Orlando Silva, Jesús Carrera, Sireesh KumarAbril 2008

Problema

2

INTERCAMBIO ZONA MÓVIL-ZONA INMÓVIL

Poros/fracturas intrapartícula

Agregados de granos

Inclusiones de líquido

Zonas estancadas

Difusión a/de lajas, vainas de

arcilla

Haggerty and Gorelick WRR (1995)

Adsorción en superficie de minerales

33

Ecuaciones de conservación

1. Ecuación de flujo con MRMT

2. Ecuación de transporte de soluto con MRMT

3

(1.1)

(2.1)

(1.2)

(2.2)

Ecuación que gobierna la transferencia con la j-ésima zona inmóvil

qht

hS

t

hS m

N

j

jimjim

mm

T1

,,

jimmjim

jimjimjim

jimjim hh

L

K

t

hS ,

,

,,,

,,

mmm

N

j

jimjimjim

mmm cc

t

cR

t

cR

qD1

,,,

jimmjim

jimjimjim

jimjimjim cc

L

D

t

cR ,

,

,,,

,,,

Ecuación que gobierna la transferencia con la j-ésima zona inmóvil

2 maneras de representar numéricamente el problema:

1)Con una malla apropiada de nodos im.

2)Eliminando im como variable de estado explícita, i.e. expresando SVim como función de SVm)

Esto es lo que se supone que hace el presente método

Representación numérica

Discretización del dominio móvil

m

im,N-1

im,N

im, j

im,1

im,2

……

bloques inmóviles

55

Implementación numérica

- El nodo m (zona móvil) está conectado a sus nodos adyacentes en la malla 1, 2 o 3D.

- El “nodo” im (zona inmóvil) sólo está conectado con el nodo m.

- Geométricamente, el “nodo” im se solapa con el nodo m.

- Numéricamente, la variable de estado (presión, concentración) en el “nodo” im puede ser resuelta de manera explícita como función de la variable de estado en la zona móvil.

En otras palabras, el “nodo” im puede considerarse como uno nodo de dimensión cero. (0D)

Ecuación de transporte generalizada

1. Balance de la fase móvil

2. Transferencia de masa dede/hacia la zona inmóvil

(3.1)

(3.2)

mu

N

j

jimj

m uLt

u

t

u

1

,

Njuut

ujimmj

jim ...,,1,,

jimjimjimjim L ,,,,

2,

,,

jim

jimjimjj L

D

3. Relaciones adicionales

NjFt

uj

jimj ,...,1,

N

jjFF

1

(3.3)

7

Solución numérica1 Se asume un esquema de Euler para la integración en el tiempo de la variable um:

kmkmm tttuuu

2. Reemplazando en la ecuación (3.2) se obtienen N ecuaciones diferenciales de primer orden

Njttt

uuu

dt

du kmkmjjimj

jim ,...,1,,

3. Hay una solución analítica (variación de parámetros) para la condición inicial

kj

kj

kj tt

j

kmttkm

ttkjimjim ett

t

ueueutu

1

11,,

kjim

kjim uttu ,,

4. Combinando lo anterior con las ecuaciones (3.2), (3.3) se obtiene el flujo a tiempo tk+.

tjmtk

jimkmjj

kjim

kmjj

kj

jj et

ueuu

uuF

1,

,

8

Contribución del proceso MRMT

Sistema numérico

N

j

tkjim

kmjj

N

j

tj

mk jj euuet

uF

1,

1

1

kk

mm ut

ubAD

9

Equivalencia con otras representaciones numéricas

9

2. Formulación integro-diferencial y función de memoria (e.g., Carrera et al., 1998).

0

0

detg

gt

cdg

tcF

t

t

j

j

tjj

jetg

1. Modelos difusionales (e.g., Harmon et al., 1989).

immimimr

im

imaim

LcLcr

c

r

cr

rr

D

t

c

00

11

3. Comportamiento asintótico (late-time) (e.g., Willmann et al., 2007)

g(t) sigue una ley de potencia (mg) distribución de j, j.21 ttt

4. CTRW (e.g., Dentz & Berkowitz, 2003)

sgss

11

1

0(t): distribución de tiempos de transición

10

Módulo Fortran 90: mod_MRMT.f901. Tipo t_immobile contiene atributos que caracterizan a una zona inmóvil (porosidad, coeficientes de transferencia de masa, concentraciones en la fase inmóvil, etc.).

2. Subrutinas que calculan el aporte del proceso a las matrices numéricas D (ContriToMatrices_) y b (ContriToSink_).

4. Acoplamiento con códigos estándares programados en Fortran.

3. Entrada de datos mediante archivos XML

Parameters im,j, Lim,j, Dim,j, Rim,j

Coefficients im,j y im,j

ExpansionTerms geometría, im,j y im,j, y número de términos de expansión

LateTime mg, t1 y t2

11

Resolución de transporte

Fin del código

Declaración de Variables

Entrada de datos e

inicialización del problema

Resolución del flujo y cálculo del campo de

flujo de Darcy

Escribe resultados

Implementación de Transporte Multi

Tasa (MRMT)

Loop detiempo

Loop detiempo

Código estándar de Transporte

Conservativo

Converge?

Sí

No

Cálculo de matrices de transporte A, D, b

Resolución

1

2

3

4.1

5

4.2

UpdateConc_(...)

Initialize_(...)

Read_xml_(...)

