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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

1 Deseamos hacer una tabla con datos agrupados a partir de 384 datos, cuyosvalores extremos son 19 y 187.

a) Si queremos que sean 10 intervalos de amplitud 17, ¿cuáles serán esos in-tervalos?

b)Haz otra distribución en 12 intervalos de la amplitud que creas conve-niente.

a) 187 – 19 = 168. Para que sea múltiplo de 10 8 170

170 – 168 = 2 8 Una unidad menos que el menor y una más que el mayor:

[18, 35); [35, 52); [52, 69); [69, 86); [86, 103); [103, 120); [120, 137); [137, 154);[154, 171); [171, 188].

b) 168 : 2 = 14 exacto. Amplitud = 14:

[19, 33); [33, 47); [47, 61); [61, 75); [75, 89); [89, 103); [103, 117); [117, 131); [131, 145); [145, 159); [159, 173); [173, 187].

2 La altura, en centímetros, de un grupo de alumnos y alumnas de una mismaclase es:

150, 169, 171, 172, 172, 175, 181

182, 183, 177, 179, 176, 184, 158

Calcula la mediana, los cuartiles, p15 y p90.

Primero los ordenamos:

150, 158, 169, 171, 172, 172, 175, 176, 177, 181, 182, 183, 184

Me = 175,5 Es el valor que deja por debajo de él al 50% de la población, y porencima, al otro 50%.

Q1 = 171 Es el valor que deja por debajo de él al 25% de la población, y porencima, al 75%.

Q3 = 181 Es el valor que deja por debajo al 75% de la población, y por enci-ma, al 25%.

p15 8 = 2,1. Es el 3.° 8 p15 = 169

p90 8 = 12,6. Es el 13.° 8 p90 = 18390 · 14

100

15 · 14100

PARA PRACTICAR

Unidad 8. Estadística6

3 Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 100 000 eurosy una desviación típica de 12 500 euros. En otra empresa B la media es15 000 euros y la desviación típica 2 500 euros. Calcula el coeficiente de va-riación y di cuál de las dos tiene mayor variación relativa.

C.V. (A ) = · 100 = 12,5%

C.V. (B ) = · 100 = 16,67%

Tiene mayor variación relativa la B.

4 El peso medio de los alumnos de una clase es 58,2 kg y su desviación típica3,1 kg. El de las alumnas de esa clase es 52,4 kg y su desviación típica es5,1 kg. Calcula el coeficiente de variación y compara la dispersión de ambosgrupos.

C.V. (chicos) = · 100 = 5,33%

C.V. (chicas) = · 100 = 9,73%

Hay mayor dispersión en el peso de las alumnas.

5 En una población de 25 familias se ha observado la variable X = “número decoches que tiene la familia” y se han obtenido los siguientes datos:

0, 1, 2, 3, 1 0, 1, 1, 1, 4 3, 2, 2, 1, 1

2, 2, 1, 1, 1 2, 1, 3, 2, 1

a) Construye la tabla de frecuencias.

b)Haz el diagrama de barras.

c) Calcula la media y la desviación típica.

d)Halla la mediana y los cuartiles.

e) Haz un diagrama de caja.

a) b)xi fi

0

1

2

3

4

2

12

7

3

1

25

5,152,4

3,158,2

qB–xB

qA–xA

Unidad 8. Estadística 7

8UNIDAD

fi

xi0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4

c) –x = 1,56 d) Me = 1 e)

q = 0,94 Q1 = 1; Q3 = 2

6 En la distribución de pesos de 500 personas se han obtenido los siguientesparámetros de posición:

Q1 = 62 kg, Me = 72 kg, Q3 = 78 kg

Di el número de personas cuyo peso:

a) Es menor que 78 kg.

b)Está comprendido entre 62 kg y 72 kg.

c) Es inferior a 62 kg.

a) El 75% de 500, es decir, 375 personas pesan menos de 78 kg.

b) 25% de 500 = 125 personas.

c) 25% de 500 = 125 personas.

7 Al preguntar a un grupo de personas cuánto tiempo dedicaron a ver televi-sión durante un fin de semana, se obtuvieron estos resultados:

Dibuja el histograma correspondiente y halla la media y la desviación típi-ca.

