OSCILACIONES FORZADAS

Descripció n:

Como observamos en un columpio, para mantener las oscilaciones hemos de aplicar una fuerza oscilante al oscilador amortiguado.

Sea F0cos(ft) la fuerza oscilante aplicada, siendo f su frecuencia angular. La ecuación del movimiento será ahora

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

La solución de esta ecuación diferencial es complicada, y se compone de la suma de dos términos, el estado transitorio que depende de las condiciones iniciales y que desaparece al cabo de cierto tiempo, teóricamente infinito, y el estado estacionario, independiente de las condiciones iniciales, y que es el que permanece, después de desaparecer el estado transitorio. Dicho estado estacionario tiene la expresión.

Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene las expresiones de A y .

En la figura se muestra la respuesta en amplitud de la oscilación forzada, en el estado estacionario. Como podemos observar a partir de la fórmula o la gráfica, la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario disminuye rápidamente cuando la frecuencia de la oscilación forzada f  se hace mayor o menor que la frecuencia propia del oscilador .

En el caso ideal que no exista rozamiento, la amplitud de la oscilación forzada se hace muy grande, tiende a infinito, cuando la frecuencia de la oscilación forzada f se hace próxima a la frecuencia propia del oscilador .

En el caso de que exista rozamiento (l>0) la amplitud se hace máxima cuando la frecuencia de la oscilación forzada f es próxima a la del oscilador 

La característica esencial del estado estacionario, es que la velocidad de la partícula

 

está en fase =0 con la fuerza oscilante cuando la frecuencia de la fuerza oscilante f es igual a la frecuencia propia del oscilador 0.

 

ENERFIA DEL OSCILADOR FORZADO - RESONANCIA

En la gráfica de la energía del oscilador en función del tiempo en la parte inferior derecha de la ventana, observamos que en el estado estacionario la energía fluctúa alrededor de un valor aproximadamente constante. Esta observación nos indica que es más significativo el valor medio de una magnitud periódica que el valor de dicha magnitud en cada instante de tiempo.

Denotemos por valor medio de una función periódica f(t) de periodo P a

 Calculemos ahora el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza oscilante

y el valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa de su interacción con el medio que le rodea. Dicha interacción se describe en términos de una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad v.

Introduciendo la expresión de v que hemos calculado derivando x en el estado estacionario, y haciendo operaciones, se obtiene la misma expresión para P1 y para P2.

 

En el estado estacionario, el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza oscilante, es igual al valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa de su interacción con el medio que le rodea. Manteniéndose la energía del oscilador forzado constante en valor medio.

La expresión anterior la podemos escribir de una forma más simple

La representación de P en función de X tiene la forma de la curva acampanada de la figura. El máximo de P se obtiene para X=0, o bien, cuando la frecuencia de la fuerza oscilante f es igual a la frecuencia natural del oscilador 0, situación que recibe en nombre de resonancia. Vemos también que la función es simétrica, tiene el mismo valor para X positivos y X negativos, y que P tiende rápidamente a cero a medida que X se hace mayor o menor que cero. Es decir, a medida que la frecuencia de la oscilación forzada f se hace mayor o menor que la frecuencia propia del oscilador 

Otra característica importante de la curva además de su máximo, es la de su anchura, definida como el intervalo de frecuencias de la fuerza oscilante para los cuales la potencia P es mayor que la mitad de la máxima. El intervalo de frecuencias de la oscilación forzada f alrededor de la frecuencia propia del oscilador  está comprendido entre X=-1 a X=+1, y vale aproximadamente2.

En la figura se representan dos curvas de resonancia con la misma frecuencia de resonancia pero con distinta anchura.

I) ESTADO ESTACIONARIO:

Como hemos estudiado en la página anterior, la amplitud de una oscilación amortiguada decrece con el tiempo. Al cabo de un cierto tiempo teóricamente infinito, el oscilador se detiene en el origen. Para mantener la oscilación es necesario aplicar una fuerza oscilante.

 

Descripción

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

La fuerza que ejerce el muelle -k·x La fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad λv y de sentido

contrario a ésta La fuerza oscilante F0·cos(f t) de frecuencia angular f

La ecuación del movimiento de la partícula es

ma=-kx-λv+F0·cos(f t)

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

La solución de esta ecuación diferencial se compone de la suma de dos términos:

el estado transitorio   que depende de las condiciones iniciales y que desaparece al cabo de cierto tiempo, teóricamente infinito.

el estado estacionario, independiente de las condiciones iniciales, y que es el que permanece, después de desaparecer el estado transitorio.

Una solución particular de la ecuación diferencial completa tiene la forma

Obtendremos los valores de A y  haciendo que cumpla la ecuación diferencial lineal completa

En la figura, se muestra la respuesta en amplitud de la oscilación forzada, en el estado estacionario. Como podemos observar en la gráfica, la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario disminuye rápidamente cuando la frecuencia f  de la fuerza oscilante se hace mayor que la frecuencia propia del oscilador .

Derivando la expresión de la amplitud A en función de la frecuencia de la fuerza oscilante, respecto de ωf, e igualando a cero, obtenemos la frecuencia ωf  para la cual la amplitud en el estado estacionario presenta un máximo

En el caso ideal de que no existiese rozamiento γ=0, la amplitud de la oscilación forzada se haría muy grande, tendería a infinito, cuando la frecuencia  f  de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia propia del oscilador . 

