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ANÁLISIS MATRICIAL 561 EJEMPLO 11.29 Resuelva la estructura mostrada. El apoyo A puede considerarse como un empotramiento perfecto, mientras que el B admite giro con respecto al eje Y. Todos los elementos sopor- tan una carga vertical de 15 kN/m, que actúa en el sentido negativo del eje Z. Su sección transversal mide 300 mm × 400 mm, el módulo de elasticidad E, vale 22 kN/mm 2 y el de corte, G, 8.5 kN/mm 2 . Solución Se adoptan las siguientes numeración y orientación: Del ejemplo 11.26 (página 546) J = 1.944 × 10 –3 m 4 GJ = 8.5 × 10 6 × 1.944 × 10 –3 = 16520 kNm 2 EI = 22 × 10 6 × 0.3 × 0.4 3 / 12 = 35200 kNm 2 y el cuadro de propiedades básicas queda así:

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Analisis Matricial de Estructuras

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  • ANLISIS MATRICIAL 561

    EJEMPLO 11.29

    Resuelva la estructura mostrada. El apoyo A puede considerarse como un empotramiento perfecto, mientras que el B admite giro con respecto al eje Y. Todos los elementos sopor-tan una carga vertical de 15 kN/m, que acta en el sentido negativo del eje Z. Su seccin transversal mide 300 mm 400 mm, el mdulo de elasticidad E, vale 22 kN/mm2 y el de corte, G, 8.5 kN/mm2.

    Solucin

    Se adoptan las siguientes numeracin y orientacin:

    Del ejemplo 11.26 (pgina 546)

    J = 1.944 103 m4

    GJ = 8.5 106 1.944 103 = 16520 kNm2

    EI = 22 106 0.3 0.43 / 12 = 35200 kNm2

    y el cuadro de propiedades bsicas queda as:

  • 562 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    Elemento L GJ/L 2EI/L 4EI/L 6EI/L2

    12EI/L3

    1 2 3.000 5510 23470 46930 23470 15640 3 2 2.000 8260 35200 70400 52800 52800 4 1 2.236 7390 31480 62970 42240 37780

    Adems, para el elemento 41:

    = 2/2.236 = 0.894 2 = 0.800 = 1/2.236 = 0.447 2 = 0.200 = 0.400

    18510LEI4

    LGJ 22

    =+ 15550LEI2

    LGJ

    =

    +

    22230LEI4

    LGJ

    =

    50LEI4

    LGJ 2

    =+

    6 188902EI

    L = 6 377802

    EIL

    =

    + =GJL

    EIL

    2 22 384 GJL

    EIL

    2 22 23710+ =

    Fuerzas de empotramiento:

    25.1112/915MM F21xF12x === kNm

    kN50.222/315ZZ F21F12 === 00.512/415MM F23yF32y === kNm

    kN00.152/215ZZ F23F32 === 25.612/515MM F

    14yF

    41y=== kNm

    kN77.162/236.215ZZF14

    F41 ===

    Los valores de este elemento deben pasarse a coordenadas generales:

  • ANLISIS MATRICIAL 563

    Mx41 = 6.25 = 2.80 kNm Mx14 = 2.80 kNm

    My41 = 6.25 = 5.59 kNm My14 = 5.59 kNm

    Las fuerzas en Z no cambian; por consiguiente, al aplicar las ecuaciones (11.71), (11.70) y (11.73) resulta: x1 y1 w1 x2 y2 w2

    +

    =

    2

    2y

    2x

    1

    1y

    1x

    21

    21y

    21x

    12

    12y

    12x

    w

    w

    1564002347015640023470055100055100

    23470046930234700234701564002347015640023470

    0551000551002347002347023470046930

    50.220

    25.1150.220

    25.11

    ZMMZMM

    x3 y3 w3 x2 y2 w2

    =

    =

    +

    =

    2

    2y

    2x

    3

    3y

    3x

    23

    23y

    23x

    32

    32y

    32x

    w

    0w

    0

    52800528000528005280070400035200

    008260052800528000528005280035200070400

    0082600

    00.1500.5000.1500.5

    0

    ZMMZMM

    x4 y4 w4 x1 y1 w1

    =

    ==

    +

    =

    1

    1y

    1x

    4

    4y

    4x

    14

    14y

    14x

    41

    41y

    41x

    w

    0w00

    3778037780188903778051850222301889022230185103778037780188903778023710155501889015550380