☛ Observa que los intervalos tienen distintas longitudes y recuerda que en un his-tograma las frecuencias han de ser proporcionales al área.

x– = 2,57; q = 1,93

1

5

10

15

20

2 3 4 5HORAS

6 7 8

TIEMPO (en horas)

[0; 0,5)

[0,5; 1,5)

[1,5; 2,5)

[2,5; 4)

[4, 8)

N.º DE PERSONAS

10

10

18

12

12

0 1 2 3 4

*

Unidad 8. Estadística8

8 Este es el polígono de porcentajes acumulados de la distribución del CI (co-ciente intelectual) de un colectivo de 300 personas:

a) Trabajando sobre el gráfico, asigna, aproximadamente, los valores de:

Q1, Me, Q3, p5, p10, p40, p80, p90, p95

b) ¿Cuántas personas (aproximadamente) de este colectivo tienen un CIcomprendido entre 104 y 116?

¿Cuántas personas tienen un CI superior a 115?

c) ¿Qué percentil tiene una persona con un CI de 112?

a) Q1 = 105,5; Me = 110,5; Q3 = 113

p5 = 98, p10 = 101, p40 = 109, p80 = 114, p90 = 116, p95 = 117,5

b)Hay un 70% (90 – 20 = 70)

El 70% de 300 personas son 210 personas.

115 = p85 8 Hay un 15% (100 – 85 = 15).

El 15% de 300 personas son 45 personas.

c) 112 = p65

°¢£

104 = p20

116 = p90

95 100 105 110 115 120

%

50

100

Unidad 8. Estadística 9

8UNIDAD

Página 222

9 Estos son los pesos (en kg) de 50 recién nacidos:

2,8 3,2 3,8 2,5 2,7 3,7 1,9 2,6 3,5 2,3

3,0 2,6 1,8 3,3 2,9 2,1 3,4 2,8 3,1 3,9

2,9 3,5 3,0 3,1 2,2 3,4 2,5 1,9 3,0 2,9

2,4 3,4 2,0 2,6 3,1 2,3 3,5 2,9 3,0 2,7

2,9 2,8 2,7 3,1 3,0 3,1 2,8 2,6 2,9 3,3

a) Haz una tabla con los datos agrupados en 6 intervalos de amplitud 0,4 kg,comenzando en 1,6. Representa esta distribución.

b)Calcula la media y la desviación típica.

c) Calcula, a partir del polígono de porcentajes acumulados, Q1, Me, Q3,p40, p90, p95.

a)

b) x– = 2,89; q = 0,49

c)

Q1 = 2,3; Me = 2,85; Q3 = 3,18

p40 = 2,83; p90 = 3,55; p95 = 3,61

1,6

20

40

60

80

100

2 2,4 2,8 3,2

%

3,6 4

EXTREMOINTERVALO

1,6

2

2,4

2,8

3,2

3,6

4

PORCENTAJEACUMULADO

0

6

16

36

76

94

100

1,6

5

10

15

20

2 2,4 2,8 3,2PESO (kg)

3,6 4

fiINTERVALOS FRECUENCIAS

[1,6; 2)

[2; 2,4)

[2,4; 2,8)

[2,8; 3,2)

[3,2; 3,6)

[3,6; 4)

3

5

10

20

9

3

50

PARA RESOLVER

Unidad 8. Estadística10

10 En una fábrica se ha medido la longitud de 1 000 piezas de las mismas carac-terísticas y se han obtenido estos datos:

a) Representa el histograma correspondiente.

b)Se consideran aceptables las piezas cuya longitud está en el intervalo [75, 86]. ¿Cuál es el porcentaje de piezas defectuosas?

☛ Del segundo intervalo habrá que rechazar las que midan entre 72,5 y 75. Calcu-la qué tanto por ciento de la amplitud representa la diferencia 75 – 72,5 y halla elporcentaje de la frecuencia correspondiente. Procede análogamente en el cuarto in-tervalo.

a)

b) En el intervalo 72,5-77,5:

75 – 72,5 = 2,5 8 = 47,5 piezas defectuosas

En el intervalo 82,5-87,5:

87,5 – 86 = 1,5 8 = 30 piezas defectuosas

En total el número de piezas defectuosas será:

5 + 47,5 + 30 + 10 = 92,5

que representa el 9,2% del total.

