OPTIMIZACIÓN DEL

COSTE DE FABRICACIÓN

DE UN DEPÓSITO

Nombre y apellidos: Wenze Liu Chen

Convocatoria: Mayo/15

Bachillerato: PD

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CONTENIDO

1.- Introducción y justificación personal ........................................................................................... 2

2.- Especificaciones y datos de partida ............................................................................................. 3

3.- Procedimientos de cálculo y optimización ................................................................................. 4

3.1- Definición de variables ............................................................................................................... 4

3.2- Cálculo del coste de cada cara del depósito ........................................................................ 5

3.3- Cálculo del volumen del depósito ........................................................................................... 6

3.4- Función a optimizar y procedimiento de optimización ...................................................... 6

3.5- Estudio gráfico de la función ................................................................................................... 7

3.6- Cálculo de la altura y proporciones del depósito ............................................................... 9

3.7- Superficies y Coste del Depósito .......................................................................................... 10

4.- Conclusiones .................................................................................................................................... 10

5.- Bibliografía y webgrafía ................................................................................................................. 11

Nota: Todas las figuras y tablas de esta Exploración Matemática son fuente propia

2

1.- INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN PERSONAL

El tema central que he elegido para esta Exploración Matemática es la

Optimización. La optimización en Matemáticas consiste en encontrar un mejor

elemento (o subconjunto de elementos) según unos criterios determinados de

optimización, de un conjunto mayor utilizando el concepto de la derivada de una

función.

El objetivo principal de esta Exploración es optimizar las dimensiones de un

depósito de combustible para minimizar el coste de la fabricación del mismo

según unas especificaciones determinadas.

Con la misma cantidad del recurso material de fabricación, un depósito se puede

construir de muchas maneras, yo buscaré una forma geométrica óptima en

cuanto a dimensiones, minimizando su coste de fabricación y justificando

matemáticamente las soluciones.

El concepto de optimización es un tema muy interesante para mí, ya que dentro

de los temas que hemos estudiado durante años en la clase de Matemáticas es

uno de los que más claramente he visto que es aplicable a casos reales y por lo

que he leído es muy útil en el ámbito del diseño en ingeniería. Para ser un buen

ingeniero de diseño imagino que es muy importante utilizar los recursos de una

forma lógica y justificada, por lo tanto, es muy importante saber aplicar el

concepto de optimización.

El depósito que voy a optimizar no será un poliedro tipo prisma, es decir, será

una forma que esté compuesta por distintas subformas curvas. En clase de

Matemáticas ya hemos estudiado la justificación del porqué las formas planas

poliédricas son menos óptimas en cuanto a coste de fabricación. En concreto, la

forma del depósito será un cilindro de revolución con dos semiesferas, que

actuarán como tapas laterales. Así que la forma del depósito es como una

especie de tanque de combustible o “camión cisterna”. En la vida real, el uso de

depósitos con esta forma está muy extendido y es muy frecuente, por ejemplo,

por las carreteras se ven muchos tanques de camiones de transporte, tanques

para guardar combustibles, o tanques para el transporte de gases o líquidos, etc.

El diseño óptimo de estos tanques es muy importante, ya que con la misma

cantidad de material, el volumen contenido puede variar mucho. Como el tamaño

de estos tanques suele ser muy grande, y las materiales son muy caros debido

a la necesidad de seguridad de la almacenaje o transporte, para una empresa

3

que se dedica a fabricar estos tanques es importante construirlos de forma

eficiente, segura y optimizando los costes en cuanto a diseño de fabricación.

Los datos relacionados con la construcción de dicho depósito, como por ejemplo,

los costes de los distintos materiales, el volumen total, etc., serán fijos y

especificados como los “Datos de la Exploración”.

Debe quedar claro que mi trabajo es una simplificación del diseño real, ya que

en la modelización que realizo no tendré en cuenta factores de detalle como

grifos, juntas y soldaduras, grosores de la pintura, grosores de chapa, etc.

2.- ESPECIFICACIONES Y DATOS DE PARTIDA

Para empezar la optimización, inicialmente, necesitamos estudiar la forma de

dicho depósito, por lo tanto, para hacernos una idea gráfica del depósito, se

muestra una imagen a continuación:

La imagen es un boceto, no está dibujada con precisión ni tampoco a escala, ya

que solo es para hacernos una idea general de la forma del depósito. El resultado

de la optimización en apariencia gráfica relativa puede ser muy diferente del

mostrado en la figura, ya que el resultado tiene 5 posibilidades:

h > r ó h < r ó h = r Soluciones que serían aceptadas

r=0 solución no aceptada ya que el volumen sería nulo

h=0 Depósito esférico. Solución correcta geométricamente hablando,

pero no la aceptaríamos, ya que asumimos por especificación que debe

haber una parte central cilíndrica que permita el anclaje a un chasis de

sujeción.