    67.1659.580.277.1659.580.2

    ZMMZMM

  • 564 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    Y ensamblando los trminos correspondientes a los desplazamientos libres:

    +

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    00.550.3700.525.1127.3959.545.8

    0M0Z

    0M0M

    0Z0M0M

    3y

    2

    2y

    2x

    1

    1y

    1x

    x1 y1 w1 x2 y2 w2 y3

    3y

    2

    2y

    2x

    1

    1y

    1x

    w

    w

    704005280035200000052800684405280023470156400234703520052800759100055100

    0234700551902347002347001564002347053420377804580005510037780573602223002347002347045802223065440

    Resolviendo el sistema, se obtiene:

    x1 = 4.771 103 rad x2 = 3.849 103 rad y1 = 5.073 103 rad y2 = 1.093 102 rad w1 = 9.064 103 m w2 = 2.337 102 m y3 = 1.213 102 rad

    y reemplazando estos valores en las ecuaciones originales se hallan las fuerzas internas:

    Mx12 = 32.67 kNm = M y12

    My12 = 32.27 kNm = M x12

    Z12 = 43.87 kN = Z12 Mx21 = 31.80 kNm = M y21

    My21 = 32.27 kNm = M x21

    Z21 = 1.13 kN = Z21

  • ANLISIS MATRICIAL 565

    Mx32 = 31.80 kNm = M x32

    My32 = 0 = M y32

    Z32 = 31.13 kN = Z32 Mx23 = 31.80 kNm = M x23

    My23 = 32.27 kNm = M y23

    Z23 = 0 kN = Z23 Mx41 = 93.31 kNm My41 = 153.54 kNm Z41 = 77.41 kN Mx14 = 32.67 kNm My14 = 32.27 kNm

    Z14 = 43.87 kN Para convertir las fuerzas internas del miembro 4-1 a coordenadas locales, se utiliza la matriz de transformacin respectiva.

    =

    =

    kN87.43mkN47.43

    kN79.14kN41.77

    mkN06.179mkN79.14

    87.4327.3267.3241.7754.15331.93

    1000000894.0447.00000447.0894.00000001000000894.0447.00000477.0894.0

    Z

    MMZ

    MM

    14

    14y

    14x

    41

    41y

    41x

    Verificacin del equilibrio general:

  • 566 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    Mx = 31.80 + 93.31 30 4 45 2.5 33.54 0.5 + 31.13 4 = 0.36 kNm

    My = 153.54 + 30 1 + 45 2 + 33.54 1 = 0.00 kNm

    Z = 77.41 + 31.13 30.00 45.00 33.54 = 0.00 kN

    A continuacin se dibujan todos los diagramas:

  • ANLISIS MATRICIAL 567

    Con lo cual queda terminado el problema.

    11.25 MATRIZ DE RIGIDEZ, REFERIDA A COORDENADAS LOCALES, DE UN ELEMENTO DE PRTICO PLANO EN EL ESPACIO

    El caso ms general de estructura reticular es el de un prtico en el espacio cuyos nudos tie-nen seis grados de libertad, correspondientes a tres desplazamientos y tres rotaciones. stos resultan, a su vez, de seis solicitaciones: fuerza axial, corte en dos direcciones, flexin biaxial y torsin, como se ve en la figura 11.30, en la cual se ha supuesto que las cargas que las originan estn contenidas en los planos principales del elemento.

  • 568 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    Figura 11.30 Solicitaciones de un elemento de prtico espacial.

