OyO - P1- Optica Geometrica (1)

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  • Leyes fundamentales de la Optica GeometricaLentes delgadas y espejos

    Aplicaciones de la Optica Geometrica

    Optica Geometrica

    Alejandro Gallardo Lozada

    UPIITA

    Ingeniera Mecatronica

    1 de septiembre de 2015

    Dr. Alejandro Gallardo Lozada Optica Geometrica

  • Leyes fundamentales de la Optica GeometricaLentes delgadas y espejos

    Aplicaciones de la Optica Geometrica

    1 Leyes fundamentales de la Optica GeometricaNaturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexionPrincipio de Fermat y la ley de refraccion

    2 Lentes delgadas y espejosTipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    3 Aplicaciones de la Optica GeometricaLa Ecuacion del Rayo y el EspejismoFibra opticaEl telescopio, el Microscopio y el Ojo Humano

    Dr. Alejandro Gallardo Lozada Optica Geometrica

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    Naturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexionPrincipio de Fermat y la ley de refraccion

    Dr. Alejandro Gallardo Lozada Optica Geometrica

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    Naturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexionPrincipio de Fermat y la ley de refraccion

    Una onda consiste en la propagacion de una perturbacion de algunapropiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presion, campo electricoo campo magnetico, a traves de dicho medio, implicando un transporte deenerga y momento sin transporte de materia.

    El medio perturbado puede ser de naturaleza diversacomo aire, agua, un trozo de metal e, incluso, inma-terial como el vaco. La ecuacion que describe unaonda es:

    2(x, t) 1v2t(x, t) = 0. (1)

    Para esta ecuacion se vera mas adelanteque tiene solucion estacionaria, (x, t) =A cos (t + t) cos ( x + x), y una solucionde onda viajera. Esta solucion en una dimensionespacial es (x, t) = f (x vt) + g(x + vt).

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    Naturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexionPrincipio de Fermat y la ley de refraccion

    Se definen las cantidades fsicas para la descripcion de una onda:

    1 La frecuencia, , el numero de repeticiones por unidad de tiempo.

    2 La Frecuencia Angular, es la frecuencia del movimiento circularexpresada en proporcion del cambio de angulo.

    3 La Velocidad de propagacion, v , es la velocidad a la que se propagael movimiento ondulatorio.

    4 La longitud de onda, , es la distancia real que recorre una pertur-bacion en un determinado intervalo de tiempo.

    5 La Amplitud, A, medida de la variacion maxima del desplazamiento.

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    Naturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexionPrincipio de Fermat y la ley de refraccion

    Todas estas cantidades fsicas se relacionan deacuerdo a:

    v = ; v =

    k; k =

    2pi

    ; = 2pi. (2)

    Una onda electromagnetica esta caracterizada por su longitud de onda ysu frecuencia. Si el medio es el vaco o el aire la velocidad de propagaciones cLa clasificacion de las radiacion electromagnetica por la frecuencia y lalongitud de onda se llama espectro electromagnetico y es:

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    Naturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexionPrincipio de Fermat y la ley de refraccion

    Aunque en la actualidad se sabe que la luz es una onda electromagneticaque viaja hasta en el vaco y que se mueve con velocidad constante, c , eltratamiento de los sistemas opticos sencillo, y de nuestro interes, no reque-rira las propiedades ondulatorias de la luz ya que la longitud de onda de laluz suele ser muy pequena en comparacion con el tamano de obstaculos oaberturas que se encuentra a su paso.

    Esto permite en general despreciar los efectos decaracter ondulatorio de la luz. Sobre esta hipote-sis se asume una propagacion rectilnea de laluz, y al tratamiento de fenomenos lumnicos queson descritos mediante rayos de luz conoce comoOptica geometrica.

    Rayo de Luz

    El rayo luminoso es la lnea imaginaria que repre-senta la direccion por la que la luz se propaga.

