Operaciones con Matrices Densas

Glen D. Rodríguez R.Algoritmos ParalelosBasado en material de J. Demmel

Revisión de BLAS

Nivel BLAS Ex. # mem refs # flops q

1 “axpy”, prod escalar

3n 2n1 2/3

2 Mult. Matriz-vector

n2 2n2 2

3 Mult Matriz-matriz

4n2 2n3 n/2

• Bloques básicos de operaciones de alg. Lineal.•Las librerías paralelas llaman a las funciones seriales en cada CPU: deben ser veloces!•Recordar la eficiencia del algor. q = # flops / # refs mem

• A mayor q, más rápido el algoritmo en computadorasreales con jerarquía de memoria

• “axpy” (ax plus y): y = *x + y, con escalar, x e y vectores

Varias particiones de data en proc. paralelos para matrices

0123012301230123

0 1 2 3 0 1 2 3

1) Bloques de columnas en 1D 2) Columnas cíclicas en 1D

3) Bloques cíclicos de cols. 1D

4) Cambiar columnas por filas en los casos 1,2,3 y salen 3 casos análogos

Generalizar otros0 1 0 1 0 1 0 12 3 2 3 2 3 2 30 1 0 1 0 1 0 12 3 2 3 2 3 2 30 1 0 1 0 1 0 12 3 2 3 2 3 2 30 1 0 1 0 1 0 12 3 2 3 2 3 2 3

6) Bloques cíclicos 2D

0 1 2 3

0 1

2 35) Bloques (sub matrices) en 2D

Multiplicación paralela matriz vector Computar y = y + A*x, con A matriz densa Partición:

Bloques de filas en 1D A(i) es el bloque de filas tamaño n por n/p asignado al

procesador i, x(i) e y(i) son los segmentos de

x,y asignados al proc.“i” Algoritmo:

Para todos los procesadores i Broadcast x(i) Computar y(i) = y(i) + A(i)*x

Algoritmo use la formulay(i) = y(i) + A(i)*x = y(i) + j A(i,j)*x(j)

x

y

P0

P1

P2

P3

P0 P1 P2 P3

Multip. matriz vector y = y + A*x Una partición por columnas elimina el broadcast de x

Pero implicaría un mpi_reduce para obtener el valor de y Una partición de bloques 2D use broadcast y reducción,

ambos en un subconjunto de procesadores sqrt(p) si tenemos una distribución cuadrada de procesadores (2x2,

3x3, 4x4, 5x5, etc.)

P0 P1 P2 P3

P0 P1 P2 P3

P4 P5 P6 P7

P8 P9 P10 P11

P12 P13 P14 P15

Multiplicación de matrices en paralelo Computar C=C+A*B Usando algoritmo básico: 2*n3 Flops Variables:

Partición de la data Topología de las máquinas Scheduling (calendarización) de la comunicación

Uso de modelos de performance para diseñar el algoritmo Tiempo comunicación= “latencia” + #words *tiempo-por-word

= + n* Eficiencia (en cualquier modelo):

serial time / (p * parallel time) = speedup / p speedup perfecto (lineal) es “p” efficiency = 1 = 100%

Algoritmo trivial Si hay suficiente espacio de memoria en

cada procesador para guardar todos los elementos de A, B y C; entonces dividir solo el cálculo pero no la data.

A BxC +

Todos guardan la totalidad de A, B, C. Los valores iniciales se comunican con broadcastPara matrices de tamaño nxn, cada procesadordebe usar memoria= tamaño word x 3n2

Mejora al trivial Se ahorra algo de memoria si se divide la

memoria de C y de A, pero no de B. La división es por bloques de filas 1D Ver programa ejemplo

Para matrices de tamaño nxn, si hay p procesadores,cada procesador debe usar memoria = tamaño word x (n2 + 2n2/p)

A

Proc. 0Proc. 1Proc. 2Proc. 3…Proc. p-2Proc. p-1

Multiplic. matrices con partición columnas 1D

Asumir matrices de n x n con n divisible por p

A(i) es el bloque de columnas tamaño n por n/p asignado al proc.”i” (lo mismo para B(i) y C(i))

B(i,j) es un sub-bloque tamaño n/p por n/p de B(i) desde la fila j*n/p hasta la fila ((j+1)*n/p)-1

Algoritmo usa la formulaC(i) = C(i) + A*B(i) = C(i) + j A(j)*B(j,i)

p0 p1 p2 p3 p5 p4 p6 p7

Suposición razonable para análisis, no para programar

Partición 1D en Bus ó Anillo

Algoritmo usa la formulaC(i) = C(i) + A*B(i) = C(i) + j A(j)*B(j,i)

Primero, considerar una máquina que usa bus y sin broadcast: solo un par de procesadores pueden comunicarse a la vez (ej.: ethernet)

Luego, considerar procesadores en un anillo: todos los procesadores se pueden comunicar con sus vecinos inmediatos a la vez.