    Para obtener la matriz de rigidez de tal elemento basta con aplicar el significado fsico de los trminos de cada columna, como se explica en la figura 11.31. El resultado es la ecuacin (11.74), que define la matriz [ K ], necesaria para el clculo de la matriz de rigidez referida a coordenadas generales, de un elemento arbitrariamente orientado en el espacio. Adems, dicha ecuacin (11.74) se puede aplicar directamente a elementos orientados en la direccin del eje X de la estructura. El significado de los trminos se explica en la figura referida.

    11.26 MATRICES DE RIGIDEZ, REFERIDAS A COORDENADAS GENERALES, DE ELEMENTOS ORIENTADOS EN LA DIRECCIN DE LOS EJES Y Y Z DE LA ESTRUCTURA

    Para facilitar el clculo manual o la solucin con computadora de prticos espaciales orto-gonales se presentan las ecuaciones (11.75) y (11.76), aplicables a elementos orientados en la direccin de los ejes Y y Z de la estructura, respectivamente. Su deduccin se basa en las figuras 11.33 y 11.35 y en el significado fsico de los trminos de las matrices corres-pondientes.

  • ANLISIS MATRICIAL 569

    Figura 11.31 Deduccin de los trminos de la matriz de rigidez de un elemento de prtico espacial, orientado en la direccin del eje X de la estructura, referida a coordenadas generales.

  • 570 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    Figura 11.31 (Continuacin) Deduccin de los trminos de la matriz de rigidez de un elemento de prtico espacial, orientado en la direccin del eje X de la estructura, referida a coordenadas

    generales.

  • 570 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    X

    Y

    Z

    M

    M

    M

    X

    Y

    Z

    M

    M

    M

    X

    Y

    Z

    M

    M

    M

    X

    Y

    Z

    M

    M

    M

    i

    i

    i

    xi

    yi

    zi

    ji

    ji

    ji

    xj

    yj

    zj

    iF

    iF

    iF

    xiF

    yiF

    ziF

    jF

    jF

    jF

    xjF

    yjF

    zjF

    =

    +

    AEL

    AEL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    GJL

    GJL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    AEL

    AEL

    EIL

    EIL

    z z z z

    y y y y

    y y y y

    z Z z Z

    z z

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 12 0 0 0 6 0 12 0 0 0 6

    0 012

    06

    0 0 012

    06

    0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 06

    04

    0 0 06

    02

    0

    0 6 0 0 0 4 0 6 0 0 0 2

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 12 0 0 0 6

    3 2 3 2

    3 2 3 2

    2 2

    2 2

    3 2 012 0 0 0 6

    0 012

    06

    0 0 012

    06

    0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 06

    02

    0 0 06

    04

    0

    0 6 0 0 0 2 0 6 0 0 0 4

    3 2

    3 2 3 2

    2 2

    2 2

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    GJL

    GJL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    u

    v

    z z

    y y y y

    y y y y

    z Z z Z

    i

    i

    i

    xi

    yi

    zi

    j

    j

    j

    xj

    yj

    zj

    w

    u

    v

    w

    (11.74) Figura 11.32 Ecuacin bsica de un elemento de prtico espacial, orientado en la direccin del eje X de la estructura, referida a

    coordenadas generales.

  • ANLISIS MATRICIAL 571

    Figura 11.33 Deduccin de los trminos de la matriz de rigidez de un elemento de prtico espacial, orientado en la direccin del eje Y de la estructura, referida a coordenadas generales.

  • 572 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    Figura 11.33 (Continuacin) Deduccin de los trminos de la matriz de rigidez de un elemento de prtico espacial, orientado en la direccin del eje Y de la estructura, referida a coordenadas

    generales.