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    Naturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexionPrincipio de Fermat y la ley de refraccion

    Un problema de interes es aquel que de una region compuesta de variosdielectricos diferentes. En este caso la interfaz que separa a los mediosdielectricos debe cumplir las llamadas condiciones de frontera.De esta manera un rayo que incide sobre un material dado dado estadescrito por:

    La normal, n es un vectorperpendicular a la superficie.

    Plano de incidencia se define comoel plano formado por la OEM incidentey la normal n.

    El angulo de incidencia, , estaformado por la OEM y n.

    Debe tomarse en cuenta que el plano puede cortar varios materiales, cadauno con caractersticas diferentes, por lo cual, el rayo se propagara demanera diferente.

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    Alrededor de 1860 el fsico danes Huygens propuso un mecanismo simplepara trazar la propagacion de ondas:

    Frente de onda

    es una superficie que pasa por todos los puntos del medio alcanzados porel movimiento ondulatorio en el mismo instante. Podemos trazar una seriede lneas perpendiculares a los sucesivos frentes de onda. Estas lneas sedenominan rayos y corresponden a las lneas de propagacion de la onda.

    En esta parte del curso nos trataremos entonces

    Medios opticos

    Son sistemas que se basan en propiedades opti-cas generalmente relacionadas con la transmi-sion, reflexion y refraccion de la luz.

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    Naturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexionPrincipio de Fermat y la ley de refraccion

    Ademas, las propiedades opticas basicas se pueden obtener mediante:

    Principio de Huygens

    Todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuen-te de ondas esfericas secundarias que se extienden en todas las direccionescon las mismas propiedades que el frente de onda del que proceden.

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    Naturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexionPrincipio de Fermat y la ley de refraccion

    Consideremos un medio optico densoque esta sumergido en vaco al cualse hace incidir un frente de onda enel material. Por el Principio de Huy-gens, cada punto de la interface delmaterial se considera como una fuen-te secundaria, la cual se propaga conuna velocidad c .

    Como se puede observar en el video,al dibujar una lnea perpendicular, elrayo, a la lnea de frente de ondaincidente y una a la lnea de frentede onda generada por las ondassecundarias de la interface, segenera un nuevo rayo el cual sedenomina el rayo reflejado.

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    Naturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexionPrincipio de Fermat y la ley de refraccion

    Se observa que AB recae so-bre el frente de onda entran-te mientras que CD recae so-bre el frente de onda saliente.Ademas ambas ondas estanen fase , AC = BD, as quecomo BD = vit = AC setiene:

    sin i

    BD=

    sin r

    AC(3)

    Ley de Reflexion

    El rayo incidente, el rayo reflejado yla normal, se encuentran en un mismoplano. El angulo de incidencia es igualal angulo de reflexion.

    i = r .

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    Naturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexionPrincipio de Fermat y la ley de refraccion

    1 Considere el rayo electromagnetico de la estacion RD que emite a99.3MHz . Determine la longitud de onda de la senal.

    2 Un rayo de luz a 200GHz atraviesa un material dielectrico. Cual esla velocidad de la luz en el dielectrico si la constante de propagacionk = 5.2 rad/m?

    3 Use la ley de reflexion para mostrar que la desviacion producidapor los dos espejos de la figura 1 esta dada por = + = 4pi 2.

    4 Un rayo entra al conjunto de espejos de la figura 2, este es reflejadovarias veces hasta salir del sistema. Escriba una expresion querelacione a los angulos i y

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    Indice de Refraccion

    Un medio optico se caracteriza por el Indicede Refraccion n 1 que indica la relacionentre la velocidad de la luz en el vaco(c = 3 108m/s) y la velocidad v en esemedio.

    n =c

    v(4)

    Si un medio es homogneo, su ndice de refraccion sera constante, y eltiempo que necesita la luz para recorrer una distancia d se podra calcularsimplemente como t = dv = n

    dc , que es proporcional a nd , a esta cantidad

    se le llama Longitud del camino optico, (lco). Ahora bien, si el mediono es homogeneo, el ndice de refraccion sera una funcion del vector deposicion de cada uno de sus puntos n = n(r). En este caso, la lco sera:

    lco =

    BA

    n(r) ds (5)

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    Como en muchos fenomenos fsicos la naturaleza se puede describir me-diante principios extremales. Un principio extremal es aquel que dice quela naturaleza se comporta haciendo que ciertas cantidades sean maximaso mnimas. De esta manera, para obtener las leyes de los rayos debemosenunciar el principio de Fermat que dice:

    Principio de mnimo tiempo de Fermat

    El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es talque el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posiblesvariaciones de la trayectoria.