4

Las unidades que se utilizaran durante toda la fase de cálculo serán del Sistema

Internacional (S.I.), y además en toda la Exploración se tendrá en cuenta la

especificación de una precisión máxima de 2 decimales.

Después de especificar la forma del depósito, para continuar, son necesarios

unos datos iniciales:

El volumen nominal del depósito

El coste unitario del material. Se definen distintos precios para las

diferentes subformas del depósito, ya que se fabricará con materiales con

diferentes características físicas (por ejemplo, dureza del material,

resistencia a la presión, etc.).

Todos estos datos iniciales se muestran en la siguiente tabla:

Tras entrevista con un profesional del sector, he sabido que un depósito del

transporte de gasolina tipo tanque para camión normalmente tiene un volumen

nominal neto de entre 10000 y 40000 litros, y he decidido optimizar un depósito

grande de volumen 35000 litros, que es igual al 35 m3. Este profesional también

me informó sobre el coste unitario aproximado de los materiales para la

construcción de las distintas superficies del tanque.

3.- PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO Y OPTIMIZACIÓN

3.1- DEFINICION DE VARIABLES

La nomenclatura utilizada para la definición de las variables de mi sistema es la

siguiente (subíndice “c” indica parte cilíndrica, y subíndice “e” partes esféricas):

Ac: Superficie de la cara lateral del depósito. [m2]

Ae: Superficie de las tapas del depósito. [m2]

Cc: Coste de la superficie lateral cilíndrica. [€]

Ce: Coste de las superficies semiesféricas. [€]

Ct: Coste total del depósito. [€]

r: Radio del cilindro y de las semiesferas. [m]

h: Altura de la parte cilíndrica. [m]

Vc: Volumen del cilindro. [m3]

Ve: Volumen de la esfera (dos semiesferas). [m3]

Vt: Volumen total. [m3]

Superficie cilíndrico Superficie esférica

Coste 100 €/m2 250 €/m2

Volumen Total 35 m3 = 35000 l

5

3.2- CÁLCULO DEL COSTE DE CADA CARA DEL DEPÓSITO

Superficie de la cara lateral del depósito: hrrhAc 2),(

Superficie de las caras de las 2 semiesferas: 222

42

4

2

4)( r

rrrAe

Coste de cara lateral del depósito: hrmhrmrhCc 2002€/100),( 22

Coste de caras de semiesferas: 2222 10004€/250),( rmrmrhCe

Finalmente, es obvio que hrrhCrhCrhC ect 200),(),(),( + 21000 r

Recopilando en forma de tabla, en la que se dejan claras las unidades para cada

magnitud, se obtiene:

Después de ordenar y combinar los datos, tenemos el coste total del depósito,

que es la función que utilizaremos para encontrar los extremos, es decir, la

función a optimizar.

Se observa que la función Ct(r, h) depende de dos incógnitas, r y h, que son el

radio y la altura del depósito, así que necesitamos encontrar otra ecuación que

relacione las 2 variables, con el objetivo de tener una función de una sola variable

que así pueda ser derivada con facilidad.

Supongo que se podría derivar la función dependiendo de dos variables, pero se

sale de los conocimientos teóricos que han sido explicados en clase de

matemáticas. El profesor nos explicó que estas funciones se denominan

“Funciones de diversas variables” y que las veremos con detalle en Ingeniería,

así como todo el tema de derivadas parciales y Ecuaciones Diferenciales.

Coste [€/m2] Área [m2] Coste [€]

Cara de cilindro 100 2𝜋𝑟ℎ 200𝜋𝑟ℎ

Cara esférica 250 4𝜋𝑟2 1000𝜋𝑟2

Ct(r, h) [€] (200𝜋𝑟ℎ) + (1000𝜋𝑟2)

6

3.3- CÁLCULO DEL VOLUMEN DEL DEPÓSITO

Volumen del cilindro: hrhrVc 2),(

Volumen de la esfera: 3

3

4)( rrVe (ya que hay dos semiesferas que hacen en

total una esfera)

Volumen total: 353

4

3

4),( 232

rhrrhrhrVt

(El valor del 35 m3, está marcado por la especificación)

3.4- FUNCIÓN A OPTIMIZAR Y PROCEDIMIENTO DE OPTIMIZACIÓN

Recordemos que la función de coste calculada era:

hrrhCt 200),( + 21000 r

Pero antes se debe pasar a función de una sola variable, para ello se trata de

obtener ℎ = 𝑓(𝑟) utilizando la expresión final del ),( hrVt que se ha obtenido del

apartado anterior.