100 · 1,55

95 · 2,55

67,5

100

200

300

400

500

600

700

800

72,5 77,5 82,5 87,5LONGITUD (mm)

NÚMERODE PIEZAS

92,5

LONGITUD(en mm)

67,5 - 72,5

72,5 - 77,5

77,5 - 82,5

82,5 - 87,5

87,5 - 92,5

NÚMERODE PIEZAS

5

95

790

100

10

Unidad 8. Estadística 11

8UNIDAD

11 Se ha pasado un test de 80 preguntas a 600 personas. El número de res-puestas correctas se refleja en la siguiente tabla:

a) Calcula la mediana, los cuartiles y los percentiles 20 y 85.

b) ¿Cuál es el percentil de una persona que tiene 65 respuestas correctas?

c) Halla x–, q y C.V.

a) Hacemos las tablas de frecuencias:

Me = 40 + · (50 – 40) = 43,33

Q1 = 20 + · (30 – 20) = 26,66

Q3 = 50 + · (60 – 50) = 59,41

p20 = 20 + · (30 – 20) = 22,66

p85 = 60 + · (70 – 60) = 66,88

b) 65 = 60 + · (70 – 60) 8 k = 82,5

c) x– = 42,67; q = 20,52; C.V. = 0,48

k – 75,8313,33

85 – 75,8313,33

20 – 16,6712,5

75 – 61,6714,17

25 – 16,6712,5

50 – 44,1717,5

EXTREMOS

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Fi

0

40

100

175

265

370

455

535

600

EN %

0,00

6,67

16,67

29,17

44,17

61,67

75,83

89,17

100,00

INTERVALO

[0, 10)

[10, 20)

[20, 30)

[30, 40)

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

fi

40

60

75

90

105

85

80

65

EN %

6,67

10,00

12,50

15,00

17,50

14,17

13,33

10,83

600 100,00

RESPUESTASCORRECTAS

[0, 10)

[10, 20)

[20, 30)

[30, 40)

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

N.º DEPERSONAS

40

60

75

90

105

85

80

65

Unidad 8. Estadística12

12 En la fabricación de un vino, se le añade un compuesto químico.

En la tabla aparece la concentración de este com-puesto en 200 botellas.

a) Calcula la media y la desviación típica.

b)Se estima que el vino no se debe consumir si laconcentración de ese compuesto es superior a20,9 mg/l.

Según esto, ¿qué porcentaje de botellas no es adecuado para el consumo?

a) x– = 20,52

q = 0,2

b) 21 – 20,9 = (21 – 20,8)

Son = 7 botellas de cada 200, un 3,5%.

13 De una muestra de 75 pilas eléctricas, se han obtenido estos datos sobre suduración:

a) Representa los datos gráficamente.

b)Calcula la media y la desviación típica.

c) ¿Qué porcentaje de pilas hay en el intervalo (–x – q, –x + q)?

d)Calcula Q1, Me, Q3, p30, p60, p95.

a)

25

5

10

15

20

25

30

30 35 40 45HORAS

50 55 60 65 70

TIEMPO (en horas)

[25, 30)

[30, 35)

[35, 40)

[40, 45)

[45, 55)

[55, 70)

N.º DE PILAS

3

5

21

28

12

6

142

12

CONCENT.(mg/l )

[20; 20,2)

[20,2; 20,4)

[20,4; 20,6)

[20,6; 20,8)

[20,8, 21)

NÚMERODE BOTELLAS

15

38

76

57

14

Unidad 8. Estadística 13

8UNIDAD

b) x– = 42,63; q = 7,98

c) x– – q = 34,65; x– + q = 50,61

En el intervalo [30, 35):

35 – 34,65 = 0,35 8 = 0,35

En el intervalo [45, 55):

50,61 – 45 = 5,61 8 = 6,73

En total:

0,35 + 21 + 28 + 6,73 = 56,08

Por tanto, en el intervalo (x– – q, x– + q) hay un · 100 = 74,77% del totalde pilas.

d) Q1 = 37,55; Me = 41,51; Q3 = 44,87; p30 = 38,45; p60 = 42,86; p95 = 60,63

14 Las estaturas de los 40 alumnos de una clase vienen dadas en la siguiente ta-bla:

a) Calcula la media y la desviación típica.

b)Di el valor de la mediana y de los cuartiles.

c) ¿Qué centil corresponde a una estatura de 180 cm?

a) n = 40, Sx = 6 980 8 x– = 174,5

Sx2 = 1 219 370 8 q = 5,83

b) Me = 174,6; Q1 = 170,3; Q2 = 178,1

c) A 180 cm le corresponde el centil 82.