    Este tipo de principios se pueden describir, mediante el calculo de varia-ciones, definiendo una funcional de la forma:

    S [s] :=

    BA

    n(s)ds = 0.

    donde es igual a la variacion de la funcional.

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    Sean dos medios con ndices de refraccionn1 y n2. La longitud del camino optico se-guido entre los puntos A y B en la figu-ra es CO = n1l1 + n2l2 = n1

    h21 + x

    2 +

    n2h22 + (d x)2. El CO mnimo es:

    dCO

    dx=

    xh21 + x

    2 n2 d x

    h21 + x2

    = 0

    De esto se llega a

    Ley de Snell

    El rayo refractado se encontrara en el mismo plano que el definido por elrayo incidente y la normal, siendo la razon entre los senos de los angulosde incidencia i y de refraccion t inversamente proporcional a la razon delos ndices de refraccion.

    n1 sin i = n2 sin t (6)

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    Supongase un caso de refraccion en el que n1 > n2. En ese caso, el angulode incidencia puede ser lo suficientemente grande como para que no tengasolucion el angulo de refraccion. Es decir, existe un lmite en el angulo deincidencia para que exista la refraccion, este angulo de incidencia ic es:

    sin ic =n2n1

    (7)

    Lo que significa que cualquier rayo incidente con un angulo i ic serareflejado. A este angulo se le denomina angulo critico.

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    Reflexion total interna

    es el fenomeno que se produce cuando un rayo de luz atraviesa un mediode IR n2 menor que el IR n1 en el que este se encuentra, se refracta detal modo que no es capaz de atravesar la superficie entre ambos mediosreflejandose completamente.

    Este fenomeno solo se produce para angulos de incidencia superiores a uncierto valor crtico, ic . La reflexion interna total se utiliza en fibra opticapara conducir la luz a traves de la fibra sin perdidas de energa. En una FOel material interno tiene un IR mas grande que el material que lo rodea. Elangulo de la incidencia de la luz es crtico para la base y su revestimientoy se produce una RTI que preserva la energa transportada por la fibra.

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    Naturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexionPrincipio de Fermat y la ley de refraccion

    Una radiacion con = 5 1014 Hz se propaga en el agua, n = 1.33.Calcular la vagua y agua de dicha radiacion.

    Cuando un tanque rectangular de 85 cm de altura y 114 cm de anchurase llena hasta el tope con un lquido desconocido, un observador conlos ojos al nivel de la parte superior del tanque puede ver precisamentela esquina opuesta. Determine n del lquido.

    Muestre que un rayo que incide, con i , sobre una cara de un cilindrorectangular de vdrio, el cual esta sumergido en aire, surgira por lacara opuesta con el mismo angulo. Ademas derive una expresion parala diferencia de camino del rayo si la anchura del vdrio es d .

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    Naturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexionPrincipio de Fermat y la ley de refraccion

    Un pez parece estar a 2m bajo la superficie de un estanque cuandoes visto por un pescador casi directamente por encima de el.

    Calcule el mnino valor que debe tener el ndice de refraccion de unprisma ABC de 45 empleado para girar 90, por RTI, un rayo deluz.

    El angulo de mnima desviacion en un prisma de 60 vale 45, en elcaso de luz monocromatica. Calcule el ndice de refraccion del prismapara esta longitud de onda.

    Muestre que para alguien mirando hacia abajo en una piscina, cual-quier objeto en el agua parece estar a 3/4 de su verdadera profundi-dad.

