UNIDAD II: TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE

MOVIMIENTO

M.Sc. Ing. Hugo Mosqueira Estraver

Supongamos un fluido ubicado en el espacio situado entre dos láminas paralelas. Si la lámina superior está quieta y la inferior se muevo con una velocidad constante (V), el perfil de velocidades que se obtiene una vez alcanzado el estado estacionario es plano. La velocidad del fluido varía linealmente entre las láminas desde v = 0 hasta v = V (condiciones de no deslizamiento):

Experimentalmente se puede demostrar que la fuerza (F) necesaria por unidad de área de lámina (A) para mantener la lámina en movimiento, se relaciona con la velocidad (V) mediante una constante () que se denomina viscosidad y que mide la resistencia que opone el fluido a moverse:

Y V

F V

A Ym=

La fuerza (F) actúa perpendicularmente a la normal a la superficie (A). No se trata, por tanto de una presión, sino de una fuerza de cizalla. La fuerza de cizalla por unidad de área se denomina esfuerzo cortante, y, puesto que su origen está en la viscosidad del fluido, también esfuerzo viscoso.

Fenómenos de transporte molecular

Si consideramos aisladamente un elemento de volumen de fluido animado por una velocidad por una velocidad (v), éste, animado en último extremo por el movimiento de la lámina inferior, ejerce sobre el que se encuentra por encima una fuerza de cizalla que actúa sobre la superficie zx. La fuerza es paralela al eje ‘x’ y actúa sobre una superficie cuya normal es paralela al eje ‘y’ y, en general se denomina xy:

La forma diferencial de la relación entre esfuerzo y gradiente de velocidad es una ley empírica que se conoce como Ley de Newton de la viscosidad:

yx

El signo menos indica que la velocidad decrece a medida que se asciende en el eje ‘y’

3.2. ... Transporte de cantidad de movimiento

xyx

dv

d y m=

... El segundo principio de la dinámica establece que la fuerza es igual a la derivada del momento lineal, o, visto de otra forma, al flujo de momento lineal:

d pF

dt=

����������������������������

El signo menos indica que la densidad de flujo de cantidad de movimiento se produce en el sentido descendente del perfil de velocidad. La cantidad de movimiento se transmite “cuesta abajo” con respecto al perfil de velocidad.

Si se trata de una fuerza de cizalla, al dividir ambos miembros de la expresión anterior por el área del plano de cizalla (A), se obtiene que el esfuerzo cortante (viscoso) (1er miembro) es igual a la densidad de flujo (flujo por unidad de área) de cantidad de movimiento (2º miembro).

xyx

dv

d y m=

El esfuerzo cortante se puede interpretar como una fuerza por unidad de área o como una densidad de flujo de cantidad de movimiento. La ley de Newton de la viscosidad es la expresión matemática de uno de los tres Fenómenos de Transporte:

• Transporte de cantidad de movimiento (base de la Mecánica de Fluidos)• Transporte de energía calorífica• Transporte de materia (en sistemas multicomponente)

3.2. ... Transporte de cantidad de movimiento

La ley de Newton de la viscosidad es una forma unidimensional de una ley más amplia denominada Ley de Stokes, que tiene en cuenta no sólo el transporte de cantidad de movimiento ‘x’ en el eje ‘y’ (yx), sino también el resto de las posibilidades: xx, xy, xz, xx...

Tensor “velocidad de deformación”, que incluye las derivadas de todos los componentes de la velocidad respecto de todas las direcciones del espacio.

Tanto la Ley de Newton como la Ley de Stokes se pueden considerar la definición de un tipo de fluidos, llamados fluidos newtonianos. Los fluidos que la siguen se denominan newtonianos y los que no la siguen, no newtonianos. Son newtonianos todos los gases y los líquidos ‘sencillos’, es decir, los formados por moléculas pequeñas (agua, etanol, plomo fundido, nitrógeno líquido...).

Los fluidos no newtonianos son aquellos que no pueden ser descritos mediante la ley de Newton, salvo que se considere que la viscosidad no es constante, sino que depende del esfuerzo o de la velocidad de deformación. La viscosidad es entonces una ‘viscosidad aparente’, a.(Además, y en todo caso, la viscosidad depende de la temperatura y de la presión.)

, , x xyx yx a

dv dvT P

d y d y m m= =

3.2. ... Transporte de cantidad de movimiento

Los fluidos no newtonianos presentan una viscosidad aparente (la pendiente de la representación del esfuerzo frente a la velocidad de deformación) que o bien crece (fluido dilatante) o bien decrece (fluido pseudoplástico) con el esfuerzo o con la velocidad de deformación:

Velocidad de deformación –(dvx/dy)

Esfu

erzo

cor

tant

e (

yx)

Algunos fluidos no fluyen hasta que se les aplica un determinado esfuerzo umbral para, a esfuerzos mayores, comportarse como un fluido newtoniano. Se trata de los plásticos de Bingham.