Página 223

15 En la distribución de las notas de un examen el primer cuartil fue 4. ¿Quésignifica esto?

Por debajo de 4 quedaron un 25%.

CUESTIONES TEÓRICAS

INTERVALOS

158,5 - 163,5

163,5 - 168,5

168,5 - 173,5

173,5 - 178,5

178,5 - 183,5

183,5 - 188,5

N.º DE ALUMNOS

1

5

11

14

6

3

56,0875

5,61 · 1210

0,35 · 55

Unidad 8. Estadística14

16 La nota media de los aprobados en un examen de Matemáticas ha sido 6,8, yla de los suspensos, 3,5. Calcula la nota media de la clase sabiendo que hubo35 aprobados y 15 suspensos.

238 + 52,5 = 290,5

290,5 : (35 + 15) = 290,5 : 50 = 5,81

La nota media fue de 5,81.

17 La estatura media de los 38 alumnos y alumnas de una clase es de 168 cm.Las chicas, que son 17, miden 162 cm de media. Calcula la estatura media delos chicos.

6384 – 2 754 = 3 630

3 630 : (38 – 17) = 3 630 : 21 = 172,85

La estatura media de los chicos es 172,85 cm.

18 Justifica que la suma de las frecuencias relativas es siempre igual a 1.

S f ri = S = Sfi = · n = 1

19 Completa la tabla de esta distribución en la que sabemos que su media es 2,7.

= 2,7

= 2,7 8 44 + 2f2 = 40,5 + 2,7f2 8 3,5 = 0,7 f2 8 f2 = 5

Luego la tabla queda:

20 Dos distribuciones estadísticas, A y B, tienen la misma desviación típica.

a) Si la media de A es mayor que la de B, ¿cuál tiene mayor coeficiente devariación?

b)Si la media de A es doble que la de B, ¿cómo serán sus coeficientes devariación?

a) B.

b) El coeficiente de variación de A es la mitad que el de B.

xi

fi

1

3

2

5

3

7

4

5

44 + 2f215 + f2

3 · 1 + f2 · 2 + 7 · 3 + 5 · 4

3 + f2 + 7 + 5

xi

fi

1

3

2

…

3

7

4

5

1n

1n

fin

°¢£

17 · 162 = 2 754

38 · 168 = 6 384

°¢£

6,8 · 35 = 238

3,5 · 15 = 52,5

Unidad 8. Estadística 15

8UNIDAD

Página 223

AUTOEVALUACIÓN

1. Las estaturas de los componentes de tres equipos in-fantiles de baloncesto, A, B, C, se distribuyen segúnlas gráficas y con los parámetros que se dan a conti-nuación:

¿Qué gráfica corresponde a cada equipo? Contesta razonadamente.

A 8 B 8 C 8

2. Los pesos de 40 alumnos de una clase se distribuyen del siguiente modo:

a) Representa gráficamente (histograma) y estima x– y q.

b)Calcula numéricamente x– y q yobtén el porcentaje de chicos quehay en el intervalo (x– – q, x– + q).

c) Calcula la mediana y los cuartiles yestima el centil que corresponde acada una de las siguientes medidas:40 kg, 50 kg, 60 kg, 70 kg.

a)

35,5 42,5 49,5 56,5 63,5

2

4

6

8 x– ≈ 53,5 kg

q ≈ 8 kg

10

70,5 77,5

12

INTERVALOS

35,5 - 42,5

42,5 - 49,5

49,5 - 56,5

56,5 - 63,5

63,5 - 70,5

70,5 - 77,5

N.º DE ALUMNOS

2

11

13

9

3

2

213

170

1

2

3

4 1 2 3

175 180 165

1

2

3

4

170 175 180 165

1

2

3

4

170 175 180 185

x–A

q

175

6,5

B

174,3

3,2

C

172,1

4,5

Unidad 8. Estadística16

b)

x– = = 54,05 kg

q = = 8,36 kg

(x– – q, x– + q) = (45,69; 62,41)

Hay un 67% de la población en dicho intervalo.

c)

• Me está en el intervalo [49,5; 56,5).

= 8 x = ≈ 3,77

Me = 49,5 + 3,77 = 53,27 kg

• Q1 está en el intervalo [42,5; 49,5).

= 8 x = ≈ 5,09

Q1 = 42,5 + 5,09 = 47,59 kg

• Q3 está en el intervalo [56,5; 63,5):

= 8 x = ≈ 3,11

Q3 = 56,5 + 3,11 = 59,61 kg

• A 40 kg le corresponde el centil 3, aproximadamente.

