Operaciones enteros verano2016 (1)

Universidad Interamericana de Puerto RicoRecinto Metropolitano

Facultad de Ciencias y TecnologíaPropuesta LiNUS-MSP

Prof. Manuel Fernández

Los números enteros

1. Los números enteros. Representación y valor absoluto

2. Ordenación de los números enteros3. Operaciones con números enteros4. Propiedades de los números enteros5. Operaciones combinadas


LOS NÚMEROS ENTEROS

• El conjunto de los números enteros está formado por los números positivos, N, el cero y los números negativos. Lo representamos con la letra Z. Z = {…, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

• Los utilizamos para expresar temperaturas bajo cero, fechas históricas, altitudes, latitudes, deudas,…



El valor absoluto de un número entero es el mismo número con signo positivo. Se expresa escribiendo el número entre barras.

|+ a| = |− a| = a

|+ 12| = |− 12| = 12

Dos números enteros son opuestos o simétricos si tienen distinto signo y el mismo valor absoluto.

|+ 7| = |− 7| = 7 op (– 7) = 7

2. Ordenación de los números enteros


• La forma más sencilla de ordenar los números enteros es mediante su representación en la recta numérica.

• Un número entero a es mayor que un número entero b, a > b, si a está a la derecha de b en la recta numérica, mientras que es menor si se encuentra a la izquierda. También podemos decir que :a > b a – b > 0 a < b a – b < 0

3. Operaciones con números enteros. Adición y sustracción


Para sumar dos o más números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los sumandos y se deja el mismo signo. El resultado siempre es un número entero.

(+8) + (+3) + (+5) = (+16)(–6) + (–8) + (–9) = (–23)



Para sumar dos o más números enteros de distinto signo se suman por separado los del mismo signo y después se restan sus valores absolutos, el menor del mayor, y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto. El resultado es un número entero.

(–5) + (+4) + (–3) = (–5) + (–3) + (+4) = = (–8) + (+4) = (–4)



Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y se obtiene así otro número entero.

(–7) – (–3) = (–7) + (+3) = (–4)

3. Operaciones con números enteros. Multiplicación y división


Para multiplicar dos o más números enteros se multiplican sus valores absolutos. El signo del producto se obtiene mediante la regla de los signos.

+ · + = + (+ 3) · (+ 5) = (+15) + · – = – (+ 4) · (– 5) = (– 20) – · + = – (– 7) · (+ 2) = (– 14) – · – = + (– 6) · (– 3) = (+18)

3. Operaciones con números enteros. Multiplicación y división


Para dividir dos números enteros se dividen sus valores absolutos. El signo de la división se obtiene mediante la regla de los signos.

+ : + = + (+ 15) : (+ 5) = (+3) + : – = – (+ 18) : (– 2) = (– 9) – : + = – (– 12) : (+ 4) = (– 3) – : – = + (– 24) : (– 6) = (+4)

3. Operaciones con números enteros. Potencias y raíces


La potencia de un número entero es otro número entero que se halla multiplicando la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.

• Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva.

(+5)2 = 25

• Si la base es negativa, la potencia será positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar. (– 3)2 = (+9) (– 3)3 = (– 27)

4. Propiedades de los números enteros


La suma y la multiplicación de números enteros tienen las siguientes propiedades:

Suma Multiplicación

Conmutativa (–3) + (+ 4) = (+ 4) + (–3) (–3) · (+ 4) = (+ 4) · (–3)

Asociativa [(+ 5) + (+ 7)] + (– 9) =

= (+ 5) + [(+7) + (–9)]

[(+ 5) · (+ 7)] · (– 9) =

= (+ 5) · [(+7) · (–9)]

Elemento neutro (–6) + 0 = (– 6) (+ 5) · 1 = (+ 5)

Elemento opuesto o simétrico

(+3) + (– 3) = 0

Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma

(–2) · [(+7) + (–3)] = (–2) · (+7) + (–2) · (–3)

5. Operaciones combinadas


Las operaciones entre paréntesis son las primeras que debes realizar. También puedes eliminarlas de la siguiente manera:

• Si delante del paréntesis hay un signo positivo, los signos de los números que hayan dentro del mismo no se modifican.

3 + (–7 + 6) = 3 – 7 + 6 = 2• Si delante del paréntesis hay un signo negativo,

cambiarán de signo todos los números que se encuentren dentro.

5 – (–3 + 8) = 5 + 3 – 8 = 0



Cuando hay varias operaciones juntas debes seguir el siguiente orden:1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis y corchetes.2.º Calcular las potencias y las raíces.3.º Realizar las multiplicaciones y divisiones en orden de aparición. 4.º Efectuar las sumas y restas de izquierda a derecha.

[(– 5) – 3] · (– 2) + (– 8) : 22



1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

[(– 5) – 3] · (– 2) + (– 8) : 22 =

= (– 8) · (– 2) + (– 8) : 22 =

= (– 8) · (– 2) + (– 8) : 4 =

= (+16) + (– 2) = (+14)

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones.

Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas.

Números Racionales

Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir:

ab

/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =

Ejemplos:

2; 17; 0; -6; -45; -2; 7

0,489; 2,18; -0,647-1; 8

14; 3

NO es racional

a: numerador y b: denominador

150

Repaso

Son todos los números Cardinales a los cuales se les ha añadido el reflejo de los números Naturales en la parte izquierda de la recta numérica, o sea, los puestos de los números Naturales.

{…, - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

Números Enteros

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Son los números que se pueden escribir como una

fracción, en la cual el numerador y denominador

son Enteros, excepto el denominador que no

puede ser cero.

Números Racionales

Naturales: Para determinar si un número Natural es también

Racional, basta tomar un ejemplo. Tomemos como ejemplo el número 5. ¿Se puede escribir el 5 como una fracción que

cumpla con la definición de Racional? Si. El 5 se puede escribir como:

Ejemplos de Racionales

Para determinar si un número Entero es también Racional, con un ejemplo es suficiente.

Por ejemplo un número negativo: -4 ¿Se puede escribir el -4 como una fracción que

cumpla con la definición de Racional? Si. El -4 se puede escribir como:

Enteros

Propiedades: Cuando los números enteros tienen el mismo

signo, se suman y el resultado queda con el mismo signo de los números sumados.

Ejemplo: 1+3+5+8=17 -2-4-7=-13

Los números Enteros

Cuando los números enteros tienen distinto signo, se resta el mayor (en valor absoluto) con el menor (en valor absoluto) y el resultado (en valor absoluto) queda con el signo del mayor.

Ejemplo: -5+3= -2 6-2=4

Si delante de un paréntesis, corchete o llave, no hay nada o un signo positivo, entonces se considera que hay un signo positivo que al retirar el paréntesis mantiene el signo de los términos que estaban dentro de el.

Ejemplo:

54235423 5423

5423 0

Si delante de un paréntesis, corchete o llave, hay un signo negativo, entonces al retirar el paréntesis se cambia el signo de los términos que estaban dentro de el.

Ejemplo:

412 412

1

412412

Para sumar o restar números enteros: Eliminar los paréntesis, llaves y corchetes

aplicando las propiedades que correspondan. Sumar primero todos los positivos por un lado

y los negativos por otro poniéndoles el signo correspondiente al resultado de cada uno.

Restar ambos y pongo el signo del mayor al resultado.

Resolver:

Eliminar los paréntesis Sumar Restar

853514952757

Resolver:

Eliminar los paréntesis Sumar Restar Eliminé los primeros paréntesis

853514952757

853514952757

Resolver:

Eliminar los paréntesis Sumar Restar Eliminé los siguientes paréntesis

853514952757

853514952757

853514952757

Resolver:

Eliminar los paréntesis Sumar Restar Eliminé los últimos paréntesis

853514952757

853514952757

853514952757

853514952757

Resolver:

Eliminar los paréntesis Sumar Restar

Sumo los positivos y luego sumo el valor absoluto de los negativos poniendo el resultado con signo negativo

853514952757

853514952757

853514952757

853514952757 4327

Ejemplos de Suma: 5 + 7 =

(-5) + (-7) =

(-5) + 7 =

5 + (-7) =

12

(-12)

(-2)

2

Recordar el valor absoluto:

| 7 | = | -7 | = | 0 | = | -3.1 | = | 0.85 | = | ¼ | = | - ½ | = | 5 - 4 | = | -9 | - | -2 | = - | -9 | =

77

03.10.85

¼½

| 1 | = 19 – 2 = 7- 9

Resta de EnterosRegla para restar números enteros

a – b =

• La resta se cambia a suma del opuesto del sustraendo.

a + (-b)

• Después se aplican las reglas de suma de enteros

Opuesto del sustraendo

SumaSustraendo

Ejemplos de Resta: 7 – (-2) =

(-7) – (-2) =

(-7) – 2 =

7 – 2 =

7 + 2 =

(-7) + 2 =

(-7) + (-2) =

7 + (-2) =

9

(-5)

(-9)

5

Multiplicación de EnterosReglas para multiplicar números enteros

(Positivo) . (Positivo) =

(Negativo) . (Negativo) =

(Positivo) . (Negativo) =

(Negativo) . (Positivo) =

Signos Iguales resultado es Positivo

Signos Diferentes resultado es Negativo

(Positivo)

(Positivo)

(Negativo)

(Negativo)

Ejemplos de Multiplicación: 3 . 4 =

(-3) . (-4) =

3 . (-4) =

(-3) . 4 =

12

12

(-12)

(-12)

División de Enteros Reglas para dividir números enteros

(Positivo) ÷ (Positivo) = (Positivo)

(Negativo) ÷ (Negativo) = (Positivo)

(Positivo) ÷ (Negativo) = (Negativo)

(Negativo) ÷ (Positivo) = (Negativo)

Signos Iguales resultado es Positivo

Signos Diferentes resultado es Negativo

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