Create_ (...)

type(t_immobile):: ImmbReguse m_MRMT

WriteSolMass_(...)

Destroy_ (...)

ContriToMatrices_(...)

kk

tbAc

cD

ttt kk 1

ContriToSink_(...)

TotSolMass_(...)

WriteConc_(...)

Acoplamiento de mod_MRMT.f90 con

TRACONF

12

Ejemplos de verificación. Flujo radial convergente

r

c

r

c

br

Q

t

c

t

c mmL

N

j

jimj

m2

2

1

,

2

Njcct

cjimmj

jim ...,,1,,

13

Verificación 1. Ensayo de trazadores convergente (TRANSIN).

Pulso de masa de trazador radioactivo sin adsorción. La matriz o fase inmóvil se conceptualiza en forma de lajas.

10 términos de expansión

14

Parámetro valor propiedad

Q, m3/d 150 Caudal de inyección

r, m 0.5 Dispersividad radial

Dm, m2/d 0.0 Coeficiente de difusión

Dim, m2/d 0.001 Coeficiente de difusión en la matriz

m 0.1 Porosidad zona móvil

im 0.045 Porosidad de la matriz

Rm 1.0 Retardo en la zona móvil

Rim 1.0 Retardo en la matriz

M, g 7.88 Masa inyectada

b, m 5.0 Espesor saturado

Lim, m 0.05 Longitud característica matriz

rw, m 0.2 Radio del pozo

Tiempo total de simulación: 4 días

12

d018.0 imim

immmim LR

DR

45.0mm

imimim R

R

Parámetros de simulación

15

Curvas de llegada

Breakthrough curve at injection well

time, days

0 1 2 3 4

Con

cent

ratio

n, g

/l

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

TRANSINpresent approach

Breakthrough curve at pumping well

time, days

0 1 2 3 4C

once

ntra

tion,

g/l

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

TRANSINpresent approach

16

Perfiles de concentración de trazador

Concentration profile at t = 2 d

Distance r, m

0 2 4 6 8 10

Con

cent

ratio

n, g

/l

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

0.020

TRANSIN 1.975 dpresent approach 1.96 d

Concentration profile at t = 4 d

Distance r, m

0 2 4 6 8 10C

once

ntra

tion,

g/l

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0.0040

TRANSINpresent approach

17

Sensibilidad al número de términos de expansión

time, d

0 1 2 3 40.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

151050

N terms

time, d

0 1 2 3 4

Con

cent

ratio

n, p

pm

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

151050

N terms

TRANSIN PRESENTE MODELO

18

Verificación 2. Flujo radial hacia un pozo de bombeo (Haggerty & Gorelick, 1995).

r

c

r

c

rb

Q

t

c

t

c mmL

N

j

jimjHG

m2

2

1

,

2

Njcct

cjimmj

jim ...,,1,,

0,0,

01.00,15,0,

0,

0,

,

050

0

2

trctrc

ctrcectrc

trrr

c

trc

mjim

mrr

m

wm

m

w

Q* = 1 L/s, b = 20 m, rw = 0.1 m, L = 0.1 m, m = 0.25, Rm = ?

NjR

R

mm

jimjimjjHG ...,,1,,

19

(a) Borden Sand. Restauración de un acuífero homogéneo

Clase, jRango de tamaño, (=2a) mm

j =Da/a2, s-1 jHG

1 0.85-1.7 3.1 x 10-8 0.0406

2 0.42-0.85 9.2 x 10-8 0.1699

3 0.25-0.42 2.3 x 10-7 0.2731

4 0.18-0.25 2.7 x 10-7 0.2592

5 0.125-0.18 9.4 x 10-6 0.1548

6 0.075-0.125 1.7 x 10-6 0.0620

7 <0.075 1.4 x 10-6 0.0404

bulk 2.8 x 10-7 1.0

Rm = 1.6 (PCE en acuífero Borden, Rivet & Allen-King, 2003)

50 términos de expansión por cada zona inmóvil

20

Evolución de la fracción de masa remanente de PCE. 500 días

Present approach

21

(b) Caso hipotético con una mezcla de procesos de transferencia de masa. Restauración de un acuífero

heterogéno

Clase, j Zona inmóvil j =Da/a2, s-1 jHG1 Granos porosos (esferas pequeñas) 2.8 x 10-7 0.35

2 Agregados de granos (esferas grandes)

1.75 x 10-8 0.20

3 Lajas de arcilla (cilindros) 1.43 x 10-9 0.15

4 Vainas de arcilla (cilindros) 1.00 x 10-9 0.10

Clase, j Zona inmóvil j , s-1 jHG5 Reacción de superficie lenta 2.76 x 10-6 0.15

6 Reacción de superficie rápida 4.42 x 10-6 0.05

50 términos de expansión por cada zona inmóvil

22

Evolución de la fracción de masa remanente de PCE. 20000 días

Present approach

CONCLUSIONES

1. Modelo MRMT permite representar una mezcla heterogénea de procesos de transferencia de masa (partículas de acuífero, lajas de arcilla, reacciones de superficie de primer orden).

2. Presente aproximación numérica es sencilla y equivalente a otras formulaciones de MRMT.

3. Implementación en módulo Fortran fácil de acoplar a códigos estándares de flujo y transporte.

4. Predicción buena de resultados obtenidos con otra formulación y con soluciones semi-analíticas.