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FSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS DEPARTAMENTO DE FSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLN

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OPTICA GEOMTRICA SUPERFICIES REFLECTORAS :ESPEJOS

1. ESPEJOS ESFERICOS Y PLANOS

Un espejo esfrico es un sistema ptico constituido por una porcin de superficie esfrica

recubierta por un material reflectante; el espejo puede ser cncavo o convexo dependiendo de

cual sea la superficie que refleja la luz.

C V

a)

Vriqq

C

b)

V

r

iqq

Figura 1 . a) Espejo esfrico cncavo. b) Espejo esfrico convexo.

Naturalmente los espejos esfricos forman imgenes, por reflexin, de fuentes luminosas; estas

imgenes pueden determinarse teniendo en cuenta que cada rayo que incide sobre el espejo se

refleja de acuerdo con la ley ordinaria de la reflexin, es decir de manera que los ngulos de

incidencia y de reflexin sean iguales; sin embargo los espejos esfricos tienen algunas

propiedades que nos permiten localizar las imgenes a travs de una simple relacin matemtica

que obtendremos a travs de algunas hiptesis y aproximaciones.


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Definamos eje ptico del espejo a la recta que pasa por el centro de curvatura de la superficie

esfrica a la cual pertenece el espejo y por el centro geomtrico o vrtice del casquete esfrico

que conforma el espejo.

2. Propiedades focales.

Si consideramos un conjunto de rayos incidentes paralelos al eje ptico del espejo,

experimentalmente puede observarse que esos rayos cuando se reflejan se cruzan todos,

aproximadamente, en un punto( 1 ) llamado foco del espejo.

La aproximacin es bastante buena si consideramos rayos incidentes paraxiales o sea rayos

divergentes de la fuente luminosa contenidos en un cono de pequea abertura angular alrededor

del eje ptico o rayos paralelos cercanos al eje ptico del espejo. Puede demostrarse fcilmente

(Figura 2) que el foco est aproximadamente situado en el punto medio entre el centro de

curvatura y el vrtice del espejo.

P

C VF

T

r

i

iq

qq

Figura 2. Con la aproximacin de rayos paraxiales la distancia focal f FV= es igual a la mitad del radio de curvatura R CV= .

( 1 ) Esta observacin sera estrictamente cierta para un espejo parablico debido a las

propiedades geomtricas de la parbola; para un espejo esfrico los rayos se cruzan en una zona pequea llamada custica que se vuelve con buena aproximacin puntual para rayos paraxiales.


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Con relacin a la Figura 2 es fcil ver que TPC PCF$ $= porque son ngulos alternos internos para las paralelas TP y CV , por otro lado TPC CPF$ $= por ley de reflexin, lo cual implica que el tringulo CPF$ es issceles porque FCP CPF$ $= , por lo tanto CF FP= .

Para rayos paraxiales FP FV@ y entonces CF FV R@ = 2 ; por consiguiente la distancia

focal FV f R= = 2 .

Para los espejos convexos los rayos que inciden paralelos al eje ptico son divergentes una vez

hayan sido reflejados por el espejo, pero sus prolongaciones tambin se cruzan aproximadamente

en un punto focal; en este caso se dice que el foco es virtual dado que en ese punto localizado

detrs del espejo no hay una efectiva concentracin de energa( 1 ) , sino que los rayos reflejados

por el espejo son percibidos como divergentes del punto focal. (Figura 3).

C F V

a)

CFV

b)

Nota Las lneas naranja son las prolongaciones de los rayos Figura 3. a) Foco real de un espejo esfrico cncavo. b) Foco virtual de un espejo esfrico convexo.

( 1 ) El foco de un espejo cncavo es real en el sentido que en ese punto hay una efectiva

concentracin de la energa luminosa.


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Cuando los rayos luminosos inciden paralelos entre s mas no paralelos al eje ptico, tambin se

cruzan en un punto una vez reflejados por un espejo cncavo o tambin aparecen divergentes

desde un punto cuando son reflejados por un espejo convexo; esos puntos estn situados sobre un

plano perpendicular al eje ptico que pasa por el foco real o virtual del espejo.

Ese plano que es el conjunto de todos los puntos en los cuales convergen los rayos reflejados

generados por rayos incidentes paralelos entre s (espejo cncavo) o desde los cuales

aparentemente divergen los rayos reflejados generados por rayos incidentes paralelos entre s

(espejo convexo) se llama plano focal y es real para espejos cncavos y virtual para espejos

convexos (Figura 4).

CCF

FV

b)A)

V

Nota Las lneas naranja son las prolongaciones de los rayos Figura 4. a) Plano focal real para un espejo cncavo. b) Plano focal virtual para una espejo convexo.

3 Frmula de Gauss.

Veamos ahora como podemos determinar la posicin de la imagen formada por un espejo

(cncavo o convexo) cuando se conozca la posicin del objeto fuente y las caractersticas del

espejo, es decir su radio de curvatura.


