Optimizaciefbfbdn Con Restricciones de Desigualdad

7/21/2019 Optimizaciefbfbdn Con Restricciones de Desigualdad

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Matemticas Avanzadas para la Economa Curso 2013/2014

Manuel Snchez Snchez (UNED)

Pgin

a1

Optimizacin con restricciones de desigualdad:Condiciones de Kuhn-Tucker

Hasta ahora, hemos estudiado como maximizar o minimizar una funcin sujeta a restricciones

en forma de ecuaciones de igualdad. En esta seccin, nos ocuparemos de problemas de

programacin no lineal, con restricciones en forma de desigualdad.

Los programas con restricciones de desigualdad, tienen una historia mucho ms reciente que

los programas analizados anteriormente. Las caractersticas y mtodos de resolucin de estos,

se empiezan a dar a conocer en los aos cincuenta de este siglo, mientras que los programas

con restricciones de igualdad o sin restricciones conforman la optimizacin clsica, y han sido

utilizados desde el siglo XVIII.

Los mtodos tericos de resolucin de los programas no lineales, con restricciones de

desigualdad, son conocidos a partir de los trabajos de los matemticos norteamericanos Kuhn

y Tucker, publicados en 1951.

Este tipo de programas representan con ms fidelidad, las circunstancias en las que se

desenvuelve la actividad econmica, ya que normalmente se dispone de cantidades limitadas

de recursos - ms de una vez habremos ledo que la economa es la ciencia de la escasez -

pero sin la obligacin de emplearlas en su totalidad, si ello no resulta necesario.

As, este nuevo tipo de programas, nos posibilita obtener soluciones ptimas que no saturen1

necesariamente todas las restricciones, pudiendo quedar recursos que no sea necesario utilizar

hasta su agotamiento.

Consideremos el problema sencillo de programacin no lineal:

max(, ) (, )

1 Un punto factible (,

) satura o activa la restriccin (,

) cuando se verifique que (,

) = . Encaso contrario (, ) < diremos que (, ) no satura la restriccin.


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MatemManue

Lo pri

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1.

2.

3.

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(, ) 0) (v)

De (i) obtenemos: (, ) + (, ) = .De (iv) obtenemos que: 0 y = 0 si > 0.Asi (i) y (iv) equivalen conjuntamente a:

(, ) + (, ) 0, (, ) + (, ) = 0 > 0 (vi)De manera anloga, (ii) y (v) equivalen conjuntamente a:


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Pgin

a14

(, ) + (, ) 0, (, ) + (, ) = 0 > 0 (vii)Por tanto, las nuevas condiciones de Khun-Tucker son (vi), (vii) y (iii).

Ntese que, despus de sustituir (i) y (iv) por (vi) y (ii) y (v) por (vii), slo el multiplicador asociado con ( , ) permanece.Se puede extender la misma idea al problema de variables:

max(, , ) (, , ) . .(, , ) 0 , . , 0 (I)

Formuladas brevemente, las condiciones necesarias de solucin de (I) son que, para cada

= 1 , , :()

+ () 0, () + () =0 > 0 (II)

0, = 0 () < ( = 1 , , ) (III)Nota: supongamos que es admisible y satisface las condiciones (II), y las de holguracomplementaria, (III).

Entonces se demuestra que si la funcin lagrangiana

() es cncava,

resuelve el

problema de maximizacin.

Ejemplo

Resolver el siguiente problema:

max(x, y) = 23 x 12 x + 112 y , sujeta a x 5 x + y 1

x 0 , y 0


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Pgin

a15

Solucin

La funcin lagrangiana asociada es:

() = 23 x 12 x + 112 y + ( 5) + ( + 1 )

Las condiciones necesarias para que (, )resuelva el problema son que existan nmeros y tales que:

=

+ 0

= 0

> 0 (i)

= + 0, =0 > 0 (ii)

0, =0 < 5 (iii) 0, =0 + < 1 (iv)

De la condicin (ii) se sigue que < 0, lo cual implica, por (iv), que + = 1.Como 0, lo anterior implica que = + 1 > 0, y as, que =1/12, por (ii).Supongamos que < 0Esto implicara, por (iii) que = 5. Pero este valor de y =1/12implicara, por (i),que > 0, lo cual es imposible.

Debe ser cierto, entonces que

= 0,en cuyo caso (i) nos dice que:

+ = + > 0De (i) se sigue entonces que

+ = 0 =3/4

Esto a su vez implica que: = 1 + = 1 + =7/4 =7/4Concluimos entonces que (, )=(3/4,7/4) con = 0 y =1/12, satisface todaslas condiciones.

Por ltimo, se comprueba fcilmente que la funcin lagrangiana es cncava, luego este

candidato es la solucin del problema de maximizacin planteado.


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MatemManue

Ap

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Pgin

a16


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MatemManue

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4

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Pgin

a17


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MatemManue

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ticas Aval Snchez

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Pgin

a19

Teorema de los Valores Extremos:

Este es un teorema de existencia puro,ya que nos da condiciones suficientes para asegurar laexistencia de puntos ptimos, pero no nos dice como hallarlos. Para encontrarlos

Teorema

Si f es una funcin continua sobre un conjunto compacto (cerrado y acotado) S de ,entonces existe al menos un mximo = (, , )y un mnimo = (, , )en S; estoes, existen c yden Stales que

() () () para todo x de S

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