3.2. ... Transporte de cantidad de movimiento

Existen fluidos en los que la viscosidad es función del tiempo de aplicación de esfuerzo. Se llaman reopécticos a los fluidos en los que la viscosidad aparente aumenta con el tiempo de aplicación de la fuerza y tixotrópicos a aquellos en los que disminuye. Finalmente, existen fluidos en los que el comportamiento está entre en de un fluido (fluye al aplicarle una fuerza) y un sólido elástico (recupera la forma una vez que cesa la fuerza): se trata de los fluidos viscoelásticos. En general los comportamientos no newtonianos son propios de fluidos que contienen macromoléculas o sólidos en suspensión.

Chicle, mayonesa y muchas pastas y suspensionesPlástico de Bingham

Pinturas antigoteo, barnicesTixotrópico

Suspensiones de arcillas, algunos lubricantesReopéctico

Asfaltos, glicerina, aceite, polímeros líquidos.Viscoelástico

Goma arábiga, disoluciones concentradas de azucar en agua (almíbares)

Dilatante

Pasta de papel, polímeros líquidos y numerosos fluidos biológicos y alimentos (sangre, leche, mermeladas)

Pseudoplástico

EjemplosTipo de fluido

3.2. ... Transporte de cantidad de movimiento

Los fluidos viscoelásticos presentan comportamientos curiosos. (a) Efecto Weissenberg [El fluido es poliisobutileno de alto peso molecular en PIB de bajo peso molecular], (b) expansión terminal de la vena de fluido [2% de poliacrilamida en agua] y (c) sifón abierto [disolución de polióxido de etileno) en agua].

a b c

La REOLOGÍA es la parte de la Física que se ocupa del estudio del flujo y de la deformación. Por tanto, abarca tanto la Mecánica de Fluidos (sustancias que fluyen) como la dinámica de los sólidos elásticos (sustancias que se deforman).

3.2. ... Transporte de cantidad de movimiento

La viscosidad se mide en las siguientes unidades:

(SI): [=] kg m -1 s-1

(CGS): [=] g cm -1 s-1 (Esta unidad se denomina poise: 1 P = 1 g cm -1 s-1)

Habitualmente se utiliza el centipoise (cP). La viscosidad del agua a temperatura ambiente es, aproximadamente de 1 cP. La viscosidad de los gases es, típicamente dos órdenes de magnitud menor que la de los líquidos. Así, la viscosidad del aira a 20ºC es de 0.018 cP.

La viscosidad de los líquidos disminuye con la temperatura, mientras que la de los gases se incrementa.

La gráfica de la derecha muestra la viscosidad de algunos de los fluidos más comunes.

La viscosidad dinámica dividida entre la densidad del fluido se conoce como viscosidad cinemática. Las unidades de viscosidad cinemática con (SI) 1 m2 s-1 y (CGS) 1 St (Stokes) = 1 cm2 s-1.

3.2. ... Transporte de cantidad de movimiento

La energía calofífica se transporta en medios materiales por un mecanismo que guarda cierta similitud con el transporte de cantidad de movimiento: se trata de la conducción.

3.2. ... Transporte de energía calofífica

Transporte de cantidad de movimiento

Transporte viscoso [molecular] (ley de Newton)

Transporte convectivo (remolinos)

Transporte molecular (conducción)

Transporte debido al flujo (calor sensible)

Radiación

Transporte de energía calorífica

Cuando existe un gradiente de temperatura en un cuerpo se produce una transmisión de calor por conducción desde la región de mayor temperatura a la de menor temperatura siendo la densidad de flujo de calor, q, proporcional al gradiente de temperatura en cada punto (LEY DE FOURIER):

3.2. ... Transporte de energía calofífica

Ley de Fourier en forma vectorial y en unídimensional

El coeficiente de proporcionalidad se denomina conductividad calorífica y es función de la presión, la temperatura y la dirección de propagación en cuerpos anisótropos.

k [=] J s-1 m-1 K-1

Aplicación: perfil de temperatura en un cuerpo

q k T=

y

dTq k

d y=

T1

T2

d

Fuerza impulsora

Transporte molecular de

Velocidad de deformación*

Gradiente de temperatura

Gradiente de concentración**

Cantidad de movimiento Ley de

Newton

- -

Energía calorífica -Ley de Fourier

Efecto Dufour

Materia -Efecto Soret(termodifusió

n) Ley de Fick

xyx

d v

d y m=

d Tq k

d y=

' AA AB

d cN D

d y=

* : cambios en las componentes del vector velocidad con las coordenadas espaciales** : caso de difusión molecular u ordinaria y efecto Soret (hay también transporte molecular de materia debido a una fuerza externa - difusión forzada - o por un gradiente de presión - difusión de presión.) - : combinaciones prohibidas por la termodinámica de los procesos irreversibles

3.2. ... todos los mecanismos de transporte molecular

La resistencia al flujo de propiedad es la inversa de la “conductancia”.

3.2. ... coeficientes de transporte

Formas básicas de loscoeficientes de transporte

m [=] kg m-1 s-1

k [=] J s-1 m-1 K-1

DAB [=] m2 s-1

GradienteDensidad de flujo de propiedad

Resistencia=

Formas análogas de los coeficientes de transporte:

n [=] m2 s-1

a [=] m2 s-1

DAB [=] m2 s-1

m

=

p

k

c

=

viscosidad cinemática

difusividad calorífica