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Con el fin de que la relacin analtica que encontremos sea til, es necesario que pueda aplicarse

cualesquiera que sean las caractersticas del espejo e indiferentemente si la imagen es real o

virtual; para garantizar lo anterior deben establecerse unas convenciones de signo que resumimos

as:

La luz viaja de izquierda a derecha.

Son positivas las distancias que se miden de izquierda a derecha.

Son negativas las distancias que se miden de derecha a izquierda. La distancia p del objeto al espejo se mide desde el objeto hacia el vrtice. La distancia q de la imagen al espejo se mide desde la imagen hacia el vrtice del

espejo; lo que implica que q es positiva para imgenes reales y negativa para imgenes

virtuales.

El radio de curvatura R se mide desde el centro de curvatura hacia el vrtice del espejo, de manera que es positivo o negativo segn el espejo sea cncavo o convexo.

La distancia focal f se mide desde el foco hacia el vrtice del espejo, lo que implica que f es positiva o negativa segn el foco sea real o virtual.

Tracemos entonces la trayectoria de un haz de luz que incide sobre un espejo.

R

O CI F V

p

q

f

gba

qq

Figura 5. Imagen de una fuente puntual producida por un espejo esfrico cncavo

Con relacin a la Figura 5 podemos observar que, en el tringulo OPI , el segmento CP es bisector del ngulo CPI$ lo que implica de acuerdo con el teorema de la bisectrz (geometra

euclidiana):


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OP IP OC CI: := (1)

En la aproximacin de rayos paraxiales podemos aceptar que OP OV p@ = , IP IV q= = ;

por otra parte es obvio que OC OV CV p R= - = - y, CI CV IV R q= - = - , as que de

la (1) obtenemos:

p q p R R q: := - -

de donde:

pR pq pq qR- = - .

Reorganizando y dividiendo por p q R. . se llega a:

1 1 2 1p q R f

+ = = (2)

Esta ecuacin llamada frmula de Gauss es aplicable a cualquier espejo esfrico siempre que se

tengan en cuenta las convenciones de signo; incluso la frmula puede aplicarse a los espejos

planos que, como se sabe, producen imgenes virtuales a la misma distancia detrs del espejo a

la cual est situada la fuente delante del espejo.

Para los espejos planos que pueden considerarse como espejos esfricos de radio R infinito se obtiene, a partir de la (2):

1 1 2

0p q R

+ = =

de donde q p= -

que coincide con el resultado esperado.


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4 Construccin grfica de imgenes.

Sin recurrir a la frmula de Gauss, es posible determinar con bastante precisin la posicin de la

imagen producida por un espejo utilizando construcciones grficas de acuerdo con las siguientes

reglas:

- Todo rayo que incide paralelamente al eje ptico se refleja de manera que pase por el foco

real o que su prolongacin pase por el foco virtual.

- Todo rayo incidente que pasa por el centro de curvatura C se refleja sobre si mismo.

- Todo rayo incidente que pase por el foco real o cuya prolongacin se dirija hacia el foco

virtual se refleja paralelamente al eje ptico (consecuencia del principio de reversibilidad).

Las figuras siguientes presentan algunos casos de importancia obtenidos mediante el uso de las

anteriores reglas.

FC

O V

I

a)

CF

OV

I

b)


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CFOV

I

c)

Nota: Las lneas rojas son las prolongaciones de los rayos Figura 6 . a) Imagen real formada por un espejo cncavo. b) Caso nico ( )p f< de imagen virtual formada por un espejo cncavo.

c) Un espejo convexo siempre forma una imagen virtual.

Como puede deducirse de la Figura 3.13 un espejo cncavo forma generalmente (excepto para p f< ) imagen real e invertida; el nico caso en el cual el espejo cncavo forma una imagen

virtual y derecha ocurre cuando p f< , mientras un espejo convexo siempre produce una

imagen virtual y derecha.

4 Aumento.

La anterior figura tambin nos muestra como el tamao de la imagen es variable de acuerdo con

la posicin del objeto fuente; se define entonces como aumento del espejo a la relacin A I= - 0 ( 1 ) entre los tamaos de la imagen y del objeto.

Con relacin a la Figura 7 hay varios pares de tringulos semejantes, por ejemplo:

1) Tringulo ABC y tringulo CNM para los cuales:

AI R q

p R= - = -

--0

(3)

2) Tringulo lim22 qq > y tringulo NVM para los cuales: ( 1 ) El signo negativo tiene en cuenta que cuando p q, son positivas (es decir para imgenes

reales), la imagen resulta invertida con respecto al objeto, mientras cuando p es positiva y q es negativa (es decir para imgenes virtuales) la imagen resulta derecha.


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AI p

q= - = -

0 (4)

CO

B

A

P

V

Q

FN

M

I

Figura 7. Imagen real e invertida producida por un espejo cncavo.

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