MatMul: Partición 1D en Bus sin BroadcastAlgoritmo simplón: C(myproc) = C(myproc) + A(myproc)*B(myproc,myproc) for i = 0 to p-1 for j = 0 to p-1 except i if (myproc == i) send A(i) al procesador j if (myproc == j) receive A(i) del procesador i C(myproc) = C(myproc) + A(i)*B(i,myproc) barrierCosto del loop interno : computación: 2*n*(n/p)2 = 2*n3/p2 comunicación: + *n2 /p

Continua…Costo del loop interno: computación: 2*n*(n/p)2 = 2*n3/p2 comunicación: + *n2 /p … aprox.Solo un par de procesadores (i , j) están activos en una

iteración, y de ellos, sólo i esta computando => el algoritmo es prácticamente serialTiempo de ejecución: = (p*(p-1) + 1)*computación + p*(p-1)*comunicación ~= 2*n3 + p2* + p*n2* Es peor que el tiempo serial y crece con p.Quién lo usaría si es malo? ojo, no acelera tiempo de

ejecución pero por lo menos aumenta la memoria disponible.

Matmul en columnas 1D y en un anillo

• Pares de procesadores se pueden comunicar a la vezCopiar A(myproc) en TmpC(myproc) = C(myproc) + Tmp*B(myproc , myproc)for j = 1 to p-1 Send Tmp al procesador myproc+1 mod p Receive Tmp del procesador myproc-1 mod p C(myproc) = C(myproc) + Tmp*B( myproc-j mod p , myproc)

• Misma idea que en el paralelismo de N-body, usar un buffer de variables temporales

• Tiempo del loop interno = 2*( + *n2/p) + 2*n*(n/p)2

Matmul en columnas 1D y en un anillo

Tiempo del loop interno= 2*( + *n2/p) + 2*n*(n/p)2

Tiempo Total = 2*n* (n/p)2 + (p-1) * Tiempo loop interno ~ 2*n3/p + 2*p* + 2**n2

Optimo para partición 1D en Ring o Bus, aún con Broadcast: Speedup perfecto para aritmética A(myproc) debe moverse a los demás procesadores, cuesta

por lo menos: (p-1)*costo de enviar n*(n/p) words Eficiencia paralela = 2*n3 / (p * Tiempo Total paralelo) = 1/(1 + * p2/(2*n3) + * p/(2*n) ) = 1/ (1 + O(p/n)) Se acerca a 1 si n/p crece (o si , se achican)

MatMul en particiones 2D Considerar procesadores en malla 2D (física o lógica) Procs. se pueden comunicar con 4 vecinos inmediatos

Broadcast a lo largo de filas y columnas

Asumir p procesadores forman una malla de sxs

p(0,0) p(0,1) p(0,2)

p(1,0) p(1,1) p(1,2)

p(2,0) p(2,1) p(2,2)

p(0,0) p(0,1) p(0,2)

p(1,0) p(1,1) p(1,2)

p(2,0) p(2,1) p(2,2)

p(0,0) p(0,1) p(0,2)

p(1,0) p(1,1) p(1,2)

p(2,0) p(2,1) p(2,2)

= *

Algoritmo de Cannon

… C(i,j) = C(i,j) + A(i,k)*B(k,j)… se asume que s = sqrt(p) es entero forall i=0 to s-1 … “mover” A desplaz. circular-izq. de la fila i de A en “i” posiciones … tal que A(i,j) es sobreescrito por A(i,(j+i)mod s) forall i=0 to s-1 … “mover” B desplaz.circular-arriba de columna i de B en “i” pos. …tal que that B(i,j) es sobreescrito por B((i+j)mod s), j) for k=0 to s-1 … secuencial forall i=0 to s-1 and j=0 to s-1 … todos procs. en paralelo C(i,j) = C(i,j) + A(i,j)*B(i,j) despl.circular-izq para cada fila de A en 1 despl.circular-arriba para cada columna de B en 1

k

C(1,2) = A(1,0) * B(0,2) + A(1,1) * B(1,2) + A(1,2) * B(2,2)

MatMul con Cannon

Paso inicial para mover Matrices en Cannon Input inicial por bloques

Después de 1er movimiento, antes de multiplicar

A(0,1) A(0,2)

A(1,0)

A(2,0)

A(1,1) A(1,2)

A(2,1)A(2,2)

A(0,0)

B(0,1) B(0,2)

B(1,0)