    Un rayo de luz de longitud de onda de 600mm en vaco entra a unbloque de vdrio de ndice de refraccion de 1.5. Calcule la longitudde onda del rayo en el bloque.De que color sera el rayo para alguienque este envebido en el bloque?

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    En esta seccion se estudiaran los sistemas opticos mas simples y de mayorutilidad. Se iniciara con la lente delgada.

    Lentes

    Las lentes son dispositivos refractoresque reconfigura la emision de rayosque pasan atraves de el.

    Las lentes en generl son dielectrico transparentes o semi-transparentes,limitados por dos superficies, de las que al menos una es curva.

    Las lentes convergentes (o positivas)son mas gruesas por su parte central ymas estrechas en los bordes, mientrasque las lentes divergentes (o negati-vas) son mas gruesas por los bordesy presentan una estrechez muy pro-nunciada en el centro.

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Cuando un haz de rayos atra-viesa una lente convergente,el punto en el cual converge(o cuando atraviesa una len-te divergente, el punto al cualdiverge) es el llamado puntofocal. Se llama eje optico ala lnea imaginaria que recorrelos centros de un sistema opti-co y forma angulo recto con elplano de la imagen.

    Considerando una lente positiva (negativa), si una fuente puntual estasituada en el eje optico despues (antes) del punto focal de una de sussuperficies, los rayos de la fuente convergeran (divergiran) a un punto lejosdespues (cercano antes) del punto focal de la otra superficie de la lentey si pusierramos una pantalla en ese punto se generara una imagen de lafuente que se dice es real (virtual).

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Considerese un rayo proce-dente de la fuente S que in-cide en la interfaz esferica deradio R centrada en C . V sedenomina vertice y s0 es ladistancia objeto. El rayo serarefractado en la interfaz haciala normal local (n2 > n1) ypor consiguiente al eje optico.La longitud si es la distanciaimagen. As TR = n1lo + n2li

    lo,(i) =R2 + (s0,(i) R)2 2R(s0,(i) R) cos.

    Ya que A se mueve en el extremo de radio fijo, es la variable, por lo quedel principio de Fermat se obtiene:

    n1l0

    +n2li

    =1

    R

    (n2sili n1s0

    l0

    )Dr. Alejandro Gallardo Lozada Optica Geometrica

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Consideremos ahora la aproximacion de considerar a los rayos paraxiales,que son aquellos que llegan con angulos pequenos, 0, de manera quecos 1, l0 s0 y li si , de manera que se obtiene:

    n1s0

    +n2si

    =n2 n1

    R.

    El segmento de frente de onda saliente que corresponde a estos rayosparaxiales es escencialmemte esferico y formara una imagen perfecta ensu centro P colocada en si .

    1 La distancia focal objeto, f0, se obtieneal considerar que F0 tiene su imagen enel infinito. f0 =

    n1n2n1

    2 La distancia focal imagen, fi , se obtieneal considerar que F0 tiene su objeto enel infinito. fi =

    n2n2n1

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Coloquemos ahora los puntos conjugados para una lente de ndice nl , ro-deada por un medio de ndice nm. Los rayos paraxiales que parten de S as01 se encontraran en P

    a una distancia de V1 que llamamos si1,por lo que: nms01 +

    nlsi1

    = nlnmR1 .Por lo tanto, referente a la segunda super-ficie, esta ve avanzar los rayos de P que lesirve como objeto punto colocado a una dis-tancia s02. Considerando que: s02 = si1+d ,se tiene que la ecuacion a la segunda super-fiecie es: nlsi1+d +

    nmsi2

    = nmnlR2 . Sumando lasecuaciones y considerando que d 0 y quenlm = nl/nm se obtiene

    Ecuacion de las lentes delgadas

    La ecuacion de Gauss para las lentes delgadas es:

    1

    so+

    1

    si=

    1

    f, donde

    1

    f= (nlm 1)

    (1

    R1 1

    R2

    )(8)

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    El proceso de formacion de imagenes en una lente es:

    La convencion de signos y posicionesindican que un objeto e imagen sonreales (virtuales) cuando s0 y si sonpositivas (negativas); estan derechas(invertidas) si y0 y yi son positivas(negativas), tambien el objeto estaderecho (invertido) si MT espositivo (negativo).

    s0, f0 +a la izquierda de Vx0 + a la izquierda de F0si , fi + a la derecha de Vxi + a la derecha de FiR + si C esta a la derecha de Vxi + arriba del eje optico

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Como podemos observar los triangulos S2S1F0 y BOF0 son semejantes,

    por lo que (sif )f =|yi |y0 , y usando las medidas de los puntos focales y la

    ecuacion de las lentes se obtiene

    Formula de Newton

    x0xi = f2 (9)

    Que indica que el objeto y la imagen deben hallarse en lados opuestos desus respectivos puntos focales.

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Aumento transversal

    MT =yiy0

    = sis0

    = xif

    = fx0

    (10)

    Donde una MT positiva indica una imagen derecha mientras que un valornegativo significa que la imagen esta invertida. Por lo que, todas lasimagenes reales formadas por una lente delgada simple seran invertidas.

    Aumento longitudinal

    ML =dxidx0

    = f2

    x20= M2T (11)

    Donde ML < 0 implica que de una dx0 positiva corresponde una dxinegativa y viceversa.

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    1 Suponga que un objeto a 10 in a la izquierda de una lente posi-tiva genera una imagen a 30 in a la derecha de la lente. Dondeaparecera la imagen ahora si el objeto se movio a 2.5 in de lalente. Describa completamente la imagen en ambos casos.

    2 Una botella de vino de 3 cm es puesta a 75 cm de una lentepositiva de 25 cm de longitud focal. Describa completamentela imagen resultante.

    3 Cual es la distancia focal de una lente planoconvexa de R =40 cm e ndice de refraccion de 1.5? Si, (a) La luz llega primeropor la parte curva; (b) La luz llega por la parte plana.

    4 Una lente convergente proyecta sobre una pantalla la imagende un objeto. El aumento transversal es de 10 y la distancia delobjeto a la pantalla es de 2.7. (a) Determine las posiciones dela imagen y el objeto; (b) Dibuje la trayectoria de los rayos; (c)Calcule la potencia de la lente, P = 1f .

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Podemos observar que las leyes que se han enunciado son iguales paralentes convergentes como para lentes divergentes, la unica diferencia es elsigno de las variables que se traten en las ecuaciones. Es decir,

    La formacion de imagenes en una len-te divergente se puede apreciar en lasiguiente imagen.

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Consideremos ahora el arreglo de dos lentes puestas paralelamete sobre elmismo eje focal. Ademas observese que f1 y f2 son mas grandes que d .Para la construccion de la imagen solo es necesario considerar dos rayos:el primero S2, L1,O2,P2 y el otro S2, L1, L2,P2.

    De la geometra se encuentra que la distancia del objeto en un sistema dedos lentes es:

    si =f2d f2f1s0/(s0 f1)d f2 f1s0/(s0 f1) (12)

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Se tiene que el Aumento transversal de la imagen final es

    MT = MT1MT2 (13)

    La distancia de la ultima superficie de un sistema optico hasta el segundopunto focal (s0 ) se denomina distancia focal posterior

    d .f .p =f2(d f2)

    d (f1 f2) (14)

    La distancia vertical de la primera superficie hasta el primer punto focal(s0 ) es la distancia focal frontal.

    d .f .f =f1(d f2)

    d (f1 f2) (15)

    Si d 0, entonce d .f .p. = d .f .f ., y la distancia focal efectiva es: es ladistancia focal frontal.

    d .f .e =1

    f=

    1

    f1+

    1

    f2. (16)

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Imagine que usted desea observar a su periquito atraves de unalente y observarlo de pie pero con altura de solo un tercio de laoriginal. Disene la lente que se debe usar as como determinela distancia del objeto y de la imagen para que esto suceda.Construya el diagrama de rayos.

