Optimización

Optimización

Búsqueda del mínimo o del máximo de una función

Una estrategia para buscar el mínimo o el máximo de una función es buscar la raíz de su derivada

Problemas de optimización en ingeniería

Ejemplo: optimización del costo de un paracaídas

Altura de caída: 500m

Velocidad crítica de impacto: 20 m/s

Area de tela:

16 cuerdas de longitud:

Fuerza de arrastre:

Masa de cada paquete:

Costo por paracaídas:

A=2 r2

L=2 r

c=k c A

m=M t /n

c0c1 Lc2 A2

Ejemplo: optimización del costo de un paracaídas

Función objetivo: minimizar

Sujeta a:

Variables de diseño: r y n

Problema de optimización multidimensional no lineal restringido

C=n (c0+c1 L+c2 A2 )v≤vc

n≥1 ∧ n∈ℤ

Problemas de optimización: definición

Determinar x que minimiza o maximiza f(x) sujeto a:

d i x ≤ai , i=1,2 , ... , mei(x)=bi , i=1,2,. .. , p

Problemas de optimización: clasificación

● f(x) y las restricciones son lineales: problema de programación lineal

● f(x) es cuadrática y las restricciones son lineales: problema de programación cuadrática

● f(x) no es lineal ni cuadrática y/o las restricciones no son lineales: problema de programación no lineal

Orientación

Optimización 1D no restringida

Métodos:● De la sección dorada (sección áurea)● Interpolación cuadrática● de Newton

Sección áureaSe cumple que:

l0=l1+l2

l1

l0

=l2

l1

Reemplazando, tomando el recíproco y definiendo:

R=l2

l1

se llega a R2+R−1=0

cuya raíz positiva es R=5−12

=0.61803...Razón áurea

Algoritmo de la sección aúrea

d=R(xu−xl)

x1=x l+d

x2=xu−d

Paso 1: elegir intervalo [xl  , x

u] donde haya un extremo local de f(x)

Paso 2: calcular los puntos interiores x1 y x

2

Paso 3: ciclo iterativo hasta cumplir εa<εs

Algoritmo de la sección aúreaPaso 3:        Si f(x

1) > f(x

2)                            Si f(x

2) > f(x

1)  

xl          x2

x2          x1

xu          x1

x1          x2

Sección áurea

Cota del error

Al finalizar una iteración, el óptimo se ecuentra en alguno de los intervalos:

xl , x2, x1 x2, x1, xu

En el intervalo superior, los errores máximos son: xa=x1−x2=...=2 R−1 xu−x l≈0.236 xu−x l

xb=xu−x1=...=1−R xu−x l≈0.382 xu−x l

con lo cualεa=(1−R)|xu−x l

xopt|100 %

Ejemplo 13.1 pag. 368

Encontrar el máximo de

f x =2 sin x−x2

10, x∈[0 ; 4 ]

En la primera iteración,

x l=0 ; xu=4 d=5−12

4−0=2.472

x1=x ld=2.472 ; x2=xu−d=1.528

f x1= f 2.472=0.63 ; f x2= f 1.528=1.765

Ejemplo 13.1 pag. 368

● Planilla de cálculo: aurea.ods● Código en Octave: aurea.m● Código en Python: aurea.py

Sección áurea: Pseudocódigo

    iniciar xl; xu            // Paso 1iniciar iter=0; imax; esdefinir Rdefinir funcion f d = R*(xu­xl)             // Paso 2x1 = xl + d; x2 = xu ­ df1 = f(x1);  f2 = f(x2)repetir:

si f1 > f2:            // Paso 3xopt = x1; ea = (1­R)*abs((xu­xl)/xopt)*100xl = x2; x2 = x1; x1 = xl + d*Rf2 = f1; f1 = f(x1)

en caso contrario:xopt = x2; ea = (1­R)*abs((xu­xl)/xopt)*100xu = x1; x1 = x2; x2 = xu ­ d*Rf1 = f2; f2 = f(x2)

iter = iter + 1 d = d*R     // valor d para iteracion siguiente    

hasta que (ea<es  or  iter>=imax)  mostrar xopt

Interpolación cuadrática● Evalúa la expresión

f x =a x2b xc

en los puntos

[ x0 ; f x0]

[ x1 ; f x1]