• A 50 kg le corresponde el centil 35, aproximadamente.

• A 60 kg le corresponde el centil 76, aproximadamente.

• A 70 kg le corresponde el centil 94, aproximadamente.

7 · 1022,5

787,5 – 65

x75 – 65

7 · 2027,5

732,5 – 5

x25 – 5

7 · 17,532,5

765 – 32,5

x50 – 32,5

INTERVALOS

35,5 - 42,5

42,5 - 49,5

49,5 - 56,5

56,5 - 63,5

63,5 - 70,5

70,5 - 77,5

xi

39

46

53

60

67

74

fi

2

11

13

9

3

2

Fi

2

13

26

35

38

40

EN %

5

32,5

65

87,5

95

100

MARCAS DE CLASE fi

39

46

53

60

67

74

2

11

13

9

3

2

40

fi · xi

78

506

689

540

201

148

fi · xi2

3042

23276

36517

32400

13467

10952

2162 119654

119 654√—– 54,052

40

2 16240

Unidad 8. Estadística 17

8UNIDAD

3. En una fábrica de tornillos se mide la longitud (en mm) de algunos de ellos yse obtiene:

22, 20, 18, 15, 19 22, 16, 19, 23, 18

17, 23, 23, 21, 18 20, 22, 18, 25, 23

22, 22, 19, 19, 20 21, 18, 24, 17, 20

19, 23, 21, 23, 21 20, 19, 21, 20, 22

19, 20, 18, 21, 19 18, 20, 22, 21, 19

a) Haz una tabla de frecuencias con datos aislados: 15, 16, …, 23, 24, 25. Cal-cula x–, q, Q1, Me, Q3.

b)Haz una nueva tabla agrupando los valores en seis intervalos de extremos14,5-16,5-18,5-20,5-22,5-24,5-26,5. Vuelve a calcular x–, q, Q1, Me, Q3.

c) ¿Qué centil corresponde a 24 mm en cada una de las dos distribuciones?

a)

x– = = 20,2 mm

q = = 2,12 mm

Me = 20 mm

Q1 = 19 mm

Q3 = 22 mm

b)

• x– = = 20,22 mm

q = = 2,22 mm20688,5√—– 20,222

50

1 01150

INTERVALOS

14,5 - 16,5

16,5 - 18,5

18,5 - 20,5

20,5 - 22,5

22,5 - 24,5

24,5 - 26,5

xi

15,5

17,5

19,5

21,5

23,5

25,5

fi

2

9

17

14

7

1

fi · xi

31

157,5

331,5

301

164,5

25,5

fi · xi2

480,5

2 756,25

6 464,25

6 471,5

3 865,75

650,25

50 1 011 20 688,5

EN %

4

22

56

84

98

100

Fi

2

11

28

42

49

50

xi fi

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

1

1

2

7

9

8

7

7

6

1

1

50

fi · xi

15

16

34

126

171

160

147

154

138

24

25

fi · xi2

225

256

578

2268

3249

3200

3087

3388

3174

576

625

1010 20626

Fi

1

2

4

11

20

28

35

42

48

49

50

20 626√— – 20,22

50

1 01050

Unidad 8. Estadística18

• La mediana está en el intervalo [18,5; 20,5).

= 8 x = ≈ 1,65

Me = 18,5 + 1,65 = 20,15 mm

• Q1 está en el intervalo [18,5; 20,5).

= 8 x = ≈ 0,18

Q1 = 18,5 + 0,18 = 18,68 mm

• Q3 está en el intervalo [20,5; 22,5).

= 8 x = ≈ 1,36

Q3 = 20,5 + 1,36 = 21,86 mm

c) • Con datos aislados.

Si x1 = 24 8 Fi = 49 8 le corresponde un porcentaje acumulado del 98%.

Por tanto: p98 = 24 mm

• Con datos agrupados.

Nos fijamos en el intervalo [22,5; 24,5):

= 8 x = = 10,5

El percentil correspondiente a 24 mm es: 84 + 10,5 = 94,5

1,5 · 142

24 – 22,52

x98 – 84

2 · 1928

284 – 56

x75 – 56

2 · 334

256 – 22

x25 – 22

2 · 2834

256 – 22

x50 – 22

Unidad 8. Estadística 19

8UNIDAD