    Una sistema de dos lentes bi-convexas L1 y L2 con f1 = 10 cm yf2 = 20 cm estan separadas por d = 80 cm. Describa la imagencorrespondiente de 5 cm de alto y puesta a 15 cm de la primeralente.

    Construya el diagrama de rayos del problema anterior. Calculela localizacion de la imagen intermedia y vefique que se consis-tente con su diagrama.

    Imagine que un sistema de dos lentes una positiva seguida deuna lente negativa a 20 cm. Si estas lentes tienen f1 = 40 cmy f2 = 40 cm respectivamente, determine las d .f .p. y d .f .f ..Cual sera la distancia focal efectiva

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    Aplicaciones de la Optica Geometrica

    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Espejo

    es una superficie pulida en la que al incidir la luz, se refleja bajo las leyesde reflexion y genera una rotacion de 180 alrededor del eje optico, efectoconocido como inversion

    Por reflexion, 0 = i .

    Por geometra, |s0| = |si |.La imagen es virtual.

    Se define s0 y si como negativas cuan-do esten a la izquierda del vertice V .Ademas MT = +1 indica una imagenvirtual derecha de tamano real.

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Como i = r del SAP es cortadoen dos partes iguales por CA, y porconsiguiente:

    SC

    SA=

    CP

    PA.

    Donde, SC = s0|R|, CP = |R|si ,y por convencion de signos |R| =R, ademas por la aproximacion pa-raxial, SA s0 y PA si , se tiene:

    so + R

    so= si + R

    si.

    De esta manera se obtiene al ecuacion de los espejos

    1

    so+

    1

    si= 2

    R=

    1

    f(17)

    Esta ecuacion es valida para espejos concavos R < 0 y convexos R > 0.

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    La convencion de signos para las cantidades involucradas en la ecuacionde los espejos es:

    Cantidad Positiva Negativas0, V ; OR A la der. de V ; OVsi A la izq. de V ; IR A la der. de V ; IVf Espejo concavo Espejo convexoR C a la der. V , Convexo C a la izq. V , Concavo.yo Encima del eje; OD Abajo del eje; OIyi Encima del eje; ID Abajo del eje; II

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Examine El Bano de Venus por Diego Rodrguez de Silva y Velasquez.Esta Venus mirandose ella misma en el espejo? Explique.

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    La pintura de Manet El Bar en la Folies Bergeres muestra a una chicaque esta enfrente de un espejo grande y plano. El espejo refleja su espalday a un hombre en traje de noche con quien ella parece estar hablando.Parecera que la intencion de Manet era dar la sensacion extana de que elespectador esta de pie en el mismo lugar que el caballero. Por las Leyes dela Optica Geometrica que esta mal.

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    Tipos de lentes y su ecuacionFormacion de imegenesEspejos y reflexion en superficies reflectoras esfericas

    Una rana se pone enfrente de dos espejos como se muestra en lafigura. Cuantas imagenes de la rana se veran? Dibujelas.

    Un espejo concavo tiene un radio de magnitud |R| y es centrado en C.Un objeto real erecto de altura |R|/6 esta localizada a una distanciade 3|R|/2 del vertice de l espejo. Dibuje la imagen formada.Una vela de 1 in de altura es puesta 3 in enfrente de un espejo concavode 1 ft de radio. Describa la imagen resultante y dibujela.

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    La Ecuacion del Rayo y el EspejismoFibra opticaEl telescopio, el Microscopio y el Ojo Humano

    Los espejismos

    son fenomenos opticos debidos a la refraccion de la luz en las capas de airecercano al suelo. Las capas en contacto con el suelo estan mas calienteslo que provoca que su IR sea menor que el de las capas superiores. As,un rayo que se propaga de arriba abajo se desva alejandose de la normalhasta que sufre refraccion total.

    En la trayecto de ascenso pasa de zo-nas en las que el IR es menor a otras(mas fras) en las que el IR es mayor,por lo que se refracta acercandose ala normal. El observador ve la ima-gen del objeto en la prolongacion delrayo. La imagen formada es virtual einvertida dando la impresion que seproduce por reflexion en las capas in-feriores que toman el aspecto de es-pejo (agua).