B(2,0)

B(1,1) B(1,2)

B(2,1) B(2,2)

B(0,0)A(0,1) A(0,2)

A(1,0)

A(2,0)

A(1,1) A(1,2)

A(2,1) A(2,2)

A(0,0)

B(0,1)

B(0,2)B(1,0)

B(2,0)

B(1,1)

B(1,2)

B(2,1)

B(2,2)B(0,0)

Siguientes movimientos en Cannon 1er. paso

2do. paso

3er. paso

A(0,1) A(0,2)

A(1,0)

A(2,0)

A(1,1) A(1,2)

A(2,1)A(2,2)

A(0,0)

B(0,1)

B(0,2)B(1,0)

B(2,0)

B(1,1)

B(1,2)

B(2,1)

B(2,2)B(0,0)

A(0,1) A(0,2)

A(1,0)

A(2,0)

A(1,2)

A(2,1)

B(0,1)

B(0,2)B(1,0)

B(2,0)

B(1,1)

B(1,2)

B(2,1)

B(2,2)B(0,0)

A(0,1)A(0,2)

A(1,0)

A(2,0)

A(1,1) A(1,2)

A(2,1) A(2,2)

A(0,0) B(0,1)

B(0,2)B(1,0)

B(2,0)

B(1,1)

B(1,2)

B(2,1)

B(2,2)B(0,0)

A(1,1)

A(2,2)

A(0,0)

Costo del Algoritmo de Cannon forall i=0 to s-1 … recordar que s = sqrt(p) despl.circ.izq. fila i de A en i … costo = s*( + *n2/p) forall i=0 to s-1 desp.circ.arr. columna i de B en i … costo = s*( + *n2/p) for k=0 to s-1 forall i=0 to s-1 and j=0 to s-1 C(i,j) = C(i,j) + A(i,j)*B(i,j) … costo = 2*(n/s)3 = 2*n3/p3/2

despl.circ.izq. cada fila de A en 1 … costo = + *n2/p desp.circ.arr. cada columna de B en 1 … costo = + *n2/p

° Tiempo Total = 2*n3/p + 4* s* + 4**n2/s ° Eficiencia Paralela = 2*n3 / (p * Tiempo Total paralelo) = 1/( 1 + * 2*(s/n)3 + * 2*(s/n) ) = 1/(1 + O(sqrt(p)/n)) ° Se acerca a 1 si crece n/s = n/sqrt(p) = sqrt(data por procesador)° Mejor que 1D, que tiene eficiencia= 1/(1 + O(p/n))

Pros y Contras de Cannon Se optimiza la computación local Difícil de generalizar para:

Valores de p que no son cuadrados perfectos Matrices A y B no son cuadradas Dimensiones de A, B que no son divisibles por

s=sqrt(p) A y B no “alineadas” en la forma en que están

guardadas en los procesadores Bloques cíclicos

Consume memoria (copias extra de matrices locales)

Algoritmo SUMMA

SUMMA = Scalable Universal Matrix Multiply Un poco menos eficiente, pero es más sencillo

y más fácil de generalizar Link: slides de van de Geijn y Watts

www.netlib.org/lapack/lawns/lawn96.ps Ideas similares aparecieron en muchas ocasiones

Usado en PBLAS = Parallel BLAS www.netlib.org/lapack/lawns/lawn100.ps

SUMMA

* =i

j

A(i,k)

kk

B(k,j)

• i, j representan todas las filas, columnas asignadas a un procesador

• k es una sola fila o columna; o un bloque de b filas o columnas

• C(i,j) = C(i,j) + k A(i,k)*B(k,j)

• Asumir una malla de pr por pc procesadores (pr = pc = 4 en el ejemplo de arriba) . El número de procesadores no necesariamente debe ser cuadrado perfecto.

C(i,j)

Proc(1,1)

Proc(2,1)

Proc(pr,pc)

SUMMA

For k=0 to n-1 … ó (n/b)-1 donde b es el tamaño de bloque … b= # columnas en A(i,k) y # filas en B(k,j)

for all i = 1 to pr … en paralelo dueño de A(i,k) le hace broadcast a todos los procs. de esa fila

for all j = 1 to pc … en paralelo dueño de B(k,j) le hace broadcast a todos los procs. de esa col. Receive A(i,k) en Acol Receive B(k,j) en Brow C_myproc = C_myproc + Acol * Brow

* =i

j

A(i,k)

kk

B(k,j)

C(i,j)