[ x2 ; f x2]

obteniendo a x02b x0c= f x0

a x12b x1c= f x1

a x22b x2c= f x2

Interpolación cuadrática

● Resolviendo para a, b, c

Interpolación cuadrática

Recordando que el vértice de una parábola se encuentra en

x3=−b

2 ay reemplazando,

x3=f x0 x1

2−x22 f x1 x2

2−x02 f x2x0

2−x12

2 f x0 x1−x22 f x1 x2−x02 f x2 x0−x1

Interpolación cuadrática

En la próxima iteración se elimina:

six0 x1≤ x3 six2 x3< x1

x0 x1 x2 x0 x1 x2próximaiteración

Interpolación cuadrática: Pseudocódigo

    iniciar x0; x1; x2            iniciar iter=0; imax; esdefinir funcion f x3Ant = x2f0 = f(x0); f1 = f(x1); f2 = f(x2)repetir:       x3 = (f0*(x1^2­x2^2) + f1*(x2^2­x0^2) + f2*(x0^2­x1^2))  /  ...        (2*(f0*(x1­x2) + f1*(x2­x0) + f2*(x0­x1)) )

si x3 < x1:    x2 = x1

f2 = f1    en caso contrario:      x0 = x1

f0 = f1   x1 = x3

f1 = f3            si x3 != 0:       ea = abs((x3­x3Ant)/x3)*100            iter = iter + 1   x3Ant = x3     hasta que (ea<es  or  iter>=imax)  mostrar x3

Ejemplo 13.2, pag. 372

Obtener el máximo de f x =2 sin x−x2

10, x∈[0 ; 4 ]

Con los valores iniciales x0=0 , x1=1 , x2=4

Se evalúa la función

f x0=0 , f x1=1.5829 , f x2=−3.1136

x3=012−421.582942−02−3.113602−12

2 01−421.58294−02−3.11360−1=1.5055

f 1.5055=1.7691

Ejemplo 13.2, pag. 372

● Planilla de cálculo: cuadratica.ods● Código en Python:

-módulo cuadratica.py

-programa principal ejemploCuadratica.py

Método de Newton

Se basa en el método de Newton-Raphson de búsqueda de raíces:

x i1=x i−f xi

f ' xi

Para encontrar el máximo o el mínimo busca la raíz de la primera derivada:

xi+1=xi−f ' (xi)

f ' ' (x i)

Método de Newton: Pseudocódigo

    iniciar xant, iter=0, imax, es definir funcion fdefinir funcion dfdefinir funcion d2frepetir:   xopt = xant ­ df(xant)/d2f(xant)      si xopt != 0:       ea = abs((xopt ­ xant)/xopt)*100      iter = iter + 1           xant = xopt  hasta que (ea<es  or  iter>=imax)mostrar xopt

Ejemplo 13.3, pag.373

Obtener el máximo de f x =2 sin x−x2

10, x∈[0 ; 4 ]

Sus derivadas:

f ' x =2 cos x−x5

, f ' ' x =−2 sin x−15

Tomando como valor inicial x0 = 2.5,

x1=2.5−2 cos 2.5−2.5 /5−2sin 2.5−1/5

=0.99508

● Planilla de cálculo: newton.ods● Código en Python: newton.py

Problemas 13.1 a 13.21

Optimización multidimensional no restringida

● Métodos● Directos● De gradiente

Métodos directos

● Búsqueda por malla* (algoritmo de fuerza bruta) – problema 14.10

Búsqueda por malla: Pseudocódigo

    iniciar xl; xu; yl; yu; dx; dyiniciar opt = ­Infdefinir funcion f

repetir para x desde xl hasta xu cada dx:repetir para y desde yl hasta yu cada dy:

f = f(x,y)si f > opt:

opt = f; xopt = x; yopt = ymostrar xopt, yopt, opt        

Problema 14.10Hallar el máximo de

f (x , y)=y−x−2 x2−2 x y−y2 , x∈[−2 ; 2 ] , y∈[1 ;3]

Gráfica en Octave (GNUPlot)x=[­2:0.1:2]; y = [1:0.1:3];[X Y] = meshgrid(x,y);f = Y­X­2*X.^2­2*X.*Y­Y.^2;surfc(X,Y,f)

Gráfica en Python

(Matplotlib)

grafico14_10.py

Problema 14.10 ● Código en Octave: fuerzabruta.m● Código en Python: fuerzabruta.py

Métodos directos

● Búsqueda aleatoria (método de Monte Carlo)

x=x l xu−x lry=ylyu−y lr

donde r es un número aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1

Se evalúan puntos de coordenadas aleatorias:

Búsqueda aleatoria: Pseudocódigo

    iniciar xl; xu; yl; yu; nPuntosiniciar opt = ­Infdefinir funcion fdefinir funcion r    # funcion para obtener numero aleatorio [0;1)

rangoX = xu – xl; rangoY = yu ­ ylrepetir para i dede 1 hasta nPuntos:

x = xl + rangoX * ry = yl + rangoY * rf = f(x,y)si f > opt:

opt = f; xopt = x; yopt = y mostrar xopt, yopt, opt

        