En el caso habitual de que exista rozamiento (γ>0), la amplitud se hace máxima cuando la frecuencia f de la fuerza oscilante es próxima a la natural del oscilador 

La característica esencial del estado estacionario, es que la velocidad de la partícula

 

está en fase =0 con la fuerza oscilante cuando la frecuencia de la fuerza oscilante f es igual a la frecuencia propia del oscilador 0.

II) ESTADO TRANSITORIO:

Solución de la ecuación diferencial

La ecuación diferencial que describe las oscilaciones forzadas es

donde ω0 es la frecuencia natural o propia del oscilador ωf es la frecuencia angular de la fuerza oscilante de amplitud F γ es la constante de amortiguamiento, γ<ω0

La solución general de la ecuación diferencial homogénea tiene la forma

Donde los coeficientes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales

Una solución particular de la ecuación diferencial completa tiene la forma

x2=Acos(ωf t)+Bsen(ωf t)

Obtendremos los valores de A y B haciendo que cumpla la ecuación diferencial lineal completa

La solución general de la ecuación diferencial completa es la suma de la solución general de la homogénea más la solución particular x=x1+x2.

El primer término, describe el estado transitorio que desaparece al cabo de cierto tiempo (teóricamente infinito) y depende de las condiciones iniciales. El segundo término, describe el estado estacionario.

La velocidad vale

Si las condiciones iniciales son t=0, x=x0, v=v0.

Las condiciones iniciales más sencillas son x=0, y dx/dt=0 en el instante t=0. La partícula de masa m parte del origen con velocidad inicial nula.

La posición de la partícula x que experimenta una oscilación forzada en función del tiempo t es

Vamos a obtener expresiones más simples para casos particulares.

No hay rozamiento (γ=0)

Vamos a estudiar dos casos, cerca de la frecuencia de la resonancia y en la resonancia

Cerca de la resonancia ωf=ω0+ε con ε< ω0

Si no hay rozamiento, la frecuencia angular de la oscilación amortiguada ω, es igual a la de la oscilación libre, ω0. Como la diferencia ε entre la frecuencia ωf de la fuerza oscilante y la de resonancia ω0 es pequeña, se puede hacer la siguiente aproximación

Empleando la siguiente relación trigonométrica

se obtiene finalmente,

La amplitud (el producto de los dos primeros términos) y la frecuencia de las pulsaciones se determinan por el grado de cercanía a la frecuencia de resonancia tal como se puede apreciar en las figuras.

En la resonancia (ωf=ω0)

En la fórmula del desplazamiento x(t) tomamos el siguiente límite

La amplitud crece linealmente con el tiempo, como puede verse en la figura

Cuando hay rozamiento

Vamos a estudiar dos casos, cerca de la frecuencia de la resonancia y en la resonancia. Comprobaremos que el sistema llega a oscilaciones estables al cabo de un cierto tiempo t del orden de 1/γ.

Cerca de la resonancia (ωf=ω0+ε  con  ε< ω0)

Si la constante de amortiguamiento γ es pequeña, la frecuencia angular de la oscilación amortiguada ω es casi igual a la de la oscilación libre ω0, de modo que ω≈ω0. Como la diferencia εentre la frecuencia ωf de la fuerza oscilante y la de resonancia ω0 es pequeña, se puede hacer la siguiente aproximación

La solución de la ecuación diferencial completa con estas aproximaciones nos queda.

Cambiando el orden de los términos

Podemos escribir la suma de seno y coseno de los términos entre paréntesis de la siguiente modo

y de modo similar, el segundo término entre paréntesis de frecuencia angular ωf.

Tenemos la composición de dos MAS de frecuencias casi iguales ω0 y ωf, uno de amplitud variable exp(-γt) y el otro de amplitud constante 1.

Mediante diagramas vectoriales podemos obtener el MAS resultante cuya frecuencia angular es aproximadamente ω0, y cuya amplitud es la diagonal del paralelogramo de la figura de la derecha.

la fase de la oscilación (t)φ varía lentamente con el tiempo. La amplitud, la raíz cuadrada que multiplica a la función seno, varía lentamente con la diferencia de frecuencias ε= ωf-ω0, alrededor del valor medio

La amplitud de la oscilación se acerca paulatinamente a este valor medio a medida que transcurre el tiempo tal como se puede ver en la figura. Durante el estado transitorio, la amplitud puede alcanzar valores de hasta casi dos veces la amplitud de las oscilaciones estables.

En la figura de la derecha, se observa la energía total E del oscilador (suma de cinética y potencial) en función del tiempo. La representación gráfica nos sugiere que la energía del oscilador se describe mejor en términos de valores medios durante el periodo de una oscilación. El valor medio de la energía tiende hacia un valor constante cuando t se hace grande.

En la resonancia (ωf=ω0)

En la fórmula del desplazamiento x(t) se simplifica notablemente

la amplitud crece

lentamente, hasta que se acerca al valor asintótico, determinado por el coeficiente de rozamiento, tal como puede verse en la figura.

En la figura de la derecha, observamos la representación del la trayectoria de la partícula en el espacio de las fases, el espacio x-v (posición-velocidad). La partícula sale del origen y describe una espiral que tiende hacia una elipse límite, que se alcanza en el estado estacionario.