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    La Ecuacion del Rayo y el EspejismoFibra opticaEl telescopio, el Microscopio y el Ojo Humano

    El ndice de refraccion de aire depende de su densidad, la densidad dependede la temperatura y la presion que podemos considerar constante hasta unaaltura considerable. La temperatura por encima del suelo caliente disminuyerapidamente con la altura hasta que se estabiliza a una altura del orden deun metro. Se considera que el ndice de refraccion sigue un comportamientodescrito por la funcion:

    n2(y) = n20 + n2I

    (1 ey) (18)

    donde y es la altura por encima del suelo, n0, nI y son constantes quedescriben un determinado perfil.

    Por la ley de Snell n1 sin 1 = n2 sin 2. Por loque, para n medios se tendra: n1 sin 1 = n2 sin 2,n2 sin 2 = n3 sin 3, n3 sin 3 = n4 sin 4, ...,nn1 sin n1 = nn sin n

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    La Ecuacion del Rayo y el EspejismoFibra opticaEl telescopio, el Microscopio y el Ojo Humano

    Como el IR vara continuamente con la altura se tendra: n(y) sin = cte.Al variar el ndice de refraccion el rayo de luz describeuna curva, la pendiente de la recta tangente a dichacurva en un punto (x , y) es:

    dy

    dx=

    1

    tg=

    n2(y)

    n2(y0) sin2 0 1 (19)

    Para integrar esta ecuacion diferencial se consideraque el rayo inicia su recorriedo en (0, y0).

    Despues de varios cambios de variable y usando la definicion de la funcionreciproca del coseno hiperbolico se llega a que la ecuacion del rayo es:

    cosh1(ke

    y2

    )= n1k

    2np sin x + cosh1

    (ke

    y2

    )(20)

    donde n2p = n20 + n

    21 (1 ey0) y k2 = n

    20+n

    21n2p sin2 0n21

    .

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    La Ecuacion del Rayo y el EspejismoFibra opticaEl telescopio, el Microscopio y el Ojo Humano

    Las propiedades del rayo de luz son: este tiene un mnimo en:

    ym = 2Lnk, xm =

    2np sin

    n1kcosh1

    (key0/2

    ); (21)

    y la trayectoria que sigue la luz es simetrica respecto del mnimo.Cuando el observador se encuentra enuna posicion tal como A, recibira laluz directamente del objeto y tambiende los rayos que se han refractado ha-cia arriba debido a cambio brusco delndice de refraccion cerca de la super-ficie caliente. El observador vera unaimagen virtual P del objeto P y tam-bien vera el objeto P. La imagen vir-tual aparecera distorsionada ya que laprolongacian de los rayos no convergeen un punto.

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    La Ecuacion del Rayo y el EspejismoFibra opticaEl telescopio, el Microscopio y el Ojo Humano

    Fibras Opticas

    Fibras Opticas

    Son hilos cilndricos de gran longitud y de diametro comprendido entre10 y 80 m construidos con materiales dielectricos. En ellas, una OEMque incide sobre una de sus bases se propaga hasta el otro extremo porsucesivas reflexiones totales.

    En sus aplicaciones se utilizan haces de fibras y para evitar que la OEMpase de una fibra a otra, se recubren de otro material dielectrico de

    menor ndice de refraccion con objeto de quese pueda producir la reflexion total necesariapara la propagacion de la OEM en su interior,de manera que:

    nf > nc .

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    La Ecuacion del Rayo y el EspejismoFibra opticaEl telescopio, el Microscopio y el Ojo Humano

    La figura muestra el fenomeno depropagacion de una OEM en una fi-bra optica. Al disminuir 1 aumenta2 hasta que para cierto valor m delangulo de incidencia 2 = L, de ma-nera que todos los angulos menores am sufriran reflexion total interna.

    De esta manera, m se llama angulo maximo de aceptacion; as que:

    Si 1 > m no hay reflexion total interna y no hay propagacion.