Performance de SUMMA

For k=0 to n/b-1 for all i = 1 to s … s = sqrt(p) dueño de A(i,k) le hace bc. a todos los procs. de la fila … tiempo = log s *( + * b*n/s), usando árbol for all j = 1 to s dueño de B(k,j) le hace bc. a todos los procs. de la col. … tiempo = log s *( + * b*n/s), usando árbol Receive A(i,k) en Acol Receive B(k,j) en Brow C_myproc = C_myproc + Acol * Brow

… tiempo= 2*(n/s)2*b

° Tiempo Total = 2*n3/p + * log p * n/b + * log p * n2 /s

° Solo para simplificar análisis, asumir s = sqrt(p)

Performance de SUMMA

• Tiempo total = 2*n3/p + * log p * n/b + * log p * n2 /s• Eficiencia Paralela =

1/(1 + * log p * p / (2*b*n2) + * log p * s/(2*n) )• ~Mismo término de Cannon, excepto por el factor log p log p crece lento, así que no es problema• Término con latencia () puede ser mayor, dependiendo de b Cuando b=1, se tiene * log p * n Si b se acerca a n/s, término se achica hacia * log p * s (log p veces Cannon)• Storage temporal crece como 2*b*n/s• Se puede cambiar b para disminuir latencia a costa de la

necesidad de más memoria

Librería paralela ScaLAPACK

PDGEMM = rutina PBLAS para multipl. matrices

Observaciones: Para N fijo, si P aumenta, Mflops aumenta, pero menos que 100% eficiencia Para P fijo, si N aumenta, Mflops (eficiencia) aumenta

DGEMM = rutina BLAS para multip. matrices

Max. Velocidad para PDGEMM = # Procs * veloc. de DGEMM

Observaciones (mismas arriba): Eficiencia por lo menos 48% Para N fijo, si P aumenta, eficiencia cae Para P fijo, si N aumenta, eficiencia aumenta

Notación para el algoritmo de Fox

Los índices comienzan en 0 para las sub matrices, pero comienzan en 1 para filas y columnas de procesadores

Algoritmo de Fox (Broadcast, Multiply, y Roll)

Primer paso -- index n=0 en suma de sub-bloque

Segundo paso -- index n=1 en suma de sub-bloque

Segundo paso, continuado

El algoritmo completo para un elemento

MPI: grupos de procesadores y comunicación colectiva

Necesitamos “broadcasts parciales” a lo largo de las filas en Fox (y de las columnas también en SUMMA)

Y rolls (desplazamientos en 1) en las columnas en Fox (parecido en Cannon)

Estas son “comunicaciones colectivas” “Broadcasts de filas” son broadcasts es sub-grupos especiales de

procesadores Rolls se hacen como una variante del MPI_SENDRECV con

“condiciones de frontera ciclicas” También hay rutinas especiales MPI para definir la malla 2D de

procesadores

Broadcast en el caso de la Matriz completa

MatMul usando Fox o Summa con MPI emplea broadcast como comunicación básica

Usaremos esta aplicación para discutir 3 enfoques del broadcast Trivial Logarítmico Pipe (tubo)

Que tiene diferente performance dependiendo en el tamaño del mensaje y la arquitectura del hardware.

Implementación Broadcast trivial y del logarítmico

Broadcast de pipe o tubo En el caso que el tamaño del mensaje es grande, otras implementaciones son

posibles o deseables, ya que será necesario hacer broadcast del mensaje previa sub división en una secuencia de mensajes más chicos.

El broadcast puede establecer un camino (o varios) desde el procesador origen y que visita a los demás procesadores de un grupo.

El mensaje es enviado desde la fuente a lo largo del camino en un “tubo”, donde cada procesador recibe un bloque del mensaje desdensupredecesor y lo envia luego a su sucesor.

La performance de este broadcast es por lo tanto el tiempo para enviar el mensaje al procesador al final del camino más la latencia de inicializar y terminar el “tubo”. Tiempo = (Tamaño del mensaje +Tamaño de un paquete(√N – 2)) *tcomm

Para granos suficientemente gruesos, el pipe es mejor que el log. Alta latencia es mala para este enfoque de “tubo” MPI usa logarítmico, pero se puede “adoptar” el trivial.

Esquema de Operación

Análisis de performance

Resumen de MatMul paralela 1D

Bus sin broadcast – más lento que serial Comunicación al vecino más próximo en anillo (o bus con

broadcast): Eficiencia = 1/(1 + O(p/n)) 2D

Cannon Eficiencia = 1/(1+O(sqrt(p) /n+* sqrt(p) /n)) Difícil de generalizar para arbitrarios p, n, bloques cíclicos, alineamientos

SUMMA Eficiencia = 1/(1 + O(log p * p / (b*n2) + log p * sqrt(p) /n)) Más genérico b chico => menos memoria, menos eficiencia b grande => más memoria, más eficiencia