2

3

2 3

410535

3

4

r

rh

r

rh

Finalmente, lo incorporamos por sustitución a la función del coste total ),( rhCt :

2

2

32

2

3

10003

41052001000

3

4105200)( r

r

rrr

r

rrrCt

r

rr

rr

r 70001000

3

8001000

3

4105200 22

23

La siguiente es la función del coste de la construcción del depósito dependiente

de una sola variable: 2

3

22007000)( r

rrCt

El siguiente paso será derivar esta función utilizando la tabla de derivadas

inmediatas (funciones polinómicas y cociente de funciones):

rr

rr

rrCt

3

440070002

3

2200170000)´(

22

7

Ahora tenemos la función simplificada. El siguiente paso será buscar los valores

de r que hacen que se anule la derivada para encontrar los puntos singulares de

)´(rCt , así resulta:

03

4400210000

3

440070000)´(

2

3

2

r

rr

rrCt

0440021000 3r mrr 15.14400

210003

Para saber si este punto singular de la función de coste total es un extremo

(máximo o un mínimo), se debe hacer el “Test de la segunda derivada”:

3

440014000

3

440027000)´´(

34

rr

rrCt

Evaluando en el punto r=1,15 se obtiene el signo de la 2ª derivada:

09,13812(1,15)´´9,138123

4400

22

105

14000

22

105´´

3

3

3

fCt

Al ser el positivo el signo de la segunda derivada evaluada en la abcisa del

punto singular .15,122

1053 mr

representa un mínimo en la función de coste.

3.5- ESTUDIO GRÁFICO DE LA FUNCIÓN

A continuación, voy a representar la función en unos ejes coordenados YX, para

comprobar gráficamente de forma visual simplemente que el resultado obtenido

es un mínimo de la función de coste total.

El programa que he utilizado para crear las gráficas es MS-Office (Excel) TM. He

elegido este software porque es muy fácil de utilizar, solamente tengo que

escribir las fórmulas en celdas y seleccionar rangos de datos, y el software ya

me crea la gráfica. Definiendo la celda (A2) como la que contiene el valor del

radio, la fórmula que he implementado en el programa es la siguiente:

= (7000/A2)-(2200*PI()*(A2^2))/3) 2

3

22007000)( r

rrCt

8

Como podemos ver en la tabla y en la figura anteriores, la longitud del radio que

corresponde a mínimo coste está entorno de 1 y 1,5. Para un estudio visual más

preciso, se muestra otra tabla y otra gráfica con más decimales y entorno del

punto singular (mayor Zoom).

Así, podemos ver claramente que la longitud de radio para que el coste sea

mínimo es aproximadamente 1,15 m. Ahora comparamos este resultado con el

resultado obtenido a través del análisis matemático que es 1,15 m también. Se

puede decir que el resultado analítico ha sido verificado gráficamente.

Comentar que a la vista del valor de r es un resultado bastante lógico para un

depósito tipo camión pequeño, por ejemplo de los que contienen agua para ir

limpiando las calles, o de los que distribuyen gasoil por las urbanizaciones y

casas. Veremos en apartados siguientes si h y el valor del coste corroboran esta

afirmación.

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5

9,5

10

,5

11

,5

12

,5

13

,5

14

,5

Coste en función de radio

Coste

Precio (€)

Radio (m)

9125

9130

9135

9140

9145

9150

9155

1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,2

Coste en función de radio

Coste

Precio [€]

Radio [m]

Radio Coste

0,5 14575,96

1 9303,83

1,5 9850,29

2 12715,34

2,5 17198,97

3 23067,84

3,5 30221,97

4 38611,35

4,5 48208,21

5 58995,87

… …

Radio Coste

1,11 9144,86

1,12 9139,93

1,13 9136,45

1,14 9134,41

1,15 9133,77

1,16 9134,52

1,17 9136,62

1,18 9140,06

1,19 9144,81

1,2 9150,85

9

3.6- CÁLCULO DE LA ALTURA Y PROPORCIONES DEL DEPÓSITO

Sabemos que 2

3

3

4105

r

rh

, por lo tanto, sustituimos r por el valor encontrado

que proporciona coste mínimo, quedando así:

mhr 89,6

22

1053

22

1054105

22

1052

3

3

3

3

Ahora que ya tenemos los valores óptimos de r y h, vamos a determinar una

aproximación a las proporciones Radio-Altura del depósito: 615,1

89,6

r

h

El resultado implica que la altura es aproximadamente 6 veces del radio. A

continuación, se muestra una imagen gráfica simplificada del depósito de

capacidad 3500 m3 optimizado (no está a escala, pero sí que se han intentado

mantener las proporciones):

Como se observa, es un tanque que tiene un cuerpo muy largo. La forma de este

tanque no es la forma que necesita menos material para la construcción, ya que

en el trabajo, existe otra restricción, que es el precio del material de las distintas

caras, que condiciona lógicamente los resultados obtenidos.