Ejemplo 14.1

Hallar el máximo de

f x , y=y−x−2 x2−2 x y−y2 , x∈[−2 ;2 ] , y∈[1 ;3]Las coordenadas de cada punto se determinan por:

x=...=−24 ry=...=12 r

● Código en Octave: montecarlo.m● Código en Python: montecarlo.py

Búsqueda univariada

Búsqueda univariada

Hallar el máximo de

f x , y=y−x−2 x2−2 x y−y2 , x∈[−2 ;2 ] , y∈[1 ;3]

comenzando en x = 1, y = 3

Si y = 3,

Devuelve (por sección áurea) xóptimo: ­1.75 en 25 iteraciones. Ahora x = ­1.75

Devuelve yóptimo = 2.25 en 23 iteraciones

f (x)=3−x−2 x2−2 x 3−32=−2 x2−7 x−6

f (y)=y−(−1.75)−2 (−1.75)2−2 (−1.75) y−y2=−y2+4.5 y−4.375

Búsqueda univariadaAsí se sigue y se obtiene (con es = 0.0001)

xóptimo : ­1.0001

yóptimo : 1.5001

fmáximo : 1.2500

en 836 iteraciones. (100 veces menos que la fuerza bruta!)

Código en Octave: univariada.m

Código en Python: univariada.py

Búsquedas patrón

Direcciones conjugadas:● 1-2 (o 3-4 ; 5-6) y 2-4● 2-3 (o 4-5 ; 6-7) y 1-3

Direcciones patrón:● 1-3● 2-4

Direcciones conjugadas:● 0-1 (o 0'-2) y 1-2

Direcciones patrón:● 1-2

Método de Powell

Métodos con gradiente

Conceptos de Análisis Matemático:● Derivada direccional

● Gradiente

g ' 0=∂ f∂ x

cos∂ f∂ y

sin

g ' 0=∇ f⋅n

∇ f=∂ f∂ x

i∂ f∂ y

j

Métodos con gradiente

Método de máxima inclinación

● Ascenso de máxima inclinación: h arbitrario

● Ascenso optimal de máxima inclinación: h óptimo

Gradiente

Incremento (decremento) de la función

x=x0∂ f∂ x

h

y=y0∂ f∂ y

h

Ejemplos 14.3 y 14.4 pag. 390

Hallar el máximo de

partiendo de

f ( x , y)=2 x y+2 x−x2−2 y2

x0=−1 , y0=1

∂ f∂ x=2 y2−2 x ⇒ ∂ f

∂ x x=−1y=1

=...=6

∂ f∂ y=2 x−4 y ⇒ ∂ f

∂ y x=−1y=1

=...=−6

∇ f=6 i−6 j

f x0∂ f∂ x

h , y0∂ f∂ y

h = f −16 h ,1−6 h=...=−180 h272 h−7

Ejemplos 14.3 y 14.4 pag. 390

El óptimo se calcula como

g ' h *=−360 h *72=0 ⇒ h*=0.2Las nuevas coordenadas,

x=−16 0.2 =0.2 ; y 0 1−6 0.2=−0.2

∂ f∂ x=2 −0.22−20.2=1.2

∂ f∂ y=2 0.2−4 −0.2=1.2

∇ f=1.2 i1.2 jx=0.21.2 hy=−0.21.2 h

Ejemplos 14.3 y 14.4 pag. 390

sustituyendo,

f 0.21.2 h ,−0.21.2 h=gh=...=−1.44 h22.88 h0.2

Cuyo óptimo es,g ' h*=−2.88 h2.88=0 ⇒ h*=1

x=0.21.2 1=1.4y=−0.21.2 1=1

Converge a la solución analítica:

                  x = 2

                  y = 1

Problemas 14.1 a 14.12 pag. 396

Estudio de casos

1) Diseño de un tanque con el menor costo

Parámetros

V 0=0.8 m3

t=3cm

=8000kgm3

Lmáx=2 m

Dmáx=1mcm=4.5$ /kg

cw=20 $ /m Variables de diseño: V y D

Diseño de un tanque con el menor costo

Problema: minimizar FO (costo):

C=cm mcw lw

donde

V cil=L [ D2 t 2

−D22

] V tapa= D2 t 2

t

m= V cil2V tapa lw=2 [2 D2 t 2D2 ]=4Dt

D2 L4

=V 0 ⇒ L=4V 0

D2 ⇒ Lmáx=40.8 1 m2

=1.0186

Diseño de un tanque con el menor costo

Problema de optimización 1D (D) restringida (..?)

● Código en Octave: p16_1.m

Máxima transferencia de potencia en un circuito

Ra : potenciómetro

Parámetros

Según las leyes de Kirchhoff:

V=80 V R1=8

R2=12 R3=10

P Ra=[ V R3 Ra

R1RaR2R3R3 RaR3 R2 ]2

Ra

Máxima transferencia de potencia en un circuito

Realizar un análisis de sensibilidad que muestre cómo varía la máxima potencia conforme V varía entre 45 a 105 V.● Código en Octave: p16_3.m

Problemas 16.1 a 16.29, pag. 440