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Modelos de nivel de líquido.

Buscamos unsuperficie librla ambiente. L

es un líquido

y llamamos b

teniendo en c

Modelos de N

a relación entre Q y H, por el teorema de Bernoulli tomemos la sección 1 en la e del tanque y la sección 2 en la salida, en ese caso ambas presiones son iguales a a diferencia de alturas es la profundidad del tanque H. Considerando que el fluido

incompresible tomamos un peso específico g constante.

hVPhPgg

V2

2

221

211

22++=++

γγ

P1 = P2 = Pambiente

h1 -h2 = H

la relación de los diámetros de la salida y del tanque

φφβ

1

2=

uenta la ecuación de continuidad

QSVSV =•=•2211

ivel de Líquidos pág. 1

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siendo la superficie de las secciones circulares

4

2φπ •=S

combinando estas últimas tres expresiones tenemos

β 2

21•=VV

reemplazando esta expresión en la del teorema de Bernoulli y teniendo en cuenta la igualdad de las presiones a la ambiente en las secciones que tomamos queda

HgV •=

−• 212

42 β

la velocidad de salida del líquido del tanque queda

HgV •−

=β 42

1

2

entonces la expresión del caudal de salida es:

HgD SCVSCQ D

•−

••=••=β 422 1

22

Donde CD es el coeficiente de descarga que tiene en cuenta la eficiencia del orificio de salida agrupamos todo lo que antecede a la raíz de H como una constante K

HKQ •=

Modelos de Nivel de Líquidos pág. 2

Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 3 de 10

Representamos esta relación de raíz cuadrada (no lineal) . Tomemos el difer

dQ

Definiremos dosmecánico a un cir Capacitancia: es nivel. Se hace essuperficie del tanen un circuito RCResistencia: es lasalida Suponemos el vainversa la llamam

1

Modelos de Nive

encial primero para linealizar la expresión del caudal

hdhdhdQq K

HQ

•=•

== ´

,

conceptos que tienen aplicación cuando se hace la analogía del problema cuito eléctrico ( en general R,L ,C en distintas configuraciones):

la razón entre el cambio en la cantidad de líquido acumulado y el cambio de ta interpretación puesto que en la ecuación diferencial ocupa el lugar de la que con lo cual se logra una equivalencia con el modelo de carga del capacitor . razón entre el cambio en la diferencia de niveles y el cambio en el caudal de

lor de la derivada en el punto de funcionamiento constante del valor K´ y a su os R pues coincide con la resistencia que opone el orificio a la salida de fluido,

Rhq =

0

l de Líquidos pág. 3

Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 4 de 10

las letras minúsculas indican variaciones alrededor del punto de funcionamiento, colocamos el subíndice “o” para simbolizar en este caso las variaciones del caudal de salida , y le colocaremos el subíndice i para simbolizar las variaciones del caudal de entrada

El volumen que se acumula en el tanque es la integral del caudal entrante menos el saliente en el tiempo y un diferencial de volumen será

A la superficie dpor otro lado loquedando

si transformamodespejar las varia

despejemos la re

)(

(

sh

shC

⋅

⋅

Modelos de Nive

[ ] dtqQqQdh oiSdV •+−+=•= )1

(

el tanque se la considera como la capacidad en este modelo por lo que S1 = C s caudales de diseño entran sumando y restando , por lo que se cancelan

qq oidtdhC −=•

2

s las expresiones 1 y 2 nos queda el siguiente sistema que nos permitirá ciones del nivel en función del caudal modulado de entrada qo

)()(

)()()(

0 shsqRsqsqsshC oi

=⋅−=⋅⋅

lación entre el caudal modulado qi(s) y el aumento de nivel h(s):

)(1

)()()

sqR

sC

Rshsqs

i

i

=

+⋅

−=⋅

l de Líquidos

1)(

)(

+⋅⋅=

sCRR

sqsh

i

pág. 4

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Sistemas con dos tanques

Para resolver el problema planteo las expresiones de C y R para cada tanque.