Por otro lado, a diferencia del radio, el valor de la h de este depósito es algo

grande para un depósito del tipo que va en un camión de distribución. Así que

por las dimensiones encontradas podría ser un depósito fijo de alguna sustancia

líquida o gaseosa, por ejemplo en una empresa o casa particular para almacenar

diésel por ejemplo.

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3.7- SUPERFICIES Y COSTE DEL DEPÓSITO

Después de calcular la altura, calculamos la superficie, con el objetivo de

determinar posteriormente el valor exacto del coste final en Euros.

22 47,6661,6186,49)89,6,15,1(4)2(),(),(),( mArhrhrAhrAhrA tect

Y el coste total:

€83,91333

22007000)( 15,12

t

r

t Crr

rC

Lo cual sí que representa un coste bastante razonable para un depósito como el

especificado. Volví a contactar con el profesional que me proporcionó los datos

de partida y me confirmó que este valor era bastante lógico.

4.- CONCLUSIONES

Para encontrar el mínimo coste para el depósito diseñado, primero he utilizado

el volumen fijado por especificación para encontrar la relación entre el radio y la

altura del tanque; luego, he creado la función de coste total del tanque teniendo

el radio como la variable única independiente y los costes como constantes

multiplicativas; finalmente, he derivado la función e igualado la función derivada

a cero para obtener el valor de radio como punto singular de la función. Y para

saber si el resultado es un máximo o un mínimo, he utilizado el “test de la

segunda derivada” estudiando el signo de la segunda derivada. Resultando un

mínimo que era lo especificado.

También he realizado una comprobación gráfica para poder verificar los

resultados del análisis matemático. En esta comprobación, he creado dos

gráficas, y simplemente he utilizado métodos puramente gráficos para encontrar

el mínimo de la función. Utilizando la precisión marcada en la especificación (2

decimales) el error ha sido nulo, así que el resultado de mis cálculos puede

considerarse correcto siempre en función de la especificación marcada.

El resultado final de la Exploración Matemática define que la longitud del radio

para que el coste de un depósito en forma de cápsula sea mínimo es de 1,15 m.

y la longitud del cilindro de 6,89 m, siempre bajo la especificación del coste del

material de fabricación de la cara de cilindro (100 €/m2) y el coste del material de

las caras semiesféricas (250 €/m2), y con una precisión definida en la

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especificación de 2 decimales y la simplificación física del modelo asumida en la

especificación. Bajo todas estas condiciones este coste mínimo ha resultado

9133,83 €.

La matemática es una asignatura que parece inicialmente no tener ninguna

relación con la vida real, pero profundizado un poco y aplicando los

conocimientos, casi todo está relacionadas con ella. Este trabajo es muy

significativo para mí, ya que me ha dado una oportunidad de aplicar los

conocimientos que he aprendido en la clase de matemáticas a un caso real y

tener un resultado interpretado.

La optimización es una aplicación matemática muy útil, ya que nos permite

encontrar la mejor solución respectando las especificaciones iniciales utilizando

el concepto de derivada. Me he dado cuenta de que con solo unos cálculos,

podemos por ejemplo maximizar el rendimiento o minimizar el coste o los

materiales o recursos a utilizar en un proyecto. Un claro ejemplo es el caso

tratado en este trabajo, el diseño de un depósito.

Me interesa mucho estudiar la carrera de Ingeniería en una Universidad de

extranjero, esta Exploración me ha ayudado a entender qué es un problema de

ingeniería más o menos real que está relacionado con el análisis matemático, y

también colateralmente con el ámbito de la física y el análisis de costes. Así, el

trabajo me ayuda a tener una idea previa de lo que encontraré en mi futuro. La

fase de especificación inicial y comprensión de los resultados finales y su

viabilidad y aplicación a un tipo de depósito u otro en función de los valores de

radio y altura obtenidos, también me ha resultado muy interesante.

5.- BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA

Haese/Mäenpää/Humphries (2012). Mathematics for the international student

(Mathematics SL, third edition). ISBN: 978-1-921972-08-9. Haese & Harris

Publications.

DongFeng-ChengLi Auto, Camiones cisternas de combustible líquido y LPG,

HuBei ChengLi Special Automobil CO., Ltd. [Fecha de última consulta:

02/02/2015]. Página web: http://www.specialtruck.es/13-tanker-truck.html