Optimizacion
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Tarea 2 De Optimizaci´on Profesor: Fabian Arenas Presentado Por: Diego Molina Ejercicio 2.7 Demuestre que f : S → R es convexa sobre el conjunto convexo S ⊆ R n si, y s´ olo si, para cualquier x, y ∈ S, la funci´ on g : [0, 1] → R, definida por g(t)= f (tx + (1 - t)y), es convexa sobre [0, 1]. Soluci´ on: ⇒) Tenemos que f : S → R es convexa sobre el conjunto convexo S ⊆ R n , entonces demostremos que para cualquier x, y ∈ S la funci´ on g : [0, 1] → R, definida por g(t)= f (tx + (1 - t)y) es convexa sobre [0, 1]. Tomemos s, t ∈ [0, 1] y λ ∈ [0, 1], entonces comprovemos que g(λt + (1 - λ)s) ≤ λg(t) + (1 - λ)g(s) Asi que, g(λt + (1 - λ)s) = f ((λt + (1 - λ)s)x + (1 - (λt + (1 - λ)s))y) = f (λtx + (1 - λ)sx + y - λty - (1 - λ)sy) = f (λtx + (1 - λ)sx + y - λty - (1 - λ)sy + λy - λy) = f (λtx + λ(1 - t)y + (1 - λ)sx + (1 - λ)y - (1 - λ)ys) = f (λ(tx + (1 - t)y) + (1 - λ)(sx + (1 - s)y)) Ahra por ser f convexa, se tiene que g(λt + (1 - λ)s) ≤ λf (tx + (1 - t)y) + (1 - λ)f (sx + (1 - s)y) ≤ λg(t) + (1 - λ)g(s) Por tanto g es convexa en [0, 1]. ⇐) Sea S un conjunto convexo si para x, y ∈ S la funci´ on g : [0, 1] → R, definida por g(t)= f (tx + (1 - t)y) es convexa sobre [0, 1], verifiquemos si f : S → R es convexa sobre S. Entonces sean x, y ∈ S y λ ∈ [0, 1] f (λx + (1 - λ)y) = g(λ) = g(λ · 1 + (1 - λ) · 0) = λg(1) + (1 - λ)g(0) = λf (1 · x + (1 - 1)y) + (1 - λ)f (0 · x + (1 - 0)y) = λf (x) + (1 - λ)f (y) Por tanto f es convexo en S. 1
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Funciones convexas
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Tarea 2 De Optimizacion
Profesor: Fabian Arenas
Presentado Por: Diego Molina
Ejercicio 2.7 Demuestre que f : S R es convexa sobre el conjunto convexo S Rn si, y solo si, paracualquier x, y S, la funcion g : [0, 1] R, definida por g(t) = f(tx+(1 t)y), es convexa sobre [0, 1].
Solucion:) Tenemos que f : S R es convexa sobre el conjunto convexo S Rn, entonces demostremos quepara cualquier x, y S la funcion g : [0, 1] R, definida por
g(t) = f(tx+ (1 t)y)
es convexa sobre [0, 1]. Tomemos s, t [0, 1] y [0, 1], entonces comprovemos que
g(t+ (1 )s) g(t) + (1 )g(s)
Asi que,
g(t+ (1 )s) = f((t+ (1 )s)x+ (1 (t+ (1 )s))y)= f(tx+ (1 )sx+ y ty (1 )sy)= f(tx+ (1 )sx+ y ty (1 )sy + y y)= f(tx+ (1 t)y + (1 )sx+ (1 )y (1 )ys)= f((tx+ (1 t)y) + (1 )(sx+ (1 s)y))
Ahra por ser f convexa, se tiene que
g(t+ (1 )s) f(tx+ (1 t)y) + (1 )f(sx+ (1 s)y) g(t) + (1 )g(s)
Por tanto g es convexa en [0, 1].) Sea S un conjunto convexo si para x, y S la funcion g : [0, 1] R, definida por
g(t) = f(tx+ (1 t)y)
es convexa sobre [0, 1], verifiquemos si f : S R es convexa sobre S. Entonces sean x, y S y [0, 1]
f(x+ (1 )y) = g()= g( 1 + (1 ) 0)= g(1) + (1 )g(0)= f(1 x+ (1 1)y) + (1 )f(0 x+ (1 0)y)= f(x) + (1 )f(y)
Por tanto f es convexo en S.
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