  • ANLISIS MATRICIAL 573

    X

    Y

    Z

    M

    M

    M

    X

    Y

    Z

    M

    M

    M

    X

    Y

    Z

    M

    M

    M

    X

    Y

    Z

    M

    M

    M

    i

    i

    i

    xi

    yi

    zi

    ji

    ji

    ji

    xj

    yj

    zj

    iF

    iF

    iF

    xiF

    yiF

    ziF

    jF

    jF

    jF

    xjF

    yjF

    zjF

    =

    +

    12 0 0 0 0 6 12 0 0 0 0 6

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 12 6 0 0 0 0 12 6 0 0

    0 0 6 4 0 0 0 0 6 2 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    6 0 0 0 0 4 6 0 0 0 0 2

    12 0 0 0 0 6 12 0 0 0 0 6

    0

    3 2 3 2

    3 2 3 2

    2 2

    2 2

    3 2 3 2

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    AEL

    AEL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    GJL

    GJL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    z z z z

    x x x x

    x x x x

    z z z z

    z z z z

    AEL

    AEL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    GJL

    GJL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    u

    v

    x x x x

    x x x x

    z z z z

    i

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 12 6 0 0 0 0 12 6 0 0

    0 0 6 2 0 0 0 0 6 4 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    6 0 0 0 0 2 6 0 0 0 0 4

    3 2 3 2

    2 2

    2 2

    i

    i

    xi

    yi

    zi

    j

    j

    j

    xj

    yj

    zj

    w

    u

    v

    w

    (11.75)

    Figura 11.34 Ecuacin bsica de un elemento de prtico espacial, orientado en la direccin del eje Y de la estructura, referida a coordenadas generales.

  • 574 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    Figura 11.35 Deduccin de los trminos de la matriz de rigidez de un elemento de prtico espacial, orientado en la direccin del eje Z de la estructura, referida a coordenadas generales.

  • ANLISIS MATRICIAL 575

    Figura 11.35 (Continuacin) Deduccin de los trminos de la matriz de rigidez de un elemento de prtico espacial, orientado en la direccin del eje Z de la estructura, referida a coordenadas

    generales.

  • 576 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    X

    Y

    Z

    M

    M

    M

    X

    Y

    Z

    M

    M

    M

    X

    Y

    Z

    M

    M

    M

    X

    Y

    Z

    M

    M

    M

    i

    i

    i

    xi

    yi

    zi

    ji

    ji

    ji

    xj

    yj

    zj

    iF

    iF

    iF

    xiF

    yiF

    ziF

    jF

    jF

    jF

    xjF

    yjF

    zjF

    =

    +

    120 0 0

    60

    120 0 0

    60

    0 12 0 6 0 0 0 12 0 6 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 6 0 4 0 0 0 6 0 2 0 06

    0 0 04

    06

    0 0 02

    0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 012

    0 0 06

    012

    0 0 06

    0

    3 2 3 2

    3 2 3 2

    2 2

    2 2

    3 2 3 2

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    AEL

    AEL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    GJL

    GJL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    y y y y

    x x x x

    x x x x

    y y y y

    y y y y

    0 12 0 6 0 0 0 12 0 6 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 6 0 2 0 0 0 6 0 4 0 06

    0 0 02

    06

    0 0 04

    0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    3 2 3 2

    2 2

    2 2

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    AEL

    AEL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    EIL

    GJL

    GJL

    u

    v

    x x x x

    x x x x

    y y y y

    i

    i

    i

    xi

    yi

    zi

    j

    j

    j

    xj

    yj

    zj

    w

    u

    v

    w

    (11.76) Figura 11.36 Ecuacin bsica de un elemento de prtico espacial, orientado en la direccin del eje Z de la estructura, referida a coordenadas

    generales.

  • ANLISIS MATRICIAL 577

    Ejemplo 11.30

    Resuelva matricialmente el prtico de la figura.

    E = 22 kN/mm2

    G = 8.5 N/mm2

    Solucin

    Se adopta la siguiente numeracin de nudos y orientacin de elementos, que coincide con la de los miembros estudiados en el artculo anterior.

    Al calcular las propiedades elsticas es necesario tener especial cuidado con la nomen-clatura y recordar que los subndices corresponden a los ejes generales.

    Elemento 12:

    A = 300 400 = 120000 mm2 Iz = 300 (400)3/12 = 1.600 109 mm4 = 1.600 103 m4

  • 578 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    Iy = 400 (300)3/12 = 9.000 108 mm

    4 = 9.000 104 m4

    J = Cbt3

    1800.0400300

    1211

    40030021.03

    1C4

    =

    =

    J = 0.1800 400 (300)3 = 1.944 109 mm4 = 1.944 103 m4 GJ = 8.5 106 1.944 103 = 16520 kNm2 EIy = 22 106 9.000 104 = 19800 kNm2 EIz = 22 106 1.600 103 = 35200 kNm2

    Elemento 41:

    A = 400 250 = 100000 mm2

    Ix = 400 (250)3/12 = 5.208 108 mm4 = 5.208 104 m4

    Iy = 250 (400)3/12 = 1.333 109 mm

    4 = 1.333 10

    3 m4

    20375.0400250

    1211

    40025021.03

    1C4

    =

    =

    J = 0.20375 400 (250)3 = 1.2734 109 mm4 = 1.2734 103 m4 GJ = 8.5 106 1.2734 103 = 10820 kNm2 EIx = 22 106 5.208 104 = 11460 kNm2 EIy = 220 105 1.600 103 = 29330 kNm2

    Elemento 31:

    Por analoga con el elemento 12:

    A = 120000 mm2

    GJ = 16520 kNm2 EIx =19800 kNm2

    EIz = 35200 kNm2

    De tal manera que el cuadro auxiliar de propiedades bsicas queda as:

  • ANLISIS MATRICIAL 579

    Elemento AE/L GJ/L 2EIx/L 4EIx/L 6EIx/L2 12EIx /L

    3 2EIy/L

    1 2 528000 3300 7920 4 1 733330 3610 7640 15280 7640 5090 19550 3 1 880000 5510 13200 26400 13200 8800

    Elemento 4EIy /L 6EIy /L2 12EIy /L

    3 2EIz/L 4EIz/L 6EIz/L

    2

    12EIz/L3

    1 2 15840 4750 1900 14080 28160 8450 3380 4 1 39110 19550 13040 3 1 23470 46930 23470 15640

    Las fuerzas de empotramiento son:

    00.5012/2524MM F21zF12z === kNm

    kN00.602/524FF F21

    F12

    ===

    25.2612/935MM F14zF41x === kNm

    kN50.522/335YY F14

    F41

    ===

    Y al utilizar las ecuaciones (11.74), (11.75) y (11.76) las expresiones individuales quedan como se muestra en las pginas siguientes:

    u1 v1 w1 x1 y1 z1

    ====

    =

    =

    +

    =

    0000w

    0v0u

    w

    v

    u

    1408000084500079200475000003300000047500190000

    84500003380000000528000

    2816000845000158400475000003300000047500190000

    84500003380000000528000

    00.50000

    00.600

    00.50000

    00.600

    MMMZYXMMMZYX

    2z

    2y

    2x

    2

    2

    2

    1z

    1y

    1x

    1

    1

    1

    21z

    21y

    21x

    21

    21

    21

    12z

    12y

    12x

    12

    12

    12

  • 580 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    u1 v1 w1 x1 y1 z1 XYZMMMXYZMMM

    x

    y

    z

    x

    y

    z

    41

    41

    41

    41

    41

    41

    14

    14

    14

    14

    14

    14

    052500

    2625000

    52500

    262500

    13040 0 0 0 19550 00 5090 0 7640 0 00 0 733330 0 0 00 7640 0 7640 0 0

    19550 0 0 0 19550 00 0 0 0 0 3610

    13040 0 0 0

    =

    +

    .

    .

    .

    .

    19550 00 5090 0 7640 0 00 0 733330 0 0 00 7640 0 15280 0 0

    19550 0 0 0 39110 00 0 0 0 0 3610

    000000

    4

    4

    4

    4

    4

    4

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    u

    v

    w

    u

    v

    w

    x

    y

    z

    x

    y

    z

    u1 v1 w1 x1 y1 z1 XYZMMMXYZMMM

    x

    y

    z

    x

    y

    z

    31

    31

    31

    31

    31

    31

    13

    13

    13

    13

    13

    13

    15640 0 0 0 0 234700 880000 0 0 0 00 0 8800 13200 0 00 0 13200 13200 0 00 0 0 0 5510 0

    23470 0 0 0 0 2347015640 0 0 0 0 23470

    0 880000 0 0 0 00 0 8800 13200 0 00 0 13200 26400 0 00 0 0 0 5510 0

    23470 0 0 0 0 46930

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    u

    v

    w

    u

    v

    w

    x

    y

    z

    x

    y

    z

    3

    3

    3

    3

    3

    3

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    000000

    Al ensamblar los trminos correspondientes al nudo libre, resulta:

  • ANLISIS MATRICIAL 581

    u1 v1 w1 x1 y1 z1

    +

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    1z

    1y

    1x

    1

    1

    1

    1z

    1y

    1x

    1

    1

    1

    w

    v

    u

    78700000845023470060460047500195500044980132007640047501320074403000

    845007640088847002347019550000556680

    00.500

    25.260

    50.1120

    0M0M0M

    0Z0Y0X

    Y resolviendo este sistema de ecuaciones:

    u1 = 2.688 105

    m

    v1 = 1.157 104

    m w1 = 1.001 10

    5 m

    x1 = 5.669 104

    rad

    y1 = 7.905 105

    rad

    z1 = 6.309 104

    rad

    Reemplazando estos valores en las ecuaciones originales, se obtiene:

    X12 = 14.19 kN X21 = 14.19 kN

    Y12 = 54.28 kN Y21 = 65.72 kN

    Z12 = 0.06 kN Z21 = 0.06 kN

    Mx12 = 1.87 kNm Mx21 = 1.87 kNm

    My12 = 0.17 kNm My21 = 0.11 kNm

    Mz12 = 31.26 kNm Mz21 = 59.86 kNm

    X41 = 0.20 kN X14 = 0.20 kN

    Y41 = 57.42 kN Y13 = 47.58 kN

    Z41 = 7.34 kN Z14 = 7.34 kN

    Mx41 = 31.47 kNm Mx14 = 16.70 kNm

    My41 = 0.37 kNm My14 = 0.22 kNm

    Mz41 = 2.28 kNm Mz14 = 2.28 kNm

  • 582 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    X31 = 14.39 kN X13 = 14.39 kN

    Y31 = 101.86 kN Y13 = 101.86 kN

    Z31 = 7.39 kN Z13 = 7.39 kN

    Mx31 = 7.35 kNm Mx13 = 14.83 kNm

    My31 = 0.04 kNm My13 = 0.04 kNm

    Mz31 = 14.18 kNm Mz13 = 28.98 kNm

    Verificacin del equilibrio general:

    Fx = 14.39 0.20 14.19 = 0.00 kN Fy = 101.86 + 65.72 + 57.42 105.00 120.00 = 0.00 kN Fz = 7.34 + 0.06 7.34 = 0.01 kN ( Mx)1 = 1.87 31.47 7.35 105 1.5 + 57.42 3 + 7.39 3 = 0.02 kNm ( My)1 = 0.11 0.37 0.04 0.06 5 + 0.20 3 = 0.00 kNm ( Mz)1 = 2.28 59.86 14.18 120 2.5 + 65.72 5 + 14.39 3 = 0.01 kNm

  • ANLISIS MATRICIAL 583

    Finalmente, se dibujan todos los diagramas:

  • 584 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

  • ANLISIS MATRICIAL 585

    11.27 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PRTICO, ARBITRARIAMENTE ORIENTADO EN EL ESPACIO, REFERIDA A COORDENADAS GENERALES

    En la figura 11.37 se representa un elemento de prtico arbitrariamente orientado en el espacio.

    Figura 11.37 Elemento de prtico, arbitrariamente orientado en el espacio.

    Al comparar esta figura con la 11.19, se ve que la nica diferencia es que ahora aparecen en cada uno vectores adicionales con doble flecha, correspondientes a los momentos y giros respectivos. En consecuencia, con base en la ecuacin (11.38) se puede deducir que

  • 586 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    la matriz de transformacin de coordenadas locales a coordenadas generales de tal elemento es:

    [ ]

    =

    0

    0

    0

    0

    T0000T0000T0000T

    T (11.77)

    en donde:

    =

    ZZZ

    YYY

    XXX

    0T (11.78)

    con los significados vistos anteriormente [ecuacin (11.37)] y:

    =

    000000000

    0 (11.79)

    Las ecuaciones (11.76) y (11.77) se pueden reemplazar entonces en la ecuacin (11.28) para obtener la matriz de rigidez del elemento de prtico espacial referida a coordenadas generales:

    [ ] [ ] [ ] [ ]K T K TT= (11.28) Este triple producto resulta muy complejo para desarrollarlo literalmente en el presente texto. En su lugar se acostumbra efectuarlo con valores numricos en los problemas especficos.

    11.28 PROGRAMACIN DE LOS MTODOS MATRICIALES PARA TODO TIPO DE ESTRUCTURAS RETICULARES CON MIEMBROS PRISMTICOS

    La solucin manual de una estructura grande por mtodos matriciales no es fcil, como puede apreciarse en los ejemplos desarrollados en este captulo. Por otra parte, el proceso sistemtico de dichos mtodos, idntico para todo tipo de estructuras, los hace ideales para su utilizacin con computadora digital. Gere y Weaver, en la primera edicin de la referencia 11.13, presentaron diagramas de flujo para la solucin de estructuras reticulares con miembros prismticos. En la segunda

  • ANLISIS MATRICIAL 587

    y tercera ediciones de la referencia citada, los diagramas de flujo fueron modificados para aprovechar las ventajas de la simetra y del carcter de banda de la matriz de rigidez. El autor desarroll, con base en los primeros diagramas, los programas en BASIC que constituyen los apndices H e I de las ediciones anteriores de este libro. Posteriormente elabor el sistema ANALEST (ANLisis de ESTructuras), formado por 42 programas que permiten analizar los siguientes tipos de estructuras reticulares, compuestas por elementos prismticos:

    1. Vigas continuas 2. Armaduras planas 3. Armaduras en el espacio 4. Prticos planos 5. Prticos en el espacio 6. Parrillas planas

    El lector interesado podr encontrar una descripcin de dichos programas y la codifi-cacin bsica en el libro Microcomputadores en ingeniera estructural (referencia 11.15). En dicha obra se incluye un disquete con todos ellos. Para esta edicin el autor cont con la colaboracin del ingeniero Carlos Fernando Ariza Moreno, quien modific los programas para que puedan correr en ambiente Windows. Esta versin se incluye en el disquete que se adjunta como obsequio para quienes adquieran el libro.

    EJERCICIOS 11.1 Calcule los desplazamientos de los nudos, las reacciones y las fuerzas internas en todas las barras de las cerchas siguientes, por el mtodo que utiliza la matriz de rigidez. El material es acero estructural con E = 200 kN/mm2.

  • 588 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    11.2 Calcule los esfuerzos producidos en la armadura del ejemplo 11.5 por un incre-mento de 40C en la temperatura del cordn superior y un error de fabricacin del mon-tante, por defecto, de 3 mm. Las reas, en mm2, aparecen entre parntesis. El material es acero con E = 200 kN/mm2 y = 0.000012 / C1.

    Barras 1-3 y 23: T = 40C

    3-4: L = 3 mm

    Para todas las barras: A = 10000 mm2

  • ANLISIS MATRICIAL 589

    11.3 Resuelva completamente el trpode mostrado, por el mtodo matricial de los despla-zamientos. Todas las barras tienen igual longitud y AE = 1000000 kN.

    Fx = 30 kN

    Fy = 100 kN Fz = 20 kN

    11.4 Analice por mtodos matriciales las vigas de los ejemplos 4.7, 4.12a y 5.3.

    11.5 Encuentre matricialmente el giro y desplazamientos del extremo de una viga en voladizo sometida a una carga repartida de modo uniforme. Compare esta solucin con la de cualquiera de los mtodos vistos anteriormente.