Tanque 1

(4)

(5) dt

Tanque 1 Tanque 2

H1 + h1

C1R1 R2

H2 + h2C2

Q+q1 Q+q2

Q+q

⇒−=⋅ 11

1 qqdh

C

)s(q)s(qs)s(hC 111 −=⋅⋅

⇒−

= 1

211

q

hhR

)s(h)s(h)s(qR 2111 −=⋅ (6)

Modelos de Nivel de Líquidos pág. 5

Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 6 de 10

Tanque 2

⇒−=⋅ 212

2 qqdt

dhC

)s(q)s(qs)s(hC 2122 −=⋅⋅ (7)

R2

Con las ecuaciones transformadas (4transferencias que me pidan por ejemplo:

(q

q sequiere Si

s(q

s(h ,

)s(q

)s(q

2

12

De (4) se eliminan las “h” utilizando De (6) se elimina h2(s) usando la (7) De lo que se obtiene se despeja q1(s)

sRCRC)s(q

)s(q2

2211

2

+⋅⋅⋅⋅=

Modelos de Nivel de Líquidos

2

22qhR =

)s(h)s(q 22 =⋅

), (5), (6) y (7) puedo calcular las distintas

:hacer debe se , )s

)s(

)s(q

)s(h ,

)

) 2

(5) y (7).(**) . y se lo reemplaza en (**) y listo.

( ) 1sRCRCRC

1

222111 +⋅⋅+⋅+⋅

pág. 6

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Sistemas con realimentación

Veamos en primer instancia como reacciona el tanque a una variación del valor deseado (Set point) en principio ya hemos deducido la transferencia del tanque en sí

el diagram

Siendo G la producproductoria de las deducida para la tra

Modelos de Nivel d

1

RhG

1T

+⋅⋅==

sRCqa de bloques sin considerar la perturbación será:

toria de las transferencias de la Rama directa es decir GC . GV . GT , y H la transferencias de la rama inversa o de realimentación aplicamos la fórmula nsferencia total de lazo cerrado es decir:

e Líquidos pág. 7

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HGG

hhref

s

.1+=

Demos valores literales a las transferencias y veamos a través del teorema del valor

final de la transformada como corrige por ejemplo un algoritmo de control GC solo proporciona, cuando se da a href un escalón unitario.

En estas condiciones tomamos una realimentación unitaria es decir admitimos que la transferencia de la rama de realimentación sea unitaria, de esta manera podemos comparar las variaciones que le damos al valor deseado directamente con la salida sin hacer adaptaciones de las magnitudes.

Demos ganancias estáticas genéricas (sin considerarles dinámica alguna) a las transferencias del control y la válvula, admitiendo que reaccionan mucho mas rápido que el tanque.

Entonces GC = Kp ganancia proporcional (algoritmo de control solo proporcional). Gv = Kv ganancia de la válvula (respuesta inmediata). GT es la transferencia del tanque ya vista, es decir la salida es el nivel y la entrada es el caudal que manipulamos a través de la válvula de control. Como hemos dicho la realimentación se toma unitaria H = 1 apliquemos la fórmula del lazo cerrado.

hh refHs GGGGGG

TVC

TVc •= •••+

••

1

Haciendo los reemplazos según los valores mencionados arriba queda

SHRCSR

RCSR

s KKKK

VC

Vch 1

11

1 •=•

+••+

+••

Operando sobre la misma nos queda

SRKKSCRRKK

VC

Vchs 11

•= ••++

••

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Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 9 de 10

apliquemos entonces el teorema del valor final de la transformada del Laplace que vimos dice:

)(lim)(lim 0 Ff Sst St •=→∞→

cual será entonces la salida del sistema cuando le pido que se modifique en una unidad

••

••++

••

→ SRKKSCRRKKSVC

Vc

s1

10lim

Vemos que el resultado es menor que la unidad que es lo que le solicitamos como valor deseado por lo que un algoritmo solo proporcional no corrige sin error a un sistema como el tanque que es de primer orden , mas adelante estudiaremos esto en mas detalle.

11<

••+

••

RKKRKKVC

Vc

En el caso de no modificar el valor deseado pero si se produce una perturbación como la indicada con NS en la figura al comenzar este tema en principio se debe deducir con álgebra de bloques la transferencia del nivel respecto de esa perturbación teniendo en cuenta el diagrama de bloques que vemos a continuación.

Nh ss GGGG

TVC

T •= ••+1

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Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 10 de 10

Si reemplazamos por los valores dados y aplicamos el teorema del valor final para un escalón unitario den NS sucede los siguiente

SRKKSCRR

VChs 1

1•= ••++

••

••++→ SRKKSCRRS

VCS1

10lim

que resulta nuevamente con un error permanente pues no debiera variar el valor de la variable controlada

01

>

••+ RKKR

VC

Vemos que cuanto mas ganancia KC en el controlador menor será el error permanente, la inversa de la carga R también influye , pero esta influencia disminuye al crecer. Vemos que la válvula tiene importancia en el control , si su funcionamiento no nos asegura un valor constante de KV o bien si este varía ,en forma no lineal ,o a saltos discretos tendremos ya respuestas que se van de la posibilidad de un análisis con estas herramientas matemáticas

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