    Si 1 m hay reflexion total y habra propagacion.Usando la ley de Snell y trigonometra se llega la expresion del angulomaximo de aceptacion de una fibra optica, este es:

    sin m =1

    n0

    n2f n2c . (22)

    La apertura numerica es un numero adimensional que caracteriza el rangode angulos para los cuales el sistema acepta luz: AN = n0 sin m.

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    La Ecuacion del Rayo y el EspejismoFibra opticaEl telescopio, el Microscopio y el Ojo Humano

    Por cada reflexion que sufre,el rayo recorre un espacio 2yavanzando un espacio 2x , porlo que el numero total de re-flexiones en el interior de lafibra es dado:

    N =s

    2x=

    s tan

    . (23)

    El camino optico recorrido por la OEM por cada reflexion es L1 = nf 2y ,y el camino optico al cabo de las N reflexiones que sufre la OEM pararecorrer toda la fibra es

    L = NL1 = Nnf 2y =s

    2xnf 2y =

    snf y

    x=

    snfcos

    (24)

    Como se ve en la figura la fibra acepta los rayos que inciden con los angulos0 < < m. Por lo que en los extremos del rango se tiene que:

    Lmin = snf Lmax = sn2fnc

    (25)

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    La Ecuacion del Rayo y el EspejismoFibra opticaEl telescopio, el Microscopio y el Ojo Humano

    El camino optico expresado en funcion del tiempo t que tarda la luz enrecorrer un medio es L = ct, por lo que, el tiempo empleado por un rayode luz en recorrer una fibra es:

    t =L

    v=

    snfv cos

    (26)

    Para una misma longitud de onda, la velocidad con que se propagan losrayos de luz en el interior de la fibra es la misma, independientemente delangulo de incidencia.

    1 el rayo que tarda menos tiempo en recorrerla es el que incide normal-mente por no sufrir ninguna RI, tR =

    snfc .

    2 El rayo que emplea mas tiempo es el que incide con el angulo maximo

    de aceptacion por ser el que mas reflexiones sufre en la fibra: tL =sn2fcnc

    .

    La dispersion Temporal, , se define como la diferencia entre el tiempoempleado por el rayo mas lento y el empleado por el mas rapido:

    = tL tR = snfc

    (nfnc 1). (27)

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    La Ecuacion del Rayo y el EspejismoFibra opticaEl telescopio, el Microscopio y el Ojo Humano

    1 Una fibra esta recubierta con una material de n = 1.515 y su m =40. Calcule el camino optico al cabo de 2000 reflexiones para unrayo que incide con un angulo de 30, sabiendo que el extremo de lafibra esta en aire y que su diametro es de 50m.

    2 Calcule el camino optico maximo y mnimo recorrido por un rayo enuna fibra optica de longitud 50 cm e nf = 1.64 recubirto por unacapa de un material de nc = 1.51. Calcule la dispersion temporal.

    3 Conociendo el diametro d y los ndices de refraccion del nucleo nfy el recubrimiento nc para una fibra optica de vidrio que se requierecurvar en forma de circunferencia, halle el radio mnimo r para quedicha fibra siga transportando la OEM. La fibra esta sumergida en unmedio de ndice na.

    4 Cual es el numero de reflexiones por metro que sufre un rayo en unafibra optica de nf = 1.6 recubierta por una capa con nc = 1.5 siendoel diametro de la fibra 50m y su longitud de 20 cm? El rayo concidecon un angulo de 30.

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    La Ecuacion del Rayo y el EspejismoFibra opticaEl telescopio, el Microscopio y el Ojo Humano

    1 Estudie el Telescopio

    2 Estudie El Microscopio

    3 Estudie el Ojo Humano

    4 Estudie los Lentes

    5 Estudie las Lentes de Aumento

    6 Estudie la Camara

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    Leyes fundamentales de la ptica GeomtricaNaturaleza de la Luz: Los rayosPrincipio de Huygens y la Ley de ReflexinPrincipio de Fermat y la ley de refraccin

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