    11.6 Resuelva completamente los siguientes prticos por el mtodo matricial de los desplazamientos. Dibuje todos los diagramas. No olvide verificar el equilibrio general ni calcular los momentos mximos. Suponga para todos los elementos b = 300 mm, h = 400 mm, E = 19 kN/mm2.

  • 590 ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    (a) (b)

    11.7 Un balcn triangular est soportado por dos vigas de borde de 300 mm de ancho y 350 mm de altura, sometidas a las cargas que se indican en la figura. Analice matri-cialmente la estructura resultante. Suponga E = 20 kN/mm2 y G = 8.5 kN/mm2 .

    11.8 Una placa de 6.0 m 4.5 m est sometida a una carga de 25 kN/m2, que incluye su peso propio. La soportan cuatro vigas de borde de 300 mm 400 mm (b h), apoyadas en cuatro columnas de las mismas dimensiones, localizadas en las esquinas de la placa, con su mayor dimensin en el sentido de la luz de 6 m. Analice matricialmente la estruc-tura de soporte, suponiendo que las columnas estn empotradas en la base. Considere que los mdulos E y G valen 19 kN/mm2 y 8.5 kN/mm2, respectivamente, y aproveche la simetra. La altura del prtico es 3.00 m.

  • ANLISIS MATRICIAL 591

    REFERENCIAS

    11.1 Levy, S.- Computation of Influence Coefficients for Aircraft Structures with Dis-continuities and Sweepback, Journal of Aeronautical Sciences, Vol. 14, No. 10, octubre de 1947, pp. 547-560.

    11.2 Lang, A.L. y Bisplinghoff, R.L.- Some Results of Sweptback Wing Structural Studies, J. Aeronautical Sciences, Vol. 18, No. 11, noviembre de 1951, pp. 705-717.

    11.3 Langefors, B.- Analysis of Elastic Structures by Matrix Transformation with Special Regard to Semimonocoque Structures, J. Aeronautical Sciences, Vol. 19, No. 7, julio de 1952, pp. 451-458.

    11.4 Wehle, L.B. y Lansing, W.A.- Method for Reducing the Analysis of Complex Redundant Structures to a Routine Procedure, J. Aeronautical Sciences, Vol. 19, No. 10, octubre de 1952, pp. 677-684.

    11.5 Rand, T.- An Approximate Method for the Calculation of Stresses in Sweptback Wings, J. Aeronautical Sciences, Vol. 18, No. 1, enero de 1951, pp. 61-63.

    11.6 Levy, S.- Structural Analysis and Influence Coefficients for Delta Wings, J. Aeronautical Sciences, Vol. 20, No. 7, julio de 1953, pp. 449-454.

    11.7 Schuerch, H.U.- Delta Wing Design Analysis, trabajo presentado en la reunin aeronu-tica nacional de la SAE, Los ngeles, septiembre 29 a octubre 3 de 1953, preimpreso No. 141.

    11.8 Turner, M.J., Clough, R.W., Martin, H.C. y Topp, L.J.- Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures, J. Aeronautical Sciences, Vol. 23, No. 9, septiembre de 1956, pp. 805-824.

    11.9 Martin, H.C.- Introduction to Matrix Methods of Structural Analysis, McGraw-Hill, 1966.

    11.10 Beaufait, F.W., Rowan Jr., W.H., Hoadley, P.G. y Hackett, R.M.- Computer Methods of Structural Analysis, Prentice-Hall, 1970.

    11.11 Vanderbilt, M.D.- Matrix Structural Analysis, Quantum Publishers Inc., 1974. 11.12 McGuire, W. y Gallagher, R.H.- Matrix Structural Analysis, John Wiley & Sons, 1979. 11.13 Weaver Jr., W y Gere, J.M.- Matrix Analysis of Framed Structures, 3rd ed., D. Van Nos-

    trand Company, 1990. 11.14 Meyers, V.J.- Matrix Analysis of Structures, Harper & Row, 1983. 11.15 Uribe, J.- Microcomputadores en ingeniera estructural, Universidad Nacional de Co-

    lombia y Ecoe Ediciones, 1995.