de la figura es la misma que la de 4 cuadrados de lado 10 m:

A = 4 · 